Fourier-Sinus
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Fourier-Sinus
Fourier-Sinus-Reihen M. Gruber SS 2012 1 Fouriers Idee Die Funktionen sin x; sin2x; sin3x; : : : sind orthogonal: Z sin mx sin px dx = 8 < : fur m = p 0 fur m 6= p : Mit den Funktionen sin x; sin2x; sin3x; : : : als Basis kann man Funktionenreihen bilden: f (x) = b1 sin x + b2 sin2x + : : : = X 1k bk sin kx : Es kommen ungerade 2-periodische Funktionen f heraus (\ungerade" steht fur die Eigenschaft f ( x) = x). Man nennt diese Funktionenreihen Fourier-Sinus-Reihen. Fouriers Idee war, \beliebige" ungerade 2-periodische Funktionen f als Fourier-Sinus-Reihen zu schreiben. Die richtigen Koezienten bk fand er mit dem Ansatz bk = 1 Z f (x)sin kx dx: Der Ansatz nutzt die Orthogonaliat der Funktionen sin x; sin2x; : : :. Die zur Integration verwendete Funktion sin kx loscht namlich die sin lx-Anteile von f aus, sofern l 6= k ist, und holt genau den sin kx-Anteil (mit einem Faktor ) aus dem f heraus. Da beide Funktionen unter dem Integral, f und sin kx, ungerade sind, ist deren Produkt eine gerade Funktion. Daher reicht es auch, wenn man nur uber den halben Integrationsweg integriert und das Resultat dafur verdoppelt: bk = 2 Z 0 f (x)sin kx dx: 1 2 Ein erstes Beispiel Die erste Funktion, an der wir die Fourier-Idee demonstrieren, ist der Rechteck-Sinus (square wave) SW. Beispiel. [Str07], 4.1, Example 1 SW(x) = sgn(sin x): Berechnung der Fourierkoezienten von SW: bk = Z SW(x)sin kx dx = 2 0 sin kx dx (es ist SW (x) = 1 fur 0 < x < ) 2 0 Z x= = ( k cos kx) x=0 = 2 k1 2 [k ungerade] = k4 [k ungerade]: 2 1 Die Fourier-Sinus-Reihe zu SW ist also X k 1 4 k [k ungerade] sin kx: Gibbs-Phänomen In der Praxis bricht man die Summation bei einem endlichen Wert fur k ab. Man begnugt sich mit einem Fourier-Sinus-Polynom. In Abb.2 ist das Fourier-Sinus-Polynom bei Summation uber 1 k 15 dargestellt. Man bemerkt ein U berschwingen des Fourierpolynoms in der Nahe der Sprungstellen von SW, das Gibbs-Phanomen. Es tritt typischerweise bei der Approximation von Funktionen mit Sprungen auf und stellt eine unvermeidliche Eigenart des Fourier-Ansatzes dar. Literatur [Str07] Gilbert Strang. edition, 2007. Computational Science and Engineering. 2 Wellesley-Cambridge Press, rst 1.0 0.5 -4 -2 2 4 - 0.5 -1.0 Abbildung 1: Rechteck-Sinus SW 1.0 0.5 -4 -2 2 4 - 0.5 -1.0 Abbildung 2: SW und approximierendes Fourierpolynom (Summation uber 1 k 15) 3