AB 013 Einführung in die Analysis Trigonometrische Funktionen K
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AB 013 Einführung in die Analysis Trigonometrische Funktionen K
AB 013 Einführung in die Analysis Trigonometrische Funktionen K. Helle R. Serret Aufgabe 1 a) Vergleiche die Graphen zu sin( x ) , sin(2 x ) und sin( 1 x) . 2 1 π b) Wie geht der Graph zu y=1,5⋅sin x− 1 aus dem zu y=sin x hervor? 2 4 Betrachte dazu nacheinander: 1 1 π (1) y=sin x (2) y=sin x− 2 2 4 1 π 1 π (3) y=1,5⋅sin x− (4) y=1,5⋅sin x− 1 2 4 2 4 Beschreibe jeweils die Veränderungen im Vergleich zum vorherigen Graphen. Information Allgemeine Sinusfunktion Ähnlich wie in Aufgabe 1 kann man bei jeder Funktion f, deren Funktionsterm die Gestalt f x =a⋅sin b⋅ x−c d hat, vorgehen. Solche Funktionen werden allgemeine Sinusfunktionen genannt, da sie aus dem Graphen der Sinusfunktion hervorgehen. Diese Funktionen dienen dazu, periodische Vorgänge in Natur und Technik zu beschreiben. Bei der Modellierung der Vorgänge geht es darum, aus Messwerten bzw. aus der Situation heraus die Koeffizienten a, b, c, d ∈R möglichst so zu bestimmen, dass man mithilfe des Modells auch Berechnungen durchführen kann. Aufgabe 2 Unter der astronomischen Sonnenscheindauer versteht man die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang. Der 50. Breitengrad verläuft z.B. durch Mainz. Für Orte dieser geographischen Breite beträgt die astronomische Sonnenscheindauer ungefähr: Datum Dauer (in h) 22.6 16,2 22.7. 15,4 22.8. 13,8 22.9. 12,0 22.10. 10,2 22.11. 8,6 22.12. 7,8 22.1. 8,7 22.2. 10,3 22.3. 12,2 22.4. 13,9 22.5. 15,4 a) Bestimme eine allgemeine Sinusfunktion, welche die astronomische Sonnenscheindauer für Orte auf dem 50. Breitengrad gut annähert (mit/ohne TI). b) Bestimme die astronomische Sonnenscheindauer am 10. Juli. AB 013 Einführung in die Analysis Trigonometrische Funktionen K. Helle R. Serret Lösungen: Aufgabe 1 a) sin( 2 x ) Halbierung der Periodenlänge / Streckung um Faktor sin( b) 1 in Richtung der x2 Achse 1 x ) Verdopplung der Periodenlänge / Streckung um Faktor 2 in Richtung der x2 Achse 1 Verdopplung der Periodenlänge 2 π Verschiebung nach rechts 4 1,5 Streckung in Richtung y-Achse +1 Verschiebung nach oben Aufgabe 2 Anzahl Kalendertage Sonnenscheindauer (in h) 22 53 81 112 142 173 203 234 264 294 324 355 8,7 10,3 12,2 13,9 15,4 16,2 15,4 13,8 12,0 10,2 8,6 7,8 a) • Periode=365 Tage b= 2π 365 • am Sommeranfang (22.6.) ist die Sonnenscheindauer maximal, am Winteranfang (22.12.) minimal; beide Werte sind gleich weit von dem Wert entfernt, der für Frühlings- und Herbstanfang angegeben ist; 16,2h-12,0h=12,0h-7,8h=4,2h a=4,2 und d=12 • Beginn dieser periodischen Bewegung: 22.3. (Frühlingsanfang), also der 81. Tag des Jahres c=81 • Ergibt sich insgesamt: f 1 x =4,2⋅sin 2π x−8112 365 Der TI-Nspire liefert mit „Sinusoidal Regression“: f 2 x =4,08122⋅sin 0,016382 x−1, 2455 11 ,825 b) Der 10. Juli ist der 191. Kalendertag und somit ergibt sich: f 1 191=15 , 9831≈16 bzw. f 2 191=15 ,7084≈16