Lösungen zu den Übungen Teil 2 (Hr. Kimmerle)
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Lösungen zu den Übungen Teil 2 (Hr. Kimmerle)
Lösungen Grundlagen der Informatik 2 zur Vorlesung von Prof. Ertel: (Keine Garantie auf Korrektheit und Aktualität) 4.2 Graphen Aufgabe 4.11: Geben Sie für den Süddeutschlandgraphen die zugehörige Adjazensliste an. 104 Marburg 7 30 174 15 3 Gießen 66 181 104 1 Frankfurt 136 224 88 Köln 5 34 Bonn 0 4 96 2 Fulda 93 8 Würzburg Mannheim 6 Lösung 4.11: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Bonn Fran. Fulda Gieß. Kass. Köln Man. Mar. Wür. 1 0 1 1 2 0 0 3 1 5 2 3 2 7 3 1 4 2 6 3 4 5 6 8 7 8 Aufgabe 4.12: Erzeugen Sie zwei möglicht unterschiedliche aufspannende Bäume für den SFBay- Graphen indem Sie in Palo Alto starten. 1 San Rafael 15 2 Richmond 18 15 12 San Francisco 0 15 3 Oakland 20 20 5 Hayward 14 20 Pacifica 14 4 San Mateo 18 25 15 7 Fremont 15 20 6 13 Half Moon Bay Palo Alto 10 15 8 San Jose 9 35 50 Santa Clara 10 Scotts Valley 70 10 Santa Cruz 12 60 11 Watsonville Lösung 4.12: 6 4 1 Nach Nummern sortiert 7 9 10 0 5 13 8 14 3 12 11 2 10 15 8 60 11 9 35 10 10 12 6 15 7 14 5 20 3 15 2 18 4 20 0 15 14 25 13 18 1 Nach Entfernung Aufgabe 4.13: Verwenden Sie den Algorithmus von Dijkstra für das Single-Source-Shortest-Path-Problem bein SFBayGraphen mit Start in Palo Alto (6). Lösung 4.13: Lfd.Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S { { { { { { { { { { { { { { { { 6 6 6 6 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } } 9 7 6 6 5 4 4 4 3 3 3 1 1 1 } 9 7 7 6 5 5 5 4 4 4 3 2 2 } 9 8 7 6 6 6 5 5 5 4 3 3 } 9 8 7 7 7 6 6 6 5 4 4 } 9 8 8 8 7 7 7 6 5 5 } 9 9 9 8 8 8 7 6 6 } 13 10 9 9 9 8 7 7 } 13 10 10 10 9 8 8 } 13 13 12 10 9 9 } 14 13 12 10 10 } 14 13 12 11 } 14 13 12 { { { { { { { { { { { { { } { 14 } { 13 14 } { 18 18 18 36 18 36 18 36 18 36 18 36 18 36 18 36 56 18 36 56 65 50 18 36 56 65 50 18 Min Entfernung K 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 } } 6 } 6 } 6 } 9 } 7 } 4 } 4 } 9 } 0 } 0 } 10 } 0 } 3 } 8 } 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 45 45 45 45 45 45 45 85 55 55 55 55 43 43 43 43 53 53 53 53 53 K neu Min 6 9 7 4 8 5 0 13 10 3 14 12 1 2 11 10 15 18 25 29 36 43 45 50 53 55 56 65 85 (Die 0 sind bei “min Entferung” zwecks übersichtlichkeit weggelassen) Die ersten 4 Schritte grafisch dargestellt: Die Menge der Knoten wird mit jedem Schritt um 1 erhöht, wobei der nächste Koten der jenge ist, der am nächsten bei der Menge liegt. 1 15 2 18 15 12 0 3 20 15 20 20 14 5 14 4 25 7 18 15 15 20 6 13 10 15 8 9 35 50 60 10 10 12 70 11 Aufgabe 4.14: Erzeugen Sie einen minimal aufspannenden Baum mit dem Algorithmus von Kurskal für den SFBayGraphen. Lösung 4.14: Suche die Kürzeste Kante, dann die zweitkürzeste, drittkürtzeste ... Es darf dabei kein Zyclus entstehen. 1 15 2 18 15 0 12 2 3 3 20 15 20 14 20 5 4 25 15 20 6 13 0 14 7 18 15 Lfd.Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10 15 14 4 13 6 8 B 12 9 3 7 2 3 14 13 8 7 6 4 10 11 Länge 10 10 12 14 15 15 15 15 15 15 18 20 35 60 269 7 9 35 50 A 10 6 0 5 1 2 0 14 9 6 4 0 9 8 60 9 5 8 10 11 12 10 10 12 70 11 Aufgabe 4.15: Verwenden Sie die Minimum-Spanning-Tree-Heuristik zur Lösung des TSP-Problems bein SFBayGraphen.Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem des Greedy-Algorithmus bei Start in San Franziko oder anderen Städten. 1 15 2 Lösung 4.15: 18 15 Greedy mit Startpunkt San Franziko (0) 12 3 0 15 14 20 4 25 15 20 5 20 18 15 6 13 10 14 7 20 15 8 9 50 35 60 10 10 12 70 11 Aufgabe 4.16: Bestimmen Sie eine optimale Tour für das TSP-Problem bein SFBay-Graphen. Lösung 4.16: 1 Die optimal Tour: 15 2 18 0 1->2->3->5->7->8->11->12->10->9->6-> 4 ->13->14->0->1 15 3 12 20 15 20 14 20 5 14 4 25 7 18 15 15 20 6 13 10 15 8 9 35 50 60 10 10 12 70 11 Aufgabe 4.17: Für einen planaren (ebenen) Graphen sei A die Menge der durch die Kanten des Graphen begrenzten Flächenstücke. Überprüfen Sie an allen bisher verwendeten Graphen (V,E) die Gülitigkeit der EulerFormel |V| - |E| + |A| = 2 V = Knoten E = Kanten A = Flächen Lösung 1.17: Karte Süddeutschland: Karte SFBay: Karte Mitteldeutschland: |11| - |18| + |9| = 2 |15| - |21| + |8| = 2 |9| - |13| + |6| = 2