Blatt 7 - Fachbereich Mathematik und Informatik

Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
FB Mathematik und Informatik der Universität Münster
Dr. Christoph Lehrenfeld,
Dipl.-Math. Felix Schindler,
Dipl.-Math. Christian Himpe
03.12.2015
Übung zur Vorlesung
Numerik partieller Differentialgleichungen I
WS 2015/16 — Blatt 7
Abgabe: 10.12.2015, vor der Vorlesung
Aufgabe 1 (Spursatz)
(4 Punkte)
Es sei T ⊂ R2 ein reguläres Dreieck mit σ(T ) ≤ C und Γ ⊂ T̄ eine Randkante. Zeige Sie:
(a) Ist u ∈ H 1 (T ), so gilt die Abschätzung
1
1
||u||L2 (Γ) ≤ C h(T )− 2 ||u||L2 (T ) + h(T ) 2 |u|H 1,2 (T ) .
Beschreiben Sie kurz, was sich im Fall eines regulären Simplexes T in Rd für d > 2
an Ihrem Beweis der Ungleichung ändern würde.
(b) Es sei k ≥ 1 und I die Lagrange-Interpolierende in Pk (T ). Dann gilt für u ∈ H k+1 (T )
die Abschätzung
1
||u − I(u)||L2 (Γ) ≤ Ch(T )k+ 2 ||u||H k+1 (T )
Hinweis: Benutzen Sie neben der Hauptaussage des Spursatzes auch die Abschätzung
||Bu||Lp (∂Ω) ≤ C ||u||H 1,p (Ω) .
Aufgabe 2 (L2 Projektion)
(4 Punkte)
2
Sei IhL : L2 (Ω) → Shk der L2 -Projektor auf Shk = Xh ⊂ H 1 (Ω). Zeigen Sie, dass gilt
2
(a) kv − IhL vkL2 (Ω) ≤ c hkvkH 1 (Ω) ,
2
(b) kv − IhL vkH 1 (Ω) ≤ ckvkH 1 (Ω) .
Nehmen Sie hierfür an, dass Th eine zulässige Triangulierung ist mit
1
h ≤ hT ≤ c h ∀T ∈ Th , c > 0.
c
Hinweis: Sei wh die stückweise konstante Funktion mit:
wh T
dann ist
P
T ∈Th
k∇wh k2L2 (T ) = 0.
1 Z
=
v dx ∀T ∈ Th ,
|T | T
Aufgabe 3 (Vergleich von Interpolationsoperatoren)
(6 Punkte)
Sei Ω ⊂ R3 ein polygonal berandetes Gebiet und Th eine zulässige Triangulierung von Ω
mit σ(T ) ≤ C für alle T ∈ Th . Es bezeichne Nh die Menge aller Knoten von Th und
[
Mz :=
T̄
T ∈Th mit z∈z̄
den Patch zu z. Weiterhin sei
Xh := {vh ∈ C 0 (Ω̄) | (vh )|T ∈ P1 (T ) für alle T ∈ Th }.
2
Sei im Folgenden IhL der L2 - Interpolationsoperator aus der vorherigen Aufgabe und
IhL : C 0 (Ω̄) ∩ H 2 (Ω) → Xh der (nodale) Lagrange-Interpolationsoperator,
d.h.
für v ∈
i
h
L
0
2
L
C (Ω̄) ∩ H (Ω) ist Ih (v) ∈ Xh das eindeutig bestimmte Element mit Ih (v) (z) = v(z)
für alle z ∈ Nh . Schließlich sei IhC : H 1 (Ω) → Xh der Clément-Interpolationsoperator aus
der Vorlesung, d.h. für v ∈ H 1 (Ω) gilt
IhC (v) :=
X
[PMz (v)] (z)ϕz .
z∈Nh
Hierbei ist ϕz ∈ Xh das Element der Knotenbasis zum Knoten z ∈ Nh und PMz :
L2 (Ω) → Xh (Mz ) die lokale L2 -Projektion nach Xh (Mz ). Die nachfolgenden Konstanten
C sind unabhängig von v und h. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für
2
Ih ∈ {IhL , IhC , IhL }:
(a) Ih sind Projektionen auf Xh , d.h. zeigen Sie Ih (vh ) = vh für alle vh ∈ Xh .
(b) Für alle v ∈ H 1 (Ω) gilt ||v − Ih (v)||L2 (Ω) ≤ Ch ||∇v||L2 (Ω) .
(c) Für alle v ∈ C 0 (Ω̄) ∩ H 2 (Ω) gilt ||v − Ih (v)||L2 (Ω) ≤ Ch ||∇v||L2 (Ω) .
(d) Für alle v ∈ H01 (Ω) gilt ||Ih (v)||L2 (Ω) ≤ CkvkH1 (Ω) .
Bei Aussagen, die bereits im Rahmen der Vorlesung bewiesen wurden, genügt es, den
entsprechenden Satz zu zitieren.
Aufgabe 4 (Zielgetriebene Fehlerschätzung)
(2 Punkte)
Oft ist man nicht am Fehler ku − uh kH 1 (Ω) , sondern am Fehler in einem Zielfunktional
l, |l(u) − l(uh )| interessiert. Seien l, f : X → R lineare, stetige Funktionale, d.h. l, f ∈
H −1 (Ω) und
Z
∇u ∇v, u, v ∈ X.
b(u, v) =
Ω
Wir betrachten die schwache Lösung u des durch b(·, ·) und f (·) definierten VariationsProblems und die Lösung des dualen Problem das durch b(·, ·) und l(·) definiert wird. Mit
Hilfe des Finite Elemente Raums Xh ⊂ X werden beide Probleme angenähert. Hierüber
definieren wir u, uh , w, wh ∈ X:
(a) u ∈ X
sodass
b(u, v) = f (v), ∀v ∈ X,
(b) uh ∈ Xh sodass b(uh , vh ) = f (vh ), ∀vh ∈ Xh ,
(c) w ∈ X sodass
b(v, w) = l(v),
∀v ∈ X,
(d) wh ∈ Xh sodass b(vh , wh ) = l(vh ), ∀vh ∈ Xh .
Zeigen Sie das gilt:
|l(u) − l(uh )| ≤ cηh1 (uh )ηh2 (wh ),
wobei ηh1 ein zulässiger Fehlerschätzer für das Problem in (a) ist, und ηh2 ein zulässiger
Fehlerschätzer für das Problem in (c).