Zinsvergütung/ -belastung: am Jahresende

C. Zinsrechnungen
1. Systematisierung der Verzinsungsarten
C. Zinsrechnungen
Jährliche Verzinsung
1
a
Einfache Zinsen
d
g
vorschüssige
Zinsen
Systematisierung der Verzinsungsarten
Zinszahlung
1 Jahr
2
Jährliche Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
3
4
5
b
Unterjährige Verzinsung
Stetige Verzinsung
e
nachschüssige
Zinsen
1 Jahr
Stetige Verzinsung
Aufgaben zur Zinsrechnung
permanent
...
...
Gespaltene Zinsen
=
Kombination
aus e und d
f
© Dr. A. Brink
1
h
Zinszahlung
c
1 Jahr
© Dr. A. Brink
Zinseszinsen
1 Quartal
2
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
2.1 Einfache Zinsen
Ausgangssituation:
2.2 Zinseszinsen
2.3 Gespaltene Zinsberechnung
Zeitraum der Verzinsung:
1 Jahr
Zinsvergütung/ -belastung:
am Jahresende
(ohne Veränderung
der Kapitalbasis,
d.h. unverzinsliches
Kapitalkonto)
2.4 Exkurs: Wechseldiskontkredit
© Dr. A. Brink
3
© Dr. A. Brink
4
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
Formel:
Hausaufgabe:
Kn = Ko (1 + n · i)
Kn = Ko (1 + n · i )
Symbole:
Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der
jeweils gesuchten Größe um!
K0 = (Anfangs-) Kapital zu Beginn der Kapitalanlage
i = Zinssatz (-fuß)
Kn = Endkapital
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
5
6
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
2.2. Jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen
Ausgangssituation:
Beispiel:
Kapital von 10.000 €
Verzinsung zu 6%
Wie hoch ist der Kapitalstock nach 5 Jahren?
Zeitraum der Verzinsung:
1 Jahr
Zinsvergütung/-belastung:
Jahresende
mit Erhöhung
der Kapitalbasis
=> Zinseszinsen
Zinsen für das t. Jahr:
Zt = Kt – 1 · i
K5 = 10.000 (1 + 5 · 0,06) = 13.000 €
© Dr. A. Brink
7
© Dr. A. Brink
8
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.2. Jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen
2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
Formel:
Hausaufgabe:
Kn = K0 · qn
Kn = K0
·
q
n
Symbole:
Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der
jeweils gesuchten Größe um!
K0 = (Anfangs-) Kapital zu Beginn der Kapitalanlage
q = 1 + Zinssatz (-fuß)
Kn = Endkapital
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
9
10
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.2. Jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen
Vergleich: Einfache Zinsen und Zinseszinsen
Kapital
Beispiel:
3.400
Kapital von 10.000 €
Verzinsung zu 6%
Wie hoch ist der Kapitalstock nach 5 Jahren?
K5 = 10.00 · (1 +
0,06)5
Zinseszinsen
2.800
2.200
= 13.382,26 €
1.600
Kn = Ko (1 + 1 · i)
10
© Dr. A. Brink
11
Einfache
Zinsen
Kn = K0 · (1 + i)1
12
Monate
20
© Dr. A. Brink
30
40
12
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
Vergleich: Einfache Zinsen und Zinseszinsen
2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung
Kapital
Ausgangspunkt:
1.500
1.400
Laufzeit des Kapitals endet nicht an einem
ganzzahligen Zinsberechnungszeitpunkt
(z.B. nach 3,5 Jahren)
Einfache Zinsen
1.300
Zinseszinsen
1.200
1.100
0
2
4
6
8
10
12
Laufzeit
[Monate]
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
13
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung
2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung
Vorgehensweise:
14
Vorgehensweise:
1. Zunächst Endkapital für den letzten ganzzahligen
Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen
(mit Zinseszinsen)
2. Dann Endkapital über die Restlaufzeit rl
bestimmen (mit einfachen Zinsen)
Formel:
Formel:
Kg = K0 · (1 +
KE = Kg + ZE = Kg (1 + s · i)
i)g
Symbole:
s = Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode, mit s = rl/zp
mit g = letzter ganzzahliger Zinszeitpunkt
rl = Restlaufzeit (z.B. 3 Quartale)
zp = Zinsperiode (z.B. 1 Jahr = 4 Quartale, bei einem Jahreszins i)
© Dr. A. Brink
15
© Dr. A. Brink
16
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung
2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung
Beispiel:
graphische Darstellung:
Kapital von 1.000 €
Verzinsung zu 10%
Laufzeit von 3,5 Jahren
Wie hoch ist der Kapitalstock nach 3,5 Jahren?
Kapital
Kg=3 = 1.000 · (1 + 0,1)3 = 1.331,00 €
ZE = (1/2) · 0,1 · 1331 = 66,55 €
Laufzeit
[Jahre]
1
2
3
3,5
KE = K3 + ZE = 1.331 + 66,55 = 1.397,55 €
4
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
17
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit
2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit
18
Alternativen des Wechselinhabers:
Wechsel = unbedingte Zahlungsanweisung des
Ausstellers (Gläubigers) an den
Bezogenen (Schuldner), eine
bestimmte Geldsumme zu zahlen
1. Vorlage des Wechsels beim Bezogenen zur Zahlung
am Verfalltag
2 Übergabe an einen Dritten zur Begleichung der
eigenen Schuld
3 sofortige Weitergabe des Wechsels an eine Bank, die
den Gegenwert des Wechsels bei entsprechender
Diskontierung sofort auszahlt
© Dr. A. Brink
19
© Dr. A. Brink
20
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit
2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit
Problem: Bestimmung des Barwertes des Wechsels
Beispiel:
1. kaufmännische Diskontierung (z.B. Banken)
K 0 = K n − K n ⋅ s ⋅ i = K n ⋅ (1 − s ⋅ i )
2. amtliche Diskontierung (finanzmathematisch korrekt)
K n = K 0 ⋅ (1 + s ⋅ i ) ⇒ K 0 =
Kn
1+ s⋅i
© Dr. A. Brink
Wechsel in Höhe von 30.000 €.
90 Tage vor der Fälligkeit zur Diskontierung
eingereicht.
Bank verlangt 5% des nominellen Wechselbetrages
als Diskont.
Wie hoch ist der Barwert?
© Dr. A. Brink
21
C. Zinsrechnungen
2. Jährliche Verzinsung
22
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit
1. bei kaufmännischer Diskontierung durch die
Bank
3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
3
⎛
⎞
K 0 = 30.000 ⋅ ⎜1 − ⋅ 0,05 ⎟ = 29.625 €
⎝ 12
⎠
3.2 Einfache Zinsen
3.3 Zinseszinsen
2 bei finanzmathematisch korrekter Vorgehensweise
3.4 Gespaltene Zinsberechnung
30.000
K0 =
= 29.629,63 €
3
1 + ⋅ 0,05
12
© Dr. A. Brink
23
© Dr. A. Brink
24
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
Ausgangssituation:
Relativer Zinsfuß:
Formel:
Zeitraum der Verzinsung: < 1 Jahr
irel =
z.B. Halbjahr,
Vierteljahr,
Monat
© Dr. A. Brink
inom
m
Symbole:
irel
=
relativer (Perioden-) Zinssatz
inom
=
nomineller Jahreszinssatz
m
=
Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
© Dr. A. Brink
25
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
Effektiver Zinsfuß:
26
Beispiel:
Formel:
einjähriger Kredit
mit einem Zinssatz von 12% (nominell)
m
⎛ i ⎞
ieff = ⎜1+ nom⎟ − 1
⎝ m⎠
und monatlicher Verzinsung
Wie hoch ist der effektive Zinsfuß?
Symbol:
ieff
=
effektiver (Jahres-) Zinsfuß
12
ieff
© Dr. A. Brink
27
0,12 ⎞
= ⎛⎜1 +
⎟ − 1 = 0,12684 = 12,68%
12 ⎠
⎝
© Dr. A. Brink
28
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
Konformer Zinsfuß:
Beispiel:
Formel:
effektiver Jahreszins: 12%
Wie hoch ist der konforme Zinssatz?
ikon = m 1 + ieff − 1
ikon = 12 1 + 0,12 − 1 = 0,00949 = 0,949%
Symbol:
ikon
=
konformer Zinsfuß
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
29
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß
3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen
Abgrenzung:
30
Ausgangssituation:
Behandlung der gezahlten Zinsen
Zeitraum
der Verzinsung
Einfache Verzinsung
Jährliche Verzinsung
inom
ieff
Unterjährige Verzinsung
irel
ikon
Zinsen werden zwar mehrmals pro Jahr
Zinseszinsen
gutgeschrieben, aber nicht der Kapitalbasis
© Dr. A. Brink
zugeschlagen
(unverzinsliches Kapitalkonto).
31
© Dr. A. Brink
32
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen
3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen
Formel:
Beispiel:
K k ,t = K 0 + [(t − 1) ⋅ m + k ]⋅ Z p
Symbole:
Kk,t
=
Kredit in Höhe von 10.000 €
Laufzeit von 4,5 Jahren mit inom = 5%
Quartalsweise Verzinsung mit einfachen
Zinsen
Kapital am Ende der k-ten Zinsperiode des t-ten Jahres
t
=
Jahresindex
k
=
Index der Zinsperiode im Jahr t
ip
=
Periodenzinssatz (= irel bzw. ikon)
Zp
=
Periodenzinsen
© Dr. A. Brink
Wie hoch ist das Endkapital?
© Dr. A. Brink
33
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen
3.3. Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen
Ausgangssituation:
i
0,05
⎡ % ⎤
i p = nom =
= 0,0125 ⎢
⎥
m
4
⎣ Quartal ⎦
Zinsen werden mehrmals pro Jahr gutgeschrieben
und erhöhen die Kapitalbasis.
⎡ € ⎤
Z p = K 0 ⋅ i p = 10.000 ⋅ 0,0125 = 125 ⎢
⎥
⎣ Quartal ⎦
Formel:
K k ,t = K 0 ⋅ q [p(t −1)⋅m + k ]
K 2,5 = 10.000 + [(5 − 1) ⋅ 4 + 2]⋅125 = 12.250 €
© Dr. A. Brink
34
35
© Dr. A. Brink
36
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.3. Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen
3.3. Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen
Beispiel:
(t − 1) ⋅ m + k = (5 − 1) ⋅ 4 + 2 = 18 Zinsperioden
Kredit in Höhe von 10.000 €
Laufzeit von 4,5 Jahren mit inom = 5%
Quartalsweise Verzinsung mit Zinseszinsen
qp = 1+
Wie hoch ist das Endkapital?
Beachte:
0,05
inom
= 1+
= 1,0125
4
m
K 2,5 = 10.000 ⋅1,012518 = 12.505,77 €
Banken ermitteln den unterjährigen Zinsfuß stets
i
durch Division nom
m
© Dr. A. Brink
© Dr. A. Brink
37
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener
Zinsberechnung
3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener
Zinsberechnung
38
Vorgehensweise:
Ausgangssituation:
Laufzeit endet nicht an einem Zinsverrechnungszeitpunkt
1. Zinsen zum letzen turnusmäßig vorgesehenen
Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen
nach der Methode der unterjährigen Verzinsung
mit Zinseszinsen
z.B. nach 3 Jahren und 2 Monaten
(bei quartalsweiser Zinsverrechnung)
© Dr. A. Brink
39
© Dr. A. Brink
40
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener
Zinsberechnung
3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener
Zinsberechnung
Vorgehensweise:
Formel:
(
K E = Kg + Z E = Kg + iE ⋅ Kg = Kg ⋅ 1+ iE
2. Zinsen für die Restlaufzeit ermitteln
nach der Methode einfacher unterjähriger
Verzinsung mit irel
mit:
und
© Dr. A. Brink
i nom
m
sowie
s =
© Dr. A. Brink
rl
zp
42
4.1 Vorgehensweise
Symbole:
=
=
=
=
=
=
=
iE = s ⋅
C. Zinsrechnungen
4. Stetige Verzinsung
3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener
Zinsberechnung
KE
iE
ZE
g
s
rl
zp
ZE = i E ⋅ K g
41
C. Zinsrechnungen
3. Unterjährige Verzinsung
)
4.2 Anwendungsbeispiele
Kapital am Ende der Laufzeit
Zinssatz der Restlaufzeit
Zinsen der Restlaufzeit
Index des letzen Zinsverrechnungszeitpunktes
Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode
Restlaufzeit (z.B. in Monaten)
Zinsperiode (z.B. in Monaten)
© Dr. A. Brink
43
© Dr. A. Brink
44
C. Zinsrechnungen
4. Stetige Verzinsung
C. Zinsrechnungen
4. Stetige Verzinsung
4.1. Vorgehensweise
4.1. Vorgehensweise
Beispiel:
Ausgangssituation:
Berechnungsvorschrift für unterjährige Verzinsung
mit Zinseszinsen.
Kredit in Höhe von 10.000 €
Laufzeit von 5 Jahren zu i = 5%
Stetige Verzinsung
Wie hoch ist das Endkapital?
Formel:
K n = K 0 ⋅ e n⋅i
© Dr. A. Brink
K 5 = 10.000 ⋅ e 5⋅0, 05 = 12.840,25 €
45
C. Zinsrechnungen
4. Stetige Verzinsung
4.2. Anwendungsbeispiele
• Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes
von Investitionsobjekten
• Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer von
Investitionsobjekten
• Bestimmung der Kostenreduktion durch
Lerneffekte
• Demographische, physikalische, chemische und
biologische Fragestellungen
© Dr. A. Brink
47
© Dr. A. Brink
46