LEBESGUE INTEGRAL Quader und Treppenfunktionen. Sei I j = [aj

LEBESGUE INTEGRAL
KARLHEINZ GRÖCHENIG
Abstract. Kurze Einführung ins Lebesgue Integral für die Vorlesung “Höhere
R
Analysis” (WS2014/15, K. Gröchenig). Einziges Ziel ist es, ein Integral K f
für Funktionen f , die auf einer kompakten Menge K stetig sind, sinnvoll zu
definieren. Quelle ist vor allem Königsberger “Analysis II”.
Quader und Treppenfunktionen. Sei Ij = [aj , bj ], ]aj , bj [⊆ R ein beschränktes
Intervall (abgeschlossen, offen, halb-offen oder Punkt) und
Q
Q = dj=1 Ij ⊆ Rd Quader mit Volumen
vold (Q) =
d
Y
(bj − aj )
j=1
Charakteristische Funktion χQ (x) = 1 für x ∈ Q und χQ (x) = 0 für x 6∈ Q
Definition 1. Eine Funktion φ : Rd → R (oder nach C) heißt Treppenfunktion,
wenn es cj ∈ R (cj ∈ C) und disjunkte Quader Qj ⊆ Rd , j = 1, . . . , n, gibt, sodaß
n
X
φ=
cj χQj .
j=1
Raum aller Treppenfunktionen auf Rd wird mit T bezeichnet. Das Integral einer
Treppenfunktion ist definiert als
Z
n
X
(1)
φ(x) dx =
cj vold (Qj ) .
Rd
j=1
Treppenfunktionengymnastik:
(1) Darstellung von φ ∈ T ist nicht eindeutig.
(2) φ ∈ T hat kompakten Träger.
(3) Seien Pj beliebige Quader
(nicht notwendig disjunkt), dann kann jede FunkP
tion der Form φ = nj=1 cj χPj als Linearkombination mit disjunkten Quadern
Qk geschrieben werden; es gibt also disjunkte Quader
P Qk (möglicherweise
P
mit Volumen Null) und Koeffizienten dk , sodaß φ = nj=1 cj χPj = m
k=1 dk χQk .
(4) RDer Raum der
R Treppenfunktionen T ist ein Vektorraum.
(5) φ(x) dx = φ(x)d(x1 , . . . , xd ) (Das Integral kann als iteriertes Integral
geschrieben und berechnet werden.)
Lemma 1. (i) Das Integral
R (1) ist unabhängig von der Darstellung von φ ∈ T .
(ii) Die Abbildung φ → φ ist ein lineares FunktionalRauf T .
R
(iii) Monotonie: Falls φ, ψ ∈ T und φ ≤ ψ, dann gilt φ(x) dx ≤ ψ(x) dx.
1
2
KARLHEINZ GRÖCHENIG
R
(iv) | φ(x) dx| ≤
R
|φ(x)| dx.
Definition 2. Sei f : Rd → R∪{∞} (oder C∪{∞}) eine Funktion. Eine Hüllreihe
von f ist eine Reihe der Form
X
(2)
Φ=
ck χQk
k=1
mit folgenden Eigenschaften:
(i) Qk ist ein offener Quader,
(ii) ck ≥ 0,
(iii) sowie
(3)
|f (x)| ≤
∞
X
∀x ∈ Rd .
ck χQk (x)
k=1
Der Inhalt der Hüllreihe ist
(4)
I(Φ) =
∞
X
ck vold (Qk ) ∈ [0, ∞] .
k=1
Die L1 -Halbnorm von f ist
(5)
kf k1 = inf{I(Φ) : Φ ist Hüllreihe von f }
Vergleiche mit (oberen) Riemannsummen.
Unterschied: Hüllreihen können unendliche Summen sein; auch unbeschränkte
Funktionen können Hüllreihen mit endlichem Inhalt besitzen; jede Funktion besitzt eine Hüllreihe.
Lemma 2 (Eigenschaften der Halbnorm). Seien f, g : Rd → C ∪ {∞} und c ∈ C.
Dann gilt:
(i) kcf k1 = |c| kf k1
(ii) kf + gk1 ≤ kf k1 + kgk1
(iii) Wenn |f (x)| ≤ |g(x)| für alle x ∈ Rd , dann ist kf k1 ≤ kgk1 .
(iv) Seien fj : Rd → C ∪ {∞} nicht-negative Funktionen fj ≥ 0. Dann gilt
k
∞
X
j=1
fj k1 ≤
∞
X
kfj k1 .
j=1
Bemerkung: k · k1 ist keine Norm. Z.B., für f = χ{a} gilt kf k1 = 0.
L1 -Halbnorm für Treppenfunktionen.
Lemma 3. Sei Q ⊆ Rd ein abgeschlossener Quader. Dann ist
Z
kχQ k1 = vold (Q) =
χQ (x) dx
Rd
LEBESGUE INTEGRAL
3
Lemma 4. Für jede Treppenfunktion φ ∈ T gilt
Z
kφk1 =
|φ(x)| dx .
Rd
Im allgemeinen unterscheide: kf k1 = inf I(Φ) und
R
|f (x)| dx.
Definition 3. Eine Funktion f : Rd → R ∪ {∞} (oder C ∪ {∞}) heißt Lebesgueintegrierbar (L-int.), wenn es eine Folge von Treppenfunktionen φk ∈ T gibt, sodaß
lim kf − φk k1 = 0 .
k→∞
Der Grenzwert
Z
Z
f (x) dx = lim
(6)
Rd
k→∞
φk (x) dx
Rd
heißt das Lebesgue-Integral von f .
Also: ein Funktion ist Lebesgue-integrierbar, wenn sie der Grenzwert von Treppenfunktionen in der k · k1 -Halbnorm ist.
Bemerkung: Grenzwert existiert und ist unabhängig von der Wahl der Folge φk .
Jede Treppenfunktion ist Lebesgue-integrierbar. Welche Funktionen sonst???
Proposition 5. Mit f ist auch |f | Lebesgue-integrierbar und es gilt
Z
Z
|f (x)| dx = kf k1 .
f (x) dx ≤
Rd
Rd
Lemma 6 (Rechenregeln fürs Lebesgue-Integral). Seien f und g Lebesgue-integrierbar,
α, β ∈ C. Dann gilt:
R
R
R
R
(i) Linearität: Rd (αf +βg)(x) dx = α Rd f (x)|, dx+β Rd g(x) dx und Rd f¯(x) dx =
R
f (x) dx.
Rd
R
R
(ii) Monotonie: Falls f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ Rd , gilt f (x) dx ≤ g(x) dx.
(iii) Falls |g(x)| ≤ M , ∀x ∈ Rd , ist auch f g Lebesgue-integrierbar.
Weitere Eigenschaften: Mit f, g sind auch max(f, g) und min(f, g) Lebesgueintegrierbar, insbesondere sind f+ (x) = max(f (x), 0) und f− (x) = − min(f (x), 0)
Lebesgue-integrierbar.
Definition 4 (Integration über Teilmengen). Sei A Teilmenge von Rd . Funktion f
heißt über A Lebesgue-integrierbar, wenn die Funktion f χA Lebesgue-integrierbar
ist. Wir setzen
Z
Z
f (x) dx =
f (x)χA (x) dx
A
Rd
und kf k1,A = kf χA k1 .
Theorem 7 (Babyversion des Satzes von Beppo Levi). Seien f, φn : Rd → C∪{∞}
Funktionen, sodaß
(i) φn ∈ T für alle n ∈ N und φn is monoton wachsend (oder fallend), dh. φn (x) ≤
φn+1 (x), ∀x ∈ Rd ,
4
KARLHEINZ GRÖCHENIG
(ii) limn→∞ φn (x) = f (x) für alle x ∈ Rd , und
(iii) es gibt ein M > 0 sodaß für alle n ∈ N gilt
Z
φn (x) dx ≤ M .
Rd
Dann ist f Lebesgue-integrierbar und es gilt
Z
Z
f (x) dx = lim
n→∞
Rd
φn (x) dx .
Rd
Bedeutung: Monotone Limiten von Treppenfunktionen mit beschränktem Integral liefern Lebesgue-integrierbare Funktionen.
Indem man eine stetige Funktion von unten durch Treppenfunktionen approximiert, erhält man die Lebesgue-Integrierbarkeit von Funktionen, die auf einer kompakten Menge stetig sind.
Theorem 8. Sei K ⊆ Rd kompakt und f : K → C eine stetige Funktion, f ∈
C(K). Dann ist f Lebesgue-integrierbar.
Corollary 9. Sei f : [a, b] → R stetig, Dann gilt
Z b
Z
R−
f (x) dx = L−
f (x) dx .
a
[a,b]
Für stetige Funktionen auf einem beschränkten Intervall [a, b] stimmen RiemannIntegral und Lebesgue-Integral überein.
Allgemeiner gilt: Wenn eine Funktion Riemann-integrierbar ist, dann ist sie
Lebesgue-integrierbar und die Integrale stimmen überein.
Ähnlich wie in Satz 8 erhält man durch Approximation von oben die LebesgueIntegrierbarkeit von Funktionen, die auf einer offenen, beschränkten Menge stetig
sind.
Theorem 10. Sei O ⊆ Rd offen und beschränkt und f : O → C eine stetige
Funktion. Dann ist f Lebesgue-integrierbar.
Theorem 11. Seien U, V ⊆ Rd offene Mengen, K ⊆ V kompakt, und Φ : U → V
ein C 1 -Diffeomorphismus. Eine Funktion f : K → C ∪ {∞} ist genau dann
Lebesgue-integrierbar, wenn f ◦Φ(x) | det DΦ(x)| Lebesgue-integrierbar ist. In diesem
Fall gilt die Transformationsformel
Z
Z
f (y)dy =
f (φ(x)) | det DΦ(x)| dx .
K
Φ−1 (K)