Normalverteilung, normal distibution Normalverteilung, normal
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Normalverteilung, normal distibution Normalverteilung, normal
10.11.2015 StandardNormalverteilung , standard normal distibution Normalverteilung, normal distibution W.‐Rechner früher in Tafeln Carl Friedrich Gauß, der „Fürst der Mathematik“ , the „lord of mathematics“ Nur die Flächen haben Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit. 1777‐1855, Professor in Göttingen, Lehrer von Bernhard Riemann Only areas have the meaning of probabilities, not the ordinates. Der alte 10‐Mark‐Schein, gültig bis 2002 The old 10‐mark‐note available till 2002 Folie 1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Normalverteilung, normal distibution 1 f ( x) e 2 1 ( x) e 2 ( x ) 2 2 2 x2 2 sie treten mit 5% W. auf. Results outside of the 2‐sigma‐region are called „abnormal“, their probability is 5%. Gaußsche Glockenkurve Gaussian bell curve Folie 5 Folie 2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Normalverteilung, normal distribution stetig und nicht diskret Binomial‐ und Normalverteilung binomial and normal distibution 1‐sigma‐Abstand sehr ungewöhnlich eminent abnormal eminent abnormal liegt bei den Wendepunkten liegt bei den Wendepunkten The inflection points Ergebnisse außerhalb des 2‐sigma‐ define the 1‐sigma‐ Bereichs heißen „ungewöhnlich“, distance Vorsicht, wilde Formel, attention strange formula Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion probability density function Folie 4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de continuous and not discrete Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikant Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Messwerte sind normalverteilt,(meist) collected data are normal distibuted, mostly und nun? what is to do now? Die (n‐1) im Nenner ist richtig denn so ist es ist richtig, denn so ist es ein erwarungstreuer Schätzer für das wahre sigma. Bei beschreibender Statistik steht dort n. the (n‐1) is important Messreihe, test series Mittelwert mean Stichproben‐ Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion probability density function PDF Folie 3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Standardabweichung standard deviation s 1 n 1 xq 1 xi n i x i i xq 2 Folie 6 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de 1 10.11.2015 Messwerte sind normalverteilt,(meist) Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz collected data are normal distibuted, mostly Gaussian square root n theorem Wuzel(n)‐Gesetz for english there are the slides 13+14 Und was ist die Wahrheit, what d d hh h is the h truth? h? Wurzel‐n‐Gesetz Wir haben mit vermutlich nicht getroffen xq und mit s nicht ! What are the valid values for and ? Folie 7 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Folie 10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz Messungen auswerten Gaussian square root n theorem evaluation of the collected data english on slide 13 x1 , x2 , x3 ,..., xn Wurzel‐n‐Gesetz entstammen einer (Normal‐) Verteilung mit und . unbekannt result lt off the th mesurement for english there are the slides 13+14 Folie 8 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz s n11 ( xi x )2 berechne x xi Mittelwert Standardabweichung als Standardabweichung als als Schätzwert für Schätzwert für Je mehr Messungen man gemacht hat, desto weniger wird der gemessene Mittelwert vom wahren Wert abweichen. Daher hat die Verteilung der Mittelwerte aus n Messungen eine kleinere Standardabweichung , nämlich s n Man schätzt sie mit dem Standardfehler n . Angabe des Mess‐Ergebnisses x s n Folie 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Bedeutung des Mess‐Ergebnisses Gaussian square root n theorem Wurzel‐n‐Gesetz Angabe des Mess‐Ergebnisses Jeweils mit diesem und x s n z.B. 57 2.3 gemessene normalverteilte n Messwerte werden etwa mit 68% Wahrscheinlichkeit Mittelwerte in dem durch die wahre Standardabweichung gegebenen Bereich um haben. n zu 95% liegen sie im ‐Bereich um . 2 n english on slide on slide 14 x Solch ein Mittelwert ist der von uns gemessene Wert . Wir kennen weder s noch . Letzteres schätzen wir mit dem Standardfehler . n for english there are the slides 13+14 Folie 9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de n s Wir hoffen nun, das nun auch umgekehrt das wahre in dem durch n gegebenen Bereich mit etwa 68% Wahrscheinlichkeit und im Bereich 2 s mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt. Mit größerem n werden wir immer n genauer. Sieht man auf einem Messgerät z.B. die Angabe a Genauigkeit , so deutet man a als für Einzelmessungen. Folie 12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de 2 10.11.2015 Was weiß man denn überhaupt? Can we say any thing at all? Messungen auswerten evaluation of the collected data x1 , x2 , x3 ,..., xn This two pages will be available in English soon follow a normal didtribution with the unkrown parameters and . calculate x xi s mean estimating value for 1 n 1 ( xi x )2 standard deviation estimating value for The more measured data you have the merrier is the calculated mean near the truthful value . Therefor the distribution of the means out of n measurements has a lower standard deviation, that is s n We estimate this value with the standard error n . We give as result of the measurement x s n Folie 13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de s n x i.e. 57 2.3 There is a probaility of round about 68% that the calculated means for the n measured values under the normal distribution with parameters and will be in a n region round . With a probability of 95% they are in a region of the width 2 round . Folie 16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Man hat Verabredungen wie man mit der Unsicherheit umgeht There are rules to handle with uncertainty. Meaning of the Result result of the measurement Gibt es denn gar keine Gewissheit ?? Is there any certainty? Gedankenexperiment: Ho gilt. Thought experiment: Ho is valid 20 Forscher testen, 19 können Ho nicht ablehnen. 20 scientists, they keep Ho 1 Forscher hat zufällig ein signifikantes Ergebnis, er kann nichts dazu, wenn er nun den alpha‐Fehler begeht. One scientist has accidentally a significant result, so he slipped up the error of type 1. n x x Such a mean is the measured an calculated mean , also called q . s we know neither nor but we estimate this with the standard error n n and with 95% in the s ‐region round 2 n We hope in reverse that the true x wth an probability of 68% will be in the s n ‐region With growing up n we will be better and more accurate. If you see on a measuring tool the declaration for single measured values. a , so this is the Folie 14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Messungen auswerten x s n Mess‐Ergebnis g measurement result 95%. Konfidenzintervall my liegt hoffentlich darin we hope, my is in the confidence interval Aber Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Alle empirischen Wissenschaften haben die gleichen Probleme evaluation of the collected data Wahrheit truth Später wird seine H1 in der Fachwelt nicht mehr bestätigt, die anderen 19 können froh sein, dass sie nichts behauptet haben, was falsch ist. Aber er eine hat sich korrekt verhalten. But other sientists will not confirm H1, but he Folie 17 does‘nt work wrong. The 19 are glad, that they nothing accepted. Pech gehabt, tough luck All empirical working sciences have the same problems problems. In the inference statistics we learn the rules. In der Beurteilenden Statistik lernt man die Regeln. Namen auch: Inferenzstatistik, schließende Statistik, Induktive Statistik Folie 15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de Folie 18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de 3