(04) Zum Themengebiet Rationale Zahlen

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(04) Zum Themengebiet Rationale Zahlen
(Jahrgangsstufe 7)
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
Wetterkarte
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
In einer Wetterstation wird die Temperatur mit Hilfe eines Temperaturschreibers festgehalten:
(aus: Mathematik heute 7)
a.
b.
c.
Was bedeuten die schwarzen und roten Zahlen auf dem Thermometer?
Lies die höchste und die niedrigste Temperatur ab.
Lege eine Tabelle für verschiedene Zeitpunkte an und notiere die zugehörigen Temperaturen.
Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe:
Weglassen der Fragestellungen und stattdessen folgende Fragen:
"Welche Information kann man der Karte entnehmen?", "Was bedeutet -12°C?", ...
Eine Alternative zu diesem Impuls wäre der folgende Vorschlag von Herrn M. Arendt
(Gesamtschule Am Obersberg): "Jens wollte unbedingt die Tagesschau sehen. Er
hat sich aber verspätet. Als er den Fernseher einschaltet, bekommt er leider nur
noch mit: Dies bedeutet ein Fallen um 7°.
Dies könnte ohne Fragestellung gegeben werden oder mit der Frage "Gib 5
Möglichkeiten an, wofür sich Jens so brennend interessierte und wie die Werte
vorher bzw. nachher waren."
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Als Ergänzung zum Einstieg in dieses Themengebiet noch folgende Anregung von
Herrn H. Massie (Gesamtschule Am Obersberg):
Betrachte die beiden Wetterkarten.
Überlege Fragen. Notiere auch die Antworten.
Eignung:
• explorierender Einstieg in die UE
• Entwicklung inhaltlicher Vorstellungen für negative Zahlen
• Horizontale Vernetzung (Alltag, Physik: Kältemischungen)
• GA/PA
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Negative Zahlen im Alltag
Möglicher Einstieg:
Im UG wird über das Thema "Negative Zahlen" gesprochen, dabei werden Beispiele
genannt und über das Vorkommen solcher Zahlen im Alltag der Schüler diskutiert
(z.B.: "Wo kommen solche Zahlen tatsächlich vor?").
Die Schüler sollen sich nun selbst überlegen, wie man wohl mit diesen Zahlen
rechnet (zunächst Addition und Subtraktion).
z.B. (an der Tafel): "(-7)+(+10)=?", hier können die Schüler auch selbst Aufgaben
formulieren ("Schreibt Euch eine Aufgabe auf. Erklärt, wie man sie rechnen soll und
versucht zu begründen, warum so und nicht anders gerechnet wird"). Im Plenum
werden dann die Rechenwege vorgestellt und diskutiert. Auf diese Weise können die
Schüler Vorerfahrungen (aus dem Alltag und im Umgang mit natürlichen Zahlen und
Brüchen) einbringen.
Die Schüler könnten an dieser Stelle auch selbst Aufgaben stellen, wodurch eine
Selbstdifferenzierung möglich wird.
Auch das Problem: "Wie multipliziert man zwei negative Zahlen?" soll durch die
Schüler selbst gelöst und begründet werden: "Wie würdet Ihr (-2)⋅ (-3) berechnen?
Begründe!"
Eine Möglichkeit wäre hier, den Schülern mit Hilfe des Permanenzprinzips die Regel:
"Minus mal Minus gibt Plus" verständlicher werden zu lassen, dies kann z.B. über
Gleichungsketten geschehen.
Ein zentrales Ziel ist es, dass die Schüler ihre Vorerfahrungen aus dem Rechnen mit
natürlichen Zahlen und Brüchen einbringen können. Viele Rechenregeln lassen sich
in das Rechnen mit ganzen/rationalen Zahlen übertragen bzw. fortsetzen
(Permanenzprinzip). Dies sollte bewusst thematisiert werden und dabei
Vorstellungen bei den Schülern entwickelt werden.
Daher kommt der Phase des Vergleichs und der Diskussion über die
Schülervorschläge eine zentrale Bedeutung zu.
An einigen Stellen kann der Einsatz des Taschenrechners vernünftig sein, dabei
natürlich auf sinnvolle Genauigkeit achten.
Eine äußere Form, die diesen Vorschlag komplettieren könnte, wäre eine Art
Regelheft, in dem alle in dieser Einheit erarbeiteten Regeln beim Rechnen mit
ganzen/rationalen Zahlen festgehalten werden (samt Herleitung und Begründung).
Eignung:
• Explorierender Einstieg in die UE
• Horizontale Vernetzungen
• GA/PA
• An einigen Stellen evtl. TR-Einsatz
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Spiel
Dies ist ein Vorschlag von Frau A. Herzog (Albert-Schweitzer-Schule), das Spiel wird
von Herrn D. Terörde (Christian-Rauch-Schule) seit Jahren zur Einführung in das
Themengebiet "Rationale Zahlen" eingesetzt.
Das Spiel besteht aus einer Drehscheibe, 50 Gutscheinen und 50 Schuldscheinen.
Anzahl der Spieler: max. 4 Schüler pro Gruppe, wovon jeder jeweils zu Beginn 5
Gutscheine hat, die restlichen Scheine sind in der Bank.
Spielregel: Man darf nur eine Sorte Scheine auf der Hand haben !
1. Phase: Es wird nur gespielt (Dauer: ca. 1 Stunde)
Dabei kommt es zu Situationen, in denen die Schüler Operationen ausführen
müssen, die sie eigentlich nicht ausführen können (z.B. besitzen sie 5 Gutscheine,
sollen aber 8 Gutscheine abgeben). Dann können sie sich wie folgt helfen: über eine
Nulloperation – bei der Bank werden 3 Gut- und 3 Schuldscheine (also insgesamt 0)
genommen und die 3 Gutscheine zusätzlich abgegeben. Dieser Trick sollte von den
Schülern selbst gefunden werden, muss aber notfalls von der Lehrperson ins Spiel
gebracht werden.
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2.Phase: Spielen und den Spielverlauf protokollieren
Stand
Gedreht
Ergebnis
5 Gutscheine
gib 8 Gutscheine
3 Schuldscheine
3 Schuldscheine
nimm 2 Schuldscheine
5 Schuldscheine
5 Schuldscheine
nimm 3 Gutscheine
2 Schuldscheine
2 Schuldscheine
nimm 5 Gutscheine
3 Gutscheine
Usw.
Im Laufe der Zeit entwickeln die Schüler dann erfahrungsgemäß eine kürzere
Protokollform, z.B.
(+5)
Gib (+8)
(-3)
(-3)
Nimm (-2)
(-5)
Noch kürzer ist dann, statt "Nimm" und "Gib" "+" und "-" zu verwenden.
An dieser Stelle wird dann auf den Unterschied zwischen Vorzeichen und
Rechenzeichen eingegangen.
3. Phase: Ein Spielprotokoll wird vorgegeben, die Schüler sollen fehlende Werte
ergänzen (mit Begründungen)
U.E. lässt sich mit diesem Spiel hervorragend auf enaktiver Ebene die Addition und
Subtraktion ganzer/rationaler Zahlen einführen.
Eignung:
• Einstieg in die Addition/Subtraktion ganzer Zahlen
• Begründungen
• GA/PA
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Umkehraufgaben
Quelle: Winter, H.: Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. In:
mathematik lehren (Heft 2, 1984), S.14
Was kann man alles für –20 (...) sagen? Oder: Was ist gleichwertig mit –20 (...)?
-20 = (-12) + (-8); -20 = (+10) - (30); -20 = (-4) ⋅ (+5); -20 = (+80) : (-4); ...
Oder: Gib 10 Möglichkeiten an, das Ergebnis –4,7 zu erhalten.
Auf Vorschlag von M. Arendt (Gesamtschule Am Obersberg) noch zwei weitere
Aufgaben in diesem Stil - es lassen sich leicht weitere selbst erfinden:
• Bei einer Kettenaufgabe aus 10 Gliedern mit unterschiedlichen Zahlen soll am
Ende das Ergebnis –244 herauskommen.
• Ein Kontostand ändert sich von 53,90 DM auf 74,90 DM. Zwischendurch
wurden 8 Buchungen (darunter auch 2 Lastschriften) vermerkt.
• ...
Eignung:
• Produktives Üben zum Rechnen mit ganzen Zahlen
• Zielumkehraufgabe
• Durcharbeitungsphase oder Lernzielkontrolle
• GA/PA
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Terme
Quelle: Herget, W.: Die etwas andere Aufgabe, in: mathematik lehren 81, S.66
Versuche bei dem Term (+19) - (-11) - (+13) - (-17) durch das Setzen von
zusätzlichen Klammern möglichst verschiedene Ergebnisse zu erreichen.
Oder: Entwirf eigene Terme, die durch zusätzliche Klammern verschiedene
Ergebnisse erreichen.
Eine mögliche Abwandlung wäre: jetzt Veränderung der Rechenzeichen erlaubt.
Die Schüler könnten sich auch gegenseitig Aufgaben dieser Art stellen.
Eignung:
• Produktives Üben zum Rechnen mit ganzen Zahlen
• Durcharbeitungsphase oder Lernkontrolle
• Zielumkehraufgabe
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