La géométrie comparée et la géométrie sacrée

La géométrie comparée et la géométrie sacrée
L'Oratoire de
Germigny
(IXème siècle)
Yvo Jacquier -------------------------------------------------------------------------------------
LA GÉOMÉTRIE COMPARÉE
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Yvo Jacquier © Géométrie comparée
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IXème siècle
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INTRODUTION
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Le quadrillage
Avec le quadrillage, à partir de Pythagore tout devient nombre... Cette grille permet de
rapporter toutes les figures à une unité, et alors de traduire leurs mesures en langage
humain. Mais ce n'est pas le seul avantage de cet héritage paléo-antique. L'identification
du quadrillage est un gage de validité pour l'étude. Sans entrer dans les méandres de la
technique, on peut résumer les choses comme suit : une composition est un ensemble de
calques qui développent chacun leur thème géométrique. Par le quadrillage, toutes les
figures se retrouvent liées entre elles de façon précise. Changer la taille d'un seul cercle
reviendrait à changer la taille de l'unité, et donc de l'ensemble (y compris les
placements)... Les figures des différents calques sont liées entre elles. En fait on identifie
le quadrillage avec l'ensemble d'un système dans lequel chaque élément dépend du reste
de la composition. Il est dans ces conditions très difficile de tricher, même avec la
complaisance de l'épaisseur des traits. Enfin il y a toujours, au final, le “crash test” qui
consiste à rajouter un ou deux pixels à l'unité pour constater l'incidence Le système
explose littéralement, plus rien ne colle. La composition est une forme d'intelligence...
Le plan au sol en architecture
Il est difficile de venir à bout du préjugé selon lequel l'architecture serait moins libre
que la peinture. Ce n'est en tout cas pas vrai pour les plans au sol qui ne subissent de la
pesanteur et des matériaux que les contraintes d'assise du bâtiment. Ce n'est pas pire
que les contraintes de la représentation ! Exemple entre tous, le plateau de Gizeh nous
offre un propos des plus abstrait. Tout le savoir de l'Égypte est concentré en trois
carrés : les empreintes au sol des pyramides. L'interprétation n'en est que plus difficile,
puisqu'aucun élément figuratif ne laisse de prise au discours. Cependant cet embarras
concerne celui qui étudie, et pas ceux qui ont créé le site !
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L'intérêt de Germigny
La première étude réduisait le plan au sol de l'oratoire de Germigny à une logique de
proportions très sommaire (par ailleurs dénoncée !). Or les constructeurs du MoyenÂge occidental avaient, comme les peintres, un très haut niveau de géométrie sacrée.
Ce savoir échappait notamment aux risques de l'Iconoclasme qui sévissait à l'Est, à
Byzance... Sans entrer dans le détail de cette grande fresque historique, l'on a avec
l'architecture de Germigny un excellent complément au livre de Kells, produit en ce
même IXème siècle. Certaines approches de la construction géométrique offrent même
de troublantes coïncidences. Mais le principal intérêt de cet oratoire est dans son
système de composition : les figures de base de la géométrie sont ici exposées, depuis
le triangle jusqu'à l'octogone, parachevées d'une référence au nombre d'or.
L'évolution de la recherche
La première étude remonte à plus de deux ans. À cette époque, la réhabilitation du
nombre d'or était au centre des préoccupations : son statut malmené de toutes parts le
réclamait. Une fois l'histoire de Pythagore reconstituée, la recherche s'est orientée vers
les civilisations pré-égyptiennes et mésopotamiennes du quatrième millénaire. Deux
pratiques parallèles s'y révèlent, douées d'une même pratique géométrique mais fondant
leurs développements sur deux valeurs distinctes : la racine de trois pour la
Mésopotamie, et le nombre d'or pour l'Égypte. Or ces deux courants se retrouvent unis
en ce Moyen-Âge où la géométrie sacrée devient dialogue entre ces deux valeurs.
Le document de travail
Pour mieux situer le sujet de cette étude,
rapportons-nous au site très bien documenté
de Jean-François BRADU, à Orléans,
Professeur agrégé d'histoire-géographie :
http://jfbradu.free.fr/mosaiques/germigny/
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LE QUADRILLAGE
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L'unité du quadrillage
Le moyen le plus sûr, celui qui donnera les résultats que
l'on est en droit d'attendre avec la multiplication de cette
unité, consiste à la caler entre les piliers. Ils ne sont pas
identiques sur le plan et pourtant, le chemin qui les sépare
fait la même largeur dans les deux sens N/S et E/O.
La croix grecque - didactique
Soit un carré de coté 1. Largeur = Hauteur = 1.
L'on peut diviser cette unité par le Nombre d'Or.
φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618 avec cette propriété :
φ2 = φ + 1 qui revient à dire 1/φ = φ - 1
L'on trace un rectangle doré de hauteur H=1, et
de largeur L = 1/φ . Par construction H = L x φ
Le trait vertical qui se place est à φ - 1 ≈ 0,618 du bord gauche.
Cette opération, division dorée du carré, peut être réalisée 4 fois. Verticalement : 2 fois
comme sur le visuel. Idem horizontalement. Cette figure de référence est celle de la
classique Croix Grecque. Le '1' de ce paragraphe est une convention (didactique).
La croix grecque - Germigny
Les demi cercles, en pointillé, épousent le cercle de rayon
1. Entre deux de ces cercles N/S, il y a un rectangle doré
de longueur φ. Il paraît ici décalé parce qu'il est centré,
alors que sur le plan les cercles ne sont pas parfaitement
symétriques. Le rectangle doré trouve plusieurs fois sa
place sur le plan, alors que ni la croix grecque qui se
constitue autour du chemin, ni le quadrillage ne rendent
vraiment compte des murs dès qu'on s'écarte du centre...
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LE PENTAGRAMME
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Le système de composition de Germigny expose toutes les figures de la géométrie
depuis le triangle (3) jusqu'à l'octogramme (8). Le pentagramme occupe une place
particulière dans cette série : toutes les figures s'inscrivent dans un seul et même cercle,
parfaitement centré, et ce cercle est celui qui contient un pentagramme précis : sa
branche principale mesure exactement 5 unités de quadrillage. En d'autres termes,
toutes les figures de la géométrie s'accordent au cercle d'un pentagramme dont la
branche mesure 5 unités de quadrillage. C'est le diapason du système de composition.
Le pentagramme, diapason du système
La découverte de la composition ressemble à une enquête avec ses indices, ses mobiles
et ses armes... L'aventure comporte des erreurs, inévitables et souvent nécessaires pour
faire avancer l'enquête. L'une d'elles est rapportée en annexe.
• Premier indice : le vitrail donnant à l'est se distingue des
autres par l'angle de son ouverture : Un pentagramme ?
• Second indice : et si nous accordions les jambes du
pentagramme avec l'extérieur des murs. Auquel cas la
branche horizontale mesure cinq carreaux...
Le cercle aurait alors pour diamètre :
10 ÷ [ φ.√(3- φ) ] ≈ 5, 257 311 valeur assez ’abstraite‘...
Elle s'approche d'une autre de : √5 + 3 ≈ 5, 236 068
La différence est de 2,1 % en valeur absolue (carreau) et de 4‰ en valeur relative.
Ce vocabulaire numérique est homogène. Le pentagramme se réclame du 5 autant que
le 3 trouve un développement avec √3. Le 5 humain fait face au 3 céleste de Vénus.
Le centre du cercle se situe au milieu du quadrillage de 5 carreaux sur 5. La pointe du
pentagramme s'enfonce un peu dans la fenêtre, mais nous verrons qu'il y a plus pointu
pour entrer dans ce chas.
La mensuration Nord-Sud de l'édifice semble correspondre.
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LE PRINCIPE DU SYSTÈME
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On peut décrire le système de composition de Germigny comme suit :
• Toutes les figures classiques de la géométrie vont s'inscrire tour à tour dans le
même cercle central, celui du pentagramme.
• Ensuite, chacune va produire un carré, dont le côté est égal à celui de la figure.
Par exemple le pentagramme va produire un carré avec le côté de son pentagone.
• Ce carré va alors pivoter de 45°, et se placer en position de losange.
• Le cercle circonscrit à ce carré/losange achève l'appareillage.
- L'appareillage comprend donc : figure + carré du côté + losange + cercle circonscrit
- Toutes ces lignes ont un sens concret, sur le plan de l'oratoire.
L'appareillage du pentagramme
L'écart entre deux pointes du pentagramme (ou côté du pentagone, égal à
5/φ) permet ainsi de construire une figure où le carré se fait losange en
pivotant à 45°. Cette figure répond avec grâce aux coupoles sur trompes
de l'édifice, ici soulignées de bleu clair. Ces détails sont avec les colonnes
les repères essentiels de la composition. Le principe des trompes se
rappelle symboliquement de la quadrature du cercle. Elles esquissent un
losange (carré) qui chevauche le cercle d'une coupole. L'approche de π se
faisait dans l'antiquité par un cercle de 9 sur un carré de 8 (surfaces).
Ce schéma confirme en outre que nous devons centrer toute les figures et leurs
appareillages, en dépit des légères 'asymétries du bâtiment.
Un pentagramme inversé vient compléter le premier,
puis ce binôme se duplique et s'oriente à angle droit du
premier. Dans tous les cas les branches des pentagrammes
se croisent sur les piliers.
Les angles du pentagramme soulignent l'ouverture des
absides, qui ainsi rayonnent vers le choeur. Du 5, ce
pentagramme retient la nécessité d'une ouverture.
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LES FIGURES DE BASE
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Le triangle - 3
La figure la plus simple à s'inscrire dans un cercle est un
triangle équilatéral. Si D est le diamètre du cercle de
référence (issu du pentagramme), le côté du triangle est
égal à :
√3 x D/2
≈ 4, 553
Et le cercle qui enferme le carré de côté égal au triangle
mesure :
√2 x √3 x D/2 ≈ 6, 439
Ce cercle est plus large que celui de D ≈ 5, 257
Le pentagramme nous donnait l'extérieur des murs, le triangle nous en donne l'intérieur.
Ensuite les éléments repères que sont les colonnes servent de support aux triangles. Ils
sont ici assemblés en une étoile à 12 pointes, ou double-hexagramme, et leurs lignes se
croisent entre les colonnes. Les quatre arcs en pointillés prennent appui à l'intérieur.
Enfin, les trompes sont pour moitié sur le parcours, mais sans les épouser.
Nous étudierons bientôt l'hexagramme, mais nous pouvons d'ors et déjà
nous servir du cercle de son appareillage selon la logique :
Hexagramme —> Hexagone —> Carré/losange —> Cercle circonscrit
Le cercle issu de l'hexagramme distingue dans notre étoile à 12 branches
une étoile qui en compte 8, c'est à dire autant que de colonnes. Les
‘cuspides’ jaunes de cette étoile interne sont des triangles rectangles aux
proportions 1-2-√3, et ils couvrent les ouvertures des absides.
La quadrature du cercle est ici exposée, selon les surfaces, de façon
primitive. En effet, le carré issu du triangle fait une surface de 3.(D/2)2
quand le cercle de référence mesure π.(D/2)2. On peut résumer la
symbolique en cette phrase : « 3 est la première approche de π ».
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Le carré - 4
Le carré est un cas particulier car la chaîne qui construit l'appareillage
géométrique y est réduite de moitié . La figure et son carré ne font qu'un,
et le cercle circonscrit se confond avec le cercle de référence.
Le côté mesure D/√2 ≈ 3, 717
On notera que les trompes des coupoles s'inscrivent dans le losange.
Basiques de la symbolique
Le 3 céleste et le 4 terrestre viennent ici d'exposer leur vocabulaire. Un contraste
oppose leurs deux appareillages. Le terrestre se montre simple et dépouillé (sa racine
(√4) est 2, c'est à dire un entier). La racine d'un nombre représente son origine et aussi
son mystère. La racine irrationnelle du 3 céleste en montre l'exemple.
Au contraire du 4 terrestre, le 3 céleste produit une structure à la réalité complexe. Une
étoile a 8 branches se cache dans une plus grande qui en compte 12, comme les signes
su zodiaque (partition céleste s'il en est). Ce 8 est intéressant car au sens stricte :
8 = 4.√4 = 4 x 2
La multiplication du terrestre par son inspiration... Le message que nous adresse la
figure de l'étoile est que le terrestre est au centre du développement du céleste, y
compris son origine inspirée. La vocation d'un oratoire est de l'affirmer...
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L'hexagramme - 6
L'hexagramme reprend le même discours que le triangle à propos
des murs. Le carré a cette fois pour côté la moitié du grand cercle,
et il construit le même type de figure au centre. Les colonnettes
qui agrémentaient la figure du pentagramme deviennent partie
intégrante de celle-ci.
Côté : 5 ÷ [ φ.√(3- φ) ]
≈ 2,626 555
Enfin, l'obliquité terrestre.
C'est l'inclinaison de son axe par rapport à la
perpendiculaire de l'écliptique (plan du système
solaire). L'angle trouve symboliquement son
chemin entre les colonnes par rapport à la ligne
rouge nord-sud. Coïncidence ?
L'octogramme - 8
Le côté de l'octogone, devenant celui du losange
mesure :
L = sin π/8 x D
soit :
L = [√(2-√2)] ÷ 2 x D
avec :
D = 10 ÷ [φ.√(3 - φ)]
soit :
L ≈ 2,011 8859
Le cercle fait d = √2 x L ≈ 2,845
Une fois encore, l'on constate que le choix initial
de la branche du pentagramme égale à 5 unités
conditionne des résultats surprenants : ici le côté
de l'octogone égal pratiquement à 2 (à 5‰).
C'est à l'heptagramme qu'il revient de conclure cette exposition, comme l'hexagramme
l'a inaugurée. Ces deux figures sont les plus complexes et les plus déterminantes.
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L'heptagramme - 7
L'heptagramme se déploie selon le même
principe. Toujours dans le même cercle, tracé
à la mesure de l'homme pour accueillir le
sacré, voici la signature byzantine. Le
‘propriétaire’ de l'oratoire, Théodulf, peut se
retourner dans sa tombe, il aurait peut-être dû
tourner sept fois sa langue dans sa bouche
avant de décrier la mission de l'image (il se
déclarait iconophobe) !
Théodulf a défendu avec ardeur l'intégrité de l'église, ce au service de Charlemagne,
tout en multipliant les paradoxes. Il ne voulait pas de la représentation cependant il
commandita des fresques narratives pour son église personnelle. De même il craignait
toute forme d'idolâtrie, mais il est prescrit sur les murs de penser à lui dans la prière !
Il est difficile de déterminer si la mosaïque à l'Arche d'alliance est byzantine ou
italienne de façon. En revanche l'architecture elle, est marquée par la haute école de
Byzance, cité où pendant des siècle le savoir de la géométrie sacrée s'est développé.
L'oratoire de Germigny nous livre le résultat d'une véritable réflexion de fond sur la
géométrie symbolique. Il ne s'agit pas là d'un simple exposé, sommaire ou particulier,
par d'avantage d'une somme d'habitudes nées de la pratique. Nous assistons à un cours
magistral achevé, témoignant d'une école de haut niveau. Byzance et ses icônes...
La convergence de tous les motifs, issus des
six figures complémentaires dans un même
cercle prouve la validité du système de
composition.
Le double heptagramme, parent au double
pentagramme, fait l'éloge des colonnettes de
marbre. On le croirait épinglé sur le plan par
leurs têtes.
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Et si par manque d'enthousiasme l'on doutait de la réalité de cet
heptagramme, l'une de ses lignes nous indique exactement le Nord !
Au degré près, il y a 180 possibilités sur la rose des vents. À un demi
degré, 360. À 0,25° près, on passe à 720... Or nous sommes au-delà de
cette précision ...
Rencontre de l'heptagramme et du nombre d'or
Le diamètre du cercle qui cerne le losange est
[ 10√2 x sin(π/7)] ÷ [ φ.√(3- φ) ] ≈ 3,225 908
ce qui est très proche de 2φ ≈ 3,236 068
L'écart est de
~ 1% de carreau
soit en valeur relative ~ 3,15‰
Rapporté aux mesures du plan, cet écart est
de ~ 3,6 cm, soit encore ~ 1,8 cm de part et
d'autre du cercle circonscrit au carré.
En outre, le carré vient chercher le mur ouest du bâtiment (coïncidence ?). Enfin, le
cercle proche de 2φ n'est possible que par un choix judicieux du quadrillage.
L'heptagramme s'inscrit dans un cercle qui se réclame du 5 (le cercle se cale sur un
pentagramme qui prend 5 pour mesure), et au final, son côté produit un carré dont le
cercle circonscrit est très proche de 2φ. Ce phénomène est typique de la géométrie du
nombre d'or. Et les exemples ne manquent pas qui exposent cette valeur 2φ.
Le cercle de diamètre 2φ, dit “du Pape”
• Le cercle du Pape des tarots > Annexe, Le cercle du Pape (2.φ), page 14, dans :
http://www.melencoliai.org/Rosenkranzfest/Yvo_Jacquier-Vierge_au_rosaire.pdf
• Largeur du cadre de la « Vierge de Vladimir » :
http://www.melencoliai.org/vierge-2/Vladimirskaya.jpg
• Hauteur du cadre terrestre de la « Vierge au rosaire ». Dürer - 1506 > Page 9, dans :
http://www.melencoliai.org/Rosenkranzfest/Yvo_Jacquier-Vierge_au_rosaire.pdf
• Grand cercle de « Autoportrait à la fourrure ». Dürer - 1500 > Page 14, dans :
http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_Jacquier-Autoportrait_Durer-1500-INTRO.pdf
• Les cercles de la rosace qui dessine la pyramide de Khéphren > Page 11, dans :
http://www.jacquier.org/IREM/Yvo_Jacquier-Basiques_geometrie.pdf
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RÉSUMÉ - LA CLÉ DE LA COMPOSITION
Les appareillages du pentagramme (en rouge), de
l'hexagramme (en noir) et de l'heptagramme (en bleu) sont
rassemblés sur le même visuel. Pour des raisons didactiques, il
est nécessaire de ne pas tout exposer en même temps, d'autant
qu'il manque une septième valeur pour couronner ces six
figures. Sera-t-on surpris qu'elle soit dorée ?
Le grand cercle de 3φ
Le système réunit au total six appareillages : les figures issues du
triangle, du carré, du pentagramme, de l'hexagramme, de
l'heptagramme et de l'octogramme, auxquelles s'ajoutent, en guise
de conclusion, la figure inscrite dans un cercle de 3φ, ici en bleu.
On remarquera la place du losange par rapport aux trompes.
Cette figure a des propriétés particulières que l'on devine sur le
visuel. Il nous faut les étudier, de même que les rapports de
l'hexagramme avec le pentagramme...
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LES COÏNCIDENCES DE FIGURES
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Une propriété de la figure de 3φ
Le grand carré est lié à l'octogramme comme
le grand triangle est lié à l'hexagramme :
2x4=8
et
2x3=6
Dans les deux cas, la logique réclame que les
grandes figures se dédoublent pour le montrer.
Ainsi, nous allons avoir besoin du grand carré
tel qu'il montre son lien à l'octogone : en
position intermédiaire, décalée de π/8 = 22,5°.
La septième figure que nous avons construite est liée au grand carré tel qu'il se montre,
en vert sur le visuel de droite. Le croisement des losanges bleus, du cercle de 3φ se
produit pratiquement sur le trait vert des carrés. Commençons par la partie
mathématique, décrite sur le schéma de droite.
sin π/8 = sin 22,5° = [√(2-√2)] ÷ 2
a ( 2√2 + 2 ) = D1 ÷ √2
soit : a = D1 ÷ 2 ( 2 + √2)
sin π/8 = a ÷ D2/2
soit : D2 = 2a ÷ sin π/8
D2 = [ D1 x √2] ÷ [ (√2 + 1) x √(2 - √2) ]
≈ 0, 765 367 D1
Pour
D1 = 3φ
D2 ≈ 3, 715 170
Or le côté du carré est
L = D/√2 ≈ 3, 717 480
La différence est de 2,3‰ de carreau (~ 1 cm, ou 7,7 10-4 en valeur relative)
Cette coïncidence est typique de la logique dorée. Pour exemple, les sphères internes et
externes du polyèdre de Dürer ont des expressions complexes fortement marquées par
le nombre d'or, et leur ratio D/d est proche de 5/3 à 2‰ près. Ensuite il est a remarquer
une fois de plus qu'un changement d'échelle, un autre choix que celui du pentagramme
égal à 5 unités ne donnerait rien de cela.
Symboliquement, la septième figure du système de composition, celle qui permet
d'achever la description des trompes sur le plan, vient trouver par ses croisements le
cadre du carré. Ces points “pincent” les quatre absides principales. Le nombre d'or, par
une intervention du céleste (3) vient ainsi toucher la Terre. Son statut est celui-là. φ est
le cadeau de(s) Dieu(x) à l'homme pour qu'il crée l'harmonie sur Terre. Il est logique
qu'en cette exposition d'école, une figure dorée vienne dans la concrétude de ses
propres carrés caresser l'expression la plus franche du terrestre : le grand carré.
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Les rapports dorés du Pentagramme et de l'Hexagramme
Autre coïncidence, parfaitement exacte cette fois là : le duo des
pentagrammes droit et inversé se croisent sur le carré central de
côté L = D/2. Or c'est précisément celui que l'hexagramme produit
dans son appareillage, basé sur le côté de l'hexagone.
Ainsi la forme matérielle (carré centré) de l'hexagramme
passe exactement au point d'équilibre entre pentagramme debout et
inversé. Comme souvent à propos du pentagramme, la
démonstration se fait par les angles.
Les rapports dorés du Pentagramme et de l'Octogramme
Le point rouge de la figure, appartenant au pentagramme,
permettrait de dessiner un carré autour du centre dont le côté est :
L = 5 ÷ φ3.cos 54°
≈ 2, 008 1141
Cette valeur est à rapprocher de celle du carré de l'octogramme:
L = [√(2-√2)] ÷ 2 x D avec D = 10 ÷ [φ.√(3 - φ)]
soit :
L
≈ 2,011 8859
Les valeurs sont proches à 3,8‰ de carreau (~ 1,4 cm), valeur qu'il
faut diviser par deux (selon les deux côtés du carré). Autre fait : le
pentagramme place la pointe de son pentagramme inscrit près de
la ligne de la ligne du quadrillage (4 ‰ de carreau).
LES PROPRIÉTÉS REMARQUABLES
• Le cercle qui cerne le carré/losange de l'heptagramme est proche de 2φ.
• La septième figure, inscrite dans un cercle de 3φ, croise ses carrés/losanges
sur les grands carrés qui se lient à l'octogramme.
• Ensuite, les pentagrammes se croisent sur le carré issu de l'hexagramme.
• La pointe du pentagramme interne est sur le carré produit par l'octogramme.
À chaque fois, le nombre d'or est impliqué. Comme nous l'avons vu, la symbolique fait
intervenir un large vocabulaire numérique, et chaque élément a son rôle. φ joue celui de
liant dans tous les systèmes. Cette capacité à relier les choses est un aspect essentiel de
l'harmonie et dans une certaine mesure, son secret. Cette notion s'écarte assez
franchement de celle de “proportion” à laquelle on destine sommairement le nombre
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d'or. De nombreuses proportions se démontrent dans les figures que nous avons
abordées, et φ ne semble pas prendre le pouvoir, tout au contraire : quand il intervient
c'est plus pour approcher les autres que pour tout diriger.
Nous sommes au tout début du “décodage” d'un langage oublié. L'exemple de
Germigny est particulièrement intéressant par son exposition exhaustive des figures et
des valeurs. Que signifie le processus par lequel chaque figure de base produit un
appareillage ? Quelle signification prend ce vocabulaire géométrique à chacune de ses
étapes ? Par exemple le carré de chaque figure reprend son coté, donc sa mesure, son
empreinte en quelque sorte. La forme carrée inspire la concrétude, la réalisation, le
constat dans les faits... Ensuite le cercle circonscrit au carré/losange place de concret
dans un contexte, sur une surface plus étendue et parfaitement organisée autour d'un
centre unique. Il nous faut comprendre ces enchaînements de sens et les traduire.
La précision
Elle s'applique à plusieurs réalités bien distinctes : la géométrie pure (théorique), le
dessin de plan (de l'architecte), l'architecture en dur (l'objet concret), et l'observation (la
reconstitution par la mesure). À chaque fois que nous établissons une marge théorique,
il faut se poser la question de sa recevabilité non seulement selon le cours magistral de
mathématiques mais aussi selon la concrétude du bâtiment tel qu'il a été conçu,
construit et aussi reconstitué sur un plan (après avoir vécu). Ainsi, les marges de un à
deux centimètres évoquées semblent négligeables eu égard aux méthodes de
construction du moyen-âge, mais aussi au mode de conception à la règle et au compas.
Que sert de concevoir des plans au micron quand l'exécution ne connaît que le pouce ?
Côté plan, les écarts de quelques pour mille de carreaux se fondent dans l'épaisseur du
trait. Un raisonnement plus évolué permettra d'établir pourquoi 4‰ semble une limite à
ne pas trop dépasser dans l'acceptation des coïncidences. En-deça, elles sont
considérées comme “précises”, donc justes. Au-delà elles ne le sont plus. Il semble que
la distinction/confusion des valeurs rationnelles et irrationnelles usuelles soit en cause.
Toute science appliquée est une mathématique qui maîtrise ses erreurs.
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LA CLÉ COMPLÈTE
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La première expérience consiste à rassembler
sur un même visuel toutes les figures de base,
en leur aspect le plus simple et orienté à l'est.
Quatre petites flèches apparaissent entre les
lignes qui marquent le seuil des quatre absides
principales. Comme la lumière.
La seconde opération rassemble les sept
carrés/losanges, puis les sept cercles sur le
même calque. À cette occasion, on implique
les points de repère colonnes + trompes. Du
centre vers l'extérieur : Octogramme (en vert),
Heptagramme (bleu), Hexagramme (noir),
Pentagramme (rouge), figure de 3φ (bleu),
Carré (noir), et Triangle (noir).
Enfin, les cercles plus les carrés...
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LES CERCLES
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Les grandes figures ont placé les murs et les ouvertures. Une page est ouverte, avec ses
marges obligées. Plusieurs aspects de la composition vont désormais ce conjuguer, qui
sont à l'image de la syntaxe et du vocabulaire écrits. Les valeurs des cercles, leur
diamètre, a un sens pour les “Anciens”. Pythagore n'a inventé son théorème que pour
mieux les définir. Ensuite, une suite de mots sans logique ne suffit pas. Il faut lier,
conjuguer ces valeurs pour qu'elles deviennent langage.
Les absides
La reconstitution des valeurs est possible, en
dépit de la faible définition du plan. Néanmoins
l'on gardera une réserve jusqu'à ce que ces
éléments topographiques soient approfondis. Une
première logique apparaît : la confrontation de
valeurs irrationnelles intérieures à des valeurs
rationnelles extérieures au bâtiment. La croix
dorée qui nous a permis de définir l'unité sert de
support à cet ensemble, parmi d'autres aspects.
Phi sur deux
Avec ce cercle nous découvrons un de ces autres aspects : la figure
que nous avons identifiée comme la clé de la composition ne sert
pas uniquement à distribuer des colonnes et des ‘trompes’. C'est le
châssis de cette divine machine. Ce visuel sert de transition, voire
de répit, avant d'aborder les grands fondamentaux...
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L'unité
Le cercle de diamètre ‘1’ est ici placé tel que
les arcs de cercles en pointillé apparaissent sur
le plan, en respectant leur place avec
précision. Une information complémentaire à
ce sujet est évidemment nécessaire. Voici ce
que livre le plan, tel qu'il est fourni. La légère
asymétrie de la distribution des cercles de
l'unité n'est pas sans intérêt : cela leur permet
de trouver différents points d'intersection.
Cercle du haut (est) : là où le cercle bleu de 4/3 coupe le losange noir (hexagramme-6)
Cercle de gauche (nord) : les points de croisement des losanges bleus (heptagramme-7)
Cercle du bas (ouest) : les points de croisement des losanges bleus (heptagramme)
Cercle de droite (sud) : là où le cercle vert de 3/2 coupe le losange noir (hexagramme)
Le message du Christ de Kells
Le « Christ Roi » ou Christ à la barbe rousse et aux yeux
verts entouré de quatre anges - est le folio 32 du fameux
Livre de Kells, manuscrit celte enluminé du début du IX ème
siècle. L'immense savoir Byzantin tente d'échapper à
l'Iconoclasme en se réfugiant le plus loin possible de sa
menace. La mesure du dessin s'établit par les mensurations
de l'ensemble, à savoir 3 en largeur sur 4 de haut.
Une rosace se forme au centre, sur la base du vesica piscis (deux cercles jumeaux dont
le centre de l'un se pose sur le tracé de l'autre : l'amande fait intervenir la racine de
trois). Dans ce cas, la rosace se sert déjà, comme vocabulaire d'un cercle de taille racine
de 3 (en blanc), si bien que l'amande mesure √3/2 x √3 = 3/2. Tour de passe-passe en
quelque sorte, qui transforme l'irrationalité de l'origine céleste (√3) en céleste entier (3),
ce dans la mesure de l'inspiration (2). En l'occurrence, cette inspiration est portée par le
Christ. Et que voit-on dans l'espace désigné par cette amande (vesica piscis, le corps du
poisson) ? Le corps du Christ.
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Ensuite, à l'intérieur de chaque cercle de √3 se niche un cercle de diamètre φ. Un gros
plan montre que les oreilles du Christ ne sont pas à leur hauteur habituelle, qui devrait
correspondre à celle des yeux : elles s'élèvent en quelque sorte pour se retrouver dans
l'espace qui sépare les deux cercles. Et c'est également le cas des deux pupilles du
Sauveur, dont la gauche est dans le vesica mais pas la droite... La/les bouche(s) du
Christ sont dans l'amande, ce qui est logique : en plus de son corps, il a donné sa parole.
Nous retrouvons ici le même vocabulaire sur le plan symbolique.
L'unité est le point de départ en toute chose. Dans cet Oratoire, elle
se place à l'ouest, côté fidèles, en contact avec le cercle central de
diamètre φ. Le nombre d'or est le cadeau de(s) Dieu(x) à l'homme
pour qu'il crée l'harmonie sur Terre. Côté est, c'est à dire du côté de
Dieu (à travers le prêtre), le cercle unitaire touche celui de la √3, à
savoir l'expression du mystère céleste.
La structure du 3/2
C'est la figure la plus complexe en apparence de toute l'étude... Elle
réclame un certain goût pour les mathématiques. À ceux qui ne
partagent pas cette passion, je souhaite qu'ils apprécient le vert et les
jolies figures. Pour les autres, invoquez Pythagore (ou Théodulf ?)
et calculez la hauteur de l'amande de deux cercles de diamètre 3/2
quand leurs centres sont distants de √5/2. Ça fait exactement 1.
Les carrés centraux de √5/2 et √5 distribuent ainsi en croix les
cercles de 3/2, et leur premier croisement souligne le chemin en
croix de largeur 1 qui est le point de départ à toute cette étude, mais
aussi à tout le discours architectural de cet oratoire.
Cette structure est la plus homogène et au final la plus simple de l'étude. L'édifice
semble entièrement couvert de ce maillage céleste (3) “dans la mesure de” l'inspiration
(2), et cette fois les deux valeurs dépendent de l'homme qui conçoit, qui construit et qui
consacre l'édifice à la prière. La √5, mystère humain (au sens littéral), est soumise elle
aussi à la mesure de l'inspiration. Ce mystère trouve en cette croix de neuf cercles une
merveilleuse illustration.
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Les cercles dorés
Les cercles de diamètre φ démontrent une aptitude à ‘parler’ des
seuils, des zones de passage entre les différents espaces de
l'oratoire. En outre, toutes les colonnes de marbre sont sur leur
bord. Comme souvent à propos de φ, les placements sont à
l'image de la caresse, en contact sans être collé.
Une FIGURE DE CONCLUSION
Cette image est purement abstraite, puisque débarrassée du plan.
Pourtant on y sent le bâtiment de l'oratoire tout entier, comme si
cette géométrie dessinait son aura.
Il y a dans cette contemplation l'occasion de comprendre les
arguments les plus nobles des musulmans. Ils ont abandonné la
représentation mais pas pour autant la géométrie sacrée : les
mosaïques d'Ispahan sont des livres ouverts.
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ANNEXES - Les approches écartées
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La racine de trois - cette proposition reste intéressante
Un rectangle de base 3 carreaux et de hauteur 3√3 rend compte de la
largeur Est-Ouest de l'oratoire. Dans ces conditions, son carré inscrit
placé au centre du rectangle s'aligne au trait ouest des murs de l'édifice.
À cette occasion, on se rend compte que son corps central n'est pas carré.
3√3 ≈ 5,196 152. C'est la largeur Est-Ouest théorique du
bâtiment. Le 3 céleste et la racine qui exprime son mystère
se trouvent ici unis pour rendre compte d'une grandeur.
L'architecture se met à parler selon les nombres.
Au centre de la figure, l'horizontale se pose au bord se l'ouverture au sud.
Les diagonales nous font remarquer que l'air circule entre les piliers.
Le pentagramme - première proposition
Continuons à préciser les murs extérieurs du bâtiment.
Dans cette première proposition, les jambes du
pentagramme trouvent les lignes extérieures des murs nord
et sud, et la branche horizontale celle du bras sud du
transept. Si l'ouverture de l'abside s'inspire de la pointe du
pentagramme, il en va de même pour le pentagramme
inversé, en symétrie. Cette exposition de l'ouverture à la
lumière mérite réflexion.
Cette première proposition est “presque juste”. On pourrait la supprimer et ne garder
que la bonne, mais l'occasion nous est donnée de comprendre les liens entre les
différents calques de la composition : c'est par cette comparaison que le pentagramme
va trouver sa juste place. Commençons par replacer le cercle au centre.
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QUESTIONS
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Pourquoi n'y a-t-il pas d'écrits sur la géométrie sacrée ?
Les religions sont multiples, comme les langues. Le sacré est un, comme la géométrie.
Et suite à l'expérience de l'Iconoclasme, les géomètres du sacré ont caché leur savoir
pour ne plus revivre cet anéantissement.
Tout porte à croire qu'entre les théologiens et les géomètres du sacré, les relations ont
toujours été “tendues”. Pour autant, cela ne signifie pas que les peintres et les
architectes aient jamais cherché à être en dehors de l'église et de la foi "classique". J'ai
dû défendre l'idée que Dürer n'a jamais cessé d'être catholique, faisant confiance en cela
aux historiens qui l'ont étudié et me l'ont assuré. Notamment Dr Olga Kotkova, de la
Narodni Galerie, et Thomas Schauerte, responsable du musée Dürer à Nürenberg. Vous
imaginez Rublev adepte de la Gnose ? Ou Botticelli se livrant à des danses paganisées ?
La rupture ne concerne pas l'église, l'appartenance à l'église, mais le vocabulaire : les
concepts théologiques et les valeurs de la géométrie sacrée peuvent se rejoindre sur des
points précis, mais ils ne se recoupent pas entièrement. Le Sacré a quelque chose
d'intemporel et d'universel. Et comme la géométrie, il est indéformable. Il y a
manifestement eu des erreurs chez les Égyptiens, mais Pythagore les a remises en
ordre. La théologie est au contraire, en dépit des efforts de continuité des exégètes,
cruellement temporelle, voire bio-dégradante ! On peut prôner les saintes écritures, leur
interprétation n'atteindra jamais l'objectivité des mathématiques. Le langage humain
reste précaire. C'est tout son charme quand on parle à Dieu, mais quand on parle de lui,
il faut se rappeler qu'il n'est pas ‘ergonomique’ ! Pour les anciens, les mathématiques
étaient la langue de(s) Dieu(x), et la géométrie était en place bien avant que naisse
l'écriture. Pour les géomètres du sacré, la tradition ne pouvait en conséquence pas venir
de l'écrit. La notion de l'écriture en tant que référence est une invention des théologiens.
Ils voulaient tout simplement le pouvoir... On peut comprendre alors la méfiance qu'ils
ont inspiré aux peintres et aux architectes, et le “silence de plume” qui s'en est suivi.
Les mots ont trop été sous les ordres de théologiens tyranniques, prêts à sévir à la
première occasion. Alors que les géomètres du sacré n'ont jamais allumé que des feux
de joie. Cela compte beaucoup à mes yeux.
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