Feuille d`exercices no 2 (Transformation de Fourier) - IMJ-PRG

École Polytechnique Universitaire
Analyse de Fourier
2005/2006
1ère année
Feuille d’exercices no 2 (Transformation de Fourier)
Calculs d’intégrales
Exercice 1. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer si elle est dans L1 ,
dans L2 .
1 − cos x
1
1
sin x
;
; √
;
x2 − 1
x2
|x|3/2
1 + x2
Exercice 2. On note H la fonction de Heaviside definie par H(t) = 1 pour t ≥ 0 et
H(t) = 0 pour t < 0. Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
2
e−2|x| ; H(2 − |x|); e−πx ; H(x)e−x/2 ; H(x − 3)e−3x cos x;
sin x
sin x 2 −|x|
e
; x(1+ix)
; H(x)
H(1 − |x|)(1 − 2|x|); H(x + 1)e−|x|;
x
Exercice 3. Soient fa (x) =
sin x −x
.
x e
sin(ax)
a
et ga (x) =
. Montrer que l’on a
π(x2 + a2 )
πx
fa ? fb = fa+b ,
ga ? gb = gmin(a,b) .
Exercice 4. Soient a, b > 0 deux nombres réels. Calculer les intégrales suivantes
Z +∞
Z +∞
sin(ax) sin(bx)
x2
dx
;
dx;
2
2
2
2
x2
−∞
−∞ (x + a )(x + b )
Z +∞
dx
dx avec a, b > 1/2.
a (1 − ix)b
(1
+
ix)
−∞
Exercice 5. On suppose que f est une fonction continue et C 1 par morceaux. On
suppose que f ∈ L1 et que f 0 ∈ L2 .
1) Montrer que pour x < y, on a
Z y
√
0
|f (y) − f (x)| = f (t) dt ≤ ||f 0 ||L2 y − x.
x
2) Montrer que f est uniformément continue et en déduire que f (x) converge vers
zéro quand x tend vers ±∞, puis que f ∈ L1 ∩ L2 .
3) Soit χ(x) = 1 si 0 ≤ |x| ≤ 1, χ(x) = 1 − |x| si 1 ≤ |x| ≤ 2 et χ(x) = 0 si
|x| > 2. On pose χn (x) : χ(x/n) et fn := χn f . Montrer que fn est continue, C 1
par morceaux, et que fn , fn0 ∈ L1 ∩ L2 pour tout n.
0
4) Montrer que fn0 → f 0 dans L2 et que fc
n converge uniformément. Calculer sa
b
limite en fonction de f.
5) Montrer que pour tout A > 0, on a
Z A
|u|2 |fb(u)|2 du ≤ lim ||fd
n0 ||2L2 = 2π lim ||fn0 ||2L2 = 2π||f 0 ||2L2 .
−A
En déduire que
Z
+∞
−∞
(1 + u2 )|fb(u)|2 du ≤ 2π(||f ||2L2 + ||f 0 ||2L2 ).
6) Montrer que fb ∈ L1 . Conclusion?
1
2
Applications
Exercice 6 (Échantillonage : la formule de Shannon).
Soit f : R → C dans L1 , continue, et telle que la fonction définie par xf (x) soit aussi
dans L1 . On suppose qu’il existe un nombre uc tel que pour |u| > uc , fb(u) = 0.
1) Montrer que fb est de classe C 1 .
b
2) Soit 0 < 2a < 1/uc. On définit la fonction g(u) = f(u)
sur [−1/2a, 1/2a] et on
étend g par 1/a périodicité en posant g(u + n/a) = g(u). Montrer que g est de
classe C 1 et en déduire que
X
g(u) = 2πa
f (2πna)e−2πinua ,
n∈Z
et que la convergence est normale par rapport à u.
3) Utiliser le théorème de réciprocité de Fourier pour montrer que
X
sin(x/2a − πn)
.
f (2πna)
f (x) =
x/2a − πn
n∈Z
Pour déterminer le signal f (t), il suffit donc de connaı̂tre les valeurs f (2πna).
Cependant, si l’on fait une erreur de mesure, c’est-à-dire, si l’on mesure
f (2πna) + n
au lieu de f (2πna) avec |n | ≤ , même si l’on suppose que la décroissance de f est
suffisamment rapide pour pouvoir négliger les termes d’indices tels que |2πna| > T ,
on fait une erreur dans le calcul de f de l’ordre de
X
X
sin(x/2a − πn) 1
2
≤
∼
log T
n x/2a − πn
|x/2a − πn|
π
2π|n|a≤T
|na|≤T
quand T → +∞, ce qui n’est pas satisfaisant. La suite de l’exercice montre comment
un suréchantillonage pallie cette difficulté.
4) Soit λ > 1. Soit g : R → [0, 1] de classe C ∞ , paire, telle que g = 1 sur [−1, 1] et
g(x) = 0 pour |x| > λ. Montrer que pour |u| < λ/a
X 2πna au
b = 2πa
f(u)
f
e−2πin λ g(2au).
λ
λ
n∈Z
5) Montrer que ĝ ∈ S et que
πn πX
2πna
x
−
f (x) =
f
gb
.
λ
λ
2a
λ
n∈Z
Pourquoi la convergence de cette série est-elle beaucoup plus rapide que celle de la
question 3)?
6) Montrer que si l’on remplace f (2πna), par
f˜n := f (2πna) + n
3
avec |n | ≤ , on obtient une fonction f˜ avec pour erreur
π X x
πn |f˜(x) − f (x)| ≤ −
gb
λ
2a
λ
n∈Z
≤ ||b
g ||L1
≤ ||b
g ||L1
≤ ||b
g ||L1
≤ ||b
g ||L1
≤ ||b
g ||L1
≤ ||b
g ||L1
!!
Z un (x)
πn π x
|b
g (t)| dt
−
+
g
−
b
λ
2a
λ
un+1 (x)
n∈Z
!!
Z
X π x
πn un (x)
+
gb(t) dt −
g
−
b
un+1 (x)
λ
2a
λ
n∈Z
!!
Z
un (x)
X π x
πn +
−
−
gb(t) dt gb
λ
2a
λ
un+1 (x)
n∈Z
Z
!
X un (x)
+
gb(t) − gb(un (x)) dt un+1 (x)
n∈Z
Z
!
X un (x) Z un (x)
0
+
gb (s) ds dt un+1 (x) t
n∈Z
!
Z
Z
un (x)
X un (x)
+
|b
g 0 (s)| ds dt
≤ ||b
g ||L1 +
X
n∈Z
XZ
n∈Z
un+1 (x)
un (x)
un+1 (x)
t
Z
un (x)
un+1 (x)
|b
g 0 (s)| ds dt
!
!
X π Z un (x)
0
|b
g (s)| ds dt
≤ ||b
g ||L1 +
λ un+1 (x)
n∈Z
π 0
≤ ||b
g ||L1 + ||b
g ||L1
λ
avec un (x) := x/2a − nπ/λ. On justifiera chacunes des inégalités ci-dessus. En quoi
cette méthode est-elle meilleure que l’échantillonage de la question 3)?
Exercice 7 (La formule de Poisson).
Soit f ∈ S.
P
∞
1) Montrer que Φ(x) =
et
n∈Z f (x + 2πn) est une fonction de classe C
périodique de période 2π.
2) Montrer que
X
X
X
1 Xb
f (n).
fb(2πn) =
f (n) =
f (2πn),
2π
n∈Z
n∈Z
3) Montrer que pour a > 0
√ X
X
2 2
2
π
−a2 n2
e
=
e−n π /a ,
a
n∈Z
n∈Z
n∈Z
n∈Z
X
n∈Z
n2
1
π
= coth πa.
2
+a
a
Exercice 8 (Inégalité de Heisenberg). Soit f ∈ S.
1) Montrer que
Z +∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
b 2 du ≥ 1
|f (x)|2 dx
|fb(u)|2 du.
x2 |f (x)|2 dx
u2 |f(u)|
4 −∞
−∞
−∞
−∞
4
R +∞
R +∞
Indication : montrer que −∞ |f (x)|2 dx = −2<e −∞ xf (x)f 0 (x) dx et utiliser
l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
2) Dans quel cas a-t-on l’égalité?
Exercice 9 (Comment mesurer le diamètre apparent des étoiles?).
Soit n ≥ 2 et soit f : Rn → C. On suppose que
Z
|f (x1 , · · · , xn )| dx1 · · · dxn < +∞.
Rn
Alors on définie l’intégrale
fb(u) =
Z
Rn
f (x)e−ix·u dx1 · · · dxn
où u = (u1 , · · · , un ) ∈ Rn , et où x · u est le produit scalaire
x · u = x 1 u1 + · · · + x n un .
√
1)Montrer que si f ne dépend que de ||x|| = x · x, alors fb ne dépend que de ||u||.
2) Application : pour f (x) = Y (1 − |x|), montrer que
Z 1
ˆ
f(u) =
J0 (r||u||)r dr,
0
où J0 (x) est le coefficient de Fourier d’ordre zero de la fonction θ 7→ exp(ix sin θ),
c’est-à-dire le terme constant dans le développement
X
Jn (x)einθ .
eix sin θ =
n∈Z
Le coefficient Jn (x) ci-dessus, fonction de x, définit ce qu’on appelle la fonction de
Bessel d’ordre n. On se propose de donner quelques propriétés de ces fonctions.
3) Pour x et θ fixés, développer en séries l’exponentielle exp(ix sin θ). En déduire
que pour tout x,
+∞
X
(−1)k x 2k+m
Jn (x) =
.
(k + m)!k! 2
k=0
4) Montrer que pour tout n ≥ 1 et x 6= 0,
d n
(x Jn (x))
dx
d −n
(x Jn (x))
dx
= xn Jn−1 (x),
= x−n Jn+1 (x).
5) En déduire que sur la demi-droite des réels strictement positifs, Jn a exactement
un zéro entre deux zéros consécutifs de Jn+1 .
On admet dans la suite que les fonctions Jn ont les développement asymptotiques
suivants quand x → +∞.
r
π
2
Jn (x) =
+ Rn (x),
cos x − (2n + 1)
πx
4
où Rn est une fonction telle que |Rn (x)| ≤ Cn /|x|3/2 , avec Cn ≥ 0 une constante
bien choisie.
5
6) Montrer que pour tout n ≥ 0, et pour N assez grand, la fonction Jn a exactement
un zero sur l’intervalle [N π + (2n + 1)π/4, (N + 1)π + (2n + 1)π/4], que l’on notera
xnN . Montrer en outre que lorsque N → +∞,
π
xnN = (2n + 3) + N π + O(1/N ).
4
On commencera par montrer le résultat suivant.
Si f : R → R est une fonction de classe C 1 et s’il existe t0 ∈ R et 0 < < 1 tels
que pour tout t ≥ t0 ,
p
|f (t) − cos(t)| ≤ ,
|f 0 (t) + sin(t)| < 1 − 2 ,
alors pour tout entier k ≥ t0 /π, la fonction f s’annule exactement une fois sur
l’intervalle [kπ, (k + 1)π] en un point xk . De plus, on a l’estimation suivante.
|xk − (kπ + π/2)| ≤ arcsin().
7) En déduire que
lim (xnN +1 − xnN ) = π.
N →+∞
8) Montrer que pour la fonction f de la question 2), on a
J1 (||u||)
ˆ
f(u)
=
.
||u||
9) Soit a > 0. On note fa (x) = f (x/a). Montrer que la réunion des zéros de fˆa
forme une union dénombrables de cercles concentriques dont on peut ordonner les
rayons en une suite croissante rn . Montrer que l’écart rn+1 − rn entre deux rayons
consécutifs converge quand n tend vers l’infini vers une limite que l’on calculera.
10) En déduire une méthode pour mesurer le diamètre d’une étoile.
Commentaire. Une des difficultés rencontrée quand on observe des astres lointains depuis un télescope terrestre, en dehors de leur faible luminosité, vient de ce
que leur lumière doit d’abord traverser une importante couche d’air qui perturbe
le signal reçu. Pour réduire cet inconvéniant, on installe maintenant les grands
telescopes en altitude, et de préférence dans des déserts, bien sûr par souci de
rentabilité, afin d’optimiser le nombre de nuits claires, mais aussi parce que l’air
des déserts, très sec, est plus stable que celui des régions tempérées. Malgré ces
précautions, le signal reçu reste toujours perturbé par les fluctuations inévitables
de l’atmosphère, ce qui ferait acroire que la méthode décrite ci-dessus est irréaliste.
En effet, si par exemple l’observation se fait en prenant une photographie de longue
pose, chaque point de la source ne donnera pas lieu sur la pellicule photographique
à un point, mais à une “tache”, et l’on ne pourra distinguer les différents cercles
de la transformée de Fourier de la photographie. Si l’on admet que cette tache est
une moyenne fonction des autres rayons lumineux voisins, le modèle le plus simple
est de supposer que la contribution de chaque rayon voisin est une fonction linéaire
de ce rayon, avec un coefficient qui ne dépend que de la position relative entre les
deux rayons, et non de la position absolu du rayon que l’on voudrait observer. On
suppose donc que la contribution du rayon f (x + y) à la perurbation du signal f (x)
au point x est de la forme Kt (y)f (x + y)dy, où Kt est une fonction inconnue qui
évolue dans le temps de manière aléatoire et où dy = dy 1 dy2 est un élément d’aire
infinitésimal. Ainsi, on modélise la perturbation du signal f due à l’atmosphère en
6
supposant qu’au lieu de recevoir le signal f (x) au point x ∈ R2 , l’astronome mesure
en réalité un signal de la forme
Z
˜
f (x) =
f (x + y)Kt (y) dy.
R2
On reconnait le produit de convolution de f avec la fonction Bt (x) := Kt (−x).
Si l’on suppose que Bt ∈ L1 (ce qui revient à supposer que les fluctuations sont
localisées : les rayons les plus éloignés de celui de f (x) ne contribuent que très peu
à la perturbation de f (x)), on en déduit que
b cb
f˜ = B
tf .
c . La
L’ensemble des zéros de fb˜ est donc la réunion de ceux de fb et de ceux de B
t
fonction Bt , bien qu’inconnue, fluctue au cours du temps. On peut raisonablement
ct varie aussi dans le temps de
penser que dans ce cas les zéros de la fonction B
manière aléatoire. Autrement dit, seuls les zéros de fb vont rester fixes. Si l’on
˜ on s’attend donc
photographie sur une longue pose la transformée de Fourier de f,
à voir apparaitre (en noir) les cercles concentriques de la fonction fˆ seule. La
transformation de Fourier a nettoyé le signal de ses fluctuations!