Chapitre 4 Calcul Vectoriel

Chapitre 4
Calcul Vectoriel
Pour représenter la réalité physique, les scientifiques ont élaboré des objets mathématiques de différents types : les longueurs, masses, températures, charges électriques
sont décrites par des nombres appelés scalaires ; les vitesses, forces, couples, champs
électriques ou magnétiques sont décrits par la donnée simultanée de plusieurs
nombres appelés vecteurs qui se composent suivant certaines règles.
Un espace vectoriel sur R est un ensemble E de vecteurs muni de deux opérations :
−
→ →
− −
→
– l’addition satisfait pour tout U , V , W ∈ E
−
→ −
→ −
→ −
→
U +V =V +U
(commutativité)
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→
(U + V ) + W = U + (V + W)
(associativité)
−
→ −
→
−
→
−
→
→ −
−
→
U + 0 = U (vecteur nul)
U + (− U ) = 0 (vecteur opposé)
−
→ →
−
– la multiplication par un scalaire vérifie pour tout U , V ∈ E et λ, µ ∈ R
−
→ −
→
−
→
−
→
λ( U + V ) = λ U + λ V
−
→
−
→
−
→
(λ + µ) U ) = λ U + µ U
−
→
−
→
λ(µ U ) = (λµ) U
−
→ −
→
1. U = U
−
→
L’exemple fondamental, noté E3 est l’ensemble R3 = { U = (x, y, z); x, y, z ∈ R}
muni de l’addition composante par composante :
(x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0, z + z 0 )
et de la loi externe
λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) λ ∈ R (x, y, z) ∈ R3
−
→
Si l’on pose ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1) alors tout U = (x, y, z) ∈ E3
s’écrit de façon unique
−
→
U = x~i + y~j + z~k
On dit que (~i, ~j, ~k) est une base de E3 et les nombres x, y et z sont les composantes
−
→
de U dans cette base.
26
L’espace E3 de la physique est constitué de points ; à tout couple (A, B) de points
−→
qu’on appelle bipoint de E3 , on associe un vecteur unique AB de E3 représenté
par une flèche d’origine A et d’extrémité B.
Quels que soient A, B, C, D ∈ E3 , on a :
−→ −−→ −→
AB + BC = AC
−→ −−→
AB = CD ⇐⇒
⇐⇒
(relation de Chasles)
(AD et BC ont même milieu)
(ABDC est un parallélogramme)
C
A
D
B
4.1 Barycentre
Soient M1 , ..., Mn n points de E3 et α1 , ..., αn ∈ R. On appelle barycentre des
points Mk pondérés par les αk l’unique point G ∈ E3 tel que pour tout P ∈ E3
n
n
X −−−→
−→ X
αk P Mk
αk =
PG
1
avec
1
n
X
En particulier pour P = G :
n
X
1
αk 6= 0
−−−→ −
→
αk GMk = 0
1
4.2 Produit scalaire
On suppose que l’on sait mesurer les angles et les longueurs.
−
→ −
→
Le produit scalaire de deux vecteurs U et V est le nombre réel
−
→−
→
−
→ →
−
U . V = U V cos( U , V )
−
→ −
→
où U et V sont les longueurs respectives des vecteurs U et V .
−
→ −
→
En particulier, si V = U ,
p−
→−
→
−
→ −
→
U .U
cos(
U
,
V
)
=
1
et
U
=
H
−
→
On écrira maintenant U = k U k
B
On notera aussi les relations :
A
K
O
−→ −−→
−→ −−→
−→ −−→
OA.OB = kOAk kOBk cos(OA, OB)
−→ −−→ −−→ −−→
= OA · OK = OB · OH
27
Exemple. En mécanique, le
−
→
travail d’une force F pour un
−
→
déplacement élémentaire ∆l
→
−
→−
s’écrit ∆W
= F .∆l ; on a alors :
Z
→
−
→−
F dl
WAB =
A
AB
Z xB
→
−
→ −
=
F (x) cos( F , ∆l) dx
F
∆l
B
xA
4.3 Propriétés du produit scalaire
−
→−
→ −
→−
→
−
→ −
→
U .V = V .U
∀ U , V ∈ E3
→
→
−
→ −
→ −
−
→−
→ −
→−
U .( V + V 0 ) = U . V + U .V 0
−
→ −
→
−
→−
→
(λ U ). V = λ( U . V )
∀λ ∈ R
−
→
−
→
k U k = 0 ⇐⇒ U = ~0
4.4 Base orthonormée
−
→ −
→ −
−
→−
→
→ −
→
Etant donnés U 6= 0 et V 6= 0 tels que U . V = 0, alors
−
→ −
→
π
−
→ −
→
( U , V ) = [π] : on dit que U et V sont orthogonaux.
2
Une base (~i, ~j, ~k) est orthonormée si et seulement si :
k~ik = k~jk = k~kk = 1 et si ~i.~j = ~j.~k = ~k.~i = 0
Dans les bases orthonormées le produit scalaire se calcule simplement en fonction
des composantes des vecteurs :
−
→
−
→
Si V = x~i + y~j + z~k et V 0 = x0~i + y 0~j + z 0~k on obtient en développant :
p
→
−
→
−
→−
V .V 0 = xx0 + yy 0 + zz 0 et en particulier k V k = x2 + y 2 + z 2
4.5 Produit vectoriel
−
→ −→ −
→ −−→
Soient U = OA et V = OB deux vecteurs de E3 .
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→
Par définition, le produit vectoriel W = U ∧ V des deux vecteurs U et V est le
−
→
vecteur W dont le module est
28
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
kW k = k U kk V k |sin( U , V )|
W
B
H
O
C
θ
A
sa direction est celle de la nor−
→
male au plan déterminé par U et
−
→
V , son sens est tel que le trièdre
−
→ →
− −
→
( U , V , W ) soit direct, c’est-àdire orienté comme le trièdre
−
−
→ −
→ →
de référence ( i , j , k ) de sorte
−
→ −
→
que l’angle ( U , V ) est à valeurs
dans [0, π] et son sinus positif.
On pourra donc écrire :
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
kW k = k U k k V k sin( U , V ) = OB.HA
= aire du parallélogramme (O, A, C, B)
= 2.aire du triangle (O, A, B)
4.6 Propriétés du produit vectoriel
−
→ −
→
−
→ −
→
(α V ) ∧ W = α( V ∧ W )
−
→ −
→
U ∧U =0
−
→ −
→
−
→ −
→
∀α ∈ R
U ∧ V = −V ∧ U
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
→
U ∧ (V + W) = U ∧ V + U ∧ W
−
→ −
→
Calculons les composantes du produit vectoriel V ∧ V 0 en fonction des composantes de ces vecteurs :
−
→
−
→
V = (x, y, z) V 0 = (x0 , y 0 , z 0 ) écrits dans la base orthonormée (~i, ~j, ~k) ;
on a d’abord :
~i ∧ ~j = ~k ; ~j ∧ ~k = ~i ; ~k ∧ ~i = ~j et ~i ∧ ~i = ~j ∧ ~j = ~k ∧ ~k = 0 et :
~j ∧ ~i = −~k ; ~k ∧ ~j = −~i ; ~i ∧ ~k = −~j puisque le produit est anticommutatif.
On obtient alors en développant (x~i + y~j + z~k) ∧ (x0~i + y 0~j + z 0~k) :
→
−
→ −
V ∧ V 0 = (yz 0 − zy 0 )~i + (zx0 − xz 0 )~j + (xy 0 − yx0 )~k
que l’on écrit aussi :
→0 y y 0
−
→ −
V ∧ V = z z0
x x0
~i − z z0
x x0
~j + y y0
~k = ~i x x0 ~j y y 0 ~k z z 0 29
4.7
Exemples de produit vectoriel :
−
→ −→
−
→
−→ −→
Le moment d’une force F = AB par rapport au point 0 : M0 ( F ) = OA ∧ AB
−
→ −→
−
→
Le moment cinétique : L = OA ∧ m V d’une masse m par rapport à O
−
→
−
→ −
→
La force de Lorentz : F = q V ∧ B sur une charge q
−
→ −
−
→
→
La force de Laplace : F = i l ∧ B sur un fil parcouru par le courant i.
4.8 Produit mixte
−
→ →
− −
→
−
→ −
→ −
→
Par définition, le produit mixte ( U , V , W ) des vecteurs U , V et W est le produit
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→
−
→
scalaire de U ∧ V et de W ; on le note : ( U , V , W ) = ( U ∧ V ).W
−
→ −
→ −
→ −
→
Posons S = U ∧ V : k S k mesure l’aire du parallélogramme
−
→ →
−
construit sur ( U , V ) et
W
−
→ →
− −
→
−
→−
→
( U , V , W ) = S .W = OS.OH
S
V
O
U
La valeur absolue du produit
mixte mesure donc le volume
du parallélépipède construit sur
−
→ −
→ −
→
U , V et W .
Par permutations circulaires, on obtient les relations :
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
( U ∧ V ).W = ( V ∧ W ). U = (W ∧ U ). V
On peut calculer le produit mixte en fonction des composantes des vecteurs :
−
→
−
→
−
→
V = (x, y, z) V 0 = (x0 , y 0 , z 0 ) et V 00 = (x00 , y 00, z 00 )
écrits dans la base orthonormée (~i, ~j, ~k) ; on obtient directement :
→ −
→
−
→ −
( V , V 0 , V 00 ) = x(y 0z 00 − z 0 y 00 ) + y(z 0 x00 − x0 z 00 ) + z(x0 y 00 − y 0x00 )
On note aussi le produit mixte :
x x0 x00 →0 −
→00
−
→ −
( V , V , V ) = y y 0 y 00 z z 0 z 00 et on a les propriétés d’anticommutativité et de linéarité :
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
( U , V , W ) = −( V , U , W )
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
( U , V , λW ) = λ( U , V , W ) (λ ∈ R)
−
→ →
− −
→
−
→ −
→ −→
−
→ −
→ −
→ −→
( U , V , W + W 0) = ( U , V , W ) + ( U , V , W 0)
30
4.9
Exemple de produit mixte
f
u
O
M
Le moment d’une force f~
par rapport à un axe de
vecteur unitaire ~u s’écrit :
−−→ ~
u
Γ∆ = (OM ∧ f).~
∆
31
Exercices
−
→
−
→
4.1. Soit deux vecteurs de E3 U = ~i + 2~j − ~k et V = 4~i − 3~k.
−
→−
→ −
→
−
→
−
→ −
→
Calculer U . V , k U k, k V k et ϕ = ( U , V ) .
4.2. Soit un triangle ABC quelconque. Démontrer que
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.
4.3. Par rapport au repère (O,~i, ~j, ~k) orthonormé direct, soit
−
→
−
→
U = (0, 3, 1) et V = (0, 1, 2) .
−
→−
→
−
→ →
−
a) Calculer U . V et l’angle ϕ = ( U , V ).
−
→ −
→
b) Déterminer les cosinus directeurs de U et V .
−
→ −
→ −
→
−
→
c) Calculer les composantes de W = U ∧ V ; puis kW k par 2 méthodes différentes.
−
→ −
→ −
→
d) Calculer le produit mixte ( U , V , W ) .
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→
4.4. Montrer que si V1 + V2 + V3 = 0 on a V1 ∧ V3 = V2 ∧ V1 = V3 ∧ V2 et
−
→
−
→
−
→
k V2 k
k V3 k
k V1 k
−
→ →
− =
−
→ →
− =
−
→ −
→ .
|sin(V2 , V3 )|
|sin(V3 , V1 )|
|sin(V1 , V2 )|
4.5. Trouver la distance du point P (4, −1, 5) à la droite passant par les points
P1 (−1, 2, 0) et P2 (1, 1, 4) .
−→ −−→
4.6. Calculer la distance Paris New-York en explicitant le produit OP .ON (voir
chap.1)
−
→
4.7. Montrer qu’un vecteur V = (x, y, z) de E3 est orthogonal au vecteur
−
→
N = (a, b, c), si et seulement si ses composantes vérifient l’équation
ax + by + cz = 0.
Quelle est l’équation d’un plan de E3 ?
Calculer la distance du point P (4, −1, 5) au plan contenant P1 = (−1, 2, 0),
P2 = (1, 1, 4) et P3 = (0, 0, 1) dont on déterminera l’ équation.
4.8. A. (Extrait SVL1 P2-05)
A. Dans l’espace vectoriel R3 rapporté à la base orthonormée (~i, ~j, ~k), on considère
~ = (1, 2, 1) et V
~ = (1, 0, c) où c ∈ R.
les vecteurs U
~ .V
~ , kUk
~ et kV
~ k en fonction de c.
A.1 Calculer le produit scalaire U
~ V
~ ) est égal à π .
A.2. Déterminer les valeurs de c pour lesquelles l’angle (U,
3
B. Chacune des expressions suivantes a-t-elle un sens ? Si oui préciser s’il s’agit
d’un vecteur ou d’un réel. Si non dire pourquoi :
a) ~u.(~v ∧ w)
~
b) ~u ∧ (~v .w)
~
c) ~u ∧ (~v ∧ w)
~
d) ~u.(~v.w)
~
e) (~u ∧ ~v ) ∧ (w
~ ∧ ~v )
f) (~u ∧ ~v).(w
~ ∧ w).
~
C. Soit les points A(3, 5, 4) , B(2, 1, 3), C(8, 5, 5) et P(1,2,3) de l’espace E3 .
−→ −
−→ −→
Calculer le produit mixte (P A, P B, P C).
Que peut-on dire des points A, B, C et P ? On justifiera la réponse donnée.
32
B. (Extrait SVL1 P2-06)
On considère dans l’espace E3 rapporté au repère orthonormé direct (O, ~i, ~j, ~k),
les points A(2, 0, 0), B(2, −2, 0) et C(2, 3, −1).
−→ −−→
a. Calculer le produit vectoriel OA ∧ OB.
b. Calculer l’aire du triangle OAB.
−→ −−→ −→
c. Calculer le produit mixte (OA, OB, OC).
−→ −−→ −→
En déduire le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs OA, OB, OC.
−−→
−−→
d. Déterminer un point D de E3 tel que OD soit orthogonal à la fois à OB et
−→
à OC.
C. (Extrait SVL1 T2-06)
Dans l’espace affine E3 rapporté à la base orthonormée (O, ~i, ~j, ~k), on considère
les points A(3, 5, 4) , B(2, 1, 3) et C(8, 5, 5) .
−→ −→
a. Calculer le produit vectoriel AB ∧ AC. En déduire l’aire du triangle A B C
−→ −→
et la mesure de l’angle (AB, AC) en radians.
b. Démontrer à l’aide du produit mixte que les points P (1, 2, 3) , A(3, 5, 4) , B(2, 1, 3)
et C(8, 5, 5) sont coplanaires.
D. (Extrait SVL1 P2-07)
Soient a, b, c ∈ R+ . Dans l’espace E3 rapporté au repère orthonormé direct
(O, ~i, ~j, ~k), représenter les points A(0, 0, a), B(b, 0, 0) et C(0, c, 0) ainsi que
le triangle ABC.
−−→ −→
−→ −−→
−→ −→
a. Calculer ~u = OB ∧ OA, ~v = OC ∧ OB, w
~ = OA ∧ OC.
~ et donner leur interprétation géométrique.
b. Calculer les nombres 21 k~uk, 21 k~vk, 12 kwk
c. Calculer en fonction de a, b et c l’aire SO du triangle ABC.
d. On considère le tétraèdre OABC avec ses trois ”faces triangles rectangles”
OAB, OAC, OBC et sa ”face hypothénuse” ABC, d’aires respectives SC , SB , SA
et SO .
Déduire la valeur du réel λ telle que : SA2 + SB2 + SC2 = λSO2 .
[
e. Calculer en fonction de a, b et c le cosinus de l’angle (non orienté) BAC.
Vérifier pour a = b = c.
−→ −−→ −→
f. Calculer le produit mixte (OA, OB, OC).
On admettra que le volume du tétraèdre est égal au sixième de celui du parallèlépipède construit sur ses sommets, ici O, A, B et C. Déduire des calculs
précédents le volume du tétraèdre OABC.
4.9. Déterminer le barycentre G du système Soleil-Jupiter. En déduire comment
un observateur extérieur au système solaire pourrait mettre en évidence l’exitence de planètes autour du Soleil. On donne : distance Soleil-Jupiter 778.106 km ;
rayon du Soleil 690000km ; rapport des masses 1/1000.
◦ • ◦ • ◦ • ◦
33