Régulation de la concentration du glucose dans le sang

Applications des mathématiques:
Régulation de la concentration du
glucose dans le sang
Mathématiques
Appliquées et
Génie Industriel
Résumé
Dans cet exemple, on modélise la régulation du niveau du glucose
dans le sang.
Domaines du génie
Biomédical, chimique.
Notions mathématiques
Système d’équations nonlinéaires.
Cours pertinents
Équations différentielles.
Auteur(es)
M.Laforest, A.Saucier.
Sommaire
1 Introduction
2
2 Modélisation
2
3 Conclusion
5
Références
5
Régulation de la concentration du glucose dans le sang
1
MAGI
Introduction
Einstien : “ Keep it simple as possible, but no simpler.”
La régulation du niveau du glucose dans le sang est essentielle au bon fonctionnement de notre organisme
car nos cellules s’en nourissent. La production de l’hormone que l’on appelle insuline fait partie des
mécanismes de régulation du glucose. L’insuline diminue le niveau du glucose dans le sang en provoquant
le stockage du glucose dans le foie et les muscles.
Chez les diabétiques, l’hyperglycémie se caractèrise par un niveau de glucose trop élevée. Ce malfonctionnement est causé par une (ou les deux problèmes suivants) :
1. un pancréas qui produit une dose inadéquate d’insuline ;
2. un foie et des muscles qui ne réagissent pas bien face à cette insuline.
2
Modélisation
Il existe plusieurs modèles de la régulation du niveau du glucose dans le sang. Remarquons que plusieurs
tests pour vérifier si vous êtes diabétique de type I, II ou pas du tout comparent votre taux de glucose
avec celui prédit par un modèle complexe comme celui-ci.
Par exemple, le modèle de Bergman
1
est le système suivant :
dI
= −0.1 (I − Ib ) + 10−3 max (0, G − Gp ),
dt
dX
= −0.03 (X − Xb ) G + 5 · 10−5 (I − Ib ),
dt
dG
= −0.03 (G − Gb ) − (X − Xb ) G + D(t),
dt


G = G(t)





X = X(t)





I = I(t)
où Gb , Xb , Ib


Gp









D(t)
le taux de glucose dans le sang.
le taux d’insuline active dans le sang.
le taux d’insuline inactive dans le sang.
sont des quantités à l’équilibre (constantes).
est le taux minimum de glucose nécessaire dans le sang
avant que le pancréas commence à produire de l’insuline.
glucose obtenu de la digestion.
Ce modèle est bien connu mais il néglige de nombreux effets. En particulier, l’insuline ”active” est un
concept fictif utilisé dans ce modèle pour distinguer entre l’insuline dans le sang et l’insuline qui n’est
disponible, à toute fin pratique, que dans le foie et les muscles pour effectuer le stockage. Malgré la
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BEQUETTE, B Wayne. 2003. Process Control . Third edition. Upper Saddle River : Prentice-Hall. p 165. LYNCH, Sandra M., BEQUETTE, B. Wayne. 2002. Model Predictive Control of Blood Glucose in Type I Diabetics Using Subcutaneous
Glucose Measurments. Proceeding of American Control Conference.
2
MAGI
Régulation de la concentration du glucose dans le sang
distinction entre l’insuline ”active” et ”inactive”, ce modèle très répandu permet de distinguer entre les
deux causes du diabète citées plus haut.
La première équation indique que l’insuline n’est produite que si le glucose G dépasse un seuil Gp .
L’insuline ”inactive” se dégrade aussi à un taux naturel si elle dépasse en quantité la valeur à l’équilibre
Ib . Cette insuline ”inactive” devient en partie de l’insuline ”active” à un taux 5 · (I − Ib ) mais une partie
de l’insuline ”active” est perdu dans le mécanisme d’évacuation du glucose. Le taux de perte de l’insuline
active par ce dernier procédé est −0.03(X − Xb ). Remarquez que la présence d’un taux élevé de glucose
accélère l’utilisation de l’insuline ”active”. Finalement, dans la dernière équation on voit, de gauche à
droite, la perte du glucose par son utilisation dans le corp −0.03(G − Gb ), sa perte grâce à la présence
d’insuline ”active”, et la contribution D(t) du système digestif.
Un second modèle, proposé par Sorenson 2 , possède 19 équations.
Un troisième modèle 3 de la régulation glucose-insuline suppose que le glucose contrôle la taux de
production d’insuline du pancréas, et que l’insuline contrôle le taux d’absorption de glucose par le foie
et les muscles. Ce modèle est schématisé ci-dessous.
t
5
t
−
t
2
4
1
3
Chaque flèche du schéma ci-dessus est associée à un terme du système d’équations différentielles suivant.
L’équation pour le taux de glucose est :
2
LYNCH, Sandra M., BEQUETTE, B.Wayne.2001. Estimation-bases Model Predictive Control of Blood Glucose in Type
I Diabetics ; A simulation study. Proceeding of IEEE 27th Annual Northeast Bioengineering Conference. p79-80
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DE GAETANO, Andrea, ARINO, Ovide. 2000. Mathematical modeling of the intravenous glucose tolérance test. Journal
of mathematical Biology. 40 : 136-138
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MAGI
Régulation de la concentration du glucose dans le sang
dG
= −(perte de glucose vers les tissus) − (perte de glucose par l’insuline)
dt
+ (contribution constante du glucose du foie)
dG
= −b1 G − b2 I G + b3 ,
dt
L’équation pour le taux d’insuline est :
dI
= −(catabolisme (absorption) de l’insuline)
dt
+ (production de l’insuline en fonction de la valeur moyenne de glucose)
Z t
b5
dI
= −b4 I +
G(s) ds,
dt
∆t t−∆t
G(t) ≡ Gb
∀t ∈ [−∆t, 0[,
G(0) = Gb ,
I(0) = Ib .
Connu
Inconnu
Ib , Gb concentration d’insuline et de glucose au repos.
G(t) concentration du glucose dans le
sang.
b1 , b2 , . . . , b5 constantes.
I(t) concentration d’insuline dans le
sang.
∆t constante.
Prédiction à partir du 3ième modèle
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MAGI
Régulation de la concentration du glucose dans le sang
Données recuiellies
T
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e
m
p
s
(
m
i
n
u
t
e
s
)
4
T
e
m
p
s
(
m
i
n
u
t
e
s
)
Conclusion
Un procédé physique peut être modélisé de plus d’une manière. L’important est de clairement identifier
les hypothèses et d’utiliser le modèle qui reproduit les processus les plus importants tout en négligeant
ceux qui le sont le moins. En génie, tout comme dans toutes les sciences, il n’existe pas de modèle
mathématique qui permet de tout expliquer. La qualité de tout modèle repose sur ses hypothèses et son
application judicieuse.
Références
[1] Andrea De Gateno, Ovide Arino. «Mathematical modelling of the intravenous glucose tolerance
test» Journal of Mathematical Biology (2000) 40 : 136-168.
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ANDERSEN, Kim E, HOJBJERRE Malene. 2003. A Bayesian Approch to Bergman’s Minimal Model. [EN LIGNE]
http ://research.microsoft.com/conference/aistats2003/proceedings/183.pdf (page consultée le 16 juin 2005)
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