Chapitre 7 La prévision des ventes

Chapitre 7 La
prévision des ventes
NRC - Gestion de clientèle - 1ère année
Document Étudiant
Jean-Alain LARREUR
1.0
Table des
matières
I - Les méthodes d'ajustement linéaire
3
1. La méthode des points extrêmes .................................................................................................. 3
2. La méthode de Mayer ou de la double moyenne .......................................................................... 5
3. La méthode des moindres carrés .................................................................................................. 6
II - La Corrélation
8
1. Le calcul du coefficient de corrélation .......................................................................................... 8
2. Le coefficient de corrélation et la prévision ................................................................................ 10
Ressources annexes
13
Les méthodes d'ajustement linéaire
Les méthodes
d'ajustement linéaire
I
La méthode des points extrêmes
3
La méthode de Mayer ou de la double moyenne
5
La méthode des moindres carrés
6
Lorsqu'il existe une tendance dans l'évolution du chiffre d'affaires, les méthodes d'ajustement
linéaire permettent de prévoir les ventes pour l'année ou les années suivantes. On utilise
l'extrapolation linéaire, parce que l'on suppose une continuité dans l'avenir de la tendance linéaire
ou du trend, en partant des données des années précédentes internes à l'entreprise, que fournit, par
exemple, le service comptabilité. On ajuste ensuite l'évolution du chiffre d'affaires par une droite
dont on calcule l'équation.
Pour faciliter les calculs ultérieurs, il est pratique d'effectuer un changement de variable. Par
exemple, nous prendrons x = 1 pour l'année N – 5, x = 2 pour l'année N – 4, jusqu'à x = 6 pour
l'année N.
1. La méthode des points extrêmes
La méthode des points extrêmes consiste à calculer l'équation de la droite d'ajustement qui
passe par le premier point et le dernier point d'une série de coordonnées (x, y).
Elle s'applique de préférence lorsque l'on constate que la variable, par exemple le chiffre
d'affaires, augmente ou diminue de façon très régulière en fonction de l'autre variable, par
exemple, le temps.
Cette méthode est la plus simple à utiliser.
3
Les méthodes d'ajustement linéaire
Exemple
Graphique Points Extrêmes
Ce graphique représentant l'évolution des ventes, les points sont bien alignés et une tendance
linéaire à la hausse se dégage. Nous pouvons donc calculer l'équation de la droite qui passe par
les points extrêmes.
Pour simplifier les calculs, on utilisera ce tableau :
Année
Chiffre
d'affaires
1
2
3
4
5
6
120
180
300
510
660
750
Le premier point de la série a pour coordonnées (1 ; 120) et le dernier a pour coordonnées (6 ;
750). Nous allons donc pouvoir calculer l'équation de la droite passant par ces deux points.
Cette équation a pour forme y = ax + b ; en remplaçant y et x par les coordonnées des deux
points, on obtient donc :
Pour résoudre ce système, nous allons soustraire la première équation à la deuxième, donc (2) –
(1).
On obtient alors :
750 – 120 = a6 – a1 + b – b
630 = a5
a = 630/5 = 126.
Pour trouver b, on remplace a par 126 dans la première équation :
120 = 126 × 1 + b
b = 120 – 126 = – 6.
L'équation de la droite d'ajustement linéaire est :
y = 126x – 6.
Pour trouver le chiffre d'affaires prévisionnel des ventes de foies gras de l'année N + 1, il suffit
de remplacer x par 7. On obtient donc :
y = (126 × 7) – 6 = 882 – 6 = 876 K€.
Le chiffre d'affaires prévisionnel des ventes pour l'année N + 1 est de 876 K€.
4
Les méthodes d'ajustement linéaire
2. La méthode de Mayer ou de la double moyenne
La méthode de Mayer consiste à découper la série de données en deux sous-séries, ce qui permet
de tenir compte de tous les points de la série. On calcule ensuite le point moyen de chaque
sous-série avant de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par ces deux points
moyens.
Méthode : Que faire en cas de nombre de points impairs
Si la série comporte un nombre de points impairs, il est préférable de prendre un point de
plus dans la deuxième sous-série pour augmenter son poids relatif, car elle est plus récente, donc
plus représentative.
Exemple
Graphique Méthode Mayer
Sur ce graphique représentant de nouveau l'évolution des ventes, nous remarquons que
contrairement au graphique vu précédemment les points sont peu alignés, mais qu'une tendance
ou un trend se dégage.
La méthode de Mayer semble donc mieux appropriée que celle des points extrêmes, car elle
utilise tous les points de la série.
Si nous coupons la série en deux, la première sous-série comportera les points 1 à 3, et la
deuxième sous-série, les points 4 à 6.
Le premier point moyen de la première sous-série s'écrit (x1, y1 ) et le point moyen de la
deuxième sous série (x2 , y2).
On calcule les valeurs des deux points moyens pour les deux sous-séries :
Pour résoudre ce système, nous allons soustraire la première équation à la deuxième, donc (2) –
(1).
On obtient alors :
773,33 – 446,66 = a * 5 – a * 2 + b – b
326,67 = 3a
a = 326,67/3 = 108,89.
5
Les méthodes d'ajustement linéaire
Pour trouver b, on remplace a par 108,89 dans la première équation :
446,66 = 108,89 × 2 + b
b = 446,66 – 217,78 = 228,88.
L'équation de la droite d'ajustement linéaire est :
y = 108,89x + 228,88.
Pour trouver le chiffre d'affaires prévisionnel de vente de l'année N + 1, il suffit de remplacer x
par 7.
On obtient donc :
y = (108,89 × 7) + 228,88 = 991,11 K€, soit 991 110 €.
3. La méthode des moindres carrés
La méthode des moindres carrés permet de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui
passe le plus près possible de l'ensemble des points de la série étudiée : il s'agit donc de la
méthode la plus précise.
C'est aussi la méthode la mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais qu'une
tendance se dégage.
Cette droite a pour équation y = ax + b avec le coefficient directeur a de la droite, qui se
calcule de la façon suivante :
Remarque
Pour déterminer b, on utilise le fait que le point moyen de la série appartient à cette droite. On
peut donc écrire y = ax + b, ce qui permet de trouver b.
Exemple
Reprenons la série précédente
La méthode des moindres carrés est la mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais
qu'un trend se dégage.
On commence par réaliser le tableau suivant :
Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés
XY
X2
-2.50 (1-3.50) - 2 6 0
(350-610)
650
6.25
420
-1.50
-190
285
2.25
3
570
-0.50
-40
20
0.25
4
690
0.50
80
40
0.25
5
920
1.50
310
465
2.25
6
710
2.50
100
250
6.25
0
0
1710 (c)
17.50 (d)
xi
yi
1
350
2
= 3.50
= 610
(a)
(b)
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
6
Les méthodes d'ajustement linéaire
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
On obtient donc :
Par définition, comme la droite d'ajustement passe par le point moyen, on a donc :
b = y – ax, soit : b = 610 – (97,71 * 3,5) = 268,02.
L'équation de la droite d'ajustement s'écrit donc :
y = 97,71x + 268,02.
Pour trouver, le chiffre d'affaires prévisionnel de l'année N +1, il suffit de remplacer x par 7.
On obtient donc :
y = (97,71 * 7) + 268,02 = 951,99 K€, soit 951 990 €.
* *
*
Selon les méthodes employées, on ne trouve pas le même résultat. Mais, puisque la droite des moindres
carrés est celle qui passe le plus près des points de la série, c'est bien cette méthode qui est la plus précise.
Il convient cependant de nuancer la précision de ces méthodes de calcul. En effet, la mercatique n'est pas
une science exacte ; elle est en fait plus proche des sciences humaines.
On peut ainsi réaliser des prévisions de vente, à court et moyen termes, fondées sur des études des
acteurs du marché : étude d'intention d'achat, remontée d'informations des vendeurs, marché test,
simulation assistée par ordinateur.
7
La Corrélation
La Corrélation
II
Le calcul du coefficient de corrélation
8
Le coefficient de corrélation et la prévision
10
1. Le calcul du coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation mesure la dépendance qui existe entre deux variables. Cette
dépendance existe lorsque les variables changent de valeur simultanément et avec une
proportionnalité à peu près constante.
Ce coefficient permet de déterminer le degré d'influence des variations de x sur les variations de
y.
Une corrélation importante permet de justifier l'utilisation de la méthode des moindres carrés
pour réaliser des prévisions.
Le coefficient de corrélation, noté r, est égal à la covariance mathématique des variables divisée
par le produit des écarts types, soit :
Pour calculer le coefficient de corrélation, on utilise le même tableau que pour la méthode des
moindres carrés en ajoutant une colonne Y2 = (yi – y)2.
Pour que les prévisions obtenues par cette méthode soient mathématiquement justes, il faut que
r soit compris entre 0,8 et 1 ou entre – 0,8 et – 1. Si r est proche de 1, la corrélation est forte ;
si r est proche de 0, la corrélation est faible.
Si deux variables ont une corrélation positive, elles évoluent dans le même sens : elles
augmentent ou diminuent toutes les deux.
Si deux variables ont une corrélation négative, elles évoluent en sens contraire : si l'une
augmente, l'autre baisse et inversement.
Exemple : Entreprise Henry Rollins
Années
CA
(en milliers
d'euros)
N-5
N-4
N-3
N-2
N-1
N
350
420
570
690
920
710
Nombre
800
d'appels
téléphoniques
410
1500
225
310
900
850
1080
1360
1810
1390
Nombre de
visites
700
Données statistiques sur les ventes du produit B
Calculons le coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre d'appels
téléphoniques
8
La Corrélation
Tableau de calcul du coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le
nombre d'appels téléphoniques
XY
X2
Y2
-260 (350-610)
-28 383,33
11 917,37
67 600
-280.83
-190
53 358,33
78 867,36
36 100
570
809,17
-40
-32 366,67
654 750,69
1 600
225
690
-465.83
80
-37 266.67
217 000,69
6 400
310
920
-380.83
310
-118 058,33
145 034.03
96 100
900
710
209.17
100
20 916,67
43 750
10 000
=
690,83
=
610
0
0
-141800 (c) 1
1 5 1 217
320,83 (d) 800
xi
yi
(a)
800
350
109,17
(800-690,93)
410
420
1500
(b)
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
Ce qui donne un coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre d'appels
téléphoniques de :
r étant proche de zéro, on peut dire que le nombre d'appels téléphoniques a peu d'influence sur
le chiffre d'affaires réalisé.
Exemple : Entreprise Henry Rollins
Calculons le coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre de visites
Tableau de calcul du coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le
nombre de visites
700
350
-498,33
(700-1198,33)
-260 (350-610) 129 566,67 248 336,11
67 600
850
420
-348,33
-190
66 183,33
121 336,11
36 100
1080
570
-118,33
-40
4 733,33
14 002,78
1 600
1360
690
161,67
80
12 933,33
26 136,11
6 400
1810
920
611,67
310
189 616,67 374 136,11
96 100
1390
710
191,67
100
19 166,67
10 000
=
610
0
0
422
(c)
= 1
(b)
XY
Y2
yi
198,33
(a)
X2
xi
36 736,11
200 820
(d)
683,33 2 1 7
800
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
9
La Corrélation
Ce qui donne un coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre de visites
r étant très proche de 1, on peut dire que le nombre de visites a beaucoup d'influence sur le
chiffre d'affaires réalisé.
2. Le coefficient de corrélation et la prévision
Lorsque le coefficient de corrélation est proche de 1, la variable x dépend de la variable y ; mais
le contraire est également vrai : la variable y dépend de la variable x. La méthode des moindres
carrés permet de faire des prévisions et de fixer des objectifs.
On peut donc mener une double analyse qui conduit à rechercher l'équation de deux droites de
tendance appelées droites de régression. On détermine l'équation des deux droites de régression
de la façon suivante
Exemple : Entreprise Henry Rollins
Calculons l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés avec x =
nombre de visites et y = le chiffre d'affaires.
Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés
XY
X2
129 566,67
248 336,11
-190
66 183,33
121 336,11
-118,33
-40
4 733,33
14 002,78
690
161,67
80
12 933,33
26 136,11
1810
920
611,67
310
189 616,67
374 136,11
1390
710
191,67
100
19 166,67
36 736,11
0
0
422
(c)
xi (Visites)
yi (C.A.)
700
350
-498,33
198,33)
850
420
-348,33
1080
570
1360
=
198.33
1
= 610
(a)
(b)
(700-1 -260 (350-610)
200 820 683,33 (d)
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
Pour calculer les coefficients de la droite de régression de y en x, on utilise les formules :
Supposons un nombre de visites de 1 000. On peut calculer le chiffre d'affaires à réaliser, soit :
0,514 × 1 000 – 5,94 = 508,06 soit environ 508 K€.
M. Rollins peut ainsi estimer le chiffre d'affaires qu'il est possible d'attendre en fixant le nombre
de visites de ses représentants à 1 000.
Calculons maintenant l'équation de la droite de régression de x en y :
10
La Corrélation
Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés
XY
Y2
129 566,67
67 600
-190
66 183,33
36 100
-118,33
-40
4 733,33
1 600
690
161,67
80
12 933,33
6 400
1810
920
611,67
310
189 616,67
96 100
1390
710
191,67
100
19 166,67
10 000
0
0
422 200 (c) 217 800 (d)
xi
yi
700
350
-498,33
198,33)
850
420
-348,33
1080
570
1360
=
198.33
1
(a)
= 610
(b)
(700-1 -260 (350-610)
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
Pour calculer les coefficients de la droite de régression de x en y, on utilise les formules :
M. Rollins peut donc fixer le nombre de visites que devront faire ses représentants pour
atteindre un chiffre d'affaires de 2 000 K€
soit : x = 1,938 × 2 000 + 16,15 d'où x = 3 892,15.
Méthode : Tableau à reproduire lors de l'étude de Cas
Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés
xi
=
yi
=
(a)
0
(b)
0
XY
X2
(c)
(d)
Y2
(a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit
(c) C'est la somme de la colonne XY, soit
(d) c'est la somme de le colonne X2 soit
*
- p. 13
Remarque
Il ne faut pas confondre corrélation et relation causale. Une bonne corrélation entre deux
grandeurs peut révéler une relation de cause à effet entre elles (la chaleur de l'été, par exemple,
a entraîné une augmentation des ventes de climatiseurs et de ventilateurs), mais pas
nécessairement.
La corrélation n'implique pas obligatoirement un lien de causalité, elle peut être due :
11
La Corrélation
– à une cause commune (c'est à dire une troisième variable non mesurée, et dont dépendent
les deux autres) : Si on compare la durée de vie des individus à la quantité de médicaments
pour le cœur qu'ils ont absorbée, on observera probablement une corrélation négative. Il serait
imprudent de conclure que la prise de médicaments pour le cœur abrège la vie des individus (en
fait, dans ce cas, la corrélation est l'indice d'une cause commune: la maladie de cœur). Le
nombre de coups de soleil observés dans une station balnéaire, par exemple, peut être fortement
corrélé au nombre de lunettes de soleil vendues ; mais aucun des deux phénomènes n'est
probablement la cause de l'autre.
– à une relation due au hasard la réussite au BTS NRC et l'horoscope.
L'existence d'une corrélation, aussi bonne soit elle, n'est jamais la preuve d'une relation de cause
à effet.
12
Ressources annexes
Ressources annexes
>
13