Plasmonique, quand l`optique rencontre les nanos Fabrice Pardo
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Plasmonique, quand l`optique rencontre les nanos Fabrice Pardo
Plasmonique, quand l'optique rencontre les nanos Fabrice Pardo Groupe de Physique des Dispositifs CNRS-Laboratoire de Photonique et Nanostructures 91460 Marcoussis X-ENS-UPS, mai 2010 [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 1 CNRS-LPN Marcoussis Domaines de recherche : Optique Quantique et NonLinéaire ●Nanostructures, Gaz d'électrons, Électronique de Spin ●Physique des Hétérostructures et Croissance ●Microfluidique et Nanostructures pour la Chimie et la Biologie ●Microélectronique et Dispositifs Photoniques ● Technologie de Semiconducteurs des Nanostructures et Analyse. ● ~ 150 p. 1000 m2 salle blanches (classe 100) Réseau National Recherche Technologique de Base [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 2 Introduction, Plan ● Les fondamentaux sont connus depuis plus de cent ans ● ● La plasmonique, source de paradoxes ● ● Maxwell + Drude Il nous est difficile d'additionner des amplitudes Calculs électromagnétiques des structures ● Les équations de Maxwell, ce n'est pas de la physique ! – écriture discrète exacte [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 3 Optique des métaux Modèle des électrons libres (Drude 1900) = 1− 1 p p i 400 0 { = 159 nm Au : p = 0.0077 { { p = 2 c / p = 1/ p opt. Permittivité complexe de l'or -400 -800 2 m = 140 nm e 0 N -1200 opt. = 9 fs m BF = = 27 fs = 3×opt. 2 Ne [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 Im th. Im exp. Re th. Re exp. 1000 3000 5000 longueur d'onde [nm] 4 Visible et proche IR 20 + Absorption interbande (transfert dans une bande de conduction supérieure) Permittivité complexe de l'or 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 Au : Etchegoin et al. J Chem. Phys (2006) Im th. Im exp. Re th. Re exp. 400 800 1200 longueur d'onde [nm] 1600 Le modèle de Drude est insuffisant dans le visible... ...mais on néglige souvent ce problème [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 5 Radio vs. Optique m = 1− 1 p p i p ≃ 20 m [15 THz] Profondeur de peau, décroissance de l'amplitude = 2 ℑn n= Radio (< 1 THz) m ≃ i p ≃ s Optique 2 n ≃ 1i 2 p s = ℑ n = coefficient d ' extinction p 2 2 =10 −11 m ≃ − 2 p m ≃ n≃i p ≃ 25 nm 2 p Au Électromagnétisme des métaux : deux situations différentes [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 6 Plasmons : plan ● ● Résonances localisées ● Plasmons de volume m = 0 ● Plasmons dipolaires (nanosphères) m 2 d = 0 ● Plasmons de surface m d = 0 − m ≫ d Modes de propagation ● Plasmons de surface ● Plasmons couplés – – Couplage antisymétrique Couplage symétrique [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 faibles pertes grand indice effectif 7 Plasmons de volume Champ électrique et polarisation, mais m = 1− 1 i p p ⇒ = 1−i durée de vie faisceau électronique Al D = 0, m = 0 p 2 = 1 p E 1 ..10 keV ℏ p ~10 eV E − ℏ p Observation d'un quantum d'énergie [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 8 Plasmons dipolaires (nanosphères) Approximation dipolaire d≪ m2d = 0 Coupe de Lycurgus (début de l'empire byzantin) d = 5-60 nm Au dans verre Technique redécouverte au 17ème en Europe Wagner et al., Nature 407, 691 (2000) Nanotechnologie byzantine diffusion/absorption [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 9 Plasmons dipolaires (nanosphères) ● Jaune d'argent (1313, Le Mesnil Villeman, Basse Normandie) Cuisson d'un cément en surface argile calcinée + sels d'argent Le métal diffuse avec la cuisson L'argile est retirée de la surface. Vers 1430 Cf. http://www.infovitrail.com/decoration/cementation.php ● Rose d'or (plus récent) Nanotechnologie médiévale diffusion/absorption [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 10 Conversion photoinduite ● Particules d'argent Jin et al. Science vol.294, 1901 (2001) Nanotechnologie photochimique du troisième millénaire [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 11 Plasmons de surface : plan ● Dioptre métallique en polarisation p (TM) ● Plasmons de surface, modes localisés (aspect quantique) ● Plasmons de surface, modes propagatifs ● Paradoxe d'Ebbesen ● Couplages de deux plasmons, modes de fente ● Paradoxes des structures résonnantes [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 12 Dioptre métallique en polarisation p (TM) ℜ [ E , H ,...×e Ondes planes inhomogènes 2 2 2 x 2 z ,m k x k z , d = d k k 2 c kz ,d kz ,m − d m kz ,d kz ,m d m 1 2 d 2 = m 2 c m i k x x±i k z , i z−i t x Hy kz ,d d kz ,d kz ,m d m 2 z 3 ondes reliées par les formules de Fresnel... [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 13 ] Dioptre métallique en polarisation p (TM) ℜ [ E , H ,...×e Ondes planes inhomogènes 2 2 x 2 z ,d = d 2 c 2 x 2 z ,m = m 2 c k k k k d 2 m k z , d k z ,m d m i k x x±i k z , i z−i t ] k z , d k z ,m − d m x Hy 2 k z,d d z ...normalisation avant suppression de l'onde incidente... [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 14 Plasmons de surface Deux ondes planes inhomogènes en polarisation TM 2 2 x 2 z ,d = d 2 c 2 x 2 z ,m = m 2 c k k k k k z , d k z ,m − d m k z , d k z ,m =0 d m d 2 x Hy m 2 k z,d d z kz ,d kz ,m =0 d m 2 2 k x = d 2 1− d −m c −1 2 d 2 c 2 ⇒ k z,d 0 Décroissance exponentielle de part et d'autre de l'interface [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 15 Plasmons de surface Deux ondes planes inhomogènes en polarisation TM d Hy m x k z , d k z ,m − d m k z , d k z ,m =0 d m d x Hy m 2 k z,d d z z kz ,d kz ,m =0 d m 2 2 k x = d 2 1− d −m c −1 2 d 2 c 2 ⇒ k z,d 0 Décroissance exponentielle de part et d'autre de l'interface [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 16 Relation de dispersion du plasmon de surface 5 =−1,≈ p / 2 d Hy Dispersion du plasmon de surface localisé 4 3 −1 [ m] 2c x 2 1 m propagatif 0 0 10 kx −1 [ m ] 2 z 2 2 k x = d 2 1− d −m c −1 20 2 d 2 c Deux régimes : localisé par kx et propagatif [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 17 Plasmons de surface, modes localisés Vide-métal : p d m ≃ −1, ≃ , ≪c d k 2 x 2 kx = −1 1 1 m c2 grands kx, grande densité d'états 5 =−1,≈ p / 2 2 Dispersion du plasmon de surface localisé 4 3 −1 [ m] 2 c 2 1 propagatif 0 0 10 kx [ m ]−1 2 20 Observables par perte d'énergie d'un faisceau électronique [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 18 Plasmons de surface, modes localisés Vide-métal : p d m ≃ −1, ≃ , ≪c d k 2 x 2 kx = 2 −1 1 1 m c2 grands kx, grande densité d'états Prévus par Ritchie en 1955, violemment contestés par D. Gabor* * invente l'holographie en 1948 Observés en 1959 [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 19 Plasmons de surface, modes localisés Forme du champ, trajectoire des électrons ? Onde plane inhomogène } ±2 k k = 2 c ⇒ k z = ±i k x , E z = ±i E x 2 2 k x≫ 2 c Déphasage de π/2 2 x 2 z ,i Trajectoire circulaire pour les modes localisés (UV) ...Trajectoire elliptique pour les modes propagatifs (rouge, IR) [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 20 Plasmons de surface, modes propagatifs 2 d 2 k x = d 2 1− −m c { −1 d k x ≃ nd × 1 c 2−m d k zd ≃ i 2− m c Indice effectif : ∣m∣≫d d Hy x m d nd × 1 ≃ nd 2−m z Confinement d'autant moins bon que ∣m∣ est grand (visible -> radio) [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 21 Même équation, autres situations ● ● ● Plasmons de surface Propagation océanique des ondes de Marconi (Zenneck 1907Sommerfeld 1909) d Phonons polaritons de surface m ● GaAs : 35 µm ● SiC : 12 µm Hy x z reststrahlen region [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 22 Chronologie plasmonique ● 300~400 : Technologie des nanosphères (Byzance) ● 1900 : Théorie de la conductivité des métaux (Drude) ● 1902 : Observation d'anomalies dans les réseaux (Wood) ● 1907 : Propagation océanique (Zenneck-Sommerfeld) ● 1941 : Théorie qualitative des anomalies de Wood (Fano) ● 1955 : Prévision des PS comme modes quantifiés (Ritchie) ● 1959 : Observation des modes de Ritchie ● 1965 : Calcul des anomalies de Wood (Hessel-Oliner) ● 1998 : Publication du paradoxe d'Ebbesen [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 23 Anomalies de Wood 1902 Angle d'incidence Angle de diffraction (lumière solaire) 1902, observation de franges noires et blanches dans le spectre de diffraction d'un réseau en polarisation p (TM) ● Interprétation par l'excitation d'un mode de surface ● Fano 1941, pôle et zéro de R ● Calculs de Essel et Oliner en 1965 ● Excitation d'un plasmon de surface [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 24 Anomalies de Wood 2008 Spectres de transmission FTIR à divers angles d'incidence CNRS-LPN C. Billaudeau et al., Appl. Phys. Lett. 92, 041111 (2008) Excitation des modes Air-métal et GaAs-métal [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 25 Plasmonique industrielle Le kx de résonance (angle θ) dépend de l'indice de la couche en interaction chimique avec le fluide Configuration de Kretschmann [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 26 La plasmonique, un sujet chaud (depuis 1998) 4 d H. Bethe Phys. Rev 66, 163 (1944) T∝ La grille est (heureusement) opaque au rayonnement microonde... [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 27 Paradoxe d'Ebbesen 4 d H. Bethe Phys. Rev 66, 163 (1944) T∝ Film métallique 2% ouverture d = 150 nm ... étonnamment transparent au rayonnement visible et IR Nature, 391 (1998) 667 [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 28 Finalement pas plus paradoxal... ...que le résonateur de Fabry-Perot : T=1 % * T = 1% = T=100% Mais les résonances d'Ebbesen sont plus compliquées à décrire [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 29 Il faut... ● ● Abandonner les réflexes ● De l'optique géométrique ● De l'électromagnétisme des conducteurs parfaits S'attendre à l'inattendu ● Un exemple : les modes MIM [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 30 Structures plasmoniques Metal-Isolant-Metal H E Métal parfait : Onde plane k = /c Onde plane k = /c Métal réel : Deux plasmons k / c Plasmons couplés Mode MIM de fort indice effectif [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 31 k ≫ /c Guidage par l'indice effectif des MIM Bozhevolnyi et al, Nature 440, 508 (2006) Champ confiné dans la zone étroite d'indice effectif élevé [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 32 Modes MIM de fort indice effectif H.T. Miyazaki, PRL 96, 097401 (2006) neff = 13 indice effectif très élevé [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 33 Les modes plasmoniques MIM nanométriques ● Sont confinés latéralement ● ● Sans limite théorique, avec limite technologique Ont un indice effectif élevé ● Expression analytique simple – ● S. Collin et al, Opt. Express 15, 4310 (2007) Résonateurs à cavité très courte Cavités de très faible volume << λ3 ● Des électrodes peuvent servir au confinement – Intérêt pour les dispositifs [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 34 Des dispositifs : photodétecteurs MSM λ=0.8 µm 5 µm LPN-CNRS F. Pardo et al, US6713832 (2000) F. Pardo et al, US7629663 (2003) S. Collin et al, APL 83, 1521 (2003) S. Collin et al, APL 85, 194 (2004) Absorption totale de la lumière, structure métallique à 50% [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 35 Structure résonnante Spectre étroit [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 36 Photodétecteurs résonnants ● Efficaces (absorption 100%) ● Spectre étroit ● Focalisent l'énergie ● Peut-on combiner des résonateurs ? ● Pour élargir la bande spectrale ● Tout en gardant une efficacité de 100% ? Yes, we can! (Oui, on peut !) [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 37 Modèle de l'or noir Combinaison de résonateurs, absorption totale de la lumière [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 38 Concentration de l'énergie ● λ = 3.200 µm Focalisation ● ● λ/50 + λ/150 Par les ondes évanescentes ● Écrans interdits ● Résonances localisées w = 0.019 µm w = 0.065 µm d = 2.500 µm Physique des amplitudes [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 39 lambda = 3200 nm lambda = 3400 nm lambda = 3600 nm lambda = 3800 nm lambda = 4000 nm lambda = 4200 nm lambda = 4400 nm lambda = 4650 nm Plasmonique ● Nouveau champ scientifique ● Nouveau champ technologique ● Combinaison de métaux et de diélectriques ● ● Nouvelles structures détectrices ● Pas toujours intuitif (sommes d'amplitudes complexes) Illustration d'un nouveau concept d'antenne ● Large bande par combinaison de résonateurs ● Intrinsèquement multispectrale Techniques numériques indispensables [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 Techniques numériques classiques ● ● Profitent de l'invariance selon z dans chaque couche ● Décompositions modale ● Matrices S ∑m f x , ye i k z ,c ,m z Méthode de Fourier selon x pour les problèmes périodiques ● ● Au point depuis 15 ans pour les structures métalliques Décomposition de Rayleigh (Floquet Bloch) dans les zones homogènes Discrétisation des équations différentielles [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 Technique RMCA Rigorous Maxwell, Constitutive Approximation ● Les équations de Maxwell, écrites avec E,B,D,H ● Sont de simples équations de conservation de flux* Équations de la topologie, pas de la physique Peuvent être écrites numériquement sans approximation – ● ● Les équations constitutives de la matière et du vide ● Sont des équations de physique élémentaire : D proportionnel à E – B proportionnel à H Sont transcrites numériquement de manière approchée – ● – Cell method (E. Tonti, PIER 32, 1-44 (2001)) – Approximation polynomiale *Dans l'espace-temps [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 Motivation RM CA Modes Diffraction Cas modal 1D Un prototype : le champ TM dans un réseau lamellaire B Mode m : Hy = Hym (x ) exp (ikzm z − iωt) Les 2 premiers modes dans B sont des plasmons couplés ± Conclusion et perspectives Motivation RM CA Modes Diffraction Cas modal 1D Un prototype : le champ TM dans un réseau lamellaire B Mode m : Hy = Hym (x ) exp (ikzm z − iωt) Les 2 premiers modes dans B sont des plasmons couplés ± Conclusion et perspectives Motivation RM CA Modes Diffraction Cas modal 1D Un prototype : le champ TM dans un réseau lamellaire B Mode m : Hy = Hym (x ) exp (ikzm z − iωt) Les 2 premiers modes dans B sont des plasmons couplés ± Conclusion et perspectives Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations de Maxwell, cas modal 1D, second groupe [Champs TM dans une zone B infinie en z ](x , z) = f (x ) exp (ikz z − iωt) −∂t D + ∇ × H = 0 iωDx − iHy kz = 0 vrai partout : Dx = Hy kωz iωDz + ∂x Hy = 0 intégration sur a segment : iω R xp+1 xp Dz + ∆Hy = 0 division par la longueur du segment : iω hDz i + 1l ∆Hy = 0 Strictement exact pour tout point xp , tout segment (xp xp+1 ) Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Trois équations discrètes exactes Trois équations : Dx = H y kz ω i ∆Hy (x ) ωl kz i hBy i − hEx i = ∆Ez ω ωl hDz i = Champ moyen sur les segments : hEx i, hBy i, and hDz i Champ échantillonné : Dx , Hy , and Ez Opérateur différence (exacte) : ∆ Strictement exact pour tout segment, mais il faut plus Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Trois équations discrètes exactes Trois équations : Dx = H y kz ω i ∆Hy (x ) ωl kz i hBy i − hEx i = ∆Ez ω ωl hDz i = Champ moyen sur les segments : hEx i, hBy i, and hDz i Champ échantillonné : Dx , Hy , and Ez Opérateur différence (exacte) : ∆ Strictement exact pour tout segment, mais il faut plus Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Trois équations discrètes exactes Trois équations : Dx = H y kz ω i ∆Hy (x ) ωl kz i hBy i − hEx i = ∆Ez ω ωl hDz i = Champ moyen sur les segments : hEx i, hBy i, and hDz i Champ échantillonné : Dx , Hy , and Ez Opérateur différence (exacte) : ∆ Strictement exact pour tout segment, mais il faut plus Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Trois équations discrètes exactes Trois équations : Dx = H y kz ω i ∆Hy (x ) ωl kz i hBy i − hEx i = ∆Ez ω ωl hDz i = Champ moyen sur les segments : hEx i, hBy i, and hDz i Champ échantillonné : Dx , Hy , and Ez Opérateur différence (exacte) : ∆ Strictement exact pour tout segment, mais il faut plus Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations constitutives d’un réseau lamellaire Équations constitutives (équations physiques) du réseau lamellaire selon x By (x ) = µy (x )Hy (x ) Dx (x ) = εx (x )Ex (x ) Dz (x ) = εz (x )Ez (x ) Bien... mais il nous faut hEx i, hBy i, and hDz i Nécessité d’une approximation, i.e. d’un modèle physique Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations constitutives d’un réseau lamellaire Équations constitutives (équations physiques) du réseau lamellaire selon x By (x ) = µy (x )Hy (x ) Dx (x ) = εx (x )Ex (x ) Dz (x ) = εz (x )Ez (x ) Bien... mais il nous faut hEx i, hBy i, and hDz i Nécessité d’une approximation, i.e. d’un modèle physique Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équations constitutives d’un réseau lamellaire Équations constitutives (équations physiques) du réseau lamellaire selon x By (x ) = µy (x )Hy (x ) Dx (x ) = εx (x )Ex (x ) Dz (x ) = εz (x )Ez (x ) Bien... mais il nous faut hEx i, hBy i, and hDz i Nécessité d’une approximation, i.e. d’un modèle physique Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Approxation polynomiale Sur tout segment homogène : Approximation simpliste : hBy i ≈ µHy , hEx i ≈ ε1 Dx , etc. Approximation polynomiale : Hy = πy (x ), Dx = πx (x ), Ez = πz (x ) Les polynômes sont continus aux discontinuités de ε nous permettent d’évaluer hBy i, hEx i et Dz évalués à partir de Hy , Dx et hEz i Écriture matricielle des équations constitutives Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Approxation polynomiale Sur tout segment homogène : Approximation simpliste : hBy i ≈ µHy , hEx i ≈ ε1 Dx , etc. Approximation polynomiale : Hy = πy (x ), Dx = πx (x ), Ez = πz (x ) Les polynômes sont continus aux discontinuités de ε nous permettent d’évaluer hBy i, hEx i et Dz évalués à partir de Hy , Dx et hEz i Écriture matricielle des équations constitutives Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Approxation polynomiale Sur tout segment homogène : Approximation simpliste : hBy i ≈ µHy , hEx i ≈ ε1 Dx , etc. Approximation polynomiale : Hy = πy (x ), Dx = πx (x ), Ez = πz (x ) Les polynômes sont continus aux discontinuités de ε nous permettent d’évaluer hBy i, hEx i et Dz évalués à partir de Hy , Dx et hEz i Écriture matricielle des équations constitutives Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Approxation polynomiale Sur tout segment homogène : Approximation simpliste : hBy i ≈ µHy , hEx i ≈ ε1 Dx , etc. Approximation polynomiale : Hy = πy (x ), Dx = πx (x ), Ez = πz (x ) Les polynômes sont continus aux discontinuités de ε nous permettent d’évaluer hBy i, hEx i et Dz évalués à partir de Hy , Dx et hEz i Écriture matricielle des équations constitutives Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Matrices des équations constitutives [[hEx i]] = [[Cx ]][[Dx ]] Approximation simpliste ... X 0 0 ... ... 0 X 0 ... ... 0 0 X ... P=0 [[hBy i]] = [[Cy ]][[Hy ]] [[Ez ]] = [[Cz ]][[hDz i]] π(x ) = π0 + π1 x + . . . + π4 x 4 ... ... ... x 0 0 x x 0 X x x x X x P=2 x x X 0 x x 0 0 x ... ... ... Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Matrices des équations constitutives [[hEx i]] = [[Cx ]][[Dx ]] Approximation simpliste ... X 0 0 ... ... 0 X 0 ... ... 0 0 X ... P=0 [[hBy i]] = [[Cy ]][[Hy ]] [[Ez ]] = [[Cz ]][[hDz i]] π(x ) = π0 + π1 x + . . . + π4 x 4 ... ... ... x 0 0 x x 0 X x x x X x P=2 x x X 0 x x 0 0 x ... ... ... Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Matrices des équations constitutives [[hEx i]] = [[Cx ]][[Dx ]] Approximation simpliste ... X 0 0 ... ... 0 X 0 ... ... 0 0 X ... P=0 [[hBy i]] = [[Cy ]][[Hy ]] [[Ez ]] = [[Cz ]][[hDz i]] π(x ) = π0 + π1 x + . . . + π4 x 4 ... ... ... x 0 0 x x 0 X x x x X x P=2 x x X 0 x x 0 0 x ... ... ... Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équation modale 3 équations de Maxwell exactes + 3 équations constitutives + 3 champs échantillonnés + 3 champs moyens = une équation aux valeurs propres c c 2 ]][[∆]][[Cz ]][[ ]][[∆]] [[Hy ]] = kzN [[Cx ]][[Hy ]] [[Cy ]] + [[ ωl1 ωl2 kzN = kz c/ω [[ 1l ∆]] n’est pas l’approximation de l’opérateur ∂∂x . . . −1 1 [[∆]] est opérateur différence exacte. . . . 0 −1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 ... −1 1 . . . Fondamentalement different du schéma des différences finies Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équation modale 3 équations de Maxwell exactes + 3 équations constitutives + 3 champs échantillonnés + 3 champs moyens = une équation aux valeurs propres c c 2 ]][[∆]][[Cz ]][[ ]][[∆]] [[Hy ]] = kzN [[Cx ]][[Hy ]] [[Cy ]] + [[ ωl1 ωl2 kzN = kz c/ω [[ 1l ∆]] n’est pas l’approximation de l’opérateur ∂∂x . . . −1 1 [[∆]] est opérateur différence exacte. . . . 0 −1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 ... −1 1 . . . Fondamentalement different du schéma des différences finies Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Équation modale 3 équations de Maxwell exactes + 3 équations constitutives + 3 champs échantillonnés + 3 champs moyens = une équation aux valeurs propres c c 2 ]][[∆]][[Cz ]][[ ]][[∆]] [[Hy ]] = kzN [[Cx ]][[Hy ]] [[Cy ]] + [[ ωl1 ωl2 kzN = kz c/ω [[ 1l ∆]] n’est pas l’approximation de l’opérateur ∂∂x . . . −1 1 [[∆]] est opérateur différence exacte. . . . 0 −1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 ... −1 1 . . . Fondamentalement different du schéma des différences finies Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Premier mode dans une fente de réseau N valeurs échantillonnées Hy (xp ), p = 1 . . . N par période c c 2 [[Cy ]] + [[ ]][[∆]][[Cz ]][[ ]][[∆]] [[Π]][[Hy ]] = kzN [[Cx ]][[Π]][[Hy ]] ωl1 ωl2 d = λ = 1µm, sin(θ) = 30 deg, N = 30 Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Erreur relative sur le premier mode d = λ = 1µm, a = 0.5µm, εm = (0.22 + 6.71 ∗ i)2 kzN,exact = 1.05071 + 0.001801i N = 18, P = 9 vs. N = 100, P = 0 plus précis, moins d’effort calculatoire Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Modes dans la zone A : Rayleigh tronqué Même discrétisation selon x dans les trois régions A, B, C Premiers modes RMCA dans la zone A = Premières ondes propagatives et évanescentes de Rayleigh Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Matrices de diffraction comme des formules de Fresnel Solution du problème des modes 2 (m) N valeurs propres kz , N vecteurs propres H (p)(m) , m = 1...N (m) Superposition des modes ±kz P (m) (m) (m) (m) Hy (xp ) = m H(p)(m) a− e −ikz z−iωt + a+ e ikz z−iωt P (m) (m) (m) (m) hEx ip = m E(p)(m) −a− e −ikz z+iωt + a+ e ikz z−iωt Continuité à l’interface A–B : Hy A = Hy B , hExA i = hExB i HA + HA SAA = HB SBA −EA + EA SAA = −EB SBA R and T Formules de Fresnel généralisées : Impédance des milieux : −1 (ZA − ZB ) HA −1 (2ZA ) HA SAA = H−1 A (ZA + ZB ) SBA = H−1 A (ZA + ZB ) −1 ZA = EA H−1 A , ZB = EB HB Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Diffraction par un réseau lamellaire Calcul classique de matrice S −1 β α α PSβBB PSα = Sα Sgrating BA AA + SAB 1 − PSBB PSBB AA Réflection spéculaire Montage de Littrow Ag, d = h = λ = 1µm, a = d/2 Lalanne, JOSA 13, 779 (1996) Granet, JOSA 13, 1019 (1996) RMCA polynomiale donne des résultats précis : erreur < 1% pour N=20 Motivation RM CA Modes Diffraction Conclusion et perspectives Conclusion La technique RMCA est conceptuellement belle, précise et efficace Les équations de Maxwell (champs E, D, B, H) : Ne sont pas des équations de la physique Sont des équations traduisant la topologie des champs et de l’espace-temps peuvent être écrites sous une forme discrète exacte Les équations constitutives sont les équations physiques : D, H ∝ E, B bien approchées, expression polynomiale non locale du champ Le calcul modal RMCA Accepte les maillages irréguliers Remplace le développement tronqué de Rayleigh par un ensemble fini de modes Fournit une expression de l’impédance de chaque zone Fournit les matrices diffraction comme des formules de Fresnel Conclusion ● Plasmonique ● Nouveau champ scientifique ● Nouveau champ technologique ● ● Physique sous-jacente simple ● ● ● A.Schuller et al., Nature Materials 9, 193 - 204 (2010) Cours X Opto-électronique – PHY564_C9 (R. Haïdar) Pas toujours intuitif (sommes d'amplitudes complexes) Électromagnétisme ● Nouvelle pédagogie ● dès le départ quadridimensionnelle [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010 Conclusion ● Plasmonique ● Nouveau champ scientifique ● Nouveau champ technologique ● ● Physique sous-jacente simple ● ● ● A.Schuller et al., Nature Materials 9, 193 - 204 (2010) Cours X Opto-électronique – PHY564_C9 (R. Haïdar) Pas toujours intuitif (sommes d'amplitudes complexes) Électromagnétisme ● Nouvelle pédagogie ● dès le départ quadridimensionnelle Merci pour votre attention [email protected] X-ENS-UPS 10 mai 2010