correction Devoir libre 25 3èmes

Devoir libre 25
 x + 5 y − 10
 2 + 3 = −1
On considère le système : 
x +3 + y + 2 = 3
 5
4
2
a) Transforme ce système afin d’avoir des coefficients entiers.
(3 x + 15) + (2 y − 20) = −6

(4 x + 12) + (5 y + 10) = 30
3 x + 15 + 2 y − 20 = −6

4 x + 12 + 5 y + 10 = 30
3 x + 2 y − 5 = −6

4 x + 5 y + 22 = 30
3 x + 2 y = −1

4 x + 5 y = 8
Attention : les parenthèses sont très importantes pour éviter toute erreur de signe !
b) Résous le système obtenu.
On procède comme dans le devoir libre 24.
−12 x − 8 y = 4

12 x + 15 y = 24
7y = 28
y=4
7 × 4 = 28
−15 x − 10 y = 5

8 x + 10 y = 16
-7x = 21
x = -3
-7 × (-3) = 21
x + 5 y − 10 −3 + 5 4 − 10
+
=
+
= 1 − 2 = −1
2
3
2
3
x + 3 y + 2 −3 + 3 4 + 2 6 3
+
=
+
= =
5
4
5
4
4 2
Le couple (-3 ; 4) est solution du système.
Un confiseur prépare deux sortes de boîtes comprenant des petits macarons et des grands.
Dans la 1ère boîte, il place dix petits macarons et quatre grands ; cette boîte est vendue 7,20 euros.
Dans la 2nde boîte, il place cinq petits macarons et six grands ; cette boîte est vendue 7,80 euros.
Soit x le prix en euros d’un petit macaron et y le prix en euros d’un grand macaron.
a) Traduis le prix de la 1ère boîte par une équation.
10x + 4y = 7,2
b) Traduis le prix de la 2nde boîte par une équation.
5x + 6y = 7,8
c) Ecris le système qui correspond au problème posé.
10 x + 4 y = 7, 2

5 x + 6 y = 7,8
d) Résous ce système.
10 x + 4 y = 7, 2

−10 x − 12 y = −15,6
-8y = -8,4
y = 1,05
-8 × 1,05 = -8,4
−30 x − 12 y = −21,6

10 x + 12 y = 15,6
-20x = -6
x = 0,3
-20 × 0,3 = -6
Avant même de faire toute vérification, on peut se faire deux remarques :
• x et y sont des nombres décimaux positifs (logique avec le fait que ce sont ici des prix) ;
• x est plus petit que y (logique aussi que les « petits » soient moins chers que les « grands »).
10 × 0,3 + 4 × 1,05 = 3 + 4,2 = 7,2
5 × 0,3 + 6 × 1,05 = 1,5 + 6,3 = 7,8
e) Conclus.
Le couple (0,3 ; 1,05) est solution du système.
Un petit macaron coûte 0,30 € et un grand 1,05 €.
Une agence de location de voitures fait payer la location en fonction du nombre de jours de
location et du nombre de kilomètres parcourus.
Simon a loué une voiture pendant trois jours et a parcouru 650 km ; il a payé 145,50 euros.
Aliksan a loué une voiture pendant quatre jours et a parcouru 580 km ; il a payé 151 euros.
Soit x le coût (en €) d’un jour de location et y le coût (en €) d’un kilomètre parcouru.
x et y sont des nombres positifs.
Pour Simon :
3x + 650y = 145,5
Pour Aliksan :
4x + 580y = 151
Combien paiera un client qui doit faire 600 km sur trois jours.
3 x + 650 y = 145,5
D’où le système à résoudre : 
4 x + 580 y = 151
Je procède ici comme dans l’exercice 2 du devoir libre 24.
4x + 580y = 151
4x = -580y + 151
x = -145y + 37,75
3 × (-145y + 37,75) + 650y = 145,5
-435y + 113,25 + 650y = 145,5
215y + 113,25 = 145,5
215y = 32,25
y = 0,15
x = -145 × 0,15 + 37,75 = -21,75 + 37,75 = 16
Vérification :
3 × 16 + 650 × 0,15 = 48 + 97,5 = 145,5
4 × 16 + 580 × 0,15 = 64 + 87 = 151
Le couple (16 ; 0,15) est solution du système.
Un jour de location coûte 16 € et un kilomètre coûte 0,15 €.
3 × 16 + 600 × 0,15 = 48 + 90 = 138
Un client qui doit faire 600 km sur trois jours paiera 138 euros.