3.2 Possible ou impossible

3.2 Possible ou impossible ?
Lors de Show Math, vous avez vu quelques œuvres de l’artiste Maurits
Cornelis Escher. Dans plusieurs de ses œuvres, il explore l’espace et la
perspective, jouant avec la représentation qu’il peut en faire sur ses
toiles. Il est très connu pour ses pavages et pour les tableaux dans
lesquels il représente des réalités impossibles. Bien qu’il n’ait pas utilisé de mathématiques avancées pour créer ses œuvres, celles-ci s’y
retrouvent abondamment.
Avec cette activité, les élèves seront amenés à réfléchir sur des illusions d’optique. Les réalisations sont-elles possibles ou impossibles ?
Quelle est la cause de l’anomalie ? Peut-on la corriger ?
Les élèves s’interrogeront donc sur différentes constructions et auront
à discuter de différentes illusions d’optique. L’activité pourrait aussi
être présentée en 4e TS pour développer la recherche d’anomalies.
Intentions de l’activité
• Faire réfléchir les élèves sur différentes illusions d’optique
• Amener les élèves à confronter leur perception
• Faire découvrir des anomalies de figures en trois dimensions dessinées
dans le plan
• Faire voir les limites de la représentation en deux dimensions d’un
monde en trois dimensions
• Présentation de la séquence Technico-sciences
Forme de la production attendue
• Échanges en équipe et en grand groupe
• Réflexions sur les figures impossibles
Concepts utilisés
• Projection et perspective de figures en trois dimensions
• Sens spatial et figures géométriques
• Description et construction d’objets en trois dimensions
Ressources matérielles
• Documentaire sur M.C. Escher (Zone Doc, Radio-Canada)
• Pour la construction du ruban de Möbius : papier, ciseaux et du ruban
adhésif
• Ressources Internet • Objets impossibles : http://www.illusions-optique.fr/objets-impossibles.html
• Vidéo sur le triangle de Penrose :
http://www.youtube.com/watch?v=W7rRk3GLNm4
• Œuvres contenant des illusions d’optique :
http://im-possible.info/english/art/index.html
• Figures ambigües : http://figuresambigues.free.fr/index.html
• Le ruban de Möbius :
http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius.shtml
http://xavier.hubaut.info/coursmath/3di/live/mobius.htm
• M.C. Escher : http://www.mcescher.com/
Présentation | 3.2 Possible ou impossible ?
Déroulement
Préparation
Pistes de différenciation
• Il peut être intéressant, à la fin de Show Math, de présenter des
bribes du documentaire sur la vie de M.C. Escher. Les élèves pourront ainsi mieux connaître l’homme et ses créations.
• Les élèves peuvent se rendre
sur différents sites qui traitent
des illusions d’optique.
• Par la suite, en petits groupes, les élèves doivent remplir le document de l’élève et réfléchir sur ce qu’ils voient.
• On peut leur demander de créer
un ruban de Möbius. Ils peuvent
en couper un à la moitié sur la
longueur et ensuite un autre au
tiers. Demander qu’ils essaient
de deviner le résultat de ce découpage avant de procéder.
Réalisation
• À la suite de leurs échanges, les élèves discutent en grand groupe
des anomalies qu’ils ont obervées. Ils peuvent également faire part
des divergences rencontrées lors de leurs discussions.
• Dans cette partie, l’enseignant sert de modérateur lors des échanges.
• Vous pouvez faire voir aux élèves qu’il existe plusieurs façons de
voir et d’interpréter les figures.
Intégration
• En congruence avec les discussions du grand groupe, l’enseignant
dirige la réflexion des élèves sur différentes pistes. Pour ce faire, il
peut s’aider du corrigé mis à sa disposition.
• Vous pouvez leur faire voir que le cerveau interprète les images en
2D et les transpose en 3D. Cette interprétation peut parfois différer
de la réalité.
Présentation | 3.2 Possible ou impossible ?
• Cette activité peut être réinvestie dans le cadre d’un cours
d’art afin de discuter sur les diverses façons d’interpréter les
œuvres d’Escher.
Nom : _________________________________________________________
3.2 Possible ou impossible ?
Tu as sûrement déjà vu des images qui
te semblent impossibles ? Souvent, elles
envoient des messages contradictoires
difficiles à déceler. Es-tu capable d’en
expliquer la cause ? Penses-tu que tu
pourrais corriger ces images ?
Lors de Show Math, vous avez apprécié quelques œuvres d’Escher.
Vous avez vu la mise en abîme de la Galerie d’estampes : une gravure
qui n’a pas été complétée par l’artiste. Vous avez peut-être même
détecté les anomalies dans d’autres œuvres d’Escher.
Voici quelques figures qui vous permettront de vous exercer à
détecter et même à corriger des anomalies.
Figure 1 : Triangle de Penrose
Correction pour rendre le triangle possible
1.
Commentez l’affirmation suivante.
« Les angles intérieurs du triangle de
Penrose mesurent tous 90°. »
2.
Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ? | 1
Figure 2 : Le cube impossible
Correction pour rendre le cube possible
3.
Quelle perspective est représentée ?
4.
Quelle est la face du devant, soit la face principale de cette figure ?
Indiquez-la et comparez votre réponse avec celle de vos voisins.
5.
Pour vous aider, cachez différentes parties du dessin
Figure 3 : Le blivet
Correction pour rendre la figure possible
6.
2 | Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ?
Figure 4 : Ruban de Möbius
Au 19e siècle, le ruban de Möbius
était utilisé dans le monde de
l’industrie : les courroies des machines pouvaient avoir cette forme
afin de permettre une usure uniforme des deux côtés.
Qu’y a-t-il de particulier avec cette image ? Est-elle possible ou impossible ?
7.
Figure 5 : Escalier de Penrose
Selon vous, si on regarde l’escalier de Penrose du
dessus, que voit-on ?
8.
Si un soldat monte la garde de cette forteresse,
en se promenant sur cette tour, montera-t-il ou
descendra-t-il l’escalier ?
➞
9.
Si on place une bille sur le coin supérieur droit de
cette figure, dans quelle direction ira-t-elle ?
10.
Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ? | 3
M.C. Escher’s « Waterfall » © 2009 The M.C. Escher Company - the Netherlands. All rights reserved. Used by permission.
http://www.mcescher.com
Figure 6 : Mouvement perpétuel
Maintenant que vous vous êtes exercés à trouver les anomalies dans
diverses figures, voici le mouvement perpétuel d’Escher.
Pouvez-vous trouver les anomalies et les relier à une ou plusieurs des
figures que vous venez de voir ?
11.
4 | Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ?
3.2 Possible ou impossible ?
Corrigé
N.B. Dans cette activité, il n’y a pas de bonnes ou de mauvaises réponses.
L’intention est de faire discuter les jeunes sur les différentes perceptions
qu’ils ont des images. Le présent corrigé n’est donc pas exhaustif, car
l’imagination des jeunes n’a pas de limite !
Figure 1 : Triangle de Penrose
Correction pour rendre le triangle possible
1.
(Page 1)
Commentez l’affirmation suivante.
« Les angles intérieurs du triangle
de Penrose mesurent tous 90°. »
2.
(Page 1)
Une façon de construire le triangle de Penrose est représentée par la figure ci-contre. En changeant le point de vue, on peut facilement créer le
triangle de Penrose. Dans cette image, tous les angles sont de 90° mais
l’objet obtenu n’est pas un triangle.
http://www.illusions-optique.fr/objets-impossibles.html
Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 1
Figure 2 : Le cube impossible
Correction pour rendre le cube possible
3.
(Page 2)
Quelle perspective est représentée ?
4.
(Page 2)
Perspective cavalière : les fuyantes sont à 30°.
Quelle est la face du devant, soit la face principale de cette figure ? Indiquez-la et comparez votre réponse avec celle de vos voisins.
5.
(Page 2)
La face principale est identifiée par un carré noir dans la figure ci-dessus.
Figure 3 : Le blivet
Correction pour rendre la figure possible
6.
(Page 2)
Deux façons parmi d’autres de corriger le blivet.
2 | Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ?
Figure 4 : Ruban de Möbius
Qu’y a-t-il de particulier avec cette image ? Est-elle possible ou impossible ?
7.
(Page 3)
Ce qu’il y a de particulier dans cette image c’est que le ruban n’a qu’une
seule face. Cette image est possible à réaliser. En effet, on peut réaliser
la construction avec une simple bande de papier, beaucoup plus longue
que large.
Retournez AB pour que A
corresponde avec D et B avec C
Pour manipuler un modèle en 3D réalisé avec le logiciel Maple, allez voir le
lien : http://xavier.hubaut.info/coursmath/3di/live/mobius.htm.
Également, on peut discuter avec les élèves de la possibilité de construire
différents rubans de Möbius. En fait, en augmentant le nombre de demi­
tours que l’on applique à la bande de papier, on peut effectivement
construire des rubans plus complexes.
Finalement, on peut demander aux élèves s’ils connaissent des sigles ou
des objets de la vie courante qui ont cette forme.
Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 3
Figure 5 : Escalier de Penrose
Vue de dessus
8.
Si un soldat monte la garde de cette forteresse,
en se promenant sur cette tour, montera-t-il ou
descendra-t-il l’escalier ?
9.
(Page 3)
Pour guider les élèves dans leur réflexion, on peut leur
demander quelle est la valeur des angles intérieurs.
(Page 3)
Si on place une bille sur le coin supérieur droit de cette figure, dans quelle
direction ira-t-elle ?
10.
(Page 3)
On peut avoir l’impression qu’une bille placée à cet endroit retombera
vers le centre de la tour. Or, si on regarde la perspective, on peut voir que
c’est un escalier dont les marches sont horizontales. La bille ne devrait
pas bouger.
4 | Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ?
➞
Si le soldat se promène en sens horaire, on a l’impression qu’il descend. Si
on considère qu’il se promène en sens antihoraire, on a l’impression qu’il
monte.
M.C. Escher’s « Waterfall » © 2009 The M.C. Escher Company - the Netherlands. All rights reserved. Used by permission.
www.mcescher.com
Figure 6 : Mouvement perpétuel
Maintenant que vous vous êtes exercés à trouver les anomalies dans
diverses figures, voici le mouvement perpétuel d’Escher.
Pouvez-vous trouver les anomalies et les relier à une ou plusieurs figures
que vous venez de voir ?
11.
(Page 4)
Cette œuvre est reliée au cube impossible. Ce qui rend cette figure impossible, c’est la disposition des piliers soutenant la structure. Ils créent
une illusion de « plafond » sur différentes parties du cours d’eau. Ainsi, on
a l’impression que la structure monte. Sans les piliers, on pourrait croire
que le plan d’eau descend. Par extension, on peut la relier à l’escalier de
Penrose. Dans la figure, on peut voir aussi deux triangles de Penrose.
Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 5