3. Fonction exponentielle - Site personnel d`Olivier Leguay

1
Contenu
1 ) INTRODUCTION HISTORIQUE ............................................................................................................................................... 1
A ) Combien faut-il de grains de sable pour remplir l’univers ? ......................................................................................... 1
B ) Les phénomènes exponentiels temporels..................................................................................................................... 2
2 ) INTRODUCTION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE ............................................................................................................ 3
A ) Un résultat de dérivation a connaître ........................................................................................................................... 3
B ) Etude de l’équation (différentielle)
’
.................................................................................................................. 3
C) La relation fonctionnelle................................................................................................................................................. 4
3 ) PROPRIETES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE .................................................................................................................. 5
A) Positivité ......................................................................................................................................................................... 5
B) Propriétés algébriques de la fonction exp...................................................................................................................... 5
4) LA NOTATION
.................................................................................................................................................................. 6
4) ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE ............................................................................................................................ 7
A) Sens de variation, équations et inéquations .................................................................................................................. 7
B) Limites de la fonction
............................................................................................................................................ 8
C) Synthèse ......................................................................................................................................................................... 9
D) Autres limites ............................................................................................................................................................... 10
1 ) INTRODUCTION HISTORIQUE
A ) C O M B I EN
L ’ U N I VE R S ?
FAUT-IL
DE
GRAINS
L'Arénaire (grec
DE
SABLE
ancien : Αρχιµήδης
POUR
R EM P L I R
Ψαµµίτης, Archimedes
Psammites) est un ouvrage d'Archimède (IIIème siècle avant Jésus-Christ)
dans lequel il tente de déterminer un majorant du nombre de grains de
sable qui pourraient remplir l'univers. Pour ce faire, il est amené à inventer
une façon de décrire des nombres extrêmement grands, et à obtenir une
estimation de la taille de l'univers.
Il nomma 108, l’unité des nombres secondaires, les nombres premiers étant
Archimède dans son bain
Par inconnu (Historia N° 767 Novembre 2010 - page 38) [Public
domain], via Wikimedia Commons
Cours de Terminale S
inférieurs. Il découvrit à cette occasion la loi d’addition des exposants :
à la base de l’exponentiation
© O. Leguay
page 1
2
Cette opération étend la notion de puissance en algèbre.
Les astrophysiciens évaluent le nombre d’atomes de l’univers à 1080.
B ) LES
P H E NO M E N E S E X P O NEN T I E L S T E M P O RE L S
C’est Léonard Euler (1707-1784) qui donna son nom à la fonction
exponentielle pour qualifier les phénomènes temporels de ce type que l’on
rencontre lorsque les variations d’une quantité sont liées proportionnellement
à cette quantité.
Le 19 septembre 1648, à l’aide de deux tubes remplis
de mercure, l’un placé au pied du Puy de Dôme et
l’autre monté au sommet, Pascal mis en évidence la loi
de décroissance de la pression atmosphérique ( ) en
fonction de l’altitude ( ).
Léonard Euler
Domaine Public
Ceci est traduit par la
relation suivante liant la variation de la pression ( ’) à
la pression ( ) :
Le graphique suivant donne l’allure de telles courbes dites exponentielles
Blaise Pascal étudiant la
cycloïde ; à ses pieds, à
gauche, les feuillets épars
des Pensées, à droite, le livre
ouvert
des Lettres
provinciales. Présenté au
Salon de 1785 ; le modèle en
plâtre vaiat été présenté à
celui de 1781. Augustin
Pajou.
Marie Curie, aidée de Pierre, montre à la fin du XIXème siècle, qu’une substance radioactive
telle que le radium se désintègre au cours du temps. Le nombre d’atomes qui se désintègrent en
un temps donné suit une même loi de décroissance exponentielle, c’est-à-dire que la proportion
d’atome qui se désintègre est liée à la quantité d’atomes restant. En 1928, le physicien Gamov
montre que cette loi est « sans vieillissement », c’est-à-dire
Cours de Terminale S
© O. Leguay
que chaque atome non désintégré « oublie » sa
page 2
3
durée de vie. La loi de décroissance est donc indépendante du temps. Tout se passe à chaque instant comme
si « rien ne s’était passé » auparavant.
2 ) INTRODUCTION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
A ) UN
Propriété :
Si
R E S U L T A T D E D E R I V A TI O N A C O N NA I TR E
et
≠0
désignent deux nombres réels et
est une fonction dérivable sur ℝ, alors la fonction
× ′
et
+
définie sur ℝ par
+
est dérivable sur ℝ
.
Démonstration :
Pour tout nombre
Le nombre
≠ 0, notons
le taux d’accroissement de la fonction
entre
+
+ +
+
+ +
+
→"
:
0 et lim
→"
+
+
′
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée
+
lim
lim ×
→0
B ) ETUDE
+
; alors :
et
×
Or lim
+
étant non nul,
×
Posons
et
×
→0
D E L ’ E Q U A TI O N
Résultat préalable (Lemme) : Si
et pour tout
( D I FF E R E NT I E L L E )
∈ ℝ,
+
×
’=
est une fonction dérivable sur ℝ telle que
=
et
(0) = 1alors
ne
s’annule pas sur ℝ.
Démonstration :
% est la fonction définie sur ℝ par %( ) = ( ) × (− ). Une telle fonction est dérivable sur ℝ d’après le
résultat précédent dans le cas particulier où
= −1 et
= 0.
% ( ) = ( ) × (− ) + ( ) × (−1) (− ) = ( ) × (− ) − ( ) (− ) = 0.
Cours de Terminale S
© O. Leguay
page 3
4
∈ ℝ, % ( ) = 0, donc la fonction % est constante et vaut n’importe laquelle de ses valeurs, par
Pour tout
exemple %(0) = (0) × (−0) = (0) × (0) = 1
∈ ℝ, %( ) = ( ) × (− ) = 1.
Pour tout
Ainsi il n’existe aucune valeur de
∈ ℝ,
Donc pour tout
telle que
( ) = 0.
( ) ≠ 0.
Propriété - Définition : Il existe une unique fonction
dérivable sur ℝ telle que
=
et
(0) = 1. C’est
la fonction exponentielle, notée exp.
Démonstration :
Existence : On admet qu’il existe une fonction
réel
( ) = ( ) et
,.
(0) = 1. Cette existence sera démontrée dans le chapitre « Calcul intégral ».
est une fonction dérivable définie sur ℝ telle que
Unicité :
∈ ℝ,
Pour tout
ℎ =
dérivable et strictement positive sur ℝ telle que pour tout
(* )+) (
=0
),
ℎ( ) = ℎ(0) =
( ) > 0 et la fonction ℎ =
car
= et
(
)
=
et
(0) = 1.
est dérivable sur ℝ.
= , donc ℎ est constante sur ℝ .
(0) 1
= = 1
(0) 1
Donc pour tout ∈ ℝ ,
((-)
)(-)
= 1 et donc
( ) = ( ) . D’où l’unicité.
Conséquences immédiates :
Nous noterons exp, cette fonction. Cette fonction est définie sur ℝ. Elle telle que pour tout
.
(− ) = 1,d’où exp( ) ≠ 0 et donc .
On a de plus .
’=.
et .
(− ) =
2
∈ ℝ, .
( )×
3-4(-)
(0) = 1.
Théorème :
et
sont deux nombres,
La fonction
définie par
≠0
( )=.
(
+ ) est dérivable sur ℝ et pour tout nombre
( )= ×. ( + )
.
Cela résulte directement de l’application du théorème 2A.
C) L A
R E L A T I O N F O N C T I O NN E LL E
Propriété : Pour tous nombres réels
Cours de Terminale S
et 5,
( + 6) =
© O. Leguay
( )×
(6) .
page 4
5
On reconnait ici la relation caractérisant les puissances qui se trouvent présentent dans les suites
géométriques, modélisant de façon discrète les problèmes de croissance et de décroissance semblables à ceux
rencontrés dans le continu avec la fonction exponentielle.
On reconnait la similarité avec la relation : 7 894 = 7 8 × 7 4 .
Démonstration :
5 est un réel fixé (il aura donc le statut de constante par la suite, de
% est la fonction définie et dérivable sur ℝ par %( ) =
%′( ) =
%′( ) =
.
.
( + 5) .
3-4(-9:)
3-4(-)
dans .
(1 × + ).
( ) − . ( + 5) . ′( )
(. ( ));
( + 5) . ( ) − . ( + 5) exp( )
=0
(. ( ));
% est donc une fonction constante valant n’importe laquelle de ses valeurs, en particulier %(0) =
.
5
Pour tout réel
, %( ) = .
Pour tout réel
et 5, .
5, c’est-à-dire
( + 5) = .
3-4(-9:)
3-4(-)
=.
3-4 :
3-4 "
=
5, ceci quel que soit 5et donc :
( ) × exp(5).
3 ) PROPRIETES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
A) P O S I T I VI TE
Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.
Démonstration :
Nous avons démontré cette propriété précédemment avec l’équation différentielle.
Nous pouvons aussi utiliser l’équation fonctionnelle dans le cas particulier ou
Pour tout nombre réel ∈ ℝ , .
( )=.
<
<
=; + ; > = =.
<
=5=
;
<
;
=; >> .
La fonction exponentielle est donc strictement positive sur ℝ.
B) P R O P R I E T E S
Propriété :
ALGEBRIQUES DE LA FONCTION EXP
Pour tous nombres réels
Cours de Terminale S
et 5,
( − 6) =
© O. Leguay
( )
(6)
.
page 5
6
Démonstration :
2
3-4 :
Or, exp 5
( − 5) = .
et 5, .
Pour tous nombres réels
, donc .
3-4 3-4 :
5
( + (−5)) = .
Pour tous nombres réels
2
; , … , 8
.
.
8
.
+
;
+⋯+
8
2
×.
;
×.
(−5)
.
Propriété (admise) :
2
( )×.
,
Cette propriété se démontre facilement par récurrence.
Propriété :
Pour tous nombres réels
et tout nombre entier relatif B,
C
C
D
E
.
Démonstration :
Nous allons réaliser une démonstration par disjonction des cas.
•
Pour B ' 0, l’égalité s’obtient avec la propriété précédente dans le cas particulier
•
Pour B
•
0, l’égalité est immédiatement vérifiée car .
Pour B F 0, .
B
.
D
B
E
D.
+8
E
0
1.
2
GHIJ - K
+8
Lexp
2
;
⋯
8
M8 .
4) LA NOTATION
La notation e est due au mathématicien suisse Léonhard Euler (
comme Euler ou comme exponentielle !) en
1728. Il montra aussi que le nombre . est un irrationnel, c’est-à-dire que l’on ne peut pas l’écrire comme un
quotient de deux nombres entiers.
On définit le nombre . comme l’image du nombre 1 par la fonction exponentielle : .
1
..
C’est ainsi qu’il apparaitra sur les calculatrices !
Les calculatrices affichent les 10 ou 12 premières décimales et en possèdent le double environ en mémoire.
WolframAlpha nous permet d’accéder à des décimales plus lointaines. Bien que sans grande utilité, voilà les
premiers chiffres du nombre . :
Cours de Terminale S
© O. Leguay
page 6
7
2
.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193
20030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499
34884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826
56029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544
99699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887
93320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881
59304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216
09902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477
04171898610687396965521267154688957035035402123407849819334321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093503660
41699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185
69563802363701621120477427228364896134225164450781824423529486363721417402388934412479635743702637552944483379980161254922785
09257782562092622648326277933386566481627725164019105900491644998289315056604725802778631864155195653244258698294695930801915
29872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094
55606881667400169842055804033637953764520304024322566135278369511778838638744396625322498506549958862342818997077332761717839
28034946501434558897071942586398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310059584116612054529703023647254929
66693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600
37356252794495158284188294787610852639813955990067376482922443752871846245780361929819713991475644882626039033814418232625150
97482798777996437308997038886778227138360577297882412561190717663946507063304527954661855096666185664709711344474016070462621
56807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837
93421637012050054513263835440001863239914907054797780566978533580489669062951194324730995876552368128590413832411607226029983
30535370876138939639177957454016137223618789365260538155841587186925538606164779834025435128439612946035291332594279490433729
90857315802909586313826832914771163963370924003168945863606064584592512699465572483918656420975268508230754425459937691704197
77800853627309417101634349076964237222943523661255725088147792231519747780605696725380171807763603462459278778465850656050780
84421152969752189087401966090665180351650179250461950136658543663271254963990854914420001457476081930221206602433009641270489
43903971771951806990869986066365832322787093765022601492910115171776359446020232493002804018677239102880978666056511832600436
88508817157238669842242201024950551881694803221002515426494639812873677658927688163598312477886520141174110913601164995076629
0779436460058519419985601626479076153210387275571269925182756879893027617611461625493564959037980458381823233686120162...
Pour tout nombre entier relatif B, .
(B) = .
(B × 1) = L.
Par extension, on convient de noter : NOP( ) =
(1)M8 = . 8 .
, ce qui se lit « exponentielle
Nouvelles écritures des propriétés : Pour tous nombres réels
•
•
." = 1
. +- =
2
3Q
•
•
.- > 0
. -9: = . - × . :
•
•
» ou « . puissance
».
et 5 et tout nombre entier relatif B.
(. - ) = . 3Q
. -+: = 3 R
•
(. - )8 = . 8-
4) ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
A) S E N S
D E V A R I A TI O N , EQ U AT I O N S E T I NE Q U A T I O N S
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Cours de Terminale S
© O. Leguay
page 7
8
Démonstration :
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur ℝ et .
la fonction .
’=.
et Pour tout
∈ ℝ, .
( ) > 0 ainsi
est strictement croissante sur ℝ.
Conséquences.
De la stricte croissance de la fonction exponentielle, il résulte les équivalences suivantes :
Pour tous réels
et
,
= ⇔. < = . S et
< ⇔. < < . S
De même :
Pour toutes fonctions réels T( ) et U( ), T( ) = U( )⇔. V(-) = . W(-) et T( ) < U( )⇔. V(-) < . W(-)
B) L I MI T E S
DE LA FONCTION
Propriété : La fonction exponentielle a pour limite +∞ en +∞
XYZ
= +∞
.
→9[
Démonstration :
Nous allons démontrer que pour tout
Soit
la fonction définie sur ℝ par
∈ ℝ, . - > . Nous en déduirons la limite par comparaison.
( ) = .- −
est la différence de deux fonctions dérivables sur ℝ, elle est donc dérivable sur ℝ de dérivée
Pour tout
∈ ℝ,
-
( ) = . − 1.
Or, . - − 1 ≥ 0⇔. - ≥ 1 et donc . - ≥ . " soit
La fonction
′.
≥ 0.
est donc décroissante sur M − ∞; 0Met croissante sur L0; +∞L.
atteint donc son minimum en 0 qui vaut
Par conséquent
(0) = 1 > 0.
est minorée par 1 et donc par 0 sur ℝ, elle est donc strictement positive.
x
f 0 (x)
f
1
+
0
-
0
1
+
1
Pout tout
∈ ℝ, . - −
> 0 et donc . - > .
Par comparaison, _`a-→9[
Cours de Terminale S
= +∞ et donc _`a-→9[ . - = +∞ .
© O. Leguay
page 8
9
Propriété : La fonction exponentielle a pour limite 0 en -∞.
XYZ
→+[
=b
Démonstration :
Cette démonstration s’effectue avec un changement de variables (s’appuyant sur le théorème de la limite
d’une fonction composée.
Posons
= − , ( et donc
=− )
1
=0
c→9[ . c
_`a . - = _`a . +c = _`a
-→+[
c→9[
Remarque : L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en +∞ .
C) S Y N T H E S E
On note Χ3-4 la courbe représentative de la fonction exponentielle.
On rappelle l’équation de la tangente à la courbe représentative Χ( d’une fonction
5=
•
.
( )( − ) + ( )
Equation de la tangente Τ" à Χ3-4 au point d’abscisse 0.: 5 = . " ( − 0) + . " .
Τ" : 5 =
•
dérivable en
+1
Equation de la tangente Τ2 à Χ3-4 au point d’abscisse 1.: 5 = . 2 ( − 1) + . 2 .
Τ2 : 5 = .
Cours de Terminale S
© O. Leguay
page 9
10
D) A U T R E S
L I MI T E S
_`a
.-
1
1
-→"
Démonstration :
La fonction exponentielle est dérivable en 0 et .
_`a
.-
→0
1
’ 0
.
.
0
_`a
0
1.
.
0
→0
On reconnait la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle entre 0 et 0
égale au nombre dérivé de .
en 0 soit .
0
_`a
-→9[
Cours de Terminale S
. Cette limite est
1.
.-
∞
© O. Leguay
page 10
11
Démonstration :
La démonstration finale se fera par comparaison comme nous l’avons déjà vu précédemment.
définie sur ℝ par
Etudions les variations de la fonction
( ) = .- −
′( ) = . - −
Or nous avons montré précédemment que pour tout x∈ ℝ,
La fonction
est strictement croissante sur ℝ, avec
Ainsi pour tout
( ) = .- −
(0) = 1,.
1
x
0
f 0 ( x)
+
f
1
> 0, . - −
-,
;
> 0 et donc . - >
-,
;
Par comparaison : _`a-→9[ = +∞ et donc _`a-→9[
;
_`a
-→+[
>0
est donc positive sur L0 ; +∞[.
+
1
et en divisant de part et d’autre par
.-
-
-,
;
>
3Q
-
:
2
= +∞ .
.- = 0
Démonstration :
Posons e = − , ainsi
f
. - = −e. +f = − 3 g
Or
_`af→9[
3g
f
f
= +∞ et donc _`af→9[ 3 g = 0, d’où le résultat.
Cours de Terminale S
© O. Leguay
page 11