N. Lahouel

Evaluation des Options avec Prime
de Risque Variable
Lahouel NOUREDDINE
Correspondance : LEGI-Ecole Polytechnique de Tunisie,
BP : 743,2078 La Marsa, Tunisie,
Institut Supérieur de Finance et de Fiscalité de Sousse.
E-mail : [email protected]
(2006)
Résumé
L’évidence empirique qui a montré que le prix d’options diffère systématiquement de
celui de Black-Scholes a attiré l’attention de plusieurs chercheurs. L’une des approches
proposée comme alternative au modèle de Black-Scholes était le processus GARCH.
Ce dernier évalue les options en supposant une prime du risque constante. Cette
hypothèse est discutée par Christoffersen-Jacobs (2004), en proposant de considérer
une prime de risque variable. Dans ce travail, on essaie d’élaborer une nouvelle version
du modèle GARCH d’options qui tient compte de la prime du risque comme une
variable conditionnelle. Le processus proposé a fait l’objet d’une étude empirique sur
les options sur l’indice FTSE 100. Les performances, d’ajustement out-of-sample et de
couverture de positions d’options, de ce dernier sont étudiées relativement au modèle
GARCH simple d’évaluation des options.
Mots clés:
Evaluation d’options, GARCH, volatilité, prime de risque, performance, out-of-sample,
couverture.
1
1. Introduction
La première approche d’évaluation des options a eu le jour en 1900 dans la thèse
présentée à la Sorbonne, du mathématicien français Louis Bachelier qui a inventé le
mouvement brownien pour modéliser les options sur les bons (titres) du gouvernement
français. C’était un modèle en temps continu. La recherche dans ce domaine a été
reprise en 1965 par Samuelson. Ce dernier a utilisé le mouvement brownien
géométrique pour modéliser le comportement aléatoire de l’actif sous-jacent. Sur cette
base, il a modélisé la valeur aléatoire de l’option à l’exercice. La formule proposée était
en grande partie arbitraire. Elle n’offre pas les moyens aux acheteurs et vendeurs, ayant
des degrés d’aversion au risque différents, pour être d’accord sur un prix. Pour remédier
à ce problème, Black et Scholes (1973) ont proposé une approche complètement
nouvelle. Ces deux auteurs ont dérivé une formule d’évaluation d’un call européen sur
une action ne payant pas de dividende. Ils ont travaillé en étroite collaboration avec
Merton qui a publié la même année cette formule et ses divers prolongements.
L’hypothèse cruciale de Black et Scholes est la log-normalité des rendements des
actions: le logarithme de rendement de l’action suit une loi normale de moyenne et de
variance constantes. Des biais associés au modèle de Black et Scholes d’évaluation des
options ont été documentés dans la littérature (Rubinstein 1985, 1994; Derman et Kani
1994): le rendement de l’actif de base présente une certaine déviation par rapport à la
log-normalité. Cela signifie que la volatilité des rendements est variable dans le temps.
La question de modélisation des rendements présentant une volatilité variable dans le
temps a occupée une place importante dans la littérature économétrique et financière.
La première approche modélisant ce type de rendement a été le modèle ARCH proposé
par Engle (1982). Plusieurs issues d’extension de ce dernier en été envisagées. Une
forme généralisée du modèle ARCH a été établie par Bollerslev (1986), c’était le
modèle GARCH qui donne une forme plus parcimonieuse que le modèle ARCH
d’ordre élevé. Ce type de modèle est pertinent dans la modélisation du comportement
des rentabilités boursières (Bollerslev, Chou et Kroner; 1992). Ce dernier a été
largement testé dans le cadre d’évaluation des options. Récemment, Bin Chang (2002)
a évalué la performance empirique de ce modèle et celle du modèle de référence de
Black et Scholes. Il a abouti au fait que le modèle Black-Scholes est plus performant
pour l’estimation in-sample et moins performant pour l’évaluation out-of-sample.
Cependant, tous les modèles GARCH étudiés prennent la prime du risque des
rendements des actifs sous-jacents comme constante. Cette hypothèse est critiquée dans
l’article de Christoffersen-Jacobs (2004). Ces deux auteurs posent le problème de
spécifier cette variable différemment. Dans cet essaie, on propose de la considérer
comme une variable qui bouge dans le temps, en la modélisant par un processus
GARCH. Bien sûr, la spécification suggérée est justifiée par certains tests empiriques.
2
Le reste du travail sera organisé ainsi comme suit: dans la deuxième section, on
discutera les modèles GARCH d’évaluation des options. La section trois s’occupera de
proposer le nouveau modèle et ses propriétés. Une application empirique de ce modèle,
complétée par une étude de sa performance par rapport au modèle simple, fera l’objet
de la section quatre. Enfin, la section cinq va conclure.
2. Les modèles GARCH des options
2.1. Cadre théorique des modèles GARCH
La littérature sur les processus ARCH a été initiée par Engle (1982). Ce sont des
processus sériellement non corrélés, dont les variances conditionnelles ne sont pas
constantes, mais avec des variances inconditionnelles (à long terme) constantes. Le
modèle ARCH est défini par cette série d’équations :
X t = µ + εt
εt = ut σ t
(1)
(2)
q
2
σ = α 0 + ∑ α i ε t −i
2
t
(3)
i =1
Où X est une série financière, µ est une constante, ut est un processus bruit blanc de
variance 1, u t et ε t-i sont indépendants l’un de l’autre, α 0 > 0 , α i ≥ 0; pour i=1,…, q et
2
σ t est la variance du résidu ε t sachant la quantité d’information disponible en (t-1).
L’entier q détermine l’ordre de retard.
Dans ce modèle la variance peut changer dans le temps, et elle est prédite par les
erreurs passées. Une forme plus populaire du processus ARCH est le modèle ARCH
généralisé (GARCH) proposé par Bollerslev (1986). Dans le modèle GARCH (p,q), la
variance σ t2 est spécifiée par :
q
p
i =1
j =1
2
2
2
σ t = α 0 + ∑ α i ε t −i + ∑ β j σ t − j
(4)
Où α 0 > 0 , αi ≥ 0 et β j ≥ 0; ∀i = 1,..., q et ∀j = 1,..., p. Ces contraintes sont imposées
p
q
pour avoir une variance positive. Le modèle est stationnaire si
∑α + ∑ β
i
i =1
j =1
j
< 1.
Le modèle GARCH le plus simple et le plus utilisé est GARCH (1,1), qui est donné
par :
2
2
(5)
σ t = α 0 + α1 ε t-2 1 + β1 σ t −1
3
Ce modèle est plus performant dans l’ajustement des rendements financiers, que
d’autres plus compliqués (Pagan, 1996).
Les modèles ARCH et GARCH classiques permettent de prendre en compte le
clustering de la volatilité sur des données financières, qui est en étroite relation avec le
phénomène de la leptokurticité de la distribution. Ils ne traitent pas l’effet d’asymétrie
de cette dernière. Cette question a été considérée par d’autres travaux comme le modèle
ARCH à seuil (TARCH) de Rabemananjara et Zakoian (1993) et Glosten, Jagannathan
et Runkle (1993) et le modèle ARCH à composantes (COMP-ARCH) de Engle et Lee
(1993), parmi autres.
2.2. Les modèles GARCH des options
Le modèle GARCH peut être utilisé pour valoriser les options uniquement lorsque les
séries des rendements des actifs sous-jacents sont susceptibles de suivre un processus
de ce type. Les premiers travaux d’évaluation des options dans un cadre des processus
GARCH étaient ceux de Duan (1995) et Amin et Ng (1993). Duan (1995) a introduit un
modèle GARCH d’options avec sa validation empirique. Il a commencé par un modèle
pour les rendements de supports d’une période. Les rendements conditionnellement
⎛ S ⎞
composés Rt = Log ⎜⎜ t ⎟⎟ , où St est le prix de l’actif support au temps t, sont modélisés
⎝ S t −1 ⎠
par :
1 2
Rt = r + λσ t − 2 σ t + ηt σ t
Avec : - r est le taux d’intérêt sans risque,
- λ est le prix du risque constant,
- ηt → N (0,1).
(6)
La dynamique de la volatilité conditionnelle σ t2 est la suivante :
q
p
i =1
j =1
2
2
2
2
σ t = α 0 + ∑ α i σ t −i ηt −i + ∑ β j σ t − j
(7)
La forme simple de cette équation s’écrit alors :
2
2
2
(8)
σ t = α0 + α1 σ t −1 ηt −1 + β1 σ t −1
Ce type de modélisation considère une prime du risque (λ ) constante. PeterChristoffersen (2004) ont conseillé de spécifier une prime du risque variable pour
améliorer la performance des processus GARCH d’évaluation d’options. On propose
une nouvelle approche qui s’inscrit dans ce cadre.
2
4
3. Le modèle GARCH d’évaluation d’options avec
prime de risque variable
3.1. Hypothèses du modèle
H1 : je considère une économie en temps discret, à vente d’actifs à découvert possible
et à coûts de transaction et taxes nuls. L’incertitude est caractérisée par un espace
probabilisé (ℜ,τ , P ) , où ℜ est l’ensemble des réels, τ est la tribu borélienne et P est
une mesure de probabilité objective. Cet espace est muni d’une filtration d’information
( F t )t∈0,1... qui suit un mouvement brownien standard.
Je cherche à déterminer le premium d’un call européen de prix d’exercice K, de
maturité T et portant sur un actif support ne payant pas de dividende. Le premium à
calculer est donc supposé fonction du taux d’intérêt sans risque (constant) r et d’un
ensemble de variables d’état de ℜ+ .
H2 : les variables d’état, desquelles dépend le premium du call européen, sont :
- Le cours de l’actif sous-jacent, S t ;
- La volatilité des rendements de cet actif, σ t ;
- La prime du risque de la volatilité de ce dernier.
3.2. Spécification du modèle
Sous les hypothèses ci-dessus, si on note par C t le premium d’un call européen, alors :
C t = f ( K , T , r , xt )
(9)
Avec xt est le vecteur de variables d’état : xt ∈ ℜ3+ .
Les rendements conditionnels sont modélisés par :
1
Rt = r + λ t σ t − 2 σ t2 + η t σ t
(10)
Où : λ t est la prime du risque variable et σ t2 est décrite par l’équation (8).
5
Frenkel (1981) exprime la prime de risque variable sous la forme suivante :
λ t = ω + et
(11)
Avec ω la valeur moyenne et et est un bruit blanc (de moyenne nulle et de variance
1
; T est la taille de l’échantillon). Cette supposition est fortement refusée par le test
T
de Box-Pierce (Q = 81.33) effectué sur des données intraquotidiennes1 sur l’indice
FTSE 100 de la période 4/1/2000-30/12/2005. En effet, le rejet de l’hypothèse nulle de
bruit blanc indique l’existence d’une corrélation significative entre les résidus. Telle
relation peut être confirmée par les figures suivantes :
Autocorrelation Partial Correlation
***|
|
|
|*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
**|
**|
*|
|
|
*|
|
|
|
|
|
|
|
|
Figure 1 : FAC pour λ t .
Autocorrelation Partial Correlation
|** |
|*** |
|** |
|** |
|** |
|** |
|** |
|** |
|*** |
|* |
|* |
|* |
|* |
|
|
Figure 2 : FAC pour λ t 2.
Le fait que les λ t 2 sont dépendantes peut être modélisé par un processus de volatilité
de la forme (Cont, 2001) :
λ t = ω + υ t u t avec ut → N (0,1) .
(12)
Où ut est un bruit blanc de moyenne nulle et υ t est la volatilité variable dans le temps
des primes de risque. On propose le cas où υ t2 suit un processus GARCH :
υ t2 = a0 + a1υ t2−1 u t2−1 + b1υ t2−1
(13)
Pour assurer la positivité de la variance dans ce cas, il faut que a 0 > 0 , a1 ≥ 0 et b1 ≥ 0 .
La persistance du modèle exige : a1 + b1 < 1 .
En finance, la prime de risque est définie comme étant la différence entre le taux de
rendements des actifs et le taux d’intérêt sans risque. Par conséquent, on peut signaler
1
Les données utilisées sont les dividendes diminués du taux d’intérêt sans risque, qui est fixé
arbitrairement à 5% par année. Soit un taux quotidien de 0.05/365 = 0.000137.
6
que la corrélation entre prime de risque et rendements financiers est significativement
non nulle. Les deux premiers moments caractérisant le rendement sont alors :
E (Rt ) = r + E (λt ) σ t − 0.5 σ t2
= r + ω σ t − 0.5 σ t2
V (Rt ) = σ t2 V (λ t ) + σ t2 + 2 ρ σ t2 υ t
= σ t2 (1 + υ t2 + 2 ρ υ t )
Avec ρ est le coefficient de corrélation entre R t et λ t .
4. Application du modèle
Pour évaluer les options sous la dynamique GARCH, Hardle et Hafner (2000) ont
utilisé une méthode en deux étapes. On essaie d’adapter cette procédure à la
spécification proposée. Telle méthode consiste à estimer les paramètres des équations
(8), (12) et (13) dans une première étape sous la mesure de probabilité physique P.
Dans la seconde étape, on utilise les paramètres ainsi estimés dans une dynamique
risque-neutre Q pour valoriser l’option1.
4.1. Les données
Nous considérons la période de Janvier 2002 qui inclut 22 journées commerciales allant
de 2 à31 Janvier. Les données sont composées d’un même nombre d’options call et
d’options put, 2310 pour chaque type. Pour chaque jour, nous considérons quatre
maturités. Les prix d’exercice sont encadrés par 4225 et 6225 avec un prix moyen de
5216. Pour le taux d’intérêt, nous fixons arbitrairement un taux annuel égal à 5%.
4.2. Estimation des paramètres : Approche in-sample
Pour appliquer la première étape de la procédure d’évaluation décrite ci haut, on peut
adopter par la méthode de maximum de vraisemblance en maximisant la fonction de
log-vraisemblance ci-après :
(Rt − r −ωσ + 0.5σ )
ln L = −0.5T ln(2π ) − ∑ ln σ − 0.5∑ ln(1 + υ + 2 ρ υ ) − ∑
T
T
2
t
t
t =1
T
t =1
t
t =1
t
2
t
2
2
2
2σ t (1 + υ t + 2 ρ υ t )
(14)
1
Les détails sur la relation entre la dynamique de probabilité physique et celle de risque-neutre sont
explicités dans Christoffersen-Jacobs (2004).
7
Les tableaux 1 et 2 montrent les paramètres estimés du modèle GARCH-PR proposé et
ceux du modèle GARCH simple de la section 2 (celui avec prime de risque constante).
Nous estimons les deux modèles pour, ensuite, étudier leurs performances relatives :
Paramètres
r
α0
α1
β1
Estimations
0.000137
9.36E-07
(3.7E-07)
0.098308
(0.01414)
0.894170
(0.01407)
Tableau 1 : Estimation des paramètres du modèle GARCH simple.
Paramètres
r
α0
α1
β1
ω
a0
a1
b1
Estimations
0.000137
9.31E-08
(3.9E-08)
0.01507
(0.0213)
0.80400
(0.0249)
0.00016
(3.7E-07)
9.38E-07
(3.7E-07)
0.09866
(0.0143)
0.89439
(0.1423)
ρ
0.99940
(0.0005)
Tableau 2 : Estimation des paramètres du modèle GARCH-PR.
Les écarts types (valeurs entre parenthèses dans les tableaux) sont faibles, ce qui
indique que les paramètres sont stables pendant la période d’étude. On remarque que la
persistance de la volatilité des rentabilités ( α1 + β1 ) a diminué dans le modèle GARCHPR par rapport celle du modèle GARCH simple (0.81907 dans GARCH-PR contre
0.992478 dans GARCH simple). Cela peut être attribué à l’introduction de la prime du
risque variable qui a expliqué une partie de la dynamique des rendements. Ensuite, le
modèle GARCH-PR est le meilleur pour traduire l’évolution de la volatilité
conditionnelle, étant donnée la valeur de Log-vraisemblance (4886.284 contre
4885.205 pour le modèle GARCH simple).
Les paramètres obtenus seront utilisés dans une dynamique risque-neutre pour valoriser
l’option. Il convient alors d’expliciter, tout d’abord, la relation entre la dynamique de
probabilité physique et la dynamique risque-neutre.
4.3. Evaluation des options
Pour dériver le modèle GARCH des options, Duan (1995) avait appliqué l’évaluation
risque-neutre définie comme étant la relation d’évaluation localement risque-neutre
(RELRN). Sous cette mesure, le processus de rendement devient :
∗
∗
1
Rt = r − 2 σ t2 + η t σ t ; η t → N (0,1).
(15)
Le processus de la variance des rendements, σ t2 , devient :
(
)
2
∗
2
2
2
σ t = α 0 + α1 σ t −1 η t −1 − λ t −1 + β1 σ t −1
(16)
8
Par récurrence, on trouve facilement que le prix de l’actif sous-jacent à la date de
maturité T :
T
T
⎛
⎞
∗
2
=
−
−
+
exp
r
(
T
t
)
0
.
5
⎜
ST S t
σ i ∑η i σ t ⎟
∑
i =t +1
i =t +1
⎝
⎠
(17)
Le premium d’un call européen, de prix d’exercice K, peut être calculé par :
Q
C GARCH = exp(− r (T − t ) ) E (max(S T − K ,0) F t −1)
(18)
F t −1 étant généré par {S T , σ t +1 ,..., σ T } .
Cependant, on ne dispose pas d’expression analytique pour le prix d’option. On aura
donc besoin de déterminer ce prix à l’aide de la méthode de simulation de Monte Carlo.
4.4. Mesure de la performance out-of-sample
Dans cette sous section, on propose d’étudier la performance out-of-sample du modèle
GARCH-PR relativement à celle du modèle simple. La performance du modèle peut
être estimée à l’aide d’une fonction de perte standard (standard loss function). Elle
représente la moyenne des carrés des erreurs d’évaluation (mean square of valuation
errors : MSE). La performance out-of-sample peut être mesurée aussi par le
pourcentage moyen des erreurs d’évaluation (mean of pourcenrage errors : MPE). Ces
deux mesures ont données par :
MPE =
N
− C imkt )
(19)
100 N ⎛ C imod − C imkt ⎞
∑ ⎜ C imkt ⎟⎟⎠
N i =1 ⎜⎝
(20)
MSE =
1
N
∑ (C
i =1
mod
i
2
Avec C imkt est le prix observé de l’option i, C imod est le prix du modèle correspondant.
N est le nombre des contrats d’option dans l’échantillon.
En considérant les erreurs d’évaluation mesurées par les équations (19) et (20), en
fonction de moneyness1 et de maturité en jours. Les résultats obtenus sont résumés dans
les tableaux suivants :
1
La moneyness est le prix de l’actif sous-jacent divisé par le prix d’exercice de l’option.
9
Moneyness
<0.90
0.90 – 1.00
1.00 – 1.03
1.03 – 1.06
>1.06
Toutes les
options
[21,50]
MSE MPE
12.04 32.90
8.456 7.100
9.423 2.600
12.43 -0.100
16.34 -1.500
[51,80]
MSE MPE
10.78 45.50
12.54 7.600
11.23 2.200
11.45 -0.900
8.342 -2.700
9.654
7.654
11.10
17.30
Maturité en jours
[81,110]
MSE MPE
4.302 46.20
5.632 6.700
6.321 1.400
6.876 -0.900
3.659 -2.300
4.564
16.40
[111,140]
MSE
MPE
2.143
72.20
4.534
12.30
5.786
2.500
4.765 -2.800
3.217 -4.300
>140
MSE MPE
0.602 6.200
0.993 1.900
1.123 -3.100
5.861 -4.000
4.745 -3.700
5.032
2.164
18.40
-1.000
Tableau 3 : Somme des carrés des erreurs d’évaluation de modèle GARCH simple.
Moneyness
<0.90
0.90 – 1.00
1.00 – 1.03
1.03 – 1.06
>1.06
Toutes les
options
[21,50]
MSE MPE
13.00 29.90
7.456 6.300
8.031 -2.300
10.11 -0.100
14.54 -1.300
[51,80]
MSE MPE
9.578 41.30
11.64 6.800
8.203 1.900
10.21 -0.800
6.762 -2.400
8.600
5.854
11.00
-17.10
Maturité en jours
[81,110]
MSE MPE
3.992 42.00
5.111 6.000
6.009 1.200
6.116 -0.800
3.231 -2.000
3.014
16.20
[111,140]
MSE MPE
2.123 65.60
3.897 11.00
5.046 2.200
4.213 -2.400
2.917 -3.800
>140
MSE MPE
0.602 5.600
0.903 1.700
1.002 1.600
4.891 -3.500
3.445 -3.300
5.039
2.010
-18.20
-0.900
Tableau 4 : Somme des carrés des erreurs d’évaluation du modèle GARCH-PR.
D’après les deux tableaux, 3 et 4, les deux mesures de performance adoptées favorisent
le modèle GARCH-PR. D’un autre côté, la mesure MPE indique que les modèles
étudiés tendent à surévaluer les options call out-of-the-money et sous-évaluer celles inthe-money. Cette constatation apparaît d’une façon claire sur la figure suivante :
Marché
250
GARCH simple
Marché
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
GARCH-PR
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figure 1 : Evolution du premium du marché et celui calculé par les deux modèles.
10
Les deux tracés montrent une supériorité du modèle GARCH-PR dans l’ajustement des
données empiriques sur l’indice FTSE 100. Ce processus fournit un premium de
l’option presque confondu avec celui du marché.
4.5. La performance de couverture
Pour étudier cette question, on effectue des tests de couverture sur des straddles qui
portent sur l’indice FTSE 100. Par définition, un straddle est une position consistant à
combiner un call et un put de même prix d’exercice et de même maturité. De ce fait, le
straddle est une position insensible au sens de variation du cours de l’actif sous-jacent,
mais il est sensible aux variations de la volatilité. D’ailleurs, l’opérateur sur le marché
est motivé par l’achat de straddle lorsqu’il s’attend à un changement brusque dans le
cours de l’actif sous-jacent, sans savoir dans quel sens ce dernier va varier. On évalue la
performance de couverture par trois critères : l’erreur moyenne de couverture (mean
hedging error : ME), la moyenne des valeurs absolues des erreurs de couverture (mean
of absolute hedging error : MAE) et la moyenne des valeurs absolues des erreurs
d’évaluation normalisées1 (normalized absolute hedging error : NAE). L’erreur
moyenne de couverture ne constitue pas une mesure de performance, mais elle fournit
une information sur le fait qu’un modèle particulier permet de présenter,
systématiquement, une sur (ou sous) couverture. Les deux tableaux suivants présentent
les critères de mesure de la performance de couverture de positions d’options par les
deux modèles :
Mesure
ME
MAE
NAE
[21,50]
1 jour 5 jours
0.056 0.044
6.091 5.632
0.753 0.707
[51,80]
1 jour 5 jours
0.754 0.665
5.999 5.324
0.701 0.576
Maturité en jours
[81,110]
1 jour 5 jours
0.548 0.552
5.005 4.765
0.632 0.588
[111,140]
1 jour 5 jours
0.442 0.335
4.765 4.449
0.600 0.545
>140
1 jour 5 jours
0.367 0.222
4.540 3.798
0.502 0.466
Tableau 5 : Erreurs de couverture des straddles par le modèle GARCH simple.
Mesure
ME
MAE
NAE
[21,50]
1 jour 5 jours
0.051 0.040
5.487 5.120
0.680 0.638
[51,80]
1 jour 5 jours
0.685 0.599
5.404 4.840
0.633 0.520
Maturité en jours
[81,110]
1 jour 5 jours
0.498 0.497
4.509 4.331
0.632 0.571
[111,140]
1 jour 5 jours
0.402 0.301
4.292 4.044
0.542 0.492
>140
1 jour 5 jours
0.333 0.200
4.090 3.452
0.453 0.421
Tableau 6 : Erreurs de couverture des straddles par le modèle GARCH-PR.
1
L’erreur absolue normalisée est définie par : |erreur|/prix initial.
11
Pour la couverture des straddles sur l’indice FTSE 100, le modèle GARCH-PR montre
la performance la plus grande par rapport au modèle GARCH simple. Ce résultat
confirme la constatation de la section précédente concernant la performance out-ofsample.
5. Conclusion
Cet article présente une nouvelle spécification GARCH d’évaluation des options. Il
considère un modèle GARCH avec prime de risque variable dans le temps. Ce modèle
est appliqué à des données d’options sur l’indice FTSE 100 de la période janvier 2002.
La performance d’ajustement out-of-sample de ce dernier est étudiée relativement à la
spécification GARCH d’options la plus simple, et il est le plus performant. Les résultats
des tests de couverture de straddles montrent aussi clairement une supériorité de la
spécification GARCH-PR proposée.
Néanmoins, il faut toujours noter que les résultats obtenus restent valables dans la
limite de l’échantillon étudié. On peut assister à des résultats tout à fait différents
lorsqu’on utilise d’autres données.
Pour approfondir les résultats obtenus dans ce travail, un prolongement naturel
concerne la violation de l’hypothèse du taux d’intérêt constant considérée par les
spécifications GARCH d’options. On peut aussi s’intéresser à des études empiriques
qui comparent ce modèle avec d’autres types d’approches d’évaluation des options.
12
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