Mati`ere noire dans la galaxie NGC 6503

Matière noire dans la galaxie NGC 6503
2013-2014: TD3
Résumé du TD :
Ce TD aborde le problème de la présence de matière noire au sein des galaxies, et de son étude grâce aux profiles
de rotation.
Objectifs du TD :
• Comprendre la différence entre matière visible et matière sombre
• Comprendre l’intérêt des courbes de rotation pour l’étude de la matière noire dans les galaxies.
Figure 1 – La galaxie NGC 6503 observée en optique (bande R) à l’observatoire du Mont Palomar.
Les étoiles qui constituent les galaxies orbitent autour du centre de ces dernières avec des vitesses typiques
de l’ordre de 100km/s environ. Le plus souvent, elles ont des trajectoires quasi-circulaires. L’étude des profiles de
rotation (c’est à dire de la manière dont la vitesse de rotation varie avec la distance au centre) est un moyen très
efficace de tracer la distribution de matière dans les galaxies. Elle a en particulier permis de montrer qu’une grande
partie de la masse des galaxies n’était pas constituée de matière visible. On parle de matière noire.
Dans un travail de 1987, une équipe a réalisé des mesures de la vitesse de rotation de NGC 6503 en plusieurs
endroits de la galaxie, le long de la ligne noire de la Fig. 1. La Fig. 2 (courbe de gauche) représente la vitesse
1
circulaire de rotation mesurée en fonction de la distance au centre de la galaxie (en kilo-parsecs). Nous allons
essayer de comprendre l’origine de cette courbe de rotation.
dr rd
r
M(r)
Figure 2 – A gauche : Courbe de rotation observée de NGC 6503. A droite : Vue schématique du disque de la
galaxie (de face) et coordonnées polaires associées. La partie en gris représente la masse incluse dans le rayon r
I. Le trou noir supermassif
Supposons dans un premier temps que les étoiles orbitent sous l’effet d’un trou noir super-massif de masse MTN ,
caché au centre ce cette galaxie.
1 – Redémontrer rapidement la troisième loi de Kepler dans le cas d’une orbite circulaire et exprimer, en fonction MTN , le profile de rotation circulaire vc (r).
2 – Tracer qualitativement ce profile.
3 – Sachant que le trou noir central possède une masse d’environ MT N = 4 × 106 M , estimer la vitesse de
rotation qu’il engendre à 1kpc et comparer cette vitesse à celle observée (on rappelle que 1 M = 2 × 1030
kg, 1 pc = 3 × 1016 m).
4 – Comparer ces résultats aux observations. Que peut-on en déduire ?
II. Les étoiles et le gaz
En fait, l’influence du trou noir ne dépasse pas quelques parsecs au centre des galaxies. Dans la suite, nous
allons donc négliger sa présence. Au delà, la masse du gaz et des étoiles commence à dominer et à générer le
potentiel gravitationnel qui gouverne les trajectoires des étoiles elles-mêmes. On parle de disque auto-gravitant.
Pour étudier cet aspect, nous allons modéliser la galaxie comme un disque axi-symétrique, infiniment fin et constitué
essentiellement d’étoiles. Ce disque est caractérisé par sa densité de surface moyenne σ(r) (en kg/m2 ).
On fait de plus l’hypothèse que la force gravitationnelle radiale en un rayon r est, en bonne approximation, celle
générée par la masse M (r) incluse à l’intérieur de ce rayon et supposée condensée en r = 0 1 .
1 – Exprimer la force gravitationnelle qui s’exerce sur un masse m à une distance r du centre et en déduire
l’expression de vitesse de rotation circulaire vc (r) en fonction de la masse incluse M (r).
2 – Les mesures de luminosité montrent qu’en bonne approximation, le profile de densité des étoiles décroı̂t exponentiellement avec la distance au centre : σ(r) = σe e−r/re (où re correspond à l’échelle typique de décroissance
et σe est la densité de surface des étoiles au centre de la galaxie). Calculer la masse incluse M (r) (on posera
Me = 2πσe re2 et x = r/re pour simplifier le résultat). Et tracer son profile M (r)/Me .
3 – Donner l’expression de la masse totale d’étoiles dans la galaxie.
5 – Calculer l’expression de la vitesse de rotation vc (r) due aux étoiles de la galaxie (on notera ve =
pour simplifier).
p
GMe /re
6 – La luminosité de cette galaxie montre qu’elle brille comme environ 1010 étoiles avec une échelle de décroissance
de l’ordre de re = 1 kpc. En supposant que les étoiles qu’elle contient ont (en moyenne) les mêmes propriétés
que le soleil, estimer la vitesse de rotation qu’elles engendrent à 2 kpc.
7 – Quel est le comportement asymptotique de vc quand r → 0 et r → ∞ ? Representer qualitativement le
profile de vitesse. Le comparer avec celui observé sur la Fig. 2 (à gauche). Que peut-on en déduire ?
Des mesures précises permettent d’estimer la densité σ0 au centre de la galaxie. Par ailleurs, la galaxie étant aussi
composée de gaz, il est possible (mais ce n’est pas demandé ici) de calculer de la même manière sa contribution à
la courbe de rotation de la galaxie. Ces deux contributions et leur somme sont montrées sur la Fig. 3 à gauche.
Figure 3 – Courbes de rotation théoriques (traits) et mesurées (points) de la galaxie NGC 6503. A gauche :
Contributions des étoiles de la galaxie (en tirets) et du gaz (en pointillés), ainsi que la courbe de rotation totale
résultant de ces deux contributions (en trait plein). A droite : Même chose en prenant en compte la contribution
d’un halo de matière noire donnée par l’Eq. 2 (en pointillés-tirets).
1. Ce résultat est exact dans le cas d’une symétrie sphérique (théorème de Gauss), et donne des résultats qualitatifs corrects dans le
cas d’un disque mince (avec une erreur typique de 30%).
III. La matière noire
Pour reproduire la courbe de rotation mesurée, il est nécessaire de faire appel à une contribution supplémentaire.
On suppose donc qu’il existe un halo de matière, sous une forme autre que des étoiles ou du gaz, que l’on ne voit
pas et que l’on appelle halo de matière noire. On trouve empiriquement qu’on peut reproduire convenablement la
courbe de rotation observée en ajoutant une contribution à la vitesse circulaire de la forme :
s
atan(r/rh )
vc,halo = vh 1 −
(1)
r/rh
où rh est la taille typique du halo et vh est une constante de normalisation (voir Fig. 3 à droite).
En fait, contrairement aux étoiles qui forment un disque, on s’attend (pour des raisons théoriques) à ce que la
matière noire constitue un halo de symétrie sphérique, avec une densité volumique ρ(r) (en kg/m3 ).
1 – Tracer qualitativement l’allure de la courbe de rotation due au halo de matière noire (Eq. 1), et interpréter
la signification de vh .
2 – Que vaudrait la masse M (r) incluse (dans la boule de rayon r) à l’origine de ce mouvement lorsque r → ∞ ?
Que peut-on en déduire ?
3 – Exprimer formellement la masse M (r) incluse dans une boule de rayon r en fonction de la densité volumique
ρ et en déduire l’expression de ρ(r) en fonction de M (r).
4 – A partir de la contribution du halo au profile de vitesse de rotation (Eq. 1), calculer le profile de densité
ρ(r) du halo (On posera ρh = vh2 /(4πrh2 G) et x = r/rh ).
5 – Représenter qualitativement ce profile de densité.
6 – Que représente ρh ? Sachant que pour reproduire les observations, il faut vc,halo = 110 km/s et rh = 2 kpc,
calculer cette densité (en M /pc3 ).
Références
–
–
–
–
Begeman, PhD thesis (1987)
De Vaucouleurs, The Astrophysical Journal, 224 (1978)
Karachentsev et Sharina, Astronomy and Asrophysics, 324 (1997)
Swaters, Madore, Trewhella, The Astrophysical Journal, 531 (2000)