1°partie : filtre pour “caisson de basses”

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FILTRES ACTIFS POUR AMPLIFICATEURS Hi Fi
1°partie : filtre pour “caisson de basses”
Dans certaines installations Hi Fi, on dispose d’un “caisson de basses” qui a pour rôle de
restituer seulement les fréquences comprises entre 20 et 350 Hz environ. Il est donc inutile de lui
fournir tout le spectre des fréquences audibles (20 à 20 kHz). Dans ces conditions, l’amplificateur
Hi Fi associé, sera muni d’un filtre passe-bas convenable. Le filtre choisi est du type Butterworth
du second ordre dont la fonction de transfert T(ω) est donnée par l’équation (1) et la courbe de
réponse en fréquence en figure 1.
10
T(ω )
ATBF
T (ω ) =
(1)
2
1 − x + j .x 2
1
• ATBF : gain aux très basses fréquences
• x = ω/ωc pulsation réduite
0.1
0.1
x 10
1
0
• ωc fréquence caractéristique du filtre.
90
100
arg(T (ω ))
0.1
180
x 10
1
Figure 1
Le schéma du filtre passe-bas choisi est donné en figure 2. Il utilise trois amplificateurs
opérationnels supposés parfaits. La tension d’entrée v e est telle que : ve = Ve m sin(ωt)
d’amplitude constante et de pulsation variable.
R0
N3
A3
R0
e
vs3
R
R2
Entrée
C
R1
N1
ve
© Ph. ROUX 2005
Sortie
N2
e
A1
vs1
Figure 2
1
C
R
e
A2
vs2
2
1) Ecrire les équations aux noeuds du circuit en utilisant les conductances Gi associées aux
résistances Ri et la variable p = j.ω.
2) Déduire des équations précédentes, la fonction de transfert du filtre : T (ω ) =
v s2
en lui donnant
ve
une forme semblable à celle de l’équation (1).
3) En effectuant une comparaison entre l’expression précédente et l’équation (1) générale du filtre,
déterminer les expressions du gain ATBF, de la pulsation caractéristique ωc en fonction des éléments
du montage et la relation liant les résistances R et R2.
4) On désire obtenir ATBF = 10 et une fréquence caractéristique de 339 Hz. On choisit de prendre
pour R une valeur de10 KΩ. Calculer la valeur de R1, C et R2.
Quelle valeur peut-on donner à la résistance R0? Peut-on régler le gain du filtre sans modifier ses
autres caractéristiques ?
2°partie : filtre pour “haut-parleur d'aigus”
Dans certaines installations HiFi, on dispose d’un haut-parleur “tweeter”, spécialisé dans la
restitution des fréquences aigus. Ce dispositif a pour rôle de restituer seulement les fréquences
supérieures à 12 kHz environ. Il est donc inutile de lui fournir tout le spectre des fréquences
audibles (20 à 20 kHz). Dans ces conditions, l’amplificateur Hi Fi associé, sera muni d’un filtre
passe-haut convenable. Le filtre choisi est du type Butterworth du second ordre dont la fonction de
v
transfert T (ω ) = s2 est donnée par l’équation (2) et la courbe de réponse en fréquence en figure 3.
ve
T (ω ) =
− ATHF x 2
(2)
1 − x 2 + j .x 2
10
T(ω )
• ATHF : gain aux très hautes
fréquences
• x = ω/ωc pulsation réduite
• ωc fréquence caractéristique du
filtre.
1
0.1
0.1
1
200
10
180
100
0
x
90
arg(T (ω ))
0.1
1
Figure 3
x
10
3
Le schéma du filtre passe-haut choisi est donné en figure 4. Il utilise trois amplificateurs
opérationnels supposés parfaits. La tension d’entrée v e est telle que : ve = Ve m sin(ωt)
d’amplitude constante et de pulsation variable.
R0
N3
A3
R0
e
vs3
C
Entrée
C1
ve
R
R
N1
C
e
A1
vs1
Sortie
C2
N2
e
A2
vs2
Figure 4
5) Ecrire les équations aux noeuds du circuit en utilisant les conductances associées aux résistances
et la variable p = j.ω.
6) Déduire des équations précédentes, la fonction de transfert du filtre, à savoir : T (ω ) =
v s2
, en lui
ve
donnant une forme semblable à celle de l’équation (2).
7) En effectuant une comparaison entre l’expression précédente et l’équation générale du filtre,
déterminer les expressions du gain ATBF, de la pulsation caractéristique ω c et la relation liant les
capacités C et C2.
8) On désire obtenir ATHF = 10 et une fréquence caractéristique fc de 12 KHz.
On choisit de prendre C = 1 nF. Calculer la valeur de R, C1 et C2.
Quelle valeur peut-on donner à la résistance R0 ?
4
CORRIGE
Q1 :
R0
N3
A3
R0
e
vs3
R
R2
Entrée
C
R1
N1
ve
Avec p = jω on écrit : Z C =
Nœud N1 :
Nœud N2 :
Nœud N3 :
C
R
N2
e
vs1
A1
e
1
1
=
jωC pC
v e G1 + v s3G + pCv s1 = 0
v S1G + v S 2G2 + pCv s2 = 0
(3)
v s 2G 0 + v s 3G 0 = 0
(1)
(2)
Q2 : (3) -> v s2 = −v s3 amplificateur inverseur.
G + pC
(2) -> v s1 = −v s2 2
G


pC
(G2 + pC )
(1) -> v e G1 = v s2 G +


G
v s2 G1
1
=
2
C
G
ve G
1 − 2 ω 2 + jω 22
G
G
Q3 : Relation à comparer :
Sortie
T (ω ) =
ATBF =
R
R1
ATBF
(1)
1 − x + j .x 2
2
ωc =
1
RC
R = R2 2
Q4 : R1 = 1 kΩ
R2 = 7 kΩ
C = 47 nF
La résistance R0 est au choix du concepteur ( 10 kΩ par exemple).
Si on fait varier R1, on modifie seulement le gain.
A2
vs2
5
Q5 :
R0
N3
A3
R0
e
vs3
R
R2
Entrée
C
R1
N1
ve
Sortie
N2
e
vs1
A1
Nœud N1 :
Nœud N2 :
Nœud N3 :
v e pC1 + v s3 pC + v s1G = 0
v S1 pC + v S 2 pC2 + v s2G = 0
(3)
v s3 = −v s2
Q6 : (2) ->
v s1 = −v s2
(1) ->
C
R
e
A2
vs2
(1)
(2)
G + pC2
pC
v e pC1 = v s2 pC + v s2 (G + pC2 )
v s2
=−
ve
G
pC
ω2
C1C
G2
C2
C
1 − ω 2 + jω 2
G
G
2
v s2
ATHF x 2
=−
Q7 : La relation précédente est à comparer avec :
ve
1 − x 2 + jx 2
Il vient alors :
ATHF =
Q8 : R = 13,3 kΩ
C2 = 1,4 nF
C1
C
ωc =
1
RC
C1 = 10 nF
C2 = C 2
R0 au choix du concepteur.