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Corrigé de la colle no 10 I Simulation de VAR suivant des lois à densité usuelles 1 Loi uniforme sur [0; 1] Exercice 1: 1. Program uniforme1 ; var i :integer ; x :real ; begin randomize ; for i :=1 to 100 do begin x :=random ; write(x,’ ’) ; end ; end. 2. On remarque que le résultat est très difficile à lire à cause du fait que Pascal écrit les réels en écriture scientifique. On aimerait surtout connaitre les 3 premiers chiffres après la virgule. Deux solutions (parmi tant d’autres...) – On multiplie x par 1000 et on ne demande d’afficher que sa partie entière : – On utilise une fonction spécifique de turbo pascal : write(x :n :p) qui affiche le réel x en affichant n caractères dont p après la virgule. Par exemple write(x :5 :3) affichera un nombre avec 3 chiffres après la virgule et 1 avant. 3. – Program uniforme2 ; var i :integer ; x :real ; begin randomize ; for i :=1 to 100 do begin x :=random ; write(trunc(1000*x),’ ’) ; end ; end. – Program uniforme2bis ; var i :integer ; x :real ; begin randomize ; for i :=1 to 100 do begin x :=random ; write(x :5 :3,’ ’) ; end ; end. 4. On a l’intuition que 50% des résultats devraient être inférieur à 0,5 qui est la moyenne. On peut démontrer cela en remarquant que la question cherche à nous faire calculer P (X 6 0, 5) = F (0, 5). Or on connait la fonction de répartition d’une loi uniforme et donc F (0, 5) = 0, 5. Informatique Page 1 Colle no 10 : corrigé 2 Loi uniforme sur [a; b] Exercice 2: 1. On doit commencer par chercher la fonction de répartition de X. Notons F la fonction de répartition de U et G celle de X. x−a Par définition G(x) = P (X 6 x) = P (a + (b − a)U 6 x) = P ((b − a)U 6 x − a) = P U 6 b−a x−a . car b − a > 0. Donc G(x) = F b−a 0 si t < 0 Or on sait que F (t) = t si 0 6 t 6 1 . Donc 1 si t > 1 x−a < 0 alors G(x) = 0. • Si b−a x−a (On remarque que < 0 ⇔ x − a < 0 ⇔ x < a) b−a x−a x−a 6 1 alors G(x) = • Si 0 6 b−a b−a x−a (On remarque que 0 6 6 1 ⇔ 0 6 x − a 6 b − a ⇔ a 6 x 6 b) b−a x−a > 1 alors G(x) = 1. • Si b−a x−a (On remarque que > 1 ⇔ x − a > b − a ⇔ x > b) b−a 0 si x < a x − a Donc on a G(x) = si a 6 x 6 b . b−a 1 si x > b Ainsi X suit la loi uniforme sur [a; b]. 2. Program uniforme3 ; var i :integer ; x,a,b :real ; begin randomize ; write(’Valeur de a : ’) ; readln(a) ; write(’Valeur de b : ’) ; readln(b) ; for i :=1 to 100 do begin x :=a+(b-a)*random ; write(x :5 :3,’ ’) ; end ; end. 3. L’énoncé nous demande ici de calculer P (X 6 20) = G(20) = résultats devraient être inférieurs ou égaux à 20. Informatique Page 2 20 − 10 = 0, 2. En théorie 20% des 60 − 10 Colle no 10 : corrigé 3 Loi exponentielle Exercice 3: 1. On doit commencer par chercher la fonction de répartition de X. Notons F la fonction de répartition de U et G celle de X. 1 Par définition G(x) = P (X 6 x) = P − ln(1 − U) 6 x = P (ln(1−U) > −ax) = P (1 − U > e−ax ) = a P (U 6 1 − e−ax ) . Donc G(x) = F (1 − e−ax ) 0 si t < 0 Or on sait que F (t) = t si 0 6 t 6 1 . Donc 1 si t > 1 −ax • Si 1 − e < 0 alors G(x) = 0. (On remarque que 1 − e−ax < 0 ⇔ e−ax > 1 ⇔ x < 0) • Si 0 6 1 − e−ax 6 1 alors G(x) = 1 − e−ax (On remarque que 0 6 1 − e−ax 6 1 ⇔ 0 6 e−ax 6 1 ⇔ e−ax 6 1 car e−ax > 0 est toujours vraie. Donc on obtient −ax 6 0 ⇔ x > 0. ) • Si 1 − e−ax > 1 alors G(x) = 1. Comme une exponentielle est toujours positive ce cas ne peut jamais se produire ! ! ! ( 0 si x < 0 . −ax 1−e si x > 0 Ainsi X suit la loi exponentielle de paramètre a. Donc on a G(x) = 2. Program exponentiel ; var i :integer ; x,a :real ; begin randomize ; write(’Valeur de a : ’) ; readln(a) ; for i :=1 to 100 do begin x :=-ln(1-random)/a ; write(x :5 :3,’ ’) ; end ; end. 3. On doit ici calculer P (X 6 1) = G(1) = 1 − e−3 ≈ 0, 95. Donc en théorie 95% des résultats doivent être inférieur ou égaux à 1. 4 Simulation d’une VAR suivant la loi N (0, 1) Exercice 4: 1. On a E(Xn ) = n X k=1 n X n n V (Yk ) = . E(Yk ) = et comme les Yk sont indépendantes, V (Xn ) = 2 12 k=1 Xn − n/2 Donc Xn∗ = p n/12 2. Il suffit ici d’appliquer le théorème de la limite centrée car les VAR (Yk ) sont indépendantes, de même loi et admettent une variance non nulle. Ainsi Xn∗ converge en loi vers la loi normale centrée réduite. Informatique Page 3 Colle no 10 : corrigé 3. n > 30 4. Program normale ; var x,y :real ; i,k :integer ; begin randomize ; for i :=1 to 100 do begin y :=random ; for k :=2 to 30 do y :=y+random ; x :=(y-15)/sqrt(30/12) ; write(x :6 :3,’ ’) ; end ; end. 5. On nous demande dans cette question de calculer P (X 6 1, 9) = Φ(1, 9) ≈ 0, 9713 ≈ 97% II Exercice 3 EDHEC 2008 1 est continue sur [0; +∞[. Donc le (1 + x)2 problème d’intégration se pose uniquement en +∞. Soit A > 0 : A Z A 1 1 1 =1− dx = − 2 1+x 0 1+A 0 (1 + x) 1. Comme 1 + x 6= 0 lorsque x ∈ [0; +∞[, la fonction x → Z +∞ 1 1 dx est convergente et dx = 1. 2 (1 + x) (1 + x)2 0 0 1 1 2. a) Pour tout x ∈ R, −x ∈ R et f (−x) = = = f (x). Donc f est bien une 2 2(1 + | − x|) 2(1 + |x|)2 fonction paire. 1 Comme lim 1 − = 1, l’intégrale A→+∞ 1+A Z +∞ b) On remarque tout d’abord que f est bien une fonction à valeurs positives. De plus comme 1 + |x| = 6 0 pour tout réel x, la fonction f est continue sur R. Z +∞ Il nous reste à calculer f (x) dx. Comme f est une fonction paire, il suffit de montrer −∞ Z +∞ Z +∞ que f (x) dx est convergente et on pourra alors dire que f (x) dx est convergente et −∞ Z +∞ 0 Z +∞ f (x) dx = 2 f (x) dx. −∞ 0 Z +∞ 1 1 1 Or si x > 0, f (x) = = . Donc d’après la question 1. f (x) dx est 2(1 + x)2 2 (1 + x)2 0 1 convergente et vaut . 2 Z +∞ Z +∞ 1 Donc f (x) dx est convergente et f (x) dx = 2 = 1 2 −∞ −∞ En conclusion f est bien une densité de probabilité. 3. a) Calculer Y (Ω) signifie qu’il faut calculer les valeurs d’arrivée de Y . Comme la fonction x → ln(1 + |x|) est à valeur dans [0; +∞[ (car le logarithme d’un nombre plus grand que 1 est toujours positif) on a Y (Ω) = R+ . Informatique Page 4 Colle no 10 : corrigé b) Par définition G(x) = P (Y 6 x) = P (ln(1 + |X|) 6 x). • Comme on l’a vu dans la question précédente l’événement [ln(1 + |X|) 6 x] est impossible quand x < 0. Donc si x < 0, G(x) = 0. • Si x > 0, G(x) = P (1 + |X| 6 ex ) = P (|X| 6 ex − 1) = P (1 − ex 6 X 6 ex − 1) = F (ex − 1) − F (1 − ex ) ( 0 si x < 0 En conclusion G(x) = x x F (e − 1) − F (1 − e ) si x > 0 c) Pour obtenir une densité de Y il suffit de dériver G là où cette fonction est dérivable et de ≪ compléter ≫ les points manquants. On a donc ( 0 si x < 0 g(x) = x ′ x x ′ x e F (e − 1) + e F (1 − e ) si x > 0 ( 0 si x < 0 = x x x x e f (e − 1) + e f (−(e − 1)) si x > 0 ( 0 si x < 0 = x x 2e f (e − 1) si x > 0 d) On a pour x > 0, ex − 1 > 0 donc : 2ex f (ex − 1) = 2ex On a donc g(x) = Informatique ( 0 e−x 1 ex = = e−x 2(1 + ex − 1)2 e2x si x < 0 et donc Y suit la loi exponentielle de paramètre 1. si x > 0 Page 5 Colle no 10 : corrigé