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Representing Mathematics
with Digital Media
• STREP Number IST4-26751 (FP 6)
• 42 months (Dec. 2005 - May 2009)
• Six teams
Le constructionisme
Jean-baptiste Lagrange
et Fabrice Vandebrouck
Laboratoire de Didactique André Revuz
Séminaire LDAR 1er octobre 2010
Key Objectives
1. To bridge the gap between technology and
pedagogy
2. A representations-based approach to cognition
in learning mathematics
–
–
– Instituto Technologie Didattiche, ITD Genova
– Università degli Studi, UNISI Siena
– National Kapodistrian University, ETL Athens
– Institute of Education, IOE London
– Université Joseph Fourier, Mehta Grenoble
– Université Paris Diderot, Didirem Paris
Les cadres théoriques initiaux
ETL
we can only access and operate on Mathematical
objects by means of representations.
the potential impact of ICT tools on mathematical
learning seen through the filter of representations.
3. Support to teachers and learners
offering tools that address
– not only individual cognition
– but also the entire learning situation
4. Integration of efforts in the European context
–
how different theoretical frameworks deal with the
question of representations.
A special methodology:
the cross case studies
ETL
Didirem
UNISI
alien
familiar
Casyopée
alien
familiar
Cruislet
alien
Plan
• Présentation du constructionisme
• Comment l'expérimentation croisée permet de
situer nos approches en regard d'une approche
constructioniste et d'apprécier leurs points forts
mais aussi leurs limites.
• Dans quelle mesure les changements
curriculaires nous conduisent à faire évoluer nos
approches et la contribution que le
constructionisme peut nous apporter pour cela.
1
Le constructionisme
• Quelques dates
– 1980 Seymour Papert "Jaillissement de l'esprit"
(Mindstorm).
– 1987 Constructionism: A New Opportunity…
– 1991 Papert and Harel's
Constructionism (Ablex Publishing)
– 1996 Hoyles et Noss
Windows on mathematical meanings (kluwer)
– 2006 Hanoi Papert: From the Math Wars to the New
New Math
– 2010 EuroLogo -> Constructionism 2010
Papert Harel (1991)
• “constructionism shares constructivism's
connotation of learning as "building
knowledge structures" (and)
then adds the idea that this happens
especially effectively when learners are
engaged in construction for a “public”
audience".
Constructionism: A New
Opportunity for Elementary
Science Education (1987)
• The word constructionism is a mnemonic for two
aspects of the theory of science education
underlying this project.
– From constructivist theories of psychology we take a
view of learning as a reconstruction rather than as a
transmission of knowledge.
– Then we extend the idea of manipulative materials to
the idea that learning is most effective when part of
an activity the learner experiences as constructing a
meaningful product.
Changer la classe de
mathématiques
• I dropped in periodically to watch students working on soap sculptures
and mused about ways in which this was not like a math class. In the
math class students are generally given little problems which they
solve or don't solve pretty well on the fly.
• In this particular art class they were all carving soap, but what each
students carved came from wherever fancy is bred and the project
was not done and dropped but continued for many weeks. It allowed
time to think, to dream, to gaze, to get a new idea and try it and drop it
or persist, time to talk, to see other people's work and their reaction to
yours--not unlike mathematics as it is for the mathematician, but quite
unlike math as it is in junior high school.
• An ambition was born: I want junior high school math class to be like
that. I didn't know exactly what "that" meant but I knew I wanted it. I
didn't even know what to call the idea. For a long time it existed in my
head as "soap-sculpture math."
Les micro-mondes
The “transfer problem”
• (In) a report of the MIT AI Lab it was used rather
casually to describe 'a possible multitude of even smaller
fragmentations of problem solving domains and the
cognitive schemata which might be assumed to develop
from interacting with those domains’
• Thus microworlds were born in the AI community as a
way of capturing the notion of problem solving within an
arena sufficiently constrained that computers might be
able to achieve a solution. It was Papert who made a
small but significant change to the idea - the simple and
constrained arena became part of a knowledge domain
with epistemological significance.
• Simply put, Papert’s argument is that programming is
best seen as a means of fostering a way of thinking
which might make it easier to learn ‘official mathematics’.
• Some have interpreted Papert as implying that any study
concerned with evaluating effect or outcome is irrelevant.
A careful consideration proves this to be false. Papert's
view is that there is nothing automatic about learning
outcomes; on the contrary they involve:
– Identification of what is to be taught and learned - something
different from what is to be judged as an outcome;
– The construction of a setting in which this may take place;
– The hypothesis that this will result in making something else
(algebra or geometry say) more learnable.
2
Dans la didactique “française”
Symétrie orthogonale et micro-ordinateur
Elisabeth Gallou-Dumiel
• R.D.M. Vol. 8.1-2 1987
• Symétrie orthogonale et micro-ordinateur, par
Elisabeth GALLOU-DUMIEL
• Schemas Used by 12 Year Olds in Solving
Selected Turtle Geometry Tasks, par J. HILLEL
& C. KIERAN.
• What are the Links between Variable in Logo
and Variable in Algebra, Rosamund
SUTHERLAND.
• Children Working in a Structured Logo
Environment : from Doing to Understanding, par
Celia HOYLES & Richard NOSS.
• L’article présente une séquence d’apprentissage de la
symétrie orthogonale réalisable dans une classe de
quatrième, dans laquelle l’élève est conduit à mettre en
oeuvre des procédures lui faisant déterminer le
symétrique d’un angle. Nous avons choisi de faire
travailler les élèves sur micro-ordinateur avec des
commandes Logo, les contraintes dues à cette situation
favorisant les procédures en question.
• Dans ce travail sont présentés les choix des variables
didactiques dans la construction de cette séquence,
une analyse de l’évolution des conceptions des
élèves au cours de la séquence. Cette analyse est faite
à l’aide d’une étude analogue pour des élèves ayant à
faire la même tâche dans des conditions dites "papier
crayon".
Children working in a structured logo environment :
from doing to understanding Hoyles, Noss
• Nous rendons compte des résultats d’une étude portant
sur des élèves engagés dans une activité mathématique
dans le contexte d’un micro-monde Logo centré sur le
concept de parallélogramme. L’objectif était d’étudier la
façon dont les élèves deviennent progressivement
conscients des relations portant sur le
parallélogramme, et comment ils les généralisent.
• Les données ont été analysées du point de vue d’un
modèle général de l’apprentissage des
mathématiques dans des situations fonctionnelles et
signifiantes.
Children working in a structured logo environment :
from doing to understanding Hoyles, Noss
The potential exploitation of technology designed for a
more learnable mathematics.
• L’analyse des données suggère la façon dont un
environnement Logo peut fournir un contexte
dans lequel des concepts peuvent être
d’abord utilisés puis compris.
• Ce contexte serait fondé sur l’interaction entre
les modes de pensée visuelle et symbolique, les
éléments partiels de discrimination qui sont
construits, et la façon dont l’ordinateur
intervient comme une structure de soutien
cognitif pour l’apprenant.
Weblabs
3
Weblabs
Add-a-number
challenge
Add-up challenge
Guess my Robot
activity
Web Report
Train a robot to enumerate the
natural numbers.
Generate basic number
sequences and their partial
sums.
Pose and solve number sequence
challenges.
Group reflection on number
sequence explorations.
Guess my robot
• Nasko posted his response. He had built a robot that produced
Rita's five terms, So, he posed a two-part challenge back at Rita:
– Could she use his robot to generate a new sequence of five terms?
– Could she use her robot to generate the same sequence?
• Rita was totally surprised: Nasko and Ivan had solved her
challenge, but their robots seemed completely different from hers.
• She worked out what inputs Nasko must have given his robot, and
showed that her robot could in fact generate the same output as
his.
• She has made a new robot that subtracted one stream of outputs
from the other and had watched the robots create a stream of
zeros. She had generated thousands of zeros in this way and was
convinced that this was a 'proof' of her conjecture that the
sequences were the same.
Constructionism 2010
• We have at this conference a tremendous opportunity to
study examples of genuine constructionist practice. Can
we abstract from these examples some organising
structures, elements of a new ontology for educational
transformation?
• This is the challenge for this conference: to reconstruct
the idea of constructionism and transform it from a
framework (or slogan) for action into a set of ontological
innovations, ways of conceptualising what people do in
constructionist environments.
• Lenin once said that for revolution, only two conditions
were necessary.
• 2006 Hanoi ICMI Study 17th conference
Papert:
• From the Math Wars to the New New Math
- L’ordinateur utilisé pour enseigner des savoirs
contextualisés au papier/crayon (exemple: la
numération romaine)
- Consacrer 10% du temps et de l’énergie à
penser aux futurs possibles en nous libérant
des contraintes courantes.
Cruislet
Cruislet est dé
décrit comme un
environnement informatique
pour de la navigation dans l’l’espace
géographique 3D
à l’aide d’
d’outils mathé
mathématiques
– One it that people cannot continue in the old way.
– The other condition was that people could see some alternative
to the old way.
4
L’interface Cruislet
Visionneuse de la
carte de Grèce
CARTE 3D
CARTE 2D
Visionneuse de la carte de Grè
Grèce
Pilotage d’
d’un avatar et
programmation logo
CARTE 2D
Pilotage d’un avatar
• L’avatar laisse une trace lors de son
déplacement, repré
représentation d’
d’un vecteur .
Pilotage de l’avatar : mode 1
• Repé
Repérage carté
cartésien (lat
(lat,, long, altitude) et
absolu
5
Pilotage de l’avatar : mode 2
• Repé
éta,
Repérage sphé
sphérique (th
(thé
ta, phi, r) et relatif
Exportation / Programmation logo
•
•
•
•
•
SETPOS(37.9737 23.7278 5000)
make "a 0
repeat 3 [wait(80)
make "a :a+120
SETDIR(:a 0 10000)]
A partir du point de latitude, longitude,
altitude donné
données,
es, déplacement suivant un
triangle équilaté
quilatéral (θ=0 Æ θ=120 Æ
θ=240), à altitude constante (phi=0)
et de côté
côté 10000
Intensions des concepteurs
• Utiliser les technologies pour « explorer des idé
idées
mathé
mathématiques »
• Utilisant le fait que les étudiants sont déjà familiers avec les
repré
représentations 3D de ce type (Google map,
map, jeux vidé
vidéos…
os…)
• Pas de connaissances né
nécessaires sur les coordonné
coordonnées
géographiques ou sphé
sphériques, pas de compé
compétences en
programmation né
nécessaire – « simple en compré
compréhension,
facilement utilisable par des non experts »
Expérimentation grecque :
fonctions comme covariations
dans l’l’espace gé
géographique
• Phase 1 : Familiarisation
– Coordonné
Coordonnées (gé
(géographiques, sphé
sphériques),
navigation libre (pas de tâche)
– Déplacement d’
d’un avatar avec les deux modes
de dé
déplacement
– Éditer des commandes
– Utiliser les 2 systè
systèmes de coordonné
coordonnées pour
faire des conjectures sur leur relations
6
Expérimentation grecque :
suite
• Phase 2 : Devine mon vol (guess
(guess my fly)
fly)
– Programme logo boite noire qui ré
régit le
déplacement de l’l’avatar 2 par rapport au
déplacement de l’l’avatar 1
– Les étudiants doivent dé
déplacer l’l’avatar 1 (mode
1 / gé
géographique) et conjecturer la fonction (en
fait 3 fonctions affines)
– Ensuite, changer la fonction dans le programme,
échanger avec d’
d’autres binômes, leur faire
deviner…
deviner…
Expérimentations françaises
• Difficulté
Difficulté de trouver des
« niches institutionnelles »
– Introduction aux TPE en 1ère S
– Visite des collé
collégiens à l’irem
• et des connaissances mathé
mathématiques
« jouables »
– Trigonomé
Trigonométrie et vecteurs (connaissances
anciennes, ré
réinvestissement, adaptations au
nouvel environnement)
– Interactions avec prof d’
d’histoire / gé
géo en 1ère S
Expérimentation de Cruislet
en troisième (collégiens à l’irem)
• Phase 1 : Dé
Découverte du logiciel
– Exploration de la carte de Grè
Grèce avec le
pointeur : chercher des longitudes, latitudes,
altitudes de villes Grecques
– Bilan, comparaison des valeurs
– Villes les plus à l’est, à l’ouest…
ouest…
• Cré
Création d’
d’un avatar (en collectif et en
individuel en même temps)
– Faç
Façons de le dé
déplacer... demandes d’
d’actions
et d’
d’anticipations
Expérimentation de Cruislet
en troisième (collégiens à l’irem)
• Phase 2
– Défit entre groupes : poser l’l’avatar
(hé
(hélicoptè
licoptère) sur le mont Olympe
– Doivent trouver ses coordonné
coordonnées sur le net,
qui s’
s’avè
avèrent approximatives
– Utilisation du dé
déplacement par position puis
par direction pour se poser le plus haut
possible – feedback « crash »
– Bilan
Expérimentation de Cruislet
en 1ère S
Séance 1 : en classe entiè
entière
• Découverte du logiciel
– Exploration de la carte de Grè
Grèce
– Cré
Création d’
d’un avatar et dé
déplacement…
placement…..
• Travail de groupe pour pré
préparer un
voyage d’
d’Athè
Athènes à Sparte + collective
discussion
7
Expérimentation de Cruislet
en 1ère S (et phase 3 en 3ème)
Séance 2 : en salle ordinateurs
• Programmation effective du vol Athè
Athènes
Sparte
Expérimentation de Cruislet
en 1ère S
Séance 1
• Découverte du logiciel
• Travail de groupe pour pré
préparer un
voyage d’
d’Athè
Athènes à Sparte.
– Le plus court possible
– À une altitude la plus basse possible
Expérimentation de Cruislet
en 1ère S (et phase
récréative collective en 3ème)
Séance 3 : en salle ordinateurs
• Adaptation d’
d’un programmation logo
donné
donné (ou pré
présenté
senté collectivement)
– Vol triangle équilaté
quilatéral altitude constante
– Hexagone ré
régulier
– Cercle
–…
8
Cadre théorique sous jacent :
• Mathé
Mathématisation dans un environnement
constructioniste : un « half baked microworld » :
– qui incorpore des idé
idées mathé
mathématiques
– qui invite à changer des paramè
paramètres (manipuler)
• Invite à des activité
activités constructionistes et est conç
conçu
pour la mathé
mathématisation à travers l’l’instrumentalisation
• Thé
Théorie individuelle pour l’l’apprentissage mais
dimension sociale car les étudiants travaillent par 2 ou
3 (é
(échanges, argumentations)
• it is obvious that the design decisions were influenced mainly
by the constructionist perspective of provided students with
dynamic media that support immediate visualization of multiple
linked representations
– any action carried on a specific representation provides immediate
immediate
change and feedback in all representations
– changes in one representational system are reflected in another, and
such that manipulations can be performed in any of these systems
• In such settings learners are engaged in constructing public
entities (constructions) implying an explicit appreciation of the
relationships between mathematical objects within any situation
• ... however, these mathematics are integrated with geogeo-spatial
representations and information, providing opportunities for
processes of mathematisation of geographical space
• Grecs : Pas de but mathé
mathématique pré
précis, investir ce qui
ressort spontané
spontanément des interactions entre étudiants et
tenter de faire du sens avec cela, le rôle du prof est
d’intervenir straté
stratégiquement pour aider les étudiants à
« se concentrer sur le problè
problème mathé
mathématique » , à
« avoir du contrôle » , encourager « la mathé
mathématisation
et l’l’abstraction »
• Nous :
– Définition pré
précise de tâches, bien choisies, anticipations,
analyses a priori, contrôler au mieux les interactions possibles
entre l’é
tudiant et le milieu, anticipation de la gestion, du partage
l’étudiant
des responsabilité
responsabilités respectives prof / élèves par rapport à la
tâche…
tâche…
– Sensibilité
Sensibilité plus forte à la progression dans la prise en main
(alternance de phases individuelles et collectives pré
prévues)
donc
• Cruislet : les mathé
mathématiques sont mixé
mixées avec les
concepts relatifs à la géographie,
ographie, à la navigation…
navigation… Les
mathé
mathématiques semblent un outil pour cré
créer des
déplacements qui n’ont du sens que dans
l’environnement Cruislet
• Habitude de logiciels qui favorisent plus directement
l’apprentissage d’une notion mathé
mathématique bien pré
précise,
cise,
que l’on peut décontextualiser,
contextualiser, qu’
qu’on applique ou qui se
construit comme solution pour résoudre un problè
problème
En ce qui concerne l’analyse
des données
• « Le focus de l’l’analyse est sur le processus par lequel des
connaissances mathé
mathématiques (implicites) sont construites durant les
phases d’
d’activité
activité partagé
partagée des étudiants »
• « La faç
tudiant externalize sa pensé
façon dont l’é
l’étudiant
pensée dé
démontre qu’
qu’il a
compris l’l’interdé
interdépendance entre longitude et thé
théta »
• « Les étudiants sont partis de descriptions (derriè
(derrière, devant, à
gauche…
gauche…) puis ont pu formuler la relation de dé
dépendance fonctionnelle
pour chaque coordonné
coordonnée »
• « D’un point de vue thé
théorique, ils ont mathé
mathématisé
matisé l’activité
activité de jeu en
instrumentalisant le « half backed microworld » fourni » (il y a donc une
analyse de la progression dans l’l’instrumentalisation du logiciel)
9
Les cadres théoriques après ReMath
Constructionism and TDS
• In common
– influence of a socio-constructivist vision of learning
through the interaction with an appropriate milieu
– interactions have to be organized in their social
dimension
– conditions for productive interactions have to be
controlled
• TDS wants this control to extend to hypothetical
learning trajectories coherent with the
epistemological vision of designers.
Context
PROGRAMME DE MÉTHODES ET PRATIQUES SCIENTIFIQUES EN
CLASSE DE SECONDE GÉNÉRALE ET TECHNOLOGIQUE
Enseignement d’exploration
• Cet enseignement d’exploration vise à développer les compétences
suivantes :
– savoir utiliser et compléter ses connaissances ;
– s’informer, rechercher, extraire et organiser de l’information utile (écrite,
orale, observable, numérique) ;
– raisonner, argumenter, pratiquer une démarche scientifique, démontrer ;
– communiquer à l’aide d’un langage et d’outils adaptés.
• Dans le cadre d’une démarche de projet, on demande à l’élève un
travail personnel ou d’équipe qui
– devra intégrer obligatoirement une production (expérience, exploitation
de données, modélisation, etc.)
– et aboutir à une forme de communication scientifique (compte rendu de
recherche, affiche, diaporama, production multimédia etc.).
– When successful, it evidences a high level of theoretical
control over didactical phenomena,
– When anticipations are made difficult it can lead to
implementations where the forced realization of
anticipated trajectories can become an obstacle to
genuine meaning making activity
Ressources pour la classe de seconde
• Il est important de noter que l’algorithmique
modifiera profondément le rapport entre l’élève
et les outils ou instruments auxquels il sera
confronté dans son environnement scolaire
• et particulièrement ceux habituellement
identifiés comme issus du monde des TIC dans
l’enseignement (calculatrices, ordinateurs,
logiciels mais aussi divers objets comme les
appareils photos numériques, etc.).
Références
•
Hoyles, C., Lagrange, J.B., Noss, R. (2006) Developing and evaluating
alternative technological infrastructures for learning mathematics. In
Maasz and Schloeglmann (eds.), New Mathematics Education Research
and Practice. Sense publishers.
•
Le Feuvre, B., Meyrier, X., Lagrange, J.B. (2010) Apprendre des notions
mathématiques, géographiques et algorithmiques à l’aide d’un
environnement de navigation 3D au-dessus de la Grèce. MathémaTICE
http://revue.sesamath.net/spip.php?rubrique65 (à paraître aussi dans
Repères IREM)
•
Noss, R. & Hoyles, C. (1996) Windows on Mathematical Meanings:
Learning Cultures and Computers. Dordrecht: Kluwer.
•
Noss, R.(2010) Reconstructing Constructionism. In Clayson &
Kalas (eds.) Proceedings of Constructionism 2010, AUP, Paris
•
Papert, S., and Harel, I. (1991) Situating Constructionism. In Harel &
Papert (eds.) Constructionism. Norwood, NJ: Ablex
•
Papert, S., 1980 : Mindstorms, Children, Computers, and
Powerful Ideas. Basic Books, New York.
Traduction française : Jaillissement de l'esprit, Flammarion.
WP1_DEL18.pdf sur http://remath.cti.gr/ section documents
•
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