les bases de l`analyse harmonique

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LES BASES DE L’ANALYSE HARMONIQUE
Jérôme Gilles
UCLA
JGS
TROISIEME PARTIE
Ondelettes
JGS
Au menu ...
Rappel sur les limitations de la TFCT
Familles d’ondelettes et plan temps-fréquence “adaptatif”
Transformée en ondelette : définition et propriétés
Principe de l’Analyse Multirésolution (AMR)
Extensions au cas 2D
Applications (approximation, débruitage, compression)
JGS
Rappels ...
La TFCT
Z
+∞
Sf (ν, τ ) =
−∞
w(t − τ )f (t)e−2πνt dt
Pavage rigide du plan temps-fréquence
τ
∆t
ν
∆ν
JGS
Les limites de la TFCT
JGS
Plan temps-fréquence adaptatif
τ
∆t
∆ν
∆t
∆ν
∆t
∆ν
ν
JGS
Plan temps-fréquence adaptatif
τ
∆t
∆ν
∆t
∆ν
∆t
∆ν
⇒ Ondelettes
JGS
ν
Un peu d’histoire ...
1946, Denis Gabor : TFCT avec fenêtre gaussienne.
JGS
1982, Jean Morlet : applications en géophysique, propose
d’échanger la modulation par la dilatation d’une fonction
fixe.
JGS
fixe.
1984, Alex Grossmann et l’équipe de Marseille : lien entre
l’ondelette de Morlet et les états cohérents en physique
quantique + lien avec la théorie des frames.
JGS
fixe.
1985, Yves Meyer : fait le lien avec l’analyse harmonique et
pose tous les fondements mathématiques de la théorie +
découverte de l’existence d’une base orthonormée (1986).
JGS
fixe.
1985, Yves Meyer : fait le lien avec l’analyse harmonique et
pose tous les fondements mathématiques de la théorie +
découverte de l’existence d’une base orthonormée (1986).
et ensuite . . . : S.Mallat, I.Daubechies, R.Coiffman,
A.Cohen, . . .
JGS
Avant avec Fourier
Z
+∞
f̂ (ν) =
−∞
f (t)e−2πνt dt = hf , e2πνt i
On projete le signal f sur la famille de fonctions {e2πνt }.
C’est cette famille qui fixe la structure du pavage du plan
temps-fréquence.
JGS
Avant avec Fourier
Z
+∞
f̂ (ν) =
−∞
f (t)e−2πνt dt = hf , e2πνt i
On projete le signal f sur la famille de fonctions {e2πνt }.
C’est cette famille qui fixe la structure du pavage du plan
temps-fréquence.
Peut-on trouver une autre famille de fonctions qui nous
donnerait le pavage souhaité ?
JGS
Famille d’ondelettes
On choisit une ondelette “mère” ψ(t) telle que
(moyenne nulle) et kψkL2 = 1
R∞
−∞ ψ(t)dt
=0
On construit une famille
d’ondelettes par
dilatation/contraction (facteur
a ∈ R+ ) et translation (facteur
b ∈ R) de l’ondelette mère :
1
t −b
ψa,b (t) = √ ψ
a
a
Rq : kψa,b kL2 = 1
JGS
Transformée en ondelettes
CWT
Wf (a, b) = hf , ψa,b i =
Z
+∞
−∞
1
f (t) √ ψ ∗
a
Condition d’admissibilité : si Cψ =
R +∞
0
t −b
a
|ψ̂(ν)|2
dν
ν
dt
< +∞ alors
Transformée inverse
Z +∞ Z +∞
1
1
t −b
da
f (t) =
Wf (a, b) √ ψ
db 2
Cψ 0
a
a
a
−∞
JGS
Premières propriétés
Conservation de l’énergie
Z +∞ Z +∞
Z +∞
1
da
|f (t)|2 dt =
|Wf (a, b)|2 db 2
C
a
ψ 0
−∞
−∞
La CWT est un filtrage !
Si l’on écrit
1
ψ̄a (t) = √ ψ ∗
a
−t
a
alors
Wf (a, b) = f ? ψ̄a (b)
c̄ (ν) = √aψ
c∗ (aν).
Rq : ψ
a
JGS
Interprétation
La transformée en ondelette est un filtrage du type
passe-bande !
ψ̂a0 ψ̂a1
ψ̂a2
ν
Conséquence : on ne peut pas avoir la fréquence nulle −→
complémentarité obtenue avec la fonction d’échelle.
JGS
Fonction d’échelle 1/2
Hyp : on connait Wf (a, b) pour a < a0 −→ on a besoin de
connaître l’information pour a > a0 pour reconstruire
parfaitement f . Pour cela on utilise la fonction d’échelle qui est
définie à partir de l’ondelette utilisée par le biais de leurs TF :
Z +∞
dξ
2
|φ̂(ν)| =
|ψ̂(ξ)|2
ξ
ν
Ici aussi on peut écrire φ̄a (t) = √1a φ∗ −t
a et l’information
manquante peut être vue comme un filtrage passe-bas :
t −u
1
Lf (a, b) = f (t), √ φ
= f ? φ¯a (u)
a
a
JGS
Fonction d’échelle 2/2
φ̂a0ψ̂a0 ψ̂a1
ψ̂a2
ν
La reconstruction s’obtient alors par :
Z a0
1
da
f (t) =
Wf (a, .) ? ψa (t) 2
Cψ 0
a
1
+
L (a, .) ? φa0 (t)
Cψ a0 f
JGS
Pavage de plan temps-fréquence
τ
a0∆t
∆ν/a0
a1∆t
∆ν/a1
ν
JGS
Discrétisation
Signaux échantillonnés (pas = N −1 ).
JGS
Discrétisation
Echelles discrètes : a = (21/ν )j (ν échelles par octave
[2j , 2j+1 [).
JGS
Discrétisation
[2j , 2j+1 [).
1/ν
L’ondelette dilatée
est donc définie par (d = 2 )
ψj [n] = √1 j ψ dnj .
d
JGS
Discrétisation
[2j , 2j+1 [).
1/ν
ψj [n] = √1 j ψ dnj .
d
TransforméePdiscrète :
∗
? ψ̄j [n] (périodisation
Wf [n, d j ] = N−1
m=0 f [m]ψj [m − n] = f du signal).
JGS
Discrétisation
[2j , 2j+1 [).
1/ν
ψj [n] = √1 j ψ dnj .
d
∗
Wf [n, d j ] = N−1
Fonction d’échelle : φJ [n] = √1 J φ dnJ où a0 = d J .
d
JGS
Discrétisation
[2j , 2j+1 [).
1/ν
ψj [n] = √1 j ψ dnj .
d
∗
Wf [n, d j ] = N−1
Fonction d’échelle : φJ [n] = √1 J φ dnJ où a0 = d J .
d
BF s’obtiennent
PN−1par : ∗
J
? φ̄J [n]
Lf [n, d ] = m=0 f [m]φJ [m − n] = f JGS
Quelques exemples 1/4
Même signaux de test que le cours sur Fourier :
400Hz
30Hz
150Hz
0
0.39 0.4
0.78 0.8
JGS
1
t
JGS
JGS
JGS
Notions de Bases et Trames
En géometrie
Orthogonal Basis
Frame
Biorthogonal basis
Bases orthogonales
{en } est une base orthogonale si hen , em i = 0 si m 6= n.
JGS
En géometrie
Orthogonal Basis
Frame
Biorthogonal basis
Trame (frame)
{en } est une
P trame si ∃A, B > 0 telles que
Akf k2L2 6 n∈Γ |hf , en i|2 6 Bkf k2L2 ⇒ redondance.
La reconstruction se fait à l’aide de l’opérateur pseudo-inverse
qui utilise une trame dual {ẽn }.
Si A = B on a alors une trame ajustée (tight frame)
Si A = B = 1 on a alors une base orthonormée.
JGS
En géometrie
Orthogonal Basis
φ̂a0ψ̂a0 ψ̂a1
Frame
Biorthogonal basis
ψ̂a2
Base orthogonale
ν
φ̂a0ψ̂a0 ψ̂a1
ψ̂a2
Trame
ν
JGS
En géometrie
Orthogonal Basis
Frame
Biorthogonal basis
Base biorthogonale
Soit deux familles d’ondelettes {ψj,n } et {ψ̃j,n }, elles sont dites
biorthogonales si
hψj,n , ψ̃j 0 ,n0 i = δ[n − n0 ]δ[j − j 0 ]
JGS
∀(j, j 0 , n, n0 ) ∈ Z4
Un cas particulier : le cas dyadique
Les échelles sont discrétisée en prennant a = 2j .
1
t − 2j n
√
ψj,n (t) =
ψ
2j
2j
(j,n)∈Z2
Plusieurs avantages :
Possibilité de construire “facilement” des bases
orthogonales ayant certaines propriétés (régularité,
compacité du support, . . .).
Lien avec la théorie des filtres miroirs conjugués.
Algorithme rapide en utilisant des bancs de filtres
sous-échantillonnés.
Construction aisée d’une analyse multirésolution.
JGS
Analyse Multirésolution (AMR)
AMR
Vj
∀(j, k ) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔
f (t − 2j k ) ∈ Vj
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj
∀j ∈ Z, f (t) ∈ Vj ⇔ f 2t ∈ Vj+1
T
limj→+∞ Vj = +∞
j=−∞ Vj = {0}
S+∞
limj→−∞ Vj = j=−∞ Vj = L2 (R)
∃{θ(t − n)}n∈Z base de Riesz de
V0 .
JGS
AMR
∀(j, k ) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔
f (t − 2j k ) ∈ Vj
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj
∀j ∈ Z, f (t) ∈ Vj ⇔ f 2t ∈ Vj+1
T
j=−∞ Vj = {0}
S+∞
limj→−∞ Vj = j=−∞ Vj = L2 (R)
V0 .
Vj+1
Wj+1
JGS
AMR
∀(j, k ) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔
f (t − 2j k ) ∈ Vj
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj
∀j ∈ Z, f (t) ∈ Vj ⇔ f 2t ∈ Vj+1
T
j=−∞ Vj = {0}
S+∞
limj→−∞ Vj = j=−∞ Vj = L2 (R)
V0 .
JGS
AMR
∀(j, k ) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔
f (t − 2j k ) ∈ Vj
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj
∀j ∈ Z, f (t) ∈ Vj ⇔ f 2t ∈ Vj+1
T
j=−∞ Vj = {0}
S+∞
limj→−∞ Vj = j=−∞ Vj = L2 (R)
V0 .
JGS
AMR
V0
∀(j, k ) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔
f (t − 2j k ) ∈ Vj
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj
∀j ∈ Z, f (t) ∈ Vj ⇔ f 2t ∈ Vj+1
T
j=−∞ Vj = {0}
S+∞
limj→−∞ Vj = j=−∞ Vj = L2 (R)
V0 .
JGS
AMR et ondelettes
Vj ⇔ basses résolutions ⇔ aj [n] = hf , φj,n i
Wj ⇔ hautes résolutions (détails) ⇔ dj [n] = hf , ψj,n i
JGS
AMR et ondelettes
Vj ⇔ basses résolutions ⇔ aj [n] = hf , φj,n i
Wj ⇔ hautes résolutions (détails) ⇔ dj [n] = hf , ψj,n i
Théorème de Mallat (transformée récursive)
Numériquement, on peut construire des filtres numériques h et g
correspondant respectivement à φ et ψ tels que
aj+1 [p] =
+∞
X
n=−∞
dj+1 [p] =
+∞
X
n=−∞
JGS
h[n − 2p]aj [n]
g[n − 2p]aj [n]
Exemple de filtres
JGS
Transformée en ondelettes rapide
aj
h̄
2
ḡ
2
aj+1
h̄
2
aj+2
ḡ
2
dj+2
dj+1
Decomposition
Reconstruction
aj+2
2
h
dj+2
2
g
+
aj+1
2
h
2
g
+
aj
dj+1
h̄[n] = h[−n]
ḡ[n] = g[−n]
JGS
Exemples (sans sous-échantillonnage)
JGS
JGS
JGS
Extension en 2D
⇒ 2 variables ⇒ φ(x, y ) et ψ(x, y ).
JGS
Extension en 2D
⇒ 2 variables ⇒ φ(x, y ) et ψ(x, y ).
Deux stratégies
Construire directement des fonctions à deux variables (ex :
filtres de Gabor).
Utiliser des filtres séparables via des transformées 1D.
JGS
Extension en 2D : Construction directe
Ex : ondelettes de Gabor, ondelette de Morlet, ondelette de Cauchy,
...
JGS
Extension en 2D : par transformées séparables
Idée : on filtre d’abord dans une direction puis dans l’autre grace
aux filtres 1D.
⇒ Extension directe de l’algorithme de Mallat.
aj
h̄
ḡ
2
2
Filters applied in
the horizontal direction
h̄
2
aj+1
ḡ
2
d1j+1
h̄
2
d2j+1
ḡ
2
d3j+1
Filters applied in
the vertical direction
JGS
Extension en 2D : par transformées séparables
aj+1
2
h
d1j+1
2
g
d2j+1
2
h
d3j+1
2
g
+
2
h
2
g
+
+
Filters applied in
the vertical direction
Filters applied in
the horizontal direction
JGS
aj
Transformée en 2D
JGS
Transformée en 2D
JGS
Transformée en 2D
JGS
Transformée en 2D
JGS
Interprétation dans le domaine de Fourier
ν2
3
ψ̂j−1
1
ψ̂j−1
3
ψ̂j−1
ψ̂j1
2
ψ̂j−1
ψ̂j2
φ̂j
ψ̂j2
2
ψ̂j−1
ν1
ψ̂j1
3
ψ̂j−1
1
ψ̂j−1
JGS
3
ψ̂j−1
La 2D : un monde particulier !
Ondelettes séparables ⇒ analyse suivant les axes.
Dans une image l’information peut suivre n’importe quelle direction.
Separable wavelet
approximation
Desired approximation
JGS
De meilleures familles . . .
On peut construire des trames adaptées à la notion de direction,
voire à la géométrie même de l’image.
JGS
De meilleures familles . . .
On peut construire des trames adaptées à la notion de direction,
voire à la géométrie même de l’image.
⇒ ridgelettes, curvelettes, contourlettes, edgelettes, bandelettes,. . .
JGS
Contourlettes
.........
f
Laplacian Pyramid
..
..
.........
Pyramide Laplacienne pour
l’aspect multirésolution
...
...
Directional Filter
Bank 2
Filtres directionnels basés sur
les filtres en quinqux
Directional Filter Bank 1
JGS
Contourlettes
JGS
Applications
Débruitage
Compression
...
JGS
Prémisces : notion d’approximation
Chaque coefficient apporte son lot plus ou moins important
d’information
Original
JGS
d’information
Original
Coefficients d’ondelette (Daubechies)
JGS
d’information
Reconstruction sans la HR
Original
JGS
Seuillage doux (Soft thresholding)
Soit un seuil T
(
0
HT (x, T ) =
sign(x)(|x| − T )
si
si
|x| 6 T
|x| > T
Seuillage dur (Hard thresholding)
Soit un seuil T
(
0
HT (x, T ) =
x
JGS
si
si
|x| 6 T
|x| > T
Exemple de seuillage doux
Original
T = 50
T = 100
T = 1000
JGS
Exemple de seuillage dur
Original
T = 50
T = 100
T = 1000
JGS
Débruitage
Bruit
Coefficient d’ondelette du bruit
L’énergie du bruit est répartie au travers de toutes les échelles
(coefficients de faibles amplitudes).
JGS
Débruitage
⇒ Utilisation du seuillage pour éliminer les coefficients dûs
au bruit.
Image
DWT
Thresholding
Inverse DWT
Denoised image
Bruit gaussien ⇒ seuillage doux optimal en théorie mais le
seuillage dur donne de meilleurs résultats visuellement.
JGS
Débruitage : exemple
Original
Version bruitée
JGS
Original
Seuillage doux sur coef d’ondelette
JGS
Original
Seuillage dur sur coef d’ondelette
JGS
Original
Seuillage doux sur coef contourlette
JGS
Original
Seuillage dur sur coef contourlette
JGS
Compression : principe général
Image
Changing into a new
representation space
Compressed image
JGS
Quantification
Coding scheme
Compression : JPEG2000
JGS
Compression : JPEG2000
JPEG 1 :86
JPEG 1 :41
JPEG2000 1 :86
JPEG2000 1 :41
JGS
Le monde merveilleux des ondelettes . . .
Du point de vue théorique
D’autres extensions : paquets d’ondelettes, ondelettes rationnelles,
...
Outil pour l’analyse fonctionnelle (espace de Besov, espace de
Triebel-Lizorkin), . . .
Lien avec la théorie de l’approximation, . . .
Outil pour la résolution des équations différentielles, . . .
JGS
Le monde merveilleux des ondelettes . . .
Du point de vue théorique
D’autres extensions : paquets d’ondelettes, ondelettes rationnelles,
...
Outil pour l’analyse fonctionnelle (espace de Besov, espace de
Triebel-Lizorkin), . . .
Lien avec la théorie de l’approximation, . . .
Outil pour la résolution des équations différentielles, . . .
Du point de vue applicatif
Compression de vidéo (MPEG4, . . .)
Analyse de signaux sismiques, acoustiques, . . .
Traitement d’images : analyse de textures, modélisation, . . .
...
JGS
Quelques références
S.Mallat, “Une exploration des signaux en ondelettes”
M.Vetterli, “Wavelets and subband coding”
(http : //infoscience.epfl.ch/record/33934/files/
VetterliKovacevic95_Manuscript.pdf ?version = 1)
Y.Meyer, “Ondelettes et opérateurs” (3 tomes)
Wavelet Digest : http : //www.wavelet.org
JGS

les bases de l`analyse harmonique

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SECONDE PARTIE : L`ère tonale - IReMus

oversampled filter banks with geoscience applications