THESE DOCTEUR Soufiane TAIBI - Laboratoire d`Electrotechnique
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THESE DOCTEUR Soufiane TAIBI - Laboratoire d`Electrotechnique
N° d’ordre : 3149 Année 2002 UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE THESE Spécialité GENIE ELECTRIQUE Présentée pour obtenir le titre de DOCTEUR de l’Université des Sciences et Technologies de Lille Par Soufiane TAIBI Ingénieur de l’Université des Sciences et Technologies Houari Boumedienne (USTHB), Alger, Algérie Contribution à l’étude, la conception, le dimensionnement et l’optimisation de Machines à réluctance variable de type Vernier Soutenue le 12 Juillet devant le jury composé de : Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur G. SEGUIER J. BIGEON D. MATT B. BOUALEM C. MARCHAND F. PIRIOU A. TOUNZI Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur de thèse Co-directeur de thèse A mes parents , à toute ma famille, à ma femme et ma fille. Remerciements Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué au laboratoire d’électrotechnique et d’électronique de puissance de Lille (L2EP), au sein de l’équipe « modélisation étude et conception des systèmes électromagnétiques ». Cette équipe est dirigée par monsieur le Professeur F. PIRIOU à qui j’adresse mes sincères remerciements pour la confiance qu’il m’a témoignée en m’accueillant dans son équipe et pour avoir accepté de diriger le présent travail. Je tiens à remercier : - Monsieur le Professeur J.P. HAUTIER, Directeur du laboratoire, pour son accueil. - Monsieur le Professeur R. BAUSIERE de m’avoir accepté parmi les DEA de la promotion 1997. Je remercie également monsieur G. SEGUIER Professeur émérite à l’USTL, de m’avoir fait l’honneur d’examiner le présent travail et de présider le jury de ma thèse. J’adresse mes sincères remerciements à : - Monsieur J. BIGEON – DR CNRS – INP de Grenoble. Monsieur B. BOUALEM – Docteur Ingénieur – Radio Energie. Monsieur C. MARCHAND – Professeur – Université de Paris XI. Monsieur D. MATT – Maître de conférences HDR – Université de Montpellier II. pour avoir accepté de faire partie du jury de la thèse. J’adresse également mes plus grands remerciements à monsieur A. TOUNZI, maître de conférence à l’IUT A de Lille, Co-directeur de thèse, avec qui j’ai travaillé de près en DEA et pendant la thèse, de m’avoir proposé un sujet aussi intéressant et pour son aide permanente tout au long de cette étude. Je le remercie également pour ses qualités d’ordre relationnel qui m’ont permis de travailler dans une ambiance très agréable. Je remercie également tous les enseignants chercheurs, permanents, du L2EP, en particulier S. CLENET pour son aide, surtout au niveau du code de calcul, A. BOUSCAIROL, P. DELARUE et N. IDIR pour leur sympathie. Je n’oublie pas de remercier P. LEMOIGNE, P. BARTHOLOMEUS et F. GILLON pour la confiance qu’ils m’ont témoignée en me permettant d’enseigner durant la période de recherche. Je remercie J.J. FRANCHAUD pour son aide à la mise en œuvre du banc d’essai et surtout pour ses précieux conseils durant les manipulations. Je remercie également dans ce contexte M. AMBERT. Je remercie F. ZINET et mon frère Nacer-eddine pour leur aide précieuse. Je n’oublie pas de remercier l’équipe de CROUS de Lille – service international – en particulier D. FABIS et I. CASTELEIN pour leur disponibilité et sympathie. Enfin je tiens aussi à remercier : Madame Blandé, Madame Barato, O. Ferla et tous les thésards, pour l‘ambiance sympathique, en particulier : I. Haouara, S. Brulé, F. Marmin, Y. LeMenach, C. Desombre, O. Barre, J. Pierquin, G. Marques, A. Benabou, T. Henneron, S. Charlemagne, H. Sawezyn. Y. Sofiane et B. Vulturescu. Résumé Résumé Dans les centrales éoliennes, la conversion électromécanique est assurée par des structures classiques fonctionnant à des vitesses standards ( ≥ 750 tr/min). La turbine de l’éolienne, tourne, quant à elle, à de basses vitesses (25-100 tr/min). Le couplage entre la turbine et la génératrice est réalisé par des multiplicateurs de vitesse mécaniques. Ces derniers représentent un dispositif délicat dans la centrale. Dans ce travail, nous nous sommes intéressés, à la conception d’une génératrice de moyenne puissance pouvant être entraînée directement par la turbine. La structure étudiée est une machine à réluctance variable, de type Vernier, excitée. Cette structure est connue pour avoir un fonctionnement à fort couple et faible vitesse. De plus, le circuit d’excitation, constitué par un bobinage triphasé au stator alimenté en alternatif, permet de doter la structure de deux degrés de liberté supplémentaires pouvant être utilisés dans la commande. Dans le premier chapitre, à partir d’un modèle énergétique, nous avons classifié les structures à réluctance variable à actions hétéropolaires. Ensuite, une méthode analytique de prédimensionnement a été proposée. Dans le second chapitre nous avons développé des modèles simplifiés : analytique, semianalytique et semi-analytique étendu. Nous les avons alors utilisés, ainsi que la modélisation numérique basé sur la méthode des éléments finis, pour étudier les performances de différentes structures. Nous avons ensuite différencié deux catégories de machines que nous avons appelées symétriques et dissymétriques. Dans le troisième chapitre, nous avons minimisé les ondulations de couple de la machine retenue (symétrique) en optimisant les ouvertures dentaires statorique et rotorique. Ceci a été effectué à l’aide d’un outil de calcul, basé sur l’algorithme génétique, que nous avons développé. Suite aux études théoriques, un prototype de puissance réduite a été fabriqué. Le chapitre quatre est consacré à l’étude de ses performances et leur comparaison avec les calculs. Mots clefs Machine à réluctance variable Machine Vernier Entraînement direct Dimensionnement Modèles analytiques Méthode des éléments finis Energie éolienne Algorithme génétique Abstract Abstract In the wind power stations, the electromechanical conversion is ensured by classical structures which rotate at standard speeds ( ≥ 750 tr/min) while the turbine of the wind mill rotates at low speed (25-100 tr/min). The coupling between the turbine and the generator is achieved by mechanical gear boxes. The latter represents a dodgy device in the power station. In this work, we have been interested by the conception of an average power generator which can be driven directly by the turbine. The studied structure is an excited Vernier variable reluctance machine. This structure is well known for its operating at high torque and low speed. Moreover, the excitation circuit, made up of a three-phase stator winding supplied by alternative currents, makes it possible to give the structure two additional degrees of freedom which can be used in the control. In the first chapter, from an energetic model, we have classified the reluctance variable structures with heteropolar actions. Then, an analytical method has been proposed for design. In the second chapter, we have developed simplified models : analytical, semi-analytical and extended semi-analytical models. Then, we have used them, as well as numerical modeling based on the finite element method, to study the performances of different structures. This yields to distinguish two kinds of machines which we called symmetrical and unsymmetrical. In the third chapter, we have minimized the retained machine’s torque ripples (symmetrical) by optimizing the stator and rotor teeth openings. This has been carried out using a computational tool, based on the genetic algorithm, that we have developed. Following the theoretical studies, a prototype of reduced power has been manufactured. Chapter four is devoted to study its performances and to compare them with the calculation ones. Keywords Variable reluctance machine Vernier machine Direct driven Design Analyticals modelings Finites elements method Wind power Genetic algorithm Sommaire INTRODUCTION GENERALE.......................................................................................................................1 CHAPITRE I : CONVERTISSEURS ELECTROMECANIQUES D’ENERGIE A ENTREFER VARIABLE........................................................................................................................................................4 INTRODUCTION .............................................................................................................................................4 I.1. MACHINE A RELUCTANCE VARIABLE ET EFFET VERNIER........................................................5 I.2. MODELE ENERGETIQUE DES MRV HETEROPOLAIRES ...............................................................9 I.2.1. EXPRESSION DE L’ENERGIE ....................................................................................................................10 I.2.2. PERMEANCE D’ENTREFER ......................................................................................................................14 I.2.3. DIFFERENCE DE POTENTIEL MAGNETIQUE D’ENTREFER...........................................................................15 I.3. ENERGIE ET CONDITIONS DE CONVERSION.................................................................................18 I.3.1. MACHINES NON EXCITEES ......................................................................................................................20 I.3.1.1. MRV à double denture ...................................................................................................................20 I.3.1.1.1. MRV à simple action ........................................................................................................................................ 23 I.3.1.1.2. MRV à double action ........................................................................................................................................ 24 I.3.1.2. MRV à stator lisse..........................................................................................................................25 I.3.2. TABLEAU RECAPITULATIF ......................................................................................................................26 I.3.3. MACHINES EXCITEES .............................................................................................................................28 I.3.3.1. Structures à double denture............................................................................................................28 I.3.3.1.1. Expression de l’énergie d’entrefer.................................................................................................................... 28 I.3.3.1.2. MRV à simple action ........................................................................................................................................ 30 I.3.3.1.3. MRV a plusieurs actions ................................................................................................................................... 32 I.3.3.2. Structures à simple denture ............................................................................................................36 I.3.3.2.1. Structures à simple action ................................................................................................................................. 36 I.3.3.2.2. Structures à plusieurs actions........................................................................................................................... 37 I.3.3.3. MRV à excitation continue .............................................................................................................39 I.4. QUELQUES EXEMPLES DE STRUCTURES DE MRV.......................................................................39 I.4.1. LES MACHINES A SIMPLE DENTURE OU A STATOR LISSE...........................................................................39 I.4.1.1. Machines non excitées....................................................................................................................39 I.4.1.2. Machines excitées ..........................................................................................................................41 I.4.1.2.1. Excitation au rotor............................................................................................................................................. 41 I.4.1.2.2. Excitation au stator............................................................................................................................................ 41 I.4.2. LES MACHINES A DOUBLE DENTURE .......................................................................................................42 I.4.2.1. Machines non excitées....................................................................................................................42 I.4.2.2. Machines excitées ..........................................................................................................................43 I.4.2.2.1. Excitation au rotor............................................................................................................................................. 43 I.4.2.2.2. Excitation au stator............................................................................................................................................ 44 I.4.3. CONCLUSION .........................................................................................................................................44 I.5. PRE-DIMENSIONNEMENT D’UN PROTOTYPE................................................................................45 I.5.1. CAHIER DES CHARGES ...........................................................................................................................45 I.5.2. MISE EN ŒUVRE DES CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT ........................................................................46 I.5.3. CHOIX DES PARAMETRES .......................................................................................................................46 I.5.4. PROCEDURE DE DIMENSIONNEMENT .......................................................................................................47 I.5.4.1. Détermination de la grandeur D2L .................................................................................................48 I.5.4.2. Calcul du diamètre et de la longueur..............................................................................................49 I.5.5. DIMENSIONNEMENT DES ENCOCHES ET DES CULASSES ............................................................................50 I.5.6. DIMENSIONNEMENT DES ENROULEMENTS ..............................................................................................51 I.6. CONCLUSION..........................................................................................................................................53 CHAPITRE II : MODELISATION ET ETUDE DES PERFORMANCES..................................................54 INTRODUCTION ...........................................................................................................................................54 II.1. APPROCHE ANALYTIQUE..................................................................................................................55 Sommaire II.1.1. PERMEANCE D’ENTREFER ET FORCE MAGNETOMOTRICE........................................................................55 II.1.2. EXPRESSION DU FLUX INDUIT A VIDE ....................................................................................................56 II.1.3. EXPRESSIONS DES INDUCTANCES PROPRES ET MUTUELLES. ...................................................................56 II.1.4. EXPRESSION DU COUPLE .......................................................................................................................58 II.1.5. CONCLUSION .......................................................................................................................................59 II.2. MODELE SEMI-ANALYTIQUE...........................................................................................................59 II.2.1. PERMEANCE D’ENTREFER .....................................................................................................................59 II.2.2. DISTRIBUTION DES F.M.M. ....................................................................................................................61 II.2.2.1. Structures à entrefer globalement constant ..................................................................................62 II.2.2.2. Structures à entrefer globalement variable...................................................................................63 II.2.3. GENERALISATION DE LA DISTRIBUTION DES D.D.P.M .............................................................................67 II.2.4. COUPLE ELECTROMAGNETIQUE ............................................................................................................69 II.2.5. CONCLUSION .......................................................................................................................................70 II.3. MODELISATION NUMERIQUE ..........................................................................................................71 II.3.1. FORMULATION ET MISE EN EQUATION ...................................................................................................71 II.3.2. CONDITIONS AUX LIMITES ....................................................................................................................74 II.3.3. DISCRETISATION PAR ELEMENTS FINIS ..................................................................................................75 II.3.4. COUPLAGE DES EQUATIONS DE CIRCUIT ................................................................................................76 II.3.5. PRISE EN COMPTE DU MOUVEMENT .......................................................................................................78 II.3.6. CALCUL DU COUPLE .............................................................................................................................78 II.3.7. CODE DE CALCUL EFL2EP ...................................................................................................................79 II.4. APPLICATION .......................................................................................................................................80 II.4.1. DONNEES DU CAHIER DES CHARGES ......................................................................................................80 II.4.2. QUANTIFICATION DES PARAMETRES DE FONCTIONNEMENT ...................................................................80 II.4.3. ETUDE PRELIMINAIRE DE DIFFERENTES STRUCTURES.............................................................................81 II.4.3.1. Particularités des structures étudiées............................................................................................82 II.4.3.2. Etude des structures dissymétriques..............................................................................................83 II.4.3.3. Structures symétriques ..................................................................................................................89 II.5. CONCLUSION ........................................................................................................................................95 CHAPITRE III : ETUDE SUR LA MINIMISATION DES ONDULATIONS DU COUPLE .....................96 INTRODUCTION ...........................................................................................................................................96 III.1. DEFINITIONS .......................................................................................................................................96 III.2. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT .................................................................................................97 III.3. EVALUATION.......................................................................................................................................98 III.4. SELECTION ..........................................................................................................................................99 III.5. REPRODUCTION AVEC CROISEMENT ET MUTATION ...........................................................100 III.6. VALIDATION......................................................................................................................................105 III.6.1. EXEMPLE MATHEMATIQUE ................................................................................................................105 III.6.2. BOBINE A NOYAU DE FER ..................................................................................................................106 III.7. APPLICATION AU CAS DE LA MRV VERNIER ...........................................................................110 III.7.1. PRESENTATION DE LA STRUCTURE RETENUE POUR L’OPTIMISATION ...................................................110 III.7.2. CRITERES DE L’OPTIMISATION ET PARAMETRES A OPTIMISER .............................................................111 III.7.3. DEMARCHE DE L’OPTIMISATION ........................................................................................................112 III.7.3.1. Détermination du diamètre d’alésage ........................................................................................113 III.7.3.2. Détermination de la profondeur des encoches rotoriques ..........................................................113 III.7.3.3. Détermination des ouvertures dentaires optimales.....................................................................114 III.7.4. ETUDE EN SATURE ............................................................................................................................119 Sommaire III.8. CONCLUSION.....................................................................................................................................121 CHAPITRE IV : ETUDE EXPERIMENTALE D’UN PROTOTYPE .......................................................123 INTRODUCTION .........................................................................................................................................123 IV.1. PRESENTATION DU BANC EXPERIMENTAL..............................................................................123 IV.1.1. PRESENTATION DU PROTOTYPE REALISE ............................................................................................123 IV.1.2. COMPOSANTS DU BANC EXPERIMENTAL ............................................................................................126 IV.2. MODELISATION DU PROTOTYPE REALISE...............................................................................128 IV.2.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ........................................................................................................................128 IV.2.2. IDENTIFICATION DE LA CARACTERISTIQUE MAGNETIQUE DES TOLES ..................................................128 IV.3. DETERMINATION DES INDUCTANCES .......................................................................................130 IV.3.1. DETERMINATION DES INDUCTANCES PROPRES. ..................................................................................130 IV.3.2. DETERMINATION DES INDUCTANCES MUTUELLES INDUIT-INDUIT ET INDUCTEUR-INDUCTEUR .............131 IV.3.3. DETERMINATION DES INDUCTANCES MUTUELLES ENTRE LES CIRCUITS INDUCTEUR ET INDUIT ............132 IV.4. ESSAIS A VIDE ...................................................................................................................................134 IV.4.1. EXCITATION EN CONTINU ..................................................................................................................134 IV.4.1.1. Une seule phase alimentée.........................................................................................................134 IV.4.1.2. Les trois phases alimentées........................................................................................................137 IV.4.2. EXCITATION EN ALTERNATIF .............................................................................................................139 IV.5. ESSAI A ROTOR BLOQUE (TRANSFORMATEUR)......................................................................141 IV.6. ETUDE EN CHARGE .........................................................................................................................143 IV.6.1. ESSAI EN COURT CIRCUIT ..................................................................................................................143 IV.6.2. DEBIT SUR UNE CHARGE CAPACITIVE ................................................................................................144 IV.7. ETUDE DU FONCTIONNEMENT MOTEUR ..................................................................................145 IV.7.1. MOTEUR EXCITE EN CONTINU ...........................................................................................................145 IV.7.1.1. Essai à vide ...............................................................................................................................145 IV.7.1.2. Essai en charge .........................................................................................................................147 IV.7.2. MOTEUR EXCITE EN ALTERNATIF ......................................................................................................148 IV.7.2.1. Essai à vide ...............................................................................................................................148 IV.7.2.2. Essai en charge .........................................................................................................................148 IV.7.2.3. Calcul de la caractéristique en charge en fonctionnement moteur..............................................150 IV.8. CONCLUSION.....................................................................................................................................151 CONCLUSION GENERALE .......................................................................................................................152 ANNEXES......................................................................................................................................................155 NOMENCLATURE ......................................................................................................................................155 BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................................155 INTRODUCTION GENERALE Introduction générale Introduction générale Pour des raisons « environnementales » les énergies renouvelables (eau, vent, soleil) sont aujourd’hui de plus en plus utilisées dans la production de l’électricité [76-77]. Ces énergies propres et gratuites représentent une bonne alternative aux ressources fossiles. Parmi les sources renouvelables dénombrées, on compte l’énergie éolienne qui connaît, depuis quelques décennies, un formidable développement. La conversion de cette énergie en énergie électrique est assurée par des centrales éoliennes. Des pales, de formes relativement différentes [78], sont utilisées pour capter la force du vent. L’énergie mécanique ainsi obtenue au niveau du rotor de l’hélice est transformée en énergie électrique par l’intermédiaire d’un convertisseur électromécanique. Dans les centrales de production de l’énergie éolienne à moyenne puissance (< 50 kW) on trouve essentiellement des aérogénérateurs de type machine asynchrone [4][81]. Ces dernières sont généralement choisies pour leur robustesse et leur coût de fabrication très compétitif par rapport aux autres machines. Par contre, pour les centrales à grande puissance, on adopte de plus en plus des alternateurs synchrones [4]. Cependant, pour une meilleure rentabilité, ces machines, quelles soient synchrones ou asynchrones, doivent tourner à des vitesses relativement élevées ( > 750 tr/min ). Comme la vitesse moyenne de l’axe de la turbine éolienne est de l’ordre de 50 tr/min [78], on ne peut coupler directement l’arbre de ces machines au rotor de l’hélice. Pour cette raison, des multiplicateurs de vitesse sont utilisés. Ces multiplicateurs, qui fonctionnent à partir d’engrenages mécaniques, sont sources de panne et de bruit [4][78] et diminuent considérablement la puissance volumique de l’installation. De plus, la maintenance de ce type de dispositif en haut d’un mât peut se révéler très coûteuse. Ces raisons ont favorisé la recherche de génératrices pouvant tourner à des vitesses relativement faibles afin qu’elles soient directement couplées à la turbine de l’éolienne. Différentes structures ont alors été imaginées. Les plus courantes sont les machines synchrones classiques à grand nombre de paires de pôles ou des machines synchrones discoïdes [82-83]. Afin d’étudier la faisabilité de structures innovantes, d’autres recherches ont été menées sur les machines dites à réluctance variable [6][79-80]. Dans ces structures, le principe de la variation de la perméance d’entrefer est utilisé pour la modulation du champ provenant de l’excitation. Ce champ peut être obtenu par des aimants permanents ou des enroulements alimentés par des courants continus ou alternatifs. Cette modulation du champ permet d’obtenir des f.e.m induites de même fréquence que celle du réseau. 1 Introduction générale Notre travail a consisté à étudier des structures de MRV Vernier pour concevoir une machine permettant de répondre au mieux à la problématique posée : une faible vitesse de rotation (de l’ordre de 50 tr/min), une fréquence des grandeurs induites de 50 Hz et une puissance de 10kW. Cette puissance permet de quantifier les performances d’un telle structure avec plus de précision et de pouvoir éventuellement transposer les résultats à des puissances plus élevées. Dans la première partie de notre travail (chapitre I), nous commencerons par introduire le principe de la réluctance variable et définir l’effet Vernier. Ensuite, sur la base de ce principe, nous effectuerons une étude énergétique sur l’ensemble des structures hétéropolaires qui conjuguent la réluctance variable et l’effet Vernier. A partir de ce développement, nous mettrons en évidence les différentes conditions, à savoir le nombre de dents au rotor et au stator ainsi que les polarités des bobinages induit et inducteur, qu’il faut respecter pour assurer un fonctionnement synchrone. Quant à la deuxième partie de ce chapitre, elle sera consacrée à l’élaboration d’une procédure de pré-dimensionnement permettant d’aboutir à un prototype d’une machine à réluctance variable Vernier en fonction d’un cahier des charges. Dans le deuxième chapitre, nous présenterons dans un premier temps les différents modèles utilisés pour simuler le fonctionnement des MRV Vernier. Nous commencerons par introduire un modèle analytique puis, un modèle semi-analytique et enfin un modèle semi-analytique étendu. Ces différents modèles s’appuient sur le calcul de la perméance d’entrefer et de la différence de potentiel magnétique (d.d.p.m). Ensuite, nous présenterons le modèle numérique basé sur la méthode des éléments finis en 2D. Dans un deuxième temps, nous comparerons les performances de plusieurs machines, qui diffèrent au niveau de la combinaison donnant le nombre de dents et les polarités des bobinages. Cette étude comparative permettra de fixer la combinaison la mieux adaptée pour l’application envisagée « conversion de l’énergie éolienne à moyenne puissance ». Dans le troisième chapitre, nous présenterons l’outil d’optimisation développé pour l’amélioration des performances de la structure retenue. Il s’agit de l’algorithme génétique. Sachant que les MRV Vernier sont connues pour les ondulations de couple qu’elles peuvent générer, nous procéderons à la minimisation de ces ondulations en utilisant un outil basé sur l’algorithme génétique. Pour ce faire, nous étudierons l’influence de plusieurs paramètres géométriques, et plus particulièrement les ouvertures dentaires rotorique et statorique. 2 Introduction générale La dernière partie de notre travail (chapitre IV) sera consacrée à l’étude expérimentale, en fonctionnement moteur et générateur, d’un prototype de MRV Vernier de puissance réduite. Cette étude expérimentale permettra de comparer les performances réelles de la structure par rapport aux résultats théoriques, tant sur le choix des combinaisons que sur la conception et les performances. 3 CHAPITRE I CONVERTISSEURS ELECTROMECANIQUES D’ENERGIE A ENTREFER VARIABLE CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Introduction Le présent chapitre est consacré à une étude énergétique et au développement d’une procédure de pré-dimensionnement pour une machine à réluctance variable de type Vernier. Dans un premier temps, nous introduirons le principe de la réluctance variable, puis nous présenterons l’apport et l’intérêt de l’effet Vernier. L’aboutissement à une structure remplissant un cahier des charges nécessite un choix de plusieurs paramètres, d’ordre mécanique et électrique. Le choix de ces paramètres dépend d’une part, des contraintes relatives au principe de fonctionnement, c’est à dire des celles nécessaires à la conversion électromécanique de l’énergie; et d’autre part, des conditions relatives au fonctionnement optimal de la structure. La seconde partie de ce chapitre est alors dédiée à une étude énergétique des structures à réluctance variable hétéropolaires. Dans la référence [6], quelques actions du couple ont été démontrées. Dans cette partie, nous mènerons une étude systématique et montrerons que plusieurs actions sont possibles dans ce genre de machine, ainsi cela permettra de dégager les différentes possibilités de conversion électromagnétique. Le choix des paramètres géométriques (nombres de dents des deux armatures) et électriques (polarité des bobinages d’alimentation) sera alors tributaire du fonctionnement souhaité. Nous conclurons cette partie par la présentation de différentes machines à réluctance variable étudiées dans des travaux précédents. La dernière partie de ce chapitre sera consacrée, quant à elle, à une procédure de prédimensionnement de structures à réluctance variable à double denture excitées. Contrairement au cas des structures classiques, peu d’études ont été consacrées au dimensionnement des machines à réluctance variable, de par leur caractère non conventionnel. Ces travaux sont principalement basés sur le calcul des efforts surfaciques [83-84]. Dans notre étude, nous adopterons une autre approche de pré-dimensionnement qui s’inspire des règles classiques utilisées pour le dimensionnement des machines synchrones. En résumé, ce chapitre a pour but de : Etablir un modèle énergétique permettant de prédéterminer les performances des MRV Vernier. Classifier les structures à réluctance variable à action hétéropolaire. Proposer une méthode de pré-dimensionnement permettant la réalisation d’un prototype. 4 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.1. Machine à Réluctance Variable et effet Vernier La réluctance magnétique est une grandeur qui caractérise un élément de volume traversé par un flux magnétique. Elle est fonction des dimensions géométriques de l’élément et de la perméabilité magnétique du matériau. s S a b f dR µm dl dl Figure 1.1 Ainsi, la réluctance d’une zone de l’espace traversée par un champ magnétique figure (1.1), s’exprime par la relation suivante: b =∫ a dl µs (1.1) Avec : dl : longueur élémentaire. s : surface radiale par rapport aux passages des lignes de champ. µ : perméabilité magnétique du matériau occupant la zone considérée. Il est alors évident que, pour une géométrie donnée, une faible réluctance nécessite des matériaux de grande perméabilité magnétique. L’exemple, donné à la figure (1.2) permet d’illustrer cette affirmation à l’aide d’un dispositif électrotechnique simple. Deux circuits magnétiques, excitées par les mêmes ampère-tours, permettent de visualiser les lignes de champ dans les deux géométries, figures 1.2.a et 1.2.b. fer r entrefer bobine air i Figure 1.2.a Figure 1.2.b 5 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable La perméabilité magnétique du fer étant nettement plus élevée que celle de l’air, les lignes de champ passent en priorité dans les zones qui présentent le moins d’entrefer, c’est à dire les endroits les moins réluctants. Dans le cas d’un système mobile, la variation de la réluctance d’entrefer est utilisée pour moduler l’énergie d’entrefer, et par conséquent créer un couple. En effet, le rotor ayant un degré de liberté, il va chercher, lors de l’excitation de l’armature fixe, à tendre vers un état stable. Cet état est déterminé par la plus faible réluctance au vu des lignes de champ magnétique et donc par le passage d’un maximum de flux entre les deux armatures. L’alternance, dans le temps, des polarités d’un bobinage porté par l’armature fixe permet alors d’assurer un mouvement. Les structures, basées sur ce principe de conversion de l’énergie sont appelées Machines à Réluctance Variable (MRV). Il est à noter que cette appellation est générique et englobe plusieurs structures utilisant, d’une manière différente, la variation de la réluctance pour la conversion de l’énergie (MRV pas à pas, MRV synchrone, MRV Vernier ...) [1-3]. Dans le cas de notre travail, nous nous intéresserons plus spécifiquement à cette dernière catégorie. Afin de montrer l’intérêt et l’apport de l’effet Vernier, nous allons, dans le paragraphe suivant, utiliser un exemple simple basé sur la génération de l’énergie électrique. fem Figure 1.3.a : structure classique Figure 1.3.b : structure à effet Vernier Soit la structure « classique » composée d’une roue polaire à p paires de pôles et d’une culasse ferromagnétique supportant un enroulement figure (1.3.a). Lorsque la roue est entraînée à une vitesse de rotation constante Ω, une f.e.m, de pulsation ω, est bobinage entourant la culasse. Cette pulsation est directement proportionnelle au produit p.Ω. 6 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Dans le cas où la vitesse est faible, la pulsation, et donc la fréquence, l’est aussi. Par conséquent, pour obtenir une f.e.m de fréquence ‘significative’ tout en ayant une vitesse de rotation faible, il faut augmenter le nombre de paires de pôles. Soit maintenant la structure donnée à la figure (1.3.b). Elle est constituée d’une culasse ferromagnétique avec Ns dents et d’une roue à Nr dents. Par ailleurs, deux bobinages distincts sont enroulés autour de la culasse. Le premier, qu’on appellera circuit d’excitation, est parcouru par un courant i1, continu ou alternatif, et assure la magnétisation du circuit. Le second recueillera la f.e.m induite. Les deux extrémités du circuit magnétique de cette structure, ainsi que la roue interne, présentent un nombre de dents important. Ces dernières peuvent prendre, dans le cas général, une infinité de formes géométriques. Celles de l’exemple traité figure (1.3.b) seront supposées droites afin de simplifier le raisonnement. Par ailleurs, en définissant θ comme étant la position d’un axe de référence du rotor par rapport à celui du stator, la réluctance totale de l’entrefer (θ ) peut être constante ou variable. En effet, il est tout à fait possible d’obtenir une réluctance d’entrefer « globale » constante même si localement on a une variation de la distribution des lignes de champ. Il suffit pour cela de s’assurer que la surface totale radiale par rapport aux lignes de champ, qui correspond à l’entrefer minimal, soit invariante par rapport à la position du rotor. Cela enlèverait alors tout intérêt à la structure. Par conséquent, nous nous placerons, dans toute la suite de ce travail, dans le cas général où la réluctance est variable en fonction de la position rotorique. Considérons maintenant le fonctionnement en générateur de la structure donnée à la figure (1.3.b). Si i1 est continu, pour la même vitesse de rotation Ω , la f.e.m induite dans le bobinage d’induit aura une fréquence qui peut être beaucoup plus élevée. Elle sera essentiellement fonction de la périodicité de la réluctance d’entrefer. Si, par contre, i1 est sinusoïdal de fréquence f1, alors la fréquence f2 de la f.e.m sera fonction de Ω, de la périodicité de la réluctance d’entrefer et de f1. Il est donc possible, pour une vitesse donnée et une fréquence f2 désirée, de faire circuler un courant i1 avec la fréquence f1 adéquate. Cette possibilité de démultiplier la fréquence de la f.e.m induite est le résultat de la conjugaison de la variation de la réluctance à l’effet Vernier. Dans le tableau (1.1) nous récapitulons, pour la structure de la figure (1.3.b), les possibilités en fonction de la réluctance totale d’entrefer et de la nature du courant d’excitation. 7 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable (θ ) constante courant i1 variable fem ≠ 0 avec une fem = 0 continu fréquence f2 alternatif à fem ≠ 0 avec une fem ≠ 0 avec une fréquence f1 fréquence f1 fréquence f’2 Tableau 1.1 En utilisant une transformation géométrique au niveau du circuit magnétique de la figure (1.3.b), on aboutit à une structure cylindrique plus réaliste, présentée sur la figure (1.4). Y as Dq ar 1 2 1' 2' X Z W Figure 1.4 : MRV à double denture Cette structure générique va nous permettre d’introduire plus explicitement l’effet Vernier dans le cas d’une machine cylindrique. Définissons d’abord les pas dentaires statorique α s et rotorique α r : αs = 2π Ns et αr = 2π Nr A l’instant t, la position du rotor est donnée par la figure (1.4). Les deux dents statorique et rotorique (1 et 1’) se font face –position de conjonction pour ces deux dents–. Dans cette position, la perméance d’entrefer est plus élevée entre ces deux dents par rapport aux dents avoisinantes. A l’instant t + ∆t , le rotor s’est déplacé d’un angle ∆θ . Le maximum de la 8 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable perméance s’est déplacée, suite à la direction de la rotation indiquée sur la figure (1.4), de la dent statorique 1 à la dent 2, ce qui correspond à l’angle α s . Pendant le même laps de temps ∆t , le rotor, lui, s’est déplacé d’un angle ∆θ = (α r − α s ) , nettement plus petit. On peut alors introduire la notion de rapport Vernier [4-5] [83], qui est défini comme étant le quotient de la vitesse de déplacement de l’onde de la perméance d’entrefer sur la vitesse Ω du rotor. Il peut aussi se définir comme étant le quotient entre l’angle de déplacement du maximum de la perméance sur l’angle de déplacement mécanique . Ce rapport s’exprime par : kv = αs Nr = αr −α s Ns − Nr (1.2) Le type de structure utilisant ce principe est appelé machine à réluctance variable Vernier. Leur grande particularité réside dans la possibilité de fonctionner à basse vitesse et fort couple lorsqu’elles sont alimentées à des fréquences « classiques » [6-8]. Ceci convient donc aux applications à basse, et très basse, vitesse pour éviter l’utilisation des réducteurs mécaniques. I.2. Modèle énergétique des MRV hétéropolaires Le principe de fonctionnement des machines conventionnelles à courant alternatif est bien connu et leur conception est bien maîtrisée. Dans le cas des machines à réluctance variable de type Vernier, assurer un bon fonctionnement nécessite des considérations particulières. En effet, il est primordial de bien choisir les nombres de dents rotoriques et statoriques ainsi que la polarité du bobinage d’alimentation. Par ailleurs, dans le cas d’une structure excitée, il faut aussi déterminer la fréquence d’excitation adéquate pour une vitesse de rotation donnée [6]. La conception d’une MRV de type Vernier repose donc sur un développement théorique plus approfondi. Ce dernier, basé sur le calcul de l’énergie magnétique dans la structure [6-8], permettra de déterminer les paramètres et les conditions qui assurent un fonctionnement synchrone. Dans ce paragraphe, nous allons exprimer l’énergie magnétique dans une structure de type MRV. Cette expression, basée sur l’hypothèse d’une forte perméabilité du fer, fera appel aux notions de perméance et de force magnétomotrice d’entrefer. 9 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.2.1. Expression de l’énergie Soit un système électromagnétique, de volume v, contenant un ensemble de matériaux de perméabilités différentes. Dans le cas de la présence d’une source de champ magnétique H, l’énergie magnétique totale Wem dans ce volume v peut s’exprimer par la relation suivante : Wem = ∫ v ∫ H ( B) dB dv (1.3) B où B et H représentent respectivement l’induction et le champ magnétiques dans les divers constituants du système. Ces deux grandeurs sont proportionnelles pour des matériaux dits linéaires. Par contre, dans le cas d’un matériau saturable, comme pour les tôles magnétiques dans la plupart des machines électriques, la fonction B(H) est non linéaire figure (1.5). B dB W m W¢ m H dH Figure 1.5 Courbe de saturation Dans le volume v, il est également possible de définir une grandeur duale à l’énergie magnétique appelée co-énergie magnétique Wem' . Cette dernière s’exprime par : ′ =∫ W em v ∫ B( H ) dH dv (1.4) H Ces deux quantités, énergie et co-énergie magnétiques, sont égales lorsque les matériaux, définis dans le volume v, sont linéaires Dans le cas d’une machine électrique, le volume v représente la globalité de la structure. On peut alors calculer l’une des deux expressions (1.3) ou (1.4) et aboutir au couple électromagnétique, généré par la machine, à partir de la dérivée de l’énergie ou de la coénergie par rapport à la position rotorique θ [9]. 10 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable C em = − ∂Wem ∂θ C em = ′ ∂Wem ∂θ (1.5) à flux cons tan t (1.6) à courant cons tan t Cependant, du fait de la valeur très élevée de la perméabilité des matériaux ferromagnétiques, il est possible de la considérer comme infinie. Cette hypothèse implique que le champ magnétique est nul dans les matériaux ferromagnétiques. Par conséquent, la totalité de l’énergie du système est concentrée dans l’entrefer. De ce fait, les deux expressions (1.3) et (1.4) sont identiques et s’expriment par : Wem = 1 Be H e dv 2 ve∫ (1.7) où dv et ve représentent respectivement un élément de volume et le volume total de l’entrefer. H e et Be sont respectivement le champ et l’induction magnétiques dans l’entrefer. Pour mieux illustrer l’expression de l’élément de volume dv, nous proposons le schéma de la figure (1.6), qui représente une structure de MRV invariante suivant l’axe z. y Dr les lds emin qr ler emax m dv Rs + p s Rs ldr Ds dq s qs pr Rs -emin q x Z - figure 1.6 : structure à double denture Nous définissons alors : Ds l’axe de référence du stator au milieu d’une dent, Dr l’axe de référence du rotor au milieu d’une dent, θs la position d’un point m de l’entrefer par rapport à l’axe du stator, 11 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable θr la position d’un point m de l’entrefer par rapport à l’axe du rotor, θ la position de D r par rapport à D s , p s , pr profondeurs des dents statorique et rotorique, l ds , l dr largeurs des dents statorique et rotorique, les , l er largeurs des encoches statorique et rotorique, Rs rayon d’alésage, L longueur active de la machine, e , emax entrefers minimal et maximal. Suite à ces définitions, les angles θ s , θ r et θ sont liés par la relation suivante : θ = θs −θr (1.8) Ainsi, pour une position rotorique donnée, l’élément de volume dv, qui correspond à une unité d’angle dθ s , peut être exprimé par : dv = Rs L e (θ s ,θ r ) dθ s (1.9) La quantité e (θ s ,θ r ) représente la largeur d’entrefer au point m considéré, repéré par les angles θ s et θ r par rapport respectivement à D s et D r . Cette quantité est comprise, quel que soit le point m et la position du rotor θ , dans l’intervalle : emin ≤ e (θ s ,θ r ) ≤ emax . Si on utilise la relation (1.8), la quantité e (θ s ,θ r ) peut également être définie en fonction de θ s et θ , ce qui fait apparaître la position rotorique dans l’expression de l’entrefer. Dans la suite de notre étude, nous utiliserons cette dernière écriture pour la fonction entrefer. En remplaçant l’unité de volume dv par son expression (1.9) et en prenant en considération la relation Be = µ 0 H e dans l’entrefer, nous aboutissons à l’écriture suivante de l’énergie électromagnétique Wem : Wem 1 = 2 2π ∫µ 0 H e2 (θ s , θ ) e (θ s , θ ) Rs L dθ s (1.10) 0 A partir de cette relation, on peut faire apparaître une différence de potentiel magnétique (d.d.p.m) ξ e (θ s , θ ) et une perméance d’entrefer, par unité d’angle, P(θ s , θ ) qui 12 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable s’écrivent dans l’hypothèse d’une perméabilité infinie des circuits magnétiques, et donc de lignes d’induction radiales [10-12]: ξ e (θ s ,θ ) = H e (θ s ,θ ) e(θ s , θ ) (1.11) µ 0 Rs L e (θ s , θ ) (1.12) P(θ s , θ ) = En regroupant les deux formules (1.11) et (1.12) dans l’expression (1.10), nous pouvons écrire l’expression de l’énergie Wem totale dans l'entrefer d’une structure de MRV par : Wem 1 = 2 2π ∫ ξ e (θ ,θ ) P(θ 2 s s ,θ ) dθ s (1.13) 0 Remarque En général, le niveau de saturation dans les MRV Vernier n’est pas négligeable [6]. Ceci implique donc : Qu’une énergie magnétique sera stockée dans les parties ferromagnétiques. Que les ampère-tours de l’alimentation vont être utilisées pour la création des deux énergies, celle dans le fer et celle dans l’entrefer. Cependant, il a été démontré [6] que l’énergie magnétique dans les culasses est indépendante de la position angulaire θ . Par conséquent, elle ne génère pas de couple électromagnétique. Dans ce cas, notre étude sur les conditions de denture et de polarité, qui doivent être respectée, basée uniquement sur l’énergie d’entrefer, reste fiable pour déterminer les paramètres géométriques nécessaires au fonctionnement de la machine. Elle permettra également de quantifier les performances de la structure. Cependant, la perméabilité des matériaux ferromagnétiques étant finie et non constante, une partie des ampère-tours va servir à créer l’énergie stockée dans les culasses. Par conséquent, le modèle énergétique surestimera nécessairement les performances de la structure. Pour poursuivre le développement analytique, nous allons exprimer, dans la formule de l’énergie (1.13), la perméance d’entrefer par unité d’angle P (θ s , θ ) ainsi que la différence de potentiel magnétique dans l’entrefer ξ e . 13 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.2.2. Perméance d’entrefer De nombreux travaux ont été consacrés à l’expression de la perméance d’entrefer de structures présentant une double saillance [6] [13-18]. Dans ces travaux, nous trouvons différentes relations permettant de définir la largeur d’entrefer quel que soit le point considéré et la position du rotor par rapport au stator. La perméance d’entrefer, par unité d’angle, dépend essentiellement des paramètres géométriques relatifs à la structure. Les développements de cette perméance sont abordés, d’une manière approfondie, dans les références [6] et [13]. Les expressions finales de P(θ s ,θ ) , auxquelles aboutissent les auteurs, sont similaires. Le résultat du calcul, avec la prise en compte de tous les harmoniques d'espace, s’exprime par : ∞ ∞ P( θ s ,θ ) = P 0 + ∑ Pjs cos ( j N s θ s ) + ∑ Pmr cos ( m N r ( θ s − θ )) j =1 + m=1 ∞ ∞ 1 ∑ ∑ Pjs−mr cos [( j N s + m N r )θ s − m N rθ ] 2 j =1 m =1 1 ∞ ∞ + ∑ ∑ Pjs −mr cos [( j N s − m N r )θ s + m N rθ ] 2 j =1 m=1 (1.14.a) = P0 + Ps ( θ s ) + Pr ( θ s ,θ ) + Ps1−r ( θ s ,θ ) + Ps2−r ( θ s ,θ ) Avec : P0 = µ 0 L Rs E0 Pjs = µ 0 L Rs E s e j Pmr = µ 0 L Rs Er em (1.14.b) Pjs −mr = µ 0 L Rs E s−r e j em Les différents termes E0 , Es , Er , E s− r , e j et em sont explicités dans l’annexe 1. L’expression (1.14.a) de la perméance d’entrefer, montre que cette dernière se décompose en cinq termes : P0 représente une perméance constante indépendante de la position du rotor et de la position dans l’entrefer. Ps (θ s ) est due uniquement à la saillance statorique. Pr ( θ s ,θ ) est due uniquement à la saillance rotorique. Ps1− r (θ s ,θ ) et Ps2− r (θ s ,θ ) sont dues à la double saillance des deux armatures. 14 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.2.3. Différence de potentiel magnétique d’entrefer D’après les hypothèses simplificatrices, la perméabilité magnétique des culasses est supposée infinie. Ceci implique que le champ magnétique est nul dans les armatures. De plus, si on considère une voie d’enroulement traversée par n k i k ampère-tours dans une encoche, on peut définir deux pôles de part et d’autre de cette encoche. Si les réluctances sous chacun de ces deux pôles, appelées réluctances polaires, sont parfaitement identiques quelle que soit la position rotorique θ, on a alors : ξe = n k ik = εe 2 où εe représente la force magnétomotrice d’entrefer. Dans notre approche, nous supposerons que les deux hypothèses (perméabilité infinie du fer et égalité des réluctances polaires) sont vérifiées. Nous montrerons, par la suite (chapitre II), qu’elles sont justifiées pour les machines que nous appellerons « symétrique ». La levée de la seconde hypothèse, dans le cas des structures dont les réluctances polaires ne sont pas identiques, implique l’introduction d’un modèle plus complexe. Nous aborderons cette possibilité dans le prochain chapitre. La force magnétomotrice dans l’entrefer peut résulter de différents bobinages (nombre et/ou distribution) alimentés par des courants continus ou alternatifs. Les machines à réluctance variable peuvent fonctionner, en moteur, sans circuit d’excitation. Dans ce cas, un seul circuit est nécessaire. Il doit être polyphasé et logé au stator. Un choix judicieux de l’alimentation des enroulements permet alors de créer un champ à la même fréquence, pour une vitesse donnée, que celle de la perméance. Cela assure un fonctionnement synchrone de la machine. Les structures Vernier peuvent également être excitées. Dans ce cas, un second circuit est ajouté pour servir d’excitation. Ce dernier peut être localisé au stator ou au rotor et être alimenté en continu ou en alternatif. Lorsque l’excitation est en alternatif, le bobinage doit être nécessairement polyphasé. Enfin, le champ d’excitation peut également être créé par des aimants permanents. Dans ce travail, nous étudierons le cas général où les bobinages de l’induit et de l’inducteur sont polyphasés. Il est évident que les autres types d’excitation peuvent être déduits du cas 15 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable général. Considérons le bobinage k figure (1.7), logé indifféremment au rotor ou au stator et alimenté par un courant ik . (a) ek n knik//2 2 k q sr (b) ls 2 × pas polaire Figure 1.7 : distribution de la f.m.m dans l’entrefer En choisissant un axe de référence adéquat, ce bobinage crée une f.m.m ε k dont l’expression peut s’écrire sous la forme d’une série : ∞ 2 nk ik π sin ((2i + 1) ) K Bi k cos((2i + 1) pk sr ) 2 i = 0 π (2i + 1) εk = ∑ (1.15) où ik représente le courant traversant le bobinage k considéré. i le rang de l’harmonique de la f.m.m. n k le nombre de spires par pôle et par phase. p k le nombre de paires de pôles du bobinage. i K Bk le coefficient de bobinage relatif à l’enroulement k et selon le rang de l’harmonique i. θ sr = θ s si le bobinage est au stator (1.16.a) θ sr = θ r = θ s - θ si le bobinage est au rotor (1.16.b) i Le coefficient de bobinage K Bk intervient dans l’expression de la f.m.m. dans les trois cas particuliers : Distribution de bobinage avec un pas diamétral ou raccourci. i Dans ce cas, le coefficient est appelé coefficient de raccourcissement K Rk et il vaut l’unité si le bobinage est distribué avec un pas diamétral. 16 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Inclinaison des encoches par rapport à l’axe de la machine alors que les pièces polaires ne représentent pas d’obliquité ou l’inverse. Ce coefficient est appelé coefficient d’inclinaison K Ii k . Dans le cas où les encoches sont droites par rapport à l’axe de la machine, ce facteur vaut l’unité. Etalement du bobinage de la même phase sur plusieurs encoches, ce coefficient est appelé i coefficient d’étalement K Ek et il vaut l’unité dans le cas où chaque bobine est distribuée sur une paire d’encoches par paire de pôles et par phase. Le coefficient de bobinage s'exprime donc par : K Bi k = K Ei k K iR k K Ii k Les MRV Vernier disposent généralement d’encoches droites. Par ailleurs, nous traitons essentiellement des structures avec une distribution de bobinage à pas diamétral. Par i conséquent, le facteur de bobinage K Bk , qui intervient comme correcteur dans l’expression de i la f. m.m, se résumera uniquement au coefficient d’étalement K Ek . Nous avons alors : K Bi k = K Ei k (1.17) Avec : K Ei k = αs = sin [ ( 2i + 1) qekα s / 2 ] qek sin[ (2i + 1) α s / 2 ] (1.18) 2π Ns Un circuit à q phases, portées par la même armature, créé une f.m.m dont l’expression résultante s’obtient par la somme algébrique de toutes les f.m.m relatives à chaque phase. q ε T = ∑ ε (θ sr ) k (1.20) k =1 Pour obtenir un champ tournant, chaque phase k du circuit doit être alimentée par un courant ik ayant une expression de la forme : ik = I max cos ( ω t − ( k − 1 ) 2π q ) (1.21) 17 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Dans le cas où : Le nombre de phases q est supérieur à l’unité. Les bobines sont distribuées de façon uniforme avec la même polarité p, le même nombre de spires n et le même nombre d’encoches par pôle et par phase qe. Le regroupement des relations (1.15), (1.20) et (1.21) permet d’exprimer la force magnétomotrice totale ε ∞ ε T = ∑[ i =0 T sous la forme suivante : q 2 n I max π sin ((2i + 1) ) K Bi ] cos(ω t − (2i + 1) p θ sr ) 2 π ( 2i + 1) 2 (1.22) Le fondamental de cette force magnétomotrice résultante a alors pour expression : εT =[ q π n I max K B ] cos(ω t − p θ sr ) (1.23) Nous rappelons que l’angle θ sr est défini par (1.16). I.3. Energie et conditions de conversion Pour assurer une conversion électromécanique de l’énergie, il faut que la structure développe un couple. Ceci implique que l’énergie magnétique dans l’entrefer doit être une fonction de la position θ du rotor. L’expression de cette énergie (1.13) fait intervenir la perméance d’entrefer qui est essentiellement fonction des nombres de dents des deux armatures Ns et Nr. Elle fait intervenir également le terme qui exprime la f.m.m totale issue des différents bobinages. L’expression de ce terme diffère selon que la structure comporte ou non un système d’excitation et selon l’emplacement de ce dernier (stator ou rotor) et la nature du courant qui le traverse. En résumé, l’expression de l’énergie magnétique dépend, en plus des paramètres géométriques de l’entrefer, des conditions spécifiques suivantes : présence ou non du circuit d’excitation la position du circuit d’excitation s’il existe la nature du courant d’excitation Les conditions de conversion de l’énergie d’une structure à réluctance variable se déduiront directement de l’expression de l’énergie magnétique dans l’entrefer qui devra être une fonction de la position rotorique θ . Ces conditions porteront sur les nombres de dents des deux armatures et la polarité du ou des circuits d’alimentation. Il apparaît clairement, d’après les remarques explicitées ci dessus, que les conditions de 18 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable conversion différeront suivant la présence ou non d’un circuit d’excitation. Par ailleurs, au vu des expressions de la perméance et de la f.m.m. résultante, l’énergie d’entrefer peut être constituée de plusieurs termes fonctions de θ. Par conséquent, une structure donnée peut engendrer un ou plusieurs couples électromagnétiques. Malheureusement, pour une vitesse de synchronisme donnée, seul un des couples générés sera constant. Les autres oscilleront à des fréquences différentes. Il est alors primordial de déterminer les conditions qui permettent à la MRV considérée de générer uniquement le couple électromagnétique principal. Dans le cas d’une MRV non excitée, ce couple principal est issu de l’interaction de la f.m.m. du circuit d’alimentation avec la perméance due aux dentures. Lorsque la structure est excitée, l’interaction entre la f.m.m. du circuit d’excitation et celle du circuit d’induit, au travers de la perméance d’entrefer, représente la source du couple principal. Dans chacun des cas, une seule vitesse de rotation, fonction de paramètres géométriques et électriques, permet à la structure de générer un couple principal constant. Dans ce paragraphe, nous allons déterminer les conditions de conversion de l’énergie pour les structures à réluctance variable hétéropolaires. Afin d’être le plus complet possible, nous allons traiter le cas des structures à double denture ainsi que celui des structures dites à stator lisse, même si ces dernières ne sont pas spécialement des machines assurant des fonctionnements à faible vitesse. Ce paragraphe sera alors divisé en deux parties. La première traitera des MRV non excitées et la seconde portera sur les conditions de conversion des MRV excitées. Dans chaque cas, nous commencerons par déterminer, d’une manière détaillée, les conditions permettant de générer le couple principal et spécifierons la vitesse de synchronisme relative à ce couple. Les structures qui remplissent ces conditions seront appelées structures à simple action. Ensuite, nous traiterons les différentes possibilités de génération de couples additionnels. Ces derniers seront oscillants pour la vitesse de synchronisme relative au couple principal. Les structures engendrant plusieurs couples seront appelées machines à plusieurs actions. Il est évident que pour des applications électrotechniques classiques, qui requièrent généralement des couples électromagnétiques à faible taux d’ondulation, les machines à plusieurs actions sont à proscrire. Néanmoins, dans un souci de généralisation et de systématisation, il nous paraît intéressant de les inclure dans cette étude et de spécifier clairement les causes physiques de chacun des couples additionnels ainsi que les conditions qui permettent de les engendrer. Conditions qu’il faut évidemment éviter pour avoir une 19 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable structure à simple action. Dans la suite de cette étude, afin d’alléger les calculs, nous utiliserons uniquement le premier harmonique des expressions de la f.m.m (1.22) et de la perméance (1.14) dans l’expression de l’énergie magnétique. Les conditions de conversion, issues de ces approximations, peuvent être généralisées aux différents harmoniques [6]. Enfin, avant de passer à une étude systématique des différentes conditions de conversion, nous supposerons que toutes les structures sont à nombres de dents statorique et rotorique différents : Nr ≠ Ns (1.24) I.3.1. Machines non excitées Ces machines sont dotées d’un unique circuit polyphasé constituant l’induit. Le champ magnétique d’entrefer est donc dû au courant traversant ce bobinage. I.3.1.1. MRV à double denture Dans le cas des structures non excitées, le bobinage d’induit se trouve généralement au stator. Par conséquent, dans les expressions (1.15) et (1.23) de la force magnétomotrice θ sr sera égale à θ s . Nous rappelons ci-dessous l’expression du fondamental de la f.m.m totale d’induit, issue de q bobines alimentées par une source à q phases (voir relation 1.23): ε T = [ n I max K B ] cos ( ω t − p θ s ) q π (1.25) q n I max K B π (1.26) En posant : ε max = cette f.m.m. totale s’écrit : ε T = ε max cos( ω t − p θ s ) (1.27) Quant à l’expression de la perméance d’entrefer, elle s’écrit, en ne considérant que les premiers termes des séries, sous la forme suivante : 20 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable P(θ s ,θ ) = P0 + P1s cos ( N s θ s ) + P1r cos (N r (θ s − θ ) ) 1 1 + P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ ) + P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ ) 2 2 (1.28) Les différents coefficients P0 , P1s , P1r et P1s _ 1r ont été définis dans l’équation (1.14.b). L’expression de l’énergie magnétique, à partir de son écriture sous forme intégrale (1.13) et en utilisant les relations (1.25) et (1.28) pour la f.m.m et la perméance d’entrefer, aboutit à : Wem = 1 2 2π 1 2 ∫ 2 ε ( 1+ cos(2ω t − 2 pθs )) [ P0 + Ps cos(Ns θs ) + Pr cos(Nr (θs −θ )) max 1 1 0 1 1 + P1s _1r cos(( Ns + Nr )θs − Nrθ ) + P1s _1r cos((Ns − Nr )θ s + Nrθ ) 2 2 Wem = Wem0 + Wem2 ] (1.29) dθs Les développements de cette expression sont détaillés dans l’annexe 2. Il en résulte que l’énergie dans l’entrefer se décompose en deux parties : La première, notée : Wem 0 = π 2 ε max P0 2 (1.30) est constante. Elle est due à l’interaction entre la perméance moyenne d’entrefer P0 et la composante continue de l’expression du carré de la f.m.m ε T . Indépendante de la position rotorique θ , elle ne participe pas à la création du couple. En fait, elle représente l’énergie de magnétisation. La deuxième, notée Wem 2 , est issue de l’interaction des termes variables, fonctions de θ s et de θ , de la perméance avec le carré de la f.m.m résultante dans l’entrefer. Nous pouvons l’exprimer d’une manière globale comme suit : Wem 2 = 2π ∫∑ 0 L'expression ∑ i f i (θ s ) dθ s + 2π ∫∑ 0 g j (θ s ,θ ) dθ s (1.31) j f i (θ s ) représente un ensemble de fonctions circulaires qui dépendent i uniquement de la position dans l’entrefer θ s . Indépendantes de θ , les fonctions f i ne 21 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable participent pas à la conversion électromagnétique. Par conséquent, il apparaît judicieux d’annuler ces termes afin de minimiser l’énergie de magnétisation. Cela passe par le choix de combinaisons sur Nr, Ns et p qui permet de les garder dépendantes de l’angle θ s . Nous appelons ce critère de choix, le critère de la minimisation de l’énergie emmagasinée. j ∑ g j (θ s ,θ ) représente, par contre, un ensemble de fonctions sinusoïdales qui dépendent à la m =1 fois de la position du rotor θ et de la position dans l’entrefer θ s . Les termes g j peuvent donc potentiellement créer du couple. L’intégrale de l’énergie se faisant sur dθ s , il est possible de choisir des paramètres N s , N r et p qui permettent d’éliminer la variable θ s dans l’expression d’une ou plusieurs de ces fonctions circulaires g j . Le calcul de l’intégrale (1.31) aboutira alors à un ou plusieurs termes dépendant de la position rotorique θ , donc convertibles en couples électromagnétiques. Nous appellerons action de couple chaque contribution d’une fonction g j . Par conséquent, le nombre d’actions de couple sera égal au nombre de fonctions g j dont l’intégrale, en fonction de θ s , est non nulle. Ce deuxième critère sera appelé critère de la production du couple. Comme indiqué précédemment, la coexistence de plusieurs couples n’est pas un gage de meilleures performances à cause des vitesses de synchronisme qui sont différentes pour les différents termes. En conclusion, il est donc souhaitable de poser des conditions sur le nombre de dents au stator et au rotor ainsi que sur la polarité des bobinages, qui permettent de minimiser au maximum l’énergie emmagasinée (non convertible en couple), et de sélectionner uniquement la contribution énergétique qui permet de générer le couple principal. Ces deux critères (1 et 2), permettent d’améliorer les performances de la structure, tant du point de vue du rendement que de la qualité de fonctionnement. Pour certaines fonctions, parmi les f i et g j (f1, f2, f4 et g1, g2, g3, g5, g7) issues de la relation (1.29), il est physiquement impossible de trouver des combinaisons sur les dentures et les polarités qui les rendent indépendantes de θ s . Dans ce cas, leur intégrale est automatiquement nulle. Ces termes étant éliminés, nous réécrivons l’expression (1.31) en faisant apparaître les f i et g j qui subsistent: 22 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Wem 2 = 1 2π 1 2 ∫ [ ε max P1s cos(2ω t + θ s ( N s − 2 p )) 2 0 4 1 2 + ε max P1r cos(2ω t + θ s ( N r − 2 p ) − N rθ ) 4 1 2 + ε max P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N s + N r − 2 p ) − N rθ ) 8 1 2 + ε max P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N s − N r − 2 p ) + N rθ ) 8 1 2 + ε max P1s _ 1r cos(2ω t + θ s ( N r − N s − 2 p ) − N rθ ) 8 (1.32) ] dθ s Wem 2 = f 3 + g 4 + g 6 + g 8 + g 9 Sur la base du principe explicité ci-dessus, nous pouvons distinguer, parmi les MRV Vernier non excitées, différentes structures selon le nombre d’actions des énergies qui participent à la création du couple. I.3.1.1.1 MRV à simple action Les machines à simple action développent un unique couple issu de l’interaction de la f.m.m avec la perméance d’entrefer. Compte tenu de l’équation (1.32), pour obtenir une structure à simple action avec le minimum d’énergie emmagasinée –non convertible en couple–, on doit imposer des conditions entre la polarité du bobinage et les nombres de dents sur les deux armatures. Les conditions relatives à chaque critère sont les suivantes : a) critère 1, minimum d’énergie emmagasinée ( annulation du terme f3 ) Un minimum d’énergie emmagasinée peut être assuré dans ces structures en vérifiant la condition : Ns ≠ 2 p (1.33) Dans ce cas, à l’issue de l’intégration, le terme f3 s’annule et l’énergie emmagasinée Wem 0 est minimale et s’exprime par la relation (1.30) donnée précédemment. b) critère 2, production du couple ( favoriser un seul terme g j parmi ‘g6, g8 ou g9’) Pour sélectionner uniquement l’action principale de couple, la structure doit vérifier une 23 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable combinaison supplémentaire, qui lie tous les paramètres (polarité et dentures). Cette action se traduit, d’après le critère 2, en satisfaisant l’une des conditions données ci dessous : ± Ns ± Nr = 2 p (1.34) Enfin, pour éviter une action supplémentaire de couple, la contrainte suivante devra également être assurée : Nr ≠ 2 p (1.35) Le fonctionnement de cette machine est basée sur la modulation de la f.m.m par la perméance d’entrefer. En choisissant donc la polarité et les nombres de dents qui vérifient simultanément les relations (1.34) et (1.35), on aboutit, à l’issue de l’intégrale (1.32), à un seul terme d’énergie dans l’entrefer qui est fonction de θ . Ce terme engendre un couple électromagnétique qui présente un minimum d’ondulation. En effet, à partir de la relation (1.5) ou (1.6), le calcul du couple électromagnétique développé donne une valeur maximale qui s’exprime par : Ce = N r π 2 ε max P1s _ 1r 8 (1.36) si la condition de synchronisme sur la vitesse de rotation Ω est vérifiée, soit : Ω= κ dn 2 ω Nr (1.37) où κ dn est définit par : κ dn = −1 si si κ dn = 1 Ns − Nr = 2 p Nr ± Ns = 2 p Il est à remarquer que dans le cas où Ns – Nr = 2p, le rotor et le champ créé par le bobinage d’induit tournent dans les directions inverses. Ce phénomène ne se rencontre pas dans le structures classiques de machines électriques. I.3.1.1.2. MRV à double action Dans le cas où la condition (1.34) est remplie avec N s − N r = 2 p (g8 favorisé), la MRV non 24 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable excitée peut, en plus de l’action principale, développer une deuxième action du couple issue du critère 2. En effet, l'expression de l'énergie magnétique (1.32) montre qu’il est possible de sélectionner une seconde fonction g j (g4 dans ce cas) qui peut être dépendante de la position rotorique, donc convertible en couple électromagnétique. Cette fonction supplémentaire s’obtient en modifiant la relation (1.35) qui devient : Nr = 2 p (1.38) Le couple développé par cette action est dû à l’interaction entre la f.m.m et le terme de la perméance issue de la saillance rotorique P1r . Nous verrons, par la suite, que cette condition doit être remplie pour une structure à stator lisse. Une machine vérifiant les conditions énoncées dans le paragraphe précédent et la condition (1.38), conduit tous calculs faits, et pour la vitesse de rotation donnée par (1.37), à un terme supplémentaire de couple qui s’écrit : Ce2 = N r π 2 ε max P1r sin ( 4 ω t ) 4 (1.39) Il est à noter que ce couple supplémentaire est oscillant. Par conséquent, l’ajout d’une seconde action atténue notablement l’intérêt de ces structures pour des applications électrotechniques classiques. I.3.1.2. MRV à stator lisse On appelle MRV à stator lisse, les structures dont les isthmes des encoches statoriques sont beaucoup plus étroites par rapport à celles des encoches rotoriques. Dans ce cas, on peut considérer que le nombre de dents au stator N s est nul. Par conséquent, dans l’expression (1.14.b), les termes P1s et P1s _ 1r , qui sont dus respectivement à la saillance du stator et la double saillance stator et rotor, sont annulés. La perméance d’entrefer (1.28) est alors constituée uniquement de deux termes : la perméance moyenne P0 et la perméance due à la saillance rotorique P1r soit : P(θ s ,θ ) = P0 + P1r cos ( N r (θ s − θ ) ) (1.40) En éliminant les termes fi et gi dont l’intégrale est automatiquement nulle, l’énergie totale dans l’entrefer Wem , s’écrit dans ce cas : 25 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Wem = 1 2π 1 2 2 [ ε max P0 + 1 ε max P1r (cos (2ω t − θ s ( 2 p − N r ) − N rθ ) ) ] dθ s ∫ 2 0 2 4 (1.41) Les développements de cette intégrale montrent que le terme constant de l’énergie dans l’entrefer s’exprime de la même façon que pour les structures à double denture non excitées relation (1.30). Par ailleurs, un seul couple, à valeur moyenne non nulle, peut être généré. Cela est obtenu en satisfaisant le critère 2, soit : Nr = 2 p (1.42) La f.m.m du circuit d’alimentation est donc modulée par la denture rotorique, ce qui aboutit à une énergie dans l’entrefer qui dépend de la position θ du rotor. Nous remarquons que cette action, principale dans le cas des machines à stator lisse, constitue, comme nous l’avons mentionné dans le paragraphe précédent, la seconde action possible dans les structures à double saillance non excitées (1.38). Dans le cas des machines à stator lisse, le couple électromagnétique maximal, obtenu à partir de la relation (1.41), a pour expression : Ce = N r π 2 ε max P1r 4 (1.43) pour une vitesse de rotation synchrone donnée par : Ω= 2ω Nr (1.44) I.3.2. Tableau récapitulatif Dans le tableau ci dessous, nous résumons les conditions de fonctionnement pour les machines à réluctance variable non excitées, alimentées par un système polyphasé. 26 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable MRV à double denture MRV à stator lisse Simple action Double action Ns ≠ Nr Ns ≠ Nr Conditions de ± Ns ± Nr = 2 p Ns − Nr = 2 p Ns = 0 fonctionnement Nr ≠ 2 p Nr = 2 p Nr = 2 p Ns ≠ 2 p Ns ≠ 2 p Condition sur la Ω= vitesse de rotation ± 2ω ± Nr π 2 C e = N r ε max P1s _ 1r Couple développé 8 Ω= Ce = N r Nr Energie magnétisante Wme 0 = π 2 ε max P0 2 ± 2ω ± Nr π 2 ε max P1s _ 1r + 8 π 2 ε max P1r sin (4 ω t ) 4 Wme 0 = π 2 ε max P0 2 Ω= 2ω ω = Nr p Ce = N r π 2 ε max P1r 4 Wme 0 = π 2 ε max P0 2 Tableau 1.2 : Récapitulatif de la MRV non excitée En conclusion, pour un fonctionnement à couple constant, les structures à double denture à simple action peuvent être intéressantes dans le cas des applications à faible vitesse. En effet, pour un nombre de pôles donnés, celui des dents rotoriques peut être élevé et donc, pour une fréquence ‘classique’, la machine développera un fort couple à faible vitesse (voir le tableau ci-dessus). Il est à noter que le nombre de dents rotoriques doit rester raisonnable afin de ne pas atténuer l’effet de réluctance variable. Les MRV à stator lisse sont, quant à elles, des structures intéressantes dans le cas de fonctionnements à grandes et très grandes vitesses de part la simplicité de leur rotor qui peut être massif. Différentes études ont été consacrées aux MRV non excitées et plus spécialement aux performances des structures à stator lisse. Il en ressort que ces dernières, avec des géométries rotoriques optimisées, peuvent avoir des fonctionnements très intéressants. Leurs rendements, ainsi que leurs facteurs de puissance, peuvent atteindre des valeurs similaires, voir plus élevées que celles des machines asynchrones [19-21]. Les MRV a double denture non excitées souffrent, par contre, d’un faible, voir très faible, facteur de puissance [6]. Cela est alors préjudiciable au dimensionnement de l’alimentation. L’une des possibilités d’amélioration est de les doter d’une excitation. Nous allons, dans le paragraphe suivant, établir les conditions de fonctionnements des MRV, à double et simple denture, lorsqu’elles 27 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable présentent, en plus du circuit d’induit, une seconde source de f.m.m. d’excitation. I.3.3. Machines excitées Dans ces machines, on trouve deux bobinages relatifs au circuit d’induit et d’inducteur. Ces derniers sont indépendants électriquement et liés magnétiquement au travers des armatures. Les machines excitées peuvent être à double denture ou à stator lisse. Dans ce qui suit, nous allons traiter chaque cas en particulier. I.3.3.1. Structures à double denture Dans les MRV excitées, la f.m.m totale est issue des courants traversant les circuits induit et inducteur. Le circuit polyphasé d’induit est, à priori, logé dans l’armature statorique. Par contre, le circuit d’excitation peut être un bobinage fixe logé au stator ou un bobinage mobile logé au rotor. Par ailleurs, ce circuit d’excitation peut être alimenté en continu ou en alternatif, ou encore être constitué par des aimants permanents. Dans cette partie, nous allons traiter, d’une manière détaillée, les conditions de fonctionnements des machines dont le bobinage inducteur polyphasé est alimenté en alternatif. En fonction de la position de l’inducteur (stator ou rotor), quelques différences apparaissent quant à l’application des deux critères de choix exposés précédemment. Nous allons donc, dans la mesure du possible, essayer de généraliser les conditions de conversion tout en donnant les différences entre une excitation statorique et une excitation rotorique. Enfin, le cas où le circuit d’excitation est alimenté en courant continu sera abordé comme un cas particulier de l’alimentation alternative. Comme dans l’étude des structures non excitées, nous allons déterminer les conditions de création du couple principal, puis nous donnerons celles qui peuvent générer des actions supplémentaires de couple. I.3.3.1.1. Expression de l’énergie d’entrefer L’expression de la f.m.m totale créée par le circuit de l’induit que l’on note ε T 1 , est donnée par la relation (1.25). Par analogie, la f.m.m créée par le circuit inducteur, notée ε T 2 s’écrit : 28 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable ′ K B′ ] cos( ω ′ t − p ′θ sr ) ε T2 = [ n′ I max q' π (1.45.a) q' ′ K B′ n′ I max π (1.45.b) En posant : ′ = ε max la f.m.m. d’excitation, s’écrit d’une manière plus simple : ′ cos( ω ′ t − p ′ θ sr ) ε T2 = ε max (1.45.c) Les indices « prime » différencient les grandeurs relatives au circuit d’excitation par rapport à celles de l’induit. D’autre part, suivant l’emplacement du circuit d’excitation, stator ou rotor, l’angle θ sr sera égal à θ s ou à θ r = θ s − θ (voir relations (1.16.a) et (1.16.b)). Par conséquent, afin de traiter les deux cas simultanément, nous écrirons la f.m.m. d’excitation sous la forme suivante : ′ x cos( ω ′ t − p ′ (θ s − aθ )) ε T2 = ε ma (1.46) où « a » représente un coefficient dont les deux valeurs possibles sont : a=0 si le circuit d’excitation est logé au stator a=1 si le circuit d’excitation est logé au rotor Considérons maintenant l’expression de l’énergie magnétique (1.13). Le terme ε T2 s’exprime alors par : ε T2 = ( ε T 1 + ε T 2 ) 2 (1.47) En développant la relation (1.47), et en utilisant l’expression de la perméance d’entrefer donnée en (1.28), l’énergie totale dans l’entrefer, sous forme intégrale (1.13), s’exprime par : [ 1 2π ′ cos( ω ′t − p ′( θ s − aθ )) Wem = ∫ ε max cos( ω t − pθ s ) + ε max 2 0 + P1r cos (N r ( θ s − θ )) + + ] 2 [ P0 + P1s cos ( N s θ s ) 1 P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ ) 2 1 P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ ) 2 ] (1.48) dθ s 29 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Le développement complet de cette expression est présenté dans l’annexe 3. Il montre que, suivant l’emplacement du circuit d’excitation, des termes indépendants de θ (donc non potentiellement générateurs de couple) lors d’une excitation statorique, peuvent le devenir dans le cas d’une excitation rotorique. Ceci impose quelques précautions à prendre dans l’élaboration des conditions de conversion d’une structure à double denture excitée. Néanmoins, en s’appuyant sur le même raisonnement que pour les machines non excitées, le développement de l’énergie électromagnétique d’entrefer permet de distinguer plusieurs types de structures. Ces dernières diffèrent selon les combinaisons liant le nombre de dents, au rotor et au stator, aux polarités des bobinages induit et inducteur. Pour les machines non excitées, nous avons introduit la notion de simple action et double action. Pour les structures excitées, outre la simple action, on est amené à étudier des actions d’ordre multiple. Dans ce mémoire, afin d’en faciliter la lecture nous utilisons le terme d’action principale pour définir la simple action et le terme d’action d’ordre « i » pour les actions supplémentaires. L’ordre que nous avons donné aux différentes actions est totalement arbitraire. I.3.3.1.2. MRV à simple action Le fonctionnement des MRV excitées à simple action est basé sur l’interaction du champ d’excitation avec le champ d’induit au travers de la perméance d’entrefer. Leur principe est alors similaire à celui d’une machine synchrone à rotor lisse associée à un multiplicateur de vitesse électromagnétique. Comme précédemment, nous utilisons les deux critères (celui de la minimisation de l’énergie emmagasinée non convertible et celui de la production du couple), afin de déterminer les conditions nécessaires au fonctionnement de ces machines. Reprenons l’équation (1.31), qui décompose l’énergie magnétique en terme f i et g j . Comme nous l’avons indiqué, seuls les termes g j peuvent potentiellement créer un couple. On trouvera, dans l’annexe 3, l’expression (1.31) développée dans le cas des machines excitées. Compte tenu de ces développements, la simple action (action principale) peut être sélectionnée en imposant les conditions suivantes à N s , N r , p et p ′ : ± N s ± N r = ± p ± p′ (1.49) 30 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable ± Ns ± Nr ≠ 2 p (1.49.a) ± N s ± N r ≠ 2 p′ (1.49.b) Nr ≠ 2 p N r ≠ 2 p′ (1.49.c) N r ≠ ± p ± p′ (1.49.d) A ces conditions de fonctionnement communes aux deux emplacements du circuit d’excitation, il faut rajouter les contraintes supplémentaires dans le cas d’une excitation rotorique : Ns ≠ ± p ± p′ (1.50.a) N s ≠ 2 p′ (1.50.b) Par ailleurs, pour minimiser l’énergie emmagasinée (application du critère 1), la structure devra respecter les conditions suivantes lorsque le circuit d’excitation est au stator: N s ≠ ± p ± p′ p ≠ p′ (1.51.a) N s ≠ 2 p ≠ 2 p′ ou celles données ci-dessous lorsque le bobinage de l’inducteur se situe au rotor : Ns ≠ 2 p p ≠ p' (1.51.b) Compte tenu de ces conditions, le développement de l’expression de l’énergie électromagnétique (1.48) –annexe 3–, fait apparaître un terme, indépendant de θ , qui représente l’énergie constante non convertible en couple. Ce terme a pour expression : Wem 0 = π ( 2 ε max 2 + ′2 ε max 2 ) P0 (1.52) Le couple électromagnétique maximal, généré par cette structure, s’exprime par : 31 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable C e = ( κ de1 N r + κ de 2 a p ′ ) π ′ P1s _ 1r ε max ε max 4 (1.53) pour une vitesse de rotation synchrone donnée par : Ω= ω − κ de 2 ω ′ κ de1 N r + κ de 2 ap ′ (1.54) où les coefficients κ de1 et κ de 2 , qui peuvent prendre les valeurs ± 1 , dépendent de la combinaison des nombres de dents et des polarités ( N s , N r , p et p ′ ). On trouvera dans le tableau (1.3) les valeurs que prennent les coefficients κ de1 et κ de 2 en fonction de ces paramètres. κde2 κde1 1 -1 1 N s − N r = p′ − p ou N s + N r = p − p′ N r − N s = p + p′ ou N s + N r = p + p′ -1 N s − N r = p − p′ ou N s + N r = p′ − p N s − N r = p + p′ Tableau 1.3 : Coefficients intervenants dans le calcul de la vitesse de synchronisme I.3.3.1.3. MRV à plusieurs actions En plus de l’action principale, les structures MRV excitées peuvent générer d’autres couples additionnels. Ces derniers sont issus des autres fonctions g j –voir Annexe 3–. Comme indiqué précédemment, nous allons, dans la suite, appeler action supplémentaire d’ordre i, chaque couple additionnel, sachant que l’action d’ordre 1 représente l’action principale. Action d’ordre 2 Cette action est due à la modulation de la f.m.m, créée par le seul bobinage d’induit, par la perméance d’entrefer. Elle correspond à la conversion mise en œuvre dans le cas des MRV à double denture non excitées vues précédemment . 32 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Cette action supplémentaire du couple s’obtient en modifiant la relation (1.49.a) qui devient : Ns ± Nr = 2 p ou (1.55) Nr − Ns = 2 p Dans ces conditions, on fait apparaître un terme de couple additionnel, qui s’écrit : C e 2 = κ de3 N r π 2 ε max P1s _ 1r sin ( (2ω + κ de3 N r Ω) t ) 8 ) (1.56) Dans cette expression, le terme κ de3 peut prendre les valeurs ± 1 soit : κ de3 = −1 κ de3 = 1 si Nr ± Ns = 2 p si Ns − Nr = 2 p Ce terme s’ajoute au couple principal donné par la relation (1.53), pour la vitesse de rotation synchrone (1.54). Action d’ordre 3 Le même phénomène d’interaction entre la f.m.m d’induit et la perméance d’entrefer, exposé dans le cas d’une action d’ordre 2, peut être également vérifié entre la f.m.m créée par le circuit d’excitation et la perméance d’entrefer. C’est ce que nous appellerons action d’ordre 3. Transposées au cas de l’inducteur, les conditions (1.55) s’écrivent : N s ± N r = 2 p′ ou N r − N s = 2 p′ (1.57) Pour la même vitesse de rotation synchrone (1.54), le couple relatif à cette action s’exprime par : Ce3 = ( κ de4 N r + 2ap ' ) π 2 ′ P1s _ 1r sin ( ( 2ω ′ + (κ de4 N r + 2ap′) Ω ) t ε max 8 ) (1.58) avec 33 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable κ de 4 = −1 κ de 4 = 1 si si N r ± N s = 2 p′ N s − N r = 2 p′ Action d’ordre 4 En plus des deux actions potentielles précédemment décrites, comme dans le cas des structures non excitées, la f.m.m de l’induit, ou de l’inducteur, peut également interagir avec la denture rotorique. Ce principe est exploité comme action principale dans les machines non excitées à stator lisse paragraphe (I.3.1.2). Dans le cas des structures à double denture excitées, ce phénomène peut engendrer un nouveau couple additionnel que nous appellerons action d’ordre quatre. Il est obtenu lorsque l’on vérifie l’une des deux conditions suivantes : Nr = 2 p ou (1.59) N r = 2 p′ Le couple électromagnétique, issu de cette action, est donné, pour N r = 2 p , par : Ce4 = − N r [ π 2 P1r ε max sin ( ( 2ω − N r Ω )t ) 4 et pour N r = 2 p ′ , par : ] [ π ′2 sin( 2ω ′ − ( Nr − 2ap' )Ω )t ) Ce4 = ( − N r + 2ap' ) P1r ε max 4 (1.60.a) ] (1.60.b) Action d’ordre 5 La dernière action commune aux deux emplacements possibles du circuit d’excitation est appelée action d’ordre 5. Elle est due à la modulation de la f.m.m. résultante des deux champs, d’induit et d’inducteur, avec la denture rotorique. Nous verrons ultérieurement que cette contribution constitue l’action principale d’une MRV à stator lisse excitée. Dans le cas des structures à double denture, elle est obtenue en vérifiant l’une des conditions suivantes : N r = ± p ± p′ (1.61) Dans ce cas, un couple électromagnétique est développé. Il s’écrit, pour la vitesse de rotation donnée par la relation (1.54), sous la forme suivante : 34 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Ce5 = ( − κ de5 N r − κ de6 ap′) π ′ P1r sin ( (ω − κ de6 ω ′− ( κ de5 N r + κ de6 ap' ) Ω ) t ε max ε max 2 ) (1.62) avec pour les coefficients κ de5 et κ de6 le tableau suivant: κ de6 κ κ de5 κ 1 -1 -1 1 N r = p − p′ N r = p + p' N r = p′ − p Tableau 1.4 : Coefficients intervenant dans l'action d'ordre 5 Les actions additionnelles, d’ordre 2 à 5, sont issues des mêmes modulations énergétiques que l’excitation soit située au stator ou au rotor. Les deux actions suivantes que nous allons présenter ne peuvent être assurées que dans le cas où le circuit d’excitation est situé au rotor. En effet, elles résultent de la modification des conditions (1.50.a) et (1.50.b) que nous avons introduites précédemment. Action d’ordre 6 L’action d’ordre 6 est le résultat de l’interaction du champ magnétique résultant dans l’entrefer avec la saillance statorique. Elle est définie lorsqu’on vérifie l’une des conditions suivantes : N s = ± p ± p′ (1.63) le couple développé par cette action, s’exprime, pour la vitesse de rotation (1.54), par : Ce 6 = ( κ de7 p ' ) π ′ P1s sin ( (ω + κ de7 ( ω ′ + p' Ω )) t ε max ε max 2 ) (1.64) avec, pour le coefficient κ de7 , les valeurs: κ de 7 = 1 κ de 7 = −1 si N s = p + p′ si N s = ± ( p − p′) Action d’ordre 7 Enfin, la dernière action possible dans les structures à réluctance variable à double denture 35 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable excitées au rotor, appelée action d’ordre 7, est due à la modulation de la f.m.m. d’inducteur par la denture statorique. Elle est obtenue en vérifiant la condition suivante : N s = 2 p′ (1.65) Cette action génère, dans le cas de la vitesse de rotation synchrone (1.54), un couple électromagnétique dont l’expression est : Ce7 = ( 2 p' ) π 2 ′ P1s sin ( ( 2 ω ′+ 2 p' Ω ) t ε max 4 ) (1.66) I.3.3.2. Structures à simple denture Comme précisé dans le paragraphe (I.3.1.2), la perméance d’entrefer des MRV à stator lisse est due uniquement à la denture rotorique. Son expression est donnée par la relation (1.40). En présence d’une excitation assurée par un système polyphasé, l’expression de l'énergie électromagnétique dans l'entrefer se déduit directement de la relation (1.48), en annulant les termes de la perméance dus à la denture statorique et à la double denture. Par conséquent, cette énergie s’exprime comme suit: 2 2π ∫ [ε 1 Wem = 2 max ′ cos(ω′t − p′θ s − aθ ) cos(ωt − pθ s ) + ε max ] [ P + P cos(N (θ −θ )) ]dθ 0 r 1 r s s (1.67) 0 où le coefficient ‘a’ prend les mêmes valeurs que dans le cas d’une MRV à double denture, à savoir : a=0 si le circuit d’excitation est logé au stator a=1 si le circuit d’excitation est logé au rotor. Le développement de cette énergie d’entrefer est détaillé dans l’annexe 4. Il en ressort un terme, indépendant de θ , qui représente l’énergie non convertible en couple: Wem 0 = π ( 2 ε max 2 + ′2 ε max 2 ) P0 (1.68) I.3.3.2.1. Structures à simple action L’action principale du couple est engendrée par l’interaction du champ résultant avec la 36 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable denture rotorique. Cette interaction peut être obtenue, d’après le critère 2, en vérifiant simultanément les conditions suivantes : N r = ± ( p ± p′ ) Nr ≠ 2 p (1.69) N r ≠ 2 p′ Il faut également respecter la contrainte suivante sur les polarités des deux circuits : p ≠ p′ (1.70) Cette dernière condition relève du critère 1 (minimisation de l’énergie emmagasinée) dans le cas d’une excitation statorique. Lorsque le circuit d’excitation est situé au rotor, cette condition supplémentaire permet d’éviter de générer un couple additionnel. En respectant les relation (1.69) et (1.70) la structure génère un couple dont la valeur maximale est : π ′ P1r Ce = (κ se1 N r + κ se 2 a p′) ε max ε max 2 (1.71) pour une vitesse de rotation synchrone définie par : Ω= ω − κ se 2 ω ′ κ se1 N r + κ se 2 a p′ (1.72) Les coefficients κ se1 et κ se 2 prennent les valeurs données dans le tableau (1.5) en fonction des conditions imposées: κse2 κ 1 -1 1 N r = p − p′ N r = p + p′ -1 N r = p′ − p κse1 κ Tableau 1.5 : Coefficients intervenants dans le calcul de la vitesse de synchronisme I.3.3.2.2. Structures à plusieurs actions Comme dans le cas des structures à double denture, les MRV à stator lisse peuvent développer, en plus de l’action principale définie ci-dessus, d’autres actions de couple. Ces dernières sont dues à des conditions supplémentaires issues du critère 2. 37 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Action d’ordre 2 Quelque soit l’emplacement du circuit d’excitation, une seconde action relative au couple peut être générée lorsque la f.m.m. d’induit, ou d’inducteur, est modulée par la perméance de la denture rotorique. Cette contribution énergétique correspond à l’action principale quand la MRV à stator lisse n’est pas excitée. Elle est obtenue en vérifiant l’une des deux relations suivantes –voir annexe 4– : Nr = 2 p ou N r = 2 p′ (1.73) Dans ce cas, un terme de couple additionnel est créé. Il s’exprime, pour la vitesse de rotation synchrone (1.72), pour Nr = 2p, par : Ce2 = − N r π 2 ε max P1r sin (( 2 ω − N r Ω ) t 4 ) (1.74.a) et, pour Nr = 2p’, par : Ce 2 = (− N r + 2a p′) π 2 ′ P1r sin ((2ω ′ −( N r − 2 a p′) Ω ) t ) ε max 4 (1.74.b) Remarque Il est à noter que les combinaisons de la relation (1.73) peuvent éventuellement être satisfaites simultanément. Cela s’accompagne d’une augmentation de l’énergie non convertible, dans le cas de la structure excitée au stator, ou de la création d’une autre action supplémentaire que nous définissons ci-dessous, dans le cas d’une excitation au rotor. Action d’ordre 3 Cette action, qui concerne uniquement les structures excitées au rotor, est due à l’interaction des deux champs induit et inducteur au travers la perméance d’entrefer moyenne P0 . Elle est assurée lorsque l'on vérifie la condition suivante: p = p′ (1.75) Le couple engendré par cette action, s’exprime, pour la vitesse de rotation (1.72), sous la forme suivante : ′ p ′ P0 sin ( (ω − ω ′ − p ′Ω) t C e3 = π ε max ε max ) (1.76) 38 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.3.3.3. MRV à excitation continue Dans toutes les structures étudiées précédemment, il est possible de remplacer le circuit d’excitation alimenté en alternatif par un circuit alimenté en courant continu. Les conditions de fonctionnement déterminées dans les paragraphes précédents demeurent identiques et les actions possibles du couple et leurs expressions restent les mêmes. Il suffit uniquement de remplacer la pulsation du circuit d’inducteur ω ′ par zéro et de modifier le terme ε ′ par celui que donnerait une excitation continue, en l’occurrence : ω′ = 0 2 ′ ′ K B′ ε max = π n ′ I max (1.77) Remarque Il est à noter que quelle que soit la MRV, à simple ou double denture, excitée ou pas, seule l’action principale est conséquente à des conditions mettant en œuvre la totalité des caractéristiques de dentures et de polarités. Les autres actions supplémentaires ne font appel qu’à des conditions restreintes qui peuvent être éventuellement remplies par des structures moins complexes et donc à priori moins performantes. Il est donc inintéressant de favoriser un couple additionnel, au détriment du couple principal, en choisissant la vitesse de rotation synchrone relative au dit couple additionnel. I.4. Quelques exemples de structures de MRV Plusieurs structures à réluctance variable, avec ou sans circuit d’excitation, ont fait l’objet d’études ou de réalisations. Nous donnons, dans la suite de ce paragraphe, quelques exemples, de machines hétéropolaires, rencontrées dans la bibliographie. I.4.1. Les machines à simple denture ou à stator lisse. I.4.1.1. Machines non excitées Dans ces structures, le stator est identique à celui d’une « machine alternative » classique. Le champ magnétique est produit par le seul bobinage d’induit logé au stator (figure (1.8)). Le 39 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable rotor tourne à la vitesse du champ, en offrant, à tout instant, une réluctance d’entrefer minimale au passage des lignes de champ. Figure 1.8 : MRV à stator lisse non excitée [22] Le fonctionnement synchrone est assuré par la condition (1.42). Dans ce cas, la vitesse de synchronisme, liée à la fréquence d’alimentation du circuit d’induit, est donnée par la relation (1.44) . En régime permanent, les dents rotoriques sont traversées par un flux constant, ce qui implique une absence des courants induits au rotor. Par conséquent, ce dernier peut être réalisé en fer massif, ce qui rend ces structures particulièrement adaptées aux applications à grande vitesse [6, 23-25]. D’autre part, la simplicité de leur commande les rendent attractives pour des applications à vitesse variable [26]. Pour améliorer les performances de ce type de machines (facteur de puissance, rendement, couple) plusieurs travaux ont été entrepris [27-29]. Les résultats ont montré que les performances sont nettement meilleures en utilisant des structures à guides de flux figure (1.9.a), ou encore à rotors axialement laminés figure (1.9.b). Néanmoins, ce type de structure engendre un coût de fabrication plus élevé. Figure 1.9.a : MRV à guide de flux [27] Figure 1.9.b : MRV axialement laminés [29] 40 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.4.1.2. Machines excitées En plus du circuit induit réalisé par un bobinage polyphasé au stator, ces machines sont dotées d’un circuit d’excitation, alimenté en continu ou en alternatif et situé au rotor ou au stator. I.4.1.2.1. Excitation au rotor Le meilleur exemple d’une MRV à stator lisse à plusieurs actions est celui de la machine synchrone à pôles saillants. Nr = 2p = 2p’, c’est une structure qui peut être assimilée à une MRV à 3 actions. Excitée en continu au rotor, elle allie un fonctionnement basé sur l’interaction entre champs induit et inducteur à celui dû à la modulation du champ résultant par la denture rotorique. Ce dernier est appelé classiquement couple réluctant. La figure (1.10) présente une machine synchrone à pôles saillants. Figure 1.10 : Structure à pôles saillants excitée [22] I.4.1.2.2. Excitation au stator A priori, il est possible de concevoir une multitude de structures à stator lisse excitées en continu ou en alternatif au stator. Il suffit de vérifier les conditions données par les relations (1.69) et (1.70). L’avantage d’une excitation statorique réside dans l’absence de tout contact mécanique pour l’alimentation de l’inducteur figure (1.11). Par ailleurs, de par l’alimentation alternative du circuit d’excitation, ce type de machines offre deux degrés de liberté supplémentaires, l’amplitude et la fréquence du courant d’excitation, qui peuvent être utilisés dans l’élaboration de la commande [30]. Depuis quelques décennies, ces machines ont fait l’objet d’un grand nombre d’études concernant leur utilisation tant en moteur qu’en génératrice à vitesse variable [19, 31-32]. 41 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Figure 1.11 : MRV à stator lisse excitée au stator [31] I.4.2. Les machines à double denture Dans ces structures, les armatures rotorique et statorique sont dentées. De plus, comme nous l’avons vu aux paragraphes (I.3.1.1) et (I.3.3.1) les conditions sur Ns, Nr, p et p’, qui assurent un fonctionnement synchrone, différent suivant que ces machines soient excitées ou pas. Par ailleurs, l’emplacement de l’éventuel circuit d’excitation joue un rôle important dans l’établissement de ces conditions. Dans la suite de ce paragraphe, nous donnons quelques exemples de MRV à double denture avec et sans circuit inducteur. I.4.2.1. Machines non excitées Dans ces structures, la vitesse est fonction de la fréquence d’alimentation et inversement proportionnelle au nombre de dents rotoriques. Cela permet de réaliser des fonctionnements synchrones à basse vitesse sans une augmentation excessive de la polarité du bobinage, contrairement aux machines conventionnelles. Le couple électromagnétique généré par ces machines est, quant à lui, proportionnel au produit entre le nombre de dents du rotor et le coefficient de la perméance d’entrefer (1.36). Enfin, pour assurer une conversion électromécanique de l’énergie, Ns, Nr et p doivent correspondre aux conditions citées dans le paragraphe (I.3.1.1). Ces machines ont fait l’objet des premières études consacrées aux MRV à double saillance [68, 33]. Ces études ont permis de démontrer les conditions de fonctionnement de ces structures et de quantifier leurs performances en utilisant différentes approches analytiques. Il en ressort que ces machines présentent des fonctionnements synchrones mais avec l’inconvénient d’un facteur de puissance très faible (entre 0.1 et 0.3). Ceci est alors préjudiciable au dimensionnement de l’alimentation. 42 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Sur la figure (1.12) nous présentons une structure qui remplit les conditions d’une MRV à simple action. Figure 1.12 : MRV double denture non excitée [34] I.4.2.2. Machines excitées Pour améliorer le facteur de puissance des MRV à double saillance, il est possible de les doter d’un circuit d’excitation [35]. Suivant la nature de ce dernier, ainsi que son emplacement, les conditions de fonctionnement synchrone portent sur Ns, Nr, p et p’ -voir paragraphe (I.3.3.1)- I.4.2.2.1. Excitation au rotor Les études, concernant des structures excitées au rotor, ont essentiellement portées sur des configurations utilisant des aimants permanents. Cela élimine les possibilités de réglage qu’apporte une alimentation en courant, mais permet d’éviter l’utilisation d’un système bagues-balais. Sur la figure (1.13), nous montrons une MRV Vernier à simple action, excitée par des aimants permanents rotoriques disposés en position tangentielle [4][37]. .Figure 1.13 : MRV Vernier excitée par des aimants permanents au rotor, disposition tangentielle des aimants [37] 43 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.4.2.2.2. Excitation au stator Dans le cas d’une excitation statorique, les avantages et inconvénients sont inversés par rapport au cas traité dans le paragraphe ci dessus. En effet, il est plus intéressant d’utiliser une excitation en courant qui ne nécessite pas de système balais + bagues au lieu d’aimants permanents qui compliquent la fabrication de la machine tout en augmentant le prix de revient. Par ailleurs, comme spécifié précédemment, l’utilisation d’une excitation par un courant peut être intéressante pour la commande de la machine. Plusieurs structures de MRV à double denture excitées ont été conçues [38-40]. Nous montrons, sur la figure (1.14) le cas d’une machine excitée par des aimants statoriques en position tangentielle [40]. Figure 1.14 : MRV à excitation statorique [40] I.4.3. Conclusion Dans la première partie du présent chapitre, nous avons effectué une étude énergétique des machines à réluctance variable hétéropolaires. Nous avons déterminé les conditions, en termes de dentures et de polarités, nécessaires pour aboutir à un fonctionnement synchrone. Dans l’application envisagée, à savoir la conversion électromécanique de l’énergie éolienne, différentes structures de MRV peuvent être utilisées. Des études ont déjà été dédiées aux structures à stator lisses excitées par un second bobinage triphasé au stator [31][41]. Elles ont montré que l’utilisation de cette solution permettait une grande souplesse de commande et des performances plus intéressantes que celles des machines asynchrones à rotor bobiné. Cependant, l’utilisation d’une structure à stator lisse ne permet pas d’éliminer le multiplicateur de vitesses. Une étude théorique, effectuée au laboratoire, a concerné une MRV Vernier excitée par des aimants permanents situés au rotor [4]. Elle a montré qu’il était possible, avec cette machine, de convertir l’énergie électromécanique dans une centrale 44 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable éolienne autonome avec des performances intéressantes. Toutefois, pour des puissances élevées, l’utilisation des aimants permanents peut constituer un handicap quant au prix de revient de la machine. En utilisant les avantages de chacune des structures déjà étudiées pour l’application envisagée, nous nous intéressons, dans la suite de ce mémoire, à la MRV Vernier excitée par un second bobinage triphasé situé au stator. Cette solution permet, d’une part, d’éliminer le multiplicateur de vitesse, et d’autre part, d’introduire deux degrés de liberté, à savoir l’amplitude et la fréquence du courant d’excitation, qui peuvent constituer d’intéressantes données dans la commande de l’ensemble. Enfin, dans le cas d’une utilisation dans une centrale éolienne débitant sur le réseau, il est possible de connecter directement le circuit induit au réseau et d’alimenter le circuit inducteur à partir du même réseau via un redresseur et un onduleur commandé. Il est à noter que le courant d’excitation étant, a priori, plus faible que celui de l’induit, une telle solution permettrait de substantielles économies, en termes de dimensionnement des convertisseurs, par rapport à un système utilisant une machine conventionnelle connectée directement au réseau et fonctionnant à vitesse variable. Dans la suite de ce chapitre, nous allons donner la procédure de pré-dimensionnement d’une structure Vernier excitée au stator. I.5. Pré-dimensionnement d’un prototype I.5.1. Cahier des charges Le dimensionnement des machines électriques nécessite des données préliminaires. Ces données, qui sont principalement les caractéristiques du régime de fonctionnement nominal, représentent la base autour de laquelle sera conçue la machine. Elles se regroupent en : La puissance utile et le facteur de puissance. La tension et la fréquence d’alimentation. La vitesse de rotation. Nous pouvons ajouter d’autres contraintes, comme le rapport entre le courant du court-circuit et le courant nominal, afin d’évaluer le surdimensionnement de la structure. D’autres considérations peuvent éventuellement être prises en compte, telles que les contraintes de l’environnement d’utilisation de la machine, notamment la température et les vibrations ou encore les contraintes relatives à l’encombrement exigé et au prix de revient. 45 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.5.2. Mise en œuvre des conditions de fonctionnement La conception d’une structure de MRV Vernier repose tout d’abord sur le choix des polarités et du nombre de dents statoriques et rotoriques qui permettent de produire un couple électromagnétique de valeur moyenne non nulle. Par ailleurs, il est souhaitable d’engendrer un couple avec un minimum d’ondulation. Par conséquent, la structure devra utiliser uniquement l’action principale de conversion. On rappelle que notre choix s’est orienté vers une machine Vernier excitée au stator. Pour cette structure l’action principale correspond à l’interaction entre les champs inducteur et induit par le biais de la variation de la perméance d’entrefer. Les relations entre les dentures et les polarités, pour la production de l’unique couple principal (critère 2, relatif à la production du couple), sont résumées ci-dessous : ± N s ± N r = ± p ± p′ ± Ns ± Nr ≠ 2 p ± N s ± N r ≠ 2 p′ (1.78.a) Nr ≠ 2 p N r ≠ 2 p′ N r ≠ ± p ± p′ et celles permettant de minimiser l’énergie non convertible emmagasinée (critère 1) sont : N s ≠ p ± p′ p ≠ p′ (1.78.b) N s ≠ 2 p ≠ 2 p′ I.5.3. Choix des paramètres Le choix des différents paramètres N s , N r , p et p ′ repose sur plusieurs considérations : Le nombre des encoches statoriques, et par conséquent celui des dents, doit permettre de loger les bobinages des deux circuits. Avec qe et q'e encoches par pôle et par phase dans chaque circuit et avec une utilisation totale des encoches du stator, le nombre de dents N s doit vérifier la relation : N s = 2 q p qe = 2 q' p′ q'e (1.79) 46 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Le couple développé dans une structure Vernier à simple action excitée au stator relation (1.53) est proportionnel au produit entre le nombre de dents au rotor N r et le coefficient de la perméance P1s _ 1r . Il serait donc avantageux de choisir ce produit relativement élevé tout en respectant les relations (1.78.a) et (1.78.b). De par le couple à développer, le diamètre d’alésage est important devant la longueur utile. Cela nous amène à augmenter au maximum la polarité des bobinages afin d’éviter les pertes dans les têtes de bobines. La vitesse du synchronisme étant une combinaison des fréquences d’alimentation et d’excitation, il serait intéressant de choisir des valeurs qui permettent de minimiser la fréquence d’excitation afin de réduire les pertes fer qui peuvent en découler. Afin de limiter les ondulations du couple dues aux harmoniques structurels, on choisit généralement N r et N s relativement proches [6]. Ce choix de denture conduit également à une perméance d’entrefer avec une forme sinusoïdale de grande amplitude. I.5.4. Procédure de dimensionnement Dans le cas des machines classiques (synchrones et asynchrones), il est facile de trouver des travaux portant sur leur dimensionnement et donnant la procédure à suivre pour aboutir à un prototype. Dans le cas des MRV Vernier, les procédures de pré-dimensionnement est peu abondantes. La référence [4] propose une procédure de dimensionnement pour une machine Vernier excitée au rotor par des aimants permanents. Dans la suite, nous nous inspirerons de cette procédure pour proposer une méthode pour une MRV Vernier excitée au stator par des courants triphasés. Le dimensionnement d’une machine électrique repose sur deux considérations. La première est relative au dimensionnement géométrique, autrement dit, les circuits magnétiques du stator et du rotor ainsi que les encoches des deux armatures. La seconde est le dimensionnement du circuit électrique, donc la distribution des bobinages sur les armatures et leur alimentation. Ces deux parties sont imbriquées. D’une manière générale, les dimensions du circuit électrique dépendent des ampère-tours nécessaires à la production du champ magnétique, directement lié à la puissance désirée. 47 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Les dimensions du circuit magnétique devront tenir compte de sa capacité à canaliser le champ magnétique en limitant les chutes de la d.d.p. magnétique. Ce dimensionnement dépendra donc directement de l’amplitude du champ qui devra être canalisé. Le résultat définitif du dimensionnement est rarement atteint dès le premier prototype. En effet, en fonction des résultats de simulation obtenus, des corrections sont généralement apportées au dimensionnement préliminaire. L’écart entre ces résultats et les exigences du cahier des charges est pris en compte, de manière à effectuer les modifications nécessaires, jusqu'à l'obtention de la structure remplissant au mieux les contraintes du cahier des charges. I.5.4.1. Détermination de la grandeur D2L Le volume utile d’une structure est défini par la valeur de la grandeur D2L, où D représente le diamètre d’alésage et L la longueur utile de la machine. La valeur de ce volume est déterminée en fonction de la puissance apparente S de la machine en prenant en considération des contraintes d’ordre mécanique, thermique et électrique. Son expression est développée dans les références [4, 43, 44], et s’exprime à partir de la relation : S= π3 N ( K B / K f ) D 2 L Be Ac 120 2 (1.80) où Be : est l’induction magnétique au niveau de l’entrefer Ac : est la densité linéique du courant K f : est le coefficient de forme d’onde des flux N : représente la vitesse de rotation de la machine en tr/min Il est également possible de déterminer le volume utile D2L en fonction de la puissance spécifique Ps . Cette quantité est considérée comme un critère qui donne les limites d’utilisation de la matière active (cuivre et fer). Elle est déterminée à partir des résultats sur des machines de même type déjà réalisées. Dans ce cas, le paramètre D2L s’exprime, en fonction de la puissance spécifique, par : D2L = S Ps N (1.81) 48 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable La puissance spécifique Ps est calculée dans la pratique à partir de l’effort surfacique qu’on note Fs . Cet effort permet de caractériser les machines d’une manière générale. Pour les machines électriques, l’effort surfacique est situé dans l’intervalle [0.1 , 10] N / cm 2 [4]. Le calcul de D 2 L , à partir de l’expression (1.80), nécessite donc de connaître un certain nombre de paramètres, notamment l’induction moyenne dans l’entrefer. Cette valeur est liée directement à la nature des matériaux magnétiques utilisés. Elle dépasse rarement le Tesla [45]. Une surestimation de l’induction moyenne peut aboutir à une structure fortement saturée. En ce qui concerne la densité linéique du courant Ac , elle dépend du type de refroidissement utilisé. A titre d’exemple, elle peut atteindre 6 ⋅10 4 A / m pour un bobinage en cuivre refroidi par air. I.5.4.2. Calcul du diamètre et de la longueur Pour dissocier le diamètre d’alésage D de la longueur utile L , on choisit une des deux grandeurs. Ce choix est effectué en fonction d'un certain nombre de contraintes. Ces contraintes peuvent concerner l'encombrement, la vitesse périphérique ou une utilisation optimale du cuivre [45]. Si aucun des deux paramètres n’est imposé, nous pouvons utiliser une relation d’optimisation du choix de L et D définie dans [45] . Ce critère permet de limiter la longueur des têtes de bobines et par conséquence réduire les pertes Joule. Le diamètre est alors lié à la longueur par la relation suivante : L ≥C π D/2p (1.82) Dans le cas général, le coefficient C est compris dans l’intervalle [0.75 , 1.1] mais, pour les machines ayant une faible vitesse, il peut être choisi supérieur à 1,1 [46]. Afin d’augmenter la perméance d’entrefer, et donc l’énergie électromagnétique, il est avantageux de choisir un entrefer minimal e min le plus faible possible. Le choix de ce dernier dépend de contraintes liées à la réalisation mécanique. Notons que plus le diamètre d’alésage augmente, plus il est délicat de réaliser un faible entrefer. Pour les machines étudiées dans ce mémoire, l’entrefer minimal e min est pris dans l’intervalle [0.2 , 0.3] mm. Ces grandeurs sont aisément réalisables à l’heure actuelle, pour un diamètre d’alésage de l’ordre de 0.5m 49 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable I.5.5. Dimensionnement des encoches et des culasses Après avoir déterminé la longueur et le diamètre de la machine et choisi son entrefer minimal, il faut procéder au dimensionnement des encoches statoriques et rotoriques et déterminer l’épaisseur des deux culasses. Pour ce faire, nous devons calculer les six paramètres ( ldr , ler , lds , les , pcs et pcr ) définis sur la figure (1.15). p cs Stator ps l es l ds l dr ler emin pr p cr Rotor Figure 1.15 : Paramètres géométriques à déterminer La première étape, permettant le dimensionnement des encoches, est de choisir l'ouverture dentaire l ds pour le stator et l dr pour le rotor par rapport au pas dentaire λ s = l ds + l es et λ r = l dr + l er . L’ondulation du couple électromagnétique dans un structure de MRV Vernier est très sensible à ces deux ouvertures dentaires [47]. Pour un premier dimensionnement, nous allons choisir des ouvertures dentaires standards [48]. Ainsi, pour limiter les ondulations du couple, les rapports rds et rdr –voir annexe 1 relations (A1.7) et (A1.8)– doivent être compris dans l'intervalle [0.4 , 0.5]. Le calcul des ampère-tours dans une encoche statorique ( ATmax/ enc sta ), pour le régime de fonctionnement maximal, permet de déterminer la profondeur des encoches du stator. Cette profondeur notée p s est donnée par : ps = ATmax/ enc sta Dc K rem l es (1.83) où Dc , qui représente la densité du courant, dépend de la nature des conducteurs utilisés. K rem qui représente le coefficient de remplissage des encoches dépend du type d’isolant utilisé et de la technique du foisonnement des fils [73]. 50 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Dans le cas où la structure ne possède pas de bobinage au rotor, il est intéressant de choisir p r plus faible que p s . En effet, nous montrerons dans la suite, qu’à partir d’une certaine valeur, la profondeur rotorique a peu d’influence sur les performances. Une limite inférieure de la profondeur des encoches rotoriques par rapport au pas dentaire, est donnée par [48] telle que : λr ≥ 0.35 pr (1.84) Pour une structure de type Vernier, le cas le plus défavorable correspond au cas où toutes les lignes de champ, créées par l'inducteur et l'induit, passent dans une même portion de culasse. Dans ces conditions, afin d’atténuer les effets de la saturation, on choisit les épaisseurs des culasses statorique p cs et rotorique p cr , supérieures ou égales à la largeur active des dents relative au pôle le plus grand entre induit et inducteur. Ceci peut être transcrit par les relations suivantes: p cs ≥ q sup (q e , q e' ) l ds p cr ≥ q sup (q e , q e' ) l dr (1.85) I.5.6. Dimensionnement des enroulements Dans les structures étudiées, le circuit d'excitation est réalisé par un bobinage. Le calcul de ce dernier s’effectue pour le point de fonctionnement nominal. Une prise en compte d’une marge de surdimensionnement est conseillée afin de compenser la réaction magnétique de l’induit et la chute de tension magnétique dans le fer [44]. Le calcul des ampère-tours nécessite la connaissance du courant nominal de l'induit et de l'inducteur, ainsi que le nombre de spires dans chaque enroulement, tel que : ATmax/ enc sta = 2 ( n n′ I + ' I′ qe qe ) (1.86) Le courant nominal du circuit induit I peut être facilement déduit à partir des données du cahier des charges par la relation : I= S qV (1.87) 51 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Les autres paramètres, qui sont le nombre de spires de l'induit et de l'inducteur sont obtenus à partir de deux relations. La première est basée sur l’expression de la f.e.m et la seconde sur l’égalité des ampère-tours entre induit et inducteur. La f.e.m s’exprime en fonction du flux embrassé par une phase d’induit, de la f.m.m. d’excitation et de la perméance d’entrefer par : 2π φ k = ∫ ε T 2 Fk P(θ s ,θ ) dθ s (1.88) 0 Dans cette expression, le terme Fk représente une fonction filtre qui permet d’isoler une phase k du circuit induit. Cette fonction constitue la distribution des spires du bobinage k considéré. Elle s’écrit, en choisissant l’axe de référence adéquat et en faisant l'hypothèse du premier harmonique, sous la forme suivante (voir 1.15): Fk = 2 2π K B n cos p θ s − ( k − 1) π 3 (1.89) où k =1, 2 ou 3 représente l’ordre de la phase considérée. Il est à noter que, pour un bobinage donné, le produit de cette fonction filtre par le courant traversant le bobinage aboutit à l’expression de la f.m.m ( ε k = Fk ik ). Ainsi, en utilisant les relations (1.88) et (1.89), on aboutit à l’expression du flux dans une phase d’induit, lorsque la machine tourne à la vitesse de synchronisme équation (1.54), soit : φk = 3 π 2π K B K B′ n n ′ I ′ P1s _ 1r cos ω t − ( k − 1) 3 2 (1.90) A partir de la valeur désirée de la f.e.m. à vide ek = dφ k / dt et du choix du courant d’excitation I ′ , on obtient une valeur pour le produit n n′ . Par ailleurs, il est recommandé, pour optimiser la conversion énergétique de la machine [6], d’opter pour l'égalité des ampère-tours entre les circuits induit et inducteur, soit la deuxième relation : p K B n I = p ′K B′ n ′I ′ (1.91) 52 CHAPITRE I - Convertisseurs électromécaniques d’énergie à entrefer variable Cette dernière, combinée à la valeur du produit n n′ permet d’aboutir aux nombres de spires de chacun des deux circuits statoriques. I.6. Conclusion Dans la première partie de ce chapitre, nous avons introduit un modèle énergétique, basé sur la perméance et la f.m.m. d’entrefer, pour les machines à réluctance variable hétéropolaires. Ce modèle nous a alors permis de déterminer les conditions, sur les dentures et les polarités des bobinages, qui assurent un fonctionnement avec un ou plusieurs couples générés. Par ailleurs, le modèle développé peut également être utilisé pour l’étude analytique des performances des structures à réluctance variable. En effet, à partir de la perméance et de la f.m.m. d’entrefer, il est possible d’aboutir, en plus de l’énergie dans l’entrefer et du couple électromagnétique, à l’expression du flux de phase et donc aux forces électromotrices. Dans une seconde partie, après avoir choisi la structure la plus intéressante pour notre application, nous avons établi une stratégie de dimensionnement afin d'extraire un plan détaillé. Ce plan sera nécessaire pour la réalisation d'un prototype « virtuel » dont nous pourrons calculer les performances à l'aide d’une modélisation numérique (méthode des éléments finis), nettement plus précise que l’approche analytique. En effet, avec cette méthode, il est possible de prendre en compte des phénomènes négligés jusqu'à présent dans l’étude analytique, telle que la géométrie réelle et la saturation du circuit magnétique. Dans la suite de ce mémoire, nous allons étudier plusieurs structures de MRV excitées au stator afin de dégager celle qui fera l’objet du prototype définitif. 53 CHAPITRE II MODELISATION ET ETUDE DES PERFORMANCES CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Introduction L’étude théorique, effectuée dans le chapitre précédent, était basée sur l’hypothèse d'un circuit magnétique de perméabilité infinie. Cette hypothèse, qui présente l'avantage de limiter l’étude de la structure sur l’entrefer, apporte une grande souplesse et une certaine simplicité dans l’établissement du modèle analytique. Cependant, elle pénalise fortement la précision, du fait de l’influence de la saturation du circuit magnétique qui est très importante dans le cas des machines à réluctance variable [6]. Avant de définir la structure définitive, qui fera l’objet du prototype à réaliser, nous allons comparer les performances de plusieurs machines de même puissance. Ces dernières diffèrent principalement du point de vue du nombre de dents et des polarités des bobinages. Cette étude comparative permettra alors de fixer la combinaison la mieux adaptée pour l’application envisagée. Dans un premier temps, nous allons étudier les performances des structures en utilisant le modèle analytique développé au chapitre précédent. Dans un souci de simplicité, nous prendrons en compte uniquement les termes fondamentaux de la perméance d’entrefer et des forces magnétomotrices. Par la suite, en se basant toujours sur les développements analytiques antérieurs, nous mettrons en œuvre une approche semi-analytique. Cette dernière permettra de prendre en compte tous les harmoniques, géométriques et électriques, dus à la denture des armatures et à la distribution des enroulements. Ces deux modèles supposent une réluctance d’entrefer constante sous les différents pôles de la machine. Enfin, dans le cas où cette hypothèse n’est pas vérifiée, nous développerons un troisième modèle appelé modèle semianalytique étendu. Les matériaux étant supposés parfaits ( µ = ∞) , les trois approches offrent l’avantage de la rapidité des calculs au détriment de la précision. Toutefois, elles permettent d’étudier un nombre important de prototypes « virtuels », et, par conséquent, d’aboutir à la structure qui donne les meilleures performances, du moins au niveau des dentures et des polarités. Pour permettre de rendre l’analyse des données plus fiable et les résultats plus proches de ceux que donnerait un prototype réel, une modélisation numérique, basée sur la méthode des éléments finis, sera ensuite utilisée. En effet, cette approche tient compte de la non linéarité des circuits magnétiques. La seconde partie du présent chapitre sera donc consacrée à cette méthode de résolution dans le cas bidimensionnel. Enfin pour quatre prototypes, nous présenterons les résultats obtenus avec la méthode des 54 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances éléments finis et nous les comparerons à ceux issus des modèles analytique et semianalytique. II.1. Approche Analytique L’approche analytique est basée sur les développements effectués au chapitre I. Elle nécessite les expressions des différentes forces magnétomotrices et de la perméance d’entrefer. II.1.1. Perméance d’entrefer et force magnétomotrice L’expression du fondamental de la perméance d’entrefer -voir relation (1.14.a)- s’écrit : P(θ s ,θ ) = P0 + P1s cos ( N s θ s ) + P1r cos (N r (θ s − θ ) ) + (2.1) 1 1 P1s _ 1r cos (( N s + N r )θ s − N rθ ) + P1s _ 1r cos (( N s − N r )θ s + N rθ ) 2 2 Par ailleurs, dans le cas des structures Vernier excitées que nous étudions, les circuits induit comme inducteur sont triphasés. Ils sont parcourus par six courants dont les expressions sont données ci dessous : 2π 3 2π ik = 2 I ′ cos ( ω ′ t − (k − 4) 3 ik = 2 I cos ( ω t − (k − 1) ) ) pour k = (1, 2 ou 3) (2.2) pour k = ( 4, 5 ou 6) Les indices k=(1, 2 ou 3) sont relatifs aux enroulements de l’induit, et k=(4, 5 ou 6) sont associés aux enroulements de l’inducteur. Par ailleurs, les deux pulsations ω et ω ′ , qui correspondent respectivement à celles des alimentations des circuits induit et inducteur, sont liées à la vitesse de synchronisme par (voir 1.54) : Ω= ω − κ de 2 ω ′ κ de1 N r + κ de 2 ap ′ (2.3) Les valeurs des coefficients κ de1 et κ de 2 sont données au tableau (1.3) du chapitre I. Enfin, nous rappelons les expressions des termes fondamentaux de la distribution des ampèretours dans l’entrefer, relatifs aux deux circuits induit et inducteur (ε T1 et ε T2 ) (1.22 et 1.46) : ε T1 = ε max cos( ω t − p θ s ) ′ cos( ω ' t − p′θ sr ) ε T2 = ε max (2.4) 55 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances où ε max et ε ′ correspondent aux expressions données par les relations (1.26) et (1.45.b). max II.1.2. Expression du flux induit à vide Comme expliqué précédemment dans le chapitre I, le flux magnétique φ k traversant une phase k de l'induit, k = ( 1, 2 ou 3), s’exprime par : 2π φ k = ∫ ε T 2 Fk P (θ s ,θ ) dθ s (2.5) 0 Fk , la fonction filtre qui permet d’isoler la phase k considérée, s’écrit ( voir 1.89) : Fk = 2 2π K B n cos p θ s − ( k − 1) π 3 (2.6) Le développement de l’expression (2.5) permet donc de déterminer le terme fondamental du flux dans les différentes phases de l'enroulement de l'induit. Compte tenu de la relation (2.3), ces flux ont pour expressions : φk = 3 π 2π K B K B′ n n ′ I ′ P1s _ 1r cos ω t − ( k − 1) 3 2 pour k = (1, 2 ou 3) (2.7) Les flux induits sont donc sinusoïdaux de pulsation ω . Par conséquent, pour une vitesse Ω désirée, ω peut être choisie en imposant, d’après la relation (2.3), la pulsation adéquate ω ′ pour les courants d’excitation. La valeur précise de cette dernière ne peut être fixée sans la connaissance exacte des paramètres de la structure qui sont : le nombre de dents et les polarités des bobinages (voir relation (2.3) et tableau (1.3) donnant les coefficients κ de1 et κ de 2 ). II.1.3. Expressions des inductances propres et mutuelles. En utilisant la procédure introduite pour le calcul du flux dans une phase de l’induit, il est possible de déduire les expressions des inductances propres et mutuelles des circuits induit et inducteur. En effet, l’inductance propre d’une phase k peut être obtenue en calculant le flux, créé par cette phase, lorsqu’elle est parcourue par un courant continu unitaire. Les inductances mutuelles sont déterminées, dans les mêmes conditions, en calculant le flux à travers les autres phases. 56 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Par conséquent, les inductances propres et mutuelles peuvent s’exprimer par : 2π Ll m( m = l ) = ∫ ε l Fm P (θ s ,θ ) dθ s 0 (2.8) 2π M l m(m ≠ l ) = ∫ ε l Fm P (θ s ,θ ) dθ s 0 où l représente l’indice de la phase dans laquelle on impose un courant unitaire. L’indice m est relatif à la phase dans laquelle est calculé le flux. Dans le cas de notre structure, l et m prennent des valeurs allant de un à six. Les expressions de ε l , utilisées pour calculer les différentes inductances, sont obtenues à partir de l’expression générale de la f.m.m. donnée par la relation (1.15). Ainsi, lorsque le bobinage est parcouru par un courant continu unitaire, le terme fondamental de ε l s’écrit : 2π 2 K B n cos pθ s − ( l − 1 ) π 3 εl = εl = si l ∈ { 1, 2, 3 } (2.9) 2π 2 K B′ n ′ cos p ′θ s − ( l − 4 ) si l ∈ { 4 , 5, 6 π 3 } (2.10) ou D’une manière similaire, les expressions de la fonction filtre Fm sont données par : Fm = 2 2π K B n cos pθ s − ( m − 1) π 3 si m ∈ { 1, 2, 3 } (2.11) Fm = 2 2π K ′B n′ cos p ′θ s − ( m − 4) si π 3 m ∈ { 4, 5, 6 } (2.12) A partir du développement de (2.8), on obtient, pour les différentes inductances propres et mutuelles, les expressions suivantes: a ) Inductances propres induit et inducteur 4 K B2 n 2 L11 = L22 = L33 = P0 π 4 K B′ 2 n ′ 2 L44 = L55 = L66 = P0 π (2.13) 57 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances b ) Mutuelles induit-induit et inducteur-inducteur 1 M 12 = M 13 = M 21 = M 31 = M 32 = M 23 = − L11 2 1 M 45 = M 46 = M 54 = M 64 = M 65 = M 56 = − L44 2 (2.14) c ) Mutuelles induit-inducteur K B K ′B n n′ P1s _ 1r cos(κ de1 Nrθ ) M14 = M 41 = M 25 = M52 = M 36 = M 63 = π K B K ′B n n′ 2π P1s _ 1r cosκ de1Nrθ − M 24 = M35 = M 42 = M 53 = M16 = M 61 = π 3 (2.15) 4π M = M = M = M = M = M = K B K ′B n n′ P cosκ de1Nrθ − 26 62 15 51 34 43 1s _ 1r π 3 On rappelle que les valeurs du coefficient κ de1 sont données dans le tableau (1.3) au chapitre I. II.1.4. Expression du couple Le couple électromagnétique instantané s’exprime classiquement, en fonction de la co-énergie magnétique dans l’entrefer [4][19], par : Ce = 2π ∂ 1 2 ∫ ε T P (θ s ,θ ) dθ s i cons tan t ∂θ 2 0 (2.16) Pour une MRV Vernier excitée à simple action, cette expression aboutit, pour la vitesse de synchronisme (2.3), à une valeur moyenne qui s’écrit (voir § IV.3.1.1.1) : Ce = N r π ε ε ′ P1s _ 1r 4 max max (2.17) Il est également possible d’exprimer le couple électromagnétique en fonction des courants et de la matrice inductance [ M ]. Dans ce cas, il s’écrit sous la forme: Ce = [ ] 1 i 2 T [ ] [ ] d dθ M ⋅ i (2.18) où [i] représente le vecteur des courants dans les différents bobinages de la machine. 58 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances II.1.5. Conclusion Les expressions développées dans ce paragraphe montrent que, pour la vitesse de synchronisme, une structure de type Vernier se comporte d’une manière similaire à celle d’une machine synchrone classique (à entrefer constant). En effet, avec l’hypothèse du premier harmonique, les inductances propres à chacun des deux circuits sont constantes et les inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur sont sinusoïdales et fonction de la position du rotor. Cependant, on rappelle que ces résultats ont été obtenus en effectuant l’hypothèse d’une machine idéalisée (perméabilité infinie, premier harmonique et répartition égale des f.m.m dans l’entrefer). Cette hypothèse néglige des phénomènes dont les effets peuvent être mis en évidence avec un modèle plus élaboré. Dans la suite de notre étude nous allons présenter le modèle dit semi-analytique. Ce dernier, basé également sur l’hypothèse d’une perméabilité infinie des matériaux magnétiques, permet par contre, d’introduire les harmoniques d’espace. II.2. Modèle semi-analytique Le modèle semi-analytique néglige la saturation du circuit magnétique. Son intérêt, par rapport à l'approche dite analytique classique, réside dans la possibilité de tenir compte de toutes les formes d’harmoniques d’espace existantes dans la structure. Ces dernières sont structurelles, liées à la géométrie de l’entrefer et à la distribution des enroulements dans les encoches. Par ailleurs, ce modèle permet également de déterminer localement la distribution de l'induction dans l’entrefer. Il est basé sur une résolution numérique des équations analytiques et repose sur la prise en compte, des harmoniques des f.m.m. et de la perméance de l’entrefer. II.2.1. Perméance d’entrefer La prise en compte de tous les harmoniques de la perméance d’entrefer est relativement délicate. En effet, si on considère un point « m » dans l'entrefer, référencé par θ s relativement à l’axe statorique figure (2.1.a), la largeur de l'entrefer en ce point est fonction de la position θ du rotor par rapport au stator. Lorsque le rotor est en mouvement, la perméance en ce point va varier suivant la denture rotorique. Pour effectuer une étude statique (induction dans l’entrefer) ou dynamique (performances de 59 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances la structure), il faut pouvoir déterminer, pour une position rotorique θ , la perméance d’entrefer en tout point de ce dernier. Afin d’illustrer l’introduction de la perméance d’entrefer dans notre approche semianalytique, nous traitons l’exemple d’une structure fictive avec Ns=11 et Nr=13. Par ailleurs, pour des raisons de simplification, la géométrie cylindrique, est transposée en un dessin linéaire. La figure (2.1.a) montre la configuration géométrique pour une position donnée et la figure (2.1.b) la variation de la largeur de l’entrefer en fonction de θ s . Cette variation est bornée par les valeurs extrêmes emin et emax avec emax = ( emin + Pr + Ps). D 1s Stator qS q D 1r Rotor Figure 2.1.a e (q s ) emin + pr + ps emin + p s emin + pr emin Figure 2.1.b 1 / e(q s ) 1 / emin (emin + p r ) -1 (emin + p s ) -1 (emin + p s + p r ) -1 qS Figure 2.1.c 1 / emin 1 / e (q s ) qS Figure 2.1.d 60 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances La perméance d'entrefer étant inversement proportionnelle à l'épaisseur d’entrefer e(θ s ,θ ) , nous montrons, sur la figure (2.1.c), l'évolution 1 / e(θ s ,θ ) pour la même position. Comme emin est très faible par rapport à emax , les allures de 1 / e(θ s ,θ ) , réelle -figure (2.1.c)et celle utilisant uniquement le terme en 1 / emin -figure (2.1.d)-, sont très proches. Par conséquent, dans notre modèle semi-analytique, nous ne tiendrons compte que de emin pour l’élaboration de la perméance d’entrefer. Dans notre approche semi-analytique, pour chaque position du rotor, on détermine la variation de la fonction 1 / e(θ s ,θ ) sur le périmètre total de l’entrefer. Par la suite, nous aboutissons à la perméance d’entrefer P(θ s ,θ ) en utilisant l’expression (2.19), développée au paragraphe I.2.2. P(θ s , θ ) = µ 0 Rs L e (θ s , θ ) (2.19) où Rs et L représentent respectivement le rayon d’alésage et la longueur utile de la machine. II.2.2. Distribution des f.m.m. Comme nous l’avons spécifié dans le chapitre précédent, le terme de f.m.m. est utilisé, par abus de langage, pour désigner la différence de potentiel magnétique (d.d.p.m.) entre les armatures statoriques et rotoriques. Cette appellation est très utilisée dans le cas des structures classiques pour lesquelles l’entrefer est invariant. Dans le cas des MRV, de par les dentures des deux armatures, la largeur d’entrefer est variable. Par conséquent, la différence de potentiel magnétique peut ne plus s’obtenir d’une manière aisée à partir de la répartition des f.m.m. Lors des développements analytiques effectués dans le chapitre I, la réluctance, vue des deux côtés d’une source de f.m.m. était supposée identique. Cette hypothèse permet d’effectuer une étude théorique [6][19] en se basant sur une approche analytique. Nous montrerons d’ailleurs qu’elle est vérifiée pour un grand nombre de structures que nous appelons « symétriques ». En utilisant le modèle semi-analytique étendu, il est possible de s’affranchir de cette hypothèse restrictive. Nous allons donc, dans ce paragraphe, traiter les deux cas : celui correspondant à l’hypothèse émise précédemment et celui, plus général, qui permet de distinguer les réluctances vues des deux côtés d’une source de f.m.m.. Cette approche nous permettra alors de distinguer, ultérieurement, les structures à entrefer globalement constant 61 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances (« symétriques ») et celles qui n’assurent pas cette hypothèse. Par ailleurs, nous n’utiliserons plus, dans ce dernier cas, le terme f.m.m. pour désigner la d.d.p.m. II.2.2.1. Structures à entrefer globalement constant Comme dans le cas de la perméance d’entrefer, l’approche semi-analytique repose également sur une introduction précise de la distribution de la f.m.m. dans l’entrefer. Nous allons, là aussi, illustrer la méthode adoptée en traitant un exemple. Ce dernier est constitué de deux circuits triphasés (induit noté « A,B,C » et inducteur noté « a,b,c ») disposés sur la même armature figure (2.2.a). Dans le cas traité, les réluctances d’entrefer, vues des deux côtés d’une source de f .m .m. sont supposées identiques. Les figures (2.2.b) et (2.2.d) montrent les distributions des bobinages relatives respectivement à l’induit et à l’inducteur. Il est à noter que les fonctions filtres F1,2,3 correspondent aux phases A,B et C et les fonctions F4,5,6 aux phases a, b et c. La force magnétomotrice totale notée ε T 1 , issue des enroulements de l’induit, est calculée à tout moment comme étant la somme algébrique des ampère-tours de chaque phase. Cette f.m.m. est donnée alors par : ε T 1 = F1 i1 + F2 i2 + F3 i3 (2.20) De la même façon, on peut déterminer la f.m.m. résultante due au circuit inducteur ε T 2 par: ε T 2 = F4 i4 + F5 i5 + F6 i6 (2.21) A titre d’exemple, dans le cas où les courants qui traversent les enroulements sont constants et identiques, les f.m.m. totales induit et inducteur ( ε T 1 et ε T 2 ) dans l’entrefer sont représentées sur les figures (2.2.c) et (2.2.e). Avec des alimentations alternatives, l’allure de ces ondes change à chaque instant, et dépend de la valeur de l’intensité et de la fréquence du courant dans chaque phase. 62 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances A a A A -C -C -C B B a -c -c b b -a -a B -A -A -A Figure 2.2.a Fi F1 n/2 F3 F1 F2 F2 F3 qs Figure 2.2.b e T1 ni / 2 Figure 2.2.c F4 Fi n¢ / 2 F6 F4 F5 F5 F6 qs Figure 2.2.d eT 2 n ¢i ¢ / 2 qs Figure 2.2.e II.2.2.2. Structures à entrefer globalement variable. En général, dans les structures à entrefer variable, exemple figure (2.3.a), deux pôles successifs ne voient pas forcément la même épaisseur d’entrefer. Dans ce cas, les répartitions des d.d.p.m., d’un côté et de l’autre d’une encoche contenant un bobinage ne sont plus égales figure (2.3.b). Afin de prendre en compte ce phénomène, nous avons développé un modèle semi-analytique étendu qui permet de déterminer la distribution des d.d.p.m. lorsque la réluctance sous les pôles est différente. 63 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances pôle Nord pôle Sud e1 e2 Figure 2.3.a n i e2 e1 + e 2 eξ θs - n i e1 e1 + e 2 Figure 2.3.b Considérons un motif élémentaire, d’une structure complexe, représentée par la figure (2.4.a). 1 2 1’ 2’ Figure 2.4.a Ce motif peut être décomposé en un nombre de structures égal au nombre d’encoches par pôle. Dans ce cas, on obtient pour les encoches 1 − 1′ et 2 − 2′ , les deux structures élémentaires représentées par les figures (2.4.b) et (2.4.c). 1 1’ Figure 2.4.b : Distribution pour les encoches 1 et 1’ 2 2’ Figure 2.4.c : Distribution pour les encoches 2 et 2’ 64 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances En utilisant des schémas magnétiques équivalents pour modéliser ces deux structures élémentaires, on aboutit aux deux figures (2.5.a) et (2.5.b). RN1 ξe NN11 nncec ii1 RN 2 ξeNN 22 RS 2 e SS2 2 nncecii2 RS 1 eξSS1 1 Figure 2.5.a ξ Figure 2.5.b Ces deux circuits permettent alors de déterminer, pour chaque structure élémentaire, la distribution de la d.d.p.m. dans l'entrefer. Ces distributions sont données sur les figures (2.6.a) et (2.6.b). Pour ce faire, il faut calculer les réluctances polaires d’entrefer vues des deux côtés de la source de f.m.m. Ce calcul est effectué en considérant la surface active, c’est à dire la surface des dents en vis à vis, sous chaque pôle notée Sa. La relation (1.1) du chapitre I donne l'expression de la réluctance sous sa forme intégrale. Dans l'hypothèse de champ radial, qui stipule que toutes les lignes de champ passent uniquement par l'entrefer minimal, la réluctance polaire d’entrefer s'écrit : = emin µ 0 sa (2.21) On note ξ1N et ξ 2 N les valeurs de la d.d.p.m.. du côté du pôle nord des deux structures élémentaires figures (2.6.a) et (2.6.b) et réciproquement ξ1S et ξ 2 S du côté du pôle sud. Ces différentes d.d.p.m. s’expriment par : ξ N 1 = nce i1 ξ S 1 = −nce i1 ξ N 2 = nce i 2 ξ S 2 = −nce i2 RN1 R N 1 + RS 1 RS1 R N 1 + RS1 RN 2 (2.22) R N 2 + RS 2 RS 2 R N 2 + RS 2 65 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances où R N 1 et R N 2 représentent les réluctances d’entrefer vues par les pôles nord des deux structures élémentaires figures (2.6.a) et (2.6.b) et RS1 et RS 2 celles vues par les pôles sud. nce est le nombre de conducteurs par encoche. 1 1’ 2 eξ1 1 ξeNN22 ξeN 1 N1 2’ e ξ 22 θs θs ξeS 2 eξ SS11 S2 Figure 2.6.a : d.d.p.m. due au bobinage dans 1 et 1’ Figure 2.6.b : d.d.p.m. due au bobinage dans 2 et 2’ La superposition des distributions des d.d.p.m., issues des différents shémas équivalents, permet alors d’aboutir à la d.d.p.m. totale ξ T . Dans le modèle semi-analytique étendu, la distribution de la d.d.p.m. totale, sur la globalité du périmètre de l’entrefer, est calculée pour chaque position θ du rotor. En effet, pour chaque nouvelle position, on obtient de nouvelles valeurs de réluctances sous les pôles et par conséquent une nouvelle distribution de la d.d.p.m. La différence de potentiel magnétique totale de la structure initiale figure (2.4.a), est alors calculée pour chaque position du rotor par : ξT (θ ) = ξ1 (θ ) + ξ 2 (θ ) (2.23) ξ1 (θ ) étant la fonction montrée sur la figure (2.6.a) et ξ 2 (θ ) est celle représentée sur la figure (2.6.b).En appliquant cette procédure, nous obtenons la répartition de la d.d.p.m. de cette 66 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances structure initiale qui est donnée sur la figure (2.6.c). ξ N 1 +eξ N+2e N1 N2 eξT= =e 1ξ1+ e+ 2ξ 2 θs ξ S 1 +eξ S+2 e S1 S2 Figure 2.6.c II.2.3. Généralisation de la distribution des d.d.p.m Afin de généraliser l’expression donnant la distribution de la d.d.p.m. dans l’entrefer, nous présentons sur la figure (2.7) un élément d’une machine à réluctance variable. Cette structure possède donc un bobinage distribué à p paires de pôles et avec qe encoches par pôle et par phase. 67 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Dj Dj D j +1 D j +1 pi p ( i -1) p ( i -1) p ( i +1) p ( i +1) pi j+1 j R(i-1) j j R(i+1) j Ri j R(i-1) (j+1) j+1 Ri (j+1) R(i+1) (j+1) figure 2.7 La réluctance d’entrefer globale sous un pôle p i , figure (2.7), peut être constante ou variable (fonction la position du rotor θ ). Dans tous les cas, pour une position donnée du rotor, on peut exprimer cette réluctance par la relation (2.24.a) qui fait intervenir la longueur active sous le pôle considéré. R i j (θ s , θ ) = e min µ 0 l i j (θ s , θ ) L (2.24.a) le paramètre l i j représente la longueur active sous un pôle i. Cette longueur est calculée, pour chaque position du rotor, par la sommation : li j ( θ s ,θ ) = ∫ Rs h ( θ s ) dθ s pole i (2.24.b) où h (θ s ) = 0 si e(θ s , θ ) ≠ emin h (θ s ) = 1 si e(θ s , θ ) = e min On note ξ i j la différence du potentiel magnétique moyenne sous un pôle. Cette d.d.p.m est 68 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances localisée sous le pôle noté p i figure (2.7). Ce dernier, qui est repéré par l'indice i ( i ≤ 2 p ), se trouve entre les deux encoches successives repérées par l'indice j ( j ≤ qe ) regroupant les mêmes spires. En effet, le pôle p i est répété autant de fois que le nombre d’encoches par pôle et par phase q e . En utilisant le réseau des réluctances, et en adoptant le théorème de superposition, on peut calculer pour chaque position du rotor la quantité ξ i j par la relation : ξ i j (θ s ,θ ) = ± ni/2 Ri j (θ s ,θ ) qe 1 1 + Ri j (θ s ,θ ) + R(i −1) j (θ s ,θ ) R(i +1) j (θ s ,θ ) + Ri j (θ s ,θ ) (2.25) On affecte les signes plus ou moins suivant s’il s’agit d’un pôle Nord ou d’un pôle Sud. La figure (2.7) ci-dessus, explicite les positions des différentes réluctances dans une structure. L’élément R i j donnée par la relation (2.24.a) représente la réluctance d’entrefer vue par le pôle i (qui peut être un pôle nord ou sud), aux bornes de laquelle se trouve la d.d.p.m. ξ i j . Cette réluctance globale est localisée entre les deux encoches regroupant les mêmes spires. Ces deux encoches sont repérées par les deux axes successifs notés D j figure (2.7), délimitant le pôle repéré par l'indice i. La d.d.p.m. totale dans l’entrefer peut alors être déterminée, pour chaque position du rotor, par l’expression : 2p ξ T (θ s ,θ ) = ∑ i =1 qe ∑ξ i j (θ s , θ ) (2.26) j =1 II.2.4. Couple électromagnétique Le calcul du couple électromagnétique repose sur la dérivée de la matrice des inductances, comme le montre la relation (2.18). Sa valeur à un instant t peut alors être calculée sous la forme suivante : C e (θ ) = [ 1 i (t ) 2 ]T M l m (θ ) − M l m (θ − ∆θ ) i (t ) ∆θ [ ] (2.27) On peut également utiliser la discrétisation de la dérivée de l’énergie magnétique dans 69 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances l’entrefer, à courant constant, pour calculer le couple électromagnétique. Dans ce cas, ce dernier s’exprime par : C e (θ ) = 1 4 ∆θ 2π 2 2π 2 ( , ) , ( ) ( ) P ξ θ θ θ θ − ∆ θ ∆ θ ∫ T s s s − ∫ ξ T (θ s , θ ) P (θ s , (θ + ∆θ ) ) ∆θ s 0 0 (2.28) En utilisant les expressions analytiques (2.5) et (2.8) développées précédemment, et en introduisant les formes d’ondes de la d.d.p.m. et de la perméance, on peut calculer, par le modèle semi-analytique et semi-analytique étendu, toutes les grandeurs relatives au fonctionnement de la structure. Parmi ces grandeurs on cite : les flux à vide, les inductances propres et mutuelles, l’induction magnétique dans l’entrefer, l’énergie magnétique et le couple électromagnétique instantané. II.2.5. Conclusion Dans la première partie de ce chapitre, nous avons d’abord élaboré ce que nous avons appelé l'approche analytique. Cette dernière est basée sur la prise en compte des seuls termes fondamentaux pour la perméance d'entrefer et les f.m.m. Dans un deuxième temps, un modèle semi-analytique a été introduit. Il permet de prendre en compte une distribution plus précise des f.m.m. et de la perméance d’entrefer. Par ce modèle nous avons pu introduire les différents harmoniques négligés dans l'approche analytique. Ces deux modèles (analytique et semi-analytique) supposent que la perméance d'entrefer et les forces magnétomotrices sont connues. L'introduction des f.m.m. comme nous l’avons fait dans ces deux modèles est valable à condition que les réluctances d’entrefer que voit chaque pôle de bobinage soient égales quelle que soit la position du rotor (condition vraie pour les machines classiques). Vu la complexité de l’entrefer dans les machines que nous allons étudier, on ne peut s’assurer que cette condition soit toujours vérifiée. Pour plus de rigueur, nous avons amélioré le modèle semi-analytique qui devient semianalytique étendu en prenant en compte les réluctances sous les différents pôles. Cela signifie que la distribution des d.d.p.m. n'est plus introduite directement. Elle est déduite pour chaque position θ du rotor en fonction de la valeur des réluctances sous les pôles. Dans ce qui suit, nous allons aborder le modèle numérique, basé sur la méthode des éléments finis, qui permet de prendre en compte, par rapport aux modèles précédents, la non linéarité des matériaux magnétiques. 70 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances II.3. Modélisation Numérique Les trois modèles analytique, semi-analytique et semi-analytique étendu décrits précédemment, supposent que le circuit magnétique est infiniment perméable. Ceci permet d’étudier un nombre important de prototypes virtuels vue la rapidité de la simulation mais pose des difficultés pour déterminer les performances réelles d’une machine. Palier ce problème nécessite la prise en compte de la non linéarité du circuit magnétique. La résolution des équations de Maxwell, en tenant compte des lois de comportement non linéaire, peut être effectuée avec une méthode d’analyse numérique. La plus utilisée, et la mieux adaptée aux problèmes d’électromagnétisme rencontrés en génie électrique, est la méthode des éléments finis [49]. Dans la suite, nous allons présenter les équations à résoudre, la technique pour prendre en compte les non linéarités et les développements relatifs à la méthode des éléments finis. II.3.1. Formulation et mise en équation Dans le cas des régimes quasi stationnaires, les équations de Maxwell, pour l’étude des systèmes magnéto-dynamiques, s’écrivent sous la forme [50] : Rot E = − ∂B ∂t (2.29.a) Rot H = J (2.29.b) Div B = 0 (2.29.c) où E représente le champ électrique, H le champ magnétique, B l’induction magnétique et J la densité du courant. La résolution de ces équations ne peut être effectuée sans l’introduction des relations supplémentaires, qui font intervenir des grandeurs caractéristiques des différents milieux. Pour des milieux isotropes, la relation entre les différents vecteurs du champ s’écrit : B=µH (2.30) J = σ E + J0 (2.31) Les paramètres µ et σ sont des scalaires qui représentent respectivement la perméabilité et 71 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances la conductivité du milieu. La relation (2.31) est composée de deux termes qui n’apparaissent pas en même temps pour un point donné du domaine étudié. Le terme J 0 représente la densité de courant provenant des enroulements d’alimentation pour lesquels la distribution de J 0 est homogène. Cette densité peut être une donnée ou une inconnue dépendante du circuit extérieur d’alimentation. Lorsque la valeur de J 0 n’est pas donnée, la tension d’alimentation doit être nécessairement connue. La détermination de J 0 pourra être effectuée par la prise en compte du couplage des enroulements avec le circuit extérieur d’alimentation. A partir de la relation (1.29.c) on montre que l’induction magnétique B , peut être exprimée à partir d’un potentiel vecteur magnétique A tel que : B = Rot A (2.32) On peut donc calculer aisément l’induction magnétique B si le potentiel vecteur magnétique A est connu. Le théorème de Helmoltz démontre qu’un vecteur ne peut être défini que si son rotationnel et sa divergence sont à la fois donnés [51]. Dans ce cas, la relation (2.32) ne suffit pas pour définir le vecteur A, il faut donc en plus définir sa divergence. Pour palier ce problème, on utilise généralement la jauge de Coulomb, qui s’écrit : Div A = 0 (2.33) Le potentiel vecteur magnétique A est un paramètre purement mathématique. Il est défini à un gradient d’une fonction scalaire, noté ϕ [52]. On peut donc écrire: Rot ( A + grad ϕ ) = Rot A (2.34) A partir des équations (2.27) et (2.32), on arrive à la relation : Rot ( E + ∂A )=0 ∂t (2.35) En regroupant (2.34) et (2.35) on arrive à la relation : E=− ∂A + grad ϕ ∂t (2.36) 72 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances qui permet de définir le potentiel scalaire électrique ϕ . En substituant (2.37) dans (2.31), on déduit : J = −σ ( ∂A + grad ϕ ) + J 0 ∂t (2.37) A partir de la combinaison des équations notées (2.30), (2.31), (2.32) et (2.36), on obtient la formulation suivante en potentiel vecteur magnétique A qui a pour expression: Rot υ ( RotA) = −σ ( ∂A + grad ϕ ) + J 0 ∂t (2.38) où υ représente la réluctivité magnétique, tel que υ = 1 / µ . La combinaison des trois équations notées (2.29.b), (2.33) et (2.37) permet d’écrire : Div (σ grad ϕ ) = 0 (2.39) Le résultat de l’expression (2.38) montre que les quatre grandeurs inconnues de départ (B,H, E et J) sont réduites à deux potentiels inconnus qui sont le potentiel vecteur A et le potentiel scalaire ϕ . Par la méthode des éléments finis, on va donc résoudre ces deux dernières équations. Connaissant le potentiel vecteur A, on peut déterminer, via la relation (2.32), l’induction magnétique B et par la suite le champ magnétique H, en utilisant la loi de comportement H = υ B . Dans une structure invariante suivant une direction, où les effets des extrémités (têtes de bobines) peuvent être négligés, il résulte que la disposition des conducteurs dans la direction de l’invariance favorise l’établissement du champ dans le plan transversal. Dans ce cas, le potentiel vecteur est dirigé suivant la direction d’invariance. L’étude se limite donc à la résolution des équations magnétiques en 2D. Si on suppose que le système est invariant suivant l’axe OZ, la solution des équations (2.38) et (2.39) se limite au plan XOY, et s’écrit donc : A = Az ( x, y, t ) k (2.40) ϕ = ϕ ( x, y , t ) (2.41) où k est le vecteur unitaire suivant l’axe OZ. 73 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Dans un système bidimensionnel, la jauge de coulomb (2.33) est vérifiée implicitement. Le vecteur donnant la densité de courant J est parallèle au potentiel vecteur A. Le choix du potentiel scalaire ϕ invariant suivant OZ indique implicitement que les éléments conducteurs sont court-circuités à l’infini [53][54]. On peut montrer, à partir de (2.38), que grad ϕ = 0 [55]. Ce potentiel scalaire n’intervient que dans les régions conductrices où sont induits les courants de Foucault [56]. Sans nuire à la généralité du système, on peut choisir ϕ = 0 . Dans ces conditions, l’équation (2.38) à résoudre se ramène à l’équation suivante : divυ grad AZ = σ ∂AZ − J 0Z ∂t (2.42) L’équation en termes scalaires, de l’expression précédente s’écrit en cordonnées cartésiennes : ∂ ∂A ∂ ∂A ∂A (υ z ) + (υ z ) = σ z − J 0 Z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t (2.43) II.3.2. Conditions aux limites Dans un domaine d’étude noté Ω D , la résolution de l’équation (2.43) nécessite d’imposer des conditions aux limites. Ce sont des conditions qui se posent sur les frontières Γ du domaine d’étude. Selon la nature du problème étudié, ces conditions peuvent être de deux types : - Condition de type Dirichlet On impose ici : A Γb = A0 (2.44) Cette condition représente une induction normale égale à zéro. Elle est posée sur les parties de la frontière qui délimitent le domaine d’étude là où le vecteur de l’induction magnétique est purement tangentiel (Bn = 0). - Condition de type Neumann On impose ici : υ ∂A ∂t Γh =0 (2.45) 74 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Cette condition représente un champ magnétique tangentiel égal à zéro. Elle est posée sur les parties de la frontière délimitant le domaine d’étude là où le vecteur de l’induction magnétique est purement normal, (généralement dans les zones présentant une symétrie ou anti-symétrie du système). Afin de réduire le domaine d’étude, on utilise les propriétés de périodicité ou d’anti- périodicité sur la structure. La condition de périodicité est définie par : A( x + X ) = A( x) (2.46) La condition d’anti-périodicité est définie par : A( x + X ) = − A( x ) (2.47) où X représente la périodicité géométrique du système à étudier. II.3.3. Discrétisation par éléments finis L’utilisation des méthodes analytiques pour la résolution des équations aux dérivées partielles est impossible dans le cas des géométries complexes et sur tout lorsque les matériaux sont non linéaires. Les méthodes de résolution numériques, en particulier la méthode des éléments finis (MEF), représentent les outils de résolution de ce type d’équation. Dans ce cas, au lieu de résoudre l’équation de façon continue, on discrétise l’inconnue à déterminer en un nombre fini de points dans le domaine d’étude. Dans le cas de la MEF, la résolution de l’équation (2.43) passe par une première étape qui transforme une équation aux dérivées partielles en une équation intégrale. Ce résultat peut être obtenu par l’utilisation de la méthode des résidus pondérés qui fait intervenir une fonction test [55-59]. La forme intégrale ainsi obtenue est discrétisée à l'aide d'éléments finis. Les termes inconnus sont discrétisés aux nœuds du maillage et exprimés en utilisant des fonctions d'approximation. La méthode de Galerkine, qui consiste à prendre comme fonction test les fonctions d'approximation des inconnues, conduit à un système d'équations algébriques. On obtient alors la forme matricielle suivante –voir détail en annexe 5–. [S ][A] + [T ] d [A] = [F je ] dt (2.48) 75 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances où [S ] représente la matrice de raideur, elle dépend des propriétés magnétiques des [ ] matériaux, [T ] est la matrice de conduction (diffusion) et F je densités du courant. Les deux matrices [S ] le terme source dû aux et [T ] sont symétriques, définies positives et creuses. Le système d’équation à résoudre (2.48) est non linéaire en raison de la caractéristique des matériaux magnétiques. Pour tenir compte de ce phénomène, on utilise l’algorithme de Newton-Raphson. Il consiste à linéariser le système à chaque itération. La résolution du système algébrique ainsi obtenu peut être effectuée par deux méthodes : une méthode dite directe (de décomposition ou Cholesky) avec un stockage de type profil, dans ce cas, la résolution passe par deux étapes : - la décomposition de la matrice [S ] en matrices triangulaires. - la résolution des systèmes triangulaires associés. Une méthode dite indirecte (du gradient conjugué) avec un stockage de type morse [59], dans ce cas, la résolution est effectuée par une méthode itérative. C’est cette méthode qui est utilisée dans le code de calcul du laboratoire (EFL2EP). Pour la discrétisation temporelle, on a recours à l’algorithme d’Euler implicite. II.3.4. Couplage des équations de circuit Dans la plupart des problèmes d'électrotechnique la tension est imposée. Dans ce cas, l'intensité du courant, et par conséquent la densité du courant dans le système (2.48) à résoudre, sont inconnues. Afin de palier cette difficulté, on effectue un couplage entre les équations magnétiques et électriques. Pour l'équation électrique, l'application de la loi de Faraday conduit au système matriciel suivant : [v(t )] = [R][i (t )] + d [φ (t )] dt (2.49) avec v , i et φ qui représentent respectivement les vecteurs des tensions, des courants et des flux. La matrice [R ] représente les résistances statoriques. Le couplage des équations magnétiques et électriques est obtenu en exprimant la densité du 76 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances courant J (t ) en fonction du courant i (t ) et le flux φ à partir du potentiel vecteur A [60]. Outre l'intensité du courant, la densité J est exprimée à partir du nombre de conducteurs par encoche nce et de la surface des encoches S en par : J (t ) = nce i (t ) S en (2.50) Le flux, quant à lui, peut être exprimé [55][57][59] par : φ a = nce p L ( 〈 A1 〉 − 〈 A2 〉 ) (2.51) où 〈 A1 〉 et 〈 A2 〉 représentent les valeurs moyennes du potentiel vecteur sur les éléments correspondant respectivement aux encoches d’entrée et de sortie de la phase considérée. Dans ce cas, on peut écrire pour le terme [FJ ] : [FJ ] = [D][i ] (2.52) et pour le vecteur [φ ] : [φ ] = [G ][A] (2.53) où [D ] et [G ] sont des matrices dont les termes dépendent des coordonnées des nœuds, du nombre de conducteurs par encoches et de la surface d’encoche. Ces deux matrices sont liées par la relation [54] suivante : [D ] = 1 [G ]T pL (2.54) L’association des expressions (2.48), (2.49), (2.52) et (2.53) conduit à un système d’équations différentielles, permettant la modélisation de l’ensemble du système (structure électromagnétique et circuit électrique). On obtient alors le système matriciel suivant : [S ] − [D ] [A] [0] [T ] d [A] [0] + = [0] [R] [i (t )] [G ] [0] dt [i (t )] [v (t )] (2.55) 77 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances II.3.5. Prise en compte du mouvement Ils existe plusieurs méthodes qui permettent la prise en compte du mouvement dans la structure électromécanique. La différence entre ces méthodes réside dans le nombre de référentiels considérés d’une part et la technique de la discrétisation de l’entrefer d’autre part. Dans les structures qui présentent une partie mobile simple et invariante, l’introduction du mouvement peut être effectuée en prenant un seul référentiel et en utilisant la relation : E = V ∧ B , où V représente la vitesse. Lorsque la géométrie du rotor est complexe, et la disposition des parties conductrices n’est pas invariante, deux référentiels sont utilisés ; l’un est lié à la partie fixe et l’autre à la partie mobile, de façon à ce que le potentiel vecteur dans chaque référentiel vérifie l’équation (2.43). La nature de la discrétisation de l’entrefer, permet de distinguer trois méthodes. La première est le macro-élément [61]. Avec cette technique, une bonne précision demande un temps de calcul élevé. Les deux autres méthodes sont la technique de la ligne de glissement qui impose un pas de déplacement multiple du pas de maillage [62] et la technique de la bande du mouvement [57] [59] qui tolère n’importe quel déplacement. Dans ces deux cas, la rotation est simulée par une permutation circulaire des nœuds de la ligne sur laquelle est considéré le mouvement. C'est la bande de mouvement qui est utilisée dans le code de calcul du L2EP. II.3.6. Calcul du couple Pour le calcul du couple avec la méthode des éléments finis, deux approches peuvent être envisagées. Il s’agit de la méthode des travaux virtuels et le tenseur de Maxwell. Pour les travaux virtuels, le couple s’obtient à partir du calcul de la co-énergie magnétique dans le domaine d’étude. Pour le tenseur de Maxwell, le couple électromagnétique est donné en fonction de l’induction par : Ce = 1 Br Bt dΓ µ 0 ∫Γ (2.56) tel que Br et Bt représentent respectivement l’induction radiale et tangentielle sur les éléments se trouvant dans la bande de mouvement et Γ est une surface située dans l’entrefer. 78 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances II.3.7. Code de calcul EFL2EP Le code de calcul du laboratoire, EFL2EP, est un code basé sur la résolution du système d’équation (2.55), avec la prise en compte de la non linéarité des matériaux. Il permet également de prendre en compte le système d’alimentation extérieur grâce au couplage avec les équations du circuit électrique. Le mouvement du rotor est pris en compte par la technique de la bande de mouvement, et le couple électromagnétique est calculé par la méthode du tenseur de Maxwell. Ce code de calcul permet donc la modélisation de toute structure électromagnétique à deux dimensions. Dans notre cas, outre l’étude des machines, il a permis la validation des modèles analytique et semi-analytiques développés et définir la limite de leur utilisation. Récapitulation Dans le tableau (2.1) qui suit, on récapitule les différents modèles présentés précédemment et leur limite d’application dans le cas des machines tournantes. Modèles Cas traités . MRV avec réluctance constante sous les pôles Modèle Analytique (MA) . Sans prise en compte des harmoniques . µ fer =∞ . MRV avec réluctance constante sous les pôles Modèle Semi-analytique (MSA) . Avec prise en compte des harmoniques . µ fer = ∞ . MRV avec réluctance variable sous les pôles Modèle Semi-Analytique Etendu (MSAE) . Avec prise en compte des harmoniques . µ fer = ∞ .Toutes les structures Modèle Eléments Finis (MEF) . Avec prise en compte des harmoniques . Avec ou sans prise en compte de la saturation des matériaux Tableau (2.1) : Récapitulation des modèles introduits 79 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances II.4. Application II.4.1 Données du cahier des charges Après avoir choisi, dans le premier chapitre, le type de structure à étudier, et avoir développé ci dessus différents modèles pour la simulation de ces machines, nous allons procéder à l’étude de plusieurs prototypes. Leur dimensionnement, comme nous l’avons vu dans le paragraphe I.5, est basé sur les données du cahier des charges. Ce dernier représente les caractéristiques du régime de fonctionnement nominal. Nous nous sommes fixés, pour ce cahier des charges, les grandeurs suivantes : Puissance active P = 10 Kw Vitesse de rotation N = 50 tr / min Tension simple par phase V = 230 V Fréquence d’alimentation f = 50 Hz Facteur de puissance cos ϕ = 0.8 On rappelle que nous nous intéressons exclusivement aux structures à simple action (action principale). II.4.2. Quantification des paramètres de fonctionnement Les principaux paramètres qui définissent le fonctionnement de la machine (Paragraphe I.3.3.1.2) sont N r , N s , p et p ′. Un fonctionnement synchrone peut être obtenu en vérifiant les conditions citées dans le paragraphe I.5.2. En plus de ces conditions, on doit ajouter une contrainte supplémentaire relative à la possibilité de distribuer uniformément le bobinage de l'induit et de l'inducteur sur l'armature statorique. Cette contrainte s'écrit, dans le cas des structures étudiées, avec une occupation totale des encoches, par la relation : N s = 6 p qe = 6 p′ q'e (2.57) On rappelle que les termes qe et q’e représentent respectivement le nombre d'encoches par pôle et par phase de l'induit et de l'inducteur. La prise en compte des diverses possibilités conduit à un nombre très important de combinaisons. En délimitant l’espace de recherche par les contraintes suivantes : 80 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Nombre maximal de dents au rotor N r = 100 Nombre maximal de dents au stator N s = 100 Nombre maximal de paires de pôles induit p = 15 Nombre maximal de paires de pôles inducteur p ′ = 15 Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase induit q e ≤ 5 Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase inducteur q e′ ≤ 5 on arrive à un nombre de structures égal à 93. Les paramètres de ces structures sont données en annexe 6. II.4.3. Etude préliminaire de différentes structures Afin de classer les structures qui donnent les meilleures performances, nous avons étudié, à l'aide des modèles analytique et semi-analytique, l'ensemble des machines qui sont représentées par les combinaisons citées dans l'annexe 6. Dans cette étude, nous nous sommes intéressés à la distribution de l'induction magnétique dans l'entrefer, aux inductances propres et mutuelles, au couple électromagnétique et à son ondulation. En fonction des résultats obtenus, nous avons défini deux catégories de machines. La première est constituée de structures, que nous appellerons symétriques, dont les mutuelles entre l’induit et l’inducteur sont variables et de forme sinusoïdale. Les autres inductances sont constantes. Ces caractéristiques permettent d’obtenir un couple ayant une ondulation acceptable par rapport à la valeur moyenne. La seconde catégorie est constituée de machines que nous appellerons dissymétriques. Dans ces structures, outre les inductances mutuelles induit-inducteur, les autres inductances sont également variables par rapport à la position du rotor. Par conséquent, le couple électromagnétique généré par ces machines présente de fortes ondulations. A titre d'illustration, nous avons retenu sur l’ensemble des machines étudiées, quatre machines, qui représentent les particularités observées. Ces quatre machines sont dimensionnées pour le cahier des charges établi au paragraphe II.4.1. La principale différence, se situe au niveau de la combinaison de fonctionnement liant le nombre de dents aux polarités des enroulements. Dans ce qui suit, nous allons définir l'origine de ces particularités et donner les combinaisons entre les dentures et les polarités qui permettent de les différencier. Puis, nous donnerons les 81 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances caractéristiques des structures étudiées et les résultats de simulation obtenus pour les différentes grandeurs (induction, inductance et couple). On rappelle que les résultats de simulation sont obtenus en utilisant les différents modèles proposés (analytique, semianalytiques et éléments finis). Dans un premier temps, on abordera les structures dissymétriques puis les structures symétriques. II.4.3.1. Particularités des structures étudiées Dans le modèle analytique établi, les réluctances vues par chaque source de f.m.m. sont supposées constantes. Or, dans le cas des MRV Vernier, il est possible que les différents pôles de la structure ne voient pas la même valeur de la réluctance d’entrefer. Par conséquent, la distribution des d.d.p.m n’a pas la même amplitude sous les différents pôles. La prise en compte de cette possibilité a été développée lors l’élaboration du modèle semi-analytique étendu. Quelles soient symétriques ou dissymétriques, les structures que nous étudions répondent aux critères des machines à simple action (Paragraphe I.5.2). Il est donc difficile, à partir du modèle analytique développé, de les différencier. Une possibilité consiste à utiliser un raisonnement basé sur le calcul du flux total dans l’entrefer. Ce dernier est impérativement nul. En utilisant le modèle analytique, développé avec l’hypothèse d’un entrefer globalement constant (Paragraphe II.1), deux cas de figure peuvent être rencontrés : Si le flux est effectivement nul, cela veut dire que la combinaison retenue, entre les dentures et les polarités, est celle d’une structure symétrique. Si le flux est non nul, cela implique que la combinaison est celle d’une structure dissymétrique. Dans l’hypothèse d’une perméabilité infinie du fer, l’expression du flux total dans l’entrefer d’une structure cylindrique bidimensionnelle s’écrit : φTe = 2π ∫ εT P(θ ,θ s ) dθ s (2.58) 0 ε T peut représenter indifféremment les ampère-tours totaux du circuit induit ou inducteur ou tout simplement les ampère-tours que donne un enroulement parcouru par un courant i. Étant donné que l’hypothèse de l’invariance globale de l’entrefer est supposée vérifiée, 82 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances l’expression du ε T peut être donnée, s’il s’agit du circuit d’induit, par la relation (1.27) ou par la relation (1.46) dans le cas où il s’agit du circuit d’inducteur. En effectuant le développement basé sur le calcul de la relation (2.58), il est alors possible de différencier les structures symétriques et dissymétriques. Les premières vérifient, en plus des conditions citées précédemment conduisant à une structure à simple action (paragraphe I.5.2), la relation suivante : Nr − Ns ≠ p et (2.59) N r − N s ≠ p' Par opposition à la condition (2.59), les machines dissymétriques vérifient la relation : Nr − Ns = p ou (2.60) N r − N s = p' En conclusion, les structures MRV Vernier excitées au stator, qui vérifient la condition (2.59), en plus des conditions de la simple action (1.78.a) et (1.78.b), permettent d’assurer un fonctionnement dit symétrique. Cette symétrie est interprétée par le fait que seules les inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur varient en fonction de θ. Par ailleurs, elles constituent un système triphasé équilibré. Pour simuler ces machines, on peut utiliser les modèles analytique et semi-analytique. Si la condition (2.59) n’est pas assurée, la machine est dissymétrique. Par conséquent, il faut calculer pour chaque position du rotor, la distribution des d.d.p.m. (voir paragraphe II.2.2.2). On a alors recours au modèle semi-analytique étendu. II.4.3.2. Etude des structures dissymétriques Parmi les combinaisons données dans l’annexe 6, nous allons choisir deux structures dissymétriques qui feront l’objet de notre étude. Afin de vérifier les différents modèles, nous présentons quelques résultats de simulation. Ces résultats sont comparés à chaque fois à ceux obtenus par la méthode des éléments finis. Il est bien entendu que le modèle numérique tient lieu de référence. 83 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances La méthode des éléments finis, présentée dans le paragraphe II.3, repose sur le maillage de la géométrie. Pour avoir des résultats précis, il est recommandé de mailler finement l’entrefer ainsi que les zones qui peuvent être fortement saturées telles que les dents. Des études préalables [4] [64] ont démontré que la valeur moyenne du couple est très sensible à la finesse du maillage et à la qualité de la discrétisation des domaines. Dans toutes les structures étudiées, le maillage et la qualité des éléments sont bien pris en compte. Ceci dans le but de limiter au maximum les erreurs que peut provoquer la discrétisation. Structure 1 La première machine dissymétrique que nous avons étudiée, appelée M-DS1, possède les caractéristiques indiquées dans la tableau (2.2) qui suit : M-DS1 N r = 52 q =2 e ' q =1 e p cr = 7 10 −2 n = 56 m L = 1.3 10 −1 n ′ = 98 N s = 48 p s = 3.5 10 m D = 6.2 10 −2 m −1 m I = 18 A p′ = 8 p=4 p r = 2.4 10 −2 m p cs = 6.8 10 f x = 93.28 Hz I′ = 5 A −2 m f =50 Hz e min =0.3 mm Tableau (2.2) : Caractéristiques de la machine dissymétrique 1 (M-DS1) Les périodicités géométrique et électrique de la M-DS1 permettent de ramener le domaine d’étude au quart de la structure. Le maillage réalisé est représenté sur la figure (2.8.a). Il comporte 51821 éléments et 25985 nœuds au total. Sur la figure (2.8.b), nous présentons la distribution des lignes de champ correspondant à un point de fonctionnement à vide, lorsque les trois phases d’excitation sont alimentées, en considérant une perméabilité infinie des matériaux magnétiques. 84 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances A A -C -C B B -A -A C C -B -B Figure 2.8.b : Distribution du champ de M-DS1 Figure 2.8.a : Maillage de la machine M-DS1 µ fer = ∞ Les modèles semi-analytique et semi-analytique étendu permettent de déterminer la distribution de l’induction magnétique dans l’entrefer, en prenant en compte les différents harmoniques géométriques et cela quelle que soit la position du rotor. Par contre, ils supposent une perméabilité infinie du circuit magnétique. Dans le cas de la structure dissymétrique étudiée, nous montrons, sur les figures (2.9) et (2.10) la distribution de l’induction magnétique obtenue à partir de ces deux modèles, lorsqu’on alimente la première phase de l’induit -noté A sur la figure (2.8.b)- avec un courant continu de 1A. Enfin la figure (2.11) montre, pour le même point de fonctionnement et en supposant une perméabilité infinie des matériaux magnétiques, l’induction obtenue par un calcul éléments finis. 0.25 0.25 B (T) 0.15 0.15 θs 0.05 -0.05 0 B (T) 20 40 60 80 θs 0.05 -0.05 0 -0.15 -0.15 -0.25 -0.25 20 40 60 80 Figure 2.9 : Induction dans l’entrefer calculée avec le Figure 2.10 : Induction dans l’entrefer calculée avec le Modèle Semi-analytique (MSA) Modèle Semi-analytique Etendu (MSAE) 85 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances 0.25 B (T) 0.15 0.05 -0.05 θs 0 20 40 60 80 -0.15 -0.25 Figure 2.11 : Induction dans l’entrefer calculée avec la Méthode des Eléments Finis (MEF) µ fer = ∞ Comme la structure est dissymétrique, on constate que le modèle semi-analytique, développé avec l’hypothèse de l’invariance globale de l’entrefer, donne des résultats erronés. Par contre, en comparant les figures (2.10) et (2.11), on constate que l’allure de l’induction est sensiblement équivalente. Ceci montre la limite du modèle semi-analytique qui ne permet pas d’étudier d’une manière précise le comportement d’une MRV quelconque. Par la suite, différents calculs ont été effectués avec le modèle semi-analytique étendu et la méthode des éléments finis en considérant toujours µ fer = ∞ . Nous présentons, sur les figures (2.12) et (2.13) les inductances propres et les mutuelles inductance relatives à la première phase de l’induit noté par « A » sur la figure (2.8.b). Nous avons choisi la représentation des inductances relatives au circuit de l’induit, car ce circuit en particulier ne satisfait pas la condition donnée par (2.59) contrairement au circuit inducteur. 0.2 Inductance (H) 0.1 0.1 θteta 0 0 -0.1 Inductance (H) 0.2 5 10 15 L11 L12 L13 L14 L15 teta θ 0 0 5 10 15 -0.1 L15 L16 L16 -0.2 Figure 2.12 : Inductances calculées avec le MSAE L11 L12 L13 L14 -0.2 Figure 2.13 : Inductances calculées avec la MEF µ fer = ∞ L’observation de ces résultats montre que les inductances propres varient par rapport à la position du rotor. Par ailleurs, les inductances mutuelles ne représentent pas un système triphasé équilibré. Ces disfonctionnements sont dus à la variation de la valeur de la réluctance d’entrefer sous les différents pôles de la structure. Ce phénomène, issu de la relation 86 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances ( N r − N s = p ) qui représente la condition à remplir pour des MRV homopolaires [6], définit la dissymétrie. Le fonctionnement à vide, à la vitesse de synchronisme, pour le régime de courant d’excitation nominal (5A), a également été étudié. Nous représentons, sur les figures (2.14) et (2.15) suivantes, l’allure du couple électromagnétique donnée par les deux modèles: 550 Ce(Nm) 250 450 Ce (Nm) 200 350 150 250 100 150 θ 50 50 -50 0 50 0 -50 0 100 -150 -250 -100 -350 -150 -450 -200 -550 -250 50 100 θ teta Figure 2.15 : Couple à vide calculé avec la MEF Figure 2.14 : Couple à vide calculé avec le MSAE µfer = ∞ On constate que les valeurs moyennes des deux couples sont nulles. Néanmoins, leur ondulation présente des valeurs assez importantes. Cette ondulation est provoquée par le déséquilibre constaté sur les inductances mutuelles. L’étude en charge, en fonctionnement moteur, est simulée par l’alimentation des différents circuits. Cette alimentation est effectuée pour un point de fonctionnement nominal. Les courants dans les enroulements sont supposés parfaitement sinusoïdaux. Leurs valeurs sont données dans le tableau (2.2) où sont définies les caractéristiques de la machine. L’angle de charge qui donne le déphasage entre la f.e.m à vide et la tension d’alimentation est choisi de telle sorte que la structure développe le couple maximal. Les résultats obtenus par les deux modèles, semi-analytique étendu et éléments finis, sont illustrés par les figures (2.16) et (2.17). Ce (Nm) Ce (Nm) 6500 6500 4500 4500 2500 2500 θ 500 0 10 20 30 θ 500 40 -1500 Figure 2.16 : Couple en charge calculé avec le MSAE 0 10 20 30 40 -1500 Figure 2.17 : Couple en charge calculé avec la MEF µfer = ∞ 87 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Les allures du couple électromagnétique développé en charge, issues des deux modèles sont sensiblement similaires. La forte ondulation que nous constatons sur ces couples est provoquée principalement par l’oscillation des inductances propres du circuit de l’induit. Structure 2 Afin de confirmer la généralisation du phénomène sur l’ensemble des structures dissymétriques, on présente, dans ce qui suit, une seconde machine, notée M-DS2. Les caractéristiques géométriques et électriques de cette machine sont regroupées dans le tableau (2.3) suivant : M-DS2 N r = 78 q =2 e ' q =1 e p cr = 4.7 10 n = 56 −2 m L = 1.3 10 −1 N s = 72 p s = 3.6 10 m D = 6.2 10 n ′ = 98 p ′ = 12 p=6 −2 −1 p r = 3.6 10 m m I −2 m f x = 115 Hz I′ = 5 A I = 18 A p cs = 5.1 10 −2 m f =50 Hz e min =0.2 mm Tableau (2.3) : Caractéristiques de la machine M-DS2 Le maillage utilisé pour cette structure et la carte de champ, obtenue pour un point de fonctionnement à vide, sont donnés respectivement sur les figures (2.18.a) et (2.18.b). Ce maillage possède 64321 éléments et 32267 nœuds au total. -A -A A A Figure 2.18.a : Maillage de la machine M-DS2 Figure 2.18.b : Distribution du champ de M-DS2 µ fer = ∞ Nous représentons quelques résultats issus du calcul éléments finis en considérant une perméabilité infinie des matériaux magnétiques. En premier lieu, figure (2.19), nous présentons la distribution de l’induction dans l’entrefer. Cette induction est obtenue pour la position angulaire donnée à la figure (2.18.a), lorsque la première phase de l’induit notée 88 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances « A » est parcourue par un courant continu unitaire. La deuxième courbe, figure (2.20), présente les allures des inductances propres et mutuelles relatives à la première phase du circuit de l’induit notée « A » sur la figure (2.18.b). Les deux dernières courbes figures (2.21) et (2.22) correspondent respectivement au couple à vide et en charge. Ces courbes sont obtenues à partir d’une alimentation en courant sinusoïdal avec les valeurs nominales données dans le tableau (2.3). 0.3 Induction (T) Inductances (H) 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 θs 0 0 50 100 θ 0 0 1 2 3 4 L11 L12 L13 L14 L15 L16 5 -0.1 150 -0.1 -0.2 -0.3 -0.2 Figure 2.19 : Distribution de l’induction dans Figure 2.20 : Evolution des inductances propres et l’entrefer obtenue avec la MEF avec µfer = ∞ mutuelles obtenues avec la MEF avec µfer = ∞ 250 Ce (Nm) Ce (Nm) 9000 150 50 -50 0 6000 θ 10 20 30 3000 -150 θ 0 0 -250 5 10 15 20 25 30 Figure 2.21 : Couple à vide calculé avec la MEF Figure 2.22 :Couple en charge calculé avec la MEF avec avec µfer = ∞ µfer = ∞ II.4.3.3. Structures symétriques Les MRV Vernier excitées au stator, dites symétriques, vérifient, en plus des conditions de conversion continue de l’énergie données par les conditions (1.78.a) et (1.78.b), la condition supplémentaire exprimée par la relation (2.59). Dans ces machines, malgré le fait que ces structures présentent un entrefer variable, les différentes réluctances vues des deux côtés d’une source de f.m.m. ont les mêmes valeurs. Par conséquent, la distribution des d.d.p.m est identique et l’utilisation du modèle semi-analytique est alors possible. 89 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Structure 1 La première structure étudiée, machine M-S1, est définie par les caractéristiques électriques et géométriques regroupées dans le tableau (2.4). M-S1 N r = 74 q =2 e ' q =3 e p cr = 4. 10 n = 36 −2 m L = 18.39 10 N s = 72 p s = 2.1 10 −2 m −2 m −1 m D = 4.68 10 n ′ = 333 I = 18 A p′ = 4 p=6 p r = 1.5 10 −2 m p cs = 5.5 10 f x = 11.67 Hz I′ = 3 A −2 m f =50 Hz e min = 0.3 mm Tableau (2.4) : Caractéristiques de la machine M-S1 Le maillage de la structure ainsi que la distribution des lignes de champ pour le point de fonctionnement nominal à vide sont représentés respectivement par les figures (2.23.a) et (2.23.b). Pour ce maillage on compte 23427 éléments et 11775 nœuds. Figure 2.23.a : Maillage de la structure M-S1 Figure 2.23.b : Distribution des lignes de champ de M-S1 avec µfer = ∞ Dans le but de comparer les caractéristiques des structures symétriques par rapport aux dissymétriques, nous allons présenter les mêmes grandeurs caractéristiques à savoir, la distribution de l’induction magnétique dans l’entrefer, les inductances propres et les mutuelles inductances, le couple à vide et le couple en charge. 90 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances 0.1 0,1 B(T) B (T) 0,05 0.05 θs 0 0 30 60 90 120 150 t(s ) 0 0 180 -0.05 -0,05 -0.1 -0,1 30 60 90 120 150 180 Figure 2.24 : Distribution de l’induction dans l’entrefer Figure 2.25 : Distribution de l’induction dans obtenue avec le MSA l’entrefer obtenue avec la MEF, µfer = ∞ Contrairement aux structures dissymétriques, on constate que la distribution de l’induction dans l’entrefer, figures (2.24) et (2.25), présente la même amplitude sous les différents pôles. Cela implique que la distribution des ampère-tours au niveau des pôles est identique. Par ailleurs, sur les figures (2.26) et (2.27), les inductances propres et mutuelles entre les différentes phases de l’induit sont constantes et les mutuelles entre l’induit et l’inducteur sont de formes pratiquement sinusoïdales. 0.3 Inductance (H) Inductance (H) 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 θ 0 0 2 4 6 8 -0.1 -0.2 10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 θ 0 -0.1 0 2 4 6 8 L11 L12 L13 L14 L15 L16 10 -0.2 -0.3 -0.3 Figure 2.26 : Evolution des inductances propres et Figure 2.27 : Evolution des inductances propres et mutuelles obtenues avec le MSA mutuelles obtenues avec la MEF avec µfer = ∞ Ces caractéristiques confirment que les MRV Vernier symétriques ont un comportement équivalent à celui des machines synchrones à pôles lisses. Quant au couple électromagnétique à vide, obtenu pour le courant d’excitation nominal, défini dans le tableau (2.4), il a des harmoniques de plus faible amplitude par rapport aux structures dissymétriques. 91 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances 400 400 Ce (Nm) Ce (Nm) 200 200 θ 0 0 10 20 30 40 50 θ 0 60 0 -200 -200 -400 -400 10 20 30 40 50 60 Figure 2.29 : Couple à vide calculé avec la MEF Figure 2.28 : Couple à vide calculé avec le MSA µfer = ∞ On constate que la valeur moyenne du couple à vide issu du calcul élément finis est légèrement différente de zéro. Comme nous l’avions précisé, ceci est du à la discrétisation du maillage dans la bande de mouvement (entrefer). En effet, des travaux antérieures [4] [64] ont démontré que la valeur du couple est très sensible à la qualité du maillage. Le fonctionnement en charge est représenté au travers des allures des couples que montrent les figures (2.28) et (2.29). Ces caractéristiques sont obtenues avec une alimentation des deux enroulements induit et inducteur par des courants alternatifs sinusoïdaux. Les valeurs des courants imposés dans les enroulements, ainsi que leurs fréquences, sont données dans le tableau (2.4). L’angle de charge est choisi de telle sorte que la machine développe son couple maximal. Ce (Nm) Ce (Nm) 4500 4500 3000 3000 1500 1500 θ 0 10 20 30 40 50 θ 0 0 60 Figure 2.30 : Couple en charge calculé avec le MSA 0 10 20 30 40 50 60 Figure 2.31 : Couple en charge calculé avec la MEF µfer = ∞ Les allures du couple (figures 2.30 et 2.31), et plus particulièrement son ondulation, mettent en évidence la différence par rapport aux machines dissymétriques vues précédemment. La forme du couple est plus lisse et son ondulation est acceptable par rapport à la valeur moyenne développée. 92 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Structure 2 Dans la même optique que pour les structures dissymétriques, on présente dans la suite une deuxième structure symétrique, notée M-S2, définie par les caractéristiques données dans le tableau (2.5) suivant : q e ' q =3 e =5 p cr = 11 10 N s = 90 N r = 88 M-S2 −2 L = 1.3 10 m −1 p s = 1.75 10 m D = 6.2 10 n ′ = 111 n = 50 −2 −1 I = 18 A p′ = 5 p=3 m m p r = 1.65 10 −2 m p cs = 10. 10 f x = 23.33 Hz I′ = 5 A −2 m f =50 Hz e min = 0.2 mm Tableau (2.5) : Caractéristiques de la machine symétrique 2 (M-S2) Le maillage réalisé est représenté par la figure (2.32.a). Il est constitué de 25668 éléments au total et 1980 éléments dans la bande de mouvement. Le nombre total de nœuds vaut 12877. Figure 2.32.a : Maillage de la structure M-S2 Figure 2.32.b : Distribution du champ de M-S2 La carte de champ obtenue pour un point de fonctionnement à vide est représentée sur la figure (2.32.b). Comme dans le cas de la structure symétrique précédente, la valeur maximale de l’induction sous un pôle de la machine M-S2 est constante quel que soit le pôle considéré (figure 2.33). Par ailleurs, les inductances propres et les mutuelles relatives à la première phase de l’induit figure (2.34) sont constantes. Les mutuelles induit-inducteur sont équilibrées et proches des formes sinusoïdales. 93 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances 0.2 B (T) Inductance (H) 0.2 0.1 0.1 θθs s 0 θ 0 0 72 144 216 288 360 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 2 4 6 8 L11 L12 L13 L14 L15 L16 10 Figure 2.33 : Distribution de l’induction dans l’entrefer Figure 2.34 : Evolution des inductances propres et obtenue avec la MEF, µfer = ∞ mutuelles obtenues avec la MEF avec µfer = ∞ Les deux couples, à vide figure (2.35) et en charge figure (2.36) sont également très proches des formes d’ondes observées pour la structure M-S1, avec, malgré tout, une ondulation plus élevée. 200 Ce (Nm ) Ce (Nm) 6000 100 θ 0 0 10 20 30 40 50 60 3000 -100 θ 0 -200 0 Figure 2.35 : Couple à vide, MEF µfer = ∞ 10 20 30 40 50 60 Figure 2.36 : Couple en charge, MEF µfer = ∞ Suite à cette analyse comparative entre les structures dites dissymétriques et symétriques, on peut confirmer l’amélioration qu’apporte la condition supplémentaire donnée par la relation (2.59) sur les performances d’une structure à réluctance variable Vernier. On rappelle que toutes les structures étudiées sont de type à simple action. La seule différence entre les machines définies comme symétriques et dissymétriques, réside dans la vérification, ou pas, de la relation (2.59). Cette condition, qui assure la symétrie, engendre des structures dont la réluctance sous les différents pôles est constante. Synthèse Les machines dites dissymétriques conduisent à des couples électromagnétiques avec de fortes ondulations. Ces dernières sont liées au choix de la denture ( N r et N s ) et de la polarité (p et p’). 94 CHAPITRE II – Modélisation et étude des performances Les conditions par lesquelles on aboutit à une possibilité de conversion électromécanique de l’énergie, citées dans le paragraphe I.5.2 sont nécessaires mais non suffisantes à la conception d’une bonne machine. La condition de « symétrie » donnée par la relation (2.59) doit être prise en compte. Elle permet d’améliorer notablement les performances de la structure choisie notamment la symétrie qui peut être interprétée comme étant une réluctance d’entrefer inchangée sous les différents pôles de l’induit et de l’inducteur. II.5. Conclusion Nous avons développé dans ce chapitre les modèles nécessaires à la simulation des machines à réluctance variable de type Vernier. Le premier modèle appelé modèle analytique a permis, en ne considérant que les termes fondamentaux, d’exprimer les différentes grandeurs caractéristiques notamment les inductances propres, les mutuelles inductances, les flux, les couples… Les résultats obtenus ont montré que les MRV Vernier se comportent comme les machines synchrones classiques. Afin d’étudier d’une manière plus approfondie les structures MRV Vernier, nous avons développé un deuxième modèle que nous avons appelé « modèle semi-analytique ». Dans ce dernier, les harmoniques structurels liés à la géométrie de l’entrefer et à la distribution des enroulements sont pris en compte. Ce modèle suppose par contre une perméabilité infinie des circuits magnétiques et une invariance au niveau des réluctances d’entrefer sous les pôles. Nous avons démontré, via l’étude de deux types de structures, que ce modèle convient aux machines classées comme étant symétriques. Cette symétrie est définie du fait que la réluctance sous un pôle est invariante. Le troisième modèle développé est appelé « modèle semi-analytique étendu ». Dans ce dernier, la variation des réluctances dans l’entrefer est prise en compte. La perméabilité du circuit magnétique est toujours supposée infinie. Ce modèle convient aux structures dites dissymétriques. 95 CHAPITRE III ETUDE SUR LA MINIMISATION DES ONDULATIONS DU COUPLE CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Introduction Généralement, les dispositifs électromécaniques sont dimensionnés à partir d’équations analytiques classiques avec des hypothèses simplificatrices. Ces équations ont été améliorées dans le temps par retour d’expériences sur les différents dispositifs construits. Cependant, de par son caractère limité et la diversité de plus en plus grande des applications projetées, cette connaissance pratique ne permet pas toujours d’optimiser toutes les caractéristiques géométriques. Depuis quelques années, les recherches s’orientent vers l’optimisation de dispositifs électromagnétiques par le biais de différentes approches. Ces dernières sont plus ou moins contraignantes et précises. En effet, les paramètres à optimiser sont souvent interdépendants et il est difficile de trouver la solution optimale prenant en compte les différentes interactions. En fait, trouver la solution optimale d’un problème dans un espace complexe implique un compromis entre deux objectifs : l’exploitation des meilleures solutions et l’exploration robuste de l’espace de recherche. Les méthodes de type grimpeur procèdent itérativement en tentant, à chaque pas, de trouver localement une solution intermédiaire meilleure que la solution courante ; ce genre de méthode est pénalisé par son incapacité à traiter des problèmes représentant des reliefs de solutions multimodales (système possédant plusieurs optimas locaux). Parmi les différentes méthodes probabilistes d’optimisation (méthode des plans d’expérience, méthode de Monte-Carlo….), les algorithmes génétiques (AG) représentent une stratégie de recherche réalisant un compromis équilibré entre l’exploration de l’espace de recherche et l’exploitation des meilleures solutions. Des analyses théoriques ont montré que les algorithmes génétiques gèrent ce compromis de façon optimale [65]. C’est principalement ce critère qui nous a amené à adopter cette méthode pour l’optimisation de notre machine à réluctance variable. Avant d’aborder les grandeurs à optimiser, nous présenterons quelques définitions ainsi que le principe de l’optimisation par algorithme génétique. III.1. Définitions L’optimisation par algorithme génétique prend son origine dans les mécanismes de la sélection naturelle et la génétique de l’évolution. Cette méthode a été mise en œuvre par J.H. Holland dans les années 70 [66]. Comme son nom l’indique, elle est basée sur la traduction 96 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple mathématique des phénomènes naturels qui sont la reproduction des espèces, la survie et l’adaptation des individus. Cette traduction est exploitée pour la résolution de problèmes nécessitant l’optimisation d’une fonction ou d’un système dépendant de plusieurs paramètres et qui ont besoin d’être calculés pour un critère bien défini (maximisation, minimisation, …). Les principales caractéristiques relatives à cette technique se concentrent autour des quatre points suivants [65,67]: le parallélisme : l’algorithme génétique travaille en parallèle sur un certain nombre de candidats et non pas sur un candidat unique. La méthode de recherche est globale et couvre tout l’espace de recherche . l’algorithme génétique peut manipuler des entités qui ne sont pas forcément numériques (un exemple est traité plus loin), à condition que les points de cet espace soient toujours constitués d’un ensemble d’entités élémentaires. L’utilisation minimale d’informations : il n’a besoin que de la mesure d’adéquation (la qualité d’une solution), il ne repose sur aucune autre information, par exemple des dérivés ou hypothèses telles que la continuité et la différentiabilité. Il ne requiert qu’une capacité à classer les solutions entre elles. L’utilisation de règles probabilistes plutôt que déterministes dans l’exploration de l’espace de recherche. L’introduction du hasard est très bénéfique pour l’optimisation de fonctions présentant plusieurs optima et aussi en cas de fonction non permanente (déplacement ou changement des optima au cours du temps). Ces caractéristiques donnent à la technique d’optimisation par algorithme génétique, une grande capacité pour localiser la niche de l’optimum global [67]. III.2. Principe de fonctionnement L’algorithme génétique constitue une méthode d’optimisation robuste. Il peut résoudre, avec fiabilité, des fonctions représentant des reliefs de solution réputés très difficiles pour les méthodes d’optimisation classiques (Simplex, le plus fort gradient … ). Les fonctions réputées difficiles sont des fonctions qui présentent plusieurs optima locaux, des fonctions discontinues ou des fonctions à plusieurs dimensions où les méthodes ordinaires ne peuvent pas prendre en compte l’effet d’interaction entre tous les paramètres. Cette méthode de recherche globale est une méthode itérative dont le but est d’optimiser une fonction définie par l’utilisateur appelée fonction objectif ou fonction d’adéquation. Pour atteindre cet objectif, 97 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple l’algorithme travaille en parallèle sur une population de points candidats appelés individus ou chromosomes qu’on note I, chaque individu est constitué d’un ensemble d’éléments appelés gènes notés xn figure (3.1.a). Dans l’algorithme génétique de base, tel qu’il a été fondé par Holland, les gènes sont formés de 1 et 0. Dans ce cas, chaque valeur réelle xn est codée par son équivalent en binaire et l’individu obtenu est représenté par une chaîne codée de plusieurs gènes représentant une solution particulière pour la fonction objectif figure (3.1.b). I: I: X1 X2 X3 1011 0001 1100 … … Xn (3.a) 1001 (3.b) Figure 3.1 : Représentation d’un individu; codage réel (3.1.a), codage binaire (3.1.b) De nouvelles versions d’algorithme génétique sont apparues. Elles ne se basent plus sur le codage binaire mais elles travaillent directement sur les paramètres réels. Ces versions, appelées algorithmes génétiques codés réels, offrent d’une part l’avantage d’accélérer la recherche et d’autre part de rendre plus facile le couplage avec d’autres méthodes d’optimisation. Ce codage est de plus en plus répandu [65][68] et c’est la solution que nous avons retenue pour notre application. Le but de l’algorithme génétique est de chercher la combinaison optimale des gènes constituant l’individu, qui donne lieu à la meilleure adéquation. A chaque itération, appelée génération, est généré une nouvelle population avec le même nombre d’individus. Cette population est mieux adaptée à l’environnement tel qu’il est représenté par la fonction objectif et les critères de l’optimisation (maximisation, minimisation, …). Plus on progresse dans les générations, plus les individus vont devoir tendre vers l’optimum de la fonction objectif. Le passage d’une génération à l’autre s’effectue en trois étapes, évaluation puis sélection et enfin reproduction avec des opérateurs de croisement puis de mutation. Dans la suite, nous allons développer ces trois étapes. III.3. Evaluation L’algorithme génétique évalue une population d’individus qui forme la génération courante qu’on appelle ( Gt ). Les individus les plus forts, au sens des critères de la fonction objectif, 98 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple auront théoriquement plus de descendants, que les autres individus, dans la génération qui suit, donc ( Gt +1 ). Si l’on transpose dans un sens mathématique, l’algorithme génétique évalue la fonction d’adéquation que nous notons (F) pour chaque individu (I) de la population courante P(Gt ) . Suivant les critères de l’optimisation, un classement entre individus sera effectué et les meilleurs, qui répondent le mieux aux critères de la fonction objectif, auront une probabilité de reproduction (clonage) plus importante que les autres. C’est cette information qui guidera l’algorithme génétique vers les meilleurs individus. On doit faire attention aux probabilités de reproduction attribuées aux différents individus, dans le sens où, si un individu est très supérieur à la moyenne, il constituera presque exclusivement la population suivante et on perdra toute diversité d’où un risque de convergence prématurée. S’il y a très peu de différence entre les qualités d’adéquation des individus, la recherche stagnera et se comportera comme une «promenade aléatoire ». Si le critère est une maximisation, pour éviter ces deux éventualités (convergence prématurée ou promenade aléatoire) une solution consiste à ranger les individus par ordre décroissant de leur fonction d’adéquation. Dans le cas contraire, les individus sont rangés par ordre croissant. Une probabilité de sélection pi est attribuée à chaque individu selon son rang par la relation suivante [65]: pi = Psel (n p − 1) − (ri − 1)(2 Psel − 2 ) n p (n p − 1) (3.1) la quantité ri représente le rang de l’individu i, np le nombre d’individus et Psel la pression de sélection. Psel appartient à l’intervalle [1 , 2] et représente le nombre moyen d’enfants du meilleur individu. La quantité n p i donne le nombre moyen d’enfants pour chaque individu du rang i. Cette stratégie de sélection, appelée sélection par rangement, permet d’assurer un changement d’échelle dynamique non linéaire. C’est cette méthode que nous avons utilisée, dans notre outil de calcul AG, pour sa robustesse et sa simplicité. III.4. Sélection Suivant les probabilités de reproduction données aux individus, au moment de l’évaluation, 99 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple on fera la sélection stochastique des individus pour construire une population intermédiaire, notée P ′(Gt ) , toujours constituée de np individus. On procèdera suivant le principe de « la roue de la fortune », la roue est lancée autant de fois qu’il y a d’individus (np fois). Autrement dit, les meilleurs individus, qui répondent au mieux à la fonction d’adéquation, vont construire théoriquement la plus grande partie de la population intermédiaire P ′(Gt ) . III.5. Reproduction avec croisement et mutation Une fois l’étape de sélection achevée, l’algorithme génétique poursuit sa recherche par l’application des opérateurs de croisement et de mutation. L’opérateur de croisement joue le rôle de recombinaison et d’échange entre certains individus. Quant à l’opérateur de mutation, il modifie « localement » un individu en changeant sa composition. Un pourcentage de la population intermédiaire sélectionnée P ′(Gt ) sera soumis au croisement. Ainsi, l’opérateur de croisement choisit au hasard, et avec une probabilité fixée qu’on note p c , deux individus (deux parents) parmi cette population intermédiaire. Il construit alors deux enfants en faisant l’échange de certains gènes choisis aléatoirement d’un parent avec ceux de l’autre. Les deux enfants issus de ce croisement sont injectés dans la population que l’on note P ′′(Gt ) . Cette dernière sera alors constituée d’un pourcentage d’enfants issus du croisement. Le reste est issu directement de la population P ′(Gt ) sans aucune modification. Le nombre total d’individus dans P ′′(Gt ) est toujours égal à np individus. Il existe plusieurs types d’opérateurs de croisement. Nous donnons dans ce qui suit, ceux qui sont utilisés dans notre outil de calcul AG développé. Le croisement un point ou discret : Pour ce type de croisement, on choisit au hasard "un site de coupe" entre les deux parents qui permet de définir les gènes à croiser figure (3.2). Un site de coupe I 1: X11 X12 X13 X14 X15 X16 I'1: X11 X12 X23 X24 X25 X26 I 2: X21 X22 X23 X24 X25 X26 I'2: X21 X22 X13 X14 X15 X16 Figure 3.2: Croisement un point (exemple d’un individu à six gènes) 100 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Croisement deux points : dans ce croisement deux sites de coupe sont introduits au hasard entre les deux parents. Les gènes se trouvant entre les deux sites de coupe sont échangés respectivement entre les deux individus (parents) pour former les deux enfants. Croisement continu ou uniforme : Ce croisement effectue une opération de type moyenne sur certains gènes des parents. Chaque gène a une chance sur deux d’être moyenné avec son homologue chez l’autre parent, voir figure (3.3). Position aléatoire du croisement continu I 1: X11 X12 X13 X14 X15 X16 I'1: (X11+ X21)/2 X12 X13 X14 (X15+ X25)/2 X16 I 2: X21 X22 X23 X24 X25 X26 I'2: (X11+ X21)/2 X22 X23 X24 (X15+ X25)/2 X26 Figure 3.3: Croisement continu (uniforme) Croisement arithmétique : Ce type de croisement est proche du croisement continu. On choisit aléatoirement des positions d'échange puis on effectue une moyenne arithmétique pondérée par un coefficient a [67]. Soient, pour la figure (3.3), les deux nouveaux gènes : Y11 = a X 11 + (1 − a ) X 21 et Y21 = (1 − a ) X 11 + a X 21 (3.2) qui remplacent X 11 et X 21 . La valeur de a est générée aléatoirement dans l’intervalle [0 , 1] . On note que si a = 0.5 , on retrouve le croisement continu. On peut aussi, d’après [69], appliquer une autre loi de croisement. Les gènes qui se trouvent par exemple dans les sites de croisement X 11 et X 21 , sont remplacés respectivement par : X 11 + a ( X 21 − X 11 ) et X 21 + a ( X 11 − X 21 ) (3.3) Une fois l’étape de croisement achevée, on applique la procédure de mutation. Chaque gène des individus de la population P ′′(Gt ) peut subir une mutation avec une probabilité fixe notée p m . L’opérateur de mutation agit donc en modifiant aléatoirement un ou plusieurs gènes d’un individu. La valeur du gène muté est remplacée par une autre appartenant au même domaine de variation. Pour ce faire, on considère les individus choisis aléatoirement, parmi les 101 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple individus de la population P ′′(Gt ) , qui sont soumis à l’opérateur de mutation. Pour chacun de ces individus, on choisit également aléatoirement des gènes qui vont subir une modification. Les gènes qui mutes subissent, dans le cas de notre outil de calcul AG, l’un des opérateurs de mutation ci dessous. Mutation uniforme : Pour chaque gène qui mute, on prend deux nombres s et r. Le premier « s » peut prendre les valeurs +1 ou –1 pour un changement positif (resp. négatif). Le second « r » détermine l’amplitude du changement. C’est un nombre généré aléatoirement dans l’intervalle [0 1]. Dans ces conditions, le gène X ′j qui remplace le gène qui mute X j est calculé à partir de l’une des deux relations suivantes [65] : G (1− t ) 5 GF − X j ) 1− r si s =1 (3.4) G (1− t ) 5 G X ′j = X j − (X j − X min ) 1 − r F si s = −1 (3.5) X ′j = X j + (X max où X min et X max désignent respectivement les limites inférieure et supérieure de la valeur du paramètre X j et G F ≤ GT représente la génération pour laquelle l’amplitude de la mutation s’annule. A partir de cette génération, les individus ne subissent plus de mutation et l’exploration du reste de l’espace de recherche est assurée uniquement par l’action de croisement. Mutation non uniforme : on peut remplacer directement la valeur du gène qui mute, par exemple x j , par une autre valeur prise aléatoirement dans l’intervalle [ X min X max ] . Il j j existe un autre type de mutation non uniforme : Dans ce cas, la valeur mutée X ′j du gène X j est donnée par la formule [67] : X j + ∆ (t , y ) X ′j = ou X − ∆ (t , y ) j G ∆ (t , y ) = y r 1 − t GF (3.6) b (3.7) 102 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Dans cette expression, y peut prendre les valeurs ( X max − X j ) ou ( X j − X min ) à condition j j que le résultat de l’opération ne sorte pas de l’intervalle [ X min j X max ]. Comme dans j l’expression (3.4), le paramètre r représente un nombre aléatoire avec 0 < r < 1 . b est un paramètre qui définit le degré de non uniformité. La fonction ∆ (t , y ) renvoie, d’une façon aléatoire, un nombre dans l’intervalle [0 y ]. Elle permet de réaliser une recherche uniforme dans les premières générations, et plus pointue au fur et à mesure que l’on avance. D’autres lois peuvent être utilisées pour calculer l’évolution des gènes en mutation. Dans la référence [69], le gène X j est remplacé par X ′j par la relation suivante : X ′j = X j ± ∆ X j (3.8) Avec : ∆ X j = ( X max − X min ) . 2 − k r la quantité k est une constante souvent prise égale à 16 [69]. Après la mutation, les individus constitueront la nouvelle population P(Gt +1 ) de np individus qui donne naissance à la nouvelle génération. Le cycle continue : évaluation, sélection, reproduction (croisement et mutation), évaluation, etc. jusqu'à la dernière génération fixée. Il y a donc quatre paramètres de base qui doivent être fixés pour assurer le fonctionnement d’un AG : le nombre d’individus dans la population np, la génération maximale GT , les taux de croisement p c et de mutation p m . Trouver de bonnes valeurs à ces paramètres est un problème souvent délicat [65]. Les valeurs de np et GT dépendent fortement du problème à optimiser (en particulier le nombre de gènes de chaque individu). Nous résumerons, par l’organigramme de la figure (3.4), l’ensemble des étapes permettant d’effectuer une optimisation avec l’algorithme génétique. 103 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple (1) Transformation de l’espace de recherche en un ensemble d ’individus (2) Initialisation aléatoire d ’une population P(Gt) de np individus (3) Calcul de la fonction objectif (fonction à optimiser) pour chaque individu de la population P (4) Evaluation des individus suivant les critères de l’optimisation. (mesure de l’adaptation) (5) Génération d’une nouvelle individus formée des P’(Gt) de np population copies des individus appelés à se reproduire. (6) Application des opérateurs de croisement sur X% de la population P’(Gt) choisie aléatoirement (7) Application des opérateurs de mutation sur Y% de la population P’(Gt) choisie aléatoirement (8) Nouvelle population P’(Gt+1) de np individus On est à la dernière génération Non Oui Fin Figure 3.4 :Les différentes étapes de l’algorithme génétique Dans l’outil de calcul AG que nous avons développé, nous avons appliqué [65-69] quatre types d’opérateurs de croisement, qui sont appelés : un point ou discret, deux points, continu ou uniforme et arithmétique, et trois types d’opérateurs de mutation appelés : uniforme et non 104 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple uniforme. Chaque type d’opérateur, qu’il soit de croisement ou de mutation, intervient selon une probabilité que l’on fixe. Il est à noter que nous avons procédé au maintien intégral du meilleur individu de chaque génération dans la génération qui suit. III.6. Validation Dans le but de tester l’efficacité de l’algorithme génétique développé, nous avons pris deux exemples d’application. Le premier concerne une fonction mathématique de k dimensions dont on cherche le maximum pour k = 10 . Cette fonction a fait l'objet d'une étude détaillée dans la référence [65], à savoir que cet optimum a été déjà calculé dans la même référence. Dans le second exemple, l’algorithme génétique a été couplé avec la méthode des éléments finis pour étudier un système électromagnétique. III.6.1. Exemple mathématique Le premier exemple traité, indépendamment du domaine de l’électrotechnique, représente la famille de fonctions mathématiques introduites par Michalewicz [65] définie par : 2 n f (x ) = ∑ sin ( xi ) sin i =1 2m ix ( i ) π (3.9) Avec : xi ∈ [0 π ] Cette famille de fonctions possède de nombreux maxima locaux, le nombre total des optima locaux est proportionnel à n et vaut n !, par exemple pour n = 10 , on trouvera 3628800 optima locaux. Plus la valeur de m est grande, plus la recherche devient difficile, pour m = 10 les valeurs de la fonction pour les points en dehors des pics étroits donnent peu d’informations sur la position du maximum global. La fonction (3.9) a été optimisée pour n = 10 et pour trois valeurs du paramètre m = 1,10,100 qui représentent des valeurs donnant des caractéristiques fonctionnelles très différentes . 105 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Les valeurs trouvées par notre outil de calcul AG sont comparées aux résultats données par [65] dans le tableau (3.1). Sachant que ces résultats ont été obtenus à partir de 50 exécutions de l’outil de calcul AG avec des points initiaux choisis aléatoirement. Suite à la nature délicate de cette fonction test, nous avons choisi, pour l’exécution de l’outil AG développé, un nombre très élevé de génération GT . Ce paramètre a été fixé à 1000. En ce qui concerne le nombre d’individus n p , nous avons testé d’une manière progressive plusieurs valeurs. Les meilleurs résultats ont été obtenus pour n p = 100. Dans le but d’accélérer la recherche, tout en gardant une diversité des individus dans chaque génération, nous avons choisi pour la pression de sélection Psel , la valeur de 1.5. Quant aux probabilités de croisement pc et de la mutation p m , nous les avons fixées respectivement à : 0.9 et 0.13. Ces valeurs impliquent que l’exploration du domaine de recherche est basée plus sur le croisement entre les individus que sur leur mutation. Un choix de pc >> p m est largement conseillé dans la bibliographie de l’algorithme génétique [65-69]. m=1 m=10 m=100 Référence 9.704 9.660 9.655 f( x ) 9.704 9.515 9.508 Tableau (3.1): résultats de l'optimum issus à partir de l'évaluation de la fonction f. III.6.2. Bobine à noyau de fer Dans le second exemple, nous avons couplé l’outil AG développé à la méthode des éléments finis précédemment décrite. Ce couplage a permis de traiter un exemple d’électrotechnique à savoir une structure statique qui représente une bobine à noyau de fer avec deux entrefers, comme indiqué sur la figure (3.5). On place au milieu des deux entrefers fixés ( e = 5 mm ) une pièce ferromagnétique. Le matériau constituant la culasse de la bobine ainsi que la pièce située dans l’entrefer sont supposés avoir une caractéristique magnétique linéaire. L’objectif de l’optimisation est de rendre maximale et uniforme l’induction, au niveau des entrefers notés A et B sur la figure (3.5), avec un minimum de volume pour la pièce ferromagnétique. Dans cette étude, on suppose la structure invariante suivant l’axe « z », ce qui conduit à un modèle 2D. 106 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple y a1 A Domaine de la pièce ferromagnétique B a5 a2 a3 a4 a6 x a1 =68 mm, a2 =400 mm , a3 =400 mm, a4 =230 mm, a5 =198 mm, a6 =60 mm Figure 3.5 : Bobine à noyau de fer (structure à optimiser) Un des points délicats de l’optimisation est de regrouper tous les paramètres à optimiser sous forme d’une fonction objectif noté F. Sur l’exemple défini, nous avons imposé deux contraintes : maximisation de l’induction et minimisation du volume de la pièce ferromagnétique. Pour cet exemple, la fonction objectif s’obtient relativement facilement. Elle peut s’écrire : F = B moy ( 1 − S ) ST (3.10) où Bmoy représente l’induction moyenne dans les entrefers (A et B), S la section de la pièce ferromagnétique dans le plan (x,y) et S T la section de l’entrefer ( 0 ≤ S ≤ S T ). Il est à noter que l’écriture de la fonction objectif devient beaucoup plus délicate en présence de plusieurs critères. On rappelle ici que la solution pour cet exemple est évidente, on n’a guère besoin d’utiliser une méthode d’optimisation pour répondre à un tel problème, mais le but est de montrer, par un exemple électrotechnique simple et facilement analysable, l’efficacité de l’optimisation par l’algorithme génétique et ses limites d’utilisation. Dans un premier temps, nous avons décomposé la pièce ferromagnétique en 15 zones de tailles égales, qui peuvent être considérées indépendamment comme du fer ou de l’air. L’algorithme génétique va donc manipuler des chaînes constituées de 15 entités (gènes). On 107 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple associe à chaque entité un paramètre pouvant prendre la valeur ± 1 suivant qu’il s’agisse de fer ou d’air. Du fait du couplage de l’AG avec la MEF , les temps de calculs sont très élevés. Pour les limiter, nous avons choisi un nombre d’individus np plus faible par rapport à l’exemple précédent (np = 25). Dans la même optique, le nombre de génération GT a été limité à 500. Pour les probabilités, plusieurs tests ont été effectués. Nous avons choisi une probabilité de 0.9 pour le croisement et une probabilité de 0.4 pour la mutation. La pression de sélection Psel , quant à elle, a été fixée à 1.3. Le maillage de la structure est constitué de 2486 éléments et 1209 inconnues. Le calcul a été effectué en prenant 500 spires parcourues par un courant continu de 10 A et une perméabilité µ r = 100 µ 0 . Le résultat du calcul a donné une valeur moyenne de l’induction égale à 0.2353 Tesla et pour la pièce ferromagnétique une section de 21.16 10-3 m2 . Sur la figure (3.6), nous avons représenté la forme de la pièce. La distribution de l’induction est donnée sur la figure (3.7). Figure 3.6 : Géométrie optimale de la pièce Figure 3.7 : Distribution de l’induction ferromagnétique magnétique Dans cet exemple, nous constatons que l’algorithme génétique a convergé vers l’optimum global. Ce résultat était prévisible étant donné que le système ne présente pas une grande difficulté pour l’algorithme génétique. En effet, la longueur des chaînes manipulées (15 gènes) est relativement faible. Afin de tester l’efficacité de notre outil de calcul AG, nous avons effectué un deuxième test en décomposant la pièce ferromagnétique en 90 entités. Dans ce cas, chaque individu sera 108 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple constitué d’une chaîne comprenant 90 gènes (soit 6 fois plus que pour le test précédent). Pour ce deuxième calcul, les différentes probabilités ont été gardées constantes par rapport au calcul précédent ( p c = 0.9, p m = 0.4 et Psel = 1.3). Par contre, de par le nombre de gènes à manipuler, nous avons augmenté les valeurs de np et de GT ( n p = 30 et GT = 1500). Avec ce second calcul, les résultats obtenus pour l’induction moyenne et la section de la pièce ferromagnétique sont respectivement 0.2085 T et 14.62 10-1 m2. A titre d’information, ce résultat a été obtenu pour la dernière génération fixée. Le temps du calcul, sur une station Digital 300 MHz, est de l’ordre de 5 jours. La figure (3.8) représente la forme de la pièce obtenue et la distribution de l’induction magnétique figure (3.9). Figure 3.8 : Géométrie optimale Figure 3.9 : Distribution de l’induction Sur la figure (3.8), on constate que la pièce proposée n’est pas d’un seul tenant. Cela est dû au fait qu’aucune contrainte, relative à cette possibilité, n’est imposée dans la fonction objectif. Néanmoins, cette solution s’approche de la solution à laquelle on peut s’attendre, à savoir une section droite étroite, allant directement d’un entrefer à l’autre, qui permet de maximiser la fonction objectif F. Afin d’améliorer la structure, il est possible d’ajouter une seconde boucle avec un « grimpeur » [65] qui se lance à la fin de l’exécution de l’algorithme génétique. Ce grimpeur permet d’améliorer la solution obtenue. Cependant, pour notre étude, nous n’avons pas eu recours à cette possibilité. 109 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple III.7. Application au cas de la MRV Vernier III.7.1. Présentation de la structure retenue pour l’optimisation Dans le chapitre II, nous avons étudié 4 MRV de type Vernier dimensionnées pour une puissance de 10 kW. Parmi ces machines, deux étaient dissymétriques et les deux autres symétriques. Dans l’optique de la réalisation d’un prototype d’essais, permettant l’étude des performances réelles, nous allons, dans la suite du mémoire, étudier une nouvelle structure différente de celles présentées au chapitre II et dont la puissance active serait de 1,2 kW. Les autres grandeurs du cahier des charges (grandeurs électriques et vitesse de rotation), définies dans le paragraphe II.4.1, sont maintenues. Cette structure retenue, notée machine finale (M-F), est une MRV à simple action symétrique. Elle répond donc aux conditions citées dans les paragraphes I.3.3.1.2 (conditions de la simple action) et II.4.3.1 (conditions de la symétrie). Comme nous l’avons défini dans le paragraphe I.5.2, il serait judicieux de choisir des structures qui sont excitées avec des fréquences faibles à la vitesse de fonctionnement désirée. Cela permet de limiter les pertes fer. Pour la vitesse de rotation fixée par le cahier des charges (50 tr/min), on ne retient en fin de compte que 71 sur 93 structures qui présentent la symétrie et qui nécessitent une fréquence d’excitation inférieure à 100 Hz. Ces structures sont représentées en grisé dans l’annexe 6. Dans la suite, nous allons introduire deux prototypes virtuels. Le premier, appelé M-F de base (M-FB), est issu des règles de dimensionnement données au chapitre I. Il aura donc les caractéristiques de la machine avant l’optimisation. Le second prototype, appelé M-F optimisé (M-FO), est déduit du premier après optimisation par l’algorithme génétique. En se basant sur la méthode de dimensionnement proposée dans le paragraphe I.5, et en tenant compte des recommandations citées dans le paragraphe I.5.2, on aboutit au prototype de base. Ses caractéristiques géométriques et électriques sont définies dans le tableau (3.2) : 110 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Prototype de base M-FB N r = 70 qe = 3 q'e = 2 pcr = 8.7 10 −2 n = 186 m L = 1.15 10 −1 p=4 N s = 72 p s = 2.27 10 m D = 29.48 10 −2 m −2 m I = 3.6 A / 50 Hz n ′ = 450 p r = 2.18 10 e min =3.10 −4 p′ = 6 −2 m p cs = 6.1 10 m I ′ = 1 A / 8.33 Hz −2 m rdr = 0.42 rds = 0.42 Tableau (3.2) : Caractéristiques de la machine finale de base (MF-B) III.7.2. Critères de l’optimisation et paramètres à optimiser Dans la conception des machines électriques, on cherche souvent à maximiser la valeur moyenne de la puissance massique en ayant un minimum d’ondulations au niveau du couple électromagnétique développé. Généralement, pour optimiser ces deux critères, on agit sur des paramètres purement géométriques [70] liés aux deux culasses rotorique et statorique. Les MRV Vernier sont connues par leur niveau de saturation très élevé par rapport aux autres machines classiques. Cette saturation concerne les parties ferromagnétiques qui présentent des sections faibles par rapport à l’amplitude du champ. Dans la machine étudiée, les éléments susceptibles d’être saturés sont les dentures du rotor et du stator. Il serait préférable, dans l’absolu, d’avoir les largeurs des dents ( lds et ldr , figure (3.10)) les plus élevées possibles. Cependant, pour un diamètre donné, cette solution diminuerait l’amplitude de la perméance d’entrefer et donc l’effet réluctant de la machine. Pour maintenir le même effet réluctant, il est possible d’augmenter le diamètre mais ceci aboutirait, pour un volume fixe, à une machine dont les effets tridimensionnels seraient trop importants. Stator ls p Pss l ds l es l dr ler Pprr lr Rotor Figure 3.10 : Paramètre géométrique à optimiser 111 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Le rapport entre le diamètre d’alésage et la longueur utile est généralement lié à la vitesse périphérique de la machine [45-46]. Pour de faibles vitesses, comme dans le cas de la structure étudiée, la contrainte de la vitesse périphérique ne constitue pas un problème et donc, pour un volume donné, il est possible de choisir un diamètre très élevé. Cependant, ce dernier doit être limité afin d’éviter des pertes considérables au niveau des têtes de bobines. Dans notre cas, nous avons toléré jusqu’à 50% de conducteur dans les têtes de bobines. Ce critère permet de limiter le diamètre d’alésage. Le deuxième paramètre à optimiser est la profondeur des encoches du rotor pr -voir figure (3.10). Le rotor ne possédant pas de bobinage, il est préférable d’avoir pour cette profondeur la valeur la plus faible possible tout en ayant la variation de la perméance d’entrefer la plus élevée. Cela a pour conséquence de réduire le volume des dents rotoriques et donc les zones susceptibles d’être fortement saturées. Quant à la profondeur des encoches statoriques ps, elle est déterminée à partir du calcul des ampère-tours. Ces derniers déterminent la section de l’encoche et par conséquent la grandeur ps. Le calcul de cette grandeur est explicitée dans le paragraphe I.5.5 relatif au dimensionnement de la structure. Les deux derniers paramètres à optimiser sont les ouvertures dentaires au rotor rdr = l dr / λ r et au stator rds = l ds / λ s . Des études [47,71,84] ont démontré que l’ondulation du couple électromagnétique est très sensible à ces ouvertures. Nous allons donc les optimiser à l’aide de l’algorithme génétique. III.7.3. Démarche de l’optimisation Malgré la fiabilité de la méthode des éléments finis comme outil de calcul, son utilisation dans l’optimisation de la structure présente un certain nombre de difficultés. En effet, à chaque fois qu’un paramètre géométrique varie, il faut reconstruire une nouvelle géométrie et la remailler de nouveau. Ceci nécessite, pour l’instant, des temps de calculs prohibitifs. Par conséquent, même si on effectue des hypothèses simplificatrices, nous utiliserons le modèle semi-analytique dans notre démarche d’optimisation pour calculer les ouvertures dentaires rds et rdr et la profondeur pr. Les performances du prototype optimisé obtenu seront comparées à celles du prototype de base en utilisant les modèles semi-analytique et éléments finis. 112 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple III.7.3.1. Détermination du diamètre d’alésage A la vitesse de rotation fixée par le cahier des charges, la vitesse périphérique n’est plus une contrainte majeure pour fixer le rapport D / L par rapport à un volume D²L donné. Pour notre structure, la vitesse de rotation est de l’ordre de 50 tr/min. Pour déterminer le diamètre d’alésage nous nous sommes fixés un pourcentage maximal de 50% entre les têtes de bobine et la longueur totale du conducteur (cuivre) déployée. Par conséquent, nous avons abouti, pour la structure étudiée à un diamètre de 29.4 cm. III.7.3.2. Détermination de la profondeur des encoches rotoriques Dans le cas de l’hypothèse d’une perméabilité infinie du fer, nous avons constaté, pour différentes ouvertures dentaires rds et rdr , que la profondeur des dents rotoriques p r n’influe pas sur l’ondulation du couple électromagnétique. Cela confirme que cette grandeur n’a pas d’effet sur l’ondulation du couple. Par contre, nous avons constaté que la valeur moyenne du couple peut être affectée par ce paramètre. Nous avons donc calculé, en utilisant le modèle semi-analytique, la valeur moyenne du couple en fonction de la profondeur rotorique. Le résultat obtenu est présenté sur la figure (3.11). 1.05 Ce (pu) 0.9 0.75 0.6 p r (m) 0.45 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Figure 3.11 : évolution du couple moyen en fonction de la profondeur des encoches rotoriques On constate qu’au delà d’une certaine valeur de la profondeur rotorique, le couple moyen tend vers une limite. Nous avons donc pris pour la grandeur pr, la valeur indiquée en pointillés et qui vaut 21 mm. 113 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple III.7.3.3. Détermination des ouvertures dentaires optimales Pour trouver les grandeurs optimales des ouvertures dentaires ( rdr et rds ), permettant d’avoir la plus faible ondulation du couple, nous avons couplé le modèle semi-analytique avec notre outil de calcul AG. Dans cette application, les ouvertures dentaires rotoriques rdr et statorique rds représentent les deux paramètres (gènes) à optimiser. Pour chaque paire de ces valeurs ( rdr et rds ), on dimensionne, pour le même cahier des charges, une nouvelle structure qui représente un individu pour l’algorithme génétique. La fonction objectif représente donc la résolution d’un système qui passe par deux étapes. La première est le dimensionnement d’une structure sur la base des paramètres (les gènes) que donne l’algorithme génétique. La 2ème étape est le calcul en instantané du couple électromagnétique maximal développé par cette structure. Le couple maximal est déterminé en choisissant l’angle de charge adéquat. L’ondulation du couple électromagnétique est calculée en faisant la différence entre les points maximal et minimal du couple obtenu. L’algorithme génétique va manipuler pour chaque génération autant de structures que le nombre fixé d’individus. Nous pouvons illustrer le couplage entre la méthode d’optimisation et le modèle de simulation par le schéma de la figure (3.12). Les parties grisées représentent la fonction objectif. Une procédure permettant la construction de la géométrie sur le mailleur IDEAS est développée. Elle exploite les résultats issus de la partie dimensionnement pour construire la structure virtuelle. Sur la base de cette structure, un maillage est construit pour une étude en éléments finis. 114 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Cahier des charges : P, V, Ω , cos ( ϕ ) N r , Ns , p, p’ DIMENSIONNEMENT Fonction objectif Une structure de machine à réluctance variable Étude en semi-analytique Construction de la géométrie OPTIMISATION AG Maillage et étude en EF Figure 3.12 : couplage entre l’AG et le modèle semi-analytique Les paramètres fixés pour l’algorithme génétique sont regroupés dans le tableau (3.3) : Individus Génération n p = 50 GT = 20 Probabilité de Probabilité de Pression croisement mutation de sélection p c = 0.7 p m = 0.13 Psel = 1.6 Tableau (3.3) : Paramètre fixé pour l’AG Le domaine de recherche des gènes (ouvertures dentaires) a été fixé entre 20% et 80 % par rapport au pas dentaire λ r pour les dents rotoriques et λ s pour les dents statoriques. Le pas de recherche quant à lui, a été fixé à 1%. Comme pour les exemples traités précédemment (fonction mathématique et bobine à noyau de fer), on maintient dans la génération en cours le meilleur individu de la génération précédante tel qu’il est, sans aucune modification. Cette technique permet d’une part, la 115 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple conservation de la meilleure solution et d’autre part, l’augmentation des chances d’échanger les paramètres (de ce meilleur individu) avec d’autres individus de la génération en cours. Pour un fonctionnement moteur de la machine en régime nominal (voir les valeurs des courants induit et inducteur dans le tableau (3.4), les résultats obtenus après 20 évaluations d’une population de 50 individus (machines) sont : 40% d’ouverture pour la denture statorique et 50% d’ouverture pour la denture rotorique. Nous représentons dans le tableau qui suit les résultats des paramètres optimisés ( rdr , rds ) de la MRV finale optimisé (M-FO). Les autres grandeurs géométriques (L, D et pr) sont celles données dans les paragraphes précédents. Ces résultats sont comparés à ceux de la MRV finale de base (M-FB). Avant optimisation Après optimisation rds rdr ∆C e /C e − moy (%) 0.42 0.42 30 0.4 0.5 9.8 Tableau (3.4) : Ouverture dentaire et ondulation du couple La rubrique ∆Ce Ce− moy donne, en pourcentage, l’ondulation du couple ∆Ce =Ce− max −Ce −min par rapport au couple moyen Ce− moy . Avec Ce− max et Ce− min qui représentent respectivement les valeurs maximale et minimale du couple électromagnétique développé. Le rapport ∆Ce Ce− moy est comparé entre les deux prototypes optimisé et de base. Les résultats obtenus montrent que l’ondulation du couple est 3 fois plus faible dans le prototype optimisé. Les allures du couple maximal, relatif aux deux prototypes (optimisé et de base), sont représentées respectivement sur les figures (3.13) et (3.14). Ce(Nm) Ce(Nm) 750 750 500 0 10 20 30 40 θ θ 500 50 0 10 20 30 40 50 Figure 3.13 : Couple maximal « avant optimisation » Figure 3.14 : Couple maximal « après optimisation » modèle semi-analytique modèle semi-analytique 116 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple On observe sur ce résultat que la valeur moyenne du couple est sensiblement la même, par contre l’ondulation est nettement plus faible pour le prototype optimisé. Dans les mêmes conditions de calcul effectué par le modèle semi-analytique (fonctionnement en régime nominal et perméabilité du circuit magnétique infinie), nous avons calculé le couple électromagnétique avec la méthode des éléments finis. Les maillages effectués pour les deux prototypes (M-FB et M-FO) ainsi que leurs cartes de champ obtenues pour un point de fonctionnement à vide sont représentés sur les figures (3.15), (3.16), (3.17) et (3.18). Figure 3.15 : Maillage du prototype de base Nbr d’éléments :22076 Nbr de nœuds : 11112 Figure 3.16 : Distribution des lignes de champ à vide pour le prototype de base Figure 3.17 : Maillage du prototype optimisé Nbr d’éléments : 15642 Nbr de nœuds : 7892 Figure 3.18 : Distribution des lignes de champ à vide pour le prototype optimisé L’ondulation du couple obtenue par la MEF est comparée à celle donnée par le calcul semianalytique dans le tableau (3.5) . Avant optimisation Après optimisation ∆C e /C e − moy (%) ∆C e /C e − moy (%) Semi-analytique MEF linéaire 30 46 9.8 10.5 Tableau (3.5) : Ondulation du couple 117 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Il est évident que les performances au niveau de l’ondulation du couple électromagnétique sont nettement meilleures pour le prototype optimisé. Toujours pour le point de fonctionnement défini précédemment, on présente, sur les figures (3.19) et (3.20), le couple instantané calculé avec la MEF pour respectivement la machine finale optimisée (M-FO) et la machine finale de base (M-FB). Ce(Nm) Ce(Nm) 750 750 500 500 250 250 θ 0 10 20 30 40 50 Figure 3.19 : Couple électromagnétique pour I=In, obtenu par la MEF θ 0 0 µ fer = ∞ « Avant optimisation » 0 10 20 30 40 50 Figure 3.20 : Couple électromagnétique pour I=In, obtenu par la MEF µ fer = ∞ « Après optimisation » Les mêmes constatations sont à noter. En effet, l’ondulation du couple pour le prototype optimisé est plus faible, et la valeur moyenne entre les deux prototypes est pratiquement inchangée. A titre indicatif nous avons représenté sur la figure (3.21) l’évolution de l’ondulation du couple en fonction de l’ouverture dentaire rotorique rdr et statorique rds . Les calculs ont été effectués avec le modèle semi-analytique. On constate qu’il y a bien des zones particulières où l’ondulation ∆C e du couple donne des valeurs faibles. Ces zones sont situées, comme le présente la figure, au voisinage des valeurs d’ouverture dentaire qui sont de l’ordre de (0.4 , 0.6 et 0.8 %). 118 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple ∆ Ce (Nm) rdr rds Figure 3.21 : évolution de l’ondulation du couple en fonction des ouvertures dentaires III.7.4. Etude en saturé Pour prendre en compte la non linéarité du circuit magnétique nous avons utilisé la méthode des éléments finis. A partir des différentes études, nous avons constaté que l’ondulation du couple est très sensible au niveau de la saturation. Dans un premier temps, on alimente en fonctionnement moteur l’induit avec la moitié du courant nominal ( I n / 2 =1.8 A), donné précédemment dans le tableau caractéristique (3.2). L’angle de charge est choisi de telle sorte que la structure développe son couple maximal. On appelle ce point de fonctionnement « le premier niveau de saturation ». Ensuite, on alimente l’induit avec la valeur du courant nominal. Ce point de fonctionnement sera appelé « 2ème niveau de saturation ». Les résultats obtenus ainsi que ceux calculés précédemment, dans le cas linéaire, sont regroupés dans le tableau (3.6). 119 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple ∆C e /C e − moy (%) Eléments finis Semi-analytique Avant optimisation Après optimisation Eléments finis linéaire Eléments finis non linéaire (I=In/2) non linéaire (I=In) 30 46 29 35 9.8 10.5 14.7 35 Tableau (3.6) : Effet de la saturation sur l’ ondulation du couple On constate que l’ondulation du couple augmente avec le niveau de saturation. Les allures du couple obtenues pour ces deux points de fonctionnement (1er et 2ème niveaux de saturation) sont présentées par les figures (3.22), (3.23), (3.24) et (3.25). 250 250 Ce(Nm ) 200 200 150 150 100 100 50 50 Ce(Nm ) 0 0 0 10 20 30 40 0 50 10 20 30 40 50 Figure 3.22 : Couple électromagnétique pour I=In/2, Figure 3.23 : Couple électromagnétique pour I=In/2, MEF non Linéaire « Avant optimisation » MEF non Linéaire « Après optimisation » 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 θ 0 0 Ce(Nm ) 300 Ce(Nm ) 10 20 30 40 θ 0 50 0 10 20 30 40 50 Figure 3.24 : Couple électromagnétique pour I =In, Figure 3.25 : Couple électromagnétique pour I =In, MEF non Linéaire « Avant optimisation » MEF non Linéaire « Après optimisation » 120 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple Le relevé de la courbe donnant la variation de l’ondulation du couple ∆Ce Ce− moy en fonction du niveau de saturation est représentée sur la figure (3.26). A partir de cette figure, on constate qu’au voisinage de I n l’ondulation du couple est sensiblement équivalente pour les deux structures. Au delà l’écart augmente légèrement. Par contre, pour un courant relativement faible, qui équivaut à un faible niveau de saturation, la machine optimisée (MFO) donne des résultats bien meilleurs. ∆ C e 100 C e _ moy 60 Avant optimisation 50 40 30 20 après optimisation 10 I /In 0 0 0.5 1 1.5 Figure 3.26 : évolution de l’ondulation du couple en fonction du niveau de saturation III.8. Conclusion Après avoir développé une méthode d’optimisation basée sur l’algorithme génétique et l’avoir validée par deux cas tests (fonction mathématique et bobine à noyau de fer), nous avons posé les critères de l’optimisation et repéré les paramètres à optimiser pour la structure étudiée. Ces paramètres sont au nombre de quatre (diamètre d’alésage, profondeur de l’encoche rotorique et les deux ouvertures dentaires rotorique et statorique). En ce qui concerne le diamètre d’alésage et de la profondeur des dents rotoriques, il est possible de trouver les valeurs optimales de ces deux grandeurs sans avoir recours à un algorithme d’optimisation. Nous avons alors utilisé des expressions analytiques pour déterminer ces valeurs. Quant aux deux autres paramètres (ouvertures dentaires), il est plus délicat d’obtenir les valeurs optimales sans l’aide d’une approche numérique. Dans notre cas, nous avons utilisé une optimisation basée sur les algorithmes génétiques. A cause des difficultés liées à la reconstitution du maillage et aux temps de calcul très élevés qu’entraîne le couplage de la méthode des éléments finis avec l’algorithme génétique, nous avons opté pour une optimisation utilisant le modèle semi-analytique. Ce couplage a permis 121 CHAPITRE III - Etude sur la minimisation des ondulations du couple de déterminer les ouvertures dentaires optimales pour avoir une ondulation du couple la plus faible possible. Afin de valider, dans le cas non linéaire, les résultats obtenus par la procédure d’optimisation, nous avons étudié les deux prototypes, de base et optimisé, en utilisant la méthode des éléments finis. Les résultats ont montré que les ouvertures optimales permettent bien d’atténuer les ondulations de couple pour les régimes peu saturés. Par contre, lorsque les matériaux magnétiques sont fortement saturés, l’effet de l’optimisation s’estompe. Dans la suite de ce mémoire, nous allons présenter le prototype réalisé ainsi que les différents résultats expérimentaux obtenus. Ces résultats seront comparés à ceux issus du calcul éléments finis. 122 CHAPITRE IV ETUDE EXPERIMENTALE CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Introduction L’étude théorique effectuée dans le chapitre II nous a permis de déterminer les conditions nécessaires pour aboutir à une structure à réluctance Vernier excitée, par un système triphasé au stator, à simple action. Dans le chapitre III, nous nous sommes intéressés à l’optimisation des ouvertures de dentures statorique et rotorique qui permettent d’atténuer les ondulations de couple. Dans le présent chapitre, nous allons, à partir d’un prototype réel, comparer les résultats expérimentaux à ceux issus de la modélisation numérique MEF-2D, et ce, pour différents points de fonctionnement. Le prototype fabriqué est issu de la structure de base (M-FB) étudiée au chapitre précédent et pour des raisons évidentes de coût, le dimensionnement a été effectué pour une puissance réduite (1.2kW). Enfin, suite aux délais de fabrication et à la mise en œuvre de la totalité du banc expérimental, les résultats d’optimisation du chapitre III n’ont pas été pris en compte dans l’élaboration des plans du prototype. Dans la suite de ce chapitre, nous allons présenter, dans une première partie, le prototype réalisé ainsi que les modifications géométriques qui ont été imposées par le constructeur puis nous donnerons les caractéristiques des différents composants du banc de mesure expérimental. Dans une seconde partie, nous introduirons la mise en place du modèle numérique et de la prise en compte de la non linéarité des matériaux utilisés. L’identification de la courbe B(H) a été effectuée sur des échantillons de tôles du prototype. Un banc d’essais [72] a permis d’effectuer la caractérisation et de déterminer la courbe anhystérétique . Enfin, la dernière partie du présent chapitre est consacrée à la comparaison des résultats expérimentaux à ceux du modèle numérique. Différents points de fonctionnement seront examinés. Dans un premier temps, nous identifierons les différentes inductances des bobinages puis nous étudierons le fonctionnement à vide (caractéristique à vide, effet de la saturation….) pour divers modes d’excitation (continu et alternatif triphasé). Nous étudierons ensuite le fonctionnement en générateur ainsi que le fonctionnement en moteur. IV.1. Présentation du banc expérimental IV.1.1. Présentation du prototype réalisé Comme indiqué dans l’introduction, le prototype réalisé est issu de la structure finale de base 123 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype non optimisée (MF-B) étudiée au chapitre III. Ses caractéristiques électriques sont P=1.2kW, N=50tr/mn. Le prototype a été dimensionné en utilisant la procédure développée au premier chapitre. Quelques contraintes, relatives aux conditions de fabrication, ont par ailleurs été imposées par le constructeur. Elles se résument de la façon suivante : forme circulaire des fonds d’encoches statoriques forme et épaisseur de la cale d’encoche statorique. et des considérations sur le facteur de remplissage utilisé par le constructeur ( Krem = 0,42) au lieu de 0,75, valeur que nous avons utilisée dans le pré-dimensionnement. Suite à ces modifications, les données géométriques ont subi des variations par rapport à celles données dans le tableau (3.2) du chapitre III. On trouvera, dans le tableau (4.1), les différentes caractéristiques du prototype réalisé : Prototype réalisé ' q =2 e q =3 e pcr = 30 10 N s = 72 N r = 70 −3 n = 186 m L = 115 10 −3 n ′ = 486 p s = 40.61 m −3 m −3 m D = 304 10 e min p′ = 6 p=4 = 0.3 mm p r = 20 10 −3 m I = 3.6 A / 50 Hz pcs = 30 10 −3 m I ′ = 1 A / 8.33 Hz Masse du fer actif = 100 kg Tableau (4.1) : Caractéristiques du prototype réalisé Afin d’étudier d’une manière fine l’état magnétique de la structure, nous avons fait installer des capteurs de flux dentaires. Ils nous permettront de distinguer, pour un point de fonctionnement donné, les différents niveaux de saturation des dents. Sur la figure (4.1), nous avons représenté une surface de coupe transversale du prototype ainsi que les emplacements des différents capteurs de flux, constitués par des bobines (10 spires par capteur) autour des dents : 124 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype C -B -B -B A A A -C C a a -A -A B -c -b -b ca c p_ 3 c B -a B -C 4 cap_ C -A ca -a p_ 2 b -C b -C -c A A -c a cap_1 A a Figure 4.1 : Géométrie de la structure (prototype réalisé) On rappelle que les trois phases notées (A, B et C) sont relatives au circuit d’induit. Les lettres (a, b et c) correspondent au circuit inducteur. Suite aux exigences du fabriquant, le choix de la forme des isthmes d’encoches, pour loger la cale des enroulements, a fait l’objet d’une modification par rapport à la forme des encoches classique que nous avions adoptée jusqu'à présent. Une forme finale a été choisie et nous montrons, sur la figure (4.2) un zoom des encoches statoriques avec la forme des isthmes d’encoches. La machine réalisée est présentée sur les figures (4.3.a), (4.3.b) et (4.3.c). Cale 1 1 1 20 1 18.22 14.64 4.7 5 0.3 Figure 4.2 : Encoches du prototype réalisé 125 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Figure 4.3.a : Stator du prototype Figure 4.3.b : Rotor du prototype Figure 4.3.c : Prototype d’essais Le dimensionnement mécanique ainsi que les différentes cotations fournies au constructeur sont données dans l’annexe 7. IV.1.2. Composants du banc expérimental Le banc expérimental figure (4.4.a) est constitué du prototype réalisé, d’une machine à courant continu et de deux réducteurs de vitesse (se trouvant entre les deux machines). Les caractéristiques de chaque composant sont donnés ci dessous : Machine à courant continu (BREQUET - SAUTER HARLE type 12 B 12) P = 2kW N = 1500 tr/mn Induit 120 V / 16.7 A Inducteur 120 V / 0.5 A 126 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Multiplicateur de vitesse : ( Réducteurs à engrenages IS 75) Rapport de réduction 5.4 Sur la figure 4, nous avons représenté le banc expérimental figure (4.4.a) ainsi que l’ensemble du banc d’essais avec les dispositifs d’alimentation et de contrôle (figure 4.4.b). MRV Réducteur de Vitesse MCC Figure 4.4.a : Banc expérimental Figure 4.4.b : Banc d’essais 127 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.2. Modélisation du prototype réalisé IV.2.1. Modèle numérique Afin de pouvoir comparer les résultats expérimentaux à ceux issus du modèle numérique, nous avons fait un nouveau maillage du prototype en prenant en compte les modifications géométriques qui ont été apportées par le constructeur. Sur la figure (4.5), nous montrons le maillage de la structure qui est composé de 8679 nœuds et de 17253 éléments. La figure (4.6) montre, quant à elle, la distribution des lignes de champ à vide suivant la coupe transversale modélisée. Figure 4.5 : Maillage de la structure Figure 4.6 : Distribution des lignes de champ –excitation AC à vide– IV.2.2. Identification de la caractéristique magnétique des tôles La précision des calculs numériques est tributaire, entre autre, de la prise en compte de la non linéarité des matériaux magnétiques. Par conséquent, nous avons tenu à approximer, le plus fidèlement possible, la courbe B(H) des matériaux utilisés dans la fabrication de la machine. Le constructeur du prototype, Radio Energie [73], nous a fourni des échantillons des tôles utilisées (Fe-Si) de type (FeV40050HA - Ugine) et d’une épaisseur de 0.5 mm. Un dispositif torique a alors été construit (figure 4.7) puis, dans le cadre de ses travaux de recherche, Abdelkader Benabou a mené une campagne d’essais afin d’identifier les cycles d’hystérésis du matériau pour différentes fréquences. 128 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Echantillon du tore Tore bobiné Figure 4.7 : Dispositif de caractérisation des matériaux Nous avons représenté, sur la figure (4.8) les relevés de deux cycles B (H ) effectués pour 5 et 50 Hz. Ces deux fréquences correspondent pratiquement à celles des alimentations des circuits inducteur et induit. 1.5 B(T) 1 0.5 H(Am) 0 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -0.5 -1 Tôles Fe-Si 5 Hz 50 Hz -1.5 Figure 4.8 : Caractéristique magnétique du circuit magnétique tôles Fe-Si Pour des raisons évidentes de temps de calcul, le phénomène d’hystérésis n’est pas introduit dans le code de calcul. Dans ces conditions, la non linéarité des matériaux est prise en compte en introduisant la caractéristique anhystérétique du matériau. Cette dernière est obtenue en faisant la moyenne des courbes ascendante et descendante. Une fois cette courbe obtenue expérimentalement, il est nécessaire de l’approximer par une fonction analytique afin de pouvoir l’introduire dans le code de calcul. Dans notre cas, cette approximation a été effectuée en utilisant la fonction de Marrocco. Cette dernière permet d’exprimer la perméabilité magnétique du matériau en fonction de l’induction magnétique. L’expression de cette fonction est donnée ci dessous et elle fait appel à l’identification de 4 paramètres (α, τ, ε et c). 129 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype η= H 1 = B µ0 [ B 2α (c − α ) + ε B 2α + τ ] (4.1) Une identification, par la méthode des moindres carrés, nous a permis de déterminer les valeurs de ces paramètres : α = 7.2 , = 1.85 10 −4 , τ = 3310 4 , c = 2.5 Nous montrons, sur la figure (4.9), la superposition de la courbe anhystérétique expérimentale et de celle obtenue à partir de la fonction de Marocco avec les paramètres identifiés. 1.6 B(T) 1.2 0.8 Marrocco 0.4 Expérience H(Am ) 0 0 500 1000 1500 2000 Figure 4.9 : Comparaison de la courbe anhystérétique de Marocco avec la courbe expérimentale IV.3. Détermination des inductances Les premières comparaisons des résultats ont concerné les valeurs des différentes inductances des bobinages. IV.3.1. Détermination des inductances propres. Les inductances propres, relatives aux deux circuits induit et inducteur, sont déterminées à partir de l’impédance complexe du bobinage considéré. Une première mesure en courant continu a permis d’identifier les valeurs des résistances des bobinages. Les résultats expérimentaux sont consignés dans le tableau (4.2). R inducteur (Ω) R induit (Ω) 75 7,5 Tableau (4.2) : Valeurs mesurées des résistances des circuits inducteur et induit 130 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Ensuite, à rotor bloqué, chaque phase a été alimentée avec une tension alternative sinusoïdale d’une amplitude telle que le matériau ne soit pas saturé. A partir de la valeur du courant qui s’instaure dans le bobinage, et connaissant la résistance, on a pu déterminer l’inductance propre de l’enroulement considéré. Les essais ont été effectués pour différentes positions du rotor et nous avons ainsi vérifié que les inductances propres étaient bien indépendantes de la position rotorique. Parallèlement, des calculs par éléments finis ont été effectués pour déterminer ces mêmes inductances. Deux procédures ont été utilisées. La première consiste à imposer un courant continu unitaire dans la phase considérée et calculer le flux à travers cette phase. Ce dernier donne directement la valeur de l’inductance propre. L’autre méthode consiste à utiliser le couplage circuit et appliquer la même procédure que celle usitée expérimentalement. Dans les deux cas, le calcul a été effectué pour plusieurs positions du rotor pour vérifier l’indépendance de l’inductance propre par rapport à θ. Dans le tableau (4.3), nous présentons les valeurs obtenues par le modèle numérique et celles issues des essais : L11 (H) L44 (H) Expérience 1,09 6,14 Eléments finis 1,06 6,33 Erreur 2.75% 3.09% Tableau (4.3) : Comparaison entre les valeurs des inductances propres mesurées et calculées IV.3.2. Détermination des inductances mutuelles induit-induit et inducteur-inducteur Une procédure similaire à celle décrite dans le paragraphe précédent a été utilisée pour identifier les inductances mutuelles entre les différentes phases de l’induit et de l’inducteur. Ainsi, on a alimenté à chaque fois une des phases du circuit induit par une tension alternative sinusoïdale et on a mesuré les f.e.m. induites dans les autres phases de l’induit. A partir de ces tensions et du courant dans la phase alimentée, et en supposant que les inductances mutuelles sont constantes, il est possible de déduire la valeur de l’inductance en l’identifiant à partir de la relation suivante : 131 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype e1 (t ) = L12 di1 dt (4.1) La même approche a été utilisée pour déterminer les valeurs des inductances mutuelles du circuit inducteur et comme dans le cas des inductances propres, nous avons vérifié qu’elles étaient indépendantes de θ. D’autre part, nous avons travaillé à un faible niveau de saturation pour les considérer constantes en fonction du courant. Les mêmes conditions ont été utilisées avec le modèle numérique. Les résultats obtenus expérimentalement et par le calcul sont présentés dans le tableau (4.4). L12 = L13 = L23 L45 = L46 = L56 Expérience -0,45 -2,46 Eléments finis -0,412 -2,475 Erreur 8.44% 0.61% Tableau (4.4) : Comparaison entre les valeurs des inductances mutuelles mesurées et calculées IV.3.3. Détermination des inductances mutuelles entre les circuits inducteur et induit Dans le cas des inductances mutuelles entre les circuits induit et inducteur, la procédure d’identification est différente. Elle consiste à entraîner le rotor à sa vitesse de synchronisme (50 tr/min) par l’intermédiaire de la MCC et à alimenter une phase de l’enroulement de l’induit par un courant continu unitaire. Une f.e.m. est alors induite dans les différentes phases de l’inducteur. L’acquisition de ces f.e.m induites donne l’image des mutuelles inductances entre les deux circuits. En effet, il est possible, à partir de ces f.e.m, de retrouver l’allure de l’inductance mutuelle : M ij = ∫ eij (t ) dt (4.2) Une procédure similaire est utilisée dans le cas de la modélisation numérique pour déterminer ces mêmes inductances mutuelles. Sur la figure (4.10), on compare M 14 relevée expérimentalement à celle calculée par éléments finis. 132 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 0.8 M 14 ( H ) Expérience MEF 0.6 0.4 0.2 θ° 0 -0.2 0 5 10 15 20 -0.4 -0.6 -0.8 Figure 4.10 : Inductance mutuelle entre les circuits Induit et Inducteur. Comme prévu, cette comparaison montre que cette mutuelle a une allure très proche de la sinusoïde et une période angulaire de 5.14 degrés qui correspond bien à (360/Nr). Par contre, les amplitudes, issues des essais et du modèle numérique (avec prise en compte de la courbe B(H) approximée), sont sensiblement différentes avec une surestimation du modèle numérique. Connaissant la fiabilité du modèle éléments finis utilisé qui a donné pour d’autres applications une assez bonne précision [74-75], nous pensons que cette différence est, a priori, due au flux de fuites en 3D. En effet, la structure que nous étudions présente un diamètre d’alésage plus important par rapport à la longueur utile. Par conséquent, les effets tridimensionnels ne sont apparemment pas négligeables. Il serait donc plus intéressant d’utiliser une modélisation tridimensionnelle de la structure. Cependant, de par la complexité de la géométrie, notamment la représentation des têtes des bobines, et les temps de calculs qui deviennent énormes, nous n’avons pas eu recours à cette modélisation pour vérifier l’hypothèse émise. Enfin, sur la figure (4.11), nous montrons les trois inductances mutuelles entre induit et inducteur qui constituent bien un système triphasé. 0.8 M14 , M15 , M16 (H) 0.6 0.4 0.2 θ° 0 -0.2 0 5 10 15 20 -0.4 -0.6 -0.8 Figure 4.11 : Inductances mutuelles mesurées entre induit et inducteur 133 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.4. Essais à vide Dans ce paragraphe, nous allons caractériser le prototype à vide. Nous déterminons donc les différentes forces électromotrices lorsque le rotor tourne à sa vitesse nominale et que l’enroulement inducteur est alimenté en courant continu puis, en courant alternatif. Dans ce qui suit, nous allons présenter chaque cas en particulier. IV.4.1. Excitation en continu IV.4.1.1. Une seule phase alimentée Dans un premier temps, nous avons commencé par alimenter une seule phase du circuit inducteur, phase « a » figure (4.1), avec un courant continu. Le but de ces essais est de pouvoir appréhender l’état magnétique de la machine. La vitesse de rotation a été fixée de telle sorte que l’excitation étant en continu, la f.e.m induite ait une fréquence de 50Hz. La relation (4.3), qui lie la vitesse de rotation de la machine aux fréquences de l’induit et de l’inducteur, permet de déterminer cette vitesse, soit : Ω= ω −ω ′ Nr (4.3) Dans le cas où le circuit d’excitation est alimenté en continu, ω’ est nulle. Par conséquent, pour une fréquence d’induit de 50 Hz et un nombre de dents rotoriques Nr = 70, la vitesse de rotation doit être de 42,8 tr/mn. Nous avons donc imposé au rotor de la MRV, via la MCC et les réducteurs, cette vitesse de rotation. Nous présentons, sur la figure (4.12) l’évolution de la f.e.m. induite dans une phase, obtenue à partir des essais et du calcul numérique pour un courant d’excitation I’DC = 0,6A. 120 Ev (v ) MEF Expérience 60 t (s) 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 -60 -120 ′ =0,6A DC) Figure 4.12 : f.e.m. induite dans une phase (N=42.8tr/mn, I DC 134 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Comme nous l’avons mentionné dans le cas de l’identification des inductances mutuelles entre circuits induit et inducteur, les formes d’ondes ont une allure sinusoïdale à une fréquence de 50Hz. La légère différence de période est due à la précision de l’acquisition de la vitesse de rotation. L’écart entre les amplitudes des f.e.m., calculées et mesurées, est équivalent à celui observé précédemment sur les mutuelles. Par la suite, nous avons fait varier l’amplitude du courant d’excitation et établi la caractéristique à vide. Nous avons alors, par calcul et expérimentalement, relevé les flux dentaires pour différentes valeurs du courant d’excitation. Ces relevés permettent d’avoir une meilleure connaissance de la distribution de l’induction magnétique. Par ailleurs, ils permettent de confirmer l’hypothèse avancée quant aux écarts constatés sur les f.e.m. induites. Nous montrons, sur les figures (4.13) à (4.16), la distribution de la partie alternative de l’induction magnétique, relevée sur les capteurs notés Cap_2 et Cap_3 sur la figure (4.1), pour deux valeurs du courant d’excitation. De par l’emplacement de ces deux capteurs et la phase alimentée « a », les distributions d’induction visualisées concernent différents niveaux de saturation. Nous donnons, sur les mêmes figures, l’évolution de la partie alternative de l’induction obtenue par le calcul éléments finis. Remarque Les allures expérimentales des différentes inductions dentaires, que nous montrerons ci dessous, ont été déterminées à partir de l’acquisition de la f.e.m induite dans les capteurs concernés. En effet, avec ces capteurs (bobine autour des dents), la composante continue de l’induction magnétique n’est pas mesurable. Nous allons donc comparer dans ce qui suit, uniquement la partie alternative de l’induction dentaire. Dans le cas des calculs issus de la méthode des éléments finis, nous ne garderons que la partie alternative pour la comparaison. 0.5 0.5 Bcap 2 (T ) Expérience 0.3 θ° 2 4 6 8 Expérience MEF 0.3 MEF 0.1 -0.1 0 B cap 2 (T ) 10 12 0.1 -0.1 0 -0.3 -0.3 -0.5 -0.5 θ° 2 4 6 8 10 12 Figure 4.13 : Partie alternative de l’induction dentaire Figure 4.14 : Partie alternative de l’induction dentaire ′ =0.6 A Cap_2 I DC ′ =1A Cap_2 I DC 135 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 0.5 0.5 B cap 3 (T ) MEF Expérience 0.3 0.1 -0.3 0.3 θ -0.1 0 2 B cap 3 (T ) 4 6 8 10 ° 0.1 12 -0.1 0 θ° 2 4 6 8 10 12 MEF -0.3 -0.5 Expérience -0.5 Figure 4.15 : Partie alternative de l’induction dentaire Figure 4.16 : Partie alternative de l’induction dentaire ′ =0.6 A Cap_3 I DC ′ =1A Cap_3 I DC Pour montrer l’influence du courant d’excitation sur la variation de l’induction dentaire, nous avons calculé l’évolution de la valeur efficace de la partie alternative de l’induction du capteur 2 (dent la plus saturée) en fonction de l’amplitude du courant d’excitation de la phase « a ». Nous représentons, sur la figure (4.17) cette caractéristique avec une comparaison entre l’expérience et le calcul. 0.3 B eff _ Cap2 (T ) Expérience 0.25 0.2 0.15 MEF 0.1 0.05 IDC’ ( A ) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Figure 4.17 : Valeur efficace de la partie alternative de l’induction dentaire relative au capteur 2 Nous remarquons que l’induction expérimentale est plus élevée, que celle calculée, dans la partie linéaire et que le phénomène s’inverse dans la partie saturée. Ceci laisse à penser que la caractéristique magnétique B(H) que nous avons caractérisée à partir des échantillons de tôles ne correspond pas exactement à celle du matériau de la structure. Cela peut être dû aux sollicitations mécaniques qu’ont subi les tôles durant l’usinage. Enfin, nous présentons la comparaison entre mesures et calculs de la caractéristique à vide du prototype. 136 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 160 E eff (v) MEF 120 Expérience 80 40 IDC’ (A) 0 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Figure 4.18 : f.e.m à vide excitation continue (une seule phase excitée) On constate, d’après les résultats obtenus, qu’il y a un écart entre l’expérience et le calcul. Cet écart, comme nous le remarquons sur la figure (4.18), augmente d’une manière non linéaire. Contrairement à l’évolution de la valeur efficace de l’induction en fonction du courant d’excitation. La f.e.m. calculée à vide est surestimée par rapport à celle mesurée et ceci sur toute la plage du courant d’excitation. IV.4.1.2. Les trois phases alimentées Dans ce paragraphe, nous allons étudier la caractéristique à vide du prototype lorsque les trois phases du circuit inducteur sont alimentées en continu. La même procédure que précédemment a été effectuée sur le prototype avec les trois phases du circuit inducteur connectées en série afin de garder le même nombre de paires de pôles p ′ . L’excitation est donc en courant continu et comme dans le cas d’une seule phase alimentée, la vitesse de rotation de la MRV est ajustée à 42,8 tr/min. Les résultats obtenus, relatifs à la partie alternative de l’induction dentaire (dans la dent entourée par le capteur Cap_2), à la valeur efficace de la partie alternative de l’induction en fonction du courant d’excitation, aux ' formes d’ondes de la f.e.m et à la caractéristique à vide E = f ( I DC ) sont représentés sur les figures (4.19) à (4.22). 0.5 B cap 2 ( T ) 0.3 MEF Beff Expérience _ cap 2 ( v) 0.3 0.2 0.1 -0.1 0 MEF θ° 2 4 6 8 10 12 0.1 Expérience IDC’(A) -0.3 0 0 -0.5 0.5 1 1.5 Figure 4.19 : Partie alternative de l’induction Figure 4.20: Valeur efficace de la partie alternative de dentaire, Capteur 2, IDC’=0.6 A l’induction dentaire relative au capteur 2 137 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype E v (v) 200 E eff (v ) 140 MEF Expérience 150 120 100 MEF 100 50 0 Expérience 80 t (s) 60 -50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 40 -100 20 -150 0 -200 IDC’(A) 0 Figure 4.21 : f.e.m induite pour IDC’=0.6 A 0.5 1 1.5 Figure 4.22: f.e.m à vide les trois phases alimentées Dans ce cas d’excitation, les flux dentaires sont légèrement déformés. Les f.e.m. induites ont, quant à elles, une forme sinusoïdale de fréquence 50 Hz. Par ailleurs, que ce soit l’induction dentaire ou la f.e.m. induite, les calculs surestiment les amplitudes par rapport aux essais. Enfin, nous observons une caractéristique à vide atypique par rapport à celles des machines ′ ) atteint un maximum entre 0,7 et 0,8A puis synchrones classiques. En effet, la courbe E( I DC commence à décroître. Ce phénomène est plus marqué sur la courbe calculée mais il est tout aussi visible sur la courbe mesurée. Des résultats similaires avaient été constatés dans la référence [12] sur une structure excitée par du courant continu au stator. Ce phénomène peut être expliqué par le fait qu’à partir d’un certain seuil de saturation des dents, l’entrefer résultant augmente (la perméabilité d’une partie des dents se rapproche de celle de l’air). Par conséquent, pour une même source de f.m.m., le flux est atténué, ce qui diminue la valeur de la f.e.m. A titre d’illustration, nous montrerons sur la figure (4.23) l’évolution de l’induction dentaire relative au capteur Cap_2, obtenue par le calcul éléments finis, lorsque les trois phases de circuit inducteur sont mises en série et alimentées avec un courant continu de 0.6 A. Sur la figure (4.24) nous présenterons l’évolution de maximum d’induction en fonction du courant d’excitation. On constate que la dent concernée sature pour une induction de l’ordre de 1.4 T. Bcap2 (T) 2 1.6 Bmax_cap2 (T) 1.6 1.2 1.2 0.8 0.8 0.4 θ° 0 0 2 4 6 8 10 12 0.4 IDC ’ (A) 0 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Figure 4.23 : L’évolution de l’induction dentaire Figure 4.24 : L’évolution de maximum d’induction en relative au capteur Cap_2, IDC’=0.6 A - MEF fonction du courant d’excitation - MEF 138 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.4.2. Excitation en alternatif Dans cette dernière caractérisation à vide, le circuit d’excitation est alimentée en alternatif triphasé à la fréquence précédemment déterminée, soit : f’ =8,33 Hz. Les trois phases du circuit inducteur sont alors connectées en étoile et alimentées par l’intermédiaire d’un onduleur à MLI. Le rotor de la MRV est quant à lui entraîné à la vitesse nominale (50 tr/mn) afin d’induire des f.e.m d’une fréquence de 50 Hz dans les bobinages du circuit induit. La figure (4.25) montre l’évolution de la f.e.m induite dans la phase « A » pour un courant d’excitation de 1.2A d’amplitude. Sur cette figure, la courbe calculée est comparée à celle issue de l’expérience. 250 Ev (v) MEF Expérience 150 50 t (s) 0 -50 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -150 -250 Figure 4.25 : f.e.m induite pour I ′ =1.2 A max/8.33Hz Les premières constations font remarquer que les f.e.m. sont sinusoïdales de fréquence 50 Hz, aux incertitudes près sur la vitesse de rotation du banc d’essais. Les harmoniques de haute fréquence qui entachent la f.e.m expérimentale sont dus à la fréquence de découpage de l’onduleur à MLI comme le montre la forme d’onde du courant relevé expérimentalement. On ne les retrouve évidemment pas sur la courbe calculée où les courants inducteurs sont supposés parfaitement sinusoïdaux. Enfin, comme dans les deux cas d’excitation étudiés précédemment, les calculs surestiment l’amplitude de la f.e.m. induite. Par contre, nous avons simulé et relevé la f.e.m. induite sur un grand nombre de périodes. La figure (4.26) donne l’allure expérimentale obtenue pour un courant d’excitation de 0.5 A eff. Nous remarquons alors que la f.e.m. est entachée d’un harmonique basse fréquence. Celui-ci est nettement plus visible sur la courbe expérimentale que sur celle issue des calculs figure (4.27). 139 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 200 200 E v (v) 150 150 100 100 50 t (s) 50 t (s) 0 0 -50 0 E v (v ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -50 0 -100 -100 -150 -150 -200 -200 Figure 4.26 : f.e.m induite Expérience 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figure 4.27 : f.e.m induite MEF avec alim tension Cet harmonique étant plus prépondérant sur les relevés expérimentaux, nous avons alors effectué une étude harmonique sur le courant d’excitation délivré par l’onduleur à MLI ainsi que sur la f.e.m. induite. Les spectres harmoniques de ces courbes, obtenus par un l’analyseur de spectre, sont donnés sur les figures (4.28) et (4.29). [Courant d'excitation/20 ] A eff 10 m 5m 1m 500 m 100 m 50 m 10 m f réquence (Hz) Figure 4.28 : Spectre harmonique du courant d’excitation délivré par l’onduleur à MLI sur un bobinage . inducteur 1 [f e m à vide/200 ] v eff 500 m 100 m 50 m 10 m 5m 1m 500 m f réquence (Hz) Figure 4.29 : Spectre harmonique de la f.e.m. induite relative au courant d’excitation ci dessus 140 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype Le spectre du courant d’excitation montre que la raie à 8,33 Hz est prépondérante et que les autres harmoniques ont des amplitudes tout à fait négligeables. Par contre, sur celui de la f.e.m., nous remarquons, qu’en plus du fondamental à 50 Hz, un harmonique d’une fréquence de 8,33Hz, d’une amplitude non négligeable, est également présent sur le signal. Le courant d’excitation délivré étant à la bonne fréquence et dénué d’harmoniques, ceci implique que l’harmonique de fréquence 8,33Hz de la f.e.m. induite est, a priori, dû à des causes structurelles. En fait, de par l’emplacement des circuits induit et inducteur qui sont tous les deux localisés au stator, le circuit magnétique de la machine, en plus de l’effet réluctant, joue également le rôle de circuit magnétique d’un transformateur. Par conséquent, le signal basse fréquence du circuit inducteur se retrouve au niveau du circuit de l’induit qui joue le rôle du secondaire du transformateur. Un calcul élémentaire entre l’amplitude de l’harmonique basse fréquence d’induit et le fondamental de la tension du circuit inducteur a montré qu’il y avait un rapport se rapprochant de celui des nombres de spires entre les deux bobinages. Enfin, la caractéristique à vide a été tracée en faisant varier l’amplitude du courant d’excitation. La figure (4.30) montre la comparaison entre la caractéristique calculée par le modèle numérique et celle issue des mesures. Comme dans le cas des autres modes d’excitation par courant continu, les calculs surestiment les amplitudes des f.e.m induites. De plus, la caractéristique à vide décrit la même allure que précédemment, à savoir un passage par un maximum puis une décroissance en fonction du courant d’excitation. 250 E v _ max(v ) MEF 200 150 Expérience 100 50 I’(A) 0 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Figure 4.30 : f.e.m à vide IV.5. Essai à rotor bloqué (transformateur) Suite aux résultats du dernier paragraphe, cet essai consiste à observer l’effet transformateur de la machine et ce en étudiant son comportement lorsqu’on alimente un des deux circuits à rotor bloqué. 141 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype L’inductance propre du circuit inducteur étant approximativement six fois plus élevée que celle du circuit induit -voir tableau (4.3)-, nous avons choisi d’alimenter l’induit afin d’atteindre des courants élevés dans ‘le primaire’ du transformateur. La première phase de l’enroulement de l’induit, notée « A », est considérée comme le primaire figure (4.1) et la première phase de l’enroulement de l’inducteur notée « a » comme le secondaire. La position du rotor a été choisie pour obtenir dans le secondaire la f.e.m la plus élevée possible. La caractéristique donnant la tension secondaire en fonction du courant primaire est relevée. Le résultat obtenu est comparé à celui du calcul numérique (MEF) sur la figure (4.31). 500 Emax(v) 400 Expérience MEF 300 200 100 I(A) 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figure 4.31 : Essai à rotor bloqué (f.e.m induite) Sur la figure (4.32), on a représenté l’allure de la f.e.m induite pour un courant I=1.4 A eff. Pour la même valeur du courant, la figure (4.33) montre l’évolution de l’induction dans la dent entourée par le capteur noté Cap_2 figure (4.1). Sur les mêmes figures, on compare les résultats expérimentaux à ceux obtenus par la simulation basée sur les éléments finis. 400 0.8 MEF Expérience E (v) 300 0.6 200 0.4 100 0.2 t (s) 0 -100 0 EMF et Expérience se confondent B_cap2 (T) 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.2 0 -200 -0.4 -300 -0.6 -400 -0.8 Figure 4.32 : f.e.m à vide I=1.4 A /50Hz t (s) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Figure 4.33 : Induction dentaire Cap2 I=1.4 A /50Hz 142 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.6. Etude en charge IV.6.1. Essai en court circuit Après avoir effectué l’étude à vide, nous allons, dans ce paragraphe, nous intéresser au fonctionnement en générateur. Le premier essai que nous avons effectué est celui classique du court circuit de l’induit. Nous avons alors procédé à deux expériences. La première a consisté à alimenter le circuit d’excitation en continu, le rotor étant entraîné à 42,8 tr/mn puis nous avons court-circuité les phases d’induit montés en étoile. Les courbes obtenues à partir de l’expérience et des calculs par éléments finis dans les mêmes conditions sont données sur la figure (4.34). Nous constatons que les courants, dans les deux cas, sont sinusoïdaux, de fréquence 50 Hz. Par contre, comme on pouvait le prévoir, les amplitudes sont faibles avec une nette surestimation du courant par le modèle numérique. Les faibles amplitudes sont dues essentiellement à la faible amplitude de la f.e.m. induite conjuguée aux valeurs élevées des inductances du circuit d’induit. Le même essai a été effectué avec le circuit inducteur alimenté en triphasé à la fréquence de 8,33 Hz et le rotor entraîné à 50 tr/mn. Les résultats issus du banc d’essais et du modèle sont donnés à la figure (4.35). Les amplitudes des courants sont encore plus faibles que dans le cas de l’excitation en continu. Par ailleurs, si les courants obtenus par le calcul sont pratiquement sinusoïdaux à la bonne fréquence (50 Hz), ceux obtenus de l’expérience admettent un harmonique basse fréquence d’une grande amplitude. Ceci s’explique par la présence de l’harmonique de fréquence 8,33 Hz dans la f.e.m. induite. Une fois les phases d’induit courtcircuitées, l’impédance, vue par l’harmonique basse fréquence de la f.e.m. induite est nettement plus faible que celle vue par le fondamental de cette même f.e.m. Ceci a pour conséquence l’instauration d’un harmonique de courant de fréquence 8,33 Hz avec une forte amplitude. 143 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 0.6 Icc (A) 0.6 Expérience 0.4 Icc (A) Expérience MEF MEF 0.4 0.2 0.2 t (s) 0 t (s) 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Figure 4.34 : Excitation continue IDC’=0.75A, courant Figure 4.35 : Excitation I’=0.7A/8.33Hz, courant de de CC dans une phase d’induit - N=42.8 tr/min CC dans une phase d’induit - N=50 tr/min Afin de vérifier cette hypothèse, nous avons effectué une analyse harmonique sur le courant de court-circuit expérimental représenté sur la figure (4.36). Nous remarquons, qu’en plus du fondamental, l’amplitude de l’harmonique à 8,33 Hz a une amplitude non négligeable. Un calcul trivial montre que l’amplitude de cet harmonique est égal au rapport entre l’harmonique de tension et la valeur de la réactance à 8,33 Hz. [courant de court-circuit/20 ] A eff 10 m 5m 1m 500 m 100 m 50 m 10 m f réquence (Hz) Figure 4.36 : Spectre harmonique du courant de court-circuit dans une phase d’induit N=50 tr/min IV.6.2. Débit sur une charge capacitive Pour pouvoir compenser la réactance synchrone, nous avons fait débiter la génératrice sur une charge capacitive. Le montage réalisé est présenté sur la figure (4.37). L’impédance correspondant au condensateur C est choisie égale à l’impédance relative à l’inductance 144 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype propre d’un enroulement de l’induit. Ceci conduit à la résonance du circuit, ce qui permet d’augmenter le courant débité et par conséquent la puissance active fournie. Excitation Ω Ω MCC C R Génératrice VERNIER Figure 4.37 : Débit sur une charge capacitive Les résultats obtenus, avec les deux natures d’excitation, sont présentés sur la figure (4.38). 250 P (W) 200 I’=1.2A (AC) 150 100 I’DC=0.8A (DC) 50 I efficace (A) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Figure 4.38 : Puissance active débitée sur la charge Avec une excitation continue, le maximum de puissance active débitée est de 130 W (pour les 3 phases) et le courant dans un enroulement de l’induit est de 1.2 A. Avec une excitation alternative la puissance active maximale atteinte est de 215 W sous un courant de 1.4 A. IV.7. Etude du fonctionnement moteur Le fonctionnement en moteur de la structure a été étudié pour les deux types d’excitation (continue et alternative). IV.7.1. Moteur excité en continu IV.7.1.1. Essai à vide Dans cet essai, la MRV est désaccouplée de la machine à courant continu. Les trois phases du 145 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype circuit d’excitation sont connectées en série en respectant toujours le même nombre de pôles d’inducteur p ′ . Elles sont alimentées par une source de tension continue qui délivre un courant de 0,8A. Les trois phases de l’induit sont, quant à elles, alimentées par une source variable de tension triphasée à la fréquence de 50Hz. Pour une tension simple de 433 volt efficace, la machine s’accroche au réseau et le rotor tourne au synchronisme à une vitesse de 42,8 tr/mn. Les formes d’onde relatives à la tension et au courant dans l’induit ont été relevées. Elles sont données sur la figure (4.39). 700 700 V(v), I (A) V 500 V 500 300 300 100 -100 0 -300 V(v),I (A) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t (s) 100 0.06 -100 0. t (s) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -300 200*I -500 -500 -700 -700 200*I Figure 4.39 : Fonctionnement à vide en moteur Figure 4.40 : Fonctionnement à vide en moteur Excitation continue, V et I expérimentales Excitation continue, V et I calculées En relevant, via un capteur de position, le déphasage entre la f.e.m à vide et la tension d’alimentation, nous avons pu configurer l’alimentation dans le code éléments finis en prenant en considération le couplage circuit. Cette configuration permet de représenter le même point de fonctionnement que l’expérience. Le résultat obtenu par le calcul, qui donne le courant instantané dans les enroulements de l’induit, est représenté sur la figure (4.40). La puissance consommée à vide ainsi que le facteur de puissance, obtenus expérimentalement et par calcul, sont regroupés dans le tableau (4.5). Expérience 83.45 Calcul (MEF) 112.22 Facteur de puissance 0.15 0.079 Courant efficace (A) 0.92 1.1 Puissance active (W) Tableau (4.5) : Comparaison des résultats entre mesures et calculs. Fonctionnement moteur à vide, excitation DC. 146 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.7.1.2. Essai en charge Dans un premier temps, la MRV et la machine à courant continu étant couplée mécaniquement, nous avons effectué un essai pour déterminer les pertes mécaniques du banc. Dans cet essai, la MCC n’est pas excitée. La MRV est, quant à elle, alimentée et accrochée au réseau. Le rotor a donc une vitesse de 42,8tr/mn. La puissance consommée par la machine à réluctance variable équivaut aux pertes totales du banc, c’est-à-dire la puissance que doit fournir la MRV pour assurer l’unique rotation du banc. Expérience 320.15 Puissance active (W) Facteur de puissance 0.25 Courant efficace (A) 0.99 Tableau (4.6) : Comparaison des résultats entre mesures et calculs. Fonctionnement moteur en charge, excitation DC. Dans un deuxième temps, la machine à courant continu a été excitée et son induit connecté à une charge résistive. La puissance maximale débitée dans la résistance avant que la MRV ne décroche est de 100 W. Le relevé du courant et de la tension consommés par l’induit pour le point de décrochage est donné sur la figure (4.41). 700 V(v),I (A) V 500 300 100 -100 0 t (s) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -300 -500 200*I -700 Figure 4.41 : Fonctionnement en charge en moteur Excitation continue, V et I expérimentales Par conséquent, la puissance maximale fournie par la MRV est de l’ordre de 337 W (Puissance débitée sur la résistance + puissance nécessaire à la rotation du banc – pertes relatives à la seule MRV), avec un facteur de puissance qui vaut 0.39. 147 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype IV.7.2. Moteur excité en alternatif IV.7.2.1. Essai à vide La MRV étant désaccouplée du reste du banc, nous l’avons accrochée sur le réseau. Le circuit inducteur a été d’abord alimenté en triphasé, à une fréquence de 8,33Hz et un courant de ligne maximal I’max = 0,6A. Ensuite, nous avons alimenté l’induit à partir du réseau avec une tension simple de 430 V efficace, 50Hz. A cette fréquence, la vitesse de synchronisme est de 50 tr/min. Les formes d’onde expérimentales du courant et de la tension de phase sont représentées sur la figure (4.42). 700 V(v),I (A) V 500 300 t (s) 100 -100 0 -300 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 200*I -500 -700 Figure 4.42 : Fonctionnement à vide en moteur. Excitation alternative, V et I expérimentales Dans le tableau (4.7), on regroupe les valeurs mesurées de la puissance active, du facteur de puissance et du courant efficace consommé par le bobinage de l’induit. Puissance active (W) Expérience 90 Facteur de puissance 0.14 Courant efficace (A) 0.8 Tableau (4.7) : Résultats expérimentaux. Fonctionnement moteur à vide, excitation triphasée. IV.7.2.2. Essai en charge Dans cet essai, la MRV est accouplée au multiplicateurs de vitesse et à la MCC. Cette dernière entraîne le banc à la vitesse de synchronisme. Ensuite, une fois l’inducteur de la 148 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype MRV alimenté à la bonne fréquence, on accroche cette dernière au réseau sous une tension de phase de 430 volt efficace. Par la suite, la MCC est déconnectée de son alimentation et la MRV entraîne le banc au synchronisme. Pour ce point de fonctionnement, la puissance débitée par la MRV représente la puissance nécessaire à l’entraînement du banc qui est de l’ordre de 210 W. L’évolution de la tension d’une phase et du courant correspondant, obtenues expérimentalement sont montrées sur figure (4.43). 700 V(v),I (A) V 500 300 100 -100 -300 t (s) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 200*I -500 -700 Figure 4.43 : Fonctionnement en charge en moteur. Excitation alternative, V et I expérimentales Le facteur de puissance ainsi que la puissance mesurée et le courant absorbé sont donnés dans le tableau (4.8). Puissance active (W) Expérience 300 Facteur de puissance 0.28 Courant efficace (A) 0.88 Tableau (4.8) : Résultats expérimentaux. Fonctionnement moteur en charge, excitation triphasée Sur la figure (4.44) ci-dessous, nous avons représenté la forme d’onde du courant de phase, en régime permanent, lors du fonctionnement en moteur. Nous pouvons constater la présence d’un harmonique à la fréquence de 8,33 Hz. 149 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype 1.5 I (A) 1 0.5 t (s) 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -0.5 -1 -1.5 Figure 4.44 : Courant d’une phase d’induit, Moteur à en charge, excitation alternative (Expérience) IV.7.2.3. Calcul de la caractéristique en charge en fonctionnement moteur Les essais, en fonctionnement moteur, ont été effectués en boucle ouverte. L’angle de charge entre la f.e.m à vide et le courant d’induit n’est pas contrôlé. Dans le cas de la MRV étudiée, il est relativement délicat de pouvoir contrôler cet angle. En effet, la passage par un maximum de la f.e.m. induite est tributaire de deux paramètres, la position angulaire et le passage par zéro de la tension et du courant inducteur. Nous avons mené une étude, qualitative, sur la puissance que pourrait délivrer la MRV étudiée en fonctionnement moteur lorsque l’angle entre la f.e.m. à vide et la tension d’alimentation des phases est imposée. Cette étude a été effectuée en utilisant le modèle numérique dans les conditions suivantes. Le circuit d’excitation est alimenté par des tensions triphasées, de fréquence 8,33 Hz et d’une valeur efficace de 380 V. Le circuit induit est alimenté également par des tensions triphasées de fréquence 50 Hz et d’amplitude 380 V. La vitesse de rotation est constante et égale à la vitesse de synchronisme (50 tr/min). Pour chaque point de fonctionnement, nous imposons l’angle δ entre la tension appliquée au circuit induit et la f.e.m. à vide. Nous montrons, sur la figure (4.45), l’allure du courant d’induit lorsque l’angle δ est de 135 °. 4.5 160 I (A) Ce (Nm) 120 3 1.5 80 t (s) 0 -1.5 0 40 0.05 0.1 0.15 0.2 δ 0 -3 -40 -4.5 -80 0 50 100 150 200 250 Figure 4.45 : Courant dans une phase de l’induit Figure 4.46 : Evolution du couple en fonction de obtenue par la MEF l’angle de charge MEF 150 CHAPITRE IV - Etude expérimentale d’un prototype La figure (4.46) donne, quant à elle, l’évolution du couple électromagnétique de la machine en fonction de l’angle δ. Nous constatons que cette caractéristique est similaire à celle d’une machine synchrone et elle passe par un maximum pour une valeur de 135 degrés. Par ailleurs, le couple maximal généré est de l’ordre de 128 Nm, ce qui correspond à une puissance mécanique de 670 W. Il est évident que, de par les différentes surestimations des grandeurs électriques déjà constatées sur les résultats de calcul, les performances du prototype réel seraient moindres. Cependant, cette caractéristique donne un ordre de grandeur de la puissance que pourrait délivrer la structure dans le cas où l’angle de charge serait contrôlé. IV.8. Conclusion Cette dernière partie de notre travail a consisté en l’étude d’un prototype à puissance réduite d’une machine à réluctance variable de type Vernier. Ce prototype a été conçu avec une combinaison sur N r , N s , p et p ′ qui aboutisse à une structure à une seule action du couple (simple action, paragraphe I.3.3.1.2) et symétrique (paragraphe II.4.3.1). Les résultats obtenus par l’étude expérimentale ont montré que la MRV Vernier, qu’elle soit excitée en continu ou en alternatif, se comporte comme une machine synchrone classique. En effet, nous avons pu l’accrocher au réseau sous la vitesse de synchronisme et pour les deux types d’excitation. La présence d’un harmonique, de même fréquence que le courant inducteur, dans les grandeurs du circuit d’induit constitue l’un des problèmes que nous avons rencontrés sur ce prototype. Ceci est d’autant plus curieux du fait que cet harmonique est nettement plus accru dans le cas des grandeurs expérimentales. Des travaux plus approfondis devraient être menés à la suite de ce mémoire pour expliquer la présence de cet harmonique qui constitue, pour l’instant, le principal inconvénient de la structure. Un autre inconvénient est lié à la puissance débitée. En effet, vu la puissance réduite de la machine fabriquée, les inductances propres des différents enroulements, et particulièrement celle de l’inducteur, sont importantes. Cette contrainte a empêché de mettre en valeur le fonctionnement génératrice de la structure par un débit conséquent de puissance. Pour cette raison la construction d’un prototype d’une puissance de 10kW, comme l’a fixé le cahier des charges (paragraphe II.4.1), est envisagée par notre laboratoire. 151 CONCLUSION GENERALE Conclusion Générale Conclusion générale Notre travail de recherche a consisté à concevoir, modéliser et étudier une machine électrique pour des applications à fort couple et faible vitesse (de l’ordre de 50 tr/min). L’application visée étant l’utilisation dans une centrale éolienne à moyenne puissance et à attaque directe. Cette solution permet d’éliminer d’une part le multiplicateur de vitesse, qui représente une source de pannes assez fréquentes, et d’autre part d’augmenter la puissance volumique de l’installation. Nous avons retenu, pour notre étude, une machine à réluctance variable (MRV) de type Vernier excitée. En effet, de par son principe, cette structure peut fonctionner à de faibles vitesses et forts couples avec un nombre de paires de pôles réduit. Par ailleurs, l’adjonction d’un système d’excitation permet d’améliorer son facteur de puissance. Enfin, elle a un fonctionnement synchrone similaire à celui d’une machine synchrone à pôles lisses associée à un multiplicateur électromagnétique de vitesse. Le circuit d’excitation d’une MRV Vernier peut se situer indifféremment au stator ou au rotor et être alimenté de différentes manières. Dans notre cas, nous avons opté pour un circuit d’excitation constitué d’un second bobinage triphasé au stator. Cette configuration permet, d’une part, d’éviter les contacts glissants, et d’autre part, de doter la machine de deux degrés de liberté supplémentaires, courant et fréquence d’excitation, pouvant être utilisés dans la commande. Le fonctionnement synchrone des MRV Vernier excitées repose sur un choix particulier de la denture et de la polarité des bobinages. Ce choix ne peut se faire sans des considérations théoriques, qui permettent de trouver la bonne combinaison relative à la conversion électromécanique. Le premier chapitre de ce mémoire a été consacré à une étude énergétique et une classification des MRV hétéropolaires. Sous des hypothèses simplificatrices, perméabilité infinie du circuit magnétique réluctance constante sous les différents pôles, un modèle énergétique a été établi. Ce modèle analytique, basé sur l’énergie magnétique dans l’entrefer exprimée en fonction de la perméance d’entrefer et la différence de potentiel nous a permis de déterminer les conditions nécessaires au fonctionnement synchrone des MRV Vernier. 152 Conclusion Générale Après le choix d’une structure remplissant les caractéristiques de fonctionnement désirées, nous avons, dans la deuxième partie du premier chapitre, proposé une méthodologie de prédimensionnement d’une MRV Vernier excitée par des courants alternatifs au stator. Cette méthodologie, s’inspire des règles de dimensionnement utilisées pour les machines synchrones. Dans notre travail, nous avons adapté ces règles au cas des MRV et nous avons élaboré un programme informatique de dimensionnement. Afin de pouvoir tester les performances de plusieurs structures Vernier, nous avons introduit, dans le chapitre II, divers modèles d’étude. Les deux premiers, analytique et semi-analytique sont identiques hormis pour les différents harmoniques structurels (liés à la géométrie de l’entrefer et de la distribution des enroulements) qui sont pris en compte dans le modèle semianalytique. Un troisième modèle, semi-analytique étendu a également été développé. Il permet de prendre en compte, en plus des différents harmoniques de géométrie et de bobinages, l’éventuelle variation des réluctances sous les pôles. Ces trois modèles répondent à l’hypothèse d’une perméabilité infinie du circuit magnétique. Leur précision est donc limitée mais ils permettent de réaliser des pré-études rapides des performances d’une MRV Vernier. Un dernier modèle, numérique basé sur la méthode des éléments finis en 2D couplé aux équations du circuit électrique, a également été utilisé pour étudier les caractéristiques des MRV. Ce modèle, qui prend en considération la non linéarité des matériaux magnétiques, permet de quantifier l’effet de la saturation sur les performances des machines. De ce fait, il aboutit à des résultats nettement plus précis que les approches analytiques avec néanmoins des temps de calculs beaucoup plus élevés. Ces différents modèles ont été mis en œuvre pour étudier différentes structures de MRV Vernier excitées. Ils nous ont permis de valider des conditions supplémentaires sur le fonctionnement des MRV et de dissocier deux catégories de machines que nous avons appelées : structures symétriques et dissymétriques. Suite à ces études, nous avons retenu une machine symétrique. Elle contient 70 dents au rotor, 72 dents au stator, 6 paires de pôles d’induit et 4 paires de pôles d’inducteur. Les alimentations des deux circuits se font à des fréquences de 50Hz et 8.33Hz pour une vitesse de rotation synchrone de 50 tr/min. Afin d’optimiser la structure choisie, nous avons développé une méthode d’optimisation basée 153 Conclusion Générale sur l’algorithme génétique. Dans le troisième chapitre, cette méthode a été testée puis appliquée à la structure avec le modèle semi-analytique. Ce modèle a été choisi pour limiter les temps de calculs qui auraient été trop longs avec la méthode des éléments finis. Le comportement du couple électromagnétique en fonction des ouvertures dentaires a été étudié. Bien que dans la littérature de ces machines on trouve un ordre d’ouverture conseillé, nous avons constaté que ces ouvertures peuvent être pour certaines structures une cause importante d’ondulation du couple. L’optimisation, par l’algorithme génétique, a été effectuée et a donné des résultats qui se trouvent dans l’intervalle préconisé. Par contre, les ouvertures issues de l’optimisation sont différentes entre les deux armatures. Dans le but de comparer l’étude théorique, un prototype de la structure retenu à puissance réduite a été réalisé. Ce prototype a confirmé l’étude théorique du point de vue fonctionnement synchrone de la MRV Vernier et son comportement semblable à une machine synchrone classique. Cependant, le fonctionnement en génératrice n’a pas montré des résultats intéressants en termes de puissance fournie. En effet, le prototype étant de puissance réduite, les réactances synchrones sont très élevées, ce qui constitue un handicap pour le fonctionnement en génératrice. En perspective à nos travaux, nous pensons qu’il serait intéressant, dans les dimensionnements futurs, de prendre en compte l’effet de la saturation de la machine par un coefficient multiplicateur tant au niveau des ampère-tours que dans celui des dimensions géométriques. Il serait tout aussi intéressant de doter le prototype construit d’une commande afin de quantifier ses performances en fonctionnement moteur autopiloté. Enfin, suite à notre étude, nous pensons qu’il serait bénéfique de choisir une fréquence pour l’excitation plus élevée que celle que nous avons adoptée. 154 ANNEXES Annexe 1 Annexe 1 Coefficients permettant le calcul de la perméance d’entrefer, voir référence [13]. E0 = Es = Er = emin ( 1 ps pr p . p ( p + pr + 2emin ) rds + rdr + r s s rds rdr 1 + + pr + ps emin + pr (emin + ps )(emin + pr )emin emin + ps emin (e min Es _ r = (e ps + pr + ps pr + pr + ps min pr ( ps + pr + 2emin ) rdr 1 + (e ps )emin min + )(e min 2 + pr ) π )(e min 2 ps ( ps + pr + 2emin ) 1+ r (emin + pr ) emin ds + ps ) π 4 pr . ps ( ps + pr + 2emin ) + pr + ps )(emin + ps )(emin + pr ) emin π ² (A1.1) (A1.2) (A1.3) (A1.4) ej = 1 sin ( j rds π ) j (A1.5) em = 1 sin (m rdr π ) m (A1.6) rds = l ds l = ds l ds + l es λ s (A1.7) rdr = l dr l = dr l dr + l er λ r (A1.8) Annexe 2,3 et 4 Annexe 2 MRV double denture non excitée Expression de l’énergie dans l’entrefer Le développement de l’expression de l’énergie magnétique dans l’entrefer, pour une MRV à double denture non excitée (voir paragraphe I.3.1) donne : Wem = 1 = 2 2π ∫{ 0 2π 1 ε T2 P(θ s ,θ ) dθ s ∫ 2 0 1 2 1 2 1 2 ε max P0 + ε max Ps cos N sθ s + ε max Pr cos( N r (θ s − θ )) 2 2 2 11 2 P1s _ 1r ε max cos[( N s + N r )θ s − N rθ ] 22 11 2 P1s _ 1r ε max cos[( N s − N r )θ s + N rθ ] + 22 1 2 P0 cos( 2ωt − 2 pθ s ) + ε max 2 1 2 1 + ε max P1s [cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s )) + cos(2ωt + θ s (−2 p − N s ))] 2 2 1 2 1 P1r [cos(2ωt + θ s ( −2 p + N r ) − N rθ ) + cos( 2ωt + θ s ( −2 p − N r ) + N rθ ] + ε max 2 2 1 2 1 1 P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s + N r ) − N rθ ) + ε max 2 2 2 1 2 1 1 P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p − N s − N r ) + N rθ ) + ε max 2 2 2 1 2 1 1 P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p + N s − N r ) + N rθ ) + ε max 2 2 2 1 2 1 1 P1s _ 1r cos(2ωt + θ s ( −2 p − N s + N r ) − N rθ ) }dθ s + ε max 2 2 2 + = Wme 0 + f 1 + g 1 + g 2 + g 3 + f 2 + f 3 + f 4 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 + g 9 Annexe 2,3 et 4 Annexe 3 MRV double denture excitée Expression de l’énergie dans l’entrefer On pose : 2 ε max δ = 2 + '2 ε max 2 l = ω + ω' j = Ns + Nr m= p+ p k = Ns − Nr n = ω −ω' q = p − p' L’énergie magnétique s’exprime par : Wem = 2π 1 1 ε T2 P(θ s ,θ )dθ s = {δ P0 ∫ 20 2 + δ P1s cos N sθ s + δ P1r cos( N r (θ s − θ )) + + + δ P1s _ 1r 2 δ P1s _ 1r 2 ε2 max 2 cos( Jθ s − N rθ ) cos(Kθ s + N rθ ) P0 cos(2ω t − 2 pθ s ) 1 ε max P1s [cos(2ω t − θ s ( 2 p − N s )) + cos(2ω t − θ s (2 p + N s ))] + 2 2 2 1 ε max P1r [cos(2ω t − θ s (2 p − N r ) − N rθ ) + cos( 2ω t − θ s ( 2 p + N r ) + N rθ )] + 2 2 2 1 ε max 1 P1s _1r [cos(2ω t − θ s ( 2 p − J ) − N rθ ) + cos(2ω t − θ s (2 p + J ) + N rθ )] + 2 2 2 2 1 ε max 1 P1s _1r [cos(2ω t − θ s ( 2 p − K ) + N rθ ) + cos(2ω t − θ s (2 p + K ) − N rθ )] + 2 2 2 2 Annexe 2,3 et 4 + ε '2 P0 cos(2ω ′t − 2 p′θ s + 2ap'θ ) max 2 1ε + max P1s [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − N s ) + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + N s ) + 2ap'θ )] 2 2 '2 1ε + max P1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − N r ) − N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + N r ) + N rθ + 2ap'θ )] 2 2 '2 1ε 1 + max P1s _1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − J ) − N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + J ) + N rθ + 2ap'θ )] 2 2 2 '2 1ε 1 + max P1s _1r [cos(2ω ′t − θ s (2 p′ − K ) + N rθ + 2ap'θ ) + cos(2ω ′t − θ s (2 p′ + K ) − N rθ + 2ap'θ )] 2 2 2 '2 +ε max ε ' P0 cos(l t − mθ s + ap 'θ ) max 1 + ε ε ' P1s [cos(l t − θ s ( m − N s ) + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + N s ) + ap 'θ )] 2 m m 1 + ε ε ' P1r [cos(l t − θ s ( m − N r ) − N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s ( m + N s ) + N rθ + ap 'θ )] 2 m m ' 1 ε max ε max P1s _ 1r [cos(l t − θ s (m − J ) − N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + J ) + N rθ + ap'θ )] + 2 2 ' 1 ε max ε max P1s _ 1r [cos(l t − θ s (m − K ) + N rθ + ap 'θ ) + cos(l t − θ s (m + K ) − N rθ + ap 'θ )] + 2 2 +ε max ε ' P0 cos(nt − qθ s − ap 'θ ) max 1 + ε ε ' P1s [cos(nt − θ s (q − N s ) − ap 'θ ) + cos(nt − θ s ( q + N s ) − ap'θ )] 2 max max 1 + ε ε ' P1r [cos(nt − θ s (q − N r ) − N rθ − ap 'θ ) + cos(nt − θ s (q + N s ) + N rθ − ap 'θ )] 2 max max ' 1 ε max ε max P1s _ 1r [cos(nt − θ s (q − J ) − N rθ − ap 'θ ) + cos( nt − θ s (q + J ) + N rθ − ap 'θ )] + 2 2 ' 1 ε max ε max P1s _ 1r [cos(nt − θ s (q − K ) + N rθ − ap 'θ ) + cos(nt − θ s ( q + K ) − N rθ − ap 'θ )]}dθ s + 2 2 Annexe 2,3 et 4 Annexe 4 MRV simple denture excitée Expression de l’énergie dans l’entrefer Le développement de l’énergie magnétique dans l’entrefer, relatif au paragraphe 1.3.3.2, aboutit à l’expression suivante : Wem = 1 2 2π ∫ 0 ε T2 P(θ s ,θ )dθ s = 1 2 2π ∫ 0 2 '2 ε max ε max P0 + 2 2 ε2 ε '2 + max + max P1r cos(N r (θ s − θ )) 2 2 2 ε max P0 cos(2ωt − 2 pθ s ) + 2 2 1 ε max P1r cos(2ωt − θ s (2 p − N r ) − N rθ ) + 2 2 2 1 ε max P1r cos(2ωt − θ s (2 p + N r ) + N rθ ) + 2 2 ε '2 + max P0 cos(2ω ' t − 2 p'θ s + 2ap'θ ) 2 '2 1 ε max P1r cos(2ω ' t − θ s (2 p'− N r ) − N rθ + 2ap'θ ) + 2 2 '2 1 ε max P1r cos(2ω ' t − θ s (2 p'+ N r ) + N rθ + 2ap'θ ) + 2 2 ' P0 cos((ω + ω ' )t − ( p + p' )θ s + ap'θ ) + ε maxε max 1 ' P1r cos((ω + ω ' )t −θ s( p + p'− N r ) − N rθ + ap'θ ) + ε maxε max 2 1 ' P1r cos((ω + ω ' )t −θ s( p + p'+ N r ) + N rθ + ap'θ ) + ε maxε max 2 ' P0 cos((ω − ω ' )t − ( p − p' )θ s − ap'θ ) + ε maxε max 1 ' P1r cos((ω − ω ' )t −θ s( p − p'− N r ) − N rθ − ap'θ ) + ε maxε max 2 1 ' P1r cos((ω − ω ' )t −θ s( p − p'+ N r ) + N rθ − ap'θ ) + ε maxε max 2 } dθ s Annexe 5 Annexe 5 Discrétisation par éléments finis Dans le cas de la MEF, la résolution de l’équation (2.43), du chapitre II, passe par une première étape qui la transforme d’une équation aux dérivées partielles à une équation sous forme intégrale. Ce résultat pourra être obtenu par l’utilisation de la méthode des résidus pondérés. La forme intégrale obtenue s’écrit : W = ∂A − J 0 Z dΩ ∂t ∫∫υ ( grad ψ .grad A) dΩ + ∫∫ψ σ ΩD ΩD (A5.1) + ∫∫υ ( grad ψ ∧ Br ).k dΩ = 0 ΩD Avec W , Ω D et ψ représentent respectivement le résidu, le domaine d’étude et une fonction test (fonction de pondération). La discrétisation de la formule obtenue (A5.1), nécessite une subdivision du domaine d’étude Ω D en éléments finis. On note We la valeur que donne l’intégration de l’expression (A5.1) sur un élément e, on obtient alors sur tout le domaine d’étude et pour ne éléments: ne ne W = ∑ We = ∑ e =1 e =1 ∂A − J 0 Z dΩ υ ( grad ψ . grad A) dΩ + ∫∫ψ σ ∫∫ ∂t Ωe Ωe =0 (A5.2) En 2D, en exprime le potentiel vecteur dans chaque élément en fonction des valeurs nodales Aie et de la fonction d’interpolation wni par : 3 A ( x, y, t ) = ∑ wni Aie (t ) e (A5.3) i =1 Pour la fonction test, on utilise la méthode de Galerkine. Dans cette méthode, la fonction de pondération (fonction test) ψ est prise égale à la fonction d'interpolation wni . Cette dernière vérifie les propriétés définies par le symbole de Kronecker δ (i, j ) , tel que : Annexe 5 wn j ( x j , y j ) = δ (i, j ) (A5.4) on obtient dans ce cas : ne ∑ e =1 ( ) 3 3 ∂Aek i ∫∫ ∑ υ ( grad wni grad wn j Ae dΩ + ∑ wni wn j dΩ ∂t Ωe i =1 k =1 − wn J 0 Z dΩ = 0 j ∫∫ Ωe et cela ∀ (A5.5) j ∈ ne L’assemblage sur tous les éléments du domaine d’étude, conduit à un système à ne équations algébriques, dont l’inconnue est le potentiel aux nœuds du maillage [55,57,59]. Ce système d’équation s’écrit sous la forme (2.55) donnée au chapitre II. Annexe 6 Annexe 6 Combinaisons de fonctionnement ( Nr ,Ns , p et p ′ ) Dans les tableaux ci-dessous on présente les combinaisons répondants aux conditions des structures à simple action. Ces combinaisons sont obtenues on posant les contraintes suivantes : Nombre maximal de dents au rotor N r = 100 Nombre maximal de dents au stator N s = 100 Nombre maximal de paire de pôles induit p = 15 Nombre maximal de paire de pôles inducteur p ′ = 15 Nombre maximal d’encoches par pôle et par phase qe et q′e ≤ 5 Remarque : Les combinaisons en grisé, représentent les structures symétrique dont la fréquence d’excitation est ≤ 100 Hz . p p′ N r N s q e q′e p p′ N r N s q e q′e p p′ N r N s q e q′e 1 2 9 12 2 1 2 3 41 36 3 2 6 12 66 72 2 1 1 2 11 12 2 1 2 4 42 48 4 2 2 5 67 60 5 2 1 2 13 12 2 1 2 8 42 48 4 1 2 10 68 60 5 1 1 3 14 18 3 1 3 9 42 54 3 1 3 6 69 72 4 2 1 2 15 12 2 1 2 6 44 36 3 1 4 6 70 72 3 2 2 4 18 24 2 1 4 8 44 48 2 1 5 15 70 90 3 1 1 4 19 24 4 1 3 6 45 36 2 1 3 4 71 72 4 3 4 1 21 24 1 4 5 10 45 60 2 1 2 10 72 60 5 1 1 2 21 24 4 2 2 4 46 48 4 2 3 15 72 90 5 1 1 3 22 18 3 1 2 10 48 60 5 1 3 4 73 72 4 3 2 4 22 24 2 1 2 4 50 48 4 2 4 6 74 72 3 2 1 2 23 24 4 2 4 8 52 48 2 1 5 10 75 60 2 1 1 5 24 30 5 1 2 10 52 60 5 1 3 6 75 72 4 2 1 2 25 24 4 2 2 5 53 60 5 2 7 14 77 84 2 1 2 4 26 24 2 1 2 4 54 48 4 2 6 12 78 72 2 1 1 5 26 30 5 1 2 8 54 48 4 1 3 15 78 90 5 1 4 1 27 24 1 4 6 12 54 72 2 1 3 4 79 72 4 3 1 2 27 24 4 2 5 10 55 60 2 1 3 12 81 72 4 1 3 6 27 36 2 1 4 12 56 72 3 1 3 6 81 72 4 2 2 6 28 36 3 1 2 5 57 60 5 2 4 6 82 72 3 2 1 4 29 24 4 1 3 12 57 72 4 1 3 5 82 90 5 3 2 4 30 24 2 1 2 8 58 48 4 1 4 8 84 96 4 2 2 3 31 36 3 2 4 8 60 48 2 1 3 12 87 72 4 1 3 6 33 36 2 1 4 6 62 72 3 2 4 12 88 72 3 1 1 5 34 30 5 1 2 5 63 60 5 2 3 5 88 90 5 3 2 3 35 36 3 2 3 6 63 72 4 2 6 12 90 72 2 1 1 5 36 30 5 1 3 12 63 72 4 1 7 14 91 84 2 1 4 8 36 48 2 1 7 14 63 84 2 1 3 5 92 90 5 3 2 3 37 36 3 2 5 10 65 60 2 1 4 8 92 96 4 2 2 8 38 48 4 1 3 4 65 72 4 3 3 5 98 90 5 3 3 6 39 36 2 1 3 9 66 54 3 1 4 8 100 96 4 2 Annexe 7 Annexe 7 Le dimensionnement mécanique ainsi que les différentes cotations données au constructeur sont présentés par les figures ci dessous. C -B -B -B A A A -C C a -A a -A -A B -c -b -b ca c p_ 3 c B -a B -C 4 cap_ C ca -a p_ 2 b -C b -C -c A A 30 -c 30 a cap_1 A a 120.92 101.7 Cale 1 1 1 20 1 5° ° 2.9 8° 2.9 4° 5.1 18.22 0.3 14.64 4.7 5 Nomenclature AC Densité linéique du courant ATmax/ enc sta Ampère-tours maximaux dans une encoche statorique A Az B Be Potentiel vecteur magnétique Potentiel vecteur magnétique suivant l’axe z Induction magnétique Induction magnétique dans l’entrefer C em Couple électromagnétique Ce Couple électromagnétique dans l’entrefer Ce2 Action d’ordre 2 du couple C e3 Action d’ordre 3 du couple Ce4 Action d’ordre 4 du couple C e5 Action d’ordre 5 du couple Ce6 Action d’ordre 6 du couple Ce7 Action d’ordre 7 du couple Dc E e La valeur efficace de la densité du courant Champ électrique Largeur de l’entrefer emin emax Entrefer minimal Entrefer maximal FK Gt H He Fonction filtre représente la distribution des spires du bobinage k Génération à l’instant t ik Courant d’alimentation relatif au bobinage k Champ magnétique Champ magnétique dans l’entrefer I max ′ I max Courant maximal de l’alimentation I Courant efficace de l’alimentation Courant maximal de l’excitation I′ J0 J0Z K Bi k Courant efficace de l’excitation KB Coefficient de bobinage du premier harmonique relatif à l’enroulement de l’induit K B′ Coefficient de bobinage du premier harmonique relatif à l’enroulement de l’inducteur Kf Coefficient de forme d’onde du flux K rem Coefficient de remplissage des encoches kv L l ds Densité de courant Densité de courant suivant l’axe z Coefficient de bobinage relatif à l’enroulement k pour l’harmonique du rang i Rapport Vernier Longueur active de la machine Largeur de la dent statorique Nomenclature l dr Largeur de la dent rotorique l es Largeur de l’encoche statorique l er Largeur de l’encoche rotorique Lii Inductance propre d’une phase de l’induit L jj Inductance propre d’une phase de l’inducteur Ml m Mutuelle inductance entre la phase notée l et la phase notée m Ns Nr N n n′ nce Nombre de dents au stator Nombre de dents au rotor Vitesse de rotation (tr/min) Nombre de spires de l’enroulement de l’induit Nombre de spires de l’enroulement de l’inducteur Nombre de conducteurs par encoche np Nombre d’individus de la population P P p′ ps Nombre de paires de pôles du bobinage de l’induit Nombre de paires de pôles du bobinage de l’inducteur Profondeur de la dent statorique pr p cs Profondeur de la dent rotorique Epaisseur de la culasse statorique p cr Epaisseur de la culasse rotorique P (θ s ,θ ) Perméance d’entrefer par unité d’angle P0 Coefficient de la perméance moyenne P1s Coefficient de le perméance relative à la denture statorique P1r P1s _ 1r Coefficient de le perméance relative à la denture rotorique Coefficient de le perméance relative à la double denture stator rotor Ps P P (G t ) Puissance spécifique pi Puissance active Population relative à la génération Gt Probabilité de sélection de l’individu noté i Psel Pression de sélection pc Probabilité de croisement des individus pm q q′ qe q e′ Probabilité de mutation des individus Rs S V Wem Nombre de phases de l’enroulement de l’induit Nombre de phases de l’enroulement de l’inducteur Nombre d’encoches par pôle et par phase du circuit de l’induit Nombre d’encoches par pôle et par phase du circuit de l’inducteur Rayon d’alésage Puissance apparente Tension d’alimentation Energie magnétique Nomenclature ′ Wem Co-énergie magnétique Wem 0 L’énergie constante « indépendante de la position du rotor » αs Pas dentaire statorique αr Pas dentaire rotorique Force magnétomotrice (f.m.m) εe εk ε k′ εT ε T1 Force magnétomotrice relative au bobinage k du circuit de l’induit Force magnétomotrice relative au bobinage k du circuit de l’inducteur Force magnétomotrice totale Force magnétomotrice totale relative au bobinage de l’induit εT 2 ε max ′ ε max Force magnétomotrice totale relative au bobinage de l’inducteur φk ϕ κ dn Flux dans la phase k κ de1 κ de 2 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 κ de3 κ de 4 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 κ de5 κ de6 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 κ de7 λr µ µ0 θ θs θr σ υ ω ω′ ξe Ω Coefficient qui prend les valeurs ± 1 Force magnétomotrice maximale relative au bobinage de l’induit Force magnétomotrice maximale relative au bobinage de l’inducteur Potentiel scalaire électrique Coefficient qui prend les valeurs ± 1 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 Coefficient qui prend les valeurs ± 1 Pas dentaire rotorique Perméabilité magnétique du matériau Perméabilité magnétique de l’air Position du rotor par rapport à l’axe du stator Position d’un point dans l’entrefer par rapport à l’axe du stator Position d’un point dans l’entrefer par rapport à l’axe du rotor Conductivité du milieu Réluctivité magnétique Pulsation des courants de l’induit Pulsation des courants de l’inducteur Différence de potentiel magnétique (d.d.p.m) Vitesse de rotation Bibliographie [1] T.J.E. Miller Brushless permanent magnet and reluctance motor drives. Oxford Science Publication, 1989 [2] A. Fratta, A. Vagati A reluctance motor drive for high dynamic performance applications Conference Record of the 1987 I.E.E.E. Industry applications Society. Annual Meetig, pp. 295-302 [3] A. Mailfert Machines à réluctance variable. Techniques de l’ingénieur D550 [4] I. Haouara Contribution à l’étude de la modélisation et l’optimisation d’une structure par des aimants permanents. Thèse de Doctorat, Lille 1, Juillet 1998 [5] I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou Design and optimisation of an excited reluctance generator using field computation. IEEE Trans. Mag., Septembre 1998, pp. 3494-3497 [6] F.M. Sargos Etude théorique des performances des machines à réluctance variable. Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Mars 1981 [7] K.C. Mukherji, A.Tustin Vernier reluctance motor. Proc. IEE, Vol. 121, n°9, September 1974 [8] D.J. Rhodes Assessment of Vernier motor design using generalised machine concepts. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-96, n°4, July/August 1977 [9] J. Lesenne, F. Notelet, G. Seguier Introduction à l’électrotechnique approfondie. Ed. Technique & Documentation, Paris, 1981 [10] J. Faucher Contribution à l’étude des machines à réluctance variable à commutation électronique. Thèse de Doctorat d’état, I.N.P.T, Toulouse, Juin 1981 [11] G. Drouet Contribution à l’étude des machines à réluctance à commutation électronique excitées par courants statoriques. Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Mars 1984 [12] A. Ishizaki, T. Tanaka, T. Takasaki, S. Nishikata Theory and optimum design of PM Vernier motor. Electrical Machines and Drives, 11-13 September 1995, Conference Publication n°412, pp. 208-212 [13] J.F. Brudny Etude quantitative des harmoniques du couple du moteur asynchrone triphasé d’induction. Habilitation à diriger des recherches, USTL, Octobre 1991 [14] K.C. Mukherji, S. Neville Magnetic permeance of identical double slotting. Proc. IEE, Vol. 118, n°9, September 1971 [15] P. A. Ward, PJ. Lawrenson Magnetic permeance of doubly-salient airgaps Proc. IEE, Vol. 124, n°6, June 1977 Bibliographie [16] H. Hesse Air gap permeance in doubly-slotted asynchronous machines. IEEE Transactions on Energy Conversion,Vol. 7, n°3, September 1992 [17] M. Johr, K. Kluszczynski Simplified representation of doubly-slotted varying air-gap of electrical machine. Technical University of Silesia, Gliwice, Institute of Electrical Machines & Devices, Poland [18] C.H. Lee Vernier motor and its design. IEEE Trans. PAS-82, Juin 1963, pp. 343-349 [19] D. Platt Reluctance motor with strong rotor anisotropy. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 28, n°3, May/June 1992 [20] T. Matsuo, T.A. Lipo Rotor design optimization of synchronous reluctance machine. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 9, n°2, June 1994 [21] F.N. Isaac, A.A. Arkadan Characterization of axially laminated anisotropic-rotor synchronous reluctance motors. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 14, n°3, September 1999 [22] T.F. Chan, L.T. Yan Performance analysis of a brushless and exciterless A.C generator. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 12, n°1, March 1997 [23] D.A. Staton, T.J.E. Miller, S.E. Wood Maximising the saliency ratio of the synchronous reluctance motor. IEE PROCEEDINGS-B, Vol. 140, N°4, July 1993 [24] F. Meibody-Tabar Etude d’une machine synchrone à réluctance variable pour des applications à grande vitesse. Thèse de Docotrat, I.N.P.L, Nancy,1986 [25] A. Tounzi Contribution à la commande vectorielle de machines à réluctance variable. Prise en compte de la saturation et de l'amortissement. Thèse de Doctorat de l'INPL, ENSEM NANCY Février 1993 [26] M.S. Arefeen, M. Ehsani, T.A. Lipo Sensorless position measurement in synchronousreluctance motor. IEEE Transactions on Power Electrnics, Vol. 9, n°6, November 1994 [27] A. Vagati, M. Pastorelli, F. Scapino, G. Franceschini Impact of cross saturation in synchronous reluctance motors of the transverse-laminated type. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°4, July/August 2000 [28] J. Chalmers, L. Msaba Design and field-weakening performance of a synchronous reluctance motor with axially laminated rotor. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 34, n°5, September/October 1998 [29] R.E. Betz, R. Lagerquist, M. Jovanovic, T.J.E. Miller, R.H. Middleton Control of synchronous reluctance machines. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 29, n°6, November/December 1993 Bibliographie [30] B.V. Gorti, G.C. Alexander, R. Spée Power balance considerations for brushless doubly-fed machines. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 11, n°4, December 1996 [31] R.E. Betz, M.G. Jovanovié The brushless doubly fed reluctance machine and the synchronous reluctance machine. A comparison. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°4, July/August 2000 [32] B. Multon, J.P. Caron Moteur synchrone monophasé à excitation par aimants permanents à alimentation électronique. Etude électromagnétique du moteur. La Revue 3EI n°22, Septembre 2000 [33] J. Lawrenson, L.A. Agu Theory and performance of polyphase reluctance machines. Proc. IEE, Vol. 111, n°8, August 1964 [34] J. Faucher, G. Escude, M. Aziz-Ghannadi Alimentation en courant pour machine à réluctance autopilotée. EAI 263, Février 1979 [35] F.M. Sargos Machines à réluctance à plots non excitées : optimisation des structures. RGE Juillet 1989n°7, pp. 33-37 [36] A. Toba, T.A. Lippo Generic torque-maximizing design methodology of surface permanent-magnet Vernier machine. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, n°6, November/December 2000 [37] I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou Etude d’une génératrice non conventionnelle pour une application en éolienne . Proc. International Conferance of the IEEA, Batna, Algérie, December 1997, pp. 70-74 [38] S. Charbonnier Etude d’un moteur à réluctance hybride à aimants statoriques multiples. Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Nancy, Octobre 1981 [39] A. Rabih Calcul et optimisation des machines hybrides à double excitation axiale. Dimensionnement et choix des aimants permanents. Thèse de Doctorat, I.N.P.L, Nancy, Février 1991 [40] A. Mailfert, S. Charbonnier, G. Hombourger Etude d’un type de moteur hybride utilisable en fonctionnement pas à pas. RGE 3/81, Mars 1981 [41] L. Xu, F. Liang, T.A Lipo Transient model of a doubly excited reluctance motor. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 6, n°1, March 1991 [42] D. Matt, J.F. libre Performances comparées des machines à aimants et à réluctance variable. Maximisation du couple massique ou volumique. J. Phys.III France 5, Octobre 1995, pp. 1621-1641 [43] M. Liwschitz Calcul des machines électriques. Volume II. SPES Lausana 1967 Bibliographie [44] J. F. Heuillard Machines synchrones dimensionnement électromagnétique. Techniques de l’ingénieur [45] G. Merouge Les règles générales de dimensionnement des machines électriques tournantes. Journée Electrotechnique Club EEA 25 et 26 Mars 1993, Belfort [46] B. Nogarede Etude de moteur sans encoches à aimants permanents de forte puissance à basse vitesse Thèse de Doctorat, INPT, Toulouse, Juin 1990 [47] A. Ishizaki, Y. Shibata, K. Watanabe, K. Saitoh Low-speed high-torque drive system applyingVernier motor torque. Electrical Engineering in Japan, Vol. 112, n°8, 1992. [48] L. Banon Contribution à l’optimisation des MRV de type vernier en commutation électronique. Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Novembre 1981 [49] O. C. Zienkiewicz La méthode des éléments finis appliquée à l’art de l’ingénieur. Ediscience, 1973 [50] G. Fournet Electromagnétisme à partir des équations locales Masson, éditeur, 2e édition 1985 [51] P.M. Morse, H. Feshbach Methods of theorical physics. Mc graw-Hill, 1955 [52] A. M. Omekanda Analyse du comportement électromagnétique d’un moteur à réluctance à commutation. Utilisation d’une méthode hybride : Eléments finis-équations intégrales de frontère Thèse de Doctorat en Science appliquées, Faculté polytechnique de Mons, 1993. [53] J. M. Biedinger Contribution à la modélisation numérique des machines électriques mobiles. Thèse de Docteur Ingénieur, Compiègne, 1981 [54] B. Davat Modélisation des dispositifs électromagnétiques. Thèse de Docteur es-Sciences Physiques, Toulouse, 1984 [55] W. Long Contribution à la modélisation de systèmes électromagnétiques à l’aide du couplage des équations des circuits magnétique et électrique. Thèse de Doctorat, Paris VI, Octobre 1990 [56] A. Bossavit Electromagnétisme en vue de la modélisation. Mathématiques et applications, Springer-Verlag, 1993 [57] Z. Ren Contribution à la modélisation des machines électriques par résolution simultanée des équations du champ et des équations du circuit d’alimentation. Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Décembre 1985 Bibliographie [58] M.V.K. Chari, P. Silvester Finite elements in electrical and magnetic field problems. John Wiley & Sons, New York, 1980 [59] N. Sadowski Modélisation des machines électriques à partir de la résolution des équations du champ en tenant compte du mouvement et du circuit d’alimentation (Logiciel EFCAD). Thèse de Doctorat, I.N.P.T, Toulouse, Janvier 1993 [60] F. Piriou, A. Razek Coupling of saturated electromagnetic systems to non linear power electronic devices. IEEE Trans. vol. Mag-24, pp. 274-277, 1988 [61] M. Feliachi Contribution au calcul du champ électromagnétique par la méthode des éléments finis en vue d’une modélisation dynamique de machines électriques. Thèse de Doctorat, Paris VI, Janvier 1981 [62] T.W. Preston et all Induction motor analysis by time-stepping technique. IEEE Trans Mag. 24, pp. 471-474, 1988 [63] S. Taïbi Etude d’une machine à réluctance variable vernier excitée par des courants alternatifs au stator. Mémoire de DEA Génie Electrique, L2EP, USTL, 1998 [64] F. Marmin Contribution à l’étude des erreurs numériques dues à la méthode des éléments finis : application aux problèmes statiques d’électromagnétisme. Thèse de Doctorat, USTL, Mai 1998 [65] J.M. Renders Algorithmes génétiques et réseaux de neurones. Editions Hermes, Paris. [66] J.H. Holland Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor, University ofMichigan Press, 1975, ISBN 0-472-08460-7 [67] L. Saludjian, J.L. Coulomb, A. Izabelle Algorithme génétique et développement de Taylor de la solution éléments finis pour l’optimisation d’un dispositif électromagnétique. J. Physique III Novembre 1997, pp. 2189-2200 [68] F. Zaoui Méthodes d’optimisation associées à la modélisation numérique : application à la conception et au diagnostic des systèmes électromagnétiques. Thèse de Doctorat, LGEP, Paris XI, Octobre 1999 [69] B. Sareni, L. Krähenbühl, A. Nicolas Efficient genetic algorithms for solving hard constrained optimization problems. IEEE Transactions on magnetics, Vol. 36, n°4, July 2000 [70] J. Lucidarme, C. Rioux, J. Pouillange Moteurs discoïdes à réluctance variable et à aimants permanents : des couples spécifiques élevés à faible vitesse. RGE n°3, Mars 1987, pp. 48-52 Bibliographie [71] D.P. Tormey, D.A. Torrey A comprehensive design procedure for low torque-ripple variable-reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Soc. Ann. Meeting, 1991 [72] A. Benabou Identification et optimisation des paramètres du modèle de Jiles-Atherton pour la modélisation de l’hystérésis magnétique. JCGE’01 Nancy (France), 13-14 Novembre, pp. 229-234, 2001. [73] Radio Energie L’entreprise qui a fabriqué le prototype étudié www.radio-energie.fr Paris [74] P.M. Leplat, A. Tounzi, S. Clénet, F. Piriou Study of an induction machine using Park's model and Finite Element Method. International Conference on Electrical Machines (ICEM 96) Septembre 1996, Vigo, Espagne, vol 2, pp. 24-29 [75] P.M. Leplat, S. Clénet, M. Tounzi, F. Piriou Numerical modelling of an induction generator connected to aP.W.M. voltage source inverter. XIV Symposium on electromagnetic phenomena in nonlinear circuits, May 1996 [76] B. Multon L’énergie sur la terre : analyse des ressources et de la consommation. La place de l’énergie électrique. Revue 3EI, 1998 [77] B. Gardiner, L. Morzac Les besoins énergétiques. Défis écologiques. Editions Gamma - Editions du Trécarré, 1991. [78] M. Budinger, D. Leray, Y. Deblezer Eoliennes et vitesse variable. Revue 3EI n°21, Juin 2000 [79] P. Lampola, J. Väänäen Analysis of a law speed permanent-magnet wind generator connected to a frequency converted.. I.C.E.M. 96 vol.II, pp. 393-398, Vigo 1996 [80] L. Söderlund, T.T. Eriksson, J. Salonen, H. Vihriälä, R. Perälä A permanent-magnet generator forwin power applications. IEEE Trans. on Magnetics, vol. 32, n°4, July 1996 [81] M. Moullé, C. Petit Génératrices asynchrones. Techniques de l’ingénieur, 1995, Vol. D 3 II, pp. D 452 [82] R. Michaux, P. Letellier Machines discoïdales à champ axial dans les systèmes de propulsions électriques. REE Mars 1997, pp. 37-42 [83] D. Matt Etude de deux structures originales de machine à réluctance variable polyentrefer. Thèse de Doctorat, Paris XI, Avril 1987. [84] R. Goyet Contribution à l’étude des machines à réluctance variable à disques imbriqués. Thèse de Doctorat d’état , Paris XI, Juin 1981. Bibliographie [85] S. Taïbi, A. Tounzi, F. Piriou The use of Genetic Algorithm to reduce the torque ripples of a Vernier Reluctance Machine. Version acceptée pour paraître dans la revue « Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics » ISEF 2001, Cracovie, Pologne, Septembre 2001, pp. 217-222. [86] S. Taïbi, A. Tounzi, S. Clénet, F. Piriou Design and study of a double air gap Excited Vernier Reluctance Machine. Version acceptée pour paraître dans la revue « Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics » ISEF 2001, Cracovie, Pologne, Septembre 2001, pp. 107-112 [87] S. Taïbi, A. Tounzi, F. Piriou Design and study of a variable reluctance machine excited by a three phase current in the stator. ICEM 2000, Août, Helsinki, vol 3, pp.1394-1398 [88] S. Elaimani, S. Taïbi, A. Tounzi Diphase modeling of a current excited Vernier reluctance machine. ICEM 2002, Août, Bruge à paraître [89] S. Taïbi, I. Haouara, A. Tounzi, F. Piriou Etude de MRV excitées pour des applications en entraînement direct. CEMD'99, S E E, Février 1999, Cachan, pp. 83-88