Fonctions Floues - CRAG-2 - Université de Ngaoundéré

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Fonctions Floues
KOGUEP NJIONOU Blaise Blériot
PhD in mathematics (Algebra)
Université de Yaoundé 1
[email protected]
Atelier de Cryptographie, Algèbre et Géométrie (CRAG-2)
Université de Ngaoundéré
December 2, 2012
Introduction
Concepts fondamentaux
Relations floues
General Conclusion and perspectives
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
4
B. B. KOGUEP NJIONOU
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Logique floue et logique Booléenne
Historique et champ d’application
Plan
1
Introduction
Exemple introductif
2
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Plan
1
Introduction
Exemple introductif
2
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Pourquoi la logique "floue"?
Divers classes d’objets physiques n’existent qu’au travers de
représentations mentales, et correspondent à des termes vagues du
langage naturel, tel que "homme jeune", "température élevée",
"vitesse excessive", "distance petite" etc.
La notion d’ensemble classique est mal adaptée pour représenter
des classes de ce type. Prenons par exemple l’ensemble, A, des
vitesses, v , supérieures ou égales à 90 km/h:
A = {v /v ≥ 90 km/h}
En logique classique, les vitesses de 10 ou 89, 9 km/h
n’appartiennent pas à l’ensemble A et sont considérées de la même
façon. La logique floue permettra de nuancer ce jugement abrupt et
de prendre en compte que 89, 9 est très proche de 90, alors que 10
ne l’est pas.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Pourquoi la logique "floue"?
De façon plus formelle, on introduit une fonction, appelée fonction
d’appartenance, qui donne le degré d’appartenance d’une variable à
un ensemble. Dans l’exemple précédent, on note µA (v ) ∈ [0; 1] le
degré d’appartenance d’une vitesse v à l’ensemble A.
Considérons maintenant L’ensemble des vitesses "autour de
60 km/h" cet ensemble est un sous-ensemble flou de l’univers des
vitesses, auquel on associe une fonction d’appartenance.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Plan
1
Introduction
Exemple introductif
2
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Logique floue 6= logique Booléenne
Alors que la logique classique n’envisage que deux états
mutuellement exclusifs, vrai ou faux, la logique floue autorise, au
contraire, tous les états intermédiaires entre vrai et faux. Une
propriété pourra ainsi être presque vraie, ce qui s’exprimera, par
exemple, par : La propriété est vraie à 80 % et fausse à 20 %.
La logique floue, ou plus généralement le traitement des incertitudes,
a pour objet d’étude la représentation des connaissances imprécises
et le raisonnement approché. Elle englobe la logique classique. Tous
les résultats obtenus en logique classique doivent être retrouvés par
la logique floue.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Logique floue 6= logique probabiliste
Même si la logique floue permet de traiter des imprécisions, elle est
pourtant différente de la logique probabiliste.
Le problème de Jim Bezdeck montre bien la différence entre ces deux
logiques : « On se trouve dans un désert, après des jours d’errance. .
. Presque mort de soif, on trouve alors 2 bouteilles remplies d’un
liquide. Sur la bouteille A, une étiquette annonce "potable avec un
degré 0, 9", et sur la bouteille B, l’étiquette dit "potable avec une
probabilité 0, 9". Laquelle de ces 2 bouteilles doit-on choisir ? »
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Plan
1
Introduction
Exemple introductif
2
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Bref historique: les débuts
1965: Concept introduit par Pr. Lotfi Zadeh (Berkeley): « Fuzzy set
theory »: Définition des ensembles flous et opérateurs associés
1970: Premières applications: Systèmes experts, Aide à la décision en
médecine,commerce. . .
1974: Première application industrielle. Régulation floue d’une
chaudière à vapeur réalisée par E. H. Mamdani.
: Longtemps universitaire.
1985: Les premiers, les japonais introduisent des produits grand public
« Fuzzy Logic Inside » (M Sugeno).
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Bref historique: la maturité
1990: Généralisation de l’utilisation de cette technique dans l’industrie.
Des exemples d’applications dans le domaine industriel
- 1979
- 1987
- 1990
- 1992
-
Cimenterie au Danemark
Métro de Sendai (Hitachi)
Conduite de hauts-fourneaux Dunkerque
Usine de papier au Portugal
Produits de consommation courante :
Autocuiseurs de riz, aspirateurs, machines à laver, système de
climatisation. . .
Appareils photos : autofocus, autoexposition, autozoom (Canon,
Minolta).
Caméras : autofocus, autoexposition, stabilisateur d’image (Sanyo,
Canon, Matsushita).
Photocopieurs : qualité d’image, distribution d’encre (Sanyo, Canon,
Ricoh).
Industrie automobile : régulation du moteur, système de transmission,
système de suspension, ABS, climatisation.
Ascenseur : temps d’attente réduit, ascension et arrêt plus régulier
(Hitachi).
...
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Exemple introductif
Domaines d’application
Les domaines traités sont assez divers. En voici une liste non
exhaustive :
Les mathématiques floues;
le traitement de l’incertitude;
la représentation des connaissances;
la modélisation et la commande;
l’aide à la décision, etc.
Dans ce qui suit, seul l’aspect mathématique sera abordé.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Opérateurs logiques flous
Plan
1
Introduction
2
Ensemble flou
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Plan
1
Introduction
2
Ensemble flou
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Définition
Un ensemble flou A est défini sur un univers de discours U
(ensemble d’éléments discrets ou continus) par sa fonction
d’appartenance µA : U → [0; 1].
Une telle fonction µA caractérise en effet le degré d’appartenance
d’un élément x au sous-ensemble flou A. On dit aussi que µA (x)
représente le degré de validité de la proposition « x appartient à A ».
Un sous-ensemble flou est entièrement caractérisé par sa fonction
d’appartenance. Si on connaît A, alors on connaît µA et inversement,
connaître µA permet de connaître A.
L’ensemble flou vide est noté 0U est défini par : 0U (x) = 0, ∀x ∈ U.
Le plus grand ensemble flou sur U est noté 1U ou IU , il est défini par :
1U (x) = 1, ∀x ∈ U.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Quelques concepts et propriétés
Soit A un sous-ensemble flou de U. On peut alors définir plusieurs
concepts:
Le type de A : peut être triangulaire, gaussien, trapézoïdal, etc.
La hauteur de A : HA = supµA (x).
x∈U
L’ensemble A est dit normalisé si HA = 1.
Le noyau de A : NA = {x ∈ U, µA (x) = 1}.
Le support de A : SA = {x ∈ U, µA (x) 6= 0}.
L’α-coupe de A : α − coupe(A) = {x ∈ U, µA (x) > 0}.
La figure ci-dessus résume ces différentes notions.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Plan
1
Introduction
2
Ensemble flou
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Opérateurs sur les ensembles flous
Extension des opérations de la théorie des ensembles
classiques : =, ∩, ∪, complément.
Mais leur définition ne sont pas uniques
Les définitions les plus souvent rencontrées sont : le max et le
min (Mandani), le produit et la somme moins le produit (Sugeno)
Égalité : A = B ssi ∀x ∈ U, µA (x) = µB (x).
Inclusion : A ⊆ B ssi ∀x ∈ U, µA (x) ≤ µB (x).
Mandani : µA∪B (x) = max(µA (x); µB (x)) et
µA∩B (x) = min(µA (x); µB (x)).
Sugeno : µA∪B (x) = µA (x) + µB (x) − µA (x) × µB (x) et
µA∩B (x) = µA (x) × µB (x).
Dans les deux cas : µA (x) = 1 − µA (x)
Produit cartésien : µA×B (x; y ) = min(µA (x); µB (y )); c’est un
sous-ensemble flou de U × U.
Fonctions floues
Exemple
A est l’ensemble flou des personnes petites et B est l’ensemble flou
des personnes moyennes. La réunion, l’intersection et le complément
sont donnés par les graphiques ci-dessous :
Partition floue de l'univers du discours
1
Ensemble flou:"Personne petite OU moyenne"
Grand
Moyen
Petit
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Taille(m)
0
Taille(m)
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Ensemble flou: "Personne petite et moyenne"
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Ensemble floue :"Personnes non petites"
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Taille (m)
0
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.5
Taille (m)
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Opérateurs flous alternatifs
Les T-normes (intersection floue)
Une application T : [0; 1] × [0; 1] → [0; 1] telle que ∀x, y , z, t ∈ [0; 1],
– T (x, y ) = T (y , x) (commutativité)
– T (x, T (y , z)) = T (T (x, y ), z) (associativité)
– T (x, y ) ≤ T (z, t) si x ≤ z et y ≤ t (monotonie)
– T (x, 1) = x (élément neutre)
(Min satisfait ces propriétés)
Les T-conormes (réunion floue)
Une application S : [0; 1] × [0; 1] → [0; 1] telle que ∀x, y , z, t ∈ [0; 1],
– S(x, y ) = S(y , x) (commutativité)
– S(x, S(y , z)) = S(S(x, y ), z) (associativité)
– S(x, y ) ≤ S(z, t) si x ≤ z et y ≤ t (monotonie)
– S(x, 0) = x (élément neutre)
(Max satisfait ces propriétés)
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Ensemble flou
Propriétés des ensembles flous
- Comme dans le cas des ensembles «classiques», les ensembles
flous possèdent certaines propriétés.
Commutativité : A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
Associativité : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Distributivité : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Idempotence : A ∪ A = A, A ∩ A = A.
Identité : A ∪ 1U = 1U , A ∩ 1U = A, A ∪ 0U = A, A ∩ 0U = A.
– Les deux propriétés suivantes ne sont pas «classiques».
Loi de contradiction A ∩ A 6= 0U .
Loi du "tiers exclu" A ∪ A 6= 1U .
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
définition d’une relation floue
Definition 3.1
Une relation floue entre deux univers U et V est un sous-ensemble
flou R du produit cartésienne U × V .
La relation floue est binaire si U = V .
Exemple
Soit l’univers U = {1, 2, 3}, la relation R : « est approximativement
égal à » peut-être définie par :
µR :
{1, 2, 3} × {1, 2, 3}
(x; y )

1
– Notation matricielle : 
2
3
−→
[0; 1]
7−→
µR (x; y ) =
1
1
0, 8
0, 3
2
0, 8
1
0, 8


1
0, 8

0, 3

3
0, 3

0, 8
1
Fonctions floues
si x = y
si |x − y | = 1
si |x − y | = 2
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Opérations sur les relations floues
Projection
Soit une R une relation floue entre U et V . La projection ΠU de R sur
U et la projection ΠV de R sur V sont définies par :
µΠ (x) = sup{µR (x; y )|y ∈ V } et µΠ (y ) = sup{µR (x; y )|x ∈ U}.
U
V
composition (mandani)
Soient R une relation floue entre U et V et S une relation floue entre
V et W . La composition S ◦ R est la relation floue entre U et W
définie par : µS◦R (x; z) = sup{min(µR (x; y ); µS (y ; z))}.
y ∈V
Fonctions floues
Exemple(cas de mandani)
Soient les ensembles U = {x1 ; x2 ; x3 } V = {y1 ; y2 ; y3 ; y4 } et W = {z1 ; z2 ; z3 }.
Considérons les relations floues suivantes : R : « x est beaucoup plus grand
que y », S : « y est très proche de z » définies respectivement sur U × V et
V × W par 
:
x
1
µR (x; y ) = 
x2
x
 3
y1
0, 8
0
0, 9
z1
0, 4
0
0, 9
0, 6
y2
0, 1
0, 8
1
z2
0, 9
0, 4
0, 5
0, 7

y3
y4
0, 1 0, 7

0
0 
0, 7 0, 8

z3
0, 3

0 

0, 8
0, 5
y1

µS (y ; z) = 
y2
y
3
y4
Projection de R
Sur U : ΠU = {(x1 ; 0, 8); (x2 ; 0, 8); (x3 ; 1)}.
Sur V : ΠV = {(y1 ; 0, 9); (y2 ; 1); (y3 ; 0, 7); (y4 ;
0, 8)}.
x
1
Composition de R suivie de S : µS◦R (x; z) = 
x2
x3
z1
0, 6
0
0, 7
z2
0, 8
0, 4
0, 9

z3
0, 5

0 
0, 7
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Propriétés des relations binaires floues
Lorsque U = V , on définit diverses propriétés particulières comme on
le fait habituellement pour les relations booléennes : Soit R une
relation binaire floue sur U.
R est :
. Réflexivité : ∀x ∈ U, µR (x; x) = 1
(ε- réflexivité : ∀x ∈ U, µR (x; x) ≥ ε).
. Antiréflexivité : ∀x ∈ U, µR (x; x) = 0
. Symétrie : ∀(x; y ) ∈ U, µR (x; y ) = µR (y ; x).
. Transitivité : ∀x ∀y ∀z ∈ U, sup{µR (x; y ); µR (y ; z)} ≤ µR (x; z).
y ∈V
. Similitude : Une relation floue réflexive, symétrique et transitive
est dite relation de similitude (ou d’équivalence).
. Ressemblance Toute relation binaire floue reflexive et
symétrique est dite relation de ressemblance.
On dit alors que µR (x, y ) est le degré de ressemblance de x à y .
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Conclusion 4
We have
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Conclusion 4
We have
define and characterize fuzzy ideals of hyperlattices.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Conclusion 4
We have
Fuzzy prime and prime fuzzy ideals of hyperlattices have been
highlighted and the fuzzy prime ideal theorem of hyperlattices
has been proved.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Définition
Opérations
Propriétés
Fonction floue
Conclusion 4
We have
Fuzzy prime and prime fuzzy ideals of hyperlattices have been
highlighted and the fuzzy prime ideal theorem of hyperlattices
has been proved.
Fuzzy congruence relations have been studied and the link with
fuzzy ideals of hyperlattices have been stated. Particularly, the
sufficient and necessarily condition for the fuzzy 0-class of a
fuzzy congruence relation of hyperlattice to be a fuzzy ideal of
that hyperlattice.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
Plan
1
Introduction
2
3
Relations floues
4
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
General Conclusion
We have studied
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
General Conclusion
We have studied
The notion of fuzzy prime ideals and established the fuzzy prime ideal
theorem of lattice and hyperlattice. We have established that the
concept of prime fuzzy ideal is different from the one of fuzzy prime
ideals and we have investigated some properties of the two notions
respectively in the case of lattices and hyperlattices.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
General Conclusion
We have studied
The notion of maximal fuzzy ideal of bounded lattice and some
properties have been given.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
General Conclusion
We have studied
The notion of maximal fuzzy ideal of bounded lattice and some
properties have been given.
Thus, having the following diagram of relations between those subsets
of the set of all Fuzzy Ideals of lattices.
Fonctions floues
Introduction
Relations floues
References I
Demirci M., Fuzzy functions and their fundamental properties,
Fuzzy Sets and Systems, 106, 239–246, (1999).
Zadeh L. A., Fuzzy sets, Information and Control, Vol. 8, no. 3,
338-353, (1965).
Zadeh L. A., Similarity relations and fuzzy ordering, Information
Science, 3, 177-200, (1971).
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