Quelques remarques sur les surfaces lagrangiennes de

JGP-VoL
7,n. 4,1990
Quelques remarques sur
les surfaces lagrangiennes
de Givental
MICHELE AUDIN
Université Lous Pasteur
Institut de Recherche Mathematique Avancée
7, Rue René Descartes
F - 67084 Strasbourg, Cedex
Résumé. Nous donnons tine nouvelle démonsLration d ‘une formule dnumérative de
Givental stir leg singularités de certaines surfaces lagrangiennes. La méthode est
de comparer ces surfaces lagrangiennes singulières a des courbes complexes qui se
désingulansent par éclatement. On obtient aussi unc formule analogue modulo 4
pour des surfaces non-orientableset on montre comment obtenir bus les exemples de
plongements lagrangiens de Giventaipar chirurgie lagrangienne.
Abstract. We give a new proof of an enumerative formula of Givental about the
singularities of certain lagrangian surfaces. The methodis to compare these lagrangian
surfaces to complex curves which may bedesingularised by blowing up. A modulo 4
formula for non-onent.able surfaces is also obtainedand it is shown how to construct
all the Givental lagrangian embeddings by lagrangian surgery.
L’essentiel de ces notes vise a reprendre, un pcu différemment, les constructions de
Givental dans le trèsjoli article [4]. 11 y montre des plongements lagrangiens (dans 1R4)
dc prcsque toutes les surfaces susceptibles d’en posséder, c’est a dire le tore et les surfaces non-orientables de caracténstique d’Eulcr divisible par 4 (le seul cas de Ia bouteiUe
de Klein restant en suspens). Dc plus ii considère des plongements lagrangiens.. qui
ne sont pas des immcrsions (mais sont des plongcments topologiqucs), le modèle local en est une variante lagrangienne du parapluie de Whitney, qu’on a déployé pour le
.
Key-Words: Plongement lagrangien, singularitác, parapluie de Whitney.
1980 MSC: 57R90, 53C15, 57R20, 58C27.
M1(HLLF AIJDIN
débarasser dc scs points doubles (autremcnt tilt, on déploic des parapluics pour plongcr
des surfaces).
Dans Ic premier paragraphe, je vais décrire Ic parapluie déployé et donner une raison
plutôt concepluclic pour laquelle chacunc de ces singularités dolt apporler une coninbulion de — 1 a I’auto-intcrsection de la surface: c’csl qu ‘un éclatemcnt est en cause. J’expliqucrai aussi pourquoi il est normal qu’un point double joue plus ou nioins Ic méme
role que deux parapluics. Ccci permet de montrer une formule énumérativc pour Ics
points doubles et Ics parapluies [4] d’une surface orientée, je montrcrai aussi qu’on a
une formule analogue modulo 4 pour les surfces non-orientables.
Dans Ic deuxième paragraphe,je décrirai (d’une façon pas lrès originate) les surfaces
de Givental et aussi des plongements lagrarigiens de toutcs les surfaces non-orientables
dans des variétés symplectiques <aussi petites que possib1e>~.
2~= C’~(avec en gCnéral n = 2 ).
Presquc tout cet article se passe dans T*Rn = R
Les coordonnécs usuelles dans Ia base R5 sont notécs (q
1, .. , q,~), les coordonnées
cotangentcs ou imaginaires pures (p~,.
. . ,
p,~)
(q1,.,q~,p1,-,p~)
= (q1 + lpl
,...,
Ia 1 -fornie A = ~ p~dq~
est dite forme dc Liouville, w
forme symplectique. Si n = 2
q~+tp~)
=
=
~ dp~A dq5 est Ia
wAw=2dq1 Adp1 Adq2Adp2
=
—2dq1 Adq2 Adp1 Adp2
4 avec laquelle nous travaillons, c’cst aussi celle
~2
I’orientation dCfinie par i étant celle oO
determine
l’oricntation
de Rde
dCfinie pardonc
Ia structure
complexe
,
(e
1,ie1,e2,ie2) estunebasedirectc.
2~5est dit(e) lagranUn morceau
variétéc’cst
ou une
(q,p)
—~ T*R
gien(ne)
si w s’ydeannule,
a direimmersion
si A y dCfinit
une: v~
I -forme
ferméc. Si ir : V —p V
est le plus petit revétement sur lequel A admet une primitive z , I’application
xR
-~
x
~
(qoit(z),z(~))
définit Ic front d’onde de ~.
Le dessin de l’image d’un domaine fondamental sous
l’opération du groupe de ii sera dit front d’ondc de V. Si V = V, c’cst a dire si A
est exacte, on dit que l’immersion est exacte.
EXEMPLES. 1) La figure 1 reprCsente deux immersions lagrangiennes du cercle dans
T*R et leurs fronts d’onde. Dans le premier cas, A est exacte (aire entourée nulle) Ct
dans Ic deuxième cas non.
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES.
.-
585
(~q
z
/
z
Figure 1.
2) Dc même la figure 2 représente le front d’un plongement lagrangien du tore. et la
de la sphere S2 avec un seul
point double (immersion de Whitney).
figure 3 le front d’une immersion lagrangienne (exacte
Figure 2.
!)
586
MICIIIiI.E AUI)IN
Figure 3.
On voit que l’Cquation dz
p
=
1dq1 + p2dq2 permet dc reconstituer Ia surface Iagrangienne quand on connait son front d’ondc. Dc mCme, si les points doubles du front
n’ont pas grandc signification, ccux dc la lagrangienne sont reprCsentés par deux points
du front qui ont mCme projection sur Ic plan des q et des plans tangents parallèles.
1. LE PARAPLULE DEPLOYE
1.1. Déploiement du parapluie
La façon Ia plus conceptuelle dc décrire cc morccau de surface lagrangienne est sans
doute Ia suivante: on considère
point de rebroussement ou parabole semi-cubique, ou
2, q~le
= 2t3/3 dansleplanréel R2 . LeparapluiedéployCcst
cuspparamCtrépar
q1
= t
son fibréconormaldans T*R2 ,autrement dit c’est Ia surface qu’on obtient en rCsolvant
p
1dq1
+
(1)
=
U et qu’on pcut paramétrer par
(q1,q2,p1,p2)
=
3,tu,--u
/2
(~t2,~-t
Le fibre conomial de toute courbe lisse est par definition une surface tagrangicnnc de
T*R2 - Cc que nous venons dc faire scniblc done être Ia mCthode Ia plus simple pour
construirc unc surface lagrangienne singulièrc.
Les formutes (1) décrivent un plongement topologique de R2 dans T*R2
une immersion partout sauf en 0 ofl il est dc rang I -
,
qui est
La projection de cettc surface sur Ic sous-espace des (q
1 Pi P2) cst un parapluic de
Whitney, cc qui justifiel’appcllation de parapluic (dc Whitney) d~)ploycquc lui a donnée
Givental.
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES.
587
-.
Figure 4. Le parapluie plié.
Par construction méme, Ia projection sur le plan des (q1, q2) n’est pas générique,
aussi on pourra trouver plus agréable d’utiliser la surface paramétrée par
(2)
(q1q2p1p2)
= (t2~tu~t3)
qui lui correspond par le difféomorphisme symplectique (q1,q21p1,p2) i—p (q1,p2,
Pi —q1) Dans cette nouvelle
écriture,
résolvant
dz = Pi dq1le+front
P2 dq2
on obtient la
3 u/3
,ce quienpermet
de considérer
d’onde
fonction génératrice z = 2 t
,
.
“2
(q
1,q2,z)
23
(\t ,u,~-t u
=
que (3ivental appdlle parapluieplié et qu’on voit sur la figure 4: l’axe des q1 est une
arête de rebroussement et l’axe des q2 une ligne de points doubles. On appellera surface
2
lagrangienne
(resp.comme
immergéc)
au singularités
sens de Givental
une surface
f:
V
T*Ret
isotrope
(f*Liplongée
= 0 ) avec
seules
des parapluies
déployés
(resp.
—~
des points doubles ordinaires).
1.2. Edatement
Identifions T*RZ ~
2
comme on a dit et
~2 a
IHI par
(q
1 + ip1,q2
+
ip2) ‘—‘q1
(=
+
ip1
q1
+
+
(q2
ip1
+
+
+
kp2)
588
MICIIIil.n A1Jl)IN
Notre surface (1) est alors paramCtrCe par
Q(t,u)
2
=
t
=
t2
+
itu+ y~t~— ku
—
ku
+
t
ku)
(~t2
~.
On est maintenant bien tentC de considérer Ia surface paramCtréc par
Q~(t,
u)
=
t2
—
ku
+
t(vt2
—
ku)j
-
C’est unc surface totalcmcnt réclie de ((~2, i) qui a Ics mémes propriCtCs que Ic parapluie déployC pour v ~ U sauf qu’eIlc n’est isotropc que pour v = 2/3 Pour v = I , dIe est l’image de Ia surface de ~ 2 k) dCfinie par Q
1 ( t, u) =
2 — ku,t) par I’Cclatcment(k -eomplcxe)
(t
cr:(~2,k) ~(G2,k)
(z,~3)F-* (x,x/3)
Q
est une surface lissc totalcmcnt réellc (pour k) dont Ic plan tangent rencontre l’cx-
1
ceptionnelle E
(i =
0) de I’éclatcment Ic long d’unc droite (recIte).
1.3. Nombre d’intersection local et énumération des parapluies
On en déduit facilcmcnt
PROPOSITION 1.3.1. ([4] au signe près) Soil V unc surface lagrangicnnc orientéc immergée au sens de Givcntai. Alors
V- V
=
—x( V) + 2 d
—
p
oi~d désignc Ic nombrc algébriquc de points doubles ci p Ic nombrc de parapluies
déployó.c.
EXEMPLE.
figurede5 genre
reprCsente
Ic front
d’un
plongement lagrangien dans
2 d’uneLasurface
2 avec
deux d’onde
parapluies
dCployCs.
T*R
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES. . -
589
Figure5. O=—(—2)+O—2.
REMARQUE. La convention d’orientation utilisCe par Givental est assez mauvaise
(orientation opposée a celle donnée par la forme symplectique) pour qu’il trouve une
forrnule avec des signes opposes a ceux qui apparaissent ci-dessus. En particulier, chaque parapluie lui apporte une contribution de +1 C’est en essayant de me convaincre
qu’il était nécessaire de trouver I que j ‘ai remarqué l’éclatement dont il est question
‘ci.
.
—
La demonstration de cette formule est facile et folklorique quand on a affaire a une
vraie immersion (pour ce type de calculs, je me permets de rcnvoyer le lecteur a [3]).
Pour obtenir le cas plus général considéré ici, il suffit de verifier que chaque parapluie
dCployé apporte une contribution de —1 Ce I n’est autre que I’auto-interscction de
l’exceptionnelle de l’éclatcmcnt, plus précisément:
.
—
DEMONSTRATION. Toutes les surfaces Q~ (pour v ~ 0 ) ont la mCme auto-intersection,
on calcule done celle de Q, La surface Q1 est sa transformée stricte et son intersection
2 — ku,t) en (12 + S ku,t) qui ne rencontre
avec E(
E zest
: onsdéforme
(t
pas
= nulle
0) pour
> 0. L’auto-intersection
locale de Q
1 est égale a celle de
a~Q,=Q,UEquiestdonc —l=E.E.
Bien entendu, si V n’est pas orientable, Ia proposition 1.3.1 reste vraie modulo 2
mais ce n’est pas très intéressant. En réalité, on a comme dans le cas des vraies immersions une formule mod 4 ([5], voir aussi [3]). Appelons w1 la premiwère classe de
Stiefel-Whitney de V. ainsi (wi, [V]) E Z /2 De méme le nombre d des points
doubles tie peut être défini que dans Z /2 Désignons par 2 : Z /2
Z /4 l’homomorphisme non-trivial, de sorte que 2 d, par exemple, représente un entier modulo
.
—
.
-
4.
.
~
.
5’10
MICflFI.E AUIJ!N
2 (au sens
PRO[’OSITION 1.3.2. Soil V unc surface lagrangicnnc immcrgéc dans T*R
de GivcntaJ). A furs
O=—x(V)+2(w~,[VJ)+2d_-pmod4
=~(V)+2d—pmod4
DEMONSTRATION. On Cclate (pour k) les points de ~ 2 oO V a des parapluics ci on
obtient unc immersion f’ : V
~2
(CclatCc de C2 en ecs points). On calcule
0=
f~IV1
-f~[V1 =f~[Vj -f~[Vl -p
comnic on a vu plus haut (l’auto-intersection est hien dCfinie dans 7 )
Ct
d’autre part
f~IV1-f~[V] =(e(N
1),[V])+
2,[ V1)
2(w1(N1,)
2d(f’) mod4
esi unc immersion 15]. II reste a identifier Ic fibre NJ
puisquc
f’
IV])
—~(V) , dont on dCduitque N
=
+
.
Je dis quc (e(Nj,),
1, ~ —TV done aussi que w,(N1,) =
D’oO Ia proposition, Ia dcuxième égaliiC resultant siniplcmcnt du fait quc (w~,IVI)
~(V)mod2.
-
U
DEMONSTRATION DE L’ASSERTION. 11 suffit dc construire unc section de N1 qui a les
mCmes zeros qu’une section (transverse a Ia section nulle) de TV ci de faire attention
aux signcs. On choisit près de chaquc singularitC de f un pararnCtrage tel quc (2) et
dans cclui-ei, on définit un vecteur tangent a V par X = a/au (l’imagc par f cst Ic
vecteur non nul (i, 1) ). On prolonge ces donnCcs locales en un champ de vecteurs X
a singularités isolécs sur V et on définit un champ transverse Y en multipliaru l’imagc
dc X par i. Près de chaque singularité, on a Y = (—t,—i) = —1+ ij = —t + k. On
relèvc Y en un champ Y de sorte quc Y = (—t + kU) près des ex-parapluies. On
en dCduit aisCmcnt un champ normal a f’ qui a Ics mCmcs zeros que X et, modulo Ia
,
,
facile verification de signe, le résultat.
.
2
2. EXEMPLES DE SURFACES LAGRANGIENNES DANS T*R
2.1. Confluence de parapluies et points doubles
Si W
=
T*R2 dans laquelle V
.V =
0 par force, 2 d
—
p=
x( V)
ne depend done
pas du choix de l’immcrsion. Ceci n’est pas très Ctonnant: it est possible dans certains
cas d’élimincr ensemble deux parapluies ci un point double (positif) ou de remplacer
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES.. -
591
deux parapluies par un point double (nCgatif). Les modClcs suivants sont aux confluences
de parapluies décrites dans [1] cc quc Ics parapluics déployés sont aux parapluies.
Le morceau de surface est paramétré par
f(t,u)
=
(t2iu,tu2
+
3
at
—
vt ~t3u)
= (q,,q
2,p,,p2)
oü v ~ R est Ic paramètre de la deformation et a = + 1 va dCcrire les deux types de
deformations (elliptique ou hypcrbolique). Le plus simple est d’exhiber et de dessiner
les fronts correspondants (figures 6 et 7).
g~(t,u)
(t2,u,~-t3~2 +
=
~-at~
—
~~vt3)
(q1,q2,z)
Figure 6. a
Figure 7. a
=
=
I cas elliptique.
—1 cas hyperbolique.
suci ñ.i~AVD!N
592
tin point double de Ia surface correspond a deux points du front qui ont mCme projec-
tion sur Ic plan des q et des plans tangents parallèles. Dans Ic cas elliptique (a = I ) iI
y a un point double pour v > 0 obtenu pour (t, u) = (±.J~J,(I) : dans Ic cas hyperbolique (a = —l ), il yen a un pour v < 0 , obtenu pour (lu)
calcul direct montrc quc le premier est > 0 et Ic second < 0
=
(
i}
~
Un
.
2.2. Parapluies, points doubles et anses d’indice I
La figure 8 reprCsente une anse avec un point double (nCgatif) et unc anse plon’
-
(avec dcux parapluics). Les deux permcttent de faire des sommes connexes de surfaces
orientCcs ou non (encore unc fois, un point double nCgatif <vaut>~deux parapluies). Par
exemple, Ia surface de genre 2 rcprCsentCe sur Ia figure 5 cst Ia somme connexe de
deux tores standard (figure 2) realisee grace a l’anse a parapluies. La figure 9, qualit a
dIe, reprCsente Ia sornme connexe de g tores, rCalisCe avec des anses inimergécs. II
s’agit d’une vraic immersion lagrangienne dc la surface de genre g , avec p — I points
doubles (nCgatifs).
Figure 8.
~
~-J~--.
~-,
Figure 9.
-
-i
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES...
593
Figure 10.
Ces anses peuvent aussi être ajoutees
a des
surfaces connexes, celle
a parapluies
détruit alors l’orientabiité. Par exemple, si on ajoute l’anse a parapluies a l’immersion de Whilney (figure 3) on obtient une immersion de La bouteille de Klein avec un
point double et deux parapluies (figure 10).
2.3. Les surfaces orientables
Tous les triplets
2g
d~, d_, p
—
de nombres
2+ 2d~—
2d.p
0 qui vérifient
0
c’est a dire la proposition 1.3.1 peuvent être rdalisés conune nombres de points doubles positifs, négatifs, de parapluies pour une immersion lagrangienne d’une surface
orientable de genre g. Grace aux modèles de 2.1 et au fait qu’il est très facile de créer
une paire de points doubles de signes opposes (hélas l’inverse est moms evident) ii est
clair qu’il suffit de montrer qu’on peut rdaliser le nombre minimum de points doubles
autorisé par la proposition, c’est a dire d~= 1, d = 0 pour La sphere, d~= d_ = 0
pourle tore, d~ =
= g—l pour une surface de genre g
2. C’estceque
0,d_
montre Ia figure 11.
594
MICIIELE AU DIN
P
-~
--
.
.--~
1
:2
Figure 11.
2.4. Elimination de points doubles
II est classique [2J et folklorique qu’on peut réaliser toutes les chirurgies (et tous
les cobordismes élémentaires) dans le cadre des immersions lagrangiennes, grace aux
familles génératrices
S~(a,q) =
oü y E
[—
—
aQ(q)
+
I, I] est un paramètre, a E R,
ay
Q
est une forme quadratique non-dCgCnérée
sur R’~.On a
=
a2
—
Q(q)
+
y
cc qui fait quc la sous-variCté de R x R’~dCcrite par 8S~/ôa= 0 est une quadrique
(son type depend de la signature de Q et du signe de y ) et
(a,q)
~
(q~-~)
en dCcrit une immersion lagrangienne dans T*Rn. Considérer p comme une variable
supplCmcntaire revient a considCrer le cobordisme éLémentaire d’indice ad hoc, dans
l’espace T*R~~I
Dans le cas qui nous intéressc, it convient de choisir ~ définie positive et n = 2
On est alors en train d’ajouter unc anse, tout en suppnmant un point double (figure 12).
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES...
595
~q~q
0
y>0
y<
Figure 12.
On vCrifie aisément, soit directement soit grace
a
1.3.1 que l’anse est orientable si
et seulement si le point double était positif. A partir des exemples de la figure II on
construit done ainsi tous les exemples de plongemenLs de surfaces non-orientables de
[4]: on remplace chaque point double négatif par une anse non-orientable (ou plus exac-
tement désorientante) comme sur la figure 13. La méme chirurgie appliquée au point
double positif de l’immcrsion de Whitney (dont le front est la soucoupe volante) foumit
le plongement usuel du tore T2 (figure 14).
Figure 13.
596
MICI1EI,E AIJI)IN
Figure 14.
2 ( C)
2.5. Surfaces non-orientables dans P
Utilisons Ia structure symplectique standard sur P2( C) et montrons
PROPOSITION 2.5.1. Pourqu ‘une surface non-orientablcpossèdc unplongcment lagranglen dans P2 ( C)
laurel ii suffit que sa caractéristiquc d ‘Euler soil 0 ou I modulo
, ii
4.
DEMONSTRATION. Ii est clair que toutes les surfaces qui ont un plongement lagrangien
dans R4 en ont un dans n’importe queUe variété symplectiquc. II suffit done de sc
préoccupcr de Ia bouteille de Klein ci des surfaces de caractCristique d’Euler I modulo
4.
Plongeons d’abord Ia bouteille de Klein: on commence par deux excmplaires lagrangiens de p2 (R) par exemple {[ a, b, c] mid a, b, c E R} ci {[ ia, ib, cJ mid a, b, c E
IR} qui se coupent transversalement en [0, 0, 1] . On applique Ia chirurgie dCcrite ci,
dessus, cc qui remplace Ic point d’intcrsection par une anse plongée et donne done bien
un plongement lagrangien de Ia boutcillc de Klein.
On applique Ia mCmc mCthode pour plonger Ics autres surfaces en question: Ic cas de
F2(R) (c’cst ~dire le cas üü x = 1) estctair(on vient dc I’utiliser). Soicnt mainlcnant
unc surface V plongéc avec caractCristiquc d ‘Euler 0 mod 4 et un P2 ( R) lagrangien
qui la rencontre transvcrsalcment en deux points. On applique Ia chirurgie en chacun de
ces deux points, obtenant ainsi une nouvelle surface V’ plongCc, dont la caractCristique
d’Euler est
=
x(V) + x(P2(R))
—4
=
x(V) —3
on a ainsi construit un exemple de plongement lagrangien pour chacunc des surfaces en
question.
RCciproqucment, Ia mCthode de [5] déjà utiliséc ci-dcssus permet dc monirer
597
QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES...
2
K
(P
Figure
15.
LEMME 2.5.2. Soil f: V
W uricimmei~iond ‘unc varlété
de dimension n palm
da.ns unc va.riété compacte orientée W de dimension 2 n. Soit u E H’~(W; Z /2) Ia
cla.sse duale a 1 ‘image de [V 1. Si
—÷
f:
H”(W;Z/2)
V
—~ H2~(W;Z/4)
désignc Ic carré de Pontrjagyn, alors
(2u,[W])+2d(f)~(e(Nj),[V])
-
+2(w
1(N1)w~.1(N1),[V])mod4
U
En fait, w1(N1) = w1(V) (puisque W est orientable). En plus dans le cas oü
W = P2( C) le carrC de Pontrjagyn est très facile a calculer puisque la cohomologie est en
fait entière:
a Vu = ü (Vu,
ümod4
quelque
ii relevant
u
2(P2(C);
Z) onen;particulier
[WI) pour
= 0 n’importe
ou I suivant
u = 0 ou
dans
H
u ~ 0. Dans le cas lagrangien, on a bien sar N
1
—TV pour une surface plongée
,
,
‘.-.-
~‘
,
MICIHOl
DIN
lo~rangicnncinenIdans P2 ( C) Ic lemme donne done
(Pu,I WI)
+
0
—~(V)+ (w~,[ V])
EX(V)rnod4
LEMME 2.5.2. Rcrnarquons, comme consequence immediate, qu ‘en Cclalanidcuxpoir’
aslucieuscincnl choisis dans
P2 ( C)
,on en déduit desplongemenis lagrangien.c c/c lou-
Ics les surfaces non-orientahies dans Ia vane/c obtenue par cci éclat em ent.
REFERENCES
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14
3] M. At ‘DIN, Fihréic norinaux d ‘iinmcr.s’ions en dimension rnoitié, points doublesd ‘immncrsion.c
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eds., Lecture Notes in Mathematics 1051, 19K3.
Manu.ccript received: October 9, 1990
Revised version: February 5, 1991