EXERCICE 1 – Balancier d`une pendule Les horloges

TD physique Terminale
Page 1
© http://physiquark.free.fr
EXERCICE 1 – Balancier d'une pendule
Les horloges anciennes donnent l'heure grâce à un balancier qui oscille régulièrement et qui bat la seconde, c'est à dire qu'il fait
un aller et un retour en 2 s (une oscillation).
Le balancier est constitué par une masse M = 0,200 kg, fixée à l'extrémité d'une tige de longueur l = 0,99 m, et dont nous
négligeons la masse.
Ê 1) Calculer la valeur de la période T du balancier.
2) Pour vérifier l'exactitude de cette période, on réalise l'expérience suivante : on le fait osciller devant une pendule d'horloge
astronomique de période T0 = 2 s.
Nous constatons que toutes les 11 minutes 8 secondes les deux pendules sont en coïncidence, c'est à dire passent simultanément
par la position verticale avec des vitesses de même sens, le pendule astronomique allant un peu plus vite.
a) Lequel des pendules a la plus grande période ?
b) Calculer le nombre d'oscillations effectuées par le pendule le plus rapide, en déduire le nombre fait par l'autre (ne pas
utiliser le 1).
c) Calculer la période du balancier au millième près.
d) Calculer la longueur du balancier au millième près.
Ë On constate qu'au bout de 30 oscillations l'amplitude des oscillations passe de 6° à 3°. On note θ l'angle que fait le balancier
avec la verticale et ̇ sa vitesse angulaire.
1
2
2
1) Montrer que l'énergie mécanique du balancier est donné par la relation : E m=M.g.l.1 −cos  M. l . ˙
2
2) Le système est-il conservatif (l'énergie se conserve-t-elle) ? Si non, calculer la puissance perdue.
3) Le balancier est mû par un poids moteur de masse m = 10 kg qui peut descendre de 1,5 m. Pendant combien de temps peut-il
faire fonctionner l'horloge ?
2
m. l 2  M. r 2
5
Ì Pour certain pendule plus complexe, on peut montrer que la période est donnée par la relation : T =2 
mM . g.d
expression dans laquelle m et M sont des masses, l, r et d des longueurs.
Vérifiez que cette expression est bien celle d'une période, c'est à dire qu'elle s'exprime en seconde.
Données : g = 9,807 m.s-2

TD physique Terminale
Page 2
© http://physiquark.free.fr
EXERCICE 1 – Balancier d'une pendule
Ê 1) T =2 

corrigé

l
0,990
=2 
=1,996 s
g
9,807
2) a) L'horloge a la plus grande période car le balancier va moins vite.
b) Le nombre d'oscillations pour une certaine durée est égal au rapport de cette durée par la période d'oscillation donc
t
11 ×60 8
n= =
=334 . S'ils se retrouvent en phase, cela veut dire que le balancier aura une oscillation de retard donc son
T0
2
nombre d'oscillations vaut n' = 333.
t
11 ×60 8
=2,006 s
c) s. T = ' =
n
333
 
668
333
2
×9,807
T2
×g=
=1,000 m
4. 2
4. 2
Ë 1) Système {pendule}
Référentiel terrestre supposé galiléen.
Forces appliquées : Poids et forces de frottements.
Em = EC + EP
1
1
1
2
2
2
2
E C = M. v = M.l ̇ = M. l . ̇
car v = R.ω
2
2
2
Référence des potentiels : voir schéma.
EP = Mgz = Mg(l - lcosθ) = Mgl(1-cosθ)
1
2
2
Donc E m=M.g.l. 1 −cos  M. l . ˙
2
d)
l=
l
θ
Ep=0
2) Le système n'est pas conservatif puisqu'il y a des frottements.
d   0,105
̇=
≈ =
Initialement θ = 6° = 0,105 rad.
= 0,0523 rad.s-1
dt T 2,006
Em = 0,2 × 9,807 × 1 × (1-cos(0,105)) + 0,5 × 0,2 × 12 × 0,05232 = 11,02.10 -3 J
d   0,052
̇=
≈ =
Finalement θ = 3° = 0,052 rad.
= 0,0259 rad.s-1
dt T 2,006
Em = 0,2 × 9,807 × 1 × (1-cos(0,052)) + 0,5 × 0,2 × 12 × 0,02592 = 2,76.10-3 J
Donc ∆Em = 8,26.10-3 J.
Or pour de petites oscillations, la période reste constante donc pour trente oscillations, on a une durée de t30 = 30 × T = 60,18 s
 E m 0,00826
-4
=
=1,37 .10 W
Soit une puissance perdue de : P=
t 30
60,18
3) L'énergie fournie par ce poids moteur vaut E'm = E'P = mgh = 147,1 J.
La puissance perdue est compensée par l'abaissement de la masse m donc on a une durée tosc de :
E 'm
147,1
6
t osc=
=
-4 =1,07.10 s = 298 h = 12,4 jours
P
1,37 .10
Ì Dimension de ce qui est sous la racine carrée.
g est une accélération donc de dimension : [L] [T]-2
2
m. l 2  M. r 2
2
5
[ M ].[ L]
1
T =2 
⇔
=
=[T ]
-2
-2
mM . g.d
[ M ][ L][T ] [ L]
[T ]
On a bien les dimensions d'une durée.


