Chapitre n°10 : « Les triangles »

5ème1
2009-2010
Chapitre n°10 : « Les triangles »
I. Rappels
Vocabulaire
• A , B et C sont les sommets.
• [ AB ] , [ BC ] et [ AC ] sont les
trois côtés du triangle.
BAC , 
BCA et 
ABC sont les trois
• 
angles du triangle.
• Le point C est opposé au côté [ BA ] . De même, [ BC ] est opposé à A .
Triangles particuliers
• Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de
même longueur.
Dans ce triangle, [ AB ] est la base et C est le sommet
principal.
• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un
angle droit.
Le côté situé en face de l'angle droit est appelé
l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
• Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur.
• Un triangle quelconque
est un triangle qui n'est
pas isocèle, rectangle ou
équilatéral.
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II. Inégalité triangulaire ; constructions de triangle
1/ Inégalité triangulaire
D'après le schéma ci-contre, on peut dire que :
• la distance Sarcelles/Saint-Denis est inférieure
à la distance Saint-Denis/Gonesse plus
Gonesse/Sarcelles.
On considère maintenant un triangle IJK . En raisonnant de la même façon, on trouve que :
• IJ  IK KJ
• IK  IJ  JK
• KJ  KI  IJ
Ces trois inégalités sont appelés les inégalités triangulaire.
2/ Construction connaissant les trois côtés
Construis le triangle ABC tel que AB=5 cm , BC =3,8 cm et CA=6,5 cm .
• Il y a quatre triangles possibles. On
remarque qu'il y a des symétries.
• Par rapport à  AC  : ABC et
AB ' C ; A1 B 1 C 1 et A1 B ' 1 C 1 .
• Par rapport à la médiatrice de
[ AC ] : ABC et A1 B 1 C 1 ;
AB ' C et A1 B ' 1 C 1 .
• Par rapport au point O : ABC et
A1 B ' 1 C 1 ; A1 B 1 C 1 et AB ' C .
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Méthode
• On commence par tracer le côté le plus long.
• A l'aide du compas, on trace deux arcs de cercle qui se croisent, avec les deux autres
longueurs.
• On relie pour former le triangle complet.
3/ Construction connaissant deux côtés et un angle
BAC =55° .
Construire un triangle ABC tel que AB=7,9 cm , AC=3,8 cm et 
Méthode
• On commence par le côté le plus long.
• A l'aide du rapporteur, on construit
l'angle dont la mesure est donnée.
• A l'aide du compas, on prend la 2ème
longueur, on fait un arc de cercle sur le
2ème côté de l'angle.
• On relie pour former le triangle complet.
III. Somme des angles d'un triangle
Activité
Trace un « grand » triangle puis mesure le plus précisément possible ses trois angles.
Après avoir mesurer, faisons la somme des mesures des angles :

BAC  
BCA 
ABC =1162044=180
A 1 ° près, on trouve un résultat proche de 180 ° . On admet la propriété suivante...
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Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180° .
Application
Cette propriété permet de calculer des mesures d'angles dans un triangle.
Dans le cas général, il faut connaître au moins deux mesures.
• Dans le triangle ci-contre,
calcule la mesure manquante :

SOL=180 – 4823

SOL=180 – 71

SOL=109°
(oublié... à intégrer dans le II)
4/ Connaissant un côté et ses deux angles adjacents
CAB=42° et 
CBA=55° .
Construire un triangle ABC tel que AB=7,5 cm , 
Méthode
• On commence par tracer le côté dont on connaît la longueur.
• A ses extrémités, on construit les angles de mesure donnée.
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IV. Triangles particuliers
1/ Isocèle
Vocabulaire
Les angles à la base sont les deux angles construits à l'aide
de la base.
Exemple
FAI et
Dans le triangle ci-contre, les angles à la base sont 

FIA
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
Application
On considère un triangle IJK isocèle en K tel que 
IJK =47° . Calcule la mesure des deux
autres angles.
K
47°
I
J
• 
KIJ =47° car 
KIJ et 
KJI sont les deux angles à la base.
IKJ =180 –4747=180 – 94=86° Car la somme des angles est égale à 180° .
• 
Application bis
SFT =50° .
On considère un triangle TSF isocèle en T tel que 
F
FTS et 
FST sont de
• Les deux angles à la base 
même
mesure,
donc...
50°
FST = 
FTS=180 – 50÷2=130÷2=65°
• 
T
S
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2/ Triangle rectangle
Rappel
Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90 ° .
Propriété
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
Exemple
RAS =32° . Donne les mesures manquantes.
RSA est un triangle rectangle en R tel que 
S
32°
R
A
SRA=90°
• 
RSA=90 – 32=58 ° car les deux angles sont complémentaires !
• 
3/ Triangle équilatéral
Propriété
Les trois angles d'un triangle équilatéral
mesurent 60 ° .
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V. Droites remarquables dans un triangle
1/ Médiatrices et cercle circonscrit
Rappels
La médiatrice d'un segment est la droite qui
passe par le milieu du segment et qui est
perpendiculaire.
Application au triangle
Pour mardi 8/06
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• n°52 p 180
Pour mercredi 9/06
Contrôle !!
2/ Médianes
3/ Hauteurs
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