Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [0, 2π[ 1

Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [0, 2π[
1. 3sinx - 2= 0
2. sinx + 1 = -cos2x
3. 4cos2x – cosx = 3
4. tan2x + 4tanx – 12 = 0
5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0
6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0
Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [-π/2, π/2[
7. 12sec2x + 5tanx = 14
Sylvain Lacroix 2010-2011
www.sylvainlacroix.ca
Solutionnaire
Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [0, 2π[
1. 3sinx - 2= 0
3sinx - 2= 0 3sinx = 2 sinx = 2/3
θ1 = 0,7297 θ2 = π-θ1 = 2,4119
Réponse : x ε {0,7297; 2,4119}
2. sinx + 1 = -cos2x
Il faut mettre l’équation égale à 0.
sinx + 1 + cos2x = 0
Il faudrait avoir l’équation en fonction de sinx.
sinx + 1 + (1- sin2x) = 0 -sin2x + sinx + 2 = 0
Factorisons (produit ac = -2, donc les facteurs sont -1 et 2)
-sin2x + 2sinx - sinx + 2 = 0 -sinx(sinx – 2) – (sinx -2) = 0 (sinx – 2)(-sinx – 1) = 0
(sinx – 2)(-sinx – 1) = 0
Posons
Sinx – 2 = 0 sinx = 2 impossible
-sinx - 1 = 0 sinx = -1 x = { 3π/2}
Réponse : x ε { 3π/2}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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3. 4cos2x – cosx = 3
Il faut mettre l’équation égale à 0.
4cos2x – cosx = 3 4cos2x – cosx – 3 = 0
Factorisons
4cos2x –4cosx + 3cosx – 3 = 0 4cosx(cosx – 1) + 3(cosx – 1) = 0 (cosx – 1)(4cosx + 3) = 0
Posons
cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = { 0}
4cosx + 3 = 0 cosx = -3/4 θ1 = 2,4189 θ2 = 2π-θ1 = 3,8643 x = { 2,4189; 3,8643}
Réponse : x ε {0; 2,4189; 3,8643}
4. tan2x + 4tanx – 12 = 0
tan2x + 4tanx – 12 = 0
Factorisons
(ac = -12 et les facteurs sont 1x12 2x6 3x4)
Nous allons prendre -2 et 6
tan2x + 6tanx -2tanx – 12 = 0 tanx(tanx + 6) – 2(tanx + 6) (tanx + 6)(tanx – 2) = 0
Posons
tanx + 6 = 0 tanx = -6 x = -1,4056
tanx – 2 = 0 tanx = 2 x = 1,1071
si x ε [0, 2π[ et que la période de tanx est π, trouvons toutes les valeurs
x = -1,4056 x = -1,4056 + π = 1,736 x = 1,736 + π = 4,8776
x = 1,1071 x = 1,1071 + π = 4,2487
Réponse : x ε {1,1071; 1,736; 4,2487; 4,8776}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0
(Attention, sin(2x) veut dire que le (2x) c’est l’argument du sinus!)
Factorisons (produit ac = 12, donc les facteurs sont 3 et 4)
6sin2(2x) + 3sin(2x) + 4sin(2x) + 2 = 0 3sin(2x)(2sin(2x) + 1) + 2(2sin(2x) + 1) = 0 (2sin(2x) + 1)(3sin(2x) + 2) = 0
Posons
2sin(2x) + 1= 0 sin(2x) = -1/2 θ1 = 7π/6 θ2 = 11π/6
2x = 7π/6 x = 7π/12
2x = 11π/6 x = 11π/12
La période du sinus est P = 2π/|b| P = π
ou P = 12π/12
Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[
x = 7π/12 + 12π/12 = 19π/12
x = 11π/12 + 12π/12 = 23π/12
x ε {7π/12, 11π/12, 19π/12, 23π/12}
3sin(2x) + 2= 0 sin(2x) = -2/3 θ1 = -0,7297 θ2 = π-θ1 = 3,8713
2x = -0,7297
2x = 3,8713
x = -0,3649 (Ne respecte pas la contrainte)
x = 1,9357
La période du sinus est P = 2π/|b| P = π ou P = 3,141592
Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[
Ou x ε [0, 6,2832[
x = -0,3649 + 3,141592 = 2,7767 x = 2,7767 + 3,141592 = 5,9183
x = 1,9357 + 3,141592 = 5,0773
x ε {1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183}
Réponse : x ε {7π/12, 11π/12, 19π/12, 23π/12, 1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183 }
Sylvain Lacroix 2010-2011
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6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0
(Attention, cos(3x) veut dire que le (3x) c’est l’argument du cosinus!)
Factorisons (produit ac = -24, donc les facteurs sont -6 et 4)
8cos2(3x) + 4cos(3x) - 6cos(3x) - 3 = 0 4cos(3x)(2cos(3x) + 1) – 3(2cos(3x) + 1) = 0
(2cos(3x) + 1)(4cos(3x) – 3) = 0
Posons
2cos(3x) + 1 = 0 cos(3x) = -1/2 θ1 = 2π/3 θ2 = 4π/3
3x = 2π/3 x = 2π/9
3x = 4π/3 x = 4π/9
La période du cosinus est P = 2π/|b| P = 2π/3
ou P = 6π/9
Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[
x = 2π/9 + 6π/9 = 8π/9 x = 8π/9 + 6π/9 = 14π/9
x = 4π/9 + 6π/9 = 10π/9 x = 10π/9 + 6π/9 = 16π/9
x ε {2π/9, 4π/9, 8π/9, 10π/9, 14π/9, 16π/9}
4cos(3x) – 3 = 0 cos(3x) = ¾ θ1 = 0,7227 θ2 = 2π-θ1 = 5,5605
3x = 0,7227 x = 0,2409
3x = 5,5605 x = 1,8535
La période du cosinus est P = 2π/|b| P = 2π/3
ou P = 2,0944
Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[
Ou x ε [0, 6,2832[
x = 0,2409 + 2,0944 = 2,3353 x = 2,3353 + 2,0944 = 4,4297
x = 1,8535 + 2,0944 = 3,9479 x = 3,9479 + 2,0944 = 6,0423
x ε {0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}
Réponse : x ε {2π/9, 4π/9, 8π/9, 10π/9, 14π/9, 16π/9; 0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479;
4,4297; 6,0423}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [-π/2, π/2[
7. 12sec2x + 5tanx = 14
Il faut mettre l’équation égale à 0.
12sec2x + 5tanx = 14 12sec2x + 5tanx -14 = 0
Il faudrait avoir l’équation en fonction de tanx.
12sec2x + 5tanx -14 = 0 12(1 + tan2x) + 5tanx -14 = 0 12 + 12tan2x + 5tanx -14 = 0 12tan2x + 5tanx -2 = 0
Factorisons
12tan2x + 5tanx -2 = 0 12tan2x + 8tanx – 3tanx -2 = 0 4tanx(3tanx + 2) – (3tanx + 2) = 0
(3tanx + 2)(4tanx – 1) = 0
Posons
3tanx + 2 = 0 tanx = -2/3 x = -0,588
4tanx – 1 = 0 tanx = ¼ x = 0,245
Réponse : x ε {-0,588; 0,245}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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