Première S - Equations trigonométriques
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Première S - Equations trigonométriques
Equations trigonométriques I) Equations de la forme cos = cos a a est un nombre réel donné. • Si a est différent de 0 + alors : L’ensemble des solutions de l’équation cos ; • Si a =0 S= ; • Si a = S= ; ∈ ; alors : cos = cos a est : ′ ∈ = 1 a pour ensemble de solutions : ∈ alors : cos ∈ ; = -1 a pour ensemble de solutions : Exemples : Résoudre les équations : a) cos = cos b) cos c) cos2 = cos d) cos ( e) cos = √ 6 ) = =2 Solutions: a) cos = cos = + 2 S= b) cos ou = ; √ = + 2 ( ) comme cos ( ) = √ on obtient alors : cos = cos = + 2 S= ou ; = + 2 ( ) c) cos2 = cos 2 = + 2 ( + = S= ( 6 = = ) = = 6 ) ou Comme cos ( ) = ( ) ou + 2 ( ) ou ( ) = + 2 = ou = = + 2 ( ) ou = = + 2 ( ) ou = ; S= e) cos + ( ( on obtient : ( + 2 Il n’existe pas de réels + 2 + 2 = 2 n’a aucune solution. tel que cos L’ensemble des solutions est : S = ∅ =2 ) + 2 ≤ 1 alors cos ) ( =2 Comme -1 ≤ cos 4 + 2 ) = cos ( + 2 = 2 + 2 2 = ou ; ) ) d) cos ( cos ( a pour solutions : ( ) ( ( ) ) ) ) II) Equations de la forme sin = sin a a est un nombre réel donné. • Si a est différent de ou de L’ensemble des solutions de l’équation sin ; alors : sin • Si a = S= ′ ; ; • Si a = ; = sin a est : ′ ∈ = 1 a pour ensemble de solutions : ∈ alors : sin S= ∈ ; alors : = -1 a pour ensemble de solutions : ∈ Exemples : Résoudre les équations : a) sin = sin b) sin = c) sin2 = sin d) sin ( e) sin 4 ) = -3 Solutions: a) sin = sin = + 2 ou = = + 2 ou = S= b) sin = ; + 2 + 2 comme sin ( ) = on obtient alors : sin = sin = + 2 ou = + 2 = √ S= ; c) sin2 = sin 2 = a pour solutions : + 2 = ( + ) ( ) ou 2 ou 2 = = S= d) sin ( sin ( + = ) = 4 = comme sin ( + + 2 ou = ou = S= e) sin = -3 ; ) = √ = + 2 + 2 + 2 Comme -1 ≤ sin ≤ 1 alors sin Il n’existe pas de réels + 2 + = -3 n’a aucune solution. tel que sin = -3 L’ensemble des solutions est : S = ∅ ( ) ( ( on obtient alors : ou + 2 + 2 + 2 √ ) = sin 4 = ; 6 ) )