différentielles et coordonnées polaires

coordonnées polaires ; différentielles
on considère le système de coordonnées polaires ci-dessous :
y
y
M
r
θ
O
x
x
1) exprimer r en fonction de x et y
2) exprimer cosθ, sinθ et tanθ en fonction de x et y
3) donner l'expression générale de la différentielle df d'une fonction de deux variables
f(x,y)
4) en utilisant cette expression, calculer dr en fonction de x, y, dx et dy
5) exprimer d(tanθ) et en déduire dθ en fonction de x, y, dx et dy
le point M décrit maintenant une courbe, et M vient en M'
on appelle β l'angle entre OM et la tangente à la courbe en M
y
6) en supposant que MM' est la diagonale
d'un rectangle élémentaire (justifier),
exprimer tanβ en fonction de x, y, dx et dy
M'
β
dy
7) que devient cette expression
M
-si M décrit une droite passant par O ?
-si M décrit un cercle de centre O ?
r
θ
O
justifier soigneusement les réponses
________________
dx
x
corrigé coordonnées polaires ; différentielles
1) théorême de Pythagore r = x 2 + y 2
2) cosθ = x/r , sinθ = y/r et tanθ = y/x
 ∂f 
 ∂f 
3) la différentielle totale de f(x,y) est définie par : df =   dx +   dy
∂
x
 y
 ∂y  xy
 ∂r 
 ∂r 
2x
x
2y
y
 ∂r 
 ∂r 
4) on obtient alors : dr =   dx +   dy , mais   =
=
= et   =
r
r
 ∂x  y
 ∂x  y 2 x 2 + y 2
 ∂y  x
 ∂y  x 2 x 2 + y 2
x
df =
donc
x +y
2
2
dx +
remarque: on aurait pu utiliser
5) différentielle de tanθ :
y
x +y
2
dy
ou encore
2
r 2 = x 2 + y 2 puis
df =
2rdr = 2xdx +2ydy d'où dr = (x/r)dx + (y/r)dy
(
)
∂ tan θ
1
dθ =
dθ
∂θ
cos 2 θ
 y  dy ydx
d tan θ = d  =
− 2
x
x x
d tan θ =
df = f ' ( x )dx donc
1
donc en différentiant le produit y.  :
x
mais tanθ = y/x
x
y
dx + dy
r
r
2
 x   dy ydx 
2
− 2 
on en tire dθ = cos θ d tan θ =   
x 
r  x
y
6) si dθ est très faible, les deux demi-droites OM et OM'
sont quasiment parallèles au voisinage de M, donc MM'
est la diagonale d'un quadrilatère assimilé à un rectangle
de longueur dr et de largeur rdθ ;
M'
β
dy
M
rdθ
on peut alors écrire tan β =
dr
(
)
r
θ
2
 x   dy ydx 
or dθ = cos 2 θ d tan θ =   
− 2 
x 
r  x
O
dx
et dr = (x/r)dx + (y/r)dy il vient :
tan β =
 xdy − ydx
rdθ  x 2  dy ydx 
r
=  
− 2 
 =
dr  r  x
x  xdx + ydy  xdx + ydy
soit
tan β =
xdy − ydx
xdx + ydy
7) -si M décrit une droite passant par O son équation est y = kx donc dy = kdx et xdy - ydx = 0
tanβ = 0 donc β = 0
la tangente est confondue avec la droite
-si M décrit un cercle de centre O , r² = cte donc
on a cette fois tan β =
xdy − ydx
→∞
xdx + ydy
soit
β=
rdr=0 soit
π
2
xdx + ydy = 0
la tangente est orthogonale au rayon (orthoradiale)
__________________________
x