Cosinus – Sinus – Tangente dans le triangle rectangle

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Cosinus – Sinus – Tangente dans le triangle rectangle
Cosinus – Sinus – Tangente dans le triangle rectangle
_____________
Soit le triangle ABC rectangle en A :
B
Côté opposé
hypothénuse
Côté adjacent
A
C
I Cosinus C :
cosC =
côté adjacent
hypothénuse
0 ≤ cosC ≤ 1 pour 0 ≤ C ≤ 90°
A quoi ça sert ?
a) Calcul de la mesure de l’angle C :
côté adjacent AC
⎛ AC ⎞
cosC =
=
donc C = cos-1 ⎜
⎟
hypothénuse BC
⎝ BC ⎠
exemple : si AC = 12 et BC = 17 alors
côté adjacent AC 12
⎛ 12 ⎞
cosC =
=
=
donc C = cos-1 ⎜ ⎟ ≈ 45°
hypothénuse BC 17
⎝ 17 ⎠
b) Calcul du côté AC :
côté adjacent AC
cosC =
=
hypothénuse BC
donc AC = BC x cosC
exemple : si C = 25° et BC = 15 alors
côté adjacent AC
cosC =
=
donc AC = BC x cosC = 15 x cos 25° ≈ 13,6
hypothénuse BC
c) Calcul de l’hypothénuse BC :
côté adjacent AC
cosC =
=
hypothénuse BC
⎛ AC ⎞
donc BC = ⎜
⎟
⎝ cosC ⎠
exemple : si C = 35° et AC = 12 alors
AC
côté adjacent AC
⎛ 12 ⎞
cosC =
=
BC =
donc BC = ⎜
⎟ ≈ 14,6
hypothénuse BC
cos C
⎝ cos 35° ⎠
II Sinus C :
sinC =
côté opposé
hypothénuse
0 ≤ sinC ≤ 1 pour 0 ≤ C ≤ 90°
A quoi ça sert ?
a) Calcul de la mesure de l’angle C :
côté opposé AB
⎛ AB ⎞
=
donc C = sin-1 ⎜
sinC =
⎟
hypothénuse BC
⎝ BC ⎠
exemple : si AB = 9 et BC = 17 alors
côté opposé AB 9
⎛ 9 ⎞
=
=
donc C = sin-1 ⎜ ⎟ ≈ 32°
sinC =
hypothénuse BC 17
⎝ 17 ⎠
b) Calcul du côté AB :
côté opposé AB
=
sinC =
hypothénuse BC
donc AB = BC x sin C
exemple : si C = 25° et BC = 15 alors
côté opposé AB
=
donc AB = BC x sin C = 15 x sin 25° ≈ 6,3
sinC =
hypothénuse BC
c) Calcul de l’hypothénuse BC :
côté opposé AB
=
sinC =
hypothénuse BC
⎛ AB ⎞
donc BC = ⎜
⎟
⎝ sinC ⎠
exemple : si C = 35° et AB = 8 alors
AB
côté opposé AB
=
BC =
sinC =
hypothénuse BC
sin c
⎛ 8 ⎞
donc BC = ⎜
⎟ ≈ 13,9
⎝ sin 35° ⎠
III Tangente C :
tanC =
côté opposé
côté adjacent
0 ≤ tanC < ∞
pour 0 ≤ C < 90°
A quoi ça sert ?
a) Calcul de la mesure de l’angle C :
côté opposé
AB
⎛ AB ⎞
=
donc C = tan-1 ⎜
tanC =
⎟
côté adjacent AC
⎝ AC ⎠
exemple : si AC = 12 et AB = 7 alors
côté opposé
AB 7
⎛ 7 ⎞
=
=
donc C = tan-1 ⎜ ⎟ ≈ 30°
tanC =
côté adjacent AC 12
⎝ 12 ⎠
b) Calcul du côté AB :
côté opposé
AB
=
tanC =
côté adjacent AC
donc AB = AC x tan C
exemple : si C = 20° et AC = 11 alors
côté opposé
AB
=
donc AB = AC x tan C = 11 x tan 20° ≈ 4
tanC =
côté adjacent AC
c) Calcul du côté AC :
côté opposé
AB
=
tanC =
côté adjacent AC
⎛ AB ⎞
donc AC = ⎜
⎟
⎝ tanC ⎠
exemple : si C = 40° et AB = 9 alors
côté opposé
AB
AB
=
AC =
donc AC =
tanC =
tan C
côté adjacent AC
9
⎛
⎞
⎜ tan 40° ⎟ ≈ 10,7
⎝
⎠
IV Formules utiles :
tanC =
sin C
cos C
sin² C + cos² C = 1
ce qui signifie
(sin C)² + (cos C)² = 1

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