MATH 8 Unite 7 Perimetre Aire

Unité 7 – Le Périmètre et l’aire
Les unités de mesure
L’unité de mesure des longueurs est le mètre, ses multiples et sous-multiples.
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 m =1000 mm
1 dam = 10m
1 hm = 100m
1 km = 1000 m
La taille d’un homme s’exprime mètres, ou en centimètres. La maman de Judith mesure 1m 68,
Judith a 3 ans, elle mesure 80 cm.
La taille d’un bâtiment s’exprime en mètres. La tour Eiffel mesure 300 mètres de haut, le mont
blanc mesure 4 807 m.
La distance entre 2 villes ou deux pays s’exprime en kilomètres. Il y a 30 km entre Aix-enProvence et Marseille. Il y a 6 000 km environ entre la France et le Bénin, (Afrique de l’ouest).
Périmètre d’une figure
Définition: Le périmètre d’une figure fermée est la longueur de son contour.
Remarque: Un périmètre s’exprime en unités de longueur (m, cm, km,…)
Calcul du périmètre
Pour calculer le périmètre d’un polygone, on calcule la somme des longueurs de ses côtés.
Exemple :
Le périmètre P de ce polygone vaut :
soit :
Périmètre du rectangle
Le périmètre d’un rectangle s’exprime en fonction de sa longueur et de sa largeur.
P=L+l+L+l
ainsi ...
P = 2 (L + l)
Périmètre du losange
Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur.
Le périmètre d’un losange s’exprime en fonction de la longueur de ses côtés.
P=c+c+c+c
ainsi ...
P=4xc
Périmètre du carré
Le périmètre d’un carré s’exprime en fonction de la longueur de ses côtés.
P=c+c+c+c
ainsi ...
P=4xc
Périmètre du cerf-volant
Un cerf-volant est un quadrilatère ayant deux paires de côtés consécutifs de la même
longueur.
P=a+b+b+a
ainsi ...
P = 2 x (a + b)
PÉRIMÈTRE DES POLYGONES REGULIERS:
La circonférence
Les mesures de la longueur d’un cercle font intervenir un nombre noté π, ce qui se lit « pi »
et qui est la première lettre du mot périmètre écrit en grec.
Une valeur approchée du nombre π est 3,14.
Ses premières décimales sont :
Longueur du cercle
La longueur d’un cercle de rayon r
vaut :
Remarque : La longueur d’un cercle peut aussi s’exprimer en fonction du diamètre du cercle.
Si d est le diamètre du cercle, la longueur du cercle vaut :
Longueur du cercle
La longueur d’un cercle de rayon 4 cm vaut :
Les figures planes
Une figure plane, formée de lignes droites ou courbes, est une figure géométrique en deux
dimensions dont tous les points sont dans un même plan. Dans une telle figure il est possible de
calculer le périmètre et l'aire.
Le périmètre est la mesure du contour de la figure plane. On utilise la lettre P pour désigner le
périmètre. Pour un cercle, on parlera plutôt de circonférence (C).
L'aire est la mesure de la surface de la figure plane. On utilise la lettre A pour désigner l'aire.
Exemples de situation où il faut calculer le périmètre.
On veut construire une clôture autour d'un terrain.
On veut poser des moulures sur les murs d'une pièce.
On court autour d'une piste de jogging.
Exemples de situation où il faut calculer l'aire.
On veut recouvrir le terrain de gazon.
On veut peindre un mur de la maison.
On poser du tapis sur le plancher du salon.
La longueur, la largeur, la hauteur et la base
La longueur (L) est la mesure du plus long côté d'un rectangle. Elle est perpendiculaire à la largeur (l).
Dans un rectangle, on retrouvera parfois les expressions base (b ou B) ou hauteur (h) qui remplacent le
terme longueur (L).
On utilise aussi ce terme pour exprimer la distance entre deux sommets d'une figure plane ou d'un
solide.
La largeur (l) est la mesure du plus petit côté d'un rectangle. Elle est perpendiculaire à la
longueur (L).
Dans un rectangle, on retrouvera parfois les expressions base (b ou B) ou hauteur (h) qui
remplacent le terme largeur (l).
La hauteur (h) est la mesure d'un segment qui est vertical et perpendiculaire au sol. On retrouve la
hauteur (h) autant dans les figures planes (rectangle, triangle, parallélogramme, trapèze) que les solides
(prisme, pyramide, cylindre et cône).
La base a deux sens différents.
1- La base (b ou B) peut être la mesure de segments horizontaux dans le rectangle (b), la
parallélogramme (petite base b et grande base B), le trapèze (b) et le triangle (b).
2- La base peut aussi être la figure plane servant de "fond" ou d'"embouts" (de là le terme base) à un
prisme, une pyramide, un cylindre ou un cône.
Le côté et la diagonale
Le côté (c) est d'abord un terme général qui désigne la mesure d'un segment quelconque. On se sert du
terme de façon spécifique dans les formules impliquant le carré, les polygones réguliers et irréguliers.
La diagonale (d ou D) est la mesure d'un segment reliant deux sommets opposés dans une
figure plane ou un solide. Elle est notamment utilisée dans le calcul de l'aire du losange. On la
retrouve souvent dans les calculs impliquant la formule de Pythagore dans des problèmes sur
les figures planes ou les solides.
L'apothème
L'apothème (a) est utilisé dans 3 situations différentes.
1- Il représente la médiatrice reliant le centre d'un polygone au milieu d'un de ses côtés.
2- Il représente aussi la perpendiculaire reliant le sommet d’une pyramide régulière au milieu d’un des
côtés du polygone qui forme sa base.
3- Il représente la distance entre le sommet d’un cône et un point quelconque du cercle qui forme sa
base.
Voici une capsule vidéo qui porte sur l'aire des quadrilatères, des triangles et des polygones réguliers.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3NS3UexeQWA
Figure plane
Exemple
Périmètre
Aire
A=b×h÷2
Triangle
P = Addition de la mesure de tous les b est la base
côtés
h est la hauteur
A = c × c = c²
Carré
P = Addition de la mesure de tous les c est la mesure d’un
côtés
côté
A=b×h
Rectangle
P = Addition de la mesure de tous les b est la base
côtés
h est la hauteur
A=b×h
Parallélogramme
P = Addition de la mesure de tous les b est la base
côtés
h est la hauteur
A=D×d÷2
Losange
D est la grande
P = Addition de la mesure de tous les diagonale
côtés
d est la petite
diagonale
A = (b+B) × h ÷ 2
Trapèze
P = Addition de la mesure de tous les
b est la petite base
côtés
B est la grande base
h est la hauteur
A=c × a × n ÷ 2
Polygone
régulier
P = Mesure d'un côté x nombre de
côtés
c est la mesure d’un
côté
a est l'apothème
n est le nombre de
côtés
A=π x r²
Cercle
C = 2×π×rayon
ou
C = π x diamètre
Comment calculer l'aire d'un polygone régulier
Où :




A représente l'aire du polygone
c représente la mesure d'un côté
a représente la mesure de l'apothème
n représente le nombre de côtés du polygone
r est le rayon
π vaut 3,14159…
On utilise 3,14
Calcul de l'Aire d'un cercle
Archimède a donné une explication de la formule permettant de calculer l'Aire d'un cercle:
Unités d’aire
L’unité d’aire est le mètre carré, noté m2.
1 m2 représente l’aire d’un carré de 1 mètre de côté.
On utilise également les multiples et les sous-multiples du mètre carré.
Les multiples et sous-multiples du mètre carré
Les multiples du mètre carré:
Le décamètre carré : 1 dam2 est l’aire d’un carré de 1 dam de côté.
L’hectomètre carré : 1 hm2 est l’aire d’un carré de 1 hm de côté.
Le kilomètre carré : 1 km2 est l’aire d’un carré de 1 km de côté.
Les sous-multiples du mètre carré:
Le décimètre carré : 1 dm2 est l’aire d’un carré de 1 dm de côté.
Le centimètre carré : 1 cm2 est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
Le millimètre carré : 1 mm2 est l’aire d’un carré de 1 mm de côté.
Les unités agraires
Il existe également des unités d’aire agraires
(c’est-à-dire relatives aux
terrains, aux champs, aux bois,…)
1 are : 1 a = 1 dam2
1 hectare : 1 ha = 1 hm2= 10 000 m2
1 centiare : 1 ca = 1 m2
Changement d’unité
Lorsque l’on passe d’une unité d’aire à l’unité immédiatement inférieure (par exemple, de m2 à
des dm2), la mesure de l’aire d’une surface est multipliée par 100.
Exemple:
3,8 m2 = 3,8 x 100 dm2 = 380 dm2
Lorsque l’on passe d’une unité d’aire à l’unité immédiatement supérieure (par exemple, de m 2
à des dam2), la mesure de l’aire d’une surface est divisée par 100.
Exemple:
25 mm2 = 25 : 100 cm2 = 0,25 cm2
On a donc :
Il peut être utile d’utiliser un tableau, mais attention, il faut prévoir deux chiffres par unité.
Exemple:
3,8 m2 = 380 dm2