ETH E-Collection

Transcription

ETH E-Collection

Prom. Nr. 3144
Influence du type d'amortisseur
des machines
synchrones
sur
leur coefficient
d'amortissement et leurs réactances
transitoires et subtransitoires
Thèse
présentée à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Zurich
pour l'obtention du
grade de
Docteur es Sciences
Techniques
Par
Moutawé Achab
ing. dipl. de l'Ecole Polytechnique Fédérale de Zurich
citoyen de la République Arabe Unie (Syrie)
Prof. A. Dutoit
Rapporteur:
Corapporteur: Prof. Ed. Gerecke
Juris-Verlag
rp6i
Zurich
Leer
-
Vide
-
Empty
"L'homme n'est
de la
Il
ne
nature;
qu'un
un
roseau
pensant.
faut pas que l'univers entier s'arme
Une vapeur,
pour l'écraser.
suffit pour le tuer:
ce
qu'il meurt,
qui
et
le
une
goutte d'eau,
Mais, quand l'univers
l'écraserait, l'homme serait
noble que
sur
plus faible
roseau, le
mais c'est
encore
plus
tue, parce qu'il sait
l'avantage que l'univers
lui; l'univers n'en sait rien.
"
Pascal
a
Leer
-
Vide
-
Empty
Cette étude
de l'Ecole
gratitude à
recherche
été entreprise à l'institut de Construction des Machines
a
Polytechnique Fédérale
de Zurich.
Monsieur le Professeur A. Du
scientifique, qui m'a
pour mener à bien
A. Du toit pour
cette occasion
toit, qui m'a initié dans
soutenu par
ses
conseils et
électriques
ma
profonde
le domaine de la
précieuses directives
travail. Je remercie très sincèrement Monsieur le Professeur
ce
son
J'exprime à
aide et
sa
patience.
Je tiens aussi à remercier Monsieur le Professeur E.Gerecke
voulu accepter d'être du
jury,
ses
critiques
et ses remarques
me
qui
a
bien
sont d'un intérêt
précieux.
Je remercie
un
la
également le conseil de l'Ecole Polytechnique, qui
important crédit pour entreprendre la partie expérimentale de
générosité
A
mes
ce
a
pu m'accorder
travail, grâce
à
de la Maison Brown Boveri à Baden.
collègues
toire, j'exprime
mes
les assistants
au
susdit Institut et
au
personnel de
sincères remercfments pour leur précieux
son
concours.
Labora¬
Leer
-
Vide
-
Empty
7
-
-
Avant-propo
L'enroulement amortisseur pose
problème très
suivant les conditions que doit
synchrones,
permanent, oscillatoire, capacitif
que. De toute
manière, l'emploi
pour but principal
d'augmenter
à l'égard du rôle de
réglage
un
ou
s
remplir
inductif,
délicat dans les machines
cet amortisseur soit
ou en cas
en
de court-circuit
régime
dissymétri¬
d'enroulement amortisseur dans les alternateurs
a
leur stabilité de fonctionnement et d'améliorer leur
ces
machines dans les réseaux à interconnexions multi¬
ples.
On s'est
appliqué dans
le
présent
travail à étudier
théoriquement
de certains types de barres d'amortisseurs et suivant que
trapézoïdale, circulaire
et de mettre
maximum
perméance
perméance
rectangulaire, à chercher les conditions d'amortissement
évidence la corrélation existant entre leurs coefficients de
et les réactances subtransitoires et transitoires de la machine.
Il était
généralement difficile
réactances
ces
ou
en
la
barres ont la forme
ces
en
de déterminer à l'avance et
fonction des dimensions de la machine et de
sans essai
préalable,
ses
constantes
une
partie de
physi¬
ques.
Sur la suggestion de Monsieur le Professeur A. Dutoit
vail
a
été
dirigée
dans
ce
sens.
On peut trouver
ici
des formules
exactes, pour calculer les dites réactances. Cependant,
est de déterminer par le calcul et
ance
à
sans recours
ce
tra¬
assez
difficulté subsiste qui
graphique,
la
permé¬
de l'enroulement d'excitation.
Les machines
larité dont
circuit
on
a
synchrones présentent
cherché
en
cas
de court-circuit
limiter les effets nocifs. En
a
effet,
au
sont dûs à la
maximum
teur qui
composante
inverse
résulte,
engendrées
par
ces
vient illusoire lors des oscillations qui lui
ce
une
particu¬
s'agit
trouvent engen¬
pôles
et qui
alors pour rendre
courants et le
couple retarda¬
de les concentrer dans des amortisseurs résistants.
L'utilité d'un enroulement amortisseur résistant
être faible à
se
dans les têtes de
de la réaction d'induit. Il
les pertes par effet Joule
en
machine, surtout
brusque
moment du court-
polyphasé dissymétrique, des courants de fréquence double
drés dans les parties mobiles de la
moment.
Pour concilier
alternateurs de deux amortisseurs,
mais
une
méthode
une
simples,
succèdent,
ces
pendant
puisque
deux contraires,
un
sa
court-circuit,
de¬
résistance devait
on a
équipé
l'un à forte résistance l'autre à faible
certains
résistance,
à grande réactance.
L'effet de
métriques,
freinage du premier, s'exerce surtout
le second intervient peu
oscillations succédant
au
en raison
court-circuit,
de
sa
lors des court-circuits
dissy¬
grande constante de temps. Les
sont amorties cette fois par l'amorhsseur peu
-
résistant,
comme on
pourra le constater
tion du moment de la machine durant le
8
-
plus loin dans le chapitre concernant la varia¬
régime oscillatoire.
CHAPITRE PREMIER
Perméance
I.
Pour traiter le
problème,
entre elles et sont par
aux
d'une
encoche
suppose que les
on
conséquent,
lignes magnétiques
sont
parallèles
champ magnétique, perpendiculaires
le
comme
rectangulaire
parois de l'encoche considérée. Cela implique que
perméabilité magnétique
la
du fer est infinie.
Les
rant,
grandeurs H, champ magnétique,
sont
champ électrique,
E
supposées fonctions sinusoïdales du temps.
Le
et i densité de
champ électrique
cou¬
et la den¬
sité de courant i ont la cirection de l'axe de l'encoche.
On considère l'élément de surface hachuré
étudiée dans
Loi
une
rotE
=
-
d'Ampère.
la définition du
rotH
rotationnel,
•rotH
calcule i
en
des courants
sera
=
H(y)bn-H(y+dy)(bn+dy)
il
il
-2p-
(1)
dt
on
(2)
i
peut écrire, figure (1):
0H.ds
bdy~°
/H.ds'
répartition
on
-•
=
lim,
=
a
o
*
Théorème
Or,
et
section donnée de l'encoche.
de l'induction.
D'après
d'épaisseur dy
cela veut dire que la
fonction de la seule coordonnée y,
=
-
*
_
b-dy
3- (b.H)dy =T.b
o V
Bb
étant la
b
n
largeur
de
l'encoche,
est constant et par
conséquent
f--!-f
dy
La relation vectorielle rotE
a
pour composantes
2-
-
3y
les
axes
proj.
sur ox
proj.
sur
proj.
sur oz
3E
x
9z
3E
z
oy
3x
SE
x
—'
3x
sur
3z
3E
3y
0. Il reste:
(3)
bn
3E
9E
=
"dy
de coordonnées:
10
-
Les deux dernières composantes sont
-
identiquement nulles
car
plan xoy. La première composante est différente de zéro et
perpendiculaire
au
plan xoy), il
dE
D'après
la loi d'Ohm
z
-
'y
dH
=
dy"
reste
ÔdT
.
=
^
rotE est
comme E
parallèle
=
E
=
au
0 (E
0 et l'on peut écrire:
,A\
„
ô"
(4)
on a:
=1
E
ar¬
rêtant
la conductibilité
La relation
(4)
s'écrit:
dE
di
=
dy"
La dérivée de
du conducteur.
spécifique
l'équation (3)
T^y"
dH
=
PodT
•
=
,,
„
\
(4a)
ô8
donne:
d2H
b
di
dy2
bn
dy
_
~
..
...
]
*°r
b
bn
Posant:
~2
<x
Ou:
/3
+jwu 3-
=
oc
b
—
.
(l+j)\/^-Unr^
=
(i+j)/5
=
étant la partie réelle de o<:
-"||-¥- Pore"
*
L'équation différentielle
champ magnétique devient:
du
4-S
+
o(2H
=
(5)
0
dy2
Elle
a
pour solution
générale:
(6)
L
iwu0
On détermine les constantes
a
et b par les conditions
aux
que H.
En effet:
pour y
=
0,
H
=
0
l'équation (6)
devient:
limites du champ magnéti¬
11
-
o
D'où:
a
=
-
ii±ilA(a.D)
=
b
'ta
D'après
In
le
J
*1t AmnAnn
fknnMnmA
théorème
I
d'Ampère
U
*-ll
H.
dl
Ioff
—
pour y
=
h, H
=
"
n
-^—
et
l'équation (6)
on a:
.
=
I
,
devient:
"n
[e-/Jh(l+j) e+/ih(l+j)l <2a
bn(Ui)-fl
Irff
=
.
.
L
2.ÎLOU-
J'
2.jcop0
Ce qui donne pour les constantes
a
et b:
*
W^Po
a_b.
'
2.sh[(l+j)/Jh]
y3(l+j)bn
D'après l'équation (3),
on a:
bn
.
1
Dérivant 1 'équation
(6)
=
-"b~
a/32(l+j)2
dy
j~ro
a
par
sa
a:
+
e-/3yd
An2
b
=
on
[e+/5y(M)
J^Ho
D'où:
remplaçant
dy
par rapport ià y,
dH
En
dH
"
^.i^_.ch[/,y(1+j)]
b
cju0
valeur,
on
a:
"Ï^Hoêff
ch/3y(l+j)
/3bn(l+j)
sh#h(l+j)
Pour calculer le module de i, il suffit de multiplier i par
°bUent:
i.i*
=
i
2
=1
2
eff
r2"2Fo
ch2/îy+cos20y
2b2/l2
ch2/3h
n'
Prenant la racine carrée des deux membres de
-
en
b
-i
ch20y
+
V ch2/3h
-
-
son
conjugué,
cos2/3h
l'équation précédente,
cos2/3y
cos2/3h
on
12
-
II.
Calcul
des
-
pertes
En désignant par R^la résistance du conducteur
ce
dissipée
en
une
D'autre part cette puissance est égale à
=
alternatif,
la
puissan¬
on
obtient:
eff
l'intégrale
P
=
bl
/
o
suivante:
.2
1T
dy
longueur axiale de l'encoche considérée.
Remplaçant
i par
sa
valeur dans
P
R
courant
I2„R~
h
=
au
seconde dans l'encoche est:
P
1
l'encoche
dans
I
=
2
eff
étant la résistance du conducteur
l'intégrale
et effectuant
1J3
sh2/3h
JTb
ch2/3h
au
courant
Ro
+
-
sin2/Jh
cos2/}h
continu,
=
fbh
Fig. 1
g
=
E
=
b
=
bn
h
=
=
champ magnétique
champ électrique
largeur du conducteur
largeur de l'encoche
hauteur de l'encoche
on a:
l'intégration,
13
-
Formant ensuite le
rapport
Ro
S
=
Ko
JL=:
Ro
=t
2?
ÏT
(11),
.
(2|
)2
(2j
4Ï
4
8J
=
^—
1
l
Pour
-
1,
2
+
=
1
+
Il est courant de chercher pour
laquelle R„
^5=:=
0
=
dh
(2j)10
,
,
"
'
8
-L
-
0,0034.|
0,089.?
quelle
8
+
1+
on
0,89«4h4
hcntique=i-(3'745)1/4
Et:
^
R0
(11)
neuf,
a
=
4
valeur de h le
dR
rapport
pose -jt-~= 0 et
——
"o
on cherche
est extremum.
ensuite la
va¬
est maximum.
D*°û;
La relation
—
io:
4
FU,par rapport à h,
leur critique de h pour
allant de zéro à
+
on a:
,
dérive
9
45.45
Ro
on
)6
*
J.
0,0889.$
—
Pour cela
i
cos2|
(2Ï)
V
,
+
+
45
=
-
6*.
2:
1+
sin2
on a:
on a:
'
,
(3h,
=
(11)
(2 S)5
5'.~
+
+
ch2j
série le rapport
en
£
sh2
D
5=-
Développant
posant £
et
——
-
-
0,356<x4h4
|
3
été
voir
représentée graphiquement
figure 2,
courbe 1.
en
fonction des valeurs de
£
14
-
l'encoche
de
Perméance
III.
Pour calculer le coefficient de
-
perméance,
considérée
il est nécessaire de connaître le
-*
^
champ H régnant dans l'encoche. De l'équation (4),
du courant i par rapport
a
en
fonction de la dérivée
«ouor>
Pour calculer la valeur absolue du
sh/3y(l+j)
1
di
'
conjuguée,
tire H
y.
1
on
on
I«ff* \
=
^Y
champ H,
'
sh/}h(i+j)
il suffit de
multiplier
H par
sa
valeur
obtient:
H
2
1
2
Ipff
=
611
ch2/3y
.
—5
ch2/ih
b2
On sait que le coefficient de
-
-
cos2/3y
cos2/3h
perméance
est donné par
l'intégrale
suivante:
} H2
°
Après intégration,
on
trouve:
1
sh2/3
2/îb
Sachant que dans le
le coefficient de
eff
cas
perméance
h
-
sin2£ h
ch2^h
-
cos2/îh
où le conducteur est parcouru par
est
\
=
-rr-—
,
on
un
courant
continu,
forme le rapport:
n
3
,
—
*0
La courbe
=
sh2|
-
sin2ï
(12)
—
21
ch2S
2, figure 2, représente
-
cos2^
la variation du rapport
appelé généralement la hauteur virtuelle de l'encoche.
(12)
en
fonction de
|,
-
Fig. 2
A~
15
Encoche
-
rectangulaire
=
coefficient de
perméance
au
courant alternatif
a
=
coefficient de
perméance
au
courant continu
i
=
hauteur virtuelle de l'encoche
16
-
-
CHAPITRE H
Impédance d'une encoche trapézoïdale
Cas
I.
On
où
l'encoche
est
emploie, pour traiter
Soit
sur
la
figure 3,
parcourue
problème,
ce
un
courant
un
système
continu
de coordonnées
(1234) d'épaisseur dr,
élément d'encoche
un
par
polaires.
de surface
frontale df:
La loi de Maxwell permet d'écrire:
^H.ds
rotH
=
_
lim
df
i est la densité de
courant, considérée dans
ce
paragraphe
constante
comme
sur
toute
la section de l'encoche.
L'intégration
long du
le
(1234), figure
contour
4 donne
en
remarquent que df
=
rd<x. dr.
rotH
=
Rh
L
(H
Où:
+
dr)(rdoc+dr.d«)-H.rd«l
+
-
.
J
3r
b(r)
Avec:
—
^dr)(b+dr. dot)
-
Hb
=
=
T
rda. dr
i.bdr
3r
=
rda
et
—
=
d<x
3r
On
a
l'équation
différentielle:
3r
b
JL+ ^S
Où:
courant
l'équation
i. Comme il
l'équation (13)bis
différentielle
s'agit de
courant
par rapport à
4
drz
=
+
r
qui lie le champ magnétique à la densité de
continu, la dérivée du deuxiememembre de
est nulle.
i---4=°
r
(13bis)
i
dr
r
Telle est
'
3r
dr
rz
Par dérivation de cette
équation
on
obtient:
<")
17
-
La solution
générale de cette équation est:
H
A et
A.R
=
+
(15)
~
B, étant deux constantes arbitraires à déterminer par les conditions
Le
des
-
champ
H est défini pour toutes les valeurs de r,
coordonnées, où il
de la solution
est infini.
intègre
On
donc depuis
sauf auf point
r..
à
r
aux
=
0, origine
rn, domaine d'existence
(15).
Conditions
aux
limites:
o
H.,
1. Pour
r
=
Tq,
on
2.
r
=
r..,
on a
Pour
est la valeur du
On
champ
remplace H1 par
H
a,
=
0, d'où
d'après
au
sa
B
-ArQ
=
la loi de l'induction:
(15),
=
I
„
r,.
on
2
eff
=
r
=
obtient:
T
Hi
b.H.
supérieur de l'encoche où
bord
valeur dans
—
.
r0
.
Ari-A-i7
D'où les constantes A et B:
A-^L..^
On
B
,
remplace dans (15), les
=
^
I
constantes A et B par leurs
valeurs;
on a:
"-^""^
La
perméance de l'encoche
est donnée par
*.--£I
„
eff
En remarquent que
\
b
-
=
—
et
l'intégrale:
/V.df
r,
posant K
1
1
rl
=
—-—,
bi<ri-ro>
.4
=
P
f°KV+^-2r2)^.rdr
rl
r
l
limites.
l'intégrale devient:
-
18
-
Fig. 3
Encoche
(1234)
=
trapézoïdale
élément d'encoche
d'épaisseur dr
d
=
b
=
petite base
b
=
grande base
r
=
rayon
polaire
Fig. 4 Encoche trapézoïdale
1234
=
élément de surface
frontale
élément de surface
df,
axiale
H*ÛJr/
£
H
=
champ magnétique
E
=
champ électrique
19
-
Soit
P
=
et
-r—,
d'après
3,
la figure
-
on a:
0
/3h
h
'0
En
remplaçant
ces
*
1-/3
relations par leurs valeurs dans
h/3u
»~
En
fi"
bî-PHi-p2)
par A
.4
.
de
\»,
on a:
1
(17)
0,75
log
T
fi
et par
y(/3)
la
quantité:
1
-log(l//J) -0,75
+
(l-/3)(l-/î2)
l'équation
perméance,
r/32
=
0
\-fil
le coefficient de
3/3
y(/3)
-
1
+
=
désignant
1
4
l-/}2
D'où:
(18)
V5^>
On
encoche
a vu
précédemment (page 14) que
rectangulaire, l'on déduit
méance d'une encoche
3bi
alors de
était le coefficient de
puisque l'encoche s'élargit
en
supérieur,
direction de
sa
perméance d'une
l'égalité (18), que le coefficient de per¬
trapézoïdale, est inférieur à
de mime hauteur et de même bord
La fonction
——
ce
celui d'une encoche
qui
rectangulaire
est d'ailleurs évident à
profondeur.
y(/3)
Tableau
I
y(/J)
0
0,1
y(/3)
0,6
0,972
0,531
0,7
0,099
0,2
0,732
0,8
0,992
0,3
0,841
0,9
0,998
0,4
0,906
1,0
1,000
0,5
0,947
Pour la courbe
représentative de la fonction
y(y8),
voir
figure 5.
priori,
20
0
Fig. 5
0,1
0,2
0,4
03
3/3
Cas
où
=
r*
r
(l-/3)(l-/32)
l'encoche
On avait dans le
est
paragraphe
2
L 4
=
en
comme
courant i n'est
c'était le
cas
pour
fonction de la coordonnée polaire
£l_
1
/3
par
un
trouvé
J
courant
alternatif
l'équation
différentielle:
!
dr
r
Maintenant, la densité de
X
log—-0,75
chapitre,
«*
+
=
b
i_/32
ce
f3
10
trapézoïdale par rapport â^
-ô
parcourue
I de
09
l
+
—
«
d'encoche
0,8
0,7
Variation de l'inductivité d'une encoche
y(/3)
II.
0,6
0,5
un
plus uniformément répartie
dans la section
courant continu. On supposera
qu'elle
varie
r.
Les grandeurs, densité de courant i, champ magnétique H, et champ électrique
21
-
E, sont considérées
fonctions sinusoïdales du temps.
comme
Soit df. l'élément de surface pris
longueur axiale
1
égale à
Il est évident,
direction de i,
la section d'encoche
(E
la loi d'Ohm
d'après
d'épaisseur dr et
de
de Pencoche.
=
—
),
que le
champ électrique
E a la
c.à. d. l'axe de l'encoche.
Appliquant
la loi d'Ohm
/E.ds
»
rntF
sur
longueur axiale
la
-
l'élément de surface df, figure 4
sur
r-
i
dr. 1
-1
3r
a:
aE
rir>
.
L
1
-i
~v
^(V
Tlr\
1
-
on
-âr
dr.l
La loi de Maxwell donne:
rotE
-u
=
=
—
-jeu
h
D'où:
1
-
Dérivant l'équation
(13)bis,
3i
•
wQH
par rapport
3^
1
3H
3r3t
r
3t
au
32i
3r2
3E
on a:
32H
+
de
.
3H
^—
-.
<*
|<x|
=]f\i
cjf
du second ordre
=-p0^jr
est la valeur absolue de
,
L'équation
&
une
—
,
Dar
_—
1<îurs
—Jurs donne:
=
qu'il faut essayer de résoudre. On pose:
Y-T-yjv^F =1R
•
Ie*1
ex.
différentielle devient:
»r*
C'est
<*
.
H
at
_.
r°*
3r
r
3
9r
et
ît
Equation différentielle
(13)bis+
3t
H°3r.3t
La substitution dans l'éauation (13)bis
3r2
on a:
_
at
Dérivant l'équation (19) par rapport à r,
1
temps,
3i
_
T
(19)
u
.
=
—
équation
+
1. 2L
r
de Kelvin
i
=
+
^.
=
0
(20)
3r
qui admet
AJoCf^ |«|
r)
comme
+
solution
BK0(Çi |«|r)
générale:
(21)
22
-
J
et N
o
o
-
étant les fonctions de Bessel et de Neumann d'ordre zéro,
A et B sont deux constantes arbitraires à déterminer.
1. Impédance par unité de longueur du conducteur trapézoidal
Soit R„ et
X, respectivement la résistance et la réactance par unité de longueur
du conducteur.
Impédance du conducteur:
Z
On sait
qu'entre
R_
=
„
E
=
„
Or:
Z
=
.
1
=
eff
eff
R_+ jujL
=
champ électrique
tension efficace et
U
jX
+
—
r=r.
j-
.
existe la relation suivante:
i
r=r.
^L J_.IeI1
(22)
=
*eff
!eff
T
La loi de l'induction donne:
^H-ds
D'où la valeur du champ
au
b.H
=
r
1
bord
=
—
r=r1
l'équation (19)
•
bx
1
=
limites
r=r.
,
r"1'1
En
remplaçant
H
_
par
sa
plus la substitution de
I
„
eff
3i
3r
on a:
J°)V*
valeur dans
'.n
De
I
—
iwu0r
aux
,,
eff
donne:
H
Pour la condition
I
supérieur de l'encoche:
H
D'autre part,
=
r=r*
,,
par
1-3r-lr=r1
l'égalité précédente,
on
obtient:
A-(-)
sa
valeur dans
l'équation (22)
donne la valeur de
23
-
l'impédance
du conducteur pour
-
r=r, :
)<*>Vr
(23)
3i
-ir
l'impédance Z,
Pour déterminer
par rapport â r,
(21)Y"j
1*1
au
par
r,
x
point
r
il suffit donc de calculer i ainsi que
simplifier l'écriture,
et l'on a pour r=r«,
^
[—]
En tenant
Pour
r...
=
Y-J|<x| ri
MoW
=
=
(21)bis
-AW^.J^Xj) -BWlY^.N^Xj)
=
_
=
-Nl
Jo
=
,
couplées
au
(21)bis+
"Jl
On détermine la constante A par la condition aux
c.à.d.
au
bord inférieur de l'encoche où il
conducteur. Donc H
=
n'y
a
limites, qui
est H
pas de lignes
o
Où:
0
on
a
=
-A\<xl'fi.J1(x0)
-
BWÇï.K^xJ
pour la constante A:
-B.
Nl<*o>
Jl<xo>
La dérivée de i
au
point
r=r,
est:
(&)„,-«"F-tw-j^-"^»]
Pour la densité de courant
au
point
r
N,(x)
1
Jl(xo^
=
r,,
on
a:
=
0 pour
magnétiques
0, entraîne:
L3rJr=r
Alors,
dérivée
xi*
BIW
+
sa
remplace dans l'égali:é
compte des relations de récurrence:
No
r=r
on
24
-
rapelle la signification de x,
On
x
=
x0
Xj
Y-?,
Icxl
x
,
et
-
x...
r
=lcXlfT.r0
l«l iR.i^
=
up
lotlY-î
h
2
R0
l'équation (23),
dans
Remplaçant
i
r=rl
et/-î-)
\
par leurs
^r/r=r1
valeurs,
on
a:
(24)
.N^x^.J^x^ -J^x^.N^x^
h/3
R
ro
r(b1+bo)
La formule
d'employer
l<xl
(24)
s'adapte
pas
au
calcul numérique,
on
1-/3
est pour cela
obligé
qui suit:
r
o
L'équation (24)
Rr
ne
la notation
=
devient
(1-/82)
Ti
après
cette tranformation:
•yqlFÏKi'Mp-^)
L J^p-fjJ.N^qfj)
2/3
N0(q^j). J^p-fj)
-
-
(25)
N^p-FjJ.J^qfj)
Désignant par:
Vl
V1
L'équation (25)
=
p-fj. [^(qlRi.N^pl/q) -N0(q^j).JlPfj)]
=
J^p-fji.N^qlFj)
-
N^p^.J^q-fj)
devient:
'
Ro
R0
On
multiplie
prend
les
conjugués
ensuite par
j,
Ro
=
^f
\ 2/} /
des deux membres de
Vx
l'équation précédente
on a:
JL
U
Ro
+
j.R_
Ro
p(l-/32)
20
V
m
V
[Jo*NlPVÏ> N^qYJj.J^pYJ)]
-
et
on
les
-
V
ployer
les tables
J1(ql|ï).N1(p-fi')
-
-
N^ql/I). Jx(p
)
les fonctions de Neumann par celles de
remplace
On
=
25
Hankel,
pour pouvoir
em¬
de Emde et de Janhke.
numériques
Relation de transformation Neumann-Hankel:
Hj'= Jx(z)
HjJ=
Alors
Jx(z)
jN^z)
jNjtz)
-
on a:
X
.
Û^
R.
Ro
R0
La
+
j
2/3
(26)
C.h{ (q^J).
-
constante C peut être calculée à part:
"
Jj(pf)
h} (pYï)
Cas du cuivre
1
Car pour f
=
sans
°
1
-
/î
'
-
j3
/3.h'
.->(
!=- hUu ur
=
1
grandeur
'
li
-
10
q
h':
CH^q-yj)"
-
=
-!
°
1-/3
dimension, s'appelle hauteur virtuelle de l'encoche.
50 Hz et L
=
1T
IïTl
1/ÏÔ
\50.50
50m/nmm
,
h
=
h
la hauteur virtuelle est
pratiquement égale à
la hauteur effective de l'encoche.
Calcul
numérique
On
teur
R
et
——
Ro
le deuxième membre de
l'équation (26), numérateur
et 1,on pose:
Jo1^
Hj(qVÏ)
=
=
HT.J^qUT)
=
X
-=—
Ro
multiplie
par^Ti
C
de
a+jb
Uo+jVo
h0+jkQ
=
"i+ivj
,
l[J-HJ(p"lfj)
=
h1+jkx
et dénomina¬
26
-
La substitution de
ces
valeurs dans
l'équation (26), donne:
p(l-/î2)
-ah +bk +j(v
^-o
p(l-/32)
x
(u1-ah1+bk1)z
o
)
(27)
on a:
et
(u1-ah1+bk1)z
R
——
Rn
R
domaine où
Le
,
ont été calculées
teur virtuelle de
commence
rapport
-=?
est
o
à
en
fonction de p et q,
1
est
Ro
résistance
étant
effet
4irl0
sur
la
un
de
c.à.d.
en
fonction de la hau-
paramètre qui
varie de
A
=
4
5
i
fonction de h*
sur
la
figure 6, où l'on peut voir
figure 7.
la définition
>
7
coefficient de
9 VS
perméance
L
=
inductance de l'encoche
=
Acm
au
courant continu
0,1 à
peau.
en
perméance.
Fig. 6
=
'
représenté
3
uo
R
l'encoche,
apparaître
du coefficient de
Lu>=Acojio:
(v1-bh1-ak1)':
+
représenté graphiquement
x
Tandis que le rapport
mathématique
(v1-bh1-ak1)'i
+
(vo-bh0-ako)(u1-ah1+bk1)-(uo-ah0+bk0)(v1-bh1-ak1)
2(3
R.
-ak
o
(uo-ah0+bk0)(u1-ah1+bk1)-(vo-bho-ako)(v1-bh1-ak1)
p(l-/3^)
R^
1,
-bh
00
=
2/3
X
O
u1-ah1+bk1+j(v1-bh1-ak1)
2/}
"o
O
séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
En
_
u
'
'
**»
R,
Rn
-
h'
27
0
0,5
1
1.5
2
Fig.7
-
28
-
CHAPITRE in
Inductance et
I.
où
Cas
le
perméance d'une encoche ronde
conducteur
par
Soit
en un
tangentielle
Pour résoudre
1.
un
courant
ce
champ magnétique
problême,
on
émet
perméabilité magnétique
<<p<2ir-
=
3.
est constant dans l'entrefer.
0, pour
tp..
H
<p<
au
H^,
et H~ les
point considéré.
suivante:
et 9
circulaire
angle d'ouverture
rayon
polaire
composante tangentielle du champ magnétique
composante radiale du champ magnétique
AB
une
parcouru
continu
l'hypothèse
Fig. 8 Encoche
!<Pl
est
du fer est infinie.
2. Hu,
Hy
l'encoche
dans
point de la section d'encoche, figure 8,
et radiale du
La
logé
isthme
avec
ligne du champ magnétique
composantes
29
-
-
Théorème d'Ampère
^Hyds
I
=
=
H^..2(f.a
,
-<f* <
q><<p-,
et
ç>
=
a
D'où la valeur du champ dans l'entrefer:
H
Développant
énoncée plus haut
en
I
<pl
I
courant dans l'encoche.
=
2cpjâ
série de Fourier la composante H<o conformément à
(voir figure 9),
on
l'hypothèse
a:
co
H,p
Comme la fonction
que les termes
en
bQ+2[bmcos(m(p)
=
est paire, il
H,p
ne
+
cmsin(m<p)]
reste dans le
développement de Fourier
cosinus.
Hv
=
bQ+2 (bmcosmcp)
(28)
Les coefficients de Fourier sont donnés par les
1
+cPl
dcp
intégrales:
I
2ira
Vt
sinmfpj
-<PX
I
Fig.9 Configuration
H
(p
2y.
de la
composante tangentielle H du champ dans l'isthme de l'encoche
=
valeur de la composante
=
ouverture d'isthme
tangentielle du champ dans l'isthme
30
-
et b
par leurs valeurs
I
I
H
Si i
v
2Ta
œ
2
ia
+—
+—
ia
=
2
^
1
a:
m
aussi:
on a
I
sinm<fsinm<f«
°2
on
(29)
cosm<p
1
TTÇj-a
désigne la densité de courant,
H
sinm<p.
oo
S
+
=
respectives dans l'équation (28),
cosir.Tcosmtp
avec i
.
,
b
remplaçant
,
En
-
=
-
(29)
——
1Ta^
mcp.
bis
Loi de Maxwell:
=T
rot H
div~H
En doordonnées
0
=
polaires
+
peut écrire:
3H
3H
H
—^-
-^—-—
-£-+—9-^-+—?-
^
+—?+
9(p
a
.
i
=
,
pour le rotationnel de H
(30)
,
divergence de H
(31)
3H
3Ha
H„
Dérivant
on
0
=
—
9^<P
l'équation (30) respectivement
2H
SH„
2
+
2H
—
(30)
1
Dérivant
l'équation (31)
+
<SH
H
-£-
+
?2
De
_^_=0
(30)bis,
on
obtient:
=
on
,
a:
(31)
0
3<p2
32H
32H
£
+
a?2
1
3H
?
-?—
=
bis
(31)bis+
0
p^Stp
3<p3p.p
P2
1
1
H,„+
*
î-
33p
3<p
tirant
z—
+
+
?-+
32H
,i
32H
£-
cap
l'équation (31)bis,
p'5
rapport à
3p3(p
p9<p
-
par
32H
3Hp
-£-
Sp''
pdp
bis
l\
3H„
•P+_^5+-L^Ï-+_L.J^--
p*
a:
on
o
=
32H,_
3H
H»
2.
p3<p2
3p3<p
p3<p
par rapport à «p et p,
3p
3p2
—)
2
—
p2
et
remplaçant
3Hn
P+
9<p
1
dans
32Hm
$=0
—
p2
l'équation
3<p
(32)
31
-
De
l'équation (30),
32H
Telle est
en un
+
p2
l'équation
+
remplace dans l'équation (32).
on
3
;X
3f2
.
—
et
—
%\
1
*
3p2
tire
on
-
3H
_
1
•
(33)
=o
p2
3p
p
21
H
-X.
+
p
différentielle qui permet de déterminer la composante H
point quelconque de la section d'encoche.
Une solution finie
point p
au
ip
H<P
En
=
£
En effet,
.
m
équation différentielle est:
de cette
co
"
~2~
comparant la solution (34)
constante
0
=
f £mm?
•
cos(m<p)
l'équation (29)bis,
avec
(34)
on
détermine ainsi la
obtientt:
on
iasin(m<p.)
Em
D'où la valeur du champ H
i<p
Y
mâ^-l
:
+
l-
2
iaf
•
i
Reste à déterminer la
L
m<p1
D'où:
dV
=
1
3V
Ho
3?
et les
1
3V
1
uo
3«p
?
=
Ayant déterminé
culer la
écrit la relation
on a:
Po?2i
sinmyi
2
-jm
.cosmcp
-__-Hoa1|_^-^_J
m
V
on
composantes du champ magnétique.
intégration
et par
Pour cela
Hv.
?
-Hcpp dp
(35)
J
composante radiale
qui existe entre la fonction potentielle V
V
f"p"Jm-l
-H
-a«(m<p)
sin(m<p .)
œ
ip
=
"
r
le potentiel V dans la section
composante radiale
3V
'
=
?
cal¬
1^ "p"
°2
^7
D'où:
H
peut à présent
1
°2
H<P
on
H0:
1
=
d'encoche,
ia
2
1
sinmcp,
sinmcp.
-
m<p1
|"rt îm-1
lm_1
[p
M-
L
a
J
•
sin(mcp)
(36)
32
-
Coefficient de perméance K
Le coefficient de
-
de l'encoche
perméance
l'intégrale:
est donné par
W5
dT
I*
dT étant l'élément de volume dT
dçdcpç
=
pour
une
épaisseur égale à l'unité de
sec¬
tion d'encoche.
On sait d'autre part que:
H2
H
de 0 â 2ir pour cp,
Intégrant
et H
ont,
2
sont
on
et de 0 à
orthogonales, c.à. d.
*
H2
pour ç>,
a
que tous les
et
les fonctions
remarquant que
produits
en
cosinus et sinus
H^
disparaîtr¬
a:
2tTa
Vo/(H?
*p
2tr
Vdpdfp
00
a
2
Or:
2
4
I
1/8 +1/2
.
-1
/sinmip-'
m(Pl
?ir?w2
J JH.
H
f
.2 4 TT
H
i
=
pdpd©
a
-5-
1
2
—
/sinmtPl\
2
I
D'où le coefficient de perméance:
00
*P
1/8
_
lim
TT
+
2
sin
1
ïCpi)
=
„
m<p1
X
,
„
on
peut démontrer que:
m3<p^
3/2
cas
où l'encoche est fermée.
91=0
Le calcul de
figure 10
en
£ (<pi),
a
été effectué par
un
développement
en
série,
la courbe
donne l'allure.
Plusieurs auteurs ont calculé
\
dans
l'hypothèse où les lignes magnétiques
du
champ sont parallèles entre elles et perpendiculaires à l'axe vertical de l'encoche,
ce
qui donne pour X
l'encoche.
=
0,55,
une
valeur constante
indépendante de l'ouverture de
33
-
$(<Pl>
30
Fig. 10
II. Cas
où
le
est
énoncée dans le
i,
m3.
1
(cas
paragraphe
sont des fonctions sinusoïdales du
cp|
180
150
du courant
parcouru
sidère de plus que les champs électriques,
rant
^
120
Encoche circulaire
conducteur
L'hypothèse
90
60
=
I de
par
ce
un
<$>'
continu)
courant
alternatif
chapitre reste valable. On
con¬
ainsi que la densité de
cou¬
magnétiques,
temps.
La densité de courant i n'est plus ici constante dans toute la section
mais elle est variable
en
fonction des coordonnées
polaires p et <p
d'encoche,
.
Loi de Maxwell:
rotH
rotE
3-
et
p
sont
respectivement
=7=
(38)
E
Ta
=
^°
M
la conductibilité
électrique
du conducteur et le coefficient
de perméabilité absolue dans l'air.
Dérivant par rapport
au
temps l'équation (38)
JL^-r^-rot
at
at
3t
on
obtient:
(39)
34
-
D'autre part
-
on a:
-1- roFE
3H
-
R
ât
ro
équation:
Prenant ensuite le rotationnel de cette
J-rotroŒ
-
rot-M
=
Ou
encore en
remplaçant
E
=
r
"
=
3t
M0
par
—
,
~r
.
H0 -^
=
3t
valeur:
sa
7î
Âî
—
2e.
J« v
=
D'où:
Âî
Posant
a
=
-jwu0j-
ou
,
développement de
32i
<x2T
+
cette
=
(40)
0
on a:
•
(40)bis
0
équation différentielle
tilti-A-
3p2
Telle est
=
=V-T-Ku0wr
«
Âl
Le
ju>u0 74
-
P
92 ç23<p2
*P
l'équation différentielle dont
+«2i
la solution
coordonnées
en
=
polaires donne:
(41)
0
générale
fournit
l'image
de la
distribution du courant dans la section d'encoche.
Pour résoudre
l'équation (41),
il faut d'abord la
séparer
en
deux autres
équations
différentielles de la manière suivante:
R(p)
Soit les deux fonctions
et de <p
seulement, puis
on
et
=
1
K
étant
un
d2R
77
dp2
nombre entier
_,_
+
1
dE
T^r"
"d£"
PR
positif,
on
(42)
R(p).+(«p)
deux dérivations et substitution dans
"r
m
dépendant respectivement de ç seulement
pose:
i(9,<p)
Après
ij>(<]p)
aP
x
+
l'équation (41),
1
~~7
dH
9
on
2
+
a
=
obtient:
n
°
p2 -^df2
sépare cette équation
en
deux autres:
....
<43>
35
-
d2R +4_çjR+cx2
1
dp2
R
m2-4>
+
d<p2
changement de variable
<*!*
C'est
être finie
point 9
0,
=
d'ordre
l'équation (43)bis
La solution de
m.
(44)
0
=
Sa solution
générale devant
Jm(p)
=
s'appelle fonction de Bessel
rr
m
l'équation (43)bis s'écrit:
,
est:
R(p)
J
«p
=
de Bessel d'ordre
l'équation canonique
au
(43)bis+
dR+R(1.mi)
I
(43)b.s
p2
0
=
z
jnf
=
dp
Rp
2
-d-^-
Par le
-
m.
est:
co
4»
En
A
sinm<p
l'équation (42),
dans
remplaçant
2
=
+
B
cosmcp
on a:
00
i'(p
Avant de
,<p)
Z RAmsinm«p
=
+
à déterminer les constantes A„ et
commencer
-Jm(z)J
Bmcosm«p)
B„,
m'
m
de
rappeler
les formules du rotationnel
(46)
rot
(47)
rot
(48)
rot
V
(H)
=
(H)
=
Z
—
H
z
=
3H
——
peut écrire
a
(E)
rot<p(E)
,
proj. du rot. suivant la direction 
z
=
sur
le rayon vecteur
p
»H
—
du rot.
la direction axiale de l'encoche. H
.
rot
+
3P
jections du champ magnétique
On
proj. du
—
3p
il est nécessaire
polaires.
,
°
P
La coordonnée
coordonnées
—
3z
—
(H)
en
(45)
(z, <p
pour le
,
sur
,
H
l'axe des
,
H
z.
sont les pro¬
p).
champ électrique.
En effet:
36
-
z
Dans le
Comme
H
rot
11
lî
*_
H
rot
=
0
=
0_
=
d'Ohm,
la loi
+
=
1
—
const.,
-=r-
0,
=
équations
alors les
3H
*-
=
i
z
3cp
p
aïf
3~E
_
z
=
—
-
,
p
u
=
ro
^«f
-ju>u
r°
at
H„
P
on a:
ai
Jôr-Hç
=
D'où:
j
H
On avait
étaitnulle
valeur finie
alternatif.
p
z
-
3p
1
=
P
T9
=
H est fonction seulement de p et de cp.
champ
section
_
—-
_
H
3<p
3H
p
rot- E
de même
d'après
le
une
H
z
Et
p
deviennent:
rot
a
-
car
étudie le courant dans
on
(46), (47), (48)
On
+
3p
0
=
3E„
P
.
V
-5
p
présent
cas
=
^
3E„
E,„
—
(E)
rot
-
*
supposé
sur
H^
On avait de
On
Cette
.
page
donc:
a
l'encoche,
hypothèse
même, par
(égalité (29)bis,
a
chapitre IH, paragraphe I, que
au
toute la périphérie de
égale à
(49)
«2 j_dp
un
la
composante du champ
sauf dans l'entrefer où elle
reste valable dans le
développement
de
cas
a une
où le courant est
Fourier, calculé
H
pour
29).
T
'eff
=
,
léU
=
2lTa
Tel est le
développement
cela pour
p
a
et
ip, <
Dç l'équation (49)
H-
une
fonction
.
———
t
-
pour
2acp!
91
H^
=
-Si2acp:
H
en
TTcf-a
co
^
21
sinmf 1
m
(50)
cosmcp
série de Fourier de la composante
f^Pi
on
*eff
+
<p1<(p<2ir-<p1
tangentielle
H
et
•
voit que la dérivée de i par rapport à
ç doit être,
comme
paire, cela amènerait à supprimer de l'équation (45) le terme
en
sinus.
Alors
on
a:
œ
i(p,cp) =^ Bmcosmcp .Jm(z)
(51)
37
-
i(p <p)
On dérive
par rapport à
,
_3i_
3ç
_
ex
et
p
2
-
remplace dans l'équation (49)
on
2.
B
on a:
cosmep J' (z).cx
.
m
oo
Ou:
—
et cela pour
p
-cp.<£cp<9.
a,
=
de la composante
.J'(cxa)
-
c.à. d.
Hffi
Bm
Bo
en
comme
et B
BQ
il suffit de comparer
,
l'égalité
l'égalité (50).
avec
On obtient:
Alors
ainsi calculé n'est autre que la valeur
tangentielle du champ dans l'entrefer.
Pour déterminer donc les constantes
précédente
cosmep.J'(«a)
B
—
remplaçant
êff
1
sinmtp.
=
ira<p.
Jm(«a)
m
1
wIeff
=
B
et B
par leurs valeurs dans
l'équation (51),
on a
finalement
expression de la densité de courant:
cxl
i(p,tf>)
l
eff
ira
J0(p«)
S
\_* J'(cxp)
sinm^j
1
lcPl
C'est la valeur de la densité de courant
coordonnées p et (p. Ainsi
i(p,cp)
Dsmcp
en un
s'exprime
Jm(o'P)
(52)
Jm<<*P>
point quelconque
de la
section, de
par des fonctions de Bessel d'ordre
zéro et d'ordre m, ainsi que par leurs dérivées
respectives.
Dans les différentes transformations des formules ultérieures et celles
calculées,
on a
employé
Jm<z>
Pour
m
=
1,
déjà
la relation de récurrence suivante:
=
on a:
JJ(2i)
-f Jm<z>+Jm-1^
J^z)
Jo(z)
+
00
Il faut maintenant montrer que la somme
elle est de même forme que
l'intégrale
5
de
sinmep.
—
1(Pl
est
convergente,
en
effet
Dirichlet. P. G.
oo
f
1
qui est elle-même convergente,
sin(nt)dt
nt
ainsi la
somme
mentionnée ci-dessus l'est aussi.
38
-
précédemment posé:
On avait
-iRViû^F
«
|«|
"Wu cjjr
=
est la valeur absolue de la
On pose dorénavant
Impédance
-
Nj3/2
°ù«=
.
quantité imaginaire
ex
.
=|cx|a.
x
Z du conducteur par unité de
longueur
U
'eff
R„+ ju>L
I
Or:
Jeff
respectivement la résistance
du conducteur par unité de
Pour p
=
a
et 9
Désignant
par R
)
au
et
a
=
<p
=0
courant alternatif et l'inductivité
la résistance
au
œ
sinm91 Jm(xj
+
J J^(xj3/2)
On calcule le rapport:
Ro
/
J0(xj
1
eff
R
1
=0
longueur.
Ta
p=a
9=0
et 9
a
0, l'équation (52) s'écrit:
=
«I
i(p,9)
ç
pour
t-
R„ et L sont
=
eff
i(P,<p)
U
ç
pour
=
1
)
Jm(xj3/2)_
m(pi
courant
/
continu,
(53)
on a:
Tira2
0
—-
Jo^3/2)
?
J^xjS/^
1
m<pi
J^(xj3/2)_3727
1:. J?ïsJÎl^cocJê estjermée^ç.. r_P_
On fait le calcul pour
En
=
1.
remarquant que pour 9,
.3/2
^
En
m
=
J
x
2
=
0
^1
=
,
?!
1
,
J0(xj3/2)
J^xj372)'
_Jx(xj3/2)
J}(xj3/2)_
on a:
employant les relations de récurrence page 37,
(54)
on a
finalement:
39
-
-5*0
=
En
j3/2.x
J„w3/a>
x
-(-j)
2J1(xj3/2)
-
2T
.3/2*
,
)
J1(xj
xj^.j^S/^.jS/aj^S^)
désignant respectivement
par M et N le
premier
et le deuxième
deuxième membre de la formule (55):
Soit M* la
^3/2>
jx
M
2
quantité conjuguée
M*
-fTj^xj3/2)
M,
de
on
Jo(x^
ix
2
J£
=
a:
2
s
=
+
VJJi(xVJ)
jr
On pose de même:
J„
u„
=
o
o
Jx
Uj
=
x
=
+
jVj
J
o
VfVi
voVuoul
—
uf
2
De même N* étant la
N*
jv
et J-, par leur valeur dans M* donne:
La substitution de J
s
+
v2
+
u2
quantité conjuguée de N,
=
u
=
jx
xj3/2jo(xj3/2).j3/2Ji(xj3/2)
1
0
Où:
on a:
J^xj3/2)
2
.
u+jv
-x
1
O
O
5
5
(xvo+u1)2+(xvQ-v1)2
y
_x2 ("iv0-v1u0)x
=
(xvÛj)2
En
séparant la partie réelle
Z
_
Ro
D'où:
TU
et la
.
u2
+
v2
(xuQ-v1)2
partie imaginaire:
Lcj
=
Ro
+
+
s + u +
Ro
j(r
+
Lu
R„
-=
+
s + u
,
r + v
v)
vf
40
-
10
R~
La
R.'
".
-
R-
9
/ /
Lu
8
7
6
5
4
//
'1
il
3
//
'1
II
M
2
F
//
1
1
/
./' /
/
/
fr^v
/
/
/ /
//
•
0
Fig.
11
Les valeurs de
ne
en
mée
question dans
1
en
ce
et
——
égale
o
travail),
o
sur
(cette
la
=°w
,
ouverture d'isthme 40
sont données
à 40
et
.
6789»
circulaire,
I CJ
R
-ô
5.
en
fonction de
x
=
sur
2<f1
la
figure 11,
encoche est celle de la machine
figure 12 pour
une
pour
synchro¬
encoche circulaire fer¬
quelconque.
Le calcul
op.
Encoche
ouverture d'isthme
une
.
...
234
t
=
10
,
15°
multipliant
commode de
se
males exactes.
a
et
la
été fait pour les ouvertures d'isthme suivantes:
20°
et cela
en
partant de la formule relative à l'encoche fermée,
sinçi
partie réelle et la partie imaginaire de N* par
servir pour cela des tables
spéciales
donnant
sin<pl
—-
»1
-jg
.
Il est
1
avec
3 déci¬
-
JR~
41
-
içss.
«
Fig. 12
Les calculs
Encoche fermée circulaire
résistance
au
courant alternatif
=
résistance
au
courant continu
=
inductance de l'encoche
=
al<x|
R,w
=
R
L
x
numériques
décimales exactes.
x
23456789»
1
=
a"yu0u>jr'
ont été fait à l'aide d'une machine â calculer donnant 4
42
-
-
Encoche fermée 91
Tableau
X
1
Vo
uo
0,
9844
-0,
2496
ul
Vl
0,0624
0,4974
0
II
S
V
u
0,2304
=
0,932
1,0208
s
r
0,0125
+
u
1,2512
r
+
0,
9445
v
2
0,7517
-0,9723
0,04931
0,9170
1,6904
2,0336
1,0781
0,4805
2,7685
2, 5241
3
-0,2214
-1,9376
1,570
0,8805
2,7197
+2,3401
1,3180
0,6186
4,0377
2,9587
4
-2,563
-2,2927
3,135
-0,491
3,3573
2,8809
1,6775
1,379
5,0348
4,
5
-6,230
-0,1160
3,845
-4,354
4,022
3,573
2,0488
1,7374
6,0648
5,3104
6
-8,858
7,335
0,293
-10,846
4,7306
4,2757
2,3985
2,0935
7,1241
6,3692
7
-3,633
21,239
-12,765
-16,0415
5,422
4,9754
2,7430
2,4511
8,125
7,4265
8
20,
35,02
-38,31
-7,660
6,146
5,678
3,0948
2,8087
9,2408
8,4867
9
73,94
24,71
-65,60
36,30
6,850
6,384
3,4464
3,1650
10,2964
974
Encoche circulaire <p*
Tableau
X
1
9844
-0,
vl
0,0624
0,4974
0,2257
9,549
20
III
V
u
ul
2496
vo
uo
0,
=
2599
0,
s
r
9130
1,0208
0,0125
s
+
u
r
+
v
1,2465
0, 9255
2,4728
2
0,7517
-0,9723
0,0493
0,9170
1,6560
1,9923
1,0781
0,4805
2,7341
3
-0,2214
-1, 9376
1,576
0,8805
2,6644
2,2925
1,318
0,6186
3,9824
2,9111
4
-2,563
-2,2927
3,135
3,2891
2,8224
1,6775
1,379
4,
9666
4,2014
-0,491
5
-6,230
-0,1160
3,845
-4,354
5004
2,0428
1,7374
3,9831
5,2378
6
-8,858
7,335
0,293
-10,846
4,6345
4,1889
2,3935
2,0935
7,0280
6,2816
7
-3,633
21,239
-12,715
-16,041
5,3119
4,8743
2,7430
2,4511
8,0549
7,3254
8
20, 974
35,02
-38,31
-7,660
6,0212
5,5627
3,0948
2, 8087
9,1160
8,3714
9
73,94
24,71
-65,60
36,30
6,7109
6,1956
3,4464
3,1650
10,1573
9,3616
3,
9403
3,
43
-
Encoche ronde
-
avec
Tableau
9i
III.
par
Vl
V
15°
=
V
u
1
0,2299
0,9272
0,2278
0,9215
2
1,6822
2,0238
1,6714
2,0108
3
2,7066
2,3288
2,6892
2,3138
4
3,3411
2,8670
3,3196
2,8486
5
4,0020
3,5550
3,9769
3,5329
6
4,7078
4,2551
4,6776
4,
7
5,3959
4,9515
5,3612
4,9196
8
6,1164
5,6507
6,0771
5,6144
9
6,8171
6,2936
6,7732
6,2531
Inductance
un
IV
10°
==
u
X
isthme
courant
d'une
rectilignes
ronde,
encoche
alternatif,
les
avec
du
lignes
perpendiculaires
et
à
2278
isthme,
l'axe
parcourue
sont
magnétique
champ
de
l'encoche
Loi de Maxwell:
rotH
=
rôtÊ
Si
avoir
on
projette l'équation (57)
remarqué
que seule la
on
écrira
=
sur
(56)
-u
les
composante
3E
Dorénavant
T
-^2-
axes
E
de
(57)
coordonnées,
on
obtient
après
est différente de zéro:
9H
E,
H et i
sans
indice.
Le
champ
H est seulement fonction
de y.
On
a
donc
en
tenant
compte de la loi d'Ohm:
~
"T"
=
"
Jwl>oH
(58)
44
-
-
y
b,
D
E
\
/
/
\
X
/
\
/
\G
A/^///x?y///////, WM, V//////Ar
/
1
\
\
V
«y)
/.-''
V
h
^-'
c
y/
*
F
O
Fig. 13
(les lignes magnétiques
On pose
de
comme
Encoche circulaire
du
champ sont parallèles à l'axe des x)
ABGH
=
élément de surface de l'encoche
b(y)
=
largeur
précédemment
de l'élément de surface
<x
=
-jcour
,
et
«.
En
/3
w
partie réelle
intégrant suivant l'élément de surface AB, d'épaisseur dy, figure 13,
^.H
dy
La substitution de H par
+
^b(v)
-ib(y)
=
dy
sa
valeur tirée de
on a:
l'équation (58),
donne
l'équation
différentielle:
d2i
-K
^
+
dy2
D'après
la
figure 13,
1_
—7-:
b(y)
db(y)
r^
dy
2.
di
-—
+
«
1
(59)
0
dy
on a:
«y)=
2^ya-y2',
-£$L
b(y)
=-JOL
2ya-y2
45
-
On
remplace dans l'équation différentielle qui devient:
.A
+
dy2
équation
Cette
-
intégration,
on
_icy_
iL
2ay-y2
dy
différentielle
présente
la fransforme
en
«2i
+
une
=
(60)
o
singularité
au
point y
=
0, pour faciliter
son
polaire.
En effet:
y
Conditions
aux
Pour y
=
Pour y
=
=
a(sincp + l)
limites:
0,
on a
H
=
0, cela donne sincp
a(cos<p,+l),
yi=
-1,
=
ou
cp
=
-tt/2
on a:
*eff
„
•bl
L'équation différentielle devient:
2
JLL
_tg<p
dcp2
Pour
intégrer
cette
^L
dcp
a2oc2cos2cp.i
+
équation,
di
on
effectue le
=
(61)
0
changement
de variable suivant:
_di_ Az_
dz
dcp
_
dcp
d i
d i
dzv
di
d
d<P
dz
dcp2
/
z
_
dz2
dcp2
l'équation différentielle (61),
La substitution dans
de
et l'annulation du coefficient
donne:
dz
d2i
1.
—2
dz
.
=
tgcP XT
dcp
dcp"2
d2i
2.
Après intégration
de
z
——
2
+
(1),
2.
ex
i
=
n
0
on a:
=J.
Jtgcpdcp
e
Donc la variable intermédiaire qui
L'intégration
a
dz2
de
(2)
donne
.dcp
a
=
J
e
log(coscp)^
BV<-uaT'dcp
=
permis l'intégration est
comme
solution
générale:
sincp
z
=
sincp.
46
-
i
A.cos(cxaz)
=
+
AgSinfcxaz)
AjCos(«asin<p)
=
_J_ Ji_
K2 dy
il
0r:
A,,
D'autre part
D'où:
H
l
=
que pour H
D'où:
=
TT/2- «ft,
H
Après
avoir
=
=
=
sa
valeur,
=
tg(«a)cos(o<acos<f>i)
tg(cxa)cos(<xacos <p,)
constantes dans
(l-j)/3
multipliant
par
sin(c*acos<p^)
l'équation
sa
valeur,
+
sin(cxacos<p.,)
de i donne
êff
cos(<xy)
b^
cosftxyj)
on a:
cos(l-j)/3y
I
bx
,
+
tg(«a)
Dl
(l-j)/3
A]Sin(a<xcos<pj)
eff
«Ieff
ces
-
on a:
sinfcyatl+cosqjj)]
«
z
z
cos[oca(l+sin<p)]
.,
bj
remplace
-1
bj
S
«I
=
A2cos(aotcos<pj)
—
remplacé An par
La substitution de
A„acxcos(acxsin<p)
+
Aj tg(a<x)
-
<xl
En
Haoc2
=
-^bl
=
A,
On
ac0S(l>
AgCosfatxsinç) -A<sin(a<xsin«p)
0, sin<p
=
H
D'où:
—
=
A2
Et pour <p
1
di
o<2 dcP
sin(a<xsin<p)
-A.aoc.
=
dz
a vu
sert de la relation suivante:
on a:
—
On
1
se
on
_
_!Ë_
coscpdcp
=
dz
AgSinCocasinip)
+
Pour déterminer les constantes A« et
_
-
eff
i par
chx
sin(l-j)j3yi
sa
=
conjuguée,
cosjx
,
on a en
remarquent que:
sinjx
=
j.shx
après
transformation:
-
21^
2
prenant
-
cos[(l-j)/3y].cos[(l+j)/3y]
bj
ou en
47
sin
[(l-j)j3yj].sin [(l+j)j3 yj
la racine carrée des deux membres:
in
=
fiiï
Ieff
-\\
bj
U
ch2/3y
ch2/3 y1
cos2/5y
+
-
cos2/J yx
On voit que la densité de courant i est donnée par la même formule que pour
l'encoche
au
rectangulaire qui
a
pour hauteur et pour
entrefer, respectivement égales
diamètre et à l'entrefer de l'encoche ronde. Cela n'est vrai que dans
où les
lignes du champ magnétique
culaires à l'axe de l'encoche.
sont considérées
comme
rectilignes
l'hypothèse
et
perpendi¬
48
-
-
CHAPITRE IV
Réactances d'une machine synchrone à pôles saillants
I.
Pour
Réactances
simplifier
le rotor est
transitoires
le calcul
bipolaire.
On est
on
en
considère,
et
une
subtransitoires
machine
synchrone triphasée dont
présence de quatre circuits électriques, figure 14.
1. L'enroulement du stator
2.
L'enroulement d'excitation
3.
L'enroulement amortisseur
4.
Un entroulement fictif
représenté
Foucault créés dans les
On
tient pas
ne
compte de
Quand la machine possède
court-circuit
On
brusque,
de la machine dans le
calculé pour des
cas
=
"^b
=
^c
ou
qu'elle
est
en
état de
engendrés dans l'entroulement amortisseur.
ces
courants,
brusque,
de court-circuit
ainsi que les réactances
tandis que l'amortisseur
sera
charges asymétriques de la machine.
LaA
+
Lab*a
+
Lcaia
=
présent calcul.
charge asymétrique,
une
des courants sont
On écrira tout d'abord les
*a
courants dans le
ces
propose par la suite de calculer
se
par les circuits des courants de
épanouissements polaires.
Labib
hWb
+
^b
équations des
flux des
phases a, b, c, figure 14.
+
^c
+
Laeie
+
âDdhd
(62)
+
Wc
+
Ve
+
WDd
(63)
+
Â
+
Lceie
+
^cDdbd
(64)
henéDd
<65>
Flux d'excitation
ê
Leaia
=
+
Lebib
+
^c
+
Leeie
+
Flux de l'amortisseur direct
**
Dd
L„„
=
LaDdV
,
L
Lnr.
hjDdhï
+
LcDd1c ê
+
^Dd^d
=
inductance propre de la
phase
=
inductance mutuelle des
phases
=
inductance propre de l'enroulement d'excitation
aa
L
+
,
=
a
a
et b
inductance directe de l'amortisseur direct
(66)
-
L,-.
De
En
propre,
49
-
inductande mutuelle entre enroulement d'excitation et amortisseur direct.
=
général
la
désignation
par deux indices
et par deux indices différents
Soit -$
l'angle
que fait l'axe de la
identiques indique
une
inductance
inductance mutuelle.
une
polaire (rotor)
roue
avec
l'axe de la
phase
a
par exemple:
Laa
L
=
-
Lff
+
Lmcosm
inductance de fuite entre deux
Pour obtenir L,,
-&
=
120°,
il suffit de
(67)
^>^m
,
phases.
remplacer dans l'équation précédente $ par
on a:
Hb
Lc(,
=
=
La
+
Lmcos2(
120°>
(68)
L^
+
Lmcos(2-& -120°)
(69)
*
-
Dd
I 1 Lr*reci
E
Fig. 14
(abc)
Dd.Dq
E
^
=
=
phases
du stator
enroulement d'amortisseur direct et transverse
=
enroulement d'excitation
=
angle
entre la
phase
a
et l'axe direct
50
-
-
Pour les inductances mutuelles entre deux
Lab
Se
Lca
=
=
=
Pour la démonstration de
Machines)
phases
"M*
+
Lmcos(2 *
"M<x
+
Lmcos2->
"Mo-
+
Lmcos(215
ces
on a:
12°0)
"
(70)
(71)
12°0)
+
(72)
égalités, consulter l'ouvrage (Synchronous
de Charles Concordia.
Inductance mutuelle entre l'entroulement d'excitation et les
Lae
Lbe
Lce
=
=
a,
b,
c
Maecos(^
<73>
MbecosU -120°)
(74)
120°)
(75)
Mcecos(^
=
phases
+
De même pour l'amortisseur
LaD
LbD
LcD
Equation de
=
ib
=
ic
d
=
et deux
=
On
dans les
va
=
=
-
-
-
cos(i>
-
-
sin(*
i
(79)
+
120°)
(80)
120°)
(81)
suivant l'axe direct et transverse,
+
120°)
+
iccos(^
+
120°)]
(82)
icsin(3
+
120°)]
(83)
pour les flux:
+
•>)/
-2/3
[âsin(* )
+
^bsin(^
et
120°)
-
i
-
120°)
120°)
Oacos(^)
équations (84)
sin(£
120°)
+
2/3
calculer ->(/, et
i
-
'
+
équations identiques
y
+
instantanés,
+
=
)
id(cos(*
[iacos(d ) ibcos( *
-2/3[iasin($ ) ibsin(^
2/3
=
^d
(78>
idcos(*
étant des courants fictifs
q
D'autre part:
i
(77)
12°0)
idcos(*
et i
id
MbDcos(,> -12°0)
McDcos(,>
=
<76>
Park
ia
ij
MaDC0S(*>
=
en
<\ji
(85)
cos(->
-
120°)
120°)
fonction de
les flux ^
équations (62), (63), (64) après
-
avoir
,
id
^,
+
vV(,cos(-}
+
120°)]
(84)
+
i|/
csin(4
+
120°)]
(85)
et i
et
-vl
,
pour cela il faut
remplacer
par leurs valeurs tirées des
remplacé les courants i
,
i,
et i
par leurs
51
-
équations (79), (80)
valeurs tirées des
Après tout calcul
%
H-e
=
<L<r
=
3/2
-*Dd
M—
est
.
3/2
+
Maeid
LJ id
ê
+
+
(86)
MaDdiDd
+
(87>
«Wd*
^Dd^d
+
Maeie
+
^We
+
(88)
égale à l'inductance mutuelle
constante
une
M„
"âDd'd
=
(81).
et
obtient:
on
+
-
entre l'enroulement d'excitation
et l'amortisseur direct.
Comme L.
L_
=
d
M_
+
3/2
+
G
o
L
inductance synchrone directe,
=
J
m
Alors:
*a
hJs
=
d
De même:
L_
L
=
4
<*
M„i
+
d d
M_
+
L
=
q
i
q q
3/2
-
CT
o
M
+
M
+
ae e
(89)
.]„
aDd Dd
.
„
L.
on a:
m'
i_.
aDq Dq
(90)
v
'
„
Flux de l'amortisseur transversal
^Dq
et i„
in
3/2
=
a
été
transversal, qui régit
introduite, conformément
dont les
partagé
dont chacun est considéré
axes
coincident
avec
les
en
des deux
deux enroulements
bobine
comme une
axes
principe
au
axes
direct
synchrone à pôles saillants et qui
la théorie de la machine
consiste à concevoir l'amortisseur
pendants,
<91>
Woq
+
sont les courants instantanés dans l'amortisseur direct et transversal.
Hypothèse qui
et
MaDqiq
en
bobines, indé¬
ou
soi, court-circuitée,
direct et transverse comme le montre la
et
figure
14.
Etablissant maintenant
supposant qu'à
un
court-circuit
brusque
aux
moment l'enroulement d'excitation est
ce
bornes de la machine
ouvert,
ce
en
qui permet
d'écrire:
-ve
=
o
S/D
,
=
0
Où:
3/2
3/2
De
ces
deux
Mi.
ae
d
+
^Wd
équations
3/2
on
L
i
ee
+
e
+
MDri-ij,
eDd
hWdD
+
.
=
0
Dd
^We
=
°
tire:
'aDdmeDd
'
mae"dDD
-
LDDdLee
"
MeDd
^
(92)
52
-
iDd
On
MaDdLee
-3/2
=
LDDdLee
remplace dans l'équation (89)
I
Td
-
MaeMeDd
-
par leurs
,
2M,n
DDd
ae
3/2
'
T
T
on a:
t^+M2
eDd
aDd
L
ee
'd
,,2
"
LDDdLee
valeurs,
M
,Mo
aDd
(g3)
^
MeDd
et i«
ae
/r,
„
T
=\lad
"
i
m|*L
T
.
**
'
-
MeDd
D'où la réactance subtransitoire:
X2
x"
x
X^n
-
2Xori .X
aDd
"Y
"Y
DDd
On voit
d'après l'expression précédente de
subtransitoire,
figurant dans
X
.
DDd
ae
3/2
-
"
ae
"à,
.
+
M^L
aDd
ee
,g.>
~\C
eDd
ee
x
_.
eDd
que pour calculer la réactance
il suffit de calculer les différentes réactances propres et mutuelles
son
second membre.
Réactance subtransitoire transverse
On
a:
\
\\
=
*Dq
=
3/2
+
MaDqiq
M
D'où:
inn
D<*
Remplaçant
dans
=
-
<95>
MaDqiDq
^DDqbq
+
=
<96>
°
„
3/2 -Sî
i
LDDq
l'équation (95)
*
i„
par
sa
valeur,
on a:
D'où la réactance subtransitoire transverse:
X2
x"
q
=
x
-
q
3/2 _§2a_
XDDq
(97)
53
-
II.
1.
Amortisseur direct.
Soit
l'amortisseur
de
Calcul
-
l'angle
<p
formé par les barres n-n,
en
degrés
électriques, figure 15.
<p.
est
l'angle
en
entre les barres 1-1
degrés électriques
Courant dan» les barres 1-1
Il
més
Par
s'agit
ici,
un
du courant instantané L
seulement
développement
ampère-tours
.
et de sa valeur maximum
ID
,
qui
sont
expri¬
fonction de <p,.
en
en
Fourier, l'amplitude de l'onde fondamentale des
série de
dans les barres 1-1 et pour
pôle
est:
'l
hd Sin{-T>
4
Almax
un
=
T
D'où l'amplitude fondamentale des
ampère-tours
de toutes les paires de barres par
pôle:
^Dd
4
=
Remplaçant
4
At,
=
Dd
["_
—
T
sin
D'où:
ADd
Soit
n.
tI^j
Dd
1
2
*2
.
¥
^d81"
+
T"
•
•
•
r=-
sin
^1
2
-
.
+
\_
sin
^2
2
+
——
2
valeurs,
.2
...
*NDd^
hmdsm T—
sm
+
on a:
*NDd
—
cos
=^ l^l-costpj
+
l-coscp2
+
...
+
l-cos<pNDdJ
le nombre de barres d'amortisseur par
nb
est
N„
i l'angle
.
T
+
2
1.
Soit
+
les courants instantanés par leurs
2
Or:
?1
T
.
sin
Y lIid
pair,
,
ou
nfa
=
pôle.
Deux
<Pi =£. <P2
=
consécutives,
H»
2
cas
sont à
distinguer:
2NDd
est le numéro d'ordre de la barre
entre deux barres
Dd
•••
<Pn
on a:
=
(2n_1)^
n
par
exemple.
54
-
-
Fig. 15
1,1
,
2, 2
T1
T
2.
est
n.
?!
En
remplaçant
les
relation suivante valable pour
^d
On
=
pas d'encoche n,
<P2
,
I
°d
(1
ou
2ND-
=
<Pn
•••
=
+
1
M
obtient pour les
on
ampère-tours
la
impair:
sin(nb i
"
)
-)
Vin£
sin
=
D'où l'induction correspondant
6k
c
constante
,
'
k
c
des
l
A_
,
^(l-k)^k.
T
étant le facteur de
d'équivalence
sin
ampère-tours
aux
^d
=
(%l)
—
%
1
4&
=
n
désigne par k le rapport:
k
61
n,
valeurs,
nb pair
T
1,1
pas d'encoche
par leurs
<p
numérotation des encoches
=
=
impair, alors
H
=
n
n,
...
,
1
ai
Carter, à
est l'entrefer de la
machine,
ampère-tours.
2. Amortisseur transversal.
Les
ampère-tours
transversaux par
donnés par la relation suivante:
V
ir
I,
Iq
cos
fi
—
2
k. est la
1
+ I«
2(l
cos
^2
2
+
+
r
NDq
costal
2
J
pôle,
sont
55
-
-
Ou:
ADq
i
I
2
=
k JDq
^^^^
+
[V
+
C0S(P2+
^
3. Inductance mutuelle entre
Amplitude fondamentale
=
'
1.
JÏ
ir
2
I
p
=
nombre de paires de
=
nombre de spires par
=
être
impair.
phase du stator et l'amortisseur direct
w
de la
phase
'
p
vTp
pôles
phase du stator
sinM)cos(-£^)
TP
décomposée
deux
en
A(x)
=
i jsinM
~^)
-
L
l
sinM
+
P
amplitudes,
=
Ax(x)
+
l'une directe,
.
et
B,
sont les inductions
B^x)
q^
et
<p2
sont les flux
d<p.
1
longueur
En
A^x)
=
=
correspondantes,
-£°-
,
B2(x)
correspondant à B.
B.df
=
B..1 dx
,
=
d(p2
on a:
A2(x)
et
=
B,
de
-T
/2
à T
/2, figure 16,
on
|5-
on a:
B,l
axiale du stator.
intégrant
+
£*)
P
A2(x)
Avec:
Si
a:
i- sin(wt)cos(^£)
On pose:
Si B,
COsNDq>
facteur d'enroulement du stator
A l'aide de:
A(x) peut
ou
ampères-tours
,,wk
eff
pair
n.
une
des
w
k
+
nb sin|
Cette formule est valable pour
A(x)
•"
obtient:
dx
J
l'amplitude
l'autre inverse.
56
-
-
iVlj eff Vo^w
Klmax
1T
Flux total:
Tmax
P
=
2p, nombre
Comme il
de
T
+
lmax
(T
41/2
_
2max
eff
TT
s'agit
de machines
l'axe
u
1
)wk
ir^p
synchrones à pôles saillants, le circuit magnétique
axes
transversal et
compte des constantes d'équivalence directe
Lorsque
ou
<P.
pOles.
n'est pas le même suivant les deux
faut tenir
•P2,
_
T^P
polaire
coincide
avec
l'axe de la
longitudinal,
et
et pour cela il
transverse,
phase a,
soit
<p
et k
k.
,
.
le flus direct
longitudinal:
»ad
Où:
4V2
wkwXkl1a
T
eff
T
(98)
p
2HoD
6iP
D
Ho
=
diamètre d'alésage
4irio
-9
Vs
Acm
Fig. 16
Courbe
représentative de l'induction B dans l'entrefer
en
fonction de l'abscisse
périphérique
x
57
-
Le flux
cp
couplé
est
.
PNn.
avec
-
barres d'amortisseur
sur
l'axe
direct, d'où
le flux utile:
"+
^-
=
r^
k~.
Dd
ky,
Nn .k-,Ak,l
wk
ir
'aDd
la
DcTDd
w
=
facteur d'enroulement de l'amortisseur direct
=
facteur d'enroulement de l'amortisseur transverse
Dq
k_
sin2(ND -|.)
=
l
pour
,
Dd
pair
NDdsin(^/2)
sin(ND,3/2). sin(NDd+ 1)3/2
kn
,
kn
uq
pour
=
Dd
Si4}
NDd
sin(n
?/2)
2nb
3/2
| pair
pour
=
sin
ou
l impair
impair
L'inductance mutuelle est:
MaDd
^—[p- ^'WdA AV
"
(99)
-
eff
D'après l'équation (98)
B-.i«.l
ad
i[
on
peut écrire:
^^.
etf
(100)
4,
p
Au moment où l'axe de l'amortisseur direct coincidait
de la
phase a, le
D'après
courant
le principe de la conservation de
du stator et de l'amortisseur
duction dans
l'entrefer,
qui donne
comme
rapport
magnétique
...
si l'onde fondamentale
=
'
4wk
on
*-
=
!ad
principe,
^d
de transformation des courants:
-M
le même
ou,
l'axe
="V2 I
contribuent à donner la même intensité d'in¬
équivalent,
It-.j
D'après
l'énergie,
.
on a:
Bad
ce
avec
qui circulait dans cette phase était I
Pn
peut
{10i)
(1-k)
trouver le
rapport
de transformation des tensions:
58
-
E
-
wk
.
-Si
2L_
=
Rapport de transformation d'une impédance
Soit
en
effet:
impédances respectivement
au
stator
.-,
EDd
„
_
Zad"Iad
les
d'une réactance par rapport
ou
„
Ead
„
(102)
^Dd^d
EDd
de la
_
ZDd"lDd
'
phase
a
et de l'amortisseur direct et cela
au
moment où leurs axes coïncident.
On forme le
rapport:
5>d_
Z
Dorénavant,
multiplier
port
pour transformer
on
(103)
^DcftîdV1^
une
rapportée
réactance
Tandis que pour transformer
la multiplie par le
Ainsi la réactance
seur
(103).
2
_
*ad EDd
par le rapport
stator,
au
4(wkw}
âd
_
au
stator,
une
il suffit de la
réactance par rap¬
rapport (102).
mutuelle, rapportée
au
stator,
entre la
phase
a
et l'amortis¬
direct est:
=
aDd
—fi"
MaDd
108
aDd
—
^T
8fla
a
pNDdkDd
monophasé, tandis
ces
=
•
Toutes les réactances
Remarque:
)2
(wk
wk
2ttf
XaDd
P
désignées par
108
(104)
Xkl
l
la lettre X sont relatives
que les réactances
désignées par
x,
au
champ
sont des réactan¬
triphasées.
4. Réactance de fuite de l'amortisseur direct.
Le flux utile total de cet amortisseur est:
^Dd
^^bdVhd
=
A... est la
unité de
+
W
••
+
W
PNDdkDd2XbdIDd1a
perméance
en
Henry/cm équivalente
directe d'une barre d'amortisseur par
longueur y compris le segment d'anneau correspondant.
D'où la réactance de fuite rapportée
au
stator:
59
-
4(wk Y
fDd
2trf
T)do-
w
*D d<r
P2NDdkDdnb(l-k)
108
'Dd
8f(wk
-
)
2ltX,
w'
,1
bd
a
(105)
Ohms
108P 1^(1 -k)
5. Réactance propre de l'amortisseur direct.
Par
un
raisonnement
BDd
4
=
analogue
couplé
avec
+DDd
=
on
part de l'induction
B^.
.
T1
==
on a:
,
^(l-k)Aklla
BDdQ
<PDDd
Ce flux est
Q
précédent,
T^
Wb^
La section d'entrefer étant:
au
PNn ,kn
,
barres d'amortisseur par
pôle:
T(1-k)IDdPNDdkDdXkl1a
L'inductance propre de l'amortisseur est:
LDDd
=
T(1-k)PNDdkDdXkl1a
La réactance totale de l'amortisseur
=
DDd
*DDd
6.
W
8fla(wk/
P
10a
+
2ltX
direct,
y compris la réactance de fuite:
4
Dd
bd
)
+
Jlk
(106)
Ohms
nb(l-k)
Pertes dans l'amortisseur.
La perte totale dans l'amortisseur est engendrée par des courants actifs qui
existent
d'après
ce
calcul suivant l'axe direct.
les de l'amortisseur doivent être
conformément à la théorie des deux
Soit
Pn
.
la
puissance
en
On peut donc dire que les pertes tota¬
pratiquement cherchées dans l'amortisseur direct
axes
direct et transverse.
watt de l'amortisseur:
2
2 fl
2 ^2
PDd^bdïd*81" -r+8ln "T
+
+
sin2 ¥-
NDd)
60
-
r,
équivalente
résistance
=
,
-
compris le segment d'anneau
directe d'une barre y
cor¬
respondant.
Pod^bd1^1-1^
Or
d'après l'égalité (101),
"
Dd
ad
dans
Remplaçant
PDd
p2n2(1.k)2
l'expression
1
2
de P„
,
2
;
Ipd
Par
un
R_
rbd
r.
y
,
et
P
analogue,
stator:
nb(l-k)
obtient la résistance transverse
on
-—
b1
Pnb(Uk)
sont les résistances
r,
au
(wkw)2
8r,
=
D1
on a:
(*y2
_8r
calcul
valeur,
sa
p2n2(^.k)2 (1_k)nbP
D'où la résistance de l'amortisseur rapportée
111,(1
par
(4wkw)2
2
Wad
=
on a:
<4wkw)2
_T2
T2
Watt
équivalentes directe
et transverse d'une barre
unique
compris le segment d'anneau correspondant.
7. Réactance mutuelle entre l'enroulement d'excitation et
Soit I
coincide
induit
le courant d'excitation
avec
l'axe de la
statorique
<Pi
est
moment ou l'axe de la
phase
phase du stator.
a
par
exemple
polaire. A cet instant l'amplitude fondamentale du flux
est:
=
rl
B<
roue
au
une
—
ir
B.l
T
p
1
a
de l'induction. On connaît la relation de
l'amplitude fondamentale
suivante:
dépendance
D
1
Bi=T
B.
=
induction dans l'entrefer:
*1=
N
IVlâ
étant le nombre de spires par
tours d'excitation sont: A= NI
G
6
G
,
pOle de l'enroulement d'excitation, les ampèreset
comme
B,
1
=
A
-,—
G
q-|
,
on a:
61
-
2u
cp
I N
=
Tl
D/31
—
ee
â=
-
n I
e
t,,
e
li\
1
a
Pôl
Le flux
est
cp.
couplé
Au moment où l'axe
polaire,
on
Bl
spires
avec w
magnétique
de la
de la
phase
phase
a
a:
coïncide
avec
celui de la
roue
a:
=
Bad
et
>
Donc:
Bl
COmme
I
=
1
(107)
_w_L
T
*ad
=
wkk,
.
_?_
Ae\" Nê"^-
=
PNe/3
C'est le rapport de transformation des courants.
D'autre part
on a
pour le rapport de transformation des tensions:
E
wk
,
-&-
=
—S—
Ee
PN k
e
k
e
est le facteur d'enroulement
nes
(108)
e
équivalent
de l'excitation.
de l'enroulement d'excitation concentré
D'où le rapport de transformation des
I
E
JL_
_5iL
(wk
.
=
au
on a
stator la valeur:
en
remplaçant
I
est la tension
aux
au
bor¬
stator:
.
w_L 1
(109)
*
pour la réactance mutuelle entre la
phase
a
et
l'excitation, rapportée
„,,
X
Ou
impédances
)2k,
^keJB
Xad Ee
Alors
sur
E
l'axe direct.
.
=
par
sa
21tf
"""
aed
I
„.10«
ad
valeur contenue dans
8fl (wk
Xaed
=
•>!>..
et tirée du
rapport (109):
)2
-^T-
Xkl
(U0)
62
-
-
8. Réactance propre de l'enroulement d'excitation.
Le flux
ampère-tours
correspondant à NI
»e
«
=
V¥a
«
•
=
par
pôle est:
\
u
Or B.
=
N I
1
e
-j°-
e61
Donc:
u

Te
La réactance propre
pn2i ^«i
e e
rapportée
2
j
1Q8
8fl
Xeed
e
2
A
a
\
a
<wkw)2kl
-
eed
e
stator est:
au
ê
X*
6j
a
spires de l'enroulement d'excitation:
PN
=
ï«l
-^=NI
=NI«Tl
e e
p
p2N2k g
(wk
)2
kl*
=
«
eea
i
pl()8
4
ir
„
"2—
d")
2/3k
9. Réactance de fuite de l'excitation.
X.„,
=
edo*
PN2A
2irfl
e
a
e
A„ est la perméance de l'excitation par pôle et par unité de longueur. La réactance
totale est donc:
X
.
=
X+
Xeed
un
raisonnement
+
X
._
edcr
8fla(wkw)2
=
eea
Par
.
eed
eed
P108«
analogue
ki
/ik
au
+
--^-(f
2
précédent,
V
e
on
déduit le flux de
duit par l'enroulement d'excitation avec l'amortisseur direct.
^Ded
=
«VWWe^1
a
<112>
couplage
pro¬
63
-
10. Réactance mutuelle rapportée
au
-
stator entre l'enroulement d'excitation et
l'amortisseur direct.
8fl
a
TDed
11.
P.
=
Irn
e
=
)
w'
(113)
kj*
10 8
Pertes dans l'enroulement d'excitation.
PQ
r
%2
(wk
résistance
4
kl
wkw
TT
lh
pN
T2
=
e
e
ad
e
de l'excitation.
équivalente
Soit:
4
1
w
P
t
PN
la résistance de l'enroulement d'excitation
rapportée
au
stator.
On forme le rapport:
n2
4kt wkw
R„
ir/JPN
La comparaison de
v
ce
=
e
rapport
e
avec le
rapport (109) donne:
JE2_
4kj
On obtient facilement par
un
raisonnement
analogue
au
précédent
les
grandeurs
suivantes:
12. Réactance de fuite transverse de l'amortisseur.
8fl
a
*Dqo-
(wk )
P.
2irA
w
10°
coefficient de perméance d'une barre
13. Réactance mutuelle entre la phase
8fl (wk
AaDq
a
pl08
a
et l'amortisseur transverse.
)2
w
=
(114)
unique d'amortisseur par unité de
bq
longueur.
X
bq.
nb(l+k)
lk
Akq
(115)
64
-
-
14. Réactance propre de l'amortisseur transverse.
XDDq
"
XDqo-
XaDq
+
8fla(wkw)
DDq
2irx.
Ak.
pl08
^
+
(116)
nb(l+k)
15. Réactances transitoires.
Les formules
se
déjà
connues
pour les réactances transitoires directe et transver¬
sont calculées à l'aide des résultats
précédents
et cela
en
fonction des dimensions
de la machine.
xd
=
xd
"
*aed
3/2
(117)
*-eed
"aDq
3/2-
(118)
^Dq
Remplaçant
dans les
équations (94), (117), (118),
toutes les réactances par leurs
valeurs et posant:
8fl
a
(wk
P. 10
2irX
XS
=
xd_3/2cXki
w
)2
8
bd
Xkjn^l-k)
+
[/3
Xkj
.
(2<x\
+
-| Xe)
kl
i* L
^
On pose:
J
T
21CA.
K
e
kf\\a-k)
bd
=
n^l-kJXkj
2
JS-««x+4\>
xd
_
xd"xad
'k^2
kjX
<2ocX +i Xe
fi
-
1
(119)
(ZocX
+
i^-l
65
-
x'
x
=
q
-
fc
2
q
-
Ak
q
21tAbg
1
i
|
kq\ nb(l+k)
On pose:
2lrX
K*
=
n.
b
Maintenant,
on
^3_
(1+k) Ak
q
remplace dans les expressions des réactances
subtransitoires les constantes
et K* par leurs
K, R, c,
Sachant que la réactance de réaction d'induit est
=
x„„
=
3/2.
aq
c.
A.
transitoires et
obtient:
égale à:
k
q
K
:'d
xad
Xd
=
V
+
Xd
=
xff
+
Xq
=
x"
q
=
f(K ,R)
+
KR
+
R
-
R
-
xad d
-
R
+
-
1
=
K.R
"°"
1
+
R
-
1
x.
ad
[l-f(K.R)]
(120)
*>
W1-
xcr
1
b -f(K,R)]
xad
K
avec:
on
3/2.c.A.k1
xad
ir"
Xd
valeurs,
(121)
1
1
+
K*
)
(122)
-
66
-
CHAPITRE V
Calcul de la variation du
On suppose ici
équivalent,
autre
précédemment,
comme
couple
que l'amortisseur est
symbolisé par
un
l'amortisseur direct et transverse.
Soit:
R_
,
R~
=
résistance de l'amortisseur direct.
=
résistance de l'amortisseur transverse.
=
inductance de fuite de l'amortisseur direct.
=
inductance de fuite de l'amortisseur transverse,
Dq
L
,
L.
crq
6
Si
est
l'angle
de
charge,
S
<50
=
on a:
A6
+
On considère que la variation de
de vitesse
l'angle ô obéit à
-^
(A 6) sin(nt) ; (A<S)
=
est le flux résultant des courants
des courants de
l'amortisseur,
on
S>d
iDd
et
ij-j
loi sinusoidale du
temps
A
A
ù&
Si
une
angulaire d'oscillation il.
=
=
maximum de
statoriques,
(A6 )
du courant d'excitation et
peut écrire:
trcoseS
étant respectivement les courants induits dans l'amortisseur direct et
transverse, les équations différentielles des tensions induites dans l'amortisseur
sont:
^d'Dd
+
L<Td
dlDd
.
d*d
n
+
dt
dt
diD<L+lîr
RDqiDq+L^-Ti+-^=
Ou
en
remplaçant a)i
«Ddbd
.
et
+
a|>
Lcd
par leurs
diDd
-7T
dt
°
dt
dt
valeurs,
on a:
dé
=
^r
siné
—
dt
<123)
67
-
^qbq
H
+
H
L<rq^2a
-
^-
y r cosé
=
dt
(124)
dt
A
Comme S
i
=
Aé
+
et Aé
=
(Aé ) sin(fl.t),
4-(Aé) =^-=Xl.(A6)
dt
dt
Dans le
cas
sine
=
cos<5
=
sin(60
+
cosé
-
des petites oscillations
Aé
)
cos(At)
sini
=
sine
on a:
cosé
+
sin(A6 )
sin(Aé)
on a:
sin(Aé )
cos(AA )
Aé
=
1
=
Alors:
A
sin é
=
sin A
+
cosé
.(Aé ) sin(flt)
sine
.(Aé ) sin(ilt)
A
cos
En
remplaçant
sine
é
=
cosé
-
et cosé par leurs valeurs dans les
di
a
RDdiDd+L<rd-^-= ^r.Ii.(Aé)siné0cos(^.t)
di
Rn
in
UqUq
et de
+
L
CT-q
+
tAA-)-
il
ne
s'agit
=
cos(-flt)
o
-iADginé
2
°
sin(2JClt)
oscillations, il
au
terme
négligeable ( Aô )
Ces
^q^3" VA-{A%é
équations
et de self-induction
=
ne
(125)
fréquence
(126)
f
=
5^
^~
21T
que de petites
est
permis de négliger les ter¬
>
cos(At)cos60
sont autres que celles d'un circuit
L, fermé
sur une
au
premier et,
.
«DdW^dlJr- =tr-a.(A4)co8(At)Bin40
V'Dq*
on a:
.
concernant le courant de fréquence double, qui est très inférieur
d'ailleurs proportionnel
(124),
cos(é0)sin(2At)
On voit que dans les amortisseurs sont induits des courants de
211
comme
mes
Tr
fréquence double 2f
et
^
A
-J>±=-y .ja.(Aé)cosô
dt
équations (123)
^
tension alternative
électrique
égale à:
(127)
(128)
de résistance R
68
-
-
Emax= %^6Q.Sl.(^)
On résout les
équations différentielles (127)
et
(128),
pour le
régime permanent.
Les courants dans les amortisseurs direct et transverse sont:
R
iDd= i>T.Sl.(M).sinéo
nh
Dd
cos(ilt)
Vd
=
i^L
-'V-n-(AÔ)-cos,io
cos(Ht)
+
—£-£
Avec:
+
sin(iit)
O-q
ffq
R2
sin(fl. t)
Vd
R
^Dq
crd
+
il2L2
Donc les courants effectifs suivant l'axe direct et transverse sont respectivement:
/s
-fl..(Aé ).siné
*Dd
=
r
Ddeff
Z_
T2
'
,.
.U
2-^1
(129)
w
°a-d-
A
SI.(Ai
^q,
eff
Avec:
Tr
il
).coséQ.Ur
Z
.cj
O-q
u>
^
Pour calculer
on
courants, il
ces
est nécessaire de connaître
écrit l'équation oscillatoire de la machine et
on
(Aé ),
pour cela
la résout par la méthode des ima¬
ginaires.
Equation du mouvement oscillatoire forcé
2
i l_(Aé)
+
D.
dt'
|-(A6)
+
dt
<r.(A«5)
9
=
moment d'inertie de la machine
D
=
coefficient d'amortissement
=
coefficient de
C
M.
sin(.£lt
Sur la
rapport à
+
cp)
figure 17,
son axe
=
on
M.sin(Xlt
=
+
(130)
cp)
synchronisation
couple d'entraînement
voit que &
est la
position initiale de la
à vide.
On suppose d'autre part que:
il:
^
P
et
f
=
-^21T
roue
polaire par
69
-
-
Fig. 17
tension de phase de la
U
=
6
=
angle
=
maximum de
=
tension de
A6
U
charge
de
roue
polaire
de la machine
l'angle de charge
phase statonque
On pose:
(Ai )
M.
J
signifie
Avec
-
sin(Ilt+(p)
dans ce
ces
Jm(A<S)*
=
=
J
,
(M*)
,
(Aé)*
où:
ou
,
M*
=
(Aé)e
i-ftt
M.e^"at <<^
+
=
chapitre partie imaginaire.
notations, l'équation (130) s'écrit:
| Sl2.Jm(A6 )*
+
jDAJm(Aà )*
D'où la solution:
+
<r.Jm(A4
)*
=
Jm(M*)
M.e^t 
+
A
(Ai)*
=
a
s—nr
-
|
•
tf +
(131)
jilD
70
-
-
Posant:
A
le dénominateur de
l'égalité (131)
A
XI2
<r-|.
=
jB
+
D'où:
M<
_
A
y
,
eJ(XU
(A4 )*
( A6 )
Comme
est la
=
VA
=
-
+
B2
i» )
P
partie imaginaire de ( Ai )*,
(Aô)
M
)
couple nominal de la machine.
On
peut calculer ( A<S )
fonction de la constante d'inertie
en
H, du
coefficient
d'amortissement D et du coefficient de synchronisation C.
En effet:
GD2(
H
n
1000000
)2
=
2,74
sec
SMVA
GD2
=
m2t
n
min
S
=
la
puissance apparente
D'autre part
on
méga-volt-ampères.
6
H
sait:
en
co
=
M
H.M..a2
Alors:
AA
=
„
O
-
oj.
B
=
p
XI.D
D'où:
M
A6
=
-
(ff.HJVLXl2)2
+
sinfXlt
-t-
<p
-
tJ)
)
A2-D2
co.p
Où:
M
A
(Aà)
(132)
=
(j.H.M.Xl2)2+il2D2
co.p
71
-
-
A
Le calcul de
( Ai )
est nécessaire pour la détermination des courants dans
l'amortisseur.
Couple monophasé d'une
Soit
m
la variation de
tour de
sa
déjà
machine
%\
=
ce
couple, pour
=
<S
variation
une
+do Aiq
+
Ai de l'angle de charge
Or:
=
Vd
Mo
"
*\
"
<133>
V Aid
et transverse sont donnés par les formules
comme
6
6
=
+
=
-ib
=
,
^Ve
MaDdiDd
+
•vj) cosé
i|>,
A6
+
Vq+MaDqiDq
=
Tb sini
Tr
-
Tq
on
prend
le cosinus et le sinus des deux
remplaçant:
1>d
%
1>rcos40- trsin<S0.A6
=
=
N>rsin6o
-
'*rcos<So-A,S
"
On pose:
U
N»do
=
Vos*o
=
TJ
COSéo
U_
è
=
-
Tqo
i|>,
au¬
:
part, les flux suivant l'axe direct
^d
en
-
écrites à la page
%
et
radians dans le présent calcul.
en
V<j
=
V A^d
est
synchrone
m
position d'équilibre 6
m
D'autre
d'angle A4
La variation
Remarque:
et
i|>
Q
ib sin<S„
Tr
o
=
-
—-
sin<4
oj
o
sont les flux dans la marche normale de la machine.
Variation des flux durant l'oscillation
(^6
=
=
6
(*V4=6
o
-trsin6o-Aé
=-Vosio-Ai
membres,
on
a,
72
-
Les formules de
Ld Aid
Lq Aiq
Durant la
+
+
i|>
Mae Aie
+
de la page 43 deviennent:
*
et
.
MaDd AiDd
MaDq AiDq
période
-
=
"
=
"
VinV Aé
(134)
V0S VA6
(135)
oscillatoire de la machine
AiDd
*Dd
=
AiDq
'
on
a:
*Dq
=
Pendant la marche normale de la machine c.à. d.
il n'existe pas de courants dans l'amortisseur.
pendant l'état stationnaire,
Mais durant la
période d'oscillation
on a:
*d
'q
=
=
4>q
L'indice zéro
Des
dans
se
rapporte
équations (134)
l'équation (133),
iD déjà
au
et
**>
+
Aid
V
+
Aiq
W
=
AiDq
+
bqo
'
=
°
travail normal de la machine.
(135),
on tire
ainsi que pour
i, et i
*
\)i,,
,
,
*
on
les
et
remplace par leurs valeurs
\p.
et les courants L,. et
calculés à la page 68.
On remarque que:
Urcos6Q
ld°=
-
U
x
xd
Ursin6o
.
^°
=
"
"
x
q
U
et U
,
tension du réseau et tension de la
Pour la variation du moment
A
m
=
"
V Vin V*6
"
on
roue
polaire, sont monophasées effectives.
a:
"^ Vos60-
A6
+
MÂi^)
q
+
_J£( +rsin60.A6
Ld
+
Mae Ai,
+
M^ AiDd)
+
73
-
D'autre part
on a:
Aé
(Ai ).sin(Xlt)
=
Après remplacement
Am
«
Ai.-JL
--JLJ£Bta«
xd
2
2
Ur--°-
cj2
x
\
.
l'excitation,
apparaît du
grâce à
la
6
cos
+
°
XaDdL<rd
second membre de
au
qu'il s'agit
d'une machine
,
6
J
WAxs
).(A6
cos26o(A6)
)
-
-
ffd
sin26
A(A6)
)
°
(136)
dt
l'équation (136) provient
la deuxième est le moment de
fait
2
„.
sui
x.z4_.
XaD,dRpd
*dZid
+
d
q
d
-i
t
,
U2(J- --L)
+
xd
Xq-z2a-q
première quantité
La
de
L
WPq cos2<5
(
-2
XX.(A6 )cos.flLt
9
°-
crq
q
,2
cos<5„
-LJ»
2.
a
î
Z2^
—(
^
=
dt
|"UU
XaDqL(Tq
,
^(A6)
,
on a:
UJ^
=
-
synchronisation,
de la variation
la troisième
synchrone à pôles saillants,
et la
quantité
quatrième
présence d'amortisseur.
Le coefficient de
—
dt
important résultat de
D
=
i.
"2
peut être considéré
ment direct et D
q
(A6 ), qu'on appelle coefficient d'amortissement
est le
plus
calcul de la variation du couple. En effet:
ce
W°q cos26n
(
XaPdRDd sm26
Vad
+
Vaq
comme
la
somme
des deux coefficients D
.
}
(137)
coefficient d'amortisse¬
coefficient d'amortissement transverse.
Ur XaDd**Dd
n
D
,
=
d
-
.
sin
2,
o
vid
2
D
=
1
Comme la machine est
tion
(137)
etxo„
aq
Alors
=
par
3/2
on a:
3/2
X
.
aq
-^ 5£feLCos26
o2
Z2
x
q
°
Otj
triphasée, il faut multiplier
pour obtenir le
couple triphasé.
les deux membres de
On sait de
plus que
x
.
=
l'équa¬
3/2
X
,
74
-
(couple triphasé):
Coefficient d'amortissement
Ur_ fad^Ddsin26
d
,,2
U2
q
72
x,
R_
x
=_L
D
-
„
-SSL _^3_Cos26
x
?
„o
q
u>2
(138)
o
(139)
o
Z^q
Conditions d'amortissement maximum
Il est clair que le coefficient D est maximum
-^•L^j
=
Ces conditions étant
Dd
les
remplies,
IDd
u
il. L,
et
IL..
g a
=
quand:
=
„
R^
Dq
va.
équations (129) deviennent:
JI.VJA6) sin<S
r2.
eff
w.
(140a)
2R_,
Dd
/\
il.U (Û6
haD*eff
Il est
connaissant
â. d.
) cos6„
"
(140b)
"
«.2.^
possible maintenant de calculer les courants effectifs dans l'amortisseur
Rj.,,
R_
exemple numérique
c.
=
,
( A6)
et 6
.
On montrera dans
que l'amortisseur transverse
un
chapitre spécial, par
l'emporte
sur
que le coefficient d'amortissement transverse est sensiblement
coefficient d'amortissement direct
ce
qui conduit à
négliger
ce
un
l'amortisseur direct
dernier.
supérieur
au
75
-
-
CHAPITRE VI
Réactances et constantes de
temps des machines synchrones
MESURES
synchrone triphasée, montage étoile:
Machine
35 KVA
Puissance
Tension
aux
500 V
bornes
T/min
34,5 Ampères
750
Vitesse
Courant nominal
cos «f
0, 8
=
96
Nombre total d'encoches
Nombre d'encoches par
et par phase
Nombre de
pôle
q=4
2p
pôles
=
8
Diamètre d'alésage
D
=
466
mm
Longueur axiale
1
=
160
mm
I(A)
U(V)
100
w>
90
F
80
400
70
60
300
50
I3
8
200
40
30
20
D0
to
A
0
1
2
3
4
.
.
.
5
Fig. 18
OF
=
caractéristique â vide
OE
=
droite d'entrefer
OB
=
droite de court-circuit
triphasé
76
-
I.
-
synchrone directe
A. Réactance
La machine est dotée d'un amortisseur
Cette réactance s'obtient à partir de la
de court-circuit
triphasé,
en
prenant
de court-circuit permanent pour
un
le
en
barres de cuivre
caractéristique
quotient
V5.45
6,4
La réactance directe et transverse s'obtiennent
exemple
La machine
une
donné, figure 18.
synchrone entraînée
vitesse très voisine du
par une
synchronisme.
ohms
également
L'enroulement d'excitation étant
est
on
nulle,
valeurs,
la
première
la deuxième I
en
Pour
un
quand
correspond par
glissement
de 5
aux
bornes de l'excitation
contre à une tension maxima de
l'excitation,
113
il
6,4
ohms
10,5
113
=
V3
i
il. 17
3,84
ohms
Tension
statorique
Courant
statorique
Fig. 19
Essai de
glissement
on
courant du stator oscille
la tension
a:
il
%,
(figure 19).
court-circuit, le
Ij obtenue
par l'essai dit de
machine à courant continu par
relève à l'oscillographe la tension et le courant I du stator
entre deux
de la droite
500
U
à
cylindriques.
vide, et
de la tension étoilée par le courant
courant d'excitation
'il
glissement.
à
77
-
Réactance de réaction d'induit directe
B.
xad
=
50 Hz
16
w
=
240 spires par
k
=
0,42
Xa
w
Vs
--
2pà.k
TP
b.
=
18,3
=
11,95
On trouve pour
c
cm
cm
x
,
la valeur
Quant à la réactance de fuite
tier,
on
trouve
53,9
A-cm
0,86
=
i
l
pôle et par phase
=
kl
k
108.2p
cm
8HD.10"1
A
a
2
=
(wkw)2
«A,
t:
=
f
-
x
=
0,
74 ohms
5, 66
x
,
ohms.
elle
a
été déterminée par la méthode de Po¬
(figure 20).
012345678910
11
Fig. 20
A
=
caractéristique à
B
=
caractéristique, charge inductive
vide
U
=
tension
i„
=
courant d'excitation
e
statorique
en
ampères
c
78
-
-
C. Réactance de réaction d'induit transverse
On a:
x
0,86
k.
1
.
ad
_
_
x
0
k
aq
44
">"
*q
D'où:
x
=
2,
'
aq
Or:
Xq
=
On compare la valeur de
On lit
suivantes
sur
en
xd
=
le
diagramme
x
V
9 ohms
+
0,74
Xaq
+
2,9
obtenue par la méthode de
=
3,64
glissement.
synchrone (figure 21),
de la machine
les constantes
(per unit):
0,765,
x
=0,44,
Fig. 21
de
aq
Diagramme:
phase entre tension
=
angle
=
angle de charge
réactance de fuite de la machine
=
réactance de réaction d'induit
=
réactance
synchrone
Mach.
et courant
=
ad
0,347,
xad
=
synchrone
statorique
0,
6775
-
79
-
D. Réactance inverse
Elle
1.
sera
x„
déterminée:
Par la droite
d'entrefer,
triphasé
et les droites de court-circuit
et
diphasé (figure
22):
i,
x„
"2
=
-
x,
Yâ
-
i-
"d
0,7
ohms
U
2. A l'aide de l'essai de court-circuit
diphasé:
46,5
U
2
=
-
—
fi
0, 95 ohms
Va
I„
.28,2
U
I
E//
soo
/A
100
\
D
90
80
400
70
300
h
SyZ
//
60
50
I,
200
S
S\
B
30
20
K»
»
i
A
.
012345678910
Fig. 22
Machine
avec
amortisseur
(barre
cuivre
OE
=
droite d'entrefer
OD
=
OC
=
diphasé
OB
=
triphasé
cylindrique)
monophasé
-
80
-
E. Réactance homopolaire
Elle est déterminée:
1.
A l'aide de la droite d'entrefer et des deux droites de court-circuit
monophasé et
diphasé (figure 23):
xo
2.
=
(xd+x2>
I,V3
-^
-I
Par l'essai à rotor calé et l'enroulement
la machine
avec une
tension
i
=
1, 41
ohms
Ii
statorique
donnée, l'excitation étant
en
en
triangle
ouvert.
court-circuit,
(figure 23):
Xo
=
=
3Ï
1,4f
1,396>
1,4°8
(II)
[^3
Fig. 23
Mesure de
x
U. sincp
0
31
(abc)
=
phases du
e
=
enroulement d'excitation court-circuité
staor
on
On alimente
obtient:
81
-
-
Tableau
V
Valeurs mesurées
Type
Valeurs calculées
xo(n)
sans amortisseur
1,68
0,7
1,55
0,85
amort. complet
barre cuivre ronde
0,96
0,7
0,74
0,705
1,03
1,075
1,06
1,08
1,051
1,065
1,4
1,21
amort.
complet
barre laiton ronde
complet
barre trapézoïdale
amort.
en
laiton
F. Réactances subtransitoires et transitoires
Elles sont déterminées:
1.
Par l'essai où la machine est
phases
qu'à
ce
en
série,
repos et
au
la 3ème restant libre
(figure 24).
que le courant d'excitation atteint
mentation et le courant
statorique,
alimentée,
sa
en
=
0,
minima,
55 ohms
©
^
Fig. 24
monophasé,
deux
On tourne lentement le rotor jus¬
valeur
on a:
21
courant
Mesure de x'
d
et x"
a
abc
=
phases
e
=
enroulement d'excitation
du stator
on
lit la tension d'ali¬
82
-
jusqu'à
On continue à tourner le rotor
-
ce
que le courant de court-circuit de
l'excitation soit minimum:
U
....
et x" sont
Ces valeurs de Xj
21
Par l'essai de court-circuit
Cet essai
travail et cela
a
a
60%
80%
ont été relevés pour
en
question dans
ce
un
amortisseur
40%
chaque type d'amortisseur
L'oscillogramme (figure 25) représente
brusque statorique pour
du courant
tensions:
oscillogrammes
tes tensions.
brusque
été effectué pour
aux
100%
Des
saturées,
q
d
2.
non
0,45
_
q
en
et
aux
différen¬
le courant de court-circuit
barres de cuivre
trapézoïdales. L'enveloppe
été dessinée.
HIllilllAWAfifâfAf,
N§§PIWi!â!ÂIâ
Fig. 25
Courant statorique
au
court-circuit
brusque
83
-
Evaluation de
Sur la
x*., x'\
figure 26
les constantes de
connu.
Ik
-
et des constantes de temps
on
peut lire les courants I'
temps T'
et T'\.
Le
procédé
I",
+
I' et I"
séparément,
de la détermination de
ces
ainsi que
courants est
étant le courant de court-circuit maximum, I' le courant transitoire, et U
la tension statorique avant la mise
en
court-circuit,
on a:
U
xà
Y2(i'
Va
+
ik)Y?
V2(ik
+
r
+1")
I" est le courant subtransitoire.
A
WX1
son
un
300
\ I*1'
\
0,3 6 8
i"-
200
l'^\\
=
6tf»
&S061'
5
U
3
2
sec
100
.-
-è-Jd—-
So
^
\_
20
10
210
3
Fig. 26
=
I"
=
T"l
9
Essai de court-circuit
I'
T\
8
=
=
10
sec
brusque
courant de court-circuit transitoire
courant de court-circuit subtransitoire
constante de
temps
constante de
temps subtransitoire
transitoire
84
-
Dans le tableau VI
on
trouve,
-
suivant le
type d'amortisseur, les valeurs
réactances transitoires et subtransitoires ainsi que les constantes de temps
des
corres¬
pondantes.
Tableau
machine
amortisseur
amort.
valeurs mesurées
valeurs mesurées
Type
sans
VI
mach.
repos
au
x»(.a)
xJJ
(II)
3,97
1,77
2,35
0,49
0,525
1,29
court-circuit
xJj(IL) xJJ
Td(sec)
TJJ(sec)
1,61
0,136
0,006
1,62
0,822
0,12
0,0058
1,315
2,18
0,
0,102
0,0057
0,448
0,55
1,83
0,818
0,12
0,0058
1,6
1,56
1,
0,
0,12
0,0031
0,108
0,0047
complet
barre cuivre
cylindrique
amort.
complet
barre laiton
95
cylindrique
amort.
barre
complet
en
cuivre
trapézoïdale
amort.
barre
complet
en
laiton
74
985
trapézoïdale
amort.
barre
incomplet
en
1,62
cuivre
0,616
cylindrique
On
a
calculé,
subtransitoires
court-circuit
chaque type d'amortisseur, les réactances transitoires et
pour
fonction de la tension
en
tivement à l'amortisseur
driques,
en
bornes de la
aux
machine,
brusque de la machine. Les figures 27, 28 et 29,
en
barres de laiton
barres de cuivre
II.
Calcul
de
x'\
à
K
xd
21TA
K
"
bd
cylindriques,
cylindriques (l'amortisseur
xd
"
xad
l'aide
+
KR
+
R
-
la
1
21T.1,23
0,0358
4,576.53,9.0,86
barres de cuivre
étant
R
=
n^l-kJA^
de
en
avant la mise
en
sont relatives respec¬
incomplet).
formule:
cylin¬
85
-
R
"l
=
-
4X,
(2oiA +
-)
=
1T
k
=
0,428
a
=
0,653
=
0, 96
fi
Le coefficient de
ment
égal
perméance
à celui d'une encoche
deux pôles consécutifs. Dans le
On trouve
de barres
en
comme
valeur
de l'enroulement d'excitation est approximative¬
A
ayant la même forme géométrique
cas
non
présent,
c'est
une
encoche
que
0,9
ohms.
Vd<">
3
.
U
x',
x,
a
20
Fig. 27
l'espace
entre
rectangulaire.
saturée da la réactance subtransitoire dans le
trapézoïdales:
cuivre
1,231
statorique
=
tension
=
réactance transitoire
=
réactance subtransitoire
40
60
80
Amortisseur (barre laiton
100
cylindrique)
cas
86
a
a
U
=
tension
x.
=
xj
=
statorique
40
20
80
100
80
X»
Fig. 28
"dV"'
tension
statorique
20
40
Fig. 29
*„•/.
U
87
-
III.
Coefficient
de
perméance
-
chaque type
de
de
barre
d'amor¬
tisseur
1. Coefficient de perméance de l'encoche cylindrique (barre
Soit l'encoche considérée
(figure 30),
Sur la courbe
(figure 11),
=
5,18.10~6
ohms/cm
on a:
Lto
UJ.U
o
,
Abd* ~Z
Ko
0,35Ro
D'où:
bd
Ka
bdtot.
Fig.
0
30
=
2cp.=
4tt.cj.10-9
=
°»62
+
cuivre).
la résistance par unité de
barre de cuivre est:
RQ
en
-=-
2,5
0,62
=1,42
Encoche circulaire d'amortisseur
diamètre de l'encoche
ouverture d'isthme de l'encoche
longueur de
la
88
-
-
2. Coefficient de perméance de l'encoche trapézoïdale (barre
Résistance par unité de
fi
=
On trouve
0,
3 et h'
Abd
=
h
=
7,
=
cuivre, figure 31)
longueur:
R
Pour
en
4,
=
5 mm,
lit
on
87.10~6
sur
ohms/cm
la courbe
(figure 6):
1,23.
Lcj
=
Ro
Fig. 31
3. Coefficient de perméance de l'encoche cylindrique (barre
On
en
laiton)
a:
a.l
Tfïô II 50.50
a
1150.12,1
TV
_
ifïÔ U
=
bdtot
fl
^
=
0,3
et h'
=
0, 8
+
y
RQ
On trouve pour
A,,
=
2,4
=
1,62.
2,5
hl/^-^1
=
ohms/cm
2,08.10
4. Coefficient de l'encoche trapézoïdale
Pour
p
longueur:
=
.
avec
,
7' 5
50.50
R
On trouve pour A.
T2
50.50
(barre
=
en
3,75
longueur:
=
2.10"5
1,52.
ohms/cm
laiton)
mm
12,5
ohm.
mm
1.
-
89
Le calcul de la réactance subtransitoire
et cela pour tous les types d'amortisseurs
en
-
a
été fait à l'aide de la formule
question
dans
ce
travail
(voir
(120)
tableau
vn).
1. Sans amortisseur
2.
Amortisseur
(barre
complet
en cuivre
cylindrique)
Amortisseur
(barre en
cylindrique)
complet
laiton
-
90
-
4.
Amortisseur
(barre
complet
en cuivre
trapézoidale)
5.
Amortisseur incomplet
(barre
en
cuivre
cylindrique)
Fig. 32
Oscillations propres
Tableau
Valeurs
Amortisseur
laiton
0,
cylindrique
964
tfl)
barre
en
cuivre
cylindrique
0,928 (XI)
non
VII
saturées de
barre
x'j
en cuivre
trapézoïdale
0,92 (-D.)
barre
en
laiton
trapézoïdale
0,94 (£1)
91
-
IV.
Mesure
du
d'oscillations
nombre
d'amorti
1. Sur l'oscillogramme
pézoïdales,
on
tous les autres
sistance
au
voit que
-
(fig. 32.4),
types d'amortisseurs. Ce fait
courant alternatif de
Sur le tableau
Vin,
minute
relatif à l'amortisseur
barres fournissent
ces
par
ces
suivant
le
type
sseur
en
explicable
est
barres de cuivre tra¬
nombre moindre d'oscillations que
un
en
raison de la faible ré¬
barres.
trouve le nombre d'oscillations par minute relatif à cha¬
on
que type d'amortisseur.
Tableau
VIII
Oscillations/minute
1. Amortisseur incomplet
barre
en
cylindrique
cuivre
252
(fig. 32.5)
2.
Amortisseur
barre
en
complet
trapézoïdale
174
cuivre
(fig. 32.4)
3.
Amortisseur complet
barre
en
cuivre
cylindrique
192
(fig. 32.2)
4. Amortisseur complet
barre laiton cylindrique
252
(fig. 32.3)
5. Machine
sans
270
amortisseur
(fig. 32.1)
2. Nombre d'oscillations par minute relatif â l'amortisseur
cylindriques,
p
=
=
16,
6
Ik
mU
,1. cos
k
ph
On trouve
TQ
=
0,302
=
sec,
51
ce
a
mpères
cuivre
4
o
s'agissait
chrone étant soudain
dans
ce
,
Uph
=
288,5
V
qui correspond à 195 oscillations par minute,
valeurs très proche de celle donnée par
ne
en
kgm2
4,
Il
barres
GD2
T-"f]
GD2
avec
calculé à l'aide de la formule:
l'expérience.
(Voir tableau VHI.)
qui précède que d'oscillations propres, la machine syn¬
séparée du réseau
et y est immédiatement
après rétablie.
Pen-
-
continu,
amis entraînée
jusqu'au synchronisme
V.
électriquement par
d'amortissement
Facteur
tj
=
0,118
barre
r\
=
0,0838
sans
TJ
tj
r\
0,13
=0,105
en
de
cas
en
laiton
=
1
-i-
synchrone
cour
t-cir cuit
brusque
^
h
h
-i-JL
-
log
T
*2
I
"k
-
trapézoïdale
amortisseur
amortisseur
complet, barre
en
laiton
amortisseur
complet,
barre
en
cuivre
=
0,12
amortisseur
incomplet,
=
0,096
amortisseur
complet,
VI.
autre machine
(figure 25):
ij
-
une
et ensuite reliée au réseau.
Facteur d'amortissement
r\
-
essai, la machine synchrone était séparée mécaniquement de la machine à
dant cet
courant
92
barre
barre
cylindrique
cuivre ronde
en cuivre
d'amortissement
Coefficient
en
cylindrique
trapézoïdale
(période oscillatoire)
Calcul du rapport du coefficient d'amortissement transverse
au
coefficient
d'amortissement direct.
Avant de faire
et transverse R„
,
ce
calcul,
et R„
I>q
Dd
R
il est nécessaire de déterminer les résistances directe
:
Dd
=
N(_k II.) ±
+
*s
3qr
Js
2To
N
=
nombre total de barres d'amortisseur
1
=
longueur d'une barre (en
q
=
section d'anneau
=
résistivité du cuivre
=
202
^r
p
lg
mm
,
Le calcul
N
=
64
cuivre
,
numérique donne:
T
r
cylindrique)
=
182
mm
,
qr
=
187
mm2
93
-
RDd
7.15-10"3
=
On peut déduire donc que
RDd
-
RD
ohms,
RDq.
=
=
7,
55.10-3
suppose de
on
ohms
plus que:
A-L«rDd=-fl-LaDq=-Û-N-Lo- barre
XI
Avec:
=
*£
=
MI
NL_
a vu
(page 70),
que pour
trDd
un
sec
34.10"4
8,
=
"barre
On
157
=
4
P
amortissement maximum:
II. L
et
Dd
=
R-,
r,
Dq
orDq
de telle sorte que:
^«Dq
Zcrq=
et
comme
R^
=
RDq
,
Z^q
a:
on
Zcrd
'
=
^RDd
Z^
=
On forme le rapport:
D
_A
=
Dd
XX,.-,
A cot26
_ïa
Xq
Xad
=
2dl. lia-.
0,86
On voit de
ce
cinq fois supérieur
3,68
5,01
=
4,46
qui précède que l'amortissement
à celui
sur
l'axe direct. Ce
qui
sur
l'axe transverse,
conduit à
négliger
est environ
le coefficient
d'amortissement direct:
U
D
=
x
Dans tout calcul relatif
une
grande erreur, négliger
dente montre,
qu'il faut
l'amortisseur et cela
l'amortisseur,
s'il
on
,
-M _J_
_L
w2 Xq
q
au
°
2RDd
coefficient
d'amortissement,
on
peut,
sans
commettre
le coefficient d'amortissement direct. La formule
diminuer R_
jusqu'à
veut
0
cos26n
un
une
,
précé¬
c.à. d. augmenter la section de cuivre de
certaine limite
imposée par l'échauffement de
coefficient d'amortissement optimum.
94
-
1. Mesure de GD
ère que coscp
=
2
1,
La machine
.
on mesure
de la machine de 10
mesure le
gente
au
On
GD
de
Mesure
VII.
% à
et
en
les
marche
en
fonction du
donne la valeur du
a:
GD2
dans
pertes
Puis
.
la
machine
et l'excitation
synchrone,
pertes à vide P
et l'on
nombre de tours
point N,
des
%
20
-
on
fait
réglée
de mani¬
augmenter la vitesse
sépare celle-ci immédiatement du réseau. On
la courbe de la
temps,
figure 33
et
sa
tan¬
temps de ralentissement linéarisé.
365000. P„.ab
o
„„
sec
16 kg.
=
m
nominale
2.
Pertes-cuivre.
La machine
synchrone
se
comportant exactement
pour la
comme
o
mesure
de GD
,
seulement les bornes du stator
que la machine ait été
du temps,
on
séparée
du réseau. On
obtient la courbe de la
P
+
P
eu
Pertes frottement.
en
nominale
p
1,1
frottement
KW
C'est le même essai que pour la détermination de GD
l'enroulement d'excitation reste ouvert. La
figure
«0
33
Essai pour la
2
,
mais
35 permet l'obtention du temps de
ralentissement linéarisé.
Fig.
fonction
2
'
365000.ab
=
3.
le nombre de tours
_
supl.
après
trouvent court-circuitées
figure 34.
GD2
On a:
se
mesure
mesure
50
sec.
de GD
95
-
On
a:
-
ab
frott.
^Pfer+PfrotJ
640.
ab
ÎO-3. 3-2iA
sec
sec
=
Fig. 34
2
3
5
6
Essai pour la
20
Fig. 35
4
40
ab
=
(sans excitation)
0,2865 KW
'
86
t
(avec excitation)
9
7
mesure
60
10
11
12
13
sec
des pertes-cuivre
80
t, temps de ralentissement linéarisé
wo
sec.
96
-
-
Ré sumé
Le but de cette thèse est
le
type d'amortisseur
une
contribution à l'étude des amortisseurs
rectangulaires,
ou
régime oscillatoire (faible résistance)
un
un
moyen de choisir le
suivant que les barres d'amortisseur sont
plus adéquat c.à. d.
cylindriques, trapézoïdales
pour
d'apporter
synchrone à pôles saillants et de rechercher
d'une machine
de dimensionner cet
soit pour la marche
soit
amortisseur,
asynchrone
ou en
brusque (grande résistance).
court-circuit
l'objet des chapitres I, H, III
Cela fait
et
IV, où
les résistances
au
courant
con¬
tinu et alternatif des trois types d'amortisseur mentionnés plus haut, ainsi que leurs
furent calculées
perméances,
(140a)
Les formules
l'amortisseur
en
l'amortisseur
ces
la
précision nécessaire. L'évaluation
en
(140b),
et
page
70, permettent
régime oscillatoire tandis
de calculer
permettent
avec
dues aux courants de Faucault est dès lors
supplémentaires
l'augmentation
court-circuit
en
Td
et
,
Au
x,
page
et transitoires x'L
outre de calculer les constantes de
TV,
44,
x", x*,,
de l'amortisseur
temps Tï..
ainsi que les constantes transitoires et subtran¬
chapitre
on
trouve le calcul de la réactance de réaction d'induit
connaissant la réactance de
qui permet,
synchrone
(93),
Td.
Dans ce même
x
et
phase du stator, de l'enroulement d'excitation et de
et de l'enroulement d'excitation
sitoires
(92)
Au chapitre IV ont été calculées les inductan¬
l'amortisseur, ainsi que les réactances subtransitoires
x', qui permettent
de calculer le courant dans
que les formules
des courants dans le circuit d'exciation et dans
brusque.
propres et mutuelles d'une
des pertes
possible.
x.
=
+
x
dispersion
sont calculés la variation du
chapitre V,
x
de calculer la réactance
,
.
couple de la machine
en
régime
oscillatoire et les coefficients d'amortissement direct et transverse.
Au
1.
chapitre VI, sont exposés les résultats des
qui consistent:
essais
à calculer les valeurs saturées des réactances et des constantes de temps x,,
TV et
mes
TJ,,
à l'aide de l'essai de court-circuit
des courants
brusque
en
statoriques à des tensions égales à 40
x",
prenant les oscillogram,
60
,
et 100
80
de
la tension nominale de la machine.
2. à déterminer les valeurs
tée
3.
en
monophasé
à Calculer les réactances
glissement,
non
saturées des réactances x', et
x'\,
la machine alimen¬
est à l'arrêt.
synchrones directe et transverse
ainsi que la réactance de
dispersion
x
x,
et
x
par l'essai de
(la machine ayant
une
charge
inductive).
4.
à étudier le comportement de la machine
réenclenchement
question
dans
ce
sur
le
réseau,
travail,
au
moment de
et à déterminer pour
la machine
son
quel
synchronise plus
déclenchement et
type d'amortisseur
efficacement.
son
en
97
-
-
Conclusion
La théorie de l'effet de peau
Nombre d'auteurs
déjà
on
traité le
rectangulaires, trapézoïdales
thèse et développée
au
effet
pelliculaire,
problème
est
de
connue
des conducteurs
cylindriques. Cette
théorie
logés
a
été reprise dans cette
dans une encoche
cylindrique
isthme et parcouru par
le
cas
un
courant alternatif est entièrement nouveau et est résolu dans toute
pour la
première
fois dans le
présent
nouveau a
R et K* page 58 et 59
K,
cision,
ainsi que les constantes de
D'après
rable quant
la
transitoires,
de déterminer
qui permet
généralité
une
formule de
ces
réactances
avec
con¬
pré¬
temps d'une machine synchrone.
la théorie et l'essai effectué
travail, l'on peut
sa
été calculée dans cette thèse surtout par l'introduction des
stantes
ce
avec
travail.
Pour le calcul des réactances subtransitoires et
caractère
longue date.
dans des encoches
mathématiques plus directes. Néanmoins,
moyen de méthodes
logé
du conducteur
et
ou
sur
la machine
conclure que l'amortisseur à barres
synchrone
en
trapézoïdales
question dans
est
plus favo¬
pertes supplémentaires et quant à la stabilité de la machine pendant
aux
période oscillatoire.
L'application
de
ces
sance
réactances
des formules
a
(120), (121)
été entreprise
et
(122),
personellement
de la Maison Brown Boveri à Baden
page
sur
59,
concernant le calcul
des machines de
Les résultats obtenus étaient très satisfaisants et conformes à
les essais effectués
grande puis¬
(Suisse).
ceux
donnés par
machines pour la détermination des réactances transi¬
sur ces
toires et subtransitoires.
Il est nécessaire de
souligner que
ces
formules sus-mentionnées sont des valeurs
valeurs
il faut
saturées,
Jusqu'à présent
les
mathématique,
qu'on
la
sur
Cependant il
est
de
progrès
machine)
et de
varier de
les
multiplier par le coefficient
0,66
à
0,
équations
des flux et des tensions devenant
93.
non
l'analyse
linéaires,
sitôt
partie curviligne de la caractéristique à vide de la machine synchrone.
possible
de le déterminer par des méthodes
principalement
température.
avec
les
essais,
la détermination du coefficient
de l'instant d'enclenchement du court-circuit
sa
graphiques appropriées.
des calculs et la bonne concordance observée
restent ouverts concernant
saturation,
saturées et que pour obtenier leurs
le coefficient de saturation n'a pu être calculé par
Malgré la précision
des
non
première approximation
qui, selon l'expérience, peut
de saturation
est
en
valeurs des réactances données par les
(c. à.
d.
de l'état de la
Liste
des
Les indices d et q
symboles
employées
dans
cette
étude
rapportent respectivement à l'axe direct et transverse de
se
la machine.
Les indices
L'indice
e
Dd, Dq
se
se
Les indices doubles et
et transverse.
permutés affectant
les inductances et les réactances dé¬
successivement des inductances propres et mutuelles.
signent
Toutes les
fuite
rapportent à l'amortisseur direct
rapporte à l'enroulement d'excitation.
grandeurs physiques affectées de l'indice
o* sont
relatives
au
flux de
de dispersion.
ou
Réactances
Les réactances
X sont
désignées
par
sont
=
réactance
x".
=
=
réactance de
=
réactance de réaction d'induit
x
=
réactance
x2
=
réactance inverse
x
,
ad
XD
Xin
,
,
XDDd
X
,
X
.
X
.
Xeed
XDed
désignées
homopolaire
réactance de fuite de l'amortisseur
=
réactance propre de l'amortisseur
=
réactance totale de l'amortisseur
=
réactance mutuelle entre la
=
réactance propre de l'enroulement d'excitation
=
réactance de fuite de l'enroulement d'excitation
=
=
Xaed
+
Xedc
=
phase
a et
l'enroulement d'excitation
réactance totale de l'enroulement d'excitation
réactance mutuelle entre l'amortisseur et l'enroulement d'excitation
physiques
U
=
tension de
phase statorique
U
=
tension de
phase de la
i
=
densité de courant
=
courant efficace
H
=
champ magnétique
E
=
champ électrique
,,
ceux
dispersion
=
Grandeurs
I
que
synchrone
=
x
triphasées, tandis
monophasées.
x,
xji
x
_êff
roue
polaire
par
-
99
9 ^
=
I~
=
courant dans l'amortisseur direct
=
induction dans l'entrefer
,
flux
-
magnétiques
Dd
B,
Inductances
et
résistances
Z
=
impédance
M
=
inductance mutuelle
L
=
self-inductance
R
=
résistance
r.,
=
résistance
équivalente d'une
barre d'amortisseur
Couple
couple d'entrainement
M
=
maximum du
m
=
couple monophasé
2
=
moment de
H
=
constante d'inertie
S
=
puissance apparente
GD
F onction
giration
(page 65)
s
=
fonction de Hankel d'ordre
m
=
fonction de Bessel d'ordre
m
R
=
R(p),
V
=
fonction
N
=
fonction de Neumann
H_
m
J_
m
fonction de p
potentielle
Constantes
K
=
constante
(page 59)
K*
=
constante
(page 59)
R
=
constante
(page 58)
J
=
partie imaginaire
=
numéro d'ordre de la barre
=
facteur d'enroulement du stator
=
facteur d'enroulement de l'amortisseur
k
=
facteur d'enroulement de l'excitation
k
=
facteur d'enroulement
Np
,
k
kp,
,
n
sin(nb£
=
)
-
100
-
8fywk/_
=
P.108
k..
=
constante
d'équivalence directe
k
=
constante
d'équivalence
transverse
k
=
facteur de Carter
w
=
nombre de spires par
n.
=
nombre de barres d'amortisseur par
N
=
nombre total de barres de l'amortisseur
P
=
nombre total des
=
nombre de paires de
D
=
diamètre
1
=
longueur géométrique de la machine
=
petite base et grande base de l'encoche trapézoïdale
=
nombre de
p
b-.
,b
N
Lettres
=
oc
=0,66
A..
stator
pOle
pôles
d'alésage
pOles
en
cm
spires par pôle de l'enroulement d'excitation
grecques
Bl
/3
A
phase du
B,
—
amplitutde fondamentale
=
constante du
=
coefficient de
=
coefficient de
de l'induction
champ magnétique
perméance
de l'excitation par
perméance
d'une barre
pôle
unique d'amortisseur par unité de
longueur
é
=
XI
=
fréquence d'oscillation
6
=
moment d'inertie de la machine
r
=
conductibilité
ï
=
fih
angle de charge
il
V
spécifique
b'
"P0r
"
2
b
bl
bo
S
î
=èy(/î)
=
perméabilité magnétique dans le vide
=
4TT10
-9
Vs
Acm
coefficient de
perméance
en
général
-
£
=
T
l
(<p1)
<*
<p.
<
•$
«pn
£
*
constante
pas
polaire
=
une
fonction de
cp
^
=iRil>vV
=
angle
=1
=
=
=
en
degrés
U>V
2
angle
entre la
phase
a
et l'axe direct
(2n-l)£
angle
entre deux barres consécutives de l'amortisseur
2H°D
=
=-
p
=
coordonnée
=
résistivité du cuivre
o-
=
coefficient de
£
=
entrefer
n
=
a
p
-
d'intégration
=
P61
<Pn
101
polaire
synchronisation
facteur d'amortissement
102
-
Table
des
-
matières
9
CHAPITRE PREMIER
Perméance d'une encoche
Calcul des
9
rectangulaire
12
pertes dans l'encoche
14
Perméance de l'encoche considérée
16
Impédance d'une encoche trapézo'idale
CHAPITRE II
Cas où l'encoche est parcourue par
un
courant continu
16
Cas où l'encoche est parcourue par
un
courant alternatif
20
CHAPITRE m
Inductance d'une encoche ronde
Cas où le conducteur
logé
avec
28
isthme
dans l'encoche est parcouru par
un
28
courant continu
Cas où le conducteur est parcouru par
un
courant alternatif
Cas où le conducteur est parcouru par
un
courant
lignes magnétiques sont perpendiculaires
CHAPITRE IV
alternatif,
33
les
â l'axe de l'encoche
Réactances d'une machine
synchrone
â
pôles
43
saillants
48
Réactances transitoires et subtransitoires
48
Calcul de l'amortisseur
53
1.
Amortisseur direct
53
2.
Amortisseur transversal
54
CHAPITRE V
CHAPITRE VI
Calcul de la variation du c"ouple
Réactances et constantes de
machines
A.
Réactance
synchrone
synchrones.
66
temps des
Mesures
directe
75
76
B.
Réactance de réaction d'induit
77
C.
Réactance de réaction d'induit transversale
78
D.
Réactance inverse
79
-
103
-
80
homopolaire
E.
Rêactance
F.
Réactances transitoires et subtransitoires
x"
81
84
II.
Calcul de
III.
Coefficient de
IV.
Mesure du nombre d'oscillations
91
V.
Facteur d'amortissement
92
VI.
Coefficient d'amortissement
92
VII.
d
Mesure de GD
pertnéance
2
et des
de
pertes dans
la machine
8"?
94
104
-
-
LITTERATURE
Valir on, Théorie des Fonctions.
L
1
G
L
2
A.
L
3
A. Somme rf
L
4
C.Concordia, Synchronous
L
5
F
L
6
G.Goudet,
L
7
R.Richter, Elektrische
L
8
E.Kimbark,
L
9
R
.
.
.
Angot, Complément
Mathématiques.
eld, Vorlesungen
Ollendorff
Briider
de
,
iiber theoretische
Machines
(Theory
Physik,
Performance).
and
Berechnung magnetischer Felder.
Les fonctions de Bessel.
Power
link,
Die
Maschinen.
Volume III.
System Stability,
Stromverteilung in den Dâmpferstâben
10
J.Walbeck, Stabstrome
im
Dampferkafig
von
von
Jg. (1936),
maschinen. Siemens-Z. 16.
L
Band VI.
Synchron¬
S.
133.
Synchronmaschinen... Diss.
Aachen 1942.
LU
O
.
E
.
Pollot,
Die
Stromverteilung
mit
Dampferkafig
im
Einzelpolen
(1942),
S.
bei
von
Synchronmaschinen
asynchronem Anlauf. AfE.Bd. 36
652.
(1932).
L
12
Electrical Engineering, Bd. 51
L
13
D.Harms, Ueber die Verteilung der Strëme
in der
Dampferwicklung
von
Turbogeneratoren mit Massivlâufern. ETZ. 73. Jg.
(1952),
L 14
E.Jasse, Théorie
des
S.
173.
Dâmpferkafigs
(1948),
S. 233.
von
Einzelpolmaschinen. AfE. Bd.
39
-
105
CURRICULUM
Nom et Prénom
-
VITAE
Moutawé
ACHAB
Lieu et Date de
le 14
juillet,
Naissance
El
Nationalité
République Arabe Unie (Syrie)
Adresse actuelle
Rieterstrasse
Krayé, Syrie,
1924
Zurich 2
91,
FORMATION
Baccalauréat,
1945
1945
-
1947
-
1949
de
Classes de
Mathématiques Spéciales
Sailly,
1949
-
1952
Licence es
1952
-
1953
Professeur à
1953
1957
1958
-
1957
(fin)
-
1961
Primaire
l'Enseignement
Kanawat)
Janson de
1953
Mathématiques (Damas)
Instituteur à
(ville
1947
série
en
au
Syrie
Lycée
Paris
Sciences, Faculté
des Sciences de Paris
l'Enseignement Secondaire
(ville
de
Stage
de six mois à MICAFIL S.A.
en
Syrie
Soueida)
Zurich
Ecole Polytechnique Fédérale, Zurich, Section IIIB,
Electrotechnique
Diplôme d'ingénieur électricien
Assistant et élève de doctorat chez Monsieur le
Professeur A. Dutoit (Institut de Construction de
Machines
électriques)
Ecole
Polytechnique Fédérale,
Zurich
1961
(16 Janvier)
Zurich,
Ingénieur chez Brown,
(Bureau d'Etudes)
Boveri & Cie.
S.A.,
Baden
le 16 Janvier 1961
M.
Achab

ETH E-Collection

Transcription

Documents pareils

topic remp valable de topic remplacement amortisseur fjr

Support d` amortisseur BMW E32, E34

Side-car et remorques moto ARMOR SIDE

Aiguiseur de couteaux 3 en 1 Référence 24455

BMW Z3 M (E367) et M3 (E36) Les triangles du train

Validation de la solution technique FT

Circuit RLC série excité