exercices chap.8

La trigonométrie-Loi des sinus et Loi
des Cosinus
Fiche
1. Soit le triangle ABC ci-contre.
Donne les appellations possibles des rapports suivants.
1
b
c
2
b
a
3
c
a
2. Pour lequel des triangles ci-dessous la valeur de sin A est-elle la plus grande ?
p. 1
8.4
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des Cosinus
3. Soit le triangle DEF ci-contre. Sachant que cos D =
1
,
4
détermine la mesure de EF .
4. À partir de la figure ci-contre :
a) démontre que l’égalité suivante est vraie : tan T • m ST = tan R • m RS ;
b) détermine l’aire du triangle QRT, sachant que m QS = 7 cm et que tan T = 0,7.
p. 2
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6. Dans chacun des triangles suivants, détermine la valeur de x.
p. 3
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
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7. Détermine la longueur de cette glissoire, sachant que les enfants doivent gravir une échelle
de 3,5 m pour accéder à son sommet et que l’angle formé par cette glissoire et le sol est de
46°.
8. L’observatoire de Kitt Peak, en Arizona, abrite les plus grands instruments astronomiques du
monde. Le télescope solaire McMath-Pierce fait partie du lot. Il a la forme d’un triangle
rectangle, est constitué d’une tour, haute de 33,5 m, et d’un long tube incliné. Ce tube
s’enfonce dans le sol sur une distance verticale de 48,5 m. L’angle formé par la tour et le
tube est de 57°. À l’aide du schéma représentant la situation, détermine la longueur du
tube.
p. 4
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9. À partir de la figure ci-contre, indique si les énoncés suivants sont
vrais ou faux. Justifie tes réponses.
a) La mesure de l’angle XYZ est de 30°.
b) La valeur de cos X est de
1
.
2
c) La valeur de tan Y est supérieure à 1.
p. 5
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10. Détermine la mesure de l’angle B dans chacun des triangles suivants.
a)
b)
c)
d)
p. 6
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11. Résous chacun des triangles ci-dessous.
a)
b)
p. 7
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12. Dans un centre d’escalade, on trouve un parcours qui est
schématisé par la figure ci-contre. Pour réussir ce
parcours, une personne doit se rendre du point A au point
D. Quelle est la distance parcourue par une personne qui
réussit tout le parcours ?
La mesure de FD est égale à la mesure
de EA.
13. Debout devant une église ancienne, tu observes une
gargouille. De l’endroit où tu te trouves, tu
remarques que l’angle d’élévation du point le plus
bas de la gargouille est de 24° et que celui de son
point le plus élevé est de 47°. Quelle est la hauteur
de la gargouille si tu te trouves à une distance de
5,2 m du mur où elle est nichée ?
14. Deux poteaux sont distants de 50 m. À partir du sommet du plus petit poteau, l’angle
d’élévation qui se rend jusqu’au sommet du plus grand poteau est de 5°. Sachant que la
hauteur du petit poteau est de 5,38 m, détermine celle du plus grand.
p. 8
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20. Une tige télescopique qui permet de déployer une toile est représentée
par la figure ci-contre. La tige et la toile sont solidement ancrées au sol
à une distance de 3,4 m l’une de l’autre. La tige télescopique a une
hauteur de 2,5 m et elle peut s’allonger de 2,2 m. La toile s’attache à
l’extrémité de la tige et s’étire alors en conséquence pour être
totalement déployée. Détermine toutes les mesures possibles de
l’angle que peut former le haut de la toile
avec le sol.
Fiche
1. Détermine la mesure du segment AB dans chacun des triangles suivants.
a)
p. 9
8.7
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b)
c)
d)
2. Dans un triangle isocèle, un des angles mesure 102° et les côtés égaux mesurent 25 cm.
Quelle est la longueur du troisième côté ?
p. 10
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3. Visible à 80 km de distance, la croix lumineuse située sur le mont Royal fait partie du paysage
montréalais depuis 1924. Pour calculer sa hauteur, un arpenteur a pris une première mesure
et a obtenu un angle d’élévation de 44° pour le sommet de la croix. Après avoir reculé de 40
m, il a mesuré un nouvel angle d’élévation et il a obtenu cette fois 23°. Quelle est la hauteur
de la croix ?
4. Détermine la mesure de l’angle A dans chacun des triangles suivants.
a)
p. 11
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b)
c)
d)
5. Résous chacun des triangles ci-dessous.
a)
p. 12
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b)
c)
6. Dans la figure ci-dessous, les segments AB et CD sont parallèles.
p. 13
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a) Quelle est la mesure de l’angle B ?
b) Quelle est la mesure de BE ?
7. Un randonneur remarque deux alpinistes sur une paroi rocheuse de l’autre
côté de la vallée. De l’endroit où il se trouve, le randonneur voit le premier
alpiniste avec un angle d’élévation de 48° et le second alpiniste avec un
angle d’élévation de 51°. Si les deux alpinistes sont à 8,3 m l’un de l’autre,
quelle distance sépare le randonneur du second alpiniste ?
p. 14
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8. Est-ce que la loi des sinus peut être utilisée pour trouver une mesure manquante dans un
triangle rectangle ? Justifie ta réponse.
9. Détermine les six mesures manquantes dans
la figure suivante. Les sommets A, F et C sont
alignés.
p. 15
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10. Deux maisons sont bâties sur un même lot et le terrain doit être
partagé en deux parties au moyen d’une clôture. La clôture divise la
façade du terrain en son milieu, au point M tel qu’illustré dans le
schéma ci-contre. Quelle est la longueur de clôture nécessaire ?
p. 16
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11. Dans un parc forestier, une tour d’observation d’une largeur de 4 m permet aux
gardes de surveiller l’apparition d’incendies de forêt et aux visiteurs d’admirer le
panorama. Pour se rendre au sommet de la tour, on doit emprunter un premier
escalier incliné à 65°, puis un deuxième. L’angle formé par les deux escaliers est de
105°. Quelle est la hauteur de la tour d’observation ?
12. Un joueur de hockey, dans le feu de l’action, réussit un superbe coup : il
effectue une passe parfaite par ricochet sur la bande. La rondelle a parcouru
une distance de 2,6 m avant de rebondir sur la bande pour franchir une
distance de 4,2 m avant d’atteindre le bâton de son coéquipier. L’angle du
ricochet est de 107°. Quelle était la distance initiale entre le joueur et son
coéquipier ?
p. 17
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13. Détermine la mesure du segment LM sachant que le
segment LO est parallèle au segment MN.
14. En suivant les étapes ci-dessous, prouve qu’il est possible d’obtenir l’équation de la loi des
cosinus en n’utilisant comme outils que la relation de Pythagore et
les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
La mesure que l’on cherche est b. On exprime alors toutes les
mesures du triangle ABC à l’aide de rapports trigonométriques selon
l’angle qui est opposé à ce segment : l’angle ABC.
sin B =
CH
a
CH = a sin B
cos B =
BH
a
AH = c – a cos B
BH = a cos B
À l’aide de la relation de Pythagore, on donne l’expression algébrique qui permet de
retrouver la mesure du segment AC, dans le triangle AHC, selon les expressions
précédentes :
p. 18
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De cette façon, on obtient l’expression de la loi des cosinus.
p. 19
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15. Détermine la mesure de l’angle A dans chacune des figures suivantes.
a)
b)
p. 20
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16. Détermine la mesure de tous les angles du triangle
TES sachant que :
– la mesure de TR est de 125 cm ;
– la mesure de ST est de 93 cm ;
– la mesure de RS est de 64 cm.
17. Jeanne et Simon se trouvent à l’orée d’une forêt (O). Ils doivent se rendre à
leur campement (C), mais ils ne sont pas d’accord sur le chemin à prendre.
Ils décident donc de se séparer et de faire la course pour voir qui arrivera le
premier. Jeanne suit la route en bordure de la forêt et, au rocher rouge (R),
emprunte un sentier aménagé. Simon se rend au campement en ligne droite
en empruntant la piste. Voici un schéma de leurs trajets respectifs.
a) Quelle distance sépare le rocher rouge (R) du campement (C) ?
b) Si Jeanne court à une vitesse de 2,36 m/s et Simon à une vitesse de 1,53 m/s, lequel des
deux remportera la course ?
Fiche
p. 21
8.8
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1. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants.
a)
b)
c)
p. 22
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d)
e)
f)
2. Les côtés d’un triangle équilatéral mesurent 40 cm. Quelle
p. 23
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est l’aire de ce triangle ?
3. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants à l’aide de la formule de Héron.
a)
b)
c)
p. 24
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4. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en
un point. Ce point est le centre du seul cercle inscrit au
triangle, et le cercle est tangent aux trois côtés du
triangle. Voici une formule où la mesure du rayon du
cercle inscrit sert à calculer l’aire du triangle : A∆ = p • r,
où p est le demi-périmètre du triangle et r, la mesure du
rayon du cercle inscrit.
a) Calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule ci-dessus.
b) Trouve maintenant l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron. En comparant
avec le résultat trouvé en a, que remarques-tu ?
5. Julien a fabriqué un très grand cerf-volant dont les dimensions sont indiquées
dans la figure ci-contre. Quelle est l’aire du cerf-volant ?
p. 25
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6. Détermine le périmètre et l’aire des polygones suivants.
a)
b)
c)
p. 26
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8. Soit le triangle DEF ci-contre.
a) Quelle est la mesure du côté EF ?
b) À l’aide de la formule de Héron, calcule l’aire du triangle DEF.
c) À partir de la valeur de l’aire, détermine la hauteur issue de E.
9. Détermine l’aire des figures suivantes.
a)
p. 27
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b)
11. Benjamin est un parachutiste expérimenté. Il
peut effectuer jusqu’à 150 sauts par année.
Pour son prochain saut, il étudie une carte afin
de choisir un endroit sécuritaire pour son
atterrissage. La zone qu’il choisit est délimitée
par trois routes. Les équations de ces routes
p. 28
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sont représentées sur la carte sous les formes suivantes :
• la route 814 : f(x) = 5x – 4;
• la route 913 : g(x) = –3x + 20;
• la route 850 : h(x) = –0,5x – 10.
a) Représente la situation
dans un plan cartésien
et justifie les étapes de
ta démarche.
b) Si une unité du plan équivaut à 1 décamètre (dam), quelle est l’aire de la zone
d’atterrissage délimitée par ces trois routes ?
p. 29