Gestion Du Risque - Society of Actuaries

Transcription

Section Gestion Du Risque
Institut canadien des actuaires
Casualty Actuarial Society
Society of Actuaries
R E V UE 2 3
D é CE M B rE 2 0 1 1
Note dES rÉdacteurs
Lettre des rédacteurs
3
Par Ross Bowen et Pierre Tournier
Le mot du prÉsident
Où se situent vos angles morts en
4
matière de GRE?
Par Stuart Wason
Identification des risques
La gestion du risque systémique des
5
systèmes de retraite
Par Minaz H. Lalani
Quantification des risques
Prime de risque de marché utilisée
9
23
pour 56 pays en 2011 : Sondage
auprès de 6 014 répondants
Par Pablo Fernandez, Javier
Aguirreamalloa et Luis Corres
Rapport sur le développement du
projet sur la prime de risque que
dirige le Committee on the Theory
of Risk (COTOR) de la CAS
Par Martin Eling et Hato Schmeiser
RÉaction à l’Égard des risques
28 La retraite sur la planète Vulcain :
Les répercussions de l’aversion pour
le risque de longévité sur les taux
de retrait optimaux
Par Moshe A. Milevsky et Huaxiong
Huang
Culture du risque et divulgation
des risques
46 Évolution des comportements face
aux risques
Par David Ingram et Michael
Thompson
GÉnÉral
51 Critique de livre :
Mastering Operational Risk par
Tony Blunden et John Thirwell
Critique par Pierre Tournier
Revue 23 • Décembre 2011
Publié par la
Ce communiqué est gratuit pour les membres
de la section.
Section 2011 Dirigeants
A R TIC L E S D E M AN D É S POU R L A R E V UE G E S TION D U R I S QUE
Rédacteurs
Ross Bowen
courriel : [email protected]
Pierre Tournier
Votre concours et votre participation sont nécessaires et bienvenus. Tous les articles seront
accompagnés d’une signature afin que vous en retiriez toute la reconnaissance que vous
méritez pour vos efforts. Pour soumettre un article, veuillez communiquer avec Ross Bowen,
Dirigeants
Stuart F. Wason, FSA, CERA, FICA, MAAA,
rédacteur, à [email protected].
HONFIA, président
Stephen P. Lowe, FCAS, ASA, CERA, MAAA,
vice-président
Jason Alleyne, FSA, FICA, FIA, co-trésorier
Mark J. Scanlon, FSA, CERA, FIA, MAAA,
co-trésorier
Membres du conseil
Prochains numéros de Gestion du risque :
DATE DE PUBLICATIoN
Mars 2012 Août 2012
Décembre 2012
DATE DE TOMBÉE
1er décembre 2011
1er mai 2012
3 septembre 2012
Ross Bowen, FSA, MAAA
Susan Cleaver, FCAS, MAAA
Eugene Connell FCAS, ASA, CERA, FICA, MAAA
FORMAT DES ARTICLES
Louise Francis, FCAS, MAAA
Dans le but de favoriser l’efficacité quant à la manipulation des articles, veuillez utiliser
Glenn Meyers, FCAS, ASA, CERA, MAAA
le format suivant :
Peter A. Schindler, FSA
David Serge Schraub, FSA, CERA, MAAA
Frank Zhang, FSA, MAAA
• document en format Word
• longueur de l’article : 500 à 2 000 mots
• photo de l’auteur (la qualité doit être 300 ppp)
Personnes å contacter å la Society
Kathryn Baker, rédaction
• nom, titre, société, ville, état et courriel
• une citation mise en oeuvre (phrase ou portion de phrase) pour chaque tranche de 500 mots
Robert Wolf, associé
• Times New Roman, police 10 points
• fichier PowerPoint ou Excel original pour les éléments complexes
Sue Martz, spécialiste de soutien aux projets
Julissa Sweeney, conceptrice
Si vous devez soumettre vos articles par un autre moyen, veuillez vous adresser à Kathryn Baker,
à la Society of Actuaries en composant le 847.706.3501.
Veuillez faire parvenir une copie électronique de votre article à :
Ross Bowen, FSA, MAAA
Allianz Life Insurance Co. of North America
Les opinions exprimées sont celles de l’auteur et ne peuvent
tél. : 763.765.7186
être attribuées à la Society of Actuaries, à ses comités, à
la Section de la gestion des risques ou à l’employeur de
l’auteur. Nous nous empresserons de corriger toute erreur
qui sera portée à notre attention.
© 2011 Society of Actuaries. Tous droits réservés.
2|
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
NOTE
ACTEU
RR
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C H AID
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PERRÉSDON
’ S CO
Lettre des rédacteurs
Ross Bowen et Pierre Tournier
Bienvenue à ce numéro de la revue
Gestion du risque!
Nous vous proposons, dans les pages qui suivent,
plusieurs articles portant sur les différents domaines de
la gestion du risque. En premier lieu, « La gestion du
risque systémique des systèmes de retraite », signé par
Minaz H. Lalani, traite des façons dont on peut atténuer
les impacts négatifs découlant du besoin croissant
pour les Canadiens de prendre eux-mêmes en charge
le financement de leur retraite. L’auteur présente des
mesures que peuvent prendre les acteurs importants
(gouvernement, employeur, institution financière et
employé), et ce en vue d’aider les Canadiens à faire face
à ce nouveau fardeau financier.
Ensuite, nous vous présentons une étude écrite
par Pablo Fernandez, Javier Agirreamalloa et Luis
Corres, intitulée « Prime de risque de marché utilisée
pour 56 pays en 2011 : Sondage auprès de 6 014 répondants. » Ce travail fait état de l’importance de la
prime de risque du marché par pays et par répondant.
De plus, on y cite quelques réponses des participants
pour permettre de mieux comprendre ces chiffres.
L’on continue avec un article de Martin Eling et Hato
Schmeiser, « Rapport sur le développement du projet
sur la prime de risque » qui résume les travaux du
Committee on Theory of Risk de la CAS. Ce projet
assure le suivi d’un premier projet mené en 1999, dont
la mission était de passer en revue les recherches sur
l’évaluation du risque en assurances IARD.
Dans « La retraite sur la planète Vulcain : Les
répercussions de l’aversion pour le risque de longévité
sur les taux de retrait optimaux », Moshe Milevsky et
Huaxiong Huang discutent des impacts de la gestion
du risque sur l’individu. L’article décrit comment
l’aversion au risque et un flux de revenu garanti (sous
forme d’une rente ou d’une pension) influent sur le
taux optimal de la consommation des individus dans
le temps.
Rédigé conjointement par Dave Ingram et Michael
Thompson, « Évolution des comportements face aux
risques » montre comment les perspectives économiques
d’une entreprise peuvent influer
sur son succès et influencer ses
gestionnaires de risques.
Enfin, nous vous proposons
une critique du livre Mastering
Operational Risk, signé par
Tony Blunden et John Thirwell.
Cette œuvre s’adresse à ceux qui
comptent assumer des fonctions
reliées au risque opérationnel,
ou qui doivent approfondir leurs
connaissances de la structure et
des buts d’un service de la gestion
du risque opérationnel.
Ross Bowen, FSA, CFA, MAAA,
est vice-président, gestion de
la rentabilité chez Allianz Life
Insurance Co. of North America
à Minneapolis (MN). On peut le
joindre à Ross.Bowen@allianzlife.
com.
Pierre Tournier, FSA, CERA, est
actuaire adjoint dans le secteur
de la gestion de la rentabilité à
l’Allianz Life Insurance Company à
Minneapolis. On peut le joindre à
Bonne lecture!
[email protected].
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
3
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C H AI
R SdON
Où se situent vos angles morts en matière de GRE?
Par Stuart Wason
nous en avons tous. Nous refusons
peut-être d’admettre qu’ils puissent exister. Nous
avons tendance à centrer notre
Stuart F. Wason, FSA, CERA, FICA, MAAA, HONFIA,
attention sur ce que nous
est directeur principal au Bureau du surintendant des
connaissons plutôt que ce qu’il
institutions financières Canada, à Toronto, ON. On peut le
pourrait nous manquer. Quelles
joindre à [email protected].
motivations bien intentionnées
pourraient-elles entrer en jeu
pour faire dévier les comportements prévus et entraîner
des conséquences inattendues et éventuellement un
risque systémique? Je fais évidemment référence à nos
angles morts en matière de GRE. Avez-vous réfléchi à
ce que pourraient être les vôtres?
On dit que l’on apprend de ses erreurs. Chaque crise
ou difficulté liée à la GRE nous amène à repérer les
problèmes et à modifier nos pratiques. La modification
des pratiques de GRE (qu’il s’agisse de celles des
particuliers, des entreprises ou des organismes de
réglementation, entraîne inévitablement des incitatifs
changeants dans les marchés. Compte tenu du rythme
du changement qui s’accélère de façon fulgurante et de
l’interconnectivité qui caractérise le monde dans lequel
nous vivons, il importe que la GRE tienne sérieusement
compte de ses propres angles morts.
Les angles morts sont attribuables à plusieurs choses.
Certains peuvent apparaître en raison du recours excessif
à une seule mesure du risque. Vous avez certainement
entendu parler du débat concernant le recours à la VAR
ou VAR conditionnelle (ECU). Qu’en est-il du recours
à différents horizons prévisionnels, par exemple les
chocs momentanés par rapport aux répercussions à
long terme? Et du recours aux mesures réglementaires
du Pilier I par rapport à votre propre modélisation
indépendante des risques et aux diverses techniques
de type du Pilier II (p. ex. l’évaluation interne du
risque et de la solvabilité, le test de sensibilité)?
Quelles mesures, appliquées uniformément à l’échelle
de vos affaires, fournissent une base décisionnelle plus
utile : le coût amorti, l’expérience antérieure,
l’expérience actuelle du marché, d’autres mesures?
Les marchés de demain se comporteront-ils comme ils
l’ont fait par le passé (p. ex., facteurs de dépendance,
volatilité, etc.)? Le comportement humain, individuel
et collectif, modifiera-t-il le visage des crises futures?
Seules quelques hypothèses clés en matière de GRE
4|
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
nécessitent une révision continuelle. Le recours excessif
à une réponse à chacune de ces questions peut laisser
place à un angle mort en matière de GRE.
Votre conseil de section s’est récemment réuni afin
de discuter des services que nous vous assurerons au
cours de la prochaine année. Vous en saurez davantage
au cours des mois à venir au sujet des programmes
que nous proposons, mais notre objectif consiste à
favoriser la recherche et la discussion sur des sujets
tels que les angles morts de la GRE. La planification
en vue du Colloque de 2012 sur la GRE, qui se
tiendra au printemps à Washington DC, va bon train.
Je vous recommande chaudement de prendre part à
cet événement profitable, qui constitue une excellente
occasion d’acquérir des connaissances en matière de
GRE et de faire du réseautage avec des experts de
divers horizons liés à la GRE. Outre notre programme
de recherche, nos infolettres et le parrainage de séances
sur la GRE à l’occasion de nombreuses assemblées
actuarielles, nous prévoyons entreprendre des
démarches auprès des clubs actuariels régionaux. Nous
sommes particulièrement enthousiastes à l’égard d’une
série de webinaires d’une heure que nous planifions
pour la prochaine année sur des sujets tels que le risque
de crédit, le risque lié au marché (y compris la GAP),
les questions concernant les groupes/conglomérats et
l’évaluation interne du risque et de la solvabilité. Dans
le cadre de ces webinaires, la Section conjointe de la
gestion du risque traitera des sujets à l’ordre du jour
en mettant l’accent sur les aspects qui concernent la
GRE et collaborera avec d’autres groupes ou sections
spécialisées pour aborder les aspects techniques de ces
sujets.
J’espère que votre adhésion à la Section conjointe de
la gestion du risque cette année s’avérera profitable.
J’espère aussi que vous parlerez à vos collègues des
programmes de la Section, mais plus important encore,
du rôle essentiel que joue la GRE au quotidien, dans
nos décisions personnelles et professionnelles. La
crise mondiale actuelle, qui est plus grave et de plus
longue durée que ce à quoi plusieurs d’entre nous
se seraient attendus, constitue un exemple clair de
l’importance que revêt la GRE pour tous les décideurs,
et non seulement pour les gestionnaires principaux des
risques. Où se situent vos angles morts?
I D ENTIFICATION
E S’ SR CO
I S QUE
C H AI R S PE R S D
ON
R NESR
La gestion du risque systémique des systèmes de retraite
Par Minaz H. Lalani
Note de la rédaction : Cet essai a initialement paru dans la collection d’essais intitulée Le Risque systémique, la réforme financière et la voie de l’avenir pour s’éloigner
de la crise financière.
Les systèmes de retraite reposent sur
trois piliers fondamentaux :
• les régimes de retraite d’employeurs;
• les pensions de l’État;
• les revenus de retraite provenant de l’épargne
personnelle.
Traditionnellement, les revenus de retraite proviennent
des sources suivantes : 50 % des régimes de retraite
d’employeurs, 25 % des pensions de l’État, et
l’autre 25 %, de l’épargne personnelle1.
Les employeurs transfèrent graduellement aux
participants le risque lié aux pensions2 en convertissant
les régimes à prestations déterminées en régimes à
cotisations déterminées3. Cette opération aura pour
effet d’abaisser à environ 30 % (comparativement
à 50 %) la part de la contribution des employeurs aux
régimes de retraite offerts aux employés. De plus, les
pensions de l’État font l’objet d’un examen, et l’on
peut s’attendre à long terme à des pensions réduites
ou versées à un âge plus avancé, afin de réduire les
coûts de ces programmes gouvernementaux. Le déficit
prévu (au-delà de 50 %) en raison de la réduction des
revenus de retraite provenant des régimes établis par les
employeurs et des pensions de l’État devra être comblé
par l’épargne personnelle.
À court et à moyen terme, les employeurs et le
gouvernement transféreront la responsabilité du
revenu de retraite à des personnes qui n’auront pas
les moyens d’épargner suffisamment en vue de leur
retraite4. L’insuffisance de l’épargne sera aggravée par
le fait que les retraités auront besoin d’économies plus
importantes en raison de l’augmentation de l’espérance
de vie, du transfert aux particuliers
des frais médicaux postérieurs
à la retraite et du rendement
inférieur des placements attendu
dans le monde de la « nouvelle
normalité »5. Combinées, ces
tendances auront des conséquences
qui n’étaient pas prévues. À mon
avis, si des mesures concrètes
ne sont pas prises, ces tendances mèneront à un
malaise social (la société pourrait ne pas accepter les
changements) et auront des conséquences sur la société
(p. ex., un déclin du niveau de vie), sur l’effectif
organisationnel (les employés ne pourront plus se
permettre de prendre leur retraite; ils travailleront donc
plus longtemps et repousseront l’âge de leur retraite)
et sur les institutions (les sociétés financières devront
revoir leur offre de produits), en plus d’entraîner
une restructuration de l’économie (les organismes de
réglementation du secteur financier devront composer
avec l’amenuisement du rôle des régimes de retraite à
prestations déterminées dans les marchés financiers).
Minaz Lalani, FSA, CERA, FICA,
FCA, est actuaire-conseil et directeur
général au cabinet d’experts conseils
Lalani Consulting Group de Calgary
(Canada). On peut le joindre à
[email protected].
Suite à la PAGE 6
ar souci de simplicité, les pourcentages arrondis sont déterminés en fonction du cadre généralisé des pensions au Canada
P
pour un travailleur gagnant 55 000 $ et comptant 35 ans de service. Il va de soi que ces pourcentages varient selon les
fourchettes salariales, les années de service, l’admissibilité aux pensions de l’État, et le pays. Malgré tout, les observations
formulées s’appliquent à la plupart des cas et des pays dotés d’un système de revenu de retraite bien établi.
2
Risque lié aux pensions : Il s’agit d’un concept complexe qui comporte plusieurs volets. Il comprend les principaux risques
suivants : placement, taux d’intérêt, inflation, augmentation des salaires, longévité, profil démographique, suffisance du revenu
de retraite, gouvernance et réglementation.
3
Régime à prestations déterminées : Régime offrant des prestations de retraite calculées selon une formule tenant compte
des années de service et de la rémunération antérieure; en règle générale, l’employeur offrant un tel régime assume la majeure
partie du risque lié aux pensions (p. ex., volatilité des cotisations sur une base en continuité, remboursement des déficits de
solvabilité). Régime à cotisations déterminées : Régime reposant sur des cotisations déterminées, dont les fonds croissent
grâce au rendement des placements effectués durant la période de vie active du participant, afin de constituer une caisse qui
servira au versement de prestations de retraite; en règle générale, c’est le participant qui assume la majeure partie du risque lié
aux pensions (p. ex., risque de placement).
4
Institut canadien des actuaires (2007). Planifier sa retraite : Les Canadiens épargnent-ils suffisamment? ICA et Université de
Waterloo.
5
L’expression « nouvelle normalité » est le cru de la firme PIMCO pour désigner un contexte économique de désendettement,
de resserrement de la réglementation et de démondialisation qui ralentira la croissance économique à long terme.
1
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
5
I D ENTIFICATION D E S R I S QUE S
La gestion du risque systémique des systèmes de retraite | suite de la page 5
Dans le présent article, on propose des mesures possibles
pour permettre aux principaux intervenants de gérer
les conséquences imprévues du risque systémique qui
« mijote » dans notre système de revenu de retraite actuel.
GoUvernEments
Dans les pays où la prestation de pension de l’État
repose sur une méthode de répartition, il est impératif
que le gouvernement demeure sans lien de dépendance
et facilite un processus de provisionnement des futures
obligations en matière de prestations de pensions par
l’entremise d’un compte en fiducie distinct de celui
de ses recettes générales. Ces pays pourraient vouloir
adopter l’approche du Canada, qui a mis en place un
modèle efficace prévoyant une fiducie distincte et
une structure de gouvernance robuste. Tous les pays
devraient aussi éliminer l’incertitude et établir une
politique à long terme clairement enchâssée dans la
législation, qui stipule le niveau des pensions de l’État
que les participants peuvent s’attendre à recevoir.
Ainsi, les particuliers et leurs conseillers en matière de
revenu de retraite pourraient mieux planifier la retraite à
venir. Comme il faut s’attendre à ce que les particuliers
soient directement responsables de veiller eux-mêmes
à combler une part importante de leur revenu de
retraite, les gouvernements pourraient aussi offrir des
incitatifs intéressants (p. ex., des crédits d’impôt) aux
personnes qui atteignent le niveau d’épargne prescrit
(en collaboration avec les spécialistes des pensions et
avec leur approbation) pour leur garantir un revenu
de retraite adéquat, ou encore aux personnes qui
participent et réussissent un certain nombre de cours
sur la planification de la retraite. Les gouvernements
pourraient aussi envisager de commanditer des
programmes volontaires pour encourager les petites et
moyennes entreprises qui n’offrent actuellement aucun
régime de retraite à leurs employés à mettre en place un
mécanisme de revenu de retraite6.
EmployeUrs
Dans la plupart des pays, on constate que les
6
6|
DéCEMBrE 2011
employeurs privilégient de plus en plus les régimes à
cotisations déterminées. Cette situation est attribuable
à la complexité croissante des règles touchant le
provisionnement des caisses de retraite et à l’ambigüité
des règles relatives à l’appartenance des excédents des
régimes à prestations déterminées, qui ont mené à un
sous-provisionnement des régimes de retraite en vue de
réduire les futurs excédents actuariels. Il est peut-être trop
tard pour renverser la tendance à l’abandon des régimes
à prestations déterminées; toutefois, une législation
simple et claire sur les normes de pension pourrait
ralentir cette tendance. La majorité des employeurs
ont assorti leurs régimes à cotisations déterminées de
mécanismes de participation, de retenue et d’autres
caractéristiques automatiques pour s’assurer que leurs
employés épargnent suffisamment en vue de leur
retraite. C’est un excellent début; toutefois, le problème
fondamental est que les cotisations des employeurs
aux régimes de retraite à cotisations déterminées sont
considérablement inférieures à celles qu’ils versaient
aux régimes à prestations déterminées. Il conviendrait
de demander aux employeurs de revoir volontairement
la conception de leurs régimes à cotisations déterminées
et d’établir des cotisations globales correspondant
à celles qui sont versées aux régimes à prestations
déterminées. Sinon, il faudrait légiférer les cotisations
déterminées minimales de sorte que tous les employeurs
cotisent à la caisse de retraite de leurs employés, qu’il
s’agisse ou non d’un régime enregistré ou agréé.
Bien sûr, les employeurs ne seront pas d’accord et
résisteront, mais les gouvernements doivent tenir
compte des répercussions sociales à long terme d’un
revenu de retraite insuffisant. Certains employeurs
ayant une vision axée sur l’avenir accueilleront peutêtre favorablement une telle initiative, puisqu’elle
leur permettrait de gérer efficacement leur effectif. En
d’autres termes, les employeurs seront en mesure de
mettre en œuvre des plans de croissance solides pour
gérer l’attrition et les départs à la retraite d’une manière
socialement responsable (les employés bénéficiant d’un
revenu adéquat à la retraite).
Ambachtscheer, Keith (2008). Le régime supplémentaire de retraite du Canada (RSRC) : Vers un régime de retraite adéquat et
abordable pour tous les Canadiens. Document de travail n° 265 de l’Institut C.D. Howe.
| Gestion du risque
I D ENTIFICATION
E S’ SR CO
I S QUE
C H AI R S PE R S D
ON
R NESR
Institutions financières
Les gestionnaires et conseillers en placements, les
sociétés d’assurance-vie et les sociétés de fiducie
sont des intervenants clés de l’industrie de la retraite.
Traditionnellement, ils ont tous joué un rôle important
dans la gestion de l’actif et dans l’administration des
régimes de retraite à prestations déterminées. Dans le
contexte du marché émergent des régimes de retraite
à cotisations déterminées, ces intervenants continuent
aussi à figurer à l’avant-plan dans des rôles similaires.
Ces institutions doivent toutefois changer d’objectif et
se concentrer sur la prestation de produits de retraite
et de placement novateurs et sur la mise en œuvre de
programmes créatifs de sensibilisation à la retraite.
Elles pourraient par exemple offrir un produit de
détail novateur en matière de retraite qui permettrait
aux employés de gérer leur propre risque de longévité
et de cristalliser leur revenu de retraite en achetant
annuellement ou périodiquement des rentes différées
durant leur vie active. Des programmes créatifs de
sensibilisation à la retraite pourraient comprendre une
modélisation dynamique du revenu de retraite des
employés tenant compte de toutes leurs sources de
revenu, de leurs habitudes personnelles en matière
de dépenses et de données de comparaison générales.
Suite à la PAGE 8
NOVEMBER 1:
Attestation is OPEN!
Attestation is now open. You must attest compliance with the SOA CPD Requirement
or be considered non-compliant. Three simple steps to attest:
STEP 1: Log on to the SOA membership
directory and click the SOA CPD Requirements
button on the main page.
STEP 2: Indicate if you have met the SOA
CPD Requirement.
STEP 3: Identify which compliance path
was used.
That’s it! Attest today at SOA.org/attestion.
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
7
I D ENTIFICATION D E S R I S QUE S
La gestion du risque systémique des systèmes de retraite | suite de la page 7
À l’heure actuelle, les caisses de retraite sont très
actives sur les marchés financiers du point de vue
des placements et de la gouvernance. Le déclin des
régimes à prestations déterminées et l’arrivée à maturité
(c.-à-d. lorsque les prestations versées dépassent les
cotisations, les dépenses et les investissements) de ces
régimes aura des répercussions importantes sur le rôle
des caisses de retraite dans les marchés financiers. Il
serait prudent que les organismes de réglementation des
marchés en déterminent les éventuelles conséquences et
élaborent des stratégies d’adaptation de l’infrastructure
financière.
PARTICULIERS
Le risque lié à la retraite a davantage d’impact sur
les particuliers qui doivent prendre des dispositions
en vue de leur retraite soit à titre de participant à
un régime de retraite ou d’épargnant individuel, et
à titre de citoyen qui doit financer les pensions de
l’État directement (par l’entremise des cotisations
de pension) ou indirectement (par l’entremise de
l’impôt). Malheureusement, les particuliers ne sont pas
à même de prendre des mesures pour contrer le risque
8|
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
systémique. Ils peuvent toutefois faire en sorte de mieux
comprendre leurs affaires personnelles et prendre des
dispositions adéquates pour épargner en vue de leur
retraite. Pour aider les particuliers à mieux comprendre
la planification de leur retraite, les gouvernements, les
employeurs et les institutions financières peuvent leur
offrir les enseignements nécessaires (comme il en est
question plus haut). Collectivement, les citoyens qui se
préoccupent des risques liés à la retraite peuvent refuser
de voter pour les gouvernements qui n’agissent pas
ou encore choisir leur employeur; c’est toutefois plus
facile à dire qu’à faire.
À l’heure actuelle, la crise de la retraite ne paraît pas
immédiate et les stratégies susmentionnées peuvent
donc ne pas sembler pertinentes. Malheureusement,
le risque lié à la retraite est un risque systémique
émergent et « silencieux »; si on ne s’en préoccupe pas,
il s’infiltrera dans notre société pour y causer de graves
dommages. La prudence veut que tous les intervenants
prennent sans tarder les mesures qui s’imposent pour
évaluer le risque systémique que pose une crise de la
retraite.
QUANTIFICATION
D E ’SS RCO
I S QUE
C H AI R S PE R S ON
R NE SR
Prime de risque de marché utilisée pour 56 pays en 2011 :
Sondage auprès de 6 014 répondants
Par Pablo Fernandez, Javier Aguirreamalloa et Luis Corres
Le présent document fait état de
statistiques relatives à la prime sur
actions ou prime de risque de marché
(PRM) utilisée en 2011 pour 56 pays.
Quatre-vingt-cinq (85) pays ont participé au sondage,
mais nous avons limité notre rapport aux 56 pays
pour lesquels il y a eu plus de six réponses. Les
sondages précédents portaient, pour la plupart, sur
la PRM attendue, mais le nôtre vise la PRM requise.
Le document fait aussi état des documents servant à
justifier la PRM; les commentaires formulés
par des personnes n’utilisant pas de PRM et
des personnes en utilisant une ont également
été pris en compte.
1. Prime de risque de marché
(PRM) utilisée en 2011 pour 56
pays
En mars et avril 2011, nous avons envoyé
un bref courriel (se reporter à l’annexe 1) à
environ 19 500 adresses courriel de professeurs
de finances et d’économie, d’analystes et
de gestionnaires de services financiers et
économiques de sociétés que nous avons
recueillies dans des lettres précédentes, dans
des documents et sur les sites Web de sociétés
et d’universités. Notre but consistait à recueillir
des données sur la prime de risque de marché
(PRM) utilisée pour calculer le rendement des
capitaux propres requis dans divers pays et
sur les ouvrages ou articles auxquels on a eu
recours pour appuyer ce chiffre.
Le 24 avril 2011, 3 998 participants nous
avaient indiqué la PRM précise qu’ils utilisaient
en 20111. D’autres personnes, en fait 2 016, ont
répondu ne pas utiliser une PRM, et ce pour
diverses raisons (se reporter au tableau 1). Nous tenons
à remercier sincèrement tous ceux qui ont pris le temps
de nous répondre.
Le tableau 2 présente les statistiques sur la PRM
utilisée en 2011 pour 56 pays. Quatre-vingt-cinq (85)
pays ont participé au sondage, mais nous avons limité
notre rapport aux 56 pays pour lesquels il y a eu plus
Suite à la PAGE 10
Tableau 2. PRM utilisée en 2011 : 6 014 réponses
Réponses prises en compte (chiffres sur la
PRM)
Valeurs aberrantes
Réponses sans chiffre
Total
Professeurs
Analystes
Sociétés
Total
850
1 462
1 562
3 874
41
12
71
124
731
310
975
2 016
1 622
1 784
2 608
6 014
137
5
39
181
390
390
Réponses sans chiffre
« Je pense aux primes pour des actions en
particulier »
« La PRM est un concept auquel nous n’avons
pas recours »
« J’applique la PRM qui est précisée dans le
document »
31
« Le modèle d’évaluation des actifs financiers
(MEDAF) n’est pas utile et la PRM non plus »
145
31
76
221
« Je n’ai pas eu à utiliser une estimation de
PRM en 2011 »
38
38
« Je suis un universitaire, pas un praticien »
17
17
« J’enseigne les instruments dérivés. Je n’ai
pas eu à utiliser une PRM »
39
39
« La PRM fluctue sur une base quotidienne,
hebdomadaire ou mensuelle »
34
102
16
83
99
71
38
22
131
« C’est confidentiel »
Utilise un rendement des capitaux propres
requis
Utilise un TRI minimal
36
Utilise des multiples
41
Autres raisons
SOMME
127
136
242
278
89
257
142
22
34
198
731
310
975
2 016
elon nous, 124 sont des données aberrantes parce que le participant a précisé une PRM très faible (par exemple, -23 % et
S
0 pour les É.-U.) ou une PRM très élevée (par exemple, 30 % pour les É.-U.).
2
Nous avons reçu cinq réponses pour le Bahreïn (6,0), l’Équateur (7,7), le Liban (8,0), le Maroc (4,5), l’Oman (5,0), le Qatar (8,0)
et le Sénégal (5,5). La PRM moyenne figure entre parenthèses. Nous avons reçu quatre réponses pour la Roumanie (7,2) et le
Vietnam (8,8). Nous avons reçu trois réponses pour la Croatie (7,0), la Slovaquie (5,3) et la Slovénie (4,9). Nous avons obtenu
deux réponses pour la Bulgarie (8,6), le Costa Rica (6,9), Trinité-et-Tobago (14,5) et le Venezuela (11,0). Nous avons reçu une
réponse pour l’Albanie, la Bolivie, Chypre, le Ghana, le Guatemala, le Honduras, la Lituanie, Malte, le Panama, Puerto Rico,
la Tunisie et l’Uruguay.
1
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
9
QUANTIFICATION D E S R I S QUE S
Tableau 2. Prime de risque de marché utilisée pour 56 pays en 2011
Moyenne
Médiane
Écarttype
T1
T3
P10 %
P90 %
MAX
min.
Nombre
de
réponses
États-Unis
5,5
5,0
1,7
4,5
6,0
4,0
7,0
15,0
1,5
1 503
Espagne
5,9
5,5
1,6
5,0
6,0
4,5
8,0
15,0
1,5
930
Royaume-Uni
5,3
5,0
2,2
4,0
6,0
4,0
7,2
22,0
1,5
112
Italie
5,5
5,0
1,4
4,6
6,1
4,0
7,2
10,0
2,0
76
Allemagne
5,4
5,0
1,4
4,5
6,1
4,0
7,2
12,4
3,0
71
Mexique
7,3
6,4
2,7
5,9
9,1
5,0
10,2
16,0
1,4
56
Pays-Bas
5,5
5,0
1,9
4,4
6,2
3,9
7,2
12,5
2,5
48
France
6,0
6,0
1,5
5,0
7,0
4,8
7,2
11,4
2,0
45
Suisse
5,7
5,5
1,3
5,0
6,6
4,0
7,2
9,6
3,8
44
Australie
5,8
5,2
1,9
5,0
6,0
4,0
7,1
14,0
3,0
40
Colombie
7,5
7,0
4,3
5,5
8,0
2,0
14,6
20,5
2,0
38
Suède
5,9
5,5
1,4
5,0
7,2
4,8
7,2
10,6
3,9
38
Russie
7,5
6,5
3,7
5,5
8,0
5,0
11,0
25,0
1,3
37
Canada
5,9
5,0
2,1
5,0
6,0
4,0
8,0
14,5
3,5
36
Brésil
7,7
7,0
4,6
5,3
8,0
4,3
10,5
30,0
1,5
35
Grèce
7,4
7,2
2,7
5,0
8,3
5,0
11,7
15,0
3,0
34
Afrique du Sud
6,3
6,0
1,5
5,6
6,5
5,0
7,0
11,8
4,5
34
Argentine
9,9
9,0
3,4
8,0
11,0
7,2
14,6
20,0
5,0
33
Portugal
6,5
6,1
1,7
5,0
7,2
5,0
7,2
14,0
4,5
33
Autriche
6,0
5,7
1,8
5,0
7,2
4,6
7,2
14,3
3,5
32
Belgique
6,1
6,1
1,0
5,0
7,2
5,0
7,2
8,0
5,0
31
Chili
5,7
5,3
2,1
5,0
6,0
5,0
6,5
15,0
1,3
31
Chine
9,4
7,8
5,1
6,5
10,7
6,0
14,5
30,0
4,0
31
Norvège
5,5
5,0
1,6
4,5
6,0
4,0
7,0
11,7
3,5
30
Inde
8,5
7,8
2,8
6,8
9,3
6,0
13,1
16,0
5,0
28
Pologne
6,2
6,0
1,1
5,2
7,5
4,9
7,5
8,0
4,5
28
Turquie
8,1
8,2
3,0
5,5
10,0
5,0
11,2
15,0
2,5
25
Luxembourg
6,1
6,1
1,3
5,0
7,2
4,5
7,2
8,7
4,5
21
République
Tchèque
6,1
6,0
0,9
5,5
6,5
5,0
7,3
8,0
5,0
19
Pérou
7,8
7,5
2,8
6,6
7,7
5,4
10,0
15,0
3,5
19
Finlande
5,4
4,7
2,0
4,5
5,0
4,5
7,4
12,0
3,5
18
Israël
5,6
5,0
1,7
4,5
6,0
4,3
7,4
10,0
3,0
17
NouvelleZélande
6,0
6,0
1,0
5,0
6,8
5,0
7,2
7,5
5,0
17
Taïwan
8,9
8,0
3,8
6,0
10,0
6,0
13,4
20,0
5,8
17
Indonésie
7,3
7,5
2,3
5,6
7,5
5,0
10,8
12,0
4,5
14
Japon
5,0
3,5
3,7
3,5
5,0
3,2
7,1
16,7
2,0
14
Corée (du Sud)
6,4
6,5
2,5
6,5
7,0
2,6
8,8
11,1
2,0
13
Danemark
5,4
4,5
3,3
4,4
4,5
3,1
9,3
14,0
2,0
12
Égypte
7,6
7,0
2,3
7,0
7,6
6,6
10,4
13,0
3,5
12
Irlande
6,0
5,1
2,2
5,0
5,6
5,0
7,8
12,3
5,0
12
Singapour
5,7
5,0
1,5
5,0
5,8
5,0
7,3
9,6
4,5
11
Hong Kong
6,4
5,0
2,6
5,0
6,0
5,0
10,4
11,9
5,0
9
Hongrie
8,0
8,0
2,4
6,0
8,0
6,0
9,2
13,8
6,0
9
Malaisie
4,5
3,5
2,2
3,5
6,0
3,1
6,8
8,8
1,5
9
Thaïlande
7,9
6,5
2,8
6,5
7,5
6,5
10,2
15,1
6,5
9
Arabie saoudite
6,3
6,0
0,4
6,0
6,6
6,0
6,8
7,0
6,0
8
Nigeria
6,9
6,0
1,6
6,0
7,1
6,0
8,9
10,0
6,0
7
Pakistan
6,3
7,5
2,3
6,3
7,5
3,6
7,5
7,5
1,5
7
22,9
19,5
17,8
12,0
24,0
8,5
40,8
56,5
7,0
6
Kazakhstan
7,5
7,5
0,1
7,5
7,5
7,5
7,6
7,6
7,5
6
Kenya
6,2
5,0
2,9
5,0
5,0
5,0
8,5
12,0
5,0
6
Koweït
6,6
6,5
0,2
6,5
6,5
6,5
6,8
7,0
6,5
6
Philippines
5,6
5,5
0,2
5,5
5,5
5,5
5,8
6,0
5,5
6
AE
9,7
10,0
0,8
10,0
10,0
9,0
10,0
10,0
8,0
6
Zambie
6,6
6,0
1,6
6,0
6,0
6,0
7,9
9,8
6,0
6
Zimbabwe
6,5
5,5
2,4
5,5
5,5
5,5
8,5
11,4
5,5
6
Iran
10 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
Prime de risque de marché utilisée pour
56 pays en 2011 | suite de la page 9
de six réponses2. L’ouvrage de Fernandez et
al (2011a)3 est une analyse des réponses pour
les É.-U.; les auteurs y démontrent également
l’évolution de la PRM utilisée pour les É.-U.
en 2011, 2010, 2009 et 2008 d’après les
sondages précédents (Fernandez et al, 2009,
2010a et 2010b). L’ouvrage de Fernandez et
al (2011b)4 est une analyse des réponses pour
l’Espagne.
Les figures 1 et 2 sont des représentations
graphiques des PRM déclarées dans le tableau
2.
ernandez, P., J. Aguirreamalloa et L. Corres
F
(2011a), « US Market Risk Premium Used in
2011 by Professors, Analysts and Companies: A
Survey... », version à télécharger à http://ssrn.com/
abstract=1805852
4
Fernandez, P., J. Aguirreamalloa et L. Corres
(2011b), « The Equity Premium in Spain: Survey
2011 (en espagnol) », version à télécharger à
http://ssrn.com/abstract=1822422
3
QUANTIFICATION
D E ’SS RCO
I S QUE
R NE SR
Figure 2. Prime de risque de marché utilisée en 2011.
Moyenne, valeur médiane et ventilation selon le pays
P90 % : percentile 90 %. P10 % : percentile 10 %
Figure 1. Prime pour risque de marché utilisée en 2011 dans
certains pays (parcelle de réponses)
15
15
1 200
0
1 400
400
600
10
8
8
6
6
4
1 000
4
2
0
10
20
14
30
40
60
70
80
2
0
10
20
30
40
14
France
15
12
50
12
10
8
8
6
6
70
80
4
2
0
10
20
11
10
9
8
7
6
5
4
3
30
40
50
Suède
15
0
10
20
13
30
40
50
Royaume-Uni
0
10
20
40
50
0
10
20
30
40
50
30
40
50
Australie
13
11
9
9
15
7
7
5
5
3
3
1
0
20
40
30
25
20
15
10
5
0
60
80
100
15
5
10
16
14
12
10
8
6
4
2
0
15
20
10
20
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Brésil
0
0
120
25
30
35
40
Colombie
0
5
10
15
12
Mexique
20
25
30
35
40
Afrique du Sud
10
8
6
15
0
10
4
20
16
14
12
10
8
6
4
2
30
40
50
60
15
0
5
10
0
5
10
15
16
14
12
10
8
6
4
2
Turquie
15
20
25
20
25
30
35
Inde
0
5
10
15
20
25
30
Moyenne
30
Suisse
Médiane
11
2
11
10
9
8
7
6
5
4
3
P10 %
4
60
Moyenne - écart-type
10
50
Pays-Bas
Moyenne + écart-type
12
10
800
Italie
P90 %
12
200
14
Allemagne
14
1 000
12
15
14
800
8
600
10
400
Malaysia
Japan
United Kingdom
Denmark
Germany
Finland
Norway
United States
Italy
Netherlands
Israel
Philippines
Switzerland
Chile
Singapore
Australia
Canada
Spain
Sweden
France
Austria
New Zealand
Ireland
Belgium
Czech Republic
Luxembourg
Poland
Kenya
Saudi Arabia
Pakistan
South Africa
Korea (South)
Hong Kong
Portugal
Zimbabwe
Kuwait
Zambia
Nigeria
Indonesia
Mexico
Greece
Colombia
Russia
Kazakhstan
Egypt
Brazil
Peru
Thailand
Hungary
Turkey
India
Taiwan
China
UAE
Argentina
6
200
4
0
2
1
1
16
3
3
Malaisie
Japon
Royaume-Uni
Danemark
Allemagne
Finlande
Norvège
États-Unis
Italie
Pays-Bas
Israël
Philippines
Suisse
Chili
Singapour
Australie
Canada
Espagne
Suède
France
Autriche
Nouvelle-Zélande
Irlande
Belgique
République Tchèque
Luxembourg
Pologne
Kenya
Arabie Saoudite
Pakistan
Afrique du Sud
Corée (du Sud)
Hong Kong
Portugal
Zimbabwe
Koweït
Zambie
Nigéria
Indonésie
Mexique
Grèce
Colombie
Russie
Kazakhstan
Égypte
Brésil
Pérou
Thaïlande
Hongrie
Turquie
Inde
Taïwan
Chine
AE
Argentine
14
5
8
7
5
6
9
7
4
9
2
11
12
Espagne
13
11
10
États-Unis
13
Suite à la PAGE 12
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
11
QUANTIFICATION d e s r i s q u e s
Tableau 3. Prime de risque de marché utilisée pour 34 pays en 2011 selon les professeurs, les analystes et les
gestionnaires de sociétés
Nombre de
réponses
Médiane
Écart-type
prof.
anal.
sociétés
prof.
anal.
soc.
prof.
anal.
soc.
prof.
anal.
soc.
États-Unis
5,7
5,0
5,5
5,5
5,0
5,2
522
330
651
1,6
1,1
2,0
Espagne
5,5
5,6
6,1
5,5
5,0
5,5
92
305
533
1,0
1,3
1,8
Royaume-Uni
5,6
5,4
4,9
5,0
5,0
5,0
20
68
24
4,0
1,6
1,1
Italie
5,1
5,7
5,7
5,0
5,0
5,0
21
40
15
1,3
1,4
1,4
Allemagne
4,9
5,7
4,8
5,0
5,0
5,0
8
47
16
0,8
1,6
0,6
Mexique
10,6
6,6
6,8
10,0
6,0
6,3
9
25
22
2,7
1,6
2,9
Pays-Bas
5,2
5,9
4,6
4,5
5,5
4,0
12
29
7
2,5
1,6
1,7
France
5,1
6,2
5,9
5,5
6,1
5,7
6
26
13
1,7
1,7
1,0
Suisse
5,2
5,9
5,1
5,0
6,0
5,0
8
29
7
1,0
1,4
0,9
Australie
6,2
5,4
6,5
6,0
5,0
6,0
15
21
4
2,5
1,1
2,5
Colombie
6,7
5,7
10,1
7,4
7,0
8,2
5
19
14
2,6
2,4
5,5
Suède
6,2
6,0
5,4
6,0
5,8
5,0
5
26
7
1,6
1,4
0,7
Canada
5,9
5,5
6,2
5,3
5,0
5,1
12
12
12
1,8
1,7
2,8
Brésil
6,6
7,3
8,3
6,0
8,0
7,0
5
14
16
1,3
3,3
6,1
Grèce
8,9
6,3
9,3
8,6
6,1
9,5
7
21
6
3,9
1,5
3,2
Afrique du Sud
5,8
7,0
5,9
5,5
6,5
6,0
3
13
18
1,0
2,1
0,7
Argentine
10,4
8,7
10,8
9,5
8,3
9,0
10
12
11
4,1
1,7
4,1
Portugal
8,0
6,0
7,2
6,9
6,1
6,5
6
24
3
3,2
1,0
1,2
Autriche
4,8
6,3
5,3
4,8
6,1
5,5
2
23
7
0,4
2,0
0,9
Belgique
5,6
6,1
6,1
5,6
6,1
6,0
2
22
7
0,9
1,0
1,2
Chili
6,1
5,2
6,5
6,0
5,3
5,5
5
17
9
0,2
0,4
3,8
Chine
8,9
7,9
10,9
9,0
6,5
8,0
8
10
13
3,6
2,5
7,0
Norvège
5,0
5,9
5,2
5,0
5,8
5,0
2
13
15
0,0
2,3
0,8
Inde
7,3
8,0
10,1
7,0
7,5
9,0
9
9
10
1,5
2,3
3,5
Pologne
6,2
6,1
6,2
5,5
6,0
6,1
3
13
12
1,5
1,3
0,9
Turquie
11,3
7,8
7,5
12,0
8,4
8,1
3
12
10
2,1
2,3
3,5
République
Tchèque
5,8
6,2
6,1
5,8
6,5
5,8
2
10
7
0,3
0,9
1,1
4,3
Pérou
6,5
7,5
8,4
6,5
7,5
7,2
2
9
8
2,1
0,7
Finlande
6,0
4,8
6,1
6,0
4,5
5,0
3
9
6
1,0
1,4
2,9
NouvelleZélande
6,0
5,6
6,6
5,5
5,0
6,7
3
8
6
1,3
0,9
0,7
Taïwan
11,3
7,1
8,4
9,3
6,0
8,0
6
6
5
5,1
2,6
1,8
Japon
3,0
6,0
4,6
3,0
3,5
5,0
3
7
4
1,0
5,0
0,8
Corée (du Sud)
4,0
7,2
8,5
3,5
6,5
8,5
4
7
2
2,4
1,7
0,7
Égypte
10,0
7,5
5,5
10,0
7,0
5,5
2
8
2
4,2
1,3
2,8
Tableau 4. Ouvrages utilisés pour justifier la PRM
Ouvrages
Professeurs
Analystes
Sociétiés
Total
Ibbotson / Morningstar
53
31
172
256
Damodaran
72
34
114
220
Estimation interne (propre)
15
84
67
166
Analystes / Banques d’investissement
16
25
80
121
Expérience, jugement personnel, subjectif
57
23
28
108
Bloomberg
7
44
47
98
Données historiques
45
15
33
93
Fernandez
26
6
31
63
Duff&Phelps
2
0
34
36
Enquêtes, conversations,…
12
3
18
33
SGD
13
3
15
31
Grabowski / Pratt's and Grabowski
1
5
24
30
Brealy & Myers
14
4
8
26
Mckinsey, Copeland
5
4
15
24
Internet
2
2
16
20
Ouvrages d’analystes financiers agréés
2
9
6
17
Reuters
0
6
10
16
Ross/Westerfield
13
0
1
14
Fama and French
10
0
3
13
Siegel
5
0
5
10
Autres*
142
47
135
324
Je ne justifie pas / ne répond pas
173
151
185
509
TOTAL
685
496
1 047
2 228
*Notamment : CDS, Internet, Reuters, Siegel, Bodie, Kane, Marcus, Implied MRP, Economic Press, Datastream, Malkiel,
Sharpe, Brigham, Consensus, IMF, RWJ, Shapiro, Kaplan, Shiller, Welch.
12 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
professeurs
analystes
sociétés
PRM moyenne
Rep. Tchèque
N.-Zélande
Allemagne
Norvège
Belgique
Suisse
Autriche
Pologne
Suède
Afrique du Sud
Espagne
Italie
France
Chili
É.-U.
Corée (du Sud)
Finlande
Portugal
Pays-Bas
Australie
Canada
Japon
Royaume-Uni
Mexique
Pérou
Inde
Turquie
Égypte
Grèce
Taiwan
Argentine
Colombie
Brésil
Chine
Moyenne
Prime de risque de marché utilisée pour
56 pays en 2011 | suite de la page 11
2. Différences entre les
professeurs, les analystes
et les gestionnaires de
sociétés
Le tableau 3 présente les différences entre
les 34 pays pour lesquels il y a eu au moins deux
réponses pour chaque catégorie (professeurs,
analystes et gestionnaires de sociétés).
3. Ouvrages utilisés pour
justifier les chiffres sur la
PRM
Sur les répondants, 1 173 ont précisé les
ouvrages sur lesquels ils se fondent pour
justifier la PRM qu’ils utilisent (375 en ont
indiqué plus d’un). Le tableau 4 présente les
ouvrages les plus souvent mentionnés.
4. Comparaison avec les
sondages précédents
Le tableau 4 de l’ouvrage de Fernandez et
al (2011a) illustre l’évolution de la prime de
risque de marché utilisée pour les États-Unis
en 2011, 2010, 2009 et 2008, d’après les
sondages précédents (Fernandez et al, 2009,
2010a et 2010b).
Welch (2000) a mené deux sondages auprès
de professeurs de finances en 1997 et 1998,
sollicitant leur opinion sur ce que serait, selon
eux, la PRM attendue au cours des 30 années
suivantes. Deux cent vingt-six (226) personnes
ont participé, leurs réponses variant entre
QUANTIFICATION
d e ’sS rCO
isq
e sR
Ru
NE
Tableau 5. Comparaison avec les sondages précédents
Enquêtes d’Ivo Welch
Fernandez et al (2009, 2010)
Oct. 1997février 1998*
Janv.-mai
1999
Sept. 2001**
Déc. 2007#
Janvier 2009++
É.-U.
Europe
É.-U.
Europe
Nombre de
réponses
226
112
510
360
143
487
224
462
194
5,3
Moyenne
7,2
6,8
4,7
5,96
6,2
6,3
5,3
6,0
Écart-type
2,0
2,0
2,2
1,7
1,7
2,2
1,5
1,7
1,7
Max
15
15
20
20
19,0
10,0
12,0
12,0
6,0
T3
8,4
8
6
7,0
7
7,2
6,0
7,0
Médiane
7
7
4,5
6,0
6
6,0
5,0
6,0
5,0
T1
6
5
3
5,0
5
5,0
4,1
5,0
5,3
1,5
1,5
0
2
0,8
1,0
2,0
2,0
Min
*30-Year Forecast. Welch (2000) First survey
+30-Year Forecast. Welch (2000) Second survey
**30 year Equity Premium Forecast (Geometric). “The Equity Premium Consensus Forecast Revisited” (2001)
#30-Year Geo Eq Prem Used in class. Welch, I. (2008), “The Consensus Estimate for the Equity Premium by Academic Financial Economists in December 2007”.
++In your classes, what is the main number you are recommending for long-term CAPM purposes? “Short Academic Equity Premium Survey for January 2009”.
http://welch.econ.brown.edu/academics/equpdate-results2009.html
1 % et 15 % avec une prime sur actions attendue
(PAA) arithmétique moyenne de 7 % supérieure aux
obligations du Trésor5. Welch (2001) a présenté les
résultats d’un sondage mené auprès de 510 professeurs
de finances et d’économie en août 2001 qui ont
convenu que la PAA arithmétique sur 30 ans était de
5,5 %, un pourcentage beaucoup moins élevé que tout
juste trois ans auparavant. Dans une mise à jour publiée
en 2008, Welch indique que la PRM « utilisée en
classe » en décembre 2007 par environ 400 professeurs
de finances était en moyenne de 5,89 % et que 90 % des
professeurs utilisaient des primes sur actions fluctuant
entre 4 % et 8,5 %.
L’ouvrage de Johnson et al (2007) fait état des
résultats d’une enquête menée en mars 2007 auprès de
116 professeurs de finances en Amérique du Nord.
Parmi les répondants, 90 % estimaient que la PRM
attendue serait de l’ordre de 3 % à 7 % au cours des
30 prochaines années.
Dans l’ouvrage Graham et Harvey (2007), les auteurs
indiquent que les directeurs financiers américains
avaient abaissé leur PAA moyenne, la faisant passer de
5
4,65 % en septembre 2000 à 2,93 % en septembre 2006
(écart-type des 465 réponses de 2,47 %). Dans l’enquête
de 2008, ils ont fait état d’une PAA de 3,80 %, variant
de 3,1 % à 11,5 % au dixième centile à chaque extrémité
du spectre. Les auteurs démontrent que la PAA fluctue
avec le temps. En juillet 2002, le cabinet Goldman
Sachs (O’Neill, Wilson et Masih 2002) a mené un
sondage auprès de sa clientèle mondiale et la PAA
moyenne à long terme était de 3,9 %, la plupart des
réponses se situant dans la fourchette entre 3,5 % et
4,5 %.
Dans son ouvrage, Ilmanen (2003) prétend que les
enquêtes ont tendance à être optimistes : [traduction]
« les résultats attendus qui s’appuient sur des enquêtes
nous en disent peut-être davantage sur les rendements
souhaités que sur les rendements nécessaires ».
Damodaran (2008), pour sa part, mentionne que
[traduction] « les primes de risque dans le cadre
des enquêtes universitaires indiquent la mesure dans
laquelle la plupart des universitaires sont loin du
Suite à la PAGE 14
ce moment-là, la version la plus récente de l’Ibbotson Associates Yearbook indiquait une prime sur actions historique (PAH)
À
arithmétique par rapport aux bons du Trésor de 8,9 % (1926–1997).
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
13
Prime de risque de marché utilisée pour 56 pays en 2011 | suite de la page 13
Tableau 6. Estimations de la prime sur actions attendue (PAA) d’après d’autres enquêtes
Auteurs
Conclusion au sujet de la PAA
Répondants
Pensions and Investments (1998)
3%
Investisseurs institutionnels
Graham et Harvey (2007)
Sept. 2000. Moyenne : 4,65 %,
écart-type = 2,7 %
Directeurs financiers
Graham et Harvey (2007)
Sept. 2006. Moyenne : 2,93 %,
écart-type = 2,47 %
Directeurs financiers
Mise à jour de Welch
Déc. 2007. Moyenne : 5,69 %.
Fourchette de 2 % à 12 %
Professeurs de finances
O'Neill, Wilson et Masih (2002)
3,9 %
Clientèle mondiale de Goldman
monde réel de l’évaluation et des finances d’entreprise
et dans laquelle leur propre réflexion est encadrée
par les primes de risque historiques... Les primes de
risque dont il est question en classe sont beaucoup plus
élevées que les primes de risque en pratique, mais elles
sont aussi en contradiction avec d’autres travaux de
recherche universitaire »
Le magazine Pensions and Investments (1998.01.12)
a rapporté les résultats d’un sondage auprès de
professionnels à l’emploi d’investisseurs institutionnels
et la PAA moyenne était de 3 %. Shiller6 publie et met
à jour un indice de l’humeur des investisseurs depuis
l’effondrement de 1987. Bien que ni l’une ni l’autre des
enquêtes ne donne une mesure directe de la prime de
risque sur actions, les deux produisent une large mesure
de l’orientation que devraient suivre les cours des
actions dans un avenir rapproché, selon les investisseurs
et les professeurs. D’après le sondage de la Securities
Industry Association (SIA) de 2004, la PAA médiane
de 1 500 investisseurs américains était d’environ 8,3 %.
Le groupe Merrill Lynch a enquêté auprès de plus de
300 investisseurs institutionnels partout dans le monde
en juillet 2008 et la PAA moyenne se situait à 3,5 %.
La grande différence entre ce sondage et les précédents,
c’est que celui-ci porte sur la PRM requise tandis que la
plupart des sondages portent sur la PRM attendue. Les
6
14 |
DéCEMBrE 2011
Se reporter à http://icf.som.yale.edu/Confidence.Index
| Gestion du risque
annexes 2 et 3 présentent les commentaires formulés
par 168 répondants.
5. PRM ou prime sur actions (PA) :
quatre concepts différents
Comme le soutient Fernandez (2007, 2009b),
l’expression « prime sur actions » désigne quatre
concepts différents :
1.prime sur actions historique (PAH) : rendement
différentiel historique du marché boursier par rapport
aux bons et obligations du Trésor;
2.prime sur actions attendue (PAA) : rendement
différentiel attendu du marché boursier par rapport
aux bons et obligations du Trésor;
3.
prime sur actions requise (PAR) : rendement
supplémentaire d’un portefeuille diversifié (le
marché) par rapport au taux sans risque requis par un
investisseur. Elle sert à calculer le rendement requis
de l’action;
4.prime sur actions implicite (PAI) : la prime sur
actions requise générée par le fait de supposer que le
prix du marché est exact.
Les quatre concepts (PAH, PAR, PAA et PAI) désignent
des réalités différentes. La PAH est facile à calculer et
elle est la même pour tous les investisseurs, à condition
qu’ils utilisent la même période, le même indice de
QUANTIFICATION
d e ’sS rCO
isq
e sR
Ru
NE
marché, le même instrument sans risque et la même
moyenne (arithmétique ou géométrique). Cependant, la
PAA, la PAR et la PAI peuvent varier d’un investisseur
à l’autre et ne sont pas observables.
La PAH correspond au rendement différentiel moyen
historique du portefeuille du marché par rapport aux
créances sans risque. Les sources les plus souvent
mentionnées sont Ibbotson Associates et Dimson et al.
(2007).
De nombreux ouvrages font valoir ou supposent qu’il
y a une PAA « de marché ». Or, de toute évidence,
les investisseurs et les professeurs ne partagent pas
les mêmes attentes et évaluent différemment la PAA.
Comme le dit si bien Brealey et al. (2005, page 154),
il ne faut se fier à personne qui prétend savoir les
rendements auxquels s’attendent les investisseurs.
La PAR constitue la réponse à la question suivante :
À quoi correspond le rendement supplémentaire dont
j’ai besoin pour investir dans un portefeuille diversifié
d’actions en fonction du taux sans risque? Il s’agit d’un
paramètre incontournable puisque la PAR est l’outil qui
permet de déterminer le rendement requis de la société
en fonction de l’action et du coût moyen pondéré du
capital (CMPC). Les sociétés peuvent avoir recours à
des PAR différentes, et en fait, elles le font.
La PAI représente la PAR utilisée dans l’évaluation
d’une action (ou d’un indice de marché) qui concorde
avec le prix du marché en vigueur. Le modèle le plus
utilisé pour calculer la PAI est le modèle d’actualisation
des dividendes : le prix en vigueur par action (P0)
correspond à la valeur actualisée des dividendes prévus
actualisée en fonction du taux de rendement requis (Ke).
Si d1 représente le dividende par action qu’on s’attend à
recevoir au moment 1 et g, le taux de croissance à long
terme prévu des dividendes par action,
P0 = d1 / (Ke - g), d’où PAI = d1/P0 + g - RF (1)
Les estimations de la PAI reposent sur l’hypothèse
particulière formulée à l’égard de la croissance prévue
(g). Même si les prix des marchés sont exacts pour tous
les investisseurs, il n’y a pas de PAI commune à tous
les investisseurs : il y a de nombreuses paires (PAI,
g) qui satisfont à l’équation (1). Même si l’équation
(1) vaut pour chaque investisseur, il y a plusieurs
rendements requis (autant que des hausses prévues, g)
dans le marché. De nombreux ouvrages de la littérature
financière font état de diverses estimations de la PAI
avec une grande dispersion, par exemple, Claus et
Thomas (2001, PAI = 3 %), Harris et Marston (2001,
PAI = 7,14 %) et Ritter et Warr (2002, PAI = 12 % en
1980 et -2 % en 1999). Il n’y a pas une PAI commune
pour tous les investisseurs.
La PAA n’est pas, aux yeux d’un
investisseur donné, nécessairement
égale à la PAR (à moins qu’il
estime que le prix du marché est
égal à la valeur des actions). De
toute évidence, un investisseur
conservera
un
portefeuille
diversifié d’actions si sa PAA est
supérieure (ou égale) à sa PAR et
ne le conservera pas autrement.
Pablo Fernandez, enseigne les
finances à l’IESE Business School
(Madrid, en Espagne). On peut le
Nous pouvons découvrir à quoi
correspond la PAR et la PAA d’un
investisseur en le lui demandant,
même si, pour de nombreux
investisseurs, la PAR n’est pas un
paramètre explicite, mais qu’elle
est plutôt prise en compte dans le
prix qu’ils sont disposés à payer
pour les actions. Il est toutefois
impossible de déterminer la
PAR pour l’ensemble du marché
puisqu’elle n’existe pas; même
en connaissant la PAR de tous
les investisseurs dans un marché,
parler d’une PAR pour l’ensemble
du marché serait dénué de sens. Les PAR sont dispersées
et tout ce que nous pouvons dire, c’est que les PAR d’un
certain pourcentage d’investisseurs se situent dans une
fourchette. La valeur moyenne de cette distribution ne
peut être interprétée comme représentant ni la PAR du
marché ni celle d’un investisseur représentatif.
Prof. Javier Aguirreamalloa, est
chargé de cours au département
de la gestion financière à l’IESE
(Madrid, en Espagne). On peut le
joindre à JAguirreamalloa@
iese.edu.
Luis Corres, est entré à l’IESE
Business School (Madrid, en
Espagne) en 2010 à titre d’adjoint
à la recherche au département
des finances. On peut le joindre à
[email protected].
Une grande confusion découle du fait qu’aucune
Suite à la PAGE 16
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
15
La littérature financière devrait clarifier la PRM en
définissant de manière distincte les quatre concepts
différents et en transmettant un message plus précis au
sujet de leur importance sensible.
représentatif type) pour déterminer leur prime sur
actions requise, mais bien aux données historiques
et aux conseils figurant dans les ouvrages et données
par les professeurs de finances. Par conséquent, les
primes sur actions ex-ante ont été élevées, les prix du
marché ont sans cesse été sous-évalués et les primes
pour risque ex-post ont aussi été élevées. De nombreux
investisseurs utilisent les données historiques et les
prescriptions des ouvrages pour estimer la prime sur
actions requise et attendue, la sous-évaluation et la
prime pour risque ex-post élevée sont des prophéties
qui s’autoréalisent.
6. Conclusion
ANNEXE 1
La plupart des sondages ont porté sur la PRM attendue,
mais celui-ci vise la PRM requise.
Courriel envoyé en mars et en avril 2011
distinction n’est faite entre les quatre concepts que
l’expression prime sur actions désigne, soit prime sur
actions historique, prime sur actions attendue, prime
sur actions requise et prime sur actions implicite. Sur
les ouvrages étudiés dans le rapport Fernandez (2009b),
129 abordent la prime attendue et requise et 82, la prime
attendue et historique.
Nous présentons les statistiques relatives à la prime
sur actions ou la prime pour risque de marché (PRM)
utilisée en 2011 pour 56 pays. Nous avons obtenu
des réponses de 85 pays, mais nous avons seulement
compilé les résultats des 56 pays pour lesquels il y a eu
plus de six réponses.
Le document fait également état des ouvrages utilisés
pour justifier la PRM, les commentaires formulés par
12 personnes n’utilisant pas une PRM et ceux formulés
par 33 personnes en utilisant une. Dans le rapport
Fernandez et al. (2011a)7, il y a d’autres commentaires
(58 n’utilisant pas une PRM et 110, en utilisant une).
Les commentaires illustrent les diverses interprétations
donnée à la PRM requise et à son utilité.
Ce sondage fait un lien avec l’ouvrage Equity
Premium Puzzle : dans Fernandez et al (2009), les
auteurs prétendent que le casse-tête de la prime sur
actions peut s’expliquer par le fait que de nombreux
participants du marché (investisseurs en actions,
banques d’investissement, analystes, sociétés…) n’ont
pas recours à une théorie type (p. ex., un modèle
d’évaluation des actifs financiers du consommateur
7
16 |
DéCEMBrE 2011
Nous effectuons un sondage au sujet de la prime de
risque de marché (PRM) que les sociétés, les analystes
et les professeurs utilisent pour calculer le rendement
des actions requis dans divers pays. Nous vous serions
fort gré de répondre aux trois questions suivantes. Il va
sans dire qu’aucune société ou université et qu’aucun
particulier ne sera identifié; seules des données
regroupées seront publiées.
Salutations et merci.
Pablo Fernandez
Professeur de finances, IESE Business School. Espagne
http://www.iese.edu
http://ssrn.com/author=12696
Trois questions
1. La prime de risque de marché que j’utilise en
2011 pour mon pays, ___________, correspond à
_________ %.
2. La prime de risque de marché que j’utilise en 2011
pour les É.-U. correspond à _________ % .
3. Ouvrages dont je me sers pour appuyer ces chiffres:
Commentaires
Fernandez, P., J. Aguirreamalloa et L. Corres (2011a), « US Market Risk Premium Used in 2011 by Professors, Analysts and
S
Companies: A Survey... », version à télécharger à http://ssrn.com/abstract=1805852
| Gestion du risque
QUANTIFICATION
D E ’SS RCO
I S QUE
R NE SR
ANNEXE 2
COMMENTAIRES
FORMULÉS
PAR
LES
RÉPONDANTS N’AYANT PAS PRÉCISÉ LA PRM
UTILISÉE EN 2011
1. Quatre-vingt-quinze pour cent (95 %) des
évaluations se font sur une base multiple, c.-à-d.
nous ne calculons pas de manière adéquate un
coût moyen pondéré du capital (CMPC) par
investissement ou une prime pour risque de
marché.
2. Nous mettons l’accent sur les marchés émergents.
Nous n’appliquons pas une approche fondée
sur une formule à l’égard d’un risque-pays et
d’exigences de rendement spécifiques et nous
croyons qu’elle ne tient pas adéquatement compte
du risque ou de l’avantage relatif. Nous étudions
plutôt chaque pays et déterminons s’il offre une
opportunité immobilière convaincante dans une
optique de demande fondamentale (p. ex., Brésil) et
qui satisfait à nos exigences globales de rendement
(environ 20 %).
3. Analyste. Europe. Varie de semaine en semaine.
4. Allemagne. Nous n’appliquons pas cette
méthodologie au capital de risque.
5. Au Canada, nous n’utilisons pas la PRM. Nos
évaluations se font, la plupart du temps, sur une
base de liquidation ordonnée. Pour les quelques
évaluations à la juste valeur du marché, nous
utilisons les formules s’appliquant à la durée de
vie utile qui reste.
6. Je suis fondamentalement critique à l’égard du
concept de la prime de risque qui sert surtout
d’outil pour rationaliser/légitimiser les créances
sur le revenu dans la lutte entre les créanciers et
les débiteurs.
7. Fonds européen. Nous investissons seulement
dans des entreprises européennes privées et non
cotées. Notre rendement requis n’est pas fonction
des PRM; nous nous efforçons de retirer le
maximum de nos investissements à l’intention de
nos actionnaires. Le rendement qu’on obtient dans
un compte d’épargne d’une banque est, pour nous,
une référence. Pour l’instant, on parle d’environ
2,5 %. Donc, si nous obtenons de 10 à 15 % de
plus par année, on s’en tire bien.
8. Nous calculons habituellement le coût des capitaux
propres en $US et le convertissons sous forme de
parité de pouvoir d’achat en $R.
9. J’ai reçu le sondage pendant le tremblement de
terre de 9,0 au Japon, lequel a, selon moi, de fortes
répercussions à Taïwan. Malheureusement, à ce
jour, il est impossible d’obtenir une estimation
précise des dommages.
10. Je dois confesser que ce que je fais en finances,
c’est pour mon propre plaisir. Autrement dit, j’ai
effectué certains travaux de recherche théorique,
mais je n’ai pratiquement jamais essayé de calculer
des valeurs. Par ailleurs, la façon dont je comprends
le problème relatif aux questions ci-haut est un peu
différente de l’analyse comparative. En particulier,
chaque PRM comporte des caractéristiques de
risque qui couvrent la série de scénarios pour
lesquels le payeur paye davantage que ce que
laissent entendre les scénarios. En fait, je pense
qu’il est possible de tirer de l’information générale
pertinente de la Caisse canadienne de dépôt de
valeurs limitée (CCDV) et de la parité des taux
d’intérêt. Les PRM sont excessivement simplifiées.
11. À mon avis, la dynamique du risque à long
terme des sociétés par rapport aux emprunteurs
souverains s’est modifiée à un point tel que le
risque a diminué pour les premières et a augmenté
pour les derniers. En Afrique du Sud, le coût
du capital a aussi évolué au cours des dernières
années, le coût des créances étant particulièrement
en baisse. Je pense que des ratios cours-bénéfices
légèrement plus élevés seront davantage courants
en Afrique du Sud dans l’avenir que la moyenne
du marché à long terme d’environ 14x. Dans le
secteur privé, des multiples du bénéfice avant
intérêts, impôts et amortissements (BAIIA) des
actions de 7x sont courants aujourd’hui tandis
qu’il y a quelques années, la norme pour les
négociations était de 3 à 5x.
12. Aucune étude exhaustive du marché intérieur
portugais n’a été faite, à notre connaissance. Nous
(trois professeurs) mettons actuellement au point
un projet d’une durée de trois ans visant à estimer
notre PRA nationale et à comprendre les raisons
Suite à la PAGE 18
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
17
qui ont influé sur cette prime. Pour l’instant, nous
achevons d’élaborer un indice boursier qui couvre
la période allant de 1940 à 2010.
ANNEXE 3
COMMENTAIRES
FORMULÉS
PAR
LES
RÉPONDANTS AYANT PRÉCISÉ LA PRM UTILISÉE
EN 2011
1. Vous supposez, dans votre enquête, que les gens
adoptent l’approche des marchés segmentés.
J’utilise un modèle d’évaluation des actifs
financiers international et la PRM de l’indice du
marché mondial qui se situe, je présume, à 5 %
dans l’optique du dollar américain. Nous nous
appuyons également sur l’information recueillie
dans le cadre des sondages (p. ex., KPMG et
Roland Berger ou sur des articles portant sur les
finances).
2. Pour estimer le coût du capital d’une société qui
effectue des opérations à l’extérieur des É.-U.,
nous considérons habituellement une prime de
risque-pays qui traduit le risque de crédit du pays
en question et qui provient de l’International Cost
of Capital Report 2010, Ibbotson Associates, Inc.
3. En Égypte, la bourse est fermée depuis à peu
près un mois maintenant, mais tout juste avant,
ma PRM attendue selon des estimations pour
l’Égypte correspondait à 3,5 %. Je ne l’abaisserai
probablement pas beaucoup après la révolution,
car je m’attends à ce qu’il y ait beaucoup
d’investissements intérieurs et des efforts de
reconstruction.
4. Au Japon, un danger sismique important est
signalé et le marché des opérations immobilières
est confus en ce moment. Je ne suis donc pas en
mesure de répondre adéquatement à votre question
pour l’instant.
5. Professeur au R.-U. Je pense que vous posez peutêtre la mauvaise question, car, à mon avis, nous
devrions mesurer E (rm) directement plutôt que
d’établir une PRM et ça semble particulièrement
important dans le contexte des marchés actuels.
6. Professeur en Finlande. Prévoir la prime de
risque par sondage en demandant une opinion
personnellement subjective sur les perspectives du
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DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
marché ne constitue pas une méthode scientifique.
7. J’utilise un taux sans risque à long terme de 3 %
et une prime de 9 %. Cependant, cela me sert à
illustrer des cas dans le cadre des cours et(ou) des
examens. En Suède, l’inflation frôle les 2 %. La
cible de la banque centrale correspond à 2 %.
8. J’ai recours à un modèle d’évaluation des actifs
financiers (MEDAF). Le marché iranien a indiqué
des gains de 46 % en 2010 et la situation semble se
poursuivre en 2011.
9. Pour la zone euro, j’utilise une prime de risquepays et le taux de sécurité allemand comme taux
sans risque en euros.
10. Indonésie. Nous exportons surtout aux É.-U.,
en Europe et au Japon. La crise aux É.-U. a
des répercussions sur nos exportations et nos
marchandises ont peine à survivre à la concurrence
que leur livrent les marchandises en provenance de
Chine. Mais nous avons encore des perspectives.
Nous sommes optimistes et croyons que notre
croissance économique passera de 5,7 % en 2010 à
plus de 6,5 % à la fin de 2011.
11. Les titres du gouvernement malaysien génèrent
un rendement de 2,77 % tandis que le rendement
historique du FBMKLIC (indice de marché) est de
4,24 % de janvier 1980 à la fin de 2009.
12. Je ne crois pas à une PRM fixe; il s’agit d’une
variable aléatoire et en partie prévisible. Vous
pouvez utiliser 10 % pour mon pays, le Canada, et
8 % pour les É.-U.
13. Le Pakistan est un marché émergent et les
statistiques sur ses taux d’intérêt peinent à
indiquer une corrélation quelconque avec les
pays industrialisés, par exemple, l’Europe de
l’Ouest et les É.-U. Malgré des taux d’intérêt
plus élevés, l’inflation y a atteint les deux chiffres
et sa monnaie a été dépréciée. La plupart des
économistes monétaires ne parviennent pas à
expliquer le cas du Pakistan et, en fait, de toutes les
économies émergentes. Le pays a un secteur non
documenté très important, une assiette fiscale très
limitée et ses politiques – pour la plupart – sont
établies en tenant compte des tensions politiques
internationales.
14. Dans le cas du Japon, la vraie prime devrait être
plus élevée, mais la prime de risque calculée en
fonction du rendement des actions – obligations
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du gouvernement japonnais (JGB), le rendement
est peu élevé. En outre, ce chiffre peut varier en
raison des conséquences réelles du tsunami et des
problèmes nucléaires.
15. Les valeurs des É.-U. sont supérieures à celles de
l’Allemagne et, avant le tremblement de terre, du
Japon, mais sont tout de même assez faibles. Le
risque le plus important est posé par l’inflation
dont je tiens habituellement compte séparément
et non dans le cadre de prime de risque-pays. À
long terme, il s’agit d’au moins de 1 % à 3 %
en tant que composante du taux d’actualisation.
Dans l’ouvrage Brueggeman et Fisher, Real Estate
Finance, il est question des principes, mais aucune
estimation de la prime de risque-pays n’y figure.
16. Je prédis que le marché boursier chinois
progressera d’environ 10 % en 2011 tandis que son
taux d’intérêt des dépôts d’un an se situe à 3,5 %,
d’où une PRM de 6,5 % pour la Chine. Je prévois
également que le marché boursier américain
progressera d’environ 5 % tandis que le taux sans
risque des É.-U. demeure à près de zéro en 2011.
17. Il n’est pas facile de calculer une PRM pour
l’Iran compte tenu de la situation économique
imprévisible. Je peux au mieux rétrécir la gamme
des taux possibles. Une PRM de 18 % est
envisagée pour l’Iran parce que le taux d’intérêt
annuel des investissements dans les banques et des
obligations avec participation oscille entre 14 %
et 16 % (15 % en moyenne), tel qu’annoncé par la
banque centrale. En outre, le rendement historique
généré par le marché, d’après une approximation
de l’indice de la bourse de Téhéran (Tehran Stock
Exchange (TSE) Index), correspond à plus de 30 %.
En ayant recours à un modèle d’évaluation des
actifs financiers, ces deux taux avec une valeur
beta de marché de un donnent une PRM de 15 %
(à tout le moins). Contrairement aux autres
pays qui se remettent des crises économiques,
il semble que l’Iran mettra plus de temps à se
relever de la récession. Il s’agit d’un jugement
personnel et il faudrait abaisser la prime. De plus,
le gouvernement iranien applique actuellement un
nouveau plan économique qui consiste à diminuer
les subventions et à remettre directement aux gens
les économies ainsi réalisées. Cela pourrait faire
grimper la prime puisque la population s’attendra
18.
19.
20.
21.
22.
à une inflation plus importante. À mon avis, la
PRM pour l’Iran est supérieure à 15 % et c’est la
raison pour laquelle je choisis 18 %.
S’agissant des marchés internationaux, dans une
optique américaine, nous calculons le coût du
capital conformément à un modèle de cote de
crédit de pays fondé sur l’International Cost of
Capital Report publié par Morningstar.
Nous utilisons l’indice potentiel des politiques de
ce rapport pour ajuster les évaluations des projets
en fonction du risque-pays. À notre avis, cette
méthode est plus utile et plus exhaustive pour les
mines exploitées par nos compagnies qu’une cote
de crédit.
Veuillez prendre note que mon CMPC est, en
général, élevé (entre 11 % et 13 %), mais que mes
taux de croissance sont aussi un peu élevés, entre
½ et ¾ du taux de croissance à long terme global
de l’économie chinoise, soit entre 7 % et 8 %.
La prime de risque sur actions que nous utilisons
ici correspond à 5 %. Nous avons toujours
utilisé Ibbotson comme source pour la PRA
moins l’ajustement des études Ibbotson et Chen.
Plus récemment, nous avons adopté KPMG
ELLP et une PRA de 5,0 % est le pourcentage
habituellement appliqué à la prime pour risque
sur actions. Nous n’avons pas calculé une PRM
spécifique pour la Russie d’après les rendements
historiques du marché boursier. Puisque Gazprom
et les grands pétroliers dominent l’indice, il n’est
donc possible d’appliquer un chiffre quelconque
qu’au secteur des ressources naturelles et non au
marché élargi. Le taux sans risque en roubles est
aussi un problème puisqu’il n’y a pas d’obligations
en roubles à long terme fiables qui sont négociées;
nous avons donc tendance à utiliser les obligations
du gouvernement russe libellées en dollars US
comme base du taux sans risque et à ajouter une
prime de risque de change fondée sur la formule
fisher; ce n’est pas une solution parfaite, mais elle
semble fonctionner. Nous avons aussi recours à
Ibbotson pour déterminer la taille de la prime.
J’utilise 4 % pour tous les pays, conformément au
Global Investment Returns Sourcebook du Crédit
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Gestion du risque |
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DéCEMBrE 2011
Suisse qui présente les données pour 17 pays
depuis 1900.
Prime de risque sur actions implicite provenant
des indices des grands marchés boursiers.
Veuillez prendre note que si nous calculons les
PRM en Italie pour les 10 dernières années, la
mesure est négative. La valeur est raisonnablement
considérée juste seulement conformément à une
pratique acceptée par les principaux cabinets
d’experts-conseils et de vérification actifs en
Italie. Il n’y a aucune autre explication rationnelle
à le faire!
Cette valeur est fondée sur les exigences générales de
mes investisseurs de capital de risque (CR). De nos
jours, les É.-U. ne sont plus un pays plus sécuritaire
que certains marchés asiatiques émergents. Un jour,
ce sera peut-être même l’inverse.
Analyste financier pour le compte d’institutions
belges. En règle générale, j’utilise un CMPC type
de 7,5 % à 8 %, ce qui en fait comprend une prime
de risque moyenne de 3 % à 4,5 %. J’utilise ces
pourcentages en période florissante et en période
moins florissante de façon à obtenir une approche
uniforme. Évidemment, en périodes moins
florissantes, les primes de risque sont élevées et
les évaluations sont donc basses et en périodes
florissantes, les faibles primes de risque génèrent
des évaluations élevées. Je souhaite aborder ce
phénomène en utilisant un CMPC et une prime de
risque types.
| Gestion du risque
27. Je dirais qu’à mon avis, la valeur des actions va
surpasser celle des obligations de 3 % aux É.-U.
et aux Pays-Bas.
28. La prime de risque pour les É.-U. est mesurée (à
mon avis) en £, c.-à-d. qu’elle est ajustée pour
tenir compte de la dépréciation prévue du $.
29. J’ai tendance à apprécier la recherche des auteurs
Dimson Marsh. Leur ouvrage intitulé Triumph
of the Optimists est une lecture intéressante
tout comme le sont certains de leurs articles.
J’ai tendance à croire qu’Ibbotson surestime
habituellement la PRM.
30. Nous avons établi notre prime totale à 12 %, en
tenant compte d’une inflation estimative de 6 %
en 2011, d’après un sondage effectué auprès
de notre marché principal, soit les services
environnementaux.
31. Comparaison entre le taux d’intérêt que le marché
établit pour un titre type dans le pays et le titre
comparable dans le pays de référence.
32. Nous avons appliqué une régression sur les
obligations des emprunteurs souverains libellés
en dollars US et notre cote de risque interne pour
déterminer la PRM des pays africains.
33. Ce chiffre est périodiquement rajusté en fonction
des niveaux courants des marchés et du récent
rendement des marchés. Le taux des prêts/
emprunts sur marge est aussi utile pour déterminer
la PRM. Notre taux variable des prêts sur marge
actuellement en vigueur est de 9,75 %.
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Analysts and Companies: A Survey with 5,731 Answers »,
version à télécharger à http://ssrn.com/abstract=1805852
Risk
Gestion
management
du risque || SEPTEMBER
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Rapport sur le développement du projet sur la prime de risque
que dirige le Committee on the Theory of Risk (COTOR) de la CAS
Par Martin Eling et Hato Schmeiser
Le projet sur la prime de risque (PPR) (en
anglais Risk Premium Project ou RPP) se
veut une analyse complète des aspects
théoriques et empiriques de l’analyse des
risques en assurances IARD. Amorcé en 2000
par le Committee on Theory of Risk (COTOR) (Comité
sur la théorie du risque) de la Casualty Actuarial Society
(CAS), PPR I avait pour but de dresser un bilan à jour
des recherches en finance et en actuariat. En raison des
nombreuses avancées en recherche enregistrées dans
ces deux domaines au cours de la dernière décennie, il
a été décidé, sous PPR II, d’actualiser les résultats de
PPR I en tenant compte de ces nouvelles recherches et
de cerner les difficultés que présentent les recherches
à venir. Les travaux de recherche du PPR II se sont
déroulés de juin à novembre 2010, et les membres de la
CAS ont pu y participer par le biais d’un questionnaire
en ligne. Dans le présent article, nous traçons l’historique
du PPR et mettons en évidence ses principaux résultats;
nous donnons aussi un lien vers d’autres ressources, plus
particulièrement une base de données : http://www.casact.
org/rpp2/.
Les résultats de ces recherches revêtent également un
intérêt pour les membres de la Society of Actuaries et
de l’Institut canadien des actuaires. Un certain nombre
de thèmes de recherche sont abordés et touchent aussi
bien le secteur de l’assurance-vie que celui de l’assurance
non-vie; citons, entre autres, le risque opérationnel, les
risques émergents, la tarification des assurances, les
nouvelles mesures du risque, l’allocation du capital, le
contrôle du risque et les autres méthodes de transfert du
risque. Le présent article constitue une mise à jour d’un
article antérieur publié dans ce bulletin (voir Cummins,
Derrig et Phillips, 2007).
Historique et développement du
projet sur la prime de risque
Le PPR a été lancé par le COTOR, en 1999, par un appel
à propositions de recherche. À cette époque-là, la bonne
méthode à suivre pour prendre en compte le risque dans
les provisions actualisées pour sinistres faisait l’objet
de nombreuses recherches et de débats approfondis
au sein de la profession actuarielle. Le COTOR s’est
alors donné pour but de créer un document intégrant les
diverses approches recensées dans la documentation afin
d’élaborer des conseils à l’intention, par exemple, des
actuaires et des organismes de réglementation. De plus, le
COTOR tenait à améliorer l’état actuel des connaissances
en évaluation des risques, tout d’abord en cernant les
questions ouvertes en matière de recherche empirique qui
portent sur l’actualisation des provisions pour sinistres,
ensuite en s’attaquant à ces questions.
Un premier document, publié en 2000, se voulait une
synthèse de l’état des recherches sur les ajustements
pour risque qui sont pris en compte
dans l’actualisation des passifs
d’assurances IARD (voir Cummins
et coll., 2000; le rapport sur PPR I).
Ce rapport est venu élargir l’objet
principal des recherches, qui étaient
axées au départ sur ces ajustements
pour risque, pour prendre en
compte d’autres avancées dans les
techniques d’évaluation des risques
et d’allocation du capital. À la
lumière des résultats du rapport, le
COTOR a décidé de financer deux
projets de recherche empirique :
Cummins et Phillips (2005) ont
analysé le coût des capitaux propres
pour les assureurs, selon diverses
branches d’assurances, tandis que
Cummins, Lin et Phillips (2009)
ont procédé à une régression des
variables du prix de l’assurance sur les allocations du
capital en fonction des branches, des mesures du risque
d’insolvabilité des assureurs et d’autres variables de
risque et de contrôle.
Martin Eling est professeur
en gestion de l’assurance et
directeur du Institute of Insurance
Economics à l’université de SaintGallen.
Hato Schmeiser est titulaire de la
chaire d’assurance et de gestion
du risque et directeur général de
l’Institute of Insurance Economics
à l’université de Saint-Gallen.
Au vu des résultats de ces deux études empiriques et
d’autres récents articles (voir, par exemple, Cummins,
Derrig et Phillips, 2007), il est clair que la documentation
sur l’évaluation des risques en assurances IARD connaît
une évolution rapide. De fait, la modélisation et la
gestion du risque ont enregistré d’importants nouveaux
développements ces dix dernières années, comme en
témoigne le nombre considérable d’articles de recherche
universitaire portant sur des thèmes tels que l’atténuation
Suite à la PAGE 24
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
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Rapport sur le développement du projet sur la prime de risque | suite de la page 23
du risque, la mesure du risque et de la solvabilité,
l’allocation du capital, les outils de gestion du risque
et les techniques d’évaluation. Signalons aussi le
développement de l’assurance comportementale, de
nouvelles techniques d’évaluation (par exemple la
valeur intrinsèque conforme au marché), de nouveaux
cadres réglementaires comme Solvabilité II et le Test
suisse de solvabilité, ainsi que l’analyse des risques
émergents, plus particulièrement dans le domaine
des risques opérationnels. Par ailleurs, la gestion du
risque d’entreprise (GRE), qui représente une vision
globale et intégrée des risques et de leur gestion, est
aujourd’hui devenue une notion largement acceptée
dans la profession.
Buts de la mise à jour du PPR
Tous ces faits nouveaux ont incité le COTOR, en
2010, à lancer un nouvel appel à des propositions de
recherche. La mise à jour du projet de développement
du PPR, que l’on désigne par PPR II, a pour but de
réviser les résultats du PPR I. Plus particulièrement, le
COTOR a défini trois objectifs :
1. actualiser la documentation recensée lors de la
phase I de PPR I, en y intégrant les nouvelles
recherches et articles réalisés depuis 2000, ainsi
que d’autres ouvrages en matière de réassurance,
de gestion du risque et de catastrophes.
2. réviser les principales conclusions tirées au terme
de la phase II du PPR I, à la lumière de nouveaux
articles et des résultats des deux études empiriques
financées par le COTOR (Cummins et Phillips,
2005; Cummins, Lin et Phillips, 2009).
3. recommander de nouvelles études empiriques,
afin de mieux comprendre les théories actuelles,
de quantifier certains aspects des nouveaux
modèles, d’actualiser ces derniers et de proposer
des solutions de rechange.
Aux fins du PPR II, il était important de prendre
conscience que le nombre de thèmes abordés et d’articles
et de revues publiés avait connu une augmentation
fulgurante, et que les stratégies de recherche
documentaire ainsi que les moyens de communication
entre chercheurs avaient changé de façon radicale au
cours de la dernière décennie. La stratégie de recherche
et d’évaluation employée dans le cadre du PPR II
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DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
tient compte de ces changements. Par exemple, elle
comportait la mise en ligne d’un questionnaire visant
à recueillir de la part des collègues intéressés, qu’ils
soient chercheurs ou en exercice, leur point de vue sur
les derniers développements.
Principaux résultats
L’analyse documentaire de PPR II a porté sur
961 ouvrages, à laquelle se sont ajoutées les opinions
de 51 collègues chercheurs ou en exercice. En bref, en
ce qui concerne les principaux résultats, nous avons
constaté que les points de vue actuariel et financier en
ce qui concerne la méthode de tarification des risques
poursuivaient leur convergence, mais que notre étude
devait prendre en compte d’autres facteurs, tels que de
nouvelles mesures du risque et de nouvelles techniques
d’évaluation, ainsi que des aspects comportementaux
et les risques émergents. Dans la foulée de la crise
économique, le risque systémique, le risque de liquidité
et les répercussions de la crise ont été abordés. PPR II
a permis de réviser cinq conclusions du PPR I et d’en
ajouter cinq nouvelles, en plus d’identifier cinq voies de
recherche pour l’avenir.
Révision des principales
conclusions du PPR I
1. L’approche financière par opposition à l’approche
actuarielle : Nous notons une convergence
croissante des ouvrages financiers et des ouvrages
actuariels en ce qui a trait à la tarification des
contrats d’assurance. Ces deux domaines tiennent
compte du rôle du risque systématique et du risque
non systématique en la matière.
2. Juste valeur de la prime d’assurance : Les modèles
théoriques et les tests empiriques ont confirmé
que, compte tenu des imperfections du marché,
le prix des assurances devrait être fonction : 1)
des flux monétaires prévus, ajustés pour le risque
systématique; 2) des coûts de production, c.-à-d
les dépenses; 3) du risque de défaut; et 4) des
coûts frictionnels du capital. Des ajustements pour
chaque branche devraient être pris en compte en
fonction de la variabilité des flux monétaires du
passif.
3. Finance générale : Le MEDAF à bêta unique ne
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permet pas de tarifer correctement les contrats
financiers. Les modèles de tarification de l’actif ont
donc été systématiquement élargis pour prendre en
compte de nouveaux aspects (p. ex., le risque de
liquidité et les aspects comportementaux). Leur
validation empirique est en cours. Tous ces aspects
revêtent une grande importance pour l’industrie
des assurances, mais ils n’ont pas encore fait
l’objet d’une étude dans ce contexte.
4. Allocation du capital : Il s’agit d’un sujet qui
est encore loin de faire l’unanimité. Plus d’une
vingtaine de méthodes sont proposées dans les
ouvrages récents, et elles ont été scrutées à la
loupe en regard des principes économiques et
mathématiques. Certains auteurs considèrent le
modèle de Myers et Read (2001) comme étant le
modèle de référence, alors que d’autres estiment
qu’il est inexact. La question de l’allocation du
capital suscite encore aujourd’hui de nombreux
débats auprès des chercheurs et des professionnels
en exercice.
5. Transfert du risque : Nombre d’articles ont
confirmé, de manière théorique et empirique,
l’affirmation selon laquelle le risque de défaut
est pris en compte dans le transfert du risque de
tarification au titulaire de police.
Nouvelles conclusions tirées du
PPR I
6. Utilisation de techniques d’évaluation conformes
à celles du marché : Les spécialistes font de
plus en plus appel à des techniques d’évaluation
conformes à celles du marché, par exemple dans
le contexte de la réglementation (Solvabilité II,
Test suisse de solvabilité) et de la communication
d’informations (IFRS, valeur intrinsèque conforme
au marché). Les nouvelles techniques d’évaluation
tiennent compte des conclusions théoriques à
l’égard du prix de l’assurance (voir, par exemple,
la conclusion 2).
7. Importance accrue de la gestion du risque
d’entreprise, qui fait intervenir les techniques
classiques ainsi que de nouvelles catégories de
produits : L’évaluation conforme au marché fait
ressortir la volatilité du modèle de gestion de
l’assureur et appelle à une gestion globale des
risques. Dans ce contexte, nous constatons une
utilisation accrue des techniques classiques de
gestion du risque (p. ex., atténuation du risque)
ainsi que l’adoption de nouvelles méthodes
(p. ex., la réassurance et autres formes de transfert
du risque) pour gérer le risque selon des valeurs
conformes au marché.
8. Nouvelles mesures du risque et nouvelles
catégories de risques : La dernière décennie a été
témoin de l’essor des mesures de risque fondées
sur les quantiles (valeur à risque, déficit prévu)
et des généralisations de ces mesures (mesure
spectrale, distorsion). Les articles universitaires
font état de nouvelles catégories de risques (risque
opérationnel, risque systémique), et leurs limites
ont été passées en revue.
9.Naissance de l’assurance comportementale :
Nous assistons à la naissance de l’assurance
comportementale, un nouveau thème pouvant créer
un pont entre les modèles théoriques et les résultats
observés. De nombreux chercheurs ont abordé
la question du risque de défaut et apportent un
complément aux résultats des modèles théoriques.
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Gestion du risque |
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Rapport sur le développement du projet sur la prime de risque | suite de la page 25
10. Réassurance et autres méthodes de transfert du
risque : La convergence de la (ré)assurance et des
marchés financiers par le biais d’autres méthodes
de transfert du risque (AMTR) a été l’un des plus
importants développements de la dernière décennie
en matière économique. Cela dit, le marché AMTR
est encore bien en deçà de sa capacité prévue et a
connu plusieurs revers. De récents ouvrages ont
analysé les raisons à l’origine de la déficience
des marchés (p. ex., le piège de la diversification)
ainsi que de nouveaux produits innovants (p. ex.,
obligations catastrophes hybrides), afin d’accroître
le volume du marché AMTR.
Cinq voies de recherche pour
l’avenir
1. Tarification et coût du capital : Dans sa forme
classique, le MEDAF ne permet pas d’estimer le
coût du capital, et les modèles Fama-French et
Rubinstein-Leland donnent de meilleurs résultats
à cet égard. Cependant, de nouvelles recherches
ont été réalisées ces dernières années en matière
d’économie financière, et leurs implications pour la
tarification de l’assurance sont incertaines. Existet-il d’autres facteurs que nous devons prendre en
considération, par exemple le risque de liquidité,
le risque de crédit, le risque opérationnel ou des
aspects comportementaux tels qu’une aversion
pour le risque qui varie dans le temps? Une analyse
systématique des théories d’évaluation des actifs
dans le contexte des assurances constituerait un
programme de recherche majeur.
2. Allocation du capital : Des dizaines d’approches
en matière d’allocation du capital ont été abordées
dans des articles, et il serait inutile d’en produire
une autre. Il pourrait s’avérer plus utile de valider
empiriquement l’utilité de différentes approches
d’allocation du capital. Certains auteurs estiment
que l’approche de Myers et Read (2001) constitue
une pratique exemplaire, alors que d’autres
considèrent qu’elle est erronée. Quel modèle est
le meilleur?
3. GRE, modélisation des risques et dépendances :
Plusieurs questions empiriques au sujet de la
GRE demandent une réponse. En premier lieu,
la question de la valeur qu’ajoute la GRE est
26 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
toujours sans réponse. Deuxièmement, il existe
de nombreux modèles permettant de représenter
les dépendances mais il n’y a aucune preuve
empirique de leur validité. En troisième lieu, la
robustesse des mesures du risque devrait faire
l’objet d’une analyse empirique. Enfin, la question
de la cohérence dans la gestion des risques doit
être abordée.
4. Crise financière et risque systémique : La dernière
crise financière a soulevé d’importantes questions.
La réglementation accélère-t-elle les crises? Quel
est le rôle des assureurs dans le secteur des
services financiers, qui est caractérisé par la forte
interdépendance des acteurs? Une résiliation
massive des contrats d’assurance de la part des
titulaires est-elle possible?
5. Analyse des nouveaux marchés et produits
d’assurance : En principe, le marché des produits
AMTR est extrêmement prometteur, mais, en
réalité, il est assez petit. De quelle façon peut-on
éviter l’échec de ces produits? Quelle est la capacité
du marché AMTR? Enfin, les nouveaux marchés
d’assurance connaîtront une forte expansion, mais
nous n’en savons pas assez au sujet de l’activité
d’assurance dans ces marchés.
Il existe un site Web consultable (www.casact.org/rpp2)
comportant tous les résultats de l’étude. La page Web
s’articule autour de quatre grandes catégories, soit, en
anglais : About RPP, Questionnaire, RPP Results et
RPP Database, et elle renferme la plupart des résultats
présentés dans le présent document. L’élément central
en est la base de données consultable du PPR II, qui
comporte 961 ouvrages, de même que tous les sujets
portant sur l’évaluation des risques des assureurs IARD
et qui pourraient faire l’objet de recherches ultérieures.
Le choix des catégories thématiques et des ouvrages
est subjectif, mais, du fait que nous prenons en compte
l’opinion des collègues chercheurs ou en exercice, nous
espérons rendre l’étude aussi objective que possible.
Pour de plus amples renseignements, nous vous invitons
à consulter le rapport sur le PPR II, un document PDF
de 58 pages comportant une analyse détaillée des
conclusions et des voies de recherche pour l’avenir
dont il a été question précédemment (aussi disponible
à l’adresse www.casact.org/rpp2). Nous espérons que
QUANTIFICATION
d e ’sS rCO
isq
e sR
Ru
NE
les résultats favoriseront la recherche sur les aspects
théoriques et empiriques des assurances IARD. Nous
espérons également qu’ils seront utiles aux membres
de la Society of Actuaries et de l’Institut canadien des
actuaires lorsqu’ils auront à se pencher sur de nouveaux
sujets tels que le risque opérationnel, les risques
émergents ou les AMTR.
Bibliographie
Cummins, J.D., et R.D. Phillips. « Estimating the cost of
capital for property-liability insurers », Journal of Risk
and Insurance, vol. 72(3), 2005, p. 441-478.
Cummins, J.D., Y. Lin et R.D. Phillips. Capital Allocation
and the pricing of financially intermediated risks: An
empirical investigation, document de travail, Georgia
State University, Atlanta, Georgie, 2009.
Cummins, J.D., et coll. « The risk premium project (RPP)
phase I and II report », Casualty Actuarial Society Forum,
automne 2000, p. 165-230.
Myers, S.C., et J.A. Read. « Capital Allocation for
Insurance Companies », Journal of Risk and Insurance,
vol. 68, 2001, p. 545-580.
Cummins, J.D., R.A. Derrig et R.D. Phillips. « Rapport
sur le projet de la prime de risque du Committee on the
Theory of Risk (COTOR) de la Casualty Actuarial Society
(CAS) », Gestion du risque, Society of Actuaries, revue 11,
2007, p. 11-17.
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
27
R É a c t i o n à l’ Ég a rd d e s r i s q u e s
La retraite sur la planète Vulcain : Les répercussions de
l’aversion pour le risque de longévité sur les taux de retrait
optimaux
Par Moshe A. Milevsky et Huaxiong Huang
© 2011, CFA Institute. Reproduit et réédité à partir du Financial Analysts Journal, mars-avril 2011, avec la permission du CFA Institute. Tous droits réservés.
Les recommandations des médias et
des planificateurs financiers au sujet
des taux de dépenses à la retraite
diffèrent sensiblement des modèles de
maximisation de l’utilité. Dans notre étude,
nous soutenons que les gestionnaires de patrimoine
devraient préconiser des
dépenses dynamiques
Moshe A. Milevsky, Ph.D., est
proportionnelles aux
professeur agrégé à la Schulich
probabilités de survie,
School of Business et directeur
rajustées à la hausse
général du IFID Centre de
pour tenir compte
l’université York à Toronto. On
du revenu de retraite
peut le joindre à milevsky@
exogène et à la baisse
yorku.ca.
pour prendre en compte
l’aversion pour le risque
de longévité.
Huaxiong Huang, Ph.D., est
Dans notre étude,
nous
avons
tenté
peut le joindre à hhuang@
d’établir, d’analyser
yorku.ca.
et
d’expliquer
la
politique de dépenses
optimales à la retraite
pour un consommateur
souhaitant maximiser l’utilité et qui est confronté à
(seulement) une durée de vie stochastique. Nous avons
délibérément négligé le risque de marché financier
en supposant que tous les actifs de placement sont
attribués à des obligations sans risque (p. ex. des titres
du Trésor à l’abri de l’inflation). Nous avons posé cette
hypothèse simplificatrice pour insister sur le rôle de
l’aversion pour le risque de longévité afin de déterminer
les taux optimaux de consommation et de dépenses
pendant une retraite de durée stochastique.
payer un niveau de vie plus élevé pendant qu’ils en sont
encore capables.
En fait, l’effet de l’aversion pour le risque financier
sur la répartition optimale des actifs a fait l’objet de
nombreuses études et il est intuitivement bien compris
par les praticiens. D’une part, les investisseurs qui
craignent particulièrement de perdre de l’argent (c.-à-d.
qui sont réfractaires au risque) investissent de manière
conservatrice et sacrifient donc d’éventuels avantages,
ce qui entraîne une baisse de leur niveau de vie pendant
toute la vie. D’autre part, les investisseurs tolérants
face au risque acceptent davantage de risque dans
leurs portefeuilles en échange de la probabilité (jamais
une garantie) d’un meilleur niveau de vie à la retraite.
Mais l’effet de l’aversion pour le risque de longévité
sur le comportement au plan des dépenses à la retraite
n’a jamais reçu autant d’attention, et la plupart des
praticiens ne connaissent pas très bien cette notion.
professeur de mathématiques à
l’université York à Toronto. On
Lorsque nous utilisons l’expression « aversion pour le
risque de longévité », nous supposons que des personnes
différentes pourraient adopter des attitudes différentes
envers la « peur » de vivre plus longtemps que prévu
et peut-être d’épuiser leurs ressources financières.
D’aucuns pourraient réagir à ce risque économique
en dépensant moins au début de la retraite, alors que
d’autres pourraient préférer prendre le risque de se
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DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
Bien que notre cadre et notre solution mathématique ne
soient pas originaux (ils remontent à près de 80 ans),
nous estimons que la perspective fournie par un modèle
de cycle de vie (MCV) mérite d’être soulignée dans le
contexte actuel, ankylosé par des modèles économiques
et leurs prescriptions. Notre objectif pédagogique
consistait à opposer la politique de dépenses optimales
à la retraite (c.-à-d. l’optimisation de l’utilité) et les
recommandations populaires formulées par les médias
spécialisés dans les placements et les planificateurs
financiers.
Voici les principaux résultats de notre enquête :
conseiller aux retraités d’établir leurs dépenses
initiales selon le patrimoine qu’ils peuvent investir à
un taux constant corrigé de l’inflation (p. ex. la très
populaire règle de 4 %) n’est conforme au lissage de
la consommation fondée sur le cycle de vie qu’en
vertu d’un ensemble très restreint de paramètres de
préférence improbables (c.-à-d. qu’il n’existe aucun
taux de dépenses généralement optimal ou garanti à
la retraite). Le comportement prospectif optimal, dans
le contexte du risque personnel de longévité, consiste
plutôt à consommer en proportion des probabilités
de survie (rajustées à la hausse pour tenir compte du
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revenu à la retraite et à la baisse pour prendre en compte
l’aversion pour le risque de longévité) au lieu de retirer
aveuglément un revenu constant pour le reste de la vie.
Historique du problème
J’aimerais d’abord régler le problème suivant : Quelle
part de son revenu un pays devrait-il épargner?
C’est en ces mots que l’économiste de 24 ans de
l’Université de Cambridge, Frank R. Ramsey, a amorcé
un document célèbre diffusé deux ans avant son
décès tragique, en 1930. Le soi-disant modèle de
Ramsey (1928) et la règle de Keynes-Ramsey qui en
a découlé, et qui a été adoptée implicitement par des
milliers d’économistes au cours des 80 dernières années
(notamment par Fisher 1930, Modigliani et Brumberg
1954, Phelps 1962, Yaari 1965, Modigliani 1986),
constituent le fondement de l’optimisation de l’utilité
du cycle de vie. Ils représentent également la pierre
angulaire des premiers modèles de Samuelson (1969) et
de Merton (1971) pour la répartition des actifs.
Dans sa forme de base, le MCV normatif suppose une
personne rationnelle qui cherche à optimiser l’utilité
additive actualisée de sa consommation sur sa vie
entière. Malgré ses origines macroéconomiques, le
modèle de Ramsey a été appliqué par un très grand
nombre d’économistes. Demandez à une étudiante
de première année en économie de quelle façon un
consommateur devrait « dépenser » au cours d’un
certain horizon déterministe T et elle vous répondra fort
probablement au moyen d’un modèle de type Ramsey,
qui répartit le capital humain et le capital financier
(c.-à-d. le patrimoine total) entre le moment zéro
et la fin, T.
La documentation financière pertinente a progressé
depuis 1928 et elle se classe maintenant à la rubrique
« choix de portefeuille » ou extension du modèle de
Merton. Nous avons dénombré plus d’une cinquantaine
d’articles rédigés par des universitaires sur ce sujet
1
qui ont été publiés dans les principales revues
financières seulement au cours de la dernière décennie.
Malheureusement, la majeure partie de la collectivité
de la planification financière n’a pas tenu compte de
ces modèles d’optimisation dynamique, et c’est dans le
domaine de la « planification du revenu de retraite »
que cette situation est la plus évidente.
Il est déplorable que la crise financière, jumelée au
scepticisme général à l’égard des modèles financiers, ait
éloigné davantage la pratique des finances personnelles
d’une approche d’optimisation dynamique. En effet,
de nombreuses stratégies populaires et largement
défendues sont à l’opposé des prescriptions de
l’économie financière. Pour consulter des exemples
de la façon dont des économistes « envisagent » des
problèmes liés aux finances personnelles et déterminer
dans quelle mesure leur pensée diffère de l’opinion
courante, se reporter à Bodie et Treussard (2007);
Kotlikoff (2008); Bodie, McLeavey et Siegel (2008);
Ayres et Nalebuff (2010).
Dans le même ordre d’idées, nous avons tenté
de rétrécir l’écart entre les conseils fournis par la
collectivité de la planification financière au sujet des
politiques relatives aux dépenses à la retraite et les
« conseils » des économistes financiers qui ont recours
à un modèle rationnel d’optimisation de l’utilité du
choix des consommateurs1.
Plus particulièrement, nous avons insisté exclusivement
sur les répercussions de l’incertitude liée à la durée
de vie (le risque de longévité) sur la consommation
optimale et sur la politique de dépenses à la retraite.
Pour isoler l’effet du risque de longévité sur les taux
optimaux de retrait du portefeuille à la retraite, nous
avons axé nos délibérations sur la planète Vulcain, où
le rendement des placements est connu et invariable, les
Suite à la PAGE 30
ar conséquent, l’utilisation de l’expression « planète Vulcain » dans le titre de notre étude provenait de Thaler et Sunstein
P
(2008), qui ont établi une distinction entre les « humains » et les « econs » parfaitement rationnels, à l’image du Monsieur Spock
dans la série Star Trek, qui était originaire de Vulcain.
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
29
La retraite sur la planète Vulcain | suite de la page 29
habitants sont rationnels et lisseurs de la consommation
fondée sur l’optimisation de l’utilité, et seules les
durées de vie sont aléatoires.
Documentation sur les taux
de dépenses à la retraite
Au sein de la collectivité des planificateurs du revenu
à la retraite, on cite fréquemment l’étude de Bengen
(1994), dans laquelle l’auteur utilise les rendements
historiques des actions et des obligations pour trouver
le taux de dépenses acceptables le plus élevé qui
appuierait un portefeuille pendant 30 années de retraite.
À l’aide d’une formule renfermant autant d’actions que
d’obligations, Bengen a opté pour un taux oscillant
entre 4 % et 5 %. En fait, ce taux est devenu le taux
de Bengen ou règle de 4 % parmi les planificateurs
du revenu de retraite et il est devenu immédiatement
très populaire. La règle indique simplement que pour
chaque tranche de 100 $ de son fonds de retraite, le
retraité devrait retirer annuellement une somme de
4 $ redressée de l’inflation—pour toujours, ou au moins
jusqu’à ce que le portefeuille s’épuise ou que le retraité
décède, selon la première de ces éventualités.
En effet, il est difficile de surestimer l’influence de
l’étude de Bengen (1994) et de sa « règle » sur la
collectivité des planificateurs du revenu de retraite.
Parmi d’autres études qui vont dans le même sens,
mentionnons Cooley, Hubbard et Walz (1998), souvent
appelée l’étude de la Trinité. Au cours des deux
dernières décennies, ces études et des documents
connexes ont été cités des milliers de fois dans les
médias populaires (p. ex. Money Magazine, USA Today,
Wall Street Journal)2. La règle de dépenses de 4 %
semble maintenant destinée à la même immortalité que
d’autres règles générales (excessivement simplistes),
notamment « achetez un contrat temporaire et
investissez la différence », et la moyenne d’achat. Et
même si de nombreux auteurs ont appliqué, amélioré et
recalibré ces règles de dépenses, l’esprit de chacune est
respecté, quelqu’en soit la version3.
Nous ne sommes pas les premiers à préciser que cette
stratégie « commencez par consacrer x % » n’a pas
de fondement en théorie économique. Par exemple,
Sharpe, Scott et Watson (2007) et Scott, Sharpe et
Watson (2008) ont soulevé des craintes semblables
et ont fait allusion au besoin d’une approche fondée
sur le cycle de vie, mais ils n’ont jamais implanté ou
rajusté un modèle du genre. Notre étude avait pour but
de faire ressortir la solution du problème que pose le
cycle de vie et de prouver dans quelle mesure l’aversion
pour le risque de longévité influe sur les taux de
dépenses à la retraite, contrairement à l’aversion pour
le risque financier, que connaissent si bien les analystes
financiers.
D’autres chercheurs ont récemment sondé les
répercussions du risque de mortalité et du risque de
longévité pour le choix d’un portefeuille et la répartition
des actifs (voir, par exemple, Bodie, Detemple, Ortuba
ar exemple, voir Walter Updegrave, « Retirement: The 4 Percent Solution », dans Money Magazine, 16 août 2007 http://money.
P
cnn.com/2007/08/13/pf/expert/expert.moneymag/index.htm
3
En fait, Milevsky et Robinson (2005) préconisaient cette approche dans une certaine mesure en calculant et en publiant
une expression analytique de la probabilité de ruine répartie sur la durée de vie qui suppose un taux de dépenses
de consommation constant.
2
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et Walter 2004; Dybvig et Liu 2005; Babbel et Merrill
2006; Chen, Ibbotson, Milevsky et Zhu 2006; JiménezMartín et Sánchez Martín 2007; Lachance (à paraître,
2011)). De même, Milevsky et Robinson (2005) ont
soutenu que les taux de dépenses à la retraite devraient
être réduits parce que l’hypothèse de prime intégrée
de risque d’actions (PRA) est trop élevée. Dans notre
étude, nous avons toutefois utilisé une approche de
MCV économique aux fins de planification du revenu
de retraite.
Exemples numériques et cas
Le modèle que nous avons utilisé est décrit intégralement
à l’Annexe A de sorte que le lecteur puisse choisir ses
propres paramètres et calculer des valeurs optimales
en vertu de toutes les hypothèses. À l’aide de nos
équations, le lecteur peut obtenir très facilement des
valeurs au format Excel de Microsoft. Nous avons
choisi un ensemble (plausible) pour calculer les
principaux points de vue qualitatifs, qui sont plutôt peu
sensibles aux valeurs paramétriques.
Il convient de noter que nous avons utilisé la
terminologie suivante (quelque peu librement et
de façon interchangeable, selon le contexte) dans
l’ensemble de l’article : (1) Le taux de consommation
représente un montant annuel qui englobe les retraits
du portefeuille, de même que le revenu de retraite, et
il est calibré pour tenir compte de la valeur initiale
du portefeuille, 100 $. Le taux de consommation à la
retraite est synonyme de taux de dépenses à la retraite.
(2) Le taux de retrait du portefeuille (TRP) représente
le ratio annuel du montant retiré du portefeuille, divisé
par la valeur du portefeuille à ce moment. (3) Le TRP
initial est le ratio annuel du montant initial retiré du
portefeuille, divisé par la valeur initiale du portefeuille.
Nous vous rappelons que nous passons notre retraite
sur Vulcain, là où seule la durée de vie est aléatoire.
Notre approche nous a obligés à préciser un taux de
rendement réel (rajusté de l’inflation). Par conséquent,
après avoir examiné de près le rendement réel des
titres du Trésor à l’abri de l’inflation aux États-Unis
au cours des dix dernières années à partir des données
de la Réserve fédérale, nous avons constaté que le
rendement réel maximal au cours de la période à l’étude
a atteint 3,15 % pour les obligations à dix ans et
4,24 % pour les obligations à cinq ans. Le rendement
moyen était de 1,95 % et 1,50 % respectivement.
Les titres du Trésor à l’abri de l’inflation de plus longue
durée ont affiché de meilleurs rendements, mais ils
ont évidemment suscité un certain risque de duration.
Après de longues délibérations, nous avons décidé de
supposer un taux d’intérêt réel de 2,5 % pour la plupart
des exemples numériques, même si les taux réels des
titres du Trésor à l’abri de l’inflation (automne 2010)
étaient sensiblement inférieurs. Le lecteur peut coder
les formules à l’Annexe A (à l’aide de son estimation
préférée du rendement à l’abri du risque) pour obtenir
ses propres taux de dépenses rationnels. Nos valeurs
sont conformes à celle exprimée par Arnott (2004) au
sujet de l’avenir de la PRA moins élevée.
Pour ce qui est du risque de longévité, nous avons été
très prudents en matière de modélisation parce qu’il
s’agissait de l’objet de notre étude. Nous avons supposé
que l’espérance de vie des retraités est fonction d’une loi
biologique (unisexe) de la mortalité en vertu de laquelle
le taux de risque augmente de façon exponentielle au
fil des ans. Cette notion est connue comme l’hypothèse
de Gompertz dans la documentation actuarielle et nous
avons calibré ce modèle en fonction des tables de
mortalité du rentier moyen. (Une description exhaustive
de la loi de la mortalité figure à l’Annexe A.)
Dans la plupart des exemples numériques, nous
avons donc supposé une probabilité de 86,6 % qu’une
personne de 65 ans vivra jusqu’à l’âge de 75 ans, de
57,3 % qu’elle atteindra 85 ans, de 36,9 % qu’elle vivra
jusqu’à 90 ans, de 17,6 % qu’elle franchira le cap des
95 ans et de 5 % qu’elle atteindra 100 ans. Encore une
fois, il convient de noter que nous ne prévoyons pas
une espérance de vie ou une retraite spéciale de 30 ans.
Nous tenons plutôt compte de la structure totale de la
mortalité selon l’échéance.
Notre principal objectif consistait à nous concentrer
sur les effets de l’aversion pour le risque sur le TRP
optimal et tout particulièrement sur le TRP initial. Par
conséquent, nous affichons les résultats d’une gamme
Suite à la PAGE 32
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
31
de valeurs (p. ex. pour un retraité auquel est attribué un
coefficient d’aversion relative pour le risque (CARR)
très faible (γ= 1) et relativement élevé (γ= 8).
Pour favoriser une bonne compréhension de l’aversion
pour le risque de mortalité, nous proposons l’analogie
suivante avec les modèles classiques de répartition des
actifs. Un investisseur dont le CARR est (γ= 4) investirait
40 % de ses actifs dans un portefeuille d’actions et
60 % dans un portefeuille d’obligations, en supposant
une PRA de 5 % et une volatilité de 18 %. Cette analogie
provient du réputé
ratio de Merton.
Taux optimal (avant 100 $) en vertu de l’aversion moyenne
Notre
modèle
pour le risque (γ=4)
ne
comporte
pas
Taux d’intérêt réel
d’actifs à risque et
0,5 %
1,5 %
2,5 %
3,5 %
n’exige pas de PRA,
Retraite à 65
3,330 $
3,941 $
4,605 $
5,318 $
mais il convient
ans
de savoir que le
5 ans plus tard
3,286 $
3,888 $
4,544 $
5,247 $
CARR correspond
10 ans plus tard
3,212 $
3,801 $
4,442 $
5,130 $
à des attitudes
20 ans plus tard
2,898 $
3,429 $
4,007 $
4,627 $
mieux comprises
30 ans plus tard
2,156 $
2,552 $
2,982 $
3,444 $
en matière de
Notes : Le portefeuille initial (fonds de retraite) vaut 100 $ et il est investi aux taux indiqués.
Il existe une probabilité de survie jusqu’à l’âge de 100 ans de 5 %. Les paramètres de
risque. De même,
mortalité de Gompertz sont m = 89,335 et b = 9,5. Aucun revenu de retraite n’est présumé.
la très faible valeur
Toutes les dépenses de consommation proviennent du portefeuille de placement.
d’aversion pour
le risque (γ= 1), qui est souvent perçue comme la
spécification d’utilité de Bernoulli, se traduirait par une
répartition des actions de 150 %, et une valeur élevée
de l’aversion pour le risque (γ= 8) sous-entend une
répartition des actions de 20 % (arrondie à la tranche de
5 % la plus proche).
Enfin, pour compléter les valeurs paramétriques
nécessaires pour notre modèle, nous supposons que le
taux d’actualisation subjectif (TAS) (ρ), qui représente
une approximation de l’impatience personnelle,
équivaut au taux sans risque (la plupart du temps
2,5 % dans nos exemples numériques). Pour ceux
qui connaissent bien le MCV de base sans incertitude
quant à l’espérance de vie, cette hypothèse laisse à
4
32 |
DéCEMBrE 2011
entendre que les taux de consommation optimaux
seraient constants au fil du temps, abstraction faite des
facteurs de risque de longévité. Encore une fois, nous
utilisons toutes ces hypothèses pour mesurer l’impact
de l’aversion pure pour le risque de longévité.
Dans le langage de l’économie, lorsque le TAS d’un
MCV équivaut au taux d’intérêt constant et sans risque,
un consommateur rationnel utilise tout son capital
(humain et financier) de façon égale et en montants
égaux au fil du temps. En d’autres termes, dans un
modèle sans incertitude quant à la période, les taux de
consommation et les montants de dépenses sont, en
fait, constants quelle que soit l’élasticité de substitution
intertemporelle (ESI) du consommateur4.
Mais que se passe-t-il lorsque la durée de vie est
stochastique?
Examinons maintenant certains résultats. Supposons
un homme de 65 ans ayant un fonds de retraite
(uniforme) de 100 $. Au départ, nous ne prévoyons
aucune rente de retraite et, par conséquent, la totalité
de la consommation doit provenir du portefeuille de
placement qui produit un taux d’intérêt déterministe.
Sur Vulcain, le patrimoine financier doit être épuisé à la
toute fin du cycle de vie (disons à l’âge de 120 ans) et
il n’existe aucun motif de legs. Alors, selon l’équation
A5 (voit l’Annexe A), le taux de consommation optimal
à la retraite à 65 ans s’élève à 4,605 $ lorsque
le paramètre d’aversion pour le risque est établi à
(γ= 4) (voir le Tableau 1), et le taux de consommation
optimal est de l’ordre de 4,121 $ lorsque le paramètre
d’aversion pour le risque est fixé à (γ= 8).
Il convient de noter (peut-être de façon étonnante) que
ces taux respectent les fourchettes citées par la presse
au titre des taux de retrait (de dépenses) optimaux.
Par conséquent, à première vue, ces chiffres laissent à
entendre que les règles simples de 4 % sont conformes
à un MCV. Malheureusement, l’euphorie est de courte
our des renseignements détaillés sur les estimations des paramètres possibles pour l’ESI et leur effet sur la consommation
P
en vertu des modèles déterministes du cycle de vie, dans lesquels le TAS n’équivaut pas au taux d’intérêt, voir Hanna, Fan et
Chang (1995), et Andersen, Harrison, Lau et Rutstrom (2008).
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durée. Les chiffres coïncident (peuvent coïncider)
seulement au cours de la première année de retrait
(à 65 ans) et uniquement pour un nombre restreint
de coefficients d’aversion pour le risque (ce qui est
plus important, aucun revenu de retraite). À mesure
que les retraités vieillissent, de façon rationnelle ils
consomment moins à chaque année (en proportion
de leur probabilité de survie, rajustée en fonction de
l’aversion pour le risque). Par exemple, à notre niveau
intermédiaire de base d’aversion pour le risque (γ= 4),
le taux de consommation optimal chute et passe de
4,605 $ à 65 ans à 4,544 $ à 70 ans, puis à 4,442 $ à
75 ans, à 3,591 $ à 90 ans, et à 2,177 $ à 100 ans, en
supposant que le retraité soit encore vivant. Toutes ces
valeurs proviennent de l’équation A5.
Il convient de noter qu’un taux d’intérêt réel inférieur
(p. ex. 0,5 % au tableau 1) se traduit par un taux optimal
réduit de consommation/de dépenses à la retraite. En
effet, dans le contexte de la courbe de rendement et
des titres du Trésor à l’abri de l’inflation de l’automne
2010, notre modèle offrait un important message aux
baby-boomers : « il se pourrait que les régimes de
retraite de vos parents ne soient plus durables ».
Notre modèle nous enseigne une première leçon :
dans un régime entièrement rationnel, les retraités
dépensent moins au fil des années de retraite. Les
optimiseurs de cycle de vie (c.-à-d. les « lisseurs de la
consommation » sur Vulcain) dépensent davantage au
cours des premières années et réduisent leurs dépenses
à mesure qu’ils vieillissent, même si leur TAS équivaut
au taux d’intérêt réel au sein de l’économie.
De manière intuitive, ils composent avec le risque de
longévité en créant une réserve et en prévoyant de
réduire leur consommation (si ce risque se concrétise)
en proportion de leur probabilité de survie rajustée en
fonction de leur aversion pour le risque, sans aucun
revenu de retraite.
Comme l’a constaté Irving Fisher (1930) dans The
Theory of Interest,
[traduction ] La brièveté de la vie a donc fortement
tendance à rehausser le degré d’impatience ou
le taux de préférence chronologique au-delà des
valeurs habituelles…À un moment donné, qui n’a
pas vu son degré d’impatience fluctuer pour des
motifs liés au revenu?... Lorsqu’il vieillit un peu, il
prévoit sa mort et se dit : plutôt que d’accumuler
de l’argent pour un avenir incertain, pourquoi
n’en profiterais-je pas pour bien vivre pendant les
années qu’il me reste? (pp. 85, 90)
Inclusion des rentes de retraite.
Utilisons maintenant le même modèle pour voir ce
qui se produit
Tableau 2 – TRP initial à 65 ans avec revenu de retraite, en
lorsqu’un retraité
fonction de l’aversion pour le risque
a accès à un
Revenu de
γγ= 1
γγ= 2
γγ= 4
γ = 8
revenu de retraite retraite
à
prestations
6,330 %
5,301 %
4,605 %
4,121 %
=0$
déterminées (PD),
6,798%
5,653 %
4,873 %
4,324 %
=1$
qui produit un flux
monétaire garanti
7,162 %
5,924 %
5,078 %
4,480 %
=2$
à vie. Aux États8,015 %
6,553 %
5,551 %
4,839 %
=5$
Unis, la prestation
maximale
de Notes : Selon l’hypothèse de mortalité, il existe une probabilité de 5 % de survie jusqu’à
l’âge de 100 ans. Les paramètres de mortalité de Gompertz sont m = 89,335 et b = 9,5. Le
sécurité sociale, taux d’intérêt est de 2,5 %.
qui constitue la
véritable rente de retraite, s’élève à environ 25 000 $
par rentier. Examinons le comportement d’un retraité
possédant 100, 50 et 20 fois ce montant dans sa
caisse de retraite, c.-à-d. 2 500 000 $, 1 250 000 $ et
500 000 $ en actifs de retraite qu’il peut investir.
Par ailleurs, on peut constater que le Tableau 2 affiche
le régime optimal de quatre retraités différents, chacun
possédant son propre niveau d’aversion pour le risque
de longévité, et disposant d’un actif de retraite à investir
de 1 000 000 $. Le premier retraité n’a pas de rente
( = 0 $), le deuxième reçoit une rente annuelle de
10 000 $ ( = 1 $), le troisième touche une rente de
20 000 $ ( = 2 $), et le quatrième obtient une rente
annuelle de 50 000 $ ( = 5 $).
Le tableau 2 révèle que le TRP initial net (c.-à-d. le
montant optimal retiré du portefeuille de placement)
est fonction des valeurs d’aversion pour le risque et le
revenu de retraite antérieur. Ainsi, par exemple, lorsque
Suite à la PAGE 34
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
33
le retraité (γ = 4) (aversion moyenne pour le risque)
dispose d’un actif de 1 000 000 $ qu’il peut investir et
qu’il a droit à une rente viagère réelle de 50 000 $ qui,
dans notre exemple, est un fonds de retraite progressif
de 100 $ et d’une pension ( = 5 $), le taux optimal
de la consommation totale est de 10,551 $ la première
année. De ce montant, 5 $ vient évidemment de la
pension et 5,551 $ est retiré du portefeuille. Le TRP
initial est donc de 5,551 %.
Par contre, si le retraité dispose du même actif de
1 000 000 $, mais n’a droit qu’à une rente viagère réelle
de 10 000 $, le taux optimal de la consommation totale
est de 5,873 $ par tranche de 100 $ d’actif à 65 ans,
dont 1 $ provient de la pension et 4,873 $ est retiré du
portefeuille. Ainsi, le TRP initial est de 4,873 %. Tous
ces nombres sont obtenus directement de l’équation A5.
L’objet principal de notre étude peut se résumer en
une phrase : Le taux optimal de retrait du portefeuille
dépend de l’aversion pour le risque de longévité et
du niveau du revenu de pension antérieur. Le taux
de consommation optimal et le TRP sont fonction du
montant du revenu de pension antérieur.
La pension fait principalement fonction de tampon et
permet au retraité de consommer davantage de son
patrimoine discrétionnaire. Même à des niveaux élevés
d’aversion pour le risque de longévité, les retraités ne
semblent pas trop « préoccupés » par le risque d’une
longue vie parce qu’ils peuvent compter sur un revenu
de retraite si cette éventualité (longue vie) se concrétise.
À notre avis, ce point de vue est absent de la majeure
partie de la discussion dans les médias populaires (et de
la mise en œuvre par les praticiens) au sujet des taux
de dépenses optimaux. Si une éventuelle cliente touche
un revenu important d’un régime à PD ou de sécurité
sociale, elle peut se permettre de faire des retraits plus
substantiels (en pourcentage) que son voisin, qui s’en
remet entièrement à son portefeuille de placement pour
financer ses besoins en revenu de retraite.
Le tableau 2 confirme un certain nombre d’autres
résultats importants. Il convient de noter que le TRP
optimal (pour une fourchette de niveaux d’aversion
pour le risque et de revenu de retraite) se situe entre
8 % et 4 %, mais seulement lorsque le taux d’intérêt
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DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
rajusté de l’inflation est présumé plutôt généreux, à
2,5 %. L’ajout de 100 points de base (pb) à l’hypothèse
de rendement des placements relève de 60 à 80 pb le
TRP initial. La réduction de l’hypothèse d’intérêt aura
toutefois l’effet contraire. Le lecteur peut ajouter ses
propres hypothèses à l’équation A5 pour obtenir des
taux de consommation/de dépenses convenables.
L’impact de l’aversion pour le risque de longévité
peut être décrit d’une autre façon. Si la durée de vie
résiduelle a une valeur modale (m = 89,335) et une
valeur de dispersion (volatilité) de (b = 9,5), alors le
consommateur qui a peur du risque de longévité se
comporte (consomme) comme si la valeur modale était
[m* = m + bln(γ)], mais le paramètre de dispersion b
demeure le même.
L’aversion pour le risque de longévité se manifeste
(essentiellement) en supposant que les retraités vivront
plus longtemps que ne le laisse croire l’estimation
biologique/médicale. Seuls les retraités montrant une
tolérance extrême au risque (γ= 1) se comportent comme
si leur durée de vie modale était la véritable valeur modale
(biologique). Il convient de noter que ce comportement
n’est pas neutre au plan du risque, ce qui supposerait que
le risque de longévité n’est pas pris en compte.
Dans les ouvrages sur la répartition des actifs, l’analogie
la plus proche de ces taux de mortalité rajustés en
fonction des risques réside dans le rendement des
placements rajustés en fonction des risques. Un
investisseur réfractaire au risque constate un rendement
attendu de 10 % du portefeuille et le rajuste à la baisse
pour tenir compte de la volatilité du rendement et de
son aversion pour le risque. Si le rendement rajusté
(subjectivement) du placement est inférieur au taux sans
risque, l’investisseur évite l’actif à risque. Évidemment,
cette analogie n’est pas tout à fait correcte parce que
les retraités ne peuvent éviter le risque de longévité,
mais l’esprit est le même. La probabilité de longévité
qu’ils voient ne correspond pas à la probabilité qu’ils
ressentent.
Encore une fois, une importante conclusion a trait à
l’effet des rentes sur la consommation à la retraite.
Même si notre étude n’avait pas pour but de défendre
les rentes de retraite ou d’examiner le marché de la
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protection contre la longévité (déjà atteint dans un
récent ouvrage de Sheshinski (2008), de même que dans
l’excellente série d’études de Brown, Mitchell, Poterba
et Warshawsky (2001)), nous présentons une autre
façon d’utiliser les équations A5 et A6.
Le Tableau 3 fait part du taux de consommation optimal
à divers âges, en supposant qu’un pourcentage fixe du
fonds de retraite sert à acheter une rente de retraite
(« personnalisée »). Le coût de chaque dollar de revenu
viager est indiqué à l’équation A2, qui est l’expression
du facteur de la rente de retraite. Alors, si 30 % de 100 $
est affecté à la rente de retraite, la valeur correspondante
de F0 est 70 $ et le revenu de la rente qui en découle est
Nous faisons remarquer que la fixation du prix des
rentes (revenu) de retraite par des sociétés d’assurance
privées comprend habituellement des taux de mortalité
qui diffèrent des taux démographiques selon les
préoccupations relatives à l’antisélection. Ce facteur
pourrait facilement être intégré en utilisant différents
paramètres de mortalité, mais nous recourrons à la
simplicité pour illustrer l’impact du revenu viager sur
les taux optimaux de dépenses totales.
Les résultats sont valables pour une personne qui prend
sa retraite à 65 ans et une consommation prévue 15 ans
plus tard (en supposant que le retraité est encore en
vie), à 80 ans. Nous produirons une série de scénarios
en vertu desquels 0 %, 20 %, 40 %, 60 % ou 100 % du
patrimoine initial fait l’objet d’une rente, c.-à-d. qu’une
rente non réversible (dont le coût est établi à l’aide de
l’équation A2) est achetée en fonction du taux courant
sur le marché5.
Le tableau 3 révèle les taux de consommation totale en
dollars, y compris le revenu correspondant sous forme
5
Tableau 3 – Impact de la transformation en pension sur les taux
de consommation à la retraite
Pourcent :
Portefeuille
initial et rente
Aversion faible pour le
risque de longévité
γ= 2,0
Aversion moyenne pour le
γ= 4,0
Aversion élevée pour le
γ= 2,0
Consomme
à 65 ans
Consomme
à 80 ans
Consomme
à 65 ans
Consomme
à 80 ans
Consomme
à 65 ans
Consomme
à 80 ans
0%:
F0 = 100 $
π0 = 0,000 $
5,3014 $
4,5696 $
4,6051 $
4,2755 $
4,1187 $
3,9684 $
20 % :
F0 = 80 $
π0 = 1,2661 $
5,9193 $
5,1021 $
5,2637 $
4,8869 $
4,8013 $
4,6263 $
6,3760 $
5,4958 $
5,7963 $
5,3815 $
5,3858 $
5,1893 $
60 % :
F0 = 40 $
π0 = 3,7982 $
6,7040 $
5,7784 $
6,2292 $
5,7833 $
5,8921 $
5,6774 $
80 % :
F0 = 20 $
π0 = 5,0643 $
6,8631 $
5,9156 $
6,5328 $
6,0651 $
6,2983 $
6,0687 $
100 % :
F0 = 0 $
π0 = 6,3303 $
6,3303 $
6,3303 $
6,3303 $
6,3303 $
6,3303 $
6,3303 $
40 % :
F0 = 60 $
π0 = 2,5321 $
Notes : On suppose un taux d’actualisation subjectif (ρ) égal au taux d’intérêt (r) de 2,5 %, et le facteur
de rente de retraite de 15,7971 $ à 65 ans, en vertu de la mortalité selon Gompertz avec paramètres
(m = 89,335, b = 9,5), tronqué à 122 ans. Tous les chiffres sont arrondis à la quatrième décimale.
de rente de retraite. Ces taux ne sont pas (seulement) les
TRP déclarés en pourcentage au tableau 2. Par exemple,
si le retraité a une aversion moyenne pour le risque et
verse 20 $ (au titre des 100 $ disponibles) pour acheter
une rente de retraite dont le rendement est de 1,261 $ à
vie, sa consommation optimale sera 1,261 $ + 3,997 $
= 5,258 $ à 65 ans. Il convient de noter que les 3,997 $
Suite à la PAGE 36
ette rente diffère sensiblement d’une rente tontine de Yaari (1965), au titre de laquelle les crédits de mortalité sont payés
C
instantanément en ajoutant le risque de mortalité λt, au rendement des placements r. Nous utilisons donc l’expression
« transformation en pension » pour établir une distinction avec l’expression « transformation en rente » utilisée par les
économistes. Cette dernière expression suppose un bassin dans lequel les survivants héritent des actifs des personnes
décédées, tandis qu’en vertu de l’autre expression, une société d’assurance ou une caisse de retraite garantit les paiements
viagers. On trouvera dans Huang, Milevsky et Salisbury (2010) une discussion sur la distinction entre les deux expressions et leur
effet sur la planification optimale de la retraite à l’intérieur d’un modèle de mortalité stochastique ou déterministe.
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
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35
retirés du solde du portefeuille de 80 $ correspondent au
TRP initial de 4,996 %.
Par contre, le retraité qui a une aversion marquée pour
le risque de longévité (γ= 8) recevra le même montant,
1,261 $ des 20 $ transformés en pension, mais de façon
optimale, il ne dépensera que 3,535 $ du portefeuille
(un taux de retrait de 4,419 %), pour un taux de
consommation total 4,801 $ à 65 ans.
Taux optimal de consommation : Revenu de retraite de 5 $ au taux
d'investissement de 2,5 %
Figure #1
$14.00
CRRA = 1, Spend 8.01% @65
$13.00
CRRA = 2, Spend 6.55% @65
$12.00
CRRA = 4, Spend 5.55% @65
$11.00
CRRA = 8, Spend 4.84% @65
Si le fonds de retraite intégral est transformé en pension
à 65 ans, pour un revenu viager de 6,3303 $, le taux
de consommation est constant pour la vie et il est
indépendant de l’aversion pour le risque, parce qu’il n’y
a pas de capital financier sur lequel grever le revenu. Cet
exemple constitue une autre façon d’illustrer l’avantage
de la conversion du patrimoine financier en un revenu de
retraite. Le montant de consommation annuelle de 6,3303 $
est le plus élevé de tous les régimes de consommation.
Par conséquent, la plupart des économistes financiers
appuient vivement la transformation d’une partie du
fonds de retraite en pension (ou du moins en rente).
Visualiser les résultats. La figure 1 montre le
cheminement de la consommation optimale à partir du
départ à la retraite jusqu’à la durée de vie maximale
en fonction du niveau d’aversion d’un retraité pour le
risque de longévité (γ dans notre modèle). Cette figure
donne une autre perspective de l’approche rationnelle et
de l’attitude à l’égard de la gestion de l’aversion pour
le risque de longévité. Elle se fonde sur l’équation A5
pour tracer intégralement le cheminement de la
consommation, à partir du départ à la retraite à 65 ans,
jusqu’à 100 ans.
$10.00
$9.00
$8.00
$7.00
$6.00
$5.00
$4.00
65
Figure #2
$100.00
68
70
73
75
78
80
83
85
88
90
93
95
98
100
Trajectoire optimale du capital financier : Revenu de retraite de 5 $ et
taux d'investissement de 2,5 %
CRRA = 1, WDT = 24.6 years
$90.00
$80.00
$70.00
$60.00
$50.00
$40.00
$30.00
$20.00
$10.00
$65
68
70
6
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75
78
80
83
85
88
90
93
95
98
100
Il convient de noter que le taux de consommation
optimal diminue avec l’âge et selon l’attitude du retraité
au regard du risque de longévité mesuré par le CARR.
La figure 1 présente quatre cas qui correspondent à
divers niveaux du CARR. On remarquera que le taux de
consommation atteint éventuellement 5 $ à un certain
point, qui correspond au revenu de retraite. Par exemple,
le consommateur dont le CARR est 2 (c.-à-d. une très
faible aversion pour le risque de longévité) amorcera sa
retraite en retirant 6,55 % de son fonds de retraite en
plus de son revenu de retraite de 5 $. Les retraits du
portefeuille se poursuivront jusqu’à ce que le retraité
épuise son patrimoine de façon rationnelle à 95 ans. Une
fois son patrimoine épuisé, le retraité ne consommera
que sa pension de retraite6.
L a fonction de consommation est concave jusqu’à l’épuisement du patrimoine, après quoi elle devient non différentiable et elle
correspond au revenu de la rente.
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La figure 2 montre la trajectoire correspondante du
capital financier. À tous les niveaux d’aversion pour
le risque de longévité, la courbe débute à 100 $, puis
diminue. Le taux de diminution est plus élevé et plus
rapide pour les faibles niveaux d’aversion pour le
risque de longévité parce que le retraité ne craint pas de
vivre à un âge avancé. Il épuisera son patrimoine après
24,6 ans (à 90 ans), après quoi il vivra de sa pension
de retraite (5 $).
Par contre, le retraité qui affiche une aversion pour le
risque de longévité (CARR = 8) n’épuise pas (pas plus
qu’il ne le prévoit) son patrimoine avant l’âge de 105 ans
et il le consomme beaucoup plus lentement. En l’absence
de revenu de rente de retraite, la date d’épuisement du
patrimoine (DEP) correspond exactement à la fin de
la période terminale, c.-à-d. l’âge le plus lointain de la
table de mortalité. En d’autres termes, le patrimoine
n’est jamais complètement épuisé. Ce résultat figure
aussi à l’équation A8, aux termes de laquelle la seule
façon d’obtenir zéro (à droite) consiste à utiliser une
probabilité de survie de zéro, ce qui peut se produire
uniquement si équivaut à la durée de vie maximale.
Réagir aux chocs financiers. À l’aide de notre méthode,
nous pouvons examiner la réaction optimale aux chocs
financiers pendant toute la retraite. Supposons une
personne dont le portefeuille de placement subit une
perte de 30 % et qui souhaite réduire ses dépenses de
façon rationnelle pour tenir compte de l’épuisement de
son fonds de retraite. La règle générale qui veut que les
retraités dépensent 4 % à 5 % est muette au sujet de sa
mise à jour à la suite d’un choc pour le patrimoine.
La réaction rationnelle à un choc financier au moment s,
qui entraîne une nouvelle valeur (réduite) de portefeuille,
consisterait à appliquer les étapes suivantes :
1. À l’aide de l’équation A8, recalibrer le modèle à
partir du moment zéro, mais avec le niveau de choc
du patrimoine, et calculer la nouvelle DEP.
2. Utiliser l’équation A7 pour calculer le nouveau
niveau de consommation initiale, qui différera de
l’ancien en raison du choc financier.
3. Maintenir la consommation à la retraite à partir du
moment s en se fondant sur l’équation A5.
Pour comprendre le mode de fonctionnement de cette
approche dans la pratique, commençons par un retraité
(dont le CARR = 4) qui possède 100 $ à investir et
qui a droit à un revenu de retraite viager de 2 $. Si le
taux d’intérêt réel est r = 2,5 %, la politique optimale
consiste à consommer un total de 7,078 $ à 65 ans
(2 $ de pension et 5,078 $ du portefeuille) et à rajuster
les retraits à la baisse dans le temps, en proportion de
la probabilité de survie à la puissance du coefficient
d’aversion pour le risque. Le patrimoine sera épuisé au
105e anniversaire.
En vertu de cette politique dynamique, il est prévu
qu’à 70 ans, la trajectoire du capital financier sera de
86,668 $ et que la consommation totale atteindra
6,984 $ si le retraité suit le chemin de la consommation
optimale au cours des cinq années suivantes.
Supposons maintenant que le retraité survit pendant
ces cinq années et qu’il subit un choc financier
qui fait passer la valeur de son portefeuille des
86,668 $ prévus à 60 $ à 70 ans, pour une baisse de
31 % par rapport au rendement prévu. Dans ce cas, la
solution optimale consiste à réduire la consommation à
5,583 $; cette valeur est obtenue en résolvant le
Suite à la PAGE 38
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
37
Évidemment, ce scénario est un peu boiteux pour les
motifs suivants : (1) notre modèle n’accepte pas les
chocs et (2) le plan de consommation au point zéro
repose sur une probabilité conditionnelle de survie qui
pourrait changer selon l’état de santé. Le problème
que pose la différence entre les taux de rendement
stochastiques et les taux de risque de mortalité dépasse
le mandat de la présente étude.
Bref, la réaction rationnelle à une baisse de x %
du portefeuille de retraite ne consiste pas à réduire
la consommation et les dépenses dans une même
proportion. Le lissage de la consommation dans le
MCV vise à amortir les gains et pertes imprévus
pendant le reste du cycle de vie et de les rajuster pour
tenir compte des probabilités de survie.
RÉSUMÉ
Pour un économiste financier, le taux de consommation
optimal à la retraite, la répartition des actifs
(placements) et la répartition des produits (assurance)
représentent une fonction compliquée des attentes en
matière de mortalité, des prévisions économiques et
du compromis entre la préférence pour la viabilité de
la retraite et la volonté de laisser un héritage financier
(motif de legs). Bien que ce problème ne soit pas
facile à régler, même en vertu d’hypothèses très
simplificatrices, le compromis qualitatif peut être illustré
(voir la figure 3).
Les retraités peuvent se permettre de dépenser
davantage s’ils sont disposés à laisser un héritage
financier moindre et à courir le risque d’un épuisement
hâtif de leur patrimoine. Ils devraient dépenser moins
s’ils souhaitent léguer un patrimoine plus important et
en accroître la viabilité. L’optimisation des placements
et de l’assurance se produit sur ce plan du revenu de
retraite. Donc, une règle simple qui avise les retraités
de dépenser un pourcentage x de leur fonds de retraite,
rajusté à la hausse ou à la baisse d’une certaine manière
spéciale, peut être comparée à une horloge défectueuse
qui indique l’heure juste seulement deux fois par jour.
38 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
Figure 3. Compromis économiques à la retraite :
Actions
Obligations
Pensions
Héritage financier
problème au départ, mais en commençant à 70 ans. Ce
résultat représente une réduction d’environ 20 % par
rapport au plan original.
Viabilité de la retraite
Nous ne sommes pas les premier auteurs (et
certainement pas les derniers) à critiquer l’approche
« dépenser x % » en matière de planification du revenu
de retraite. Par exemple, comme l’ont fait remarquer
Scott, Sharpe et Watson (2008),
[traduction] La règle de 4 % et ses variantes
financent un plan de dépenses constant et non volatil
comportant une stratégie de placements risqués et
volatils. Deux des éléments d’inefficience de la
règle (le prix payé pour financer les excédents non
utilisés et les paiements en trop pour la distribution
des dépenses) s’appliquent à tous les retraités,
quelles que soient leurs préférences. (p. 18)
Même si nous sommes évidemment d’accord,
notre étude avait pour but d’illustrer les résultats
du modèle de cycle de vie au plan des taux
de consommation optimaux. Nous voulions
confronter des recommandations spéciales et des
« conseils » qu’un économiste financier pourrait fournir
à un consommateur qui optimise l’utilisation, déterminer
si les deux approches présentent un chevauchement et
préciser dans quelle mesure elles sont différentes. Plus
particulièrement, nous avons insisté sur l’aversion pour
le risque de longévité (l’incertitude au sujet de la durée
de vie humaine) et nous avons examiné dans quelle
mesure cette aversion influe sur les taux de dépenses
optimaux7.
Au plan des calculs, nous avons résolu un MCV
analytique calibré selon les taux actuariels de mortalité
(voir l’Annexe A). Quiconque possède Excel peut avoir
facilement accès à notre modèle. Voici nos principales
constatations :
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ONd’ Se sCO
1. Le TRP initial optimal qui, selon les « ouvrages
de planification », devrait constituer seulement
un pourcentage exogène du fonds de retraite d’un
retraité dépend essentiellement de l’aversion du
consommateur (où le risque porte sur la longévité
et non seulement sur les marchés financiers) et
du revenu de retraite antérieur. Par exemple, si le
rendement annuel présumé de l’investissement réel
est de 2,5 %, le TRP initial optimal peut osciller
entre 3 % pour les retraités très réticents à l’égard
du risque et 7 % pour ceux qui le sont moins. La
même approche s’applique à tous les revenus de
retraite sous forme de rente. Toutes autres choses
étant par ailleurs égales, l’ampleur du TRP initial
est fonction du revenu de retraite antérieur.
Évidemment, si on suppose un retraité en meilleure
santé et(ou) des rendements indexés inférieurs, le
TRP initial optimal est inférieur.
*
2. Le taux de consommation optimal ( ct ) (somme
totale utilisée par le retraité au cours d’une année,
y compris tous ses revenus de retraite) est une
fonction régressive de l’âge. En d’autres termes, les
retraités (sur Vulcain) devraient consommer moins
à des âges plus avancés. Ce taux de consommation
pour le patrimoine discrétionnaire est proportionnel
à la probabilité de survie
et il est fonction
de l’aversion pour le risque, même lorsque le
taux subjectif des préférences chronologiques
équivaut au taux d’intérêt. Le consommateur
rationnel (qui planifie à 65 ans) est disposé à
sacrifier une partie de son revenu à 100 ans en
échange d’un revenu supérieur à 80 ans. Exprimé
de manière différente, en accordant à l’âge de
100 ans le même facteur de préférence qu’à l’âge
de 80 ans s’explique dans un MCV seulement si
le TAS
est une fonction chronologique qui
neutralise exactement la probabilité de survie
régressive. Il est très peu réaliste que des gens
partagent de telles préférences.
3. L’interaction entre l’aversion pour le risque (de
longévité) et la probabilité de survie est très
importante. Plus particulièrement, l’aversion pour
le risque a tendance à accroître la probabilité réelle
de survie. Supposons donc deux retraités possédant
le même patrimoine initial de retraite et le même
revenu de retraite (et le même TAS), mais des
niveaux différents d’aversion pour le risque (γ).
Le retraité le plus réfractaire au risque se comporte
comme si la valeur modale de sa vie était supérieure.
Plus précisément, il se comporte comme si cette
valeur était majorée d’un montant proportionnel à
ln(γ) et il dépense moins, en prévision d’une vie
plus longue. Les observateurs ne sauront jamais si
ce retraité est réfractaire au risque de longévité ou
s’il s’estime simplement plus en santé que le reste
de la population.
4. La trajectoire optimale du capital financier
s’abaisse également avec l’âge. En outre, pour les
retraités qui avaient déjà un revenu de retraite, il est
rationnel que les dépenses réduisent le patrimoine
à un âge avancé et que, par la suite, la subsistance
soit exclusivement assurée par le revenu de retraite.
L’épuisement du patrimoine peut se produire à
90 ans (ou même à 80 ans si le revenu de retraite
est suffisamment élevé). Une aversion accrue pour
le risque (de longévité), qui est associée à une
consommation réduite, exige davantage de capital
à tous les âges. La planification visant à repousser
l’épuisement du patrimoine à un âge avancé n’est
ni mauvaise ni irrationnelle8.
5. La réaction rationnelle à l’égard des chocs
(c.-à-d. des pertes) frappant le portefeuille est non
linéaire et elle dépend du moment où se produit
le choc, de même que de l’ampleur du revenu de
retraite antérieur. On ne réduit pas les retraits du
portefeuille du montant exact d’un choc financier
à moins que l’aversion pour le risque, connue
Suite à la PAGE 40
Ironiquement, une règle d’or qui pourrait remplacer l’algorithme statique de la règle de 4 % consisterait à conseiller aux
retraités de choisir un taux de dépenses initial entre 2 % et 5 %, mais de réduire à chaque année le montant réel de dépenses
de la proportion de leurs amis et connaissances qui sont décédés. Cette approche correspondrait approximativement à la
baisse optimale fondée sur les taux de survie anticipés.
8
On pourrait donc affirmer qu’il y a des clochardes sur Vulcain.
7
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
39
sous l’appellation « utilité de Bernoulli » soit
(γ= 1). Par exemple, si le portefeuille subit une perte
imprévue de 30 %, le retraité pourrait ne réduire sa
consommation que de 20 points de pourcentage.
6. La conversion d’une partie du fonds de retraite
initial en revenu viager accroît la consommation
à tous âges, quel que soit le coût de la rente de
retraite. Même lorsque les taux d’intérêt sont
faibles et que le coût d’un revenu viager de 1 $ est
(relativement) élevé, l’effet net de la transformation
en pension accroît la consommation. Il convient
de noter que nous faisons preuve de prudence
pour établir une distinction entre les rentes
réelles (au titre desquelles l’acheteur verse une
somme non remboursable en échange d’une rente
réelle constante) et les rentes tontine, qui sont le
fondement de la plupart des modèles économiques,
mais ne sont pas disponibles sur le marché.
7. Même s’il n’est pas apparent dans les exemples
numériques, un résultat qui découle de notre
analyse est contraire à l’intuition et peut même
être porteur de controverse. L’emprunt garanti
par le revenu de retraite pourrait être optimal aux
âges avancés. Pour les retraités qui disposent d’un
revenu de retraite (PD) antérieur relativement
important, il est sensé de consommer de façon
hâtive et de toucher une rente pendant qu’ils en
sont encore capables. Ce cheminement devient
plus optimal à mesure que régresse l’aversion pour
le risque de longévité.
Pour calculer une expression d’analyse simple (décrite
aux équations A1 à A8), nous avons dû supposer un
rendement de placement déterministe. Même si nous
avons supposé un rendement sûr et prudent pour la
plupart de nos exemples numériques, nous avons
essentiellement négligé les 50 dernières années de
théorie de modélisation d’un portefeuille. Rappelezvous toutefois que notre but consistait à faire la lumière
sur les règles d’or souvent citées et sur leur rapport
avec le risque de longévité, plutôt que de construire un
modèle d’optimisation dynamique à grande échelle.
Conclusion : De retour sur Terre
Dans quelle mesure un modèle stochastique intégral
(pouvant s’accompagner de chocs pour la santé et les
40 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
dépenses qui y sont rattachées) peut-il modifier des
politiques de consommation optimale? En supposant
qu’il accepte un modèle et des paramètres raisonnables
pour le rendement à long terme du portefeuille, le
retraité réfractaire au risque s’exposerait au risque
d’un choc (hâtif) négatif et il prévoirait le risque en
réduisant sa consommation. Placé devant un menu
complet d’actifs de placement et de produits, le retraité
serait toutefois libre d’optimiser sa consommation
en se concentrant sur des rentes et d’autres produits
protégés de la détérioration, en plus d’une assurance à
long terme et d’autres produits de retraite. En d’autres
termes, même la formulation du problème proprement
dit devient beaucoup plus complexe.
Ce qui compte davantage, c’est que la répartition
optimale dépend de la préférence du retraité pour la
consommation personnelle par rapport au legs, comme
le démontre la figure 3. Une répartition des actifs et
des produits qui convient à un consommateur sans
motif de legs ou de patrimoine (ceux qui occupent la
partie inférieure gauche de la figure) est très différente
du portefeuille optimal pour une personne qui montre
une forte préférence pour le patrimoine. Dans notre
étude, nous avons supposé que le retraité a pour objectif
d’optimiser l’utilité de sa consommation de son vivant
sans tenir compte de la valeur du legs ou du patrimoine.
Même si certains ont soutenu qu’il est nécessaire
de fournir une explication comportementale pour
rationaliser la recherche d’un modèle de consommation
constante à la retraite, nous remarquons qu’une très
forte aversion pour le risque de longévité entraîne des
taux de dépense relativement élevés et qu’elle pourrait
« expliquer » ces règles fixes. Autrement dit, nous
n’avons pas besoin d’un modèle comportemental pour
justifier des dépenses constantes de 4 %. L’aversion
extrême pour le risque s’en charge très bien.
Cela dit, nous estimons que notre étude a également
permis de constater que les conseils suivants offerts aux
retraités seraient incohérents à l’interne : « il se peut
que vous viviez longtemps, vous devez donc posséder
un capital-actions imposant ». La première partie de
cette phrase sous-entend l’aversion pour le risque de
longévité, tandis que la seconde ne convient qu’aux
retraités qui tolèrent le risque. Le risque est le risque.
try Association conference in Chicago, seminar particit x
is defined and computed b
pants at Georgia State University, and participants at the
QMF2010 conference in Sydney—for helpful comments.
T
T − vs
aCO
m
,q
b )u
=Re
RÉactio
n
àR
l’S Ég
a Srd
sNE
C to
H our
AI
PE R
ONd’ Se s
∫0 se ( s p
x (rv,iR
We also offer a special acknowledgment
colleagues
at York University—Pauline Shum, Tom Salisbury, Nabil
which is the retirement age
Tahani, Chris Robinson, and David Promislow—for helpconstant discount rate v—o
ful discussions during the many years of this research
sion annuity that pays a re
program. Finally, we thank Alexandra Macqueen and
or time T, whichever come
Faisal Habib at the QWeMA Group (Toronto) for assisnot include a mortality risk
tance with editing and analytics.
spective of the insurance co
model, one could include i
rate toward a longer life.
A closed-form represe
is possible in terms of the in
The value function in the LCM during retirement
tion (A,B), which is availa
deyears
la retraite
revenu du
travailassuming
est nul, en no
ne
whenlorsque
labor leincome
is zero,
⎡
bequest motive,
can de
be legs,
written
follows: ainsi :
supposant
aucun motif
peutass’exprimer
bΓ −vb, ex
Appendix A. Life-Cycle Model
in Retirement
Pour préciser ce genre de déclaration, nous nous
concentrons sur une étude de suivi dans laquelle nous
calculons le taux optimal de retrait du portefeuille pour
les rentes de retraite et les rentes tontine dans un contexte
de marché de capital robuste à la Richard (1975) et
Merton (1971), mais d’après un modèle qui brise le
lien réciproque entre l’élasticité de la substitution
intertemporelle et l’aversion pour le risque en général.
Une autre possibilité de recherche prometteuse
consisterait à tenter de déterminer le meilleur moment
pour partir à la retraite dans le contexte d’un MCV fondé
uniquement sur la mortalité, ce qui nous ramènerait bien
plus loin dans le passé que ce que nous proposent les
documents actuels9.
Une chose semble claire. L’aversion pour le risque de
longévité et les rentes de retraite demeurent des facteurs
très importants à prendre en compte lorsqu’on donne des
conseils sur les taux optimaux de retrait du portefeuille.
Il s’agit du principal message de notre étude, un message
qui ne change pas ici, sur la planète Terre.
Nous tenons à remercier Zvi Bodie, Larry Kotlikoff,
Peng Chen, François Gaddene, Mike Zwecher, David
Macchia, Barry Nalebuff, Glenn Harrison, Sherman
Hanna et Bill Bengen, de même que les participants à
la conférence de 2010 de la Retirement Income Industry
Association, à Chicago, les participants au colloque
à Georgia State University, et les participants à la
conférence QMF2010, à Sydney, pour leur observations
utiles. Un merci bien spécial à nos collègues de la
York University (Pauline Shum, Tom Salisbury, Nabil
Tahani, Chris Robinson et David Promislow) pour
leurs discussions utiles pendant toutes les années où
ils ont participé à ce programme de recherche. Nous
remercions Alexandra Macqueen et Faisal Habib, du
groupe QWeMA (Toronto) pour leur aide à la révision
et à l’analyse.
max c V ( c ) = ∫0D e−ρt ( t p x ) u ( ct )dt ,
(A1)
oùwhere
x du
= the
age of
the retiree
when
the consumpx = l’âge
retraité
lorsque
le plan
de consommation/
tion/spending
plan
formulated (e.g.,
dépense est établi
(p. ex. 60 ou
65 is
ans)
60 or 65)
= the maximum
years(la
in
D = D
le nombre
maximal possible
d’annéeslifedespan
retraite
retirement
(the upperde
bound
of the
limite supérieure
de l’intégration
l’utilité,
quiutilse
ity integration, which is currently 122 on
situe actuellement à 122, d’après l’âge le plus élevé
the basis of the world’s longest-lived
qu’ait atteintperson,
une personne
dans le monde, soit Jeanne
Jeanne Calment, who died in
Calment, décédée
en
France
France in 1997)en 1997)
 = the SDR, or personal time preference
ρ= le TAS, ou
préférence
personnelle
de temps
(dont to
la
(which
ranges
in value from
0 percent
valeur oscilleasentre
0
%
et
20
%
dans
certaines
études
high as 20 percent in some empirical
empiriques) studies)
tpx = the conditional probability of survival
tpx = la probabilité
conditionnelle
à partir
de
from retirement
age xdetosurvie
age x +
t, which
l’âge de la retraite
x àonl’âge
x + t, quimortality
repose sur
une
is based
an actuarial
table
table de
actuarielle
Wemortalité
parameterize
(tpx) on the basis of the Gompertz law of mortality, under which the biological
(x – m +lat)/b
hazard
rate is t = (1/b)e
grows
Nous
paramétrisons
(tpx) selon
loi, which
de mortalité
with
age—m
denoteslethe
modal
value
deexponentially
Gompertz, en
vertu
de laquelle
taux
de risque
(x – mb+ denotes
t)/b
of life (e.g.,
theavec
dispersion
biologique
est80
λt years),
= (1/b)eand
(et croît
l’âge),
10 years)
of de
thelafuture
ranmcoefficient
représente (e.g.,
la valeur
modale
vie (p.lifetime
ex. 80 ans),
Both de
numbers
are (p.
calibrated
to U.S.
etdom
b estvariable.
le coefficient
dispersion
ex. dix ans)
de
tables to fit advanced-age survival rates.
lamortality
variable aléatoire
de la vie future. Ces deux nombres
In our study, we assumed that the utility funcsont calibrés selon les tables de mortalité des Étatstion of consumption exhibits constant elasticity of
Unis pour correspondre aux taux de survie à des âges
intertemporal substitution, which is synonymous
avancés.
with (and the reciprocal of) constant relative risk
aversion (RRA) under conditions of perfect certainty
Dans
notre étude, nous
avonsThe
supposé
la fonction
and time-separable
utility.
exact que
specification
is
d’utilité de la consommation affiche une élasticité
constante de la substitution intertemporelle, synonyme
March/April 2011
(et la réciproque de) de l’aversion constante pour
le risque relatif (ARR) en vertu des conditions de
certitude parfaite et d’utilité séparable dans le temps.
La spécification exacte est u(c) = c1– γ/(1–γ), où γ est
⎣⎢
aTx ( v, m, b ) =
exp
⎡( m − x ) v
⎢⎣
⎡
⎣⎢
bΓ − vb, ex
−
exp
⎡( m − x )
⎢⎣
See Milevsky (2006, p.
how to code the gamma
Excel.
The wealth trajectory (
retirement) is denoted by F
straint in our model—linke
tion in Equation A1—can
follows:
Ft = v ( t , Ft ) Ft − ct + π0 ,
where the dot is shorthand n
of wealth (financial capital)
denotes the income (in real
existing pension annuities,
plying wealth itself is defin
Ft ≥
⎧ r,
v ( t , Ft ) = ⎨
R
+
λ
,
Ft <
t
⎩
where R  r. The discont
denotes the interest rate o
allows Ft to be negative. Fo
unsecured lines of credit, v
rower pays R plus the ins
lender in the event of the b
Annexe A. Le modèle du cycle de
vie à la retraite
La fonction de la valeur du MCV pendant les années
9
Suite à la PAGE 42
Pour un exemple de cette documentation en plein essor, voir Stock et Wise (1990).
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
41
⎜
⎟ ⎥ can
60We
or thank
65) Zvi Bodie, Larry Kotlikoff, Peng Chen, François
(longevity)
aversion,
take on values
Spending
Retirement
Planet
bonwhich
⎣⎢ risk
⎝
⎠ ⎦ Vulcan
.
− Bernoulli ( = 1) up to infinity.
from
D = the
maximum
possible
life
span
years
in
Gaddene, Mike Zwecher, David Macchia, Barry Nalebuff,
⎛ x − m ⎞ ⎤ function, denoted
⎡(actuarial
Spending
Retirement
on
Vulcan
The
retirement
(the upper
bound
of the
exp
m − is
x )the
v −present
exp ⎜ value
u(c) = c1 – /(1 – ),
where
coefficient
of⎟ relative
Glenn
Hanna,
andutilBillPlanet
Bengen—as
R É a c t i o n à l’ Ég a rd d
e s Harrison,
r i s q uSherman
es
⎢
T
b on
⎝ take
⎠ ⎥⎦ values
⎣
by aaversion,
implicitly
on the survival
ity integration,
which
is currently
122 onIncome (longevity)
, depends
as participants
at the
2010
Retirement
Indusrisk
can
x ( v, m, b )which
We thank Zviwell
Bodie,
Larry
Kotlikoff,
Peng
Chen,
François
1–
probability
curve
(
p
)
via
the
parameters
u(c)
=
c
/(1
–
),
where

is
the
coefficient
of
relative
the
basis
of theconference
world’s in
longest-lived
try
Association
Chicago,
seminar
particit for
x
See
Milevsky
(2006,
p.
61)
instructions
on (m,b). It
from
Bernoulli
(
=
1)
up
to
infinity.
Gaddene, Mike Zwecher, David Macchia, Barry Nalebuff,
is
defined
and
computed
by
using
the
(longevity)
risk
aversion,
which
can
take
on
values
person,
Jeanne
Calment,
who
died
in
pants
at
Georgia
State
University,
and
participants
at
the
howThe
to actuarial
code thepresent
gammavalue
function
in Microsoft
function,
denotedfollowing:
odie, Larry Kotlikoff, Peng Chen, François
Glenn Harrison, Sherman Hanna, and Bill Bengen—as
from
Bernoulli
(
=
1)
up
to
infinity.
T
QMF2010
conference
in
Sydney—for
helpful
comments.
France
in
1997)
Excel.
by
implicitly on the survival
Zwecher, David Macchia, Barry Nalebuff,
a x ( v, m, b ) , depends
well as participants at the 2010 Retirement Income Indus(A2)
aTx ( v, m, b ) = ∫0T e−vs ( s p x ) ds,
WeSDR,
also
special
acknowledgment
to our colleagues
Theoffer
actuarial
present
value
function,
denoted
= the
or apersonal
time
preference
probability
curvetrajectory
(tpx) via (financial
the parameters
It
n, Sherman Hanna, and Bill Bengen—as
The wealth
capital(m,b).
during
try 
Association
conference
in
Chicago,
seminar
particiT
at
York
University—Pauline
Shum,
Tom
Salisbury,
Nabil
by State
implicitly
a x ranges
m, b )in
, depends
which
is theby
retirement
age
“price”—under
a real,
( v,University,
ants at the 2010 Retirement Income pants
Indus-at Georgia
is
defined and
computed
by
the
following:
(which
value
0 percent
tothe survival
retirement)
is denoted
Ft,using
and the
dynamic
conandfrom
participants
aton
the
Tahani,
Chris
Robinson,
David
Promislow—for
helpprobability
curve
(tpin
via
theempirical
parameters
(m,b).
It in our
constant
discount rate
v—of
a life-contingent
penconference in Chicago, seminar particix)and
high as
percent
some
QMF2010 as
conference
in20Sydney—for
helpful
comments.
straint
model—linked
to
the
objective
funcT
T − vs
ful
discussions
thetomany
yearsthe
of following:
this research
(A2)asuntil death
v, msion
, b ) =annuity
e ( sthat
p x )now
ds, be
is
defined
and during
computed
by
pays
a real
$1 a year
∫0 A1—can
a State University, and participantsWe
at the
x ( Equation
studies)
also offer
a special
acknowledgment
ourusing
colleagues
tion ain
expressed
program.
we
thank Alexandra
and
Lap retraite
surTla Finally,
planète
Vulcain
|ofsuite
deMacqueen
la page
41
erence in Sydney—for helpful comments.
time T, whichever
comes first.aAlthough
we do
at York
University—Pauline
Shum,
Nabil
follows:
conditional
probability
survival
T Tom
− vs Salisbury,
which
is theorretirement
age “price”—under
real,
t x = the
(A2)
a
v
,
m
,
b
=
e
p
ds
,
Faisal
Habib
at
the
QWeMA
Group
(Toronto)
for
assis(
)
(
)
∫
x
s
x
special acknowledgment to our colleagues
0 Promislow—for helpnot
include
a
mortality
risk
premium
from
the
perTahani, Chris
Robinson,
and
David
constant
rate v—of a life-contingent penfrom
retirement
age
x to
age x + t, which
tance
with the
editing
and
analytics.
 = discount
,F
−of
+a πreal
, $1 a year
ct the
ity—Pauline Shum, Tom Salisbury,ful
Nabil
company
in(A3)
this valuation
discussions
during
many
years
of this
research
is
age
“price”—under
asion
real,F
t v ( tspective
t ) Ftpays
0insurance
annuity
that
until death
is which
based
onthe
an retirement
actuarial
mortality
table
obinson, and David Promislow—for
help- Finally,
model,
one
could
include
tilting
program.
we thank
Alexandra
Macqueen
and
constant
discount
ratebasis
v—of
athe
life-contingent
penor
timethe
T, dot
whichever
comes
first.
Although
we dothe survival
where
is shorthand
notation
forit aby
derivative
parameterize
(tpx) on the
of
GomleWe
coefficient
deQWeMA
l’aversion
pour
lereal
risque
relatif
(de death
dérivée du
patrimoine
(capital
financier) au plan du
during the many years of this research
Faisal
Habibsion
at the
Group
(Toronto)
for
assisrate
toward
a
longer
life.
annuity
that
pays
a
$1
a
year
until
Appendix
A.
Life-Cycle
Model
include
a mortality
risk premium
fromtothe
per-0
Spending
Retirement
on
Planet
Vulcan not
Spending
Retirement
Planet
Vulcan
of wealth
(financial
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with respect
time,
pertz
of mortality,
under
whichonthe
biological
ly, we thank Alexandra Macqueen
andlaw
temps,
π0the
longévité),
peut
adopter
lescomes
valeurs
de Although
Bernoulli we
exprime
le revenu
(enrepresentation
dollars
réels)
des
rentes
tance
with editing
and
A closed-form
of
Equation
A2
or qui
time
T,analytics.
whichever
first.
do of
spective
insurance
company
in this
valuation
(x – m + t)/b
denotes
the
income
(in
real
dollars)
from
any
prehazard
rate
is

=
(1/b)e
,
which
grows
in
Retirement
t
the QWeMA Group (Toronto) for assis(γ
=
1)
jusqu’à
l’infini.
de
retraite
antérieures,
et
la
fonction
qui
multiplie
elleis
possible
in
terms
of
the
incomplete
gamma
funca
mortality
risk
premium
from
the
per1 not
– /(1include
1
–

model,
one
could
include
it
by
tilting
the
survival
u(c)
=
c
–
),
where

is
the
coefficient
of
relative
u(c) = c /(1 –with
), where
 isdenotes
the coefficient
of relative
existing pension annuities, and the function multiexponentially
age—m
the modal
value
ng and analytics.
The value
function
in the
LCM during
retirement
tion
(A,B),
which
isby
available analytically:
spective
ofLife-Cycle
thewhich
insurance
company
in this
valuation
même
le patrimoine
est
définie
par
rate
toward
a longer
Appendix
A.
Model
(longevity)
risk
aversion,
which
can
take
on
values
(longevity)
risk
aversion,
can the
take
on values
plying
wealth
itself
islife.
defined
life
(e.g., 80
years),
and
b
denotes
dispersion
Spending
Retirement
on
Planet
Vulcan
ytlikoff,
Kotlikoff,
Chen,
François of
PengPeng
Chen,
François
years
when
laborinclude
income
is
zero,
assuming
no
model,
one
could
it
by
tilting
the
survival
La
fonction
de
valeur
actuarielle
actualisée,
exprimée
A closed-form representation of Equation
Bernoulli
(
1)to
upinfinity.
to infinity.lifetime ranfromfrom
Bernoulli
(
1) =up
(e.g.,
10=years)
of
the
mA2
David
Macchia,
Barry
Nalebuff, coefficient
d Macchia,
Barry
Nalebuff,
⎛ x −func⎞⎤
bequest
motive,
canfuture
be
ascourbe
follows:de is possible in terms
inparThe
Retirement
rate
toward
aimplicitement
longer
life.written
Ftincomplete
≥ 0bΓ ⎡ −vb, gamma
⎧ r , of the
ix
A.
Life-Cycle
Model
dépend
de
la
exp
1
–

⎜
⎟⎥
The
actuarial
present
value
function,
denoted
actuarial
present
value
function,
denoted
dom
variable.
Both
numbers
are
calibrated
to
U.S.
v
t
,
F
=
,
(A3a)
n Hanna,
Bengen—as
u(c) = c /(1 A
– ),
where

is
the
coefficient
of
relative
(
)
anna,
and and
Bill Bill
Bengen—as
⎢
⎨
b
t
⎣
⎝
⎠⎦
closed-form
of Equation
A2
T function
The
in
the
LCM
during
retirement
Spending
Retirement
on
Vulcan
D
t onPlanet
−ρ
Tvalue
tion
(A,B), awhich
is,tb,available
Ft < 0 analytically:
T⎩(Rv ,+mλ
probabilité
de
survie
(tpx)
auerepresentation
moyen
des
paramètres
depends
implicitly
on
the
survival
by
depends
implicitly
the
survival
=
a
v
,
m
,
b
,
(A1)
max
V
c
=
p
u
c
dt
,
)
aby
v
,
m
,
b
,
mortality
tables
to
fit
advanced-age
survival
rates.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Retirement
Income
Indus0y2010
Retirement
Income
Indus(longevity)
risk
aversion,
which
can
take
on
values
ement
∫
x is possible
c in terms
t incomplete
x
t
x
x
0 of
the
gamma funcKotlikoff, Peng Chen, François years
when
labor
income
is
zero,
assuming
no
x
−
⎛
⎡
(m,b).
Elle
est
définie
et
calculée
à
l’aide
de
la
formule
probability
curve
pxup
) the
via
the
parameters
(m,b).
probability
curve
((tp=xassumed
)(1)
parameters
(m,b).
It It where
ce
in Chicago,
seminar
particiChicago,
seminar
particiIn
study,
we
the utility
funcv(t,Fmt)⎞⎟ ⎤le
from
Bernoulli
to that
infinity.
tvia
où R R≥ r. r.LaThe
fonction
discontinue
exp
− exp
)⎞ ⎤v (t,F
1our
– motive,
where
nction
in the
LCM
during
retirement
David
Macchia,
Barry
Nalebuff,
tion
(A,B),
which
isasavailable
analytically:
⎡discontinuous
⎛(xm−−mxfunction
t) ⎜exprime
bequest
can
be written
follows:
u(c)
=
c
/(1
–
),
where
is
the
coefficient
of
relative
⎢
b ⎠ ⎥⎦
is
defined
and
computed
by
using
the
following:
is
defined
and
computed
by
using
the
following:
b
−
vb
,
exp
Γ
suivante
:
niversity,
and
at the tion no
sity,
and
participants
at the
⎝à Fand
of consumption
elasticity
of
denotes
the interest
on⎣⎜financial
capital
The actuarial
present
value
function,
denoted
taux d’intérêt
du capital
abor
income
is zero,
assuming
n Hanna,
andparticipants
Bill
Bengen—as
⎢⎣ rate financier
x =exhibits
thewhich
age constant
ofcan
thetake
retiree
b et⎟⎠ ⎥⎦permet
t d’être (A2a)
(longevity)
risk aversion,
on when
valuesthe consump⎝
T
D
t
−ρ
T
Sydney—for
helpful
comments.
ney—for
helpful
comments.
tlikoff,
Peng
Chen,
François
intertemporal
which
is, synonymous
negative.
Fordecredit
cards
and
other
xis−formulated
m
bymax
on⎛the
survival
a (e.g.,
(A1)
, b==
c )substitution,
eup
pinfinity.
u (⎡ct )dt
⎞ ⎤ (A2) allows
( v, mF,t bto) =be
)b∫,0)T1)depends
(
)
Ttion/spending
−t vs
T a xcT(Vv,(m
− vs
2010
Income
Indus- from
ve,
canRetirement
be written
as follows:
−
+
x
m
T
Pour
les
cartes
crédit
et
d’autres
marges
plan
x(implicitly
x négative.
⎡
⎛
Bernoulli
(
to
(A2)
a
v
,
m
,
=
e
p
ds
,
b
−
vb
,
exp
Γ
a
v
,
m
,
b
=
e
p
ds
,
)
(
(
)
(
)
∫0 ∫(0 p )sof)
⎜ b (m,b).
⎟ ⎥ It unsecured lines of
xthe reciprocal
x⎢ parameters
m ⎜⎞t⎤. The bor-⎞⎟ ⎤
x
x sconstant
knowledgment
to
our
colleagues
d Macchia,
Nalebuff,
wledgment
toBarry
our
colleagues
bΓ t)−⎛vb
, −exp
⎡
withprobability
(and
relative
risk
credit, v(t,F
=xR
+
curve
via
the
ce
inDChicago,
seminar
particit
x
60
or
65)
⎣
⎦
⎝
⎠
expgaranties,
m − x v (t,F
− exp
⎥
de crédit non
+ λ⎝⎟t. L’emprunteur
where
−ρt Bill
⎜ R (to
The
actuarial
value
function,
t⎣⎢) =
T ( v ,present
anna,
and
Bengen—as
Tom
Shum,
Tom
m
=l’âge
(A1)
= ∫Shum,
⎢⎣( the−)insurance
⎥⎦ b the⎠ ⎦ .
)the
(Salisbury,
) u ( ct Nabil
)dt , Nabil
)ine
under
conditions
of
perfect
certainty
pays R plus
is
defined
computed
by
thedenoted
following:
which
the
retirement
age
“price”—under
a real,
which
is(RRA)
the
age
“price”—under
avertu
real,
qui
est
leisa«retirement
prix
»,=bde
à lausing
retraite
(en
d’un rower
tp
xSalisbury,
niversity,
participants
at the aversion
xand
0 e and
⎝ ble prêteur
⎠protect
D of
maximum
life
in R et l’assurance
paie
(pour protéger
en
cas
de
x − span
m ⎞ ⎤ years
by aTxx( v, =
depends
implicitly
on possible
the consumpsurvival
the
age
the
retiree
when
the
m
,
b
,
⎛
⎡
)
0Sydney—for
Retirement
Income
Indusnd
David
Promislow—for
helpDavid
Promislow—for
helptime-separable
utility.
The
ispenin the event of the borrower’s
death).(A2a)
constant
discount
rate
a−(the
life-contingent
constant
discount
rate
v—of
a(exact
life-contingent
pen⎛ x − m ⎞⎤
⎡
helpful comments. and
exp
m
xspecification
− exp
taux
d’actualisation
etv—of
constant
—d’une
rente
) vupper
⎜bound
⎟of⎥dethelender
T tion/spending
− vs
retirement
utilexp⎛ x(−mm−+xT) v⎞−⎤ exp ⎜
probability
curve
()tp=x∫)Tréel
via
the
parameters
(m,b).
It
plan
is
formulated
(e.g.,
décès
de
l’emprunteur).
⎟
⎢
(A2)
⎡
Chicago,
seminar
particib
a
v
,
m
,
b
e
p
ds
,
he
many
years
of
this
research
many
years
of
this
research
(
)
(
⎝ currently
⎠ ⎦ 122 on
⎣real
x viagère
s$
xpar
sion
annuity
awhich
year
until
death
knowledgment
to our
colleagues
sion
annuity
thatthat
pays
adereal
$1
a$1
year
until
0pays
bΓ −vb, exp ⎜ ⎣⎢
retraite
réelle
1ausing
année
jusqu’au
décès
⎟ ⎥ ⎝ b ⎠ ⎦⎥
age Alexandra
of
retiree
when
consumpity
integration,
isdeath
is defined
and
computed
by
the
following:
60 or
65)
⎢⎣
sity,
andthe
participants
at and
thethe
ank
Macqueen
and
Alexandra
Macqueen
b
⎝
⎠⎦
line
Shum,
Tom
Salisbury,
Nabil
or jusqu’au
time
T,
whichever
comes
first.
Although
we
do (A2a)
or(e.g.,
time
T, is
whichever
comes
first.
Although
we
do
which
the
retirement
age
“price”—under
a
real,
−
+
x
m
T
n/spending
plan
is
formulated
ou
temps
T,
la
première
de
ces
éventualités
the
basis
of
the
world’s
longest-lived
. instructions
− See Milevskywww.cfapubs.org
March/April
2011
55
(2006, p. 61) for
on
⎡ −vb
⎛ years in ⎞ ⎤
ney—for
helpful
comments.
D
= the
maximum
possible
life
span
MA
Group
(Toronto)
for assisGroup
(Toronto)
for assisT
T
vs
−
b
Γ
,
exp
and
David
Promislow—for
helpnot
include
a
mortality
risk
premium
from
the
pernot
include
a
mortality
risk
premium
from
the
per⎜
⎟
constant
a life-contingent
penmfunction
convient
de to
remarquer
quegamma
nous
a x ( vretenue.
, mretirement
, bdiscount
= Même
pv—of
,⎢Jeanne
⎛ x −ne
⎞supposons
⎡( m
⎤
or
65)
(
)
person,
Calment,
who
diedIl in
⎥
∫0 e rate
étant
si
n’incluons
pasthe
à (A2)
ceutilmodèle
how
code
the
in pas
Microsoft
s nous
x ) ds
ledgment
to
our
colleagues
(the
upper
bound
of
alytics.
b
ics.
⎣
⎝
⎠
⎦
exp
−
x
v
−
exp
)
he many years of this research spective
⎜
⎟
spective
of insurance
the
insurance
company
in this
valuation
of the
valuation
sion
annuity
that
pays
a real
$1ina this
year
death . une contrainte
−company
France
in 1997)
maximum
possible
life span
inis the
Excel. de
Shum,
Tom Salisbury,
Nabil
⎝ b qui
⎠ ⎦⎥ interdit les
⎣⎢ liquidité complète
d’évaluation
une
prime
pour
risque
de until
mortalité
du
ity
integration,
which
is
currently
on
which
retirement
age
“price”—under
a122
real,
ank
Alexandra
Macqueen
and years
xwe
− mdo
model,
one
could
include
it
by
tilting
the
survival
model,
one
could
include
it
by
tilting
the
survival
⎛
⎞
⎡
⎤
or
time
T,
whichever
comes
first.
Although
au sens
de
Deaton
Leung (1994)
rement
(the(Toronto)
upper bound
of the
utilrate
the
SDR,
preference
David
Promislow—for
helpThe
wealth
(financial
capital
exp
v −on
exppourrait
( mor− xpersonal
)longest-lived
basis
of
the
point
de the
vue
de
la=société
d’assurances,
⎜time
⎟l’y emprunts
constant
discount
v—of
aworld’s
life-contingent
See Milevsky
(2006,
p. trajectory
61)(1991),
for instructions
on ou during
eMA
Group
for assis⎢⎣premium
rate
toward
longer
life.
rate
toward
a longer
life.
not
include
aamortality
risk
frompenthebper⎝from
⎠ ⎥⎦ how
integration,
is currentlysion
122intégrer
on
Bütler
(2001).
Nous
ne
les rendements
many
years of which
this research
(which
ranges
in
value
percent
toto code
retirement)
is permettons
denoted
bypas
F
the dynamic conperson,
Jeanne
Calment,
who
died
in 0une
annuity
that
pays
a
real
$1
a
year
until
death
t, and
en
faisant
pencher
le
taux
de
survie
vers
the
gamma
function
in
Microsoft
nalytics.
spective
of the insurance
company
inof
this in
valuation
A closed-form
representation
A closed-form
representation
A2 A2
Alexandra
Macqueen
andlongest-lived
basis of the
world’s
as
high
as Although
20of
percent
empirical
straintLes
in our
model—linked
theA3
objective
See
(2006,
p.Equation
61)Equation
for some
instructions
on
stochastiques.
équations
A1, A2to et
sont funcFrance
in Milevsky
1997)
or time
T,
whichever
comes
first.
we
do
Excel.
plus
longue
durée
de
vie.
model,
one
could
include
it
by
tilting
the
survival
is
possible
in
terms
of
the
incomplete
gamma
funcis
possible
in
terms
of
the
incomplete
gamma
funcGroupJeanne
(Toronto)
for assis-who died
son,
Calment,
in
studies)
tion trajectory
inl’agencement
Equation
A1—can
nowduring
beenexpressed
as
how
to
code
the
gamma
function
in
Microsoft
essentiellement
de Yaari
(1965),
vertu
not include
a
mortality
risk
premium
from
the
per
=
the
SDR,
or
personal
time
preference
The
wealth
(financial
capital
toward
awhich
longer
the
LCM
during
retirement tionrate
LCM
during
retirement
tion
(A,B),
islife.
available
analytically:
(A,B),
which
is= available
analytically:
Life-Cycle
Model
ics.
nce
in
1997)
follows:
Excel.
p
the
conditional
probability
of
survival
spective
of
the
insurance
company
in
this
valuation
(which
value
from 0 percent
to de retirement)
duquel lesisrentes
de retraite,
maisthe
nondynamic
les rentes
tontine,
t xranges inune
denoted
by Ft, and
conIl est possible
d’exprimer
représentation
explicite
isorzero,
assuming
eome
is zero,
assuming
no no
A closed-form
representation
of
Equation
SDR,
personal
time
preference
from
retirement
age
x to age
xA2
+ t,during
which
The
wealth
trajectory
(financial
capital
model, one as
could
include
it by
tilting
the
survival
high
as
20
percent
in
some
empirical
straint
in
our
model—linked
to
the
objective
functitten
sont
accessibles.
x
−
m
x
−
m

⎡
⎛
⎞
⎤
⎡
⎛
⎞
⎤
(A3)
l’équation
A2
au
plan
de
la
fonction
gamma
incomplète
=
,
−
+
π
,
F
v
t
F
F
c
ehich
written
as
follows:
is
possible
in
terms
of
the
incomplete
gamma
funcas follows:
( t) t t 0
b−Γ
vb, ⎜exp
ranges
inModel
value from 0 percent
to
bΓ life.
vb
,−denoted
exp
is
on⎜an
mortality
table
isbased
by⎟actuarial
Ft, and
dynamiction
con-in Equation t A1—can
rate toward
aretirement)
longer
⎟ ⎥ the
studies)
now be expressed as
e-Cycle
⎢
⎢
⎥
b
b
the
LCM
during
retirement
tion
(A,B),
which
is
available
analytically:
Γ(A,B),
qui
est
disponible
aux
fins
d’analyse
:
⎦ the
⎣our⎣ model—linked
⎝ ⎝(ofp Equation
⎠ ⎦ of⎠to
high
20
in(A1)
some
empirical
inparameterize
objective
funcwhere the dot is shorthand notation for a derivative
T avT,pclosed-form
the
basis
of thefollows:
GomA2
b ) conditional
=Werepresentation
probability
survival
(A1)
=,straint
c,tpercent
t x) on
pt x( )t up(as
)the
(zero,
)dt , assuming
tx m
x(,v=b, m
xc)tu)dt
come
no a x (A
La
condition
initiale
est F0capital)
= W, with
où W
exprime
dies) is
x
−
m
x
−
m
tion
in
Equation
A1—can
now
be
expressed
as
of wealth
(financial
respect
to time, 0
pertz
law
of
mortality,
under
which
the
biological
⎛
⎞
⎡
⎤
is possible infrom
terms
of the⎡ incomplete
⎛exp
⎡exp
xage
−gamma
mx⎞⎞+
which
⎤⎤t, funce written as follows:
x−, )exp
vx−⎛to
expretirement
exp
mbΓ−( m
x−)−vb
vage
 = vpouvant
(rate
⎜
⎜
(A3)
,
−
+
π
,
F
t
F
F
c
(x –⎟⎟bm⎥ + ⎟t)/b
(
)
l’actif
être
investi
à
la
retraite.
La
dernière
follows:
denotes
the
income
(in
real
dollars)
from
any pre⎜
conditional
t
t
t
t
0
LCM
during probability
retirement of survival
⎢
⎥
hazard
is

=
(1/b)e
,
which
grows
⎢
tion (A,B), is
which
is
available
analytically:
b
based
t
⎢⎣ actuarial
⎦
b⎝ ⎠⎠⎥⎦⎦ ⎠table
⎣ on⎣an
⎝⎝ mortality
ρe
et retiree
when
thexconsumptiree
when
the
consumpT ( v , m, exponentially
existing
pension
annuities,
and
the
function
multim
age
to
age
x
+
t,
which
condition
est
F
=
0,
où
τ
e

xprime
la
date
d’épuisement
zero,
assuming
no
with
age—m
denotes
the
modal
value
(A2a)
(A2a)
a
b
=
(A1)
p
u
c
dt
,
)
τ
(isretirement
)
(
)
where
the
dot
is
shorthand
notation
for
a
derivative
We parameterize
basis
of the Gomt x
t
(A3)
+x ⎞π
Ft =⎡ ⎡v ((tt⎡p, xF)t on
) F⎛t the
−
m
T ⎞ ⎤ the dispersion
x−
+⎛⎤0T
x −c−⎛tm
m
ng
plan
is formulated
(e.g., tablex
plan
is
x,b −⎞+denotes
m
plyingauquel
wealth
itself
isrespect
defined
by
⎤
ased
onformulated
an
actuarial(e.g.,
mortality
itten
as
follows:
life
80
years),
and
du
patrimoine,
point
seul
le
revenu
de
rente
of
wealth
(financial
capital)
with
to
time,

pertz law ofofmortality,
under
which
the
biological
−
bexp
,
exp
b−Γvb
vb
,
exp
Γ(e.g.,
m − x )⎜v − ⎜exp⎟⎜ ⎟ ⎟
0
⎢⎣(1/b)e
⎢⎣ (x
⎥⎦ ⎠future
⎢⎣(dot
⎥⎦grows
where
is shorthand
for lifetime
a derivative
coefficient
(e.g.,
ranmeterize (tpx) on the basis of the hazard
–10
+b⎝t)/b
bnotation
⎝myears)
b ⎠⎝,⎥⎦of
de retraite
est consommé.
Leung
(1994,
2007) a
⎠bthe
denotes
the income
(in real
dollars)
from
any prerate
is
t−=the
which
TGomr
,
F
≥
0
⎧
e
retiree
when
the
consumpa
v
,
m
,
b
=
(A1)
.
p
u
c
dt
,
(
)
.
−
t
)
(
)
x possible
t life
m
life span
years
x
(A2a)
ossible
span
years
in
of
wealth
(financial
capital)
with
respect
to time,
0 pension
dom
Both
numbers
are
calibrated
to
U.S.
mortality,
under
which
the in
biological
vannuities,
existing
and dans
the function
( t , Fd’une
étudié
l’existence
une ,sériemultid’articles (A3a)
exponentially
with
age—m
denotes
t ) = ⎨DEP
−xm
m
−⎛modal
⎡variable.
⎡x−()income
⎤ from any
+⎞mx⎤T−
xx⎛−the
⎞⎞⎤m⎤ ⎞value
⎡exp
ing
plan
isbound
formulated
(e.g.,
⎛⎛⎜(in
R + λt , Ft < 0
(x –ofmthe
+oft)/b
the
the
util- grows
upper
bound
utilexp
exp
m
−
v
−
⎩
denotes
the
real
dollars)
pre(
m
x
v
−
exp
exp
m
x
v
−
exp
)
(
)
mortality
tables
to
fit
advanced-age
survival
rates.
t =upper
(1/b)e
, which
⎟
−
b
vb
Γ
,
exp
plying
wealth
itself
is
defined
by
⎜
⎟
⎜
⎟
of life (e.g., 80 years),
⎜ bthe
théoriques. En théorie, cette date peut se trouver à la
⎢⎣ ⎢⎣ and
⎢⎣ b denotes
⎠ ⎥⎦dispersion
⎝ bb⎝lifetime
⎠b⎟⎠⎥⎦that
on,
is
currently
122modal
on coefficient
which
is currently
122the
on
⎦⎥ ⎠ ⎥⎦ranexisting
pension
annuities,
and
the
function
with
age—m
denotes
value
In
our
study,
we⎝⎝future
assumed
the utilitymultifuncRpériode
 r. The
ireewhich
when
the
consump(e.g.,
years)
of the
fin de la where
dernière
de discontinuous
vie (τ = D) si lefunction
revenu v(t,Ft)
(A2a)
.
−10
um
possible
life
span
years
in
Finterest
⎧ r , the
feyears),
the
longest-lived
plying
wealth
itself
defined
byto
world’s
t ≥0
See
Milevsky
(2006,
61)
for
on
See
Milevsky
p.
61)
for
onelasticity
andlongest-lived
b denotes
the dispersion
tion
of⎡(2006,
consumption
of
denotes
rate on financial
capital and
−is
+instructions
xp.
mexhibits
T⎛ ⎞x⎤instructions
plan
isworld’s
formulated
(e.g.,
− constant
m
⎛
⎞
⎤
⎡
dom
variable.
Both
numbers
are
calibrated
U.S.
v
t
,
F
=
,
(A3a)
(
)
⎨est minime (ou nul) et(ou) si le taux
de retraite
t
the
upper bound
of the
− vb(,gamma
bΓ exp
exp
m
−substitution,
xfunction
v −function
exp ⎜in
)
⎜
⎟
⎟
nne
who
died
in how
Calment,
died
inutilR
+
λ
,
F
<
0
how
to
code
the
in
Microsoft
to
code
the
gamma
Microsoft
intertemporal
which
is
synonymous
allows
F
to
be
negative.
For
credit
cards
and other
g.,
10 Calment,
years) who
of the
future
lifetime
rant
⎩ relativement
tt
tables to ⎣⎢fit advanced-age
≥⎠ 0⎦⎥ b ⎠rates.
⎦⎥
⎣⎢ ⎧ ⎝ r , b Fsurvival
d’emprunt est
faible. Pour être très précis,
on,
which is currently 122 on mortality
t ⎝of)
97)
.
−
Excel.
with
(and
the
reciprocal
constant
relative
risk
unsecured
lines
of
credit,
v(t,F
)
=
R
+

.
Excel.
Both numbers
are
calibrated
to
U.S.
v
t
,
F
=
,
(A3a)
(
)
ossible
life
span
years
in
t
t
⎨
In our
study,
we tassumed
that
utility func- on where
 r. The
discontinuous
function
v(t,Fttemps
) The borf the world’s longest-lived
xfor
−t <minstructions
il estRpossible
que
Ft R< plus
0 pendant
un certain
See
Milevsky
(2006,
61)
Runder
+p.λ(financial
Fthe
0⎞capital
⎡(p.
⎤ during
t ,⎛conditions
⎩propose
aversion
(RRA)
of perfect
certainty
rower
pays
the insurance
(to protect the
r personal
preference
ersonal
timetime
preference
es
to fitbound
advanced-age
survival rates.
The
wealth
trajectory
during
The
wealth
trajectory
(financial
capital
Milevsky
(2006,
61)
des
instructions
sur
la
upper
of
the
utilexp
m
−
x
v
−
exp
)
tion
of
consumption
exhibits
constant
elasticity
of
denotes
the
interest
rate
on
financial
capital
and
⎜
⎟ ⎥ Microsoft
nne Calment, who died in
how
to where
code
the
function
t <is) D. Nous
ne in
parlons
pas of
des valeurs
nullesdeath).
de la
and
time-separable
The
exact
specification
lender
theFor
event
borrower’s
inwe
value
from
0that
percent
to retirement)
nes
value
from
0 percent
to utility
⎠in
⎣⎢denoted
⎦dynamic
dy,
assumed
the
funcRfonction
gamma
r. FThe
function
v(t,F
retirement)
is
by
Futility.
, ⎝and
the
con- allows
is
denoted
by
,which
and
the
dynamic
conwhich
façon
de coder
la
àbl’aide
de Microsoft
intertemporal
substitution,
is
synonymous
negative.
creditthe
cards
and other
t Ft to be
tdiscontinuous
tgamma
997) is currently 122 on
Excel.
fonction.
La
définition
de
notre
période
d’épuisement
percent
inlongest-lived
some
empirical
inexhibits
some
empirical
mption
constant
elasticity
of
denotes
the
interest
rate
on
financial
capital
and
straint
in
our
model—linked
to
the
objective
funcstraint
in
our
model—linked
to
the
objective
funce0rcent
world’s
See(and
Milevsky
(2006, p.of)
61)constant
for instructions
on
the reciprocal
relative risk
unsecured lines of credit, v(t,Ft) = R + t. The borExcel.
rsubstitution,
personal time
preference with
wealthFA1—can
trajectory
(financial
during
du patrimoine
est plutôt
Ft = 0; t (to
> τprotect
en permanence.
which
allows
be
negative.
For
credit
cards
other
tion
in
Equation
A1—can
now
becapital
expressed
as rower
Calment, who
died isinsynonymous
tion
in The
Equation
now
be
as and
how
to
code
the
gamma
function
inexpressed
Microsoft
aversion
(RRA)
under
of
perfect
certainty
pays R plus
the insurance
the
t toconditions
March/April
2011
www.cfapubs.org
55
ges
in value from
0 percent
to
retirement)
is denoted
byofFtcredit,
, and the
dynamic
conOn peut
démontrer
que
lorsque R > death).
ρ, l’emprunt n’est
reciprocal
of)
relative
risk
unsecured
lines
v(t,F
) = R +is
t. The
borfollows:
follows:
onal
probability
of survival
probability
of constant
survival
Excel.
and
time-separable
utility.
The
exact
specification
lender
in
the
event
of
the
borrower’s
t
La
trajectoire
du
patrimoine
(capital
financier
pendant
la
0
percent
in
some
empirical
straint inrower
our model—linked
to the
objective(to
funcA)
under
conditions
oft,perfect
pays R(financial
plus the
insurance
protect pas
the optimal et τ < D dans certaines conditions. Pour
ment
age
xage
to age
+
whichcertainty
age
x totime
xpreference
+ t,x which
ersonal
The
trajectory
capital
during
 (est
retraite)
exprimée
par
Ftπ,0et
la contrainte
dynamique
 =wealth
tion
in
Equation
A1—can
now
be
expressed
as
(A3)
=
,
−
+
,
F
v
t
F
F
c
(A3)
,
−
+
π
,
F
v
t
F
F
c
(
)
)
t
t
t
t
t
t
t
0
rable
utility.
The
exact
specification
is
lender
in
the
event
of
the
borrower’s
death).
actuarial
mortality
table retirement) is denoted by Ft, and the dynamic conctuarial
mortality
table
nan
value
from
0 percent
to
nos résultats numériques, nous supposons une valeur
de
notre modèle
(qui est liée à la fonction objective
follows:
2011
www.cfapubs.org
55
onal probability of survival March/April
rcent
inbasis
some
empirical
where
themodel—linked
dot
is shorthand
afuncderivative
where
theour
dot
is
shorthand
notation
for afor
derivative
straint
in
to notation
the objective
p
)
on
the
basis
of
the
Gomsuffisamment élevée de R.
on
the
of
the
Gomt
x
ment age x to age x + t, which
de l’équation
A1)
peut
maintenant
être
exprimée
de
la
of
respect
to time,
tion
inwealth
Equation
be
expressed
as(A3)
of wealth
respect
to time,
= v (financial
πwith
Ft(financial
under
which
the
biological
der
which
the
biological
( t , FtA1—can
) F:capital)
11
www.cfapubs.org
55
0 0
t − ccapital)
t + now
0 , with
an
actuarial
mortality
table
manière
suivante
–m
+, t)/b
xb)e
– (x
m +
t)/b
denotes
the income
(in real
dollars)
denotes
the income
(in real
dollars)
fromfrom
any any
pre-preprobability
of, which
survival
grows follows:
which
grows
Le
théorème de Euler-Lagrange à partir du calcul des
where
the
dot
is
shorthand
notation
for
a
derivative
(tpx) on the basis of the Gomexisting
pension
annuities,
the function
multiage denotes
x to the
age modal
x + t,
which
pension
annuities,
andand
the function
multi—m
the
modal
value existing
denotes
value
variations
mène à ce qui suit. La trajectoire optimale,
 wealth
of
(financial
capital)
with
respect
to
time,

, under which the biological
(A3)
=
,
−
+
π
,
F
v
t
F
F
c
( wealth
0
t wealth
t )itself
t itself
t defined
0 defined
plying
is
mortality
table
plying
is
by by
and
the dispersion
bctuarial
denotes
(xb –denotes
m +the
t)/b,dispersion
Ft, dans la région où elle est positive, en supposant
denotes the income (in real dollars) from any preb)e
which grows
the dotpension
is shorthand
notation
for a derivative
on
thefuture
basis
of the
Gomrs)
of
the
future
ran- where
f the
lifetime
ranexisting
annuities,
and
où
le point⎧ représente
simplifiéemultid’une que v(t,Ft) = r, peut être exprimée comme la solution
—m
denotes
the lifetime
modal
value
r , Ft une
F0t ≥notation
0 the function
r⎧,capital)
≥with
of
wealth
(financial
respect
0(A3a)
der
which
the
biological
mbers
are calibrated
to U.S.
ers
are
calibrated
to
U.S.
v t( wealth
t),=Ft⎨) = ⎨itself is defined
v (t, F
, ,by to time,
(A3a)
plying
and
b
denotes
the
dispersion
F0t < 0 from any prexdvanced-age
– m + t)/b, which
F
denotes the income
t ,t <dollars)
grows
t ,+ λreal
⎩ R +⎩λR(in
survival
rates.
nced-age
rates.
rs) of the survival
future
lifetime
ranexisting
pension
annuities,
and
multir , discontinuous
Ft ≥ the
0 function
⎧ The
denotes
the
modal
value
ssumed
that
the
utility
funcwhere
R

r.
function
v(t,F
med
that
the
utility
funcwhere
R

r.
The
discontinuous
v(t,F
t) t)
umbers are calibrated to U.S. plying wealth
v ( t , Ft itself
(A3a)
) = ⎨ is defined by , function
b denotes
the
dispersion
R
+
λ
,
F
<
0
xhibits
constant
elasticity
of
denotes
the
interest
rate
on
financial
capital
and
bits
constant
elasticity
of
denotes
the
interest
rate
on
financial
capital
and
|
DéCEMBrE
2011
|
Gestion
du
risque
t
t
⎩
42
dvanced-age
survival rates.
the
future
lifetime
rantion,
which
is
synonymous
allows
F
to
be
negative.
For
credit
cards
and
other
,fssumed
which
is
synonymous
allows
F
to
be
negative.
For
credit
cards
and
other
t
t R ⎧ r.r , The Fdiscontinuous
that the utility funcwhere
function v(t,Ft)
t ≥0
ers constant
are
calibrated
to U.S.
v ( t , Ft ) =lines
, v(t,F
cal
of) constant
relative
unsecured
of credit,
(A3a)
borof)
relative
risk risk
of credit,
v(t,F
) = tR) =+ R
t+
. capital
The
bor⎨ lines
t. The
xhibits
constant
elasticity
of unsecured
denotes
the
and
R +interest
λ , F rate
< 0 ont financial
Life-Cycle
Model
e-Cycle Model
t
firms
solution
correct
andinvalid
over the
2007)horizon
exploredtime
the existence
a pension
WDT
in aincome
series of
r ⎠ that themain
final
( = F
D), which
if of
the
is itbut
pension
annuities,
not tontine⎝ annuities,
itemisof
interest
trajectory,
the region
over
which
is positive,
(A6)our study, is ( ct* – 0)/
π0 ⎞reduce
⎛ domain
t inthat
rt t  (0,).
one’s
standard
of
living
with
age
is rational,
Note
we
do
not
assume
a
complete
liquidtheoretical
papers.
In
theory,
the
WDT
can
be
at
the
Financial
Analysts
Journal
Financial
Analysts
Journal
minimal
(or assuming
zero) and/or
the
borrowing
rate
is not assume
Ft =
reduce
one’s
standard
of retirement
living
with spend
age is
Note
we
do
a complete
arev(t,F
available.
π0 initial
and
PWR
(i.e., the
reduce
one’s
standard
of
living
with
age
isthat
rational,
d⎜W
⎟ ,eliquidt+
that
r, can
be
expressed
as the
*e rt −the
t) = prohibits
a
r
k
m
b
c
*,
,
−
−
r
(
)
In
other
words,
the
value
function
in
Equation
⎝
⎠
even
if
(
=
r).
ity
constraint
that
borrowing
in
the
sense
final
horizon
time
(
=
D)
if
the
pension
income
is
x
0
Financial
Analysts
Journal
relatively
low.
To
be
very
precise,
it
is
possible
for
even
if
(
=
r).
ity
constraint
that
prohibits
borrowing
in
the
sense
*
The
initial
condition
is
F
=
W,
where
W
rate)
is
(
–

)/F
.
even
if
(
=
r).
eFinancial
(A6)
R
É
a
c
t
i
o
n
à
l’
Ég
a
rd
d
e
s
r
i
s
q
u
e
s
C
H
AI
R
S
PE
R
S
ON
’
S
CO
R
NE
R
c
0
0
0
r 0
solution to the following second-order nonhomoAnalysts Journal
thus
utility—is
maximized
of
(1991),
Leung
(1994),
or
Bütler
(2001).
We
Analysts
Journal
minimal
(or
zero)
and/or
the
rate
isassets
Note
also
consumption
as
defined
earlier
πthat
reduce
one’s
standard
of
living
with
age
is
rational,
Note
that
we
do
not
aequation:
complete
liquidF
for some
time
tDeaton
<
D.assume
We
are
not
talking
about
ofborrowing
Deaton
(1991),
Leung
(1994),
orthe
Bütler
(2001).
We
one’strajectory
standard
o
Note
that
we
do
not
assume
a* complete
liquiddenotes
the
investable
at
retirement.
The
Note
also
thatreduce
consumption
as define
t A1—and
rtlife-cycle
0 optimal
eFinancial
The
financial
capital
(a
t<0
Note
also
that
consumption
as
defined
earlier
geneous
differential
where
modified
modal
value
in
the
annuity
a
r
k
m
b
c
e
,
*,
−
,
−
−
(
)
reduce
one’s
standard
of
living
with
age
is
rational,
Note
that
we
do
not
assume
a
complete
liquidx
0
when
the
consumption
rate
and
the
wealth
trajecdo
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A1,
A2,
relatively
low.
To
be
very
precise,
it
is
possible
for
includes
the
pension
annuity
income,

.
Therefore,
even
if
(
=
r).
ity
constraint
that
prohibits
borrowing
in
the
sense
the
zero
values
of
the
function.
Rather,
the
definido
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A1,
A2,
even
if
(
=
r).
ity
constraint
that
prohibits
borrowing
in
the
sense
Spending
Retirement
on
Planet
Vulcan
terminal
condition
is
F
=
0,
where

denotes
the
0
includes
the
pension
annuity
income,

.
Th
r
2, ityNote
defined
as
only
until
time
t
<
),
which
is
the
so
includes
the
pension
annuity
income,
liquidTherefore,
 reduce
0
factor
is
m* =tory
m +of
bln().
The
actuarial
present
value
one’s
standard
living
with
age isA5
rational,
that
we
do
not
assume
a complete
0.sense
even if
(
= r).
constraint
that
prohibits
borrowing
in the
 are
satisfy
Equations
and
A6,
respectively.
Of
are
essentially
the
(1965)
setup,
under
Fof
0offor
some
time
We
about
the
portfolio
withdrawal
rate
(PWR),
which
isas
the
reduce
one’s
standard
ofthe
living
with
age
isportfolio
rational,
Note
that
we
do
not
assume
a)complete
liquid(A4)
−tt (<=A3
=which
−π
, One
Fand
kD.
ror
FBütler
rknot
F
(1991),
Leung
(1994),
or
Bütler
(2001).
We
tion
our
WDT
is
t
>
+and
permanently.
A3
are
essentially
the
Yaari
(1965)
setup,
under
of
(1991),
Leung
(1994),
or
Bütler
(2001).
We
t <Deaton
Note
also
that
consumption
as
defined
earlier
wealth
depletion
atDeaton
which
point
only
the
withdrawal
rate
(PWR),
whi
Note
also
that
cons
tF
t0;+
t (PWR),
t (2001).
t talking
0 kYaari
ttime,
erityofconstraint
tion
to
Equation
A4,
can
be expressed
a funct
the
portfolio
withdrawal
rate
is
the
where
the
modified
modal
value
in
the
annuity
Deaton
(1991),
Leung
(1994),
We
Note
also
that
consumption
as
defined
earlier
term
multiplying
time
zero
consumption
values
a
even
if
(
=
r).
that
prohibits
borrowing
in
the
sense
– /(1 – ),
course,
these
two
equations
are
functions
two
pension
annuities,
but
not
the
zero
ofwhich
the
function.
Rather,
the
main
item
interest
our
study,
is our
(of
– pension
0)/Fis
where
that
isvalues
the
coefficient
even
iffactor
(annuities,
=not
r).
constraint
prohibits
in
the
ct*the
do
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A1,
A2,
can
show
that
when
Rborrowing
>of
,relative
borrowing
not
optimal
which
annuities,
but
tontine
do
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A1,
includes
the
annuity
income,
0in
.A2,
Therefore,
pension
annuity
income
istontine
consumed.
Leung
(1994,
t, ( ann
item
of
interest
in
study,
*main
includes
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A1,
A2,
s,ity
ct*
of
as
follows:
the
pension
annuity
income,
main
item
of
interest
in
our
study,
isispension
( sense
–the
defini)/F
is
m*
= pension
m
+annuities,
bln().
The
actuarial
present
value
where
the
double
dots
denote
derivative
cof
ct* We
0. Therefore,
life-contingent
pension
annuity
under
a
shifted
ofdo
Deaton
(1991),
Leung
(1994),
or
Bütler
(2001).
0second
t,includes
0
Note
also
that
consumption
as
defined
earlier
*
ity)
risk
aversion,
which
can
take
on
values
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
for
are
available.
tion
of
our
WDT
is
F
=
0;
t
>

permanently.
One
and
the
initial
PWR
(i.e.,
the
retirement
spending
c
of Deaton
(1991),
Leung
(1994),
or
Bütler
(2001).
We
and
A3
are
essentially
the
Yaari
(1965)
setup,
under
Note
also
that
consumption
as
defined
earlier
andand
A3
are
essentially
the
Yaari
(1965)
setup,
under

<
D
under
certain
conditions.
For
our
numerare
available.
and
A3
are
essentially
the
Yaari
(1965)
setup,
under
t
the
portfolio
withdrawal
rate
(PWR),
which
is
the
the
portfolio
withdrawal
rate
(PWR),
which
is
the
2007)
explored
the
existence
of
a
WDT
in
a
series
of
and
the
initial
PWR
(i.e.,
the
retirement
s
the
portfolio
withdrawa
0
and
the
initial
PWR
(i.e., to
the
retirement
term
multiplying
zeroand
consumption
values a
with
respect
time
and A1,
the spending
time-dependent
funcmodal
valuethem,
ofannuity
m time
+which
bln()
a 0shifted
valuation
dowhich
not
allow
stochastic
returns.
Equations
A2,
includes
the
pension
income,

.do
Therefore,
rnoulli
(
=pension
1)
upstochastic
tothat
infinity.
π
⎛
⎞
we
will
sequentially.
* is
can
show
when
R
>
,
borrowing
is
not
optimal
annuities,
but
not
tontine
annuities,
The
initial
condition
is
F
=
W,
where
W
*
rate)
is
(
–

)/F
.
rt
main
item
of
interest
in
our
study,
(
–

)/F
,
do
not
allow
returns.
Equations
A1,
A2,
0
which
pension
annuities,
but
not
tontine
annuities,
c
includes
the
pension
annuity
income,
.
Therefore,
*
ical
results,
we
assume
a
high-enough
value
of
R.
c
which
pension
annuities,
but
not
tontine
annuities,
main
item
of
interest
in
our
study,
is
(
–

)/F
,
*
0
The
initial
condition
is
F
=
W,
where
W
theoretical
papers.
In
theory,
the
WDT
can
be
at
the
0
t
0
0
rate)
is (+cc0t aEquation
– shifted
 )/F0t.
item of interest in
t=under
W
0 r.F
rate)
is
( c0*value
– tion
0)/F
life-contingent
pension
annuity
k0t .Yaari
= (rdenoted
–(1965)
 – setup,
introducedthe
to portfolio
simplify
rate
of 0rwithdrawal
–PWR
(r – )/
instead
of
Plugging
and
A3
are
essentially
the
t)/ isunder
t which
ratefrom
(PWR),
is rthe
⎜ W A6
⎟ e00themain
e and
actuarial
present
function,
are
available.
and
the
initial
(i.e.,
the
retirement
spending
and
The
< DEuler–Lagrange
under
certain
conditions.
Forunder
our
numerdenotes
the interest
investable
assets
at
retirement.
The
First,
Equation
and
definition
of (also
A3
are
essentially
the
Yaari
(1965)
setup,
The
optimal
financial
capital
trajectory
are
available.
the
portfolio
withdrawal
rate
(PWR),
which
isoptimal
the
are
available.
and
the
initial
PWR
(i.e.,
the
retirement
spending
theorem
from
the
calcu⎝
⎠
denotes
the
investable
assets
at
retirement.
The
final
horizon
time
(
=
D)
if
the
pension
income
is
and
the
initial
PWR
(i.e
The
financial
capital
trajecto
e
modal
value
of
m
+
bln()
and
a
shifted
valuation
notation.
The
real
rate,
r,
is
a
positive
conThe
optimal
financial
capital
trajectory
(also
A6
differential
Equation
however,
conpension
annuities,
not
tontine
annuities,
(A
* –
implicitly
on but
the is
survival
main
item
ofthe
interest
our (F
study,
iswe
(A4,
solve
)/Ft,for
* –
vwhich
,which
m, b ) , depends
The
initial
condition
Ftontine
= W, annuities,
where
W
rate)is
( cinto
)/F
. in
c*until
0
0
0
0
t
ical
results,
we
assume
a
high-enough
value
of
R.
terminal
condition
is
F
=
0,
where
denotes
the
the
WDT
=
0),
can
the
initial
con0
pension
annuities,
but
not
defined
as
only
time
t
<
),
which
is
the
solumain
item
of
interest
in
our
study,
is
(
–

)/F
,
*
The
initial
condition
is
F
=
W,
where
W
rate)
is
(
–

)/F
.
lus
of
variations
leads
to
the
following.
The
optimal
*< –),
the
c
terminal
condition
is
F
=
0,
where

denotes
the

minimal
(or
zero)
and/or
the
borrowing
rate
is
The
initial
condition
is
F
=
W,
where
W
rate)
is
(

)/F
.
defined
as
only
until
time
t
which
is t
c
π
0
t
eare
0
c
rate
of
r
–
(r
–
)/
instead
of
r.
Plugging
Equation
0
0
stant
and
a
pivotal
input
to
the
model.
We
reiterate

t
0
defined
as
only
until
time
t
<
),
which
is
solu0
0
lity
curve
(
p
)
via
the
parameters
(m,b).
It
t
rt
0
0the
denotes
firms
thatPWR
solution
isretirement
correct
and
valid
over
the
available.
0
*
The
optimal
financial
capital
trajectory
(also
and
the
initial
(i.e.,
the
spending
t xthe investable assets at retirement. The
a xcan
r −be
k, m
*, b ) c0 e as
− function
,
−spending
( The
wealth
depletion
time,
atbe
which
point
only
the
sumption
rate:
The
Euler–Lagrange
theorem
from
calcuavailable.
tion
to
Equation
A4,
expressed
and
the
initial
PWR
(i.e.,
the
retirement
denotes
the
investable
assets
retirement.
The
trajectory,
Fusing
in
the
over
which
itdepletion
isathe
positive,
wealth
time,
at
which
point
only
relatively
low.
To
very
precise,
itThe
is
for
denotes
the
investable
assets
retirement.
optimal
capital
trajectory
(also
tion
to
Equation
A4, can
be aexpressed
as a
The
optimal
financ
eare
ed
and
computed
by
the
following:
A6
into
differential
Equation
A4,
however,
conterminal
is
Fregion
=
atdenotes
the
t,that
Equation
A4
is
valid
only
until
the
wealth
tion
tocondition
Equation
A4,
can
be
expressed
as
function
defined
until
t <the
),atwhich
is the
solur
domain
t0possible

(0,).
* only
The
initial
condition
is0,the
Fwhere
= W,
where
W
rate)
is
(as
–(1994,
the
)/F
. timefinancial
c
0
0
pension
annuity
income
is
consumed.
Leung
0
lus
of
variations
leads
to
following.
The
optimal
*
*
The
initial
condition
is
F
of
as
follows:
=
W,
where
W
rate)
is
(
–

)/F
.
terminal
condition
is
F
=
0,
where

denotes
the
assuming
that
v(t,F
)
=
r,
can
be
expressed
as
the
c
pension
annuity
income
is
consumed.
Leung
(1994,
F
<
0
for
some
time
t
<
D.
We
are
not
talking
about
terminal
condition
is
F
=
0,
where

denotes
the
*
wealth
depletion
time,
at
which
point
only
the
defined
as
only
until
time
t
<
),
which
is
the
soluc
r
τ
0
of
as
follows:
tion
to
Equation
A4,
can
be
expressed
as
a
function
defined
as
only
until
tim
0
0
4,denotes

*
firms
that
the
solution
is
correct
and
valid
over
the
t
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth
c
0
t

of Tcthe
asinvestable
follows: assets at retirement. The
0optimal
− vs
modal value in the annu
In other
words, the
0 −modified
+where
π0 trajectory
/function
πin
/Equation
Wvalue
r ) ethe
r
(capital
The
financial
(also
0(also
(A2)
v, mpension
, b ) solution
=
e0annuity
p xF)the
( sdepletion
(denotes
2007)
explored
the
existence
ofathe
awealth
WDT
in
apenseries
offinancial
trajectory,
,ds
in, following
the
region
over
which
it(1994,
is
positive,
∫0the
is consumed.
Leung
* ,=de
* as
investable
assets
at
retirement.
The
wealth
time,
at
which
point
only
of ccomme
follows:
to
second-order
nonhomoThe
optimal
capital
trajectory
2007)
explored
the
existence
of
a
WDT
in
a
series
of
the
zero
values
of
the
function.
Rather,
the
definidepletion
time,
at
which
point
only
the
tincome
tion
to
Equation
A4,
can
be
expressed
as
a
function
.
c
(A7)
tion
to
Equation
A4,
can
of
domain
t

(0,).
une
fonction
de
la
manière
suivante
:
de
l’équation
différentielle
non
homogène
de
second
depletion
time

<
D
by
assuming
minimal
0 A1—and thus life-cycle
0 t < ),
π0is
terminal
condition
is
Ftheoretical
= 0,
where
 denotes
the
is
m*the
= maximized
m
actuarial present va
⎛utility—is
rsoluτfactor
τ⎛ + bln().
defined
asbe
only
until time
which
π0 ⎞ The
2007)
explored
the
of
acan
WDT
in
aIn
series
ofas
πv(t,F
papers.
theory,
the
WDT
can
at
the
assuming
that
r,
be
expressed
the0;
rt * as follows:
⎛annuity
⎞annuity,
−function
, mis
*,⎞⎟the
avalue
rW
k+Leung
be)rt(1994,
e=in
condition
isexistence
=rtt)equation:
0,= where
theoretical
denotes
the
(which
pension
is
consumed.
Leung
*only
F),
geneous
differential
seterminal
the
retirement
age
“price”—under
ation
real,
defined
as
until
time
t <the
solu0F:income
papers.
In
theory,
the
WDT
can
be
at
of
our
WDT
is
F(1994,
t
>when
ofannuity
permanently.
One
income
is consumed.
as
follows:
x=term
of
c
ordre,
ci-après
F
W
+
e
sion
as
well
as
a
large-enough
(arbitrary)
t
t = pension
c
⎜
π
In
other
words,
the
Equation
⎛
⎞
F
=
W
+
e
0
rt
t
wealth
depletion
time,
at
which
point
only
the
multiplying
time
zero
consumption value
0
the
consumption
rate
and
the
wealth
trajec0
⎜
⎟
tion to
Equation
A4,
can be expressed
as a function r
theoretical
papers.
Infollowing
theory,
the
WDT
can
be=at
⎜ the
⎟final
F
=income
W+
eoptimal
⎝
horizon
time
(
D)
iftime
pension
is
solution
to
second-order
nonhomotwealth
discount
ratet explored
v—of
atime,
life-contingent
pendepletion
atexistence
which
point
only
the
t Equation
⎜the
⎟existence
2007)
of
a WDT
in
athe
series
⎝=of
⎠ = r, Equation (A6)
tion
to
A4,
can
be expressed
asra=⎠series
function
rthe
final
horizon
(
=t <
D)
if
pension
income
is
can
show
that
when
Rthe
>of
,
borrowing
is
not
2007)
explored
the
of
a WDT
in
⎝time
⎠ is
0,
and
Note
that
when
1,

is
interest
rate
v(t,F
)
on
borrowing
when
F
0.
For
a
A1—and
thus
life-cycle
utility—is
maximized
r
0


⎝
⎠
final
horizon
(
=
D)
if
the
pension
income
is
t
pension
annuity
income
consumed.
Leung
(1994,
life-contingent
pension
annuity
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
*
(A6)borrowing
of c*0 as follows:
(A4)
+$1r )aFyear
+ In
−π
Ft a− real
kincome
rk
Ft =death
kzero)
π0 ⎞ rt
(differential
⎛isIn
π ⎞a shif
⎛ under
(A6)
nuity
that
pays
until
t papers.
t minimal
ttheory,
t , WDT
(or0the
and/or
the
rate
geneous
equation:
τ . be at
pension
annuity
is
consumed.
Leung
(1994,
theoretical
can
be
at
the
of
as
follows:
(or
zero)
and/or
the
borrowing
rate
is
and
minimal
<
Daunder
certain
conditions.
For
our
numertheoretical
papers.
theory,
the
WDT
the
t can
rt π0 F = rtW +π0 0 e rt
c
A7
collapses
to
W/
F
=
W
+
e
is
*
more
detailed
discussion,
including
the
impact
of
a
a
minimal
(or zero)
and/or
the
borrowing
rate
is
π
when
the
consumption
rate
and
the
wealth
traject
0
π
t
⎜
⎟
*
2007)
explored
the
existence
of
a
WDT
in
series
of
t
modal
value
of
m
+
bln()
and
a
shifted
course,
these
two
equations
are
functions
of
two
t
rt
x
a
r
k
m
b
c
e
,
*,
−
,
−
−
0 be very precise, it is possible
0
*elow.
T,
whichever
first.
− a)isx 0( r − k , m*, b ) c0 e⎜⎝ − r , ⎟⎠valuat
relatively
To
for
rbD)
, mpossible
*,
− pension
, x ( income
−⎛ atx time
−
aTo
rtime
kdots
bmortality
,m
−relatively
−double
−Although
( rvalue
)⎠c0*ifertthe
(rbe
)ac=we
2007)
explored
of
in
a, series
of To Milevsky,
where
thethe
denote
second
derivative
⎝0kis
finalcomes
horizon
(*,precise,
=
D)
ifdo
the
pension
income
low.
be
very
precise,
it
for
ical
results,
we
assume
aishigh-enough
of
R.
final
horizon
(
=
xexistence
0WDT
π
relatively
low.
very
it
is
possible
for
⎞
or

Finally,
the
WDT,
,
is
obtained
byrsubstituting
stochastic
rate,
see
Huang,
and
rt
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
(A6)
r Equat
r
*
(A4)
−
+
+
−π
,
F
k
F
rk
F
k
theoretical
papers.
In
theory,
the
WDT
can
be
at
the
weofmust
solve
for
rate
r – (rnow
– )/
instead
of r. Plugging
oùt risk
le (double
point
exprime
la0deuxième
dérivée
deare
la not talking
)theory,
rtime t <
ude a mortality
from
per⎛⎜ W about
⎞⎟ ecrt0 and —and
tpremium
t FD.
t0the
tthe
tcan
Funknowns—
=(or
+π
0the
for
some
D.
t We
theoretical
In
WDT
be
at
theWe
respect
tozero)
time
and
the
time-dependent
funcFt < with
0minimal
for papers.
some(or
time
t<
We
are
not
talking
about
and/or
the
borrowing
rate
iswhere
t<
F
<
0
for
some
time
t
<
D.
are
not
talking
about
minimal
zero)
and/or
the
borrowing
rate
is
π
The
Euler–Lagrange
theorem
from
calcuF
=
W
+
e
ut
Equation
A7
into
Equation
A5
and
searching
the
Salisbury
(2010).
where
the
modified
modal
value
in
the
annuity
t
t
rt
course,
these
two
equations
are
functions
of
two
0
r
the
modified
modal
value
in
the
annuity
t
t
⎜
⎟
*
e of
the
insurance
company
in
this
valuation
⎝ defini⎠ we
fonction
au
du if
temps
la
fonction
dépendante
où them,
la the
valeur
modale
facteur
de
est
the(A6)
modified
modal−A4,
final
horizon
time
(plan
= dots
D)
the et
pension
income
is duRather,
which
sequentially.
into
the
differential
Equation
however,
where
the
modified
modal
value
inthe
annuity
rmodifiée
kdefinimdo
,precise,
*, bdu
−where
, rente
−will
) cA6
avalue
r − in
k , mthe
*, cb
double
denote
the
second
derivative
r+− bln().
thehorizon
zero
values
of
function.
Rather,
the
definithe
zero
values
ofincome
function.
x (very
0 eit is
⎝low.
⎠abe
final
time
D)
the
pension
is of
x (value
tion
kt the
=
(r
–(the
=To
–The
be
)/
islus
introduced
to
simplify
relatively
low.
very
precise,
it
isthe
possible
for
the
zero
values
the
function.
Rather,
relatively
To
possible
for
of
variations
leads
to
the
following.
The
optimal
factor
is
m*
=
m
The
actuarial
present
value
tif
i*the
resulting
nonlinear
equation
over
the
range
(0,D)
for
factor
isA6
m*
=
m
+
bln().
The
actuarial
present
solution
to
the
differential
Equation
A4
is
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
for
one
could
include
it
by
tilting
the
survival
rthe
(A6)
c
temps
k
=
(r
–
ρ
–
λ
)/γ
e

st
introduite
pour
simplifier
m*
=
m
+
bln(γ).
Le
terme
de
la
valeur
actuarielle
factor
is
m*
=
m
+
bln().
The
actuarial
prese
minimal
(or
zero)
and/or
the
borrowing
rate
is
firms
that
the
solution
is
correct
and
valid
over
First,
from
Equation
and
definition
of
π
t
t
factor
is
m*
=
m
+
bln().
The
actuarial
present
value
0
tion
of
our
WDT
is
F
=
0;
t
>

permanently.
One
rtareπnot
with
respect
to
time
and
the
time-dependent
func0 talking
t tion
ofD.
our
WDT
isof
= 0;
>isFpermanently.
One
zero)
and/or
borrowing
rate
ist
notation.
The
real
interest
rate,
r, isnot
aFFpositive
conFt <(or
0life.
for
some
time
t the
<
We
are
about
multiplying
time
zero
consumption
values
tion
our
WDT
Fterm
=consumpt
permanently.
00;
for
some
time
tm<*,value
D.
We
about
trajectory,
,tune
in
the
region
which
it
r is
bterm
c*eOne
,we
−consommation
−>attxwhich
− kpositive,
ward
a longer
(qui
)we
eminimal
*–
rt
the
of
that
a0annuity
= 0.
Intime
other
words,
multiplying
time
zero
consumption
values
a m
0 , value
t t<over
obtained
in
two
stages.
First,
the
optimal
them,
ttalking
c(0,).
la
notation.
Le
taux
d’intérêt
rnot
est
constante
actualisée
la
zéro
where
the
modal
in
term
multiplying
zero
relatively
low.
To
be
very
precise,
itréel
iswhen
for
where
theconsumption
modified
domain
can
show
that
when
R–>
,)/
borrowing
ispossible
optimal
the
(Fkmodified
=*,0),
can
solve
forta
the
initial
conτ the
aoptimal
r −pension
m
bwill
c0*0edo
,multiplie
−sequentially.
, solves
−WDT
term
multiplying
time
zero
consumption
values
alife-contingent
(
)
tion
k
=
(r
–


is
introduced
to
simplify
r
x
can
show
that
R
>
,
borrowing
is
not
annuity
under
shifted
relatively
low.
To
be
very
precise,
it
is
possible
for
stant
and
a
pivotal
input
to
the
model.
We
reiterate
t
t
the
zero
values
of
the
function.
Rather,
the
definican
show
that
when
R
>
,
borrowing
is
not
optimal
the
zero
values
of
the
function.
Rather,
the
definiassuming
that
v(t,F
)
=
r,
can
be
expressed
as
the
representation
of
Equation
A2
allosed-form
if
a
WDT
exists,
then
for
consumption
to
remain
life-contingent
pension
annuity
under
a
shifted
r
tion
rate
while
F
>
0
can
be
shown
to
satisfy
the
t
and

<
D
under
certain
conditions.
For
our
numerFirst,
from
Equation
A6
and
the present
definition
of
positive
et un
élément
fondamental
du modèle.
Nous modal
privilégie
une
rente
retraite
conditionnelle
en value
factor
is
=m
+de
bln().
The
actuarial
life-contingent
pension
annuity
under
F < 0 life-contingent
for some
time
t <pension
D.
We
are
not
talking
about
factor
m* = m +
bln().
t r,
In
other
words,
the
value is
function
in
Equata
sumption
rate:
under
aconditions.
shifted
value
ofm*
m
bln()
shifted
valuation
notation.
The
interest
rate,
is
positive
conand
=<
D
under
certain
For
our
numerwhere
theWDT
modified
modal
value
in
the
annuity
Fttin
<
0terms
for
some
time
treal
<
D.
We
are
not
talking
about
that
Equation
A4
only
until
the
tion
of
our
WDT
is
Fhigh-enough
0;annuity
t
> and
 permanently.
One
ble
of
thewe
incomplete
gamma
funca<the
D
under
certain
conditions.
For
numertion
of
our
is +
F
=modal
0;modal
tand
avalue
permanently.
One
solution
to
following
second-order
nonhomoical
results,
assume
ais
value
of
R.wealth
rtvalid
smooth
at>
that
point—which
is
part
of
the
foundaoffor
m
+
bln()
and
a+ashifted
valuation
tour
equation
répétons
que
l’équation
A4
n’est
valide
que
jusqu’à
vertu
d’une
valeur
modale
déplacée
m
+
bln(γ)
where
the
modified
value
inde
the
annuity
the
WDT
(F
=
0),
we
can
solve
the
initial
conterm
multiplying
time
zero
consumption
values
modal
value
of
m
bln()
and
a
shifted
the
zero
values
of
the
function.
Rather,
the
definiterm
multiplying
time vz
rate
of
r
–
(r
–
)/
instead
of
r.
Plugging
Equation
A1—and
thus
life-cycle
utility—is
maximiz

modal
value
of
m
+
bln()
and
a
shifted
valuation
stant
and aof
pivotal
input
to
the
model.
τactuarial
ical
results,
we
assume
aareiterate
high-enough
value
factor
is
m*
=of
m(R.
+
bln().
The
present
value
A,B),
which
isshow
available
analytically:
zero
values
the
Rather,
the
definidepletion
time,
.function.
But
one
can
always
force
wealth
can
that
when
Rtheorem
>du,
borrowing
isWe
not
optimal
ical
results,
we
assume
ad’un
high-enough
of
R.−rπannuity
The
Euler–Lagrange
from
the
calcucan
show
that
when
Rvalue
,
is
not
optimal
geneous
differential
equation:
. the
+tion
π>
/of
/–theory—it
W
r borrowing
eractuarial
rhowever,
life-cycle
must
converge
to

.
rate
of
–
(r
–
)/
instead
of
r.
Plugging
Equation
)
la
date
d’épuisement
patrimoine
τ.
Mais
on
peut
et
taux
d’évaluation
déplacé
r
(r
–
ρ)/γ
plutôt
factor
is
m*
=
m
+
bln().
The
present
value
sumption
rate:
A6
into
the
differential
Equation
A4,
conlife-contingent
pension
under
a
shifted
0
0
0
rate
of
r
–
(r
–
)/
instead
of
r.
Plugging
tion ofrate
our
WDT
is
F
=
0;
t
>

permanently.
One
life-contingent
pension
when
the
consumption
rate
and
the
wealth
of
r
–
(r
–
)/
instead
of
r.
Plugging
Equation
1/ The
γuntil
kt permanently.
that
valid
only
the
wealth
=solution
. ourover
c0*calcuThe
Euler–Lagrange
theorem
from
the
term
multiplying
time
zero
consumption
values
a (A7)A4, however, con- traE
*is
*following.
lusofof
variations
leads
the
optimal
our
WDT
isforcer
FttA4
0;
t
>
assuming
One
depletion
= <
minimal
pen(A5)
and
Equation
< D time
under
certain
For
our
numercto
= by
cdate
, aThe
and
<
D
under
certain
conditions.
For
numerEuler–Lagrange
theorem
from
the
calcu(
)
firms
that
the
is
correct
and
valid
the
u-tion
A6
into
the
differential
Equation
rl’équation
τl’intégration
τand
t⎞D
0 econditions.
t p xis
toujours
une
d’épuisement
du
patrimoine
que
r.
Toutefois,
de
A6
dans
Mathematically,
the
WDT,
,
satisfies
the
equation
term
multiplying
time
zero
consumption
values
a
x
−
m
modal
value
of
m
+
bln()
a
shifted
valuation

A6
into
the
differential
Equation
A4,
can
show
that
when
R
>
,
borrowing
not
optimal
modal
value
of
m howe
+ bln
⎡
⎛
⎤
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
A6
differential
Equation
con− kr,annuity
a x+(πr (A4)
me*,
r τ b ) e under a shifted
−
+ rvalue
+ of
= to
−π
Fis
rk
Fical
kt ,tfollowing.
trajectory,
Ftthe
in
the
over
which
itleads
positive,
(iskthowever,
) Fthe
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
at wealth
lus
of
variations
to
following.
pension
t A4,
tR.
t life-contingent
0The
bΓinto
−<vb
,, exp
show
that
when
Rregion
>assume
,
not
optimal
sion
annuity,
as
well
as
arente
large-enough
(arbitrary)
ical
results,
we
high-enough
− π0 of
/que
W
r r. solution
domain
optimal
(0,).
⎜supposant
⎟ ⎥kborrowing
results,
we
assume
high-enough
value
of is
R.
(
)
lus
of
variations
leads
the
The
optimal
alcan
0 a/A4
firms
that
the
correct
and
valid
over
the
τ
D
en
une
de
retraite
minimale,
de
l’équation
différentielle
confirme
la
solution
est
life-contingent
pension
annuity
under
a
shifted
⎢
b
rate
of
r
–
(r
–
)/
instead
Plugging
Equation
where
=
(r
–
)/
and
the
unknown
initial
con*
firms
that
the
solution
is
correct
and
valid
and

<
D
under
certain
conditions.
For
our
numerrate
of
r
–
(r
–
)/
inste
course,
these
two
equations
are
functions
of t
τ. andvaluation
assuming
thattime
v(t,F
=trajectory,
r,
can
be Fexpressed
as the
that
the
solution
is assuming
correct
valid
over
the
⎣The
⎝v(t,F
⎠on
⎦ by
=ofthat
c0 words,
(A7)
t) <
depletion
D
afrom
minimal
peninand
the
region
which
itother
isEuler–Lagrange
positive,
modal
value
m dans
bln()
shifted
=from
/ r=
r,k τEquation
Note
when
+and
=π1,
 <firms
D under
certain
For
our
numerWdomaine
/aatrtr0shifted
er0,
−inπthe
interest
rate
borrowing
when
F
<
For
amodal
In
function
Equation
(value
where
the
double
dots
denote
the
second
derivative
Euler–Lagrange
theorem
calcub ) solution
τ+
τ)
t,,trajectory,
FR.t0.
, over
in
the
region
over
which
itthe
is
positive,
The
theorem
calcu1/ γ
t)conditions.
t the
0Equation
0valuation
même
qu’un
taux
d’intérêt
(arbitraire)
suffisamment
correcte
et
valide
le
(0,τ).
e,,and
domain
(0,).
*
value
of
m
+
bln()
and
A6
into
the
differential
A4,
however,
consumption
rate,
can
be
solved
for.
The
optimal
to
the
following
second-order
nonhomo−
,
*,
a
r
k
m
b
e
domain
t

(0,).
*
ical= results,
we
assume
a
high-enough
value
of
A6
into
the
differential
(
)
c
(A8)now solveE
ec0 and
τof
domain
t  (0,).
( τ px—and
) = πwe
xto
xleads
−high-enough
m as
0 respect
sion
annuity,
as
well
large-enough
0 . must
A1—and
thus
life-cycle
maximized
⎛sur
⎞to
⎡( mof
⎤ athe
that
v(t,F
=(arbitrary)
r,Pour
can
be
as
the
rate
of
r –collapses
(r
– )/
instead
r. unknowns—
Plugging
A7
W/
.the
results,
we
aassuming
value
more
detailed
including
the
impact
of
arate
aasτutility—is
r τEquation
with
to
time
and
time-dependent
funclus
variations
following.
The
optimal
assuming
that
v(t,F
)expressed
=of
r,
can
be
expressed
lus
of
variations
leads
to
the
following.
The
optimal
xof
élevé
)discussion,
lestheorem
emprunts
lorsque
Ftt)of
<
0.R.
une
exp
−
x ) assume
v (t,F
− exp
eicalgeneous
differential
equation:
tthe
In
other
words,
the
value
function
in
Equation
r
–
(r
–
)/
instead
r.
Plugging
Equation
t
⎜
⎟
a
r
−
k
,
m
*,
b
e
firms
that
the
solution
is
correct
and
valid
over
the
consumption
rate
declines
when
the
SDR,
,
is
(
)
firms
that
the
solution
The
Euler–Lagrange
from
the
calcuIn
other
words,
the value
function
in is
E
which
we
will
do sequentially.
when
the
consumption
rate
the
wealth
⎢⎣Euler–Lagrange
⎥⎦ value
In other
words,
the
function
in
Equation
= 0,
and
trajec=
r,conEquation
Note
that
when
x =and
them,
bon
interest
rate
when
Fto
<d’un
0.
For
aA6
to
the
following
second-order
nonhomointo
the
differential
Equation
however,
0A4,
⎠borrowing
Finally,
the
WDT,
,1,is
obtained
by
substituting
stochastic
mortality
rate,
see
Huang,
Milevsky,
and
The
theorem
from
the
t)solution
t
tion
ksolution
=
(r
–calcu–positive,
hence,
)/
is kintroduced
to
simplify
trajectory,
Fv(t,F
,plus
in⎝ the
region
over
which
it
is
the
following
second-order
nonhomotrajectory,
F
,
in
the
region
over
which
it
is
positive,
En
d’autres
termes,
la
fonction
de
valeur
dans
discussion
détaillée,
y
compris
l’effet
taux
t
t
o-lus of
t
t
A1—and
thus
life-cycle
utility—is
maximized
A6
into
the
differential
Equation
A4,
however,
condomain
t

(0,).

τ
equal
to
the
interest
rate,
r,
and
=
0.
This
domain
t

(0,).
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
variations
leads
to
the
following.
The
optimal
A1—and
thus
life-cycle
utility—is
ma
(A2a)
(A4)
+ r )thus
=
−π
,
Ft − ( kdetailed
Ft +discussion,
rk
F
k
First,
from
Equation
A6
and
the
definition
A1—and
life-cycle
utility—is
maximized
A7
collapses
to
W/
.
Put
another
way,
more
including
the
impact
of
a
t
t
t
0
t
a
differential
equation:
firms
that
the
solution
isl’utilité
correct
and
valid
over
the the
Equation
A7
Equation
A5
and
searching
Salisbury
(2010).
lus of variations
leads
the
The
optimal
x are
The
real
interest
rate,
r,these
is
aA1
positive
assuming
that
v(t,F
r,anotation.
can
be
expressed
as
the
differential
equation:
that
v(t,F
)into
=concan
be
expressed
astwo
the
+geneous
x − to
m
T t⎞)following.
l’équation
(et equations
du
cycle
deover
vie)
est
stochastique,
voirgeneous
Huang,
Milevsky
etassuming
⎡de
⎛ outcome
⎤=
tdonc
course,
two
functions
of
the
consumption
rate
trajecfirms
that
the
solution
isr,when
correct
and
valid
the
israte
very
important
implication
(and
In(0,).
other
words,
the
value
function
Equation
trajectory,
Fvb
,mortalité
the
region
over
which
it
isderivative
positive,
when
the
rate
and
the
wealt
Inwealth
other
words,
thec
the
WDT
(F
=inconsumption
0),
weand
canthe
solve
for
the
initial
when
consumption
and
the
wealth
trajec−
bΓthe
,in
exp
t,the
where
double
dots
denote
the
second
Finally,
the
WDT,
,
is
obtained
by
substituting
stochastic
mortality
rate,
see
Huang,
Milevsky,
and

⎜
⎟
domain
t

resulting
nonlinear
equation
over
the
range
(0,D)
for
trajectory,
F
in
the
region
over
which
it
is
positive,
The
solution
to
the
differential
Equation
A4
is
stant
and
a
pivotal
input
to
the
model.
We
reiterate
solution
to
the
following
second-order
nonhomo*
solution
to
the
following
second-order
nonhomomaximisée
lorsque
le
taux
de
consommation
et
la
Salisbury
(2010).
⎢
⎥
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
for
t


c
(A8a)
τ
=
f
γ
,
π
W
,
ρ
,
r
,
x
,
m
,
b
.
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
domain
t

(0,).
b
⎣
⎝
⎠
⎦
(
)
observable
result)
from
the
LCM.
Planning
to
0 thus life-cycle


(A4)
−
+
+
=
−π
,
F
k
r
F
rk
F
k
A1—and
utility—is
maximized
assuming
that
v(t,F
)
=
r,
can
be
expressed
as
the
(
)
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respect
0
A1—and
thus
life-cyc
with
respect
to
time
and
the
time-dependent
funcsumption
rate:
(A4)
−
+
+
=
−π
,
F
k
r
F
rk
F
k
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
t
t
t
t
t
0
t
t
(
)
Equation
A7
into
Equation
and
searching
the
Salisbury
(2010).
4)assuming
. that
− obtained
t asconsumpt
t geneous
t trajectoire
t the
0 du
twe
In
other
words,
the
value
function
in
Equation
value
of
 that
– A5
0équations
=two
0. In
other
that v(t,F
) =stages.
r, can
be
expressed
the
in
two
First,
theEquation
optimal
them,
which
will
do solves
sequentially.
A4
is valid
only
until
the
wealth
geneous
differential
equation:
cτ*these
patrimoine
satisfont
les
A5 et words,
differential
equation:
course,
equations
are
functions
of two
tioncourse,
kt⎡to
= (r
– following
 –ttwo
t⎛)/
to
simplify
Inresulting
other
words,
the value
function
in
Equation
−is
xwhere
m ⎞introduced
when
thenonlinear
consumption
rate
and
the
wealth
trajecsolution
the
second-order
nonhomocourse,
these
two
equations
are
function
when
the consumption
⎤differential
these
equations
are
functions
of
two
equation
over
the
range
(0,D)
for
the
double
dots
denote
the
second
derivative
The
solution
to
the
Equation
A4
is
r
τ
First,
from
Equation
A6
and
the
definition
of
A1—and
thus
life-cycle
utility—is
maximized
if
a
WDT
exists,
then
for
consumption
to
remain
solution
to
the
following
second-order
nonhomoexp
m
−
x
v
−
exp
tion
rate
while
F
>
0
can
be
shown
to
satisfy
the
where
the
double
dots
denote
the
second
derivative
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth
(
)
A6
respectivement.
Bien
entendu,
ces
deux
équations
La
solution
à
l’équation
différentielle
A4
est
obtenue
en
⎜
⎟
egeneous
t
*
notation.
The
real
interest
rate,
r,
is
a
positive
con+
π
/
−
π
/
W
r
e
r
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
fornowA
(
)


A1—and
thus
life-cycle
utility—is
maximized
c
⎢
⎥
*


tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
0
0
differential
equation:
unknowns—
and
—and
we
must
tory
satisfy
Equations
*
(A4)
−
+
+
=
−π
,
F
k
r
F
rk
F
k
c
0
b
(
)
(A4)
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
for
−
+
+
=
−π
,
F
k
r
F
rk
F
k
⎝
⎠
⎣differential
⎦ t depletion
*=
* the
( value
the
WDT
=)at0),
can
solve
initial
conthe
of
we
that
the
0. τ)
In
words,
c0equation:
respect
and
time-dependent
funcobtained
inttwo
stages.
First,
the
optimal
consumptwith
0to
t time
0
56
www.cfapubs.org
©2011
CFA Institute
=et
.
t the
t(F
tthat
t deux
t solves
0 ct for
(A
minimal
when
the
consumption
rate
and
wealth
trajecsmooth
point—which
is
part
ofetother
the
foundaequation
with
respect
and
time-dependent
functime
 the
<toDtime
bywhen
assuming
a
pensont
des
fonctions
de
inconnues
(0cwe
deux
étapes.
Premièrement,
le
taux
de
consommation
nous
τ –
stant
and
at pivotal
input
to tthe
model.
We
reiterate
0
c-geneous
them,
which
will
do
sequentially.
r
τ
τ
the
consumption
rate
and
the are
wealth
trajeccourse,
these
twothen
equations
functions
of
two
them,
which
we
will
do sequentially.
course,
these two equa
sumption
rate:
them,
which
we
will
do
sequentially.
−
,
*,
a
r
k
m
b
e
(
)
Milevsky
(2006,
p.
61)
for
instructions
on
if
a
WDT
exists,
for
consumption
to
remain
tion
k
=
(r
–

–

)/
is
introduced
to
simplify
tion
rate
while
F
>
0
can
be
shown
to
satisfy
the


x
that
Equation
A4
is
valid
only
until
the
wealth
tory
satisfy
Equations
A5
and
A6,
respectively.
Of
where
the
double
dots
denote
the
second
derivative
tion
of
life-cycle
theory—it
must
converge
to

.
> t00ksion
être kexprimé
devons
leur trouver
solution,
ce
que nous
ferons en 0
tion
(rwell
–comme
 as
– where
at)/
is
todenote
simplify
large-enough
(arbitrary)
theintroduced
double
dotsune
the
second
derivative
t t F=t −π
(A4)
+ rkt F
Ft − ( koptimal
Ftlorsque
y
t t=as
t +rr))F
t,,peut annuity,
First,
from
Equation
A6 Equation
and
the definition
of defi
γ Microsoft
satisfy
Equations
A6,
respectively.
Of
* and
ktBut
unknowns—
andand
—and
we
must
solve
for
unknowns—
—
(A4)rate,
− (gamma
−π
Fthe
ksatisfaisant
rk
ce0*point—which
First,
from
code
r τA5
(A5)
First,
A6
and
theinterest
of
= c0*from
e.+
pFone
, 0 kalways
depletion
time,
force
adefinition
wealth
smooth
at
that
is
part
ofnow
the
foundatequation
tct*+
tfunction
tthe
The
real
r,tory
is séquence.
arespect
positive
( ttEquation
)=1in/ can
0 the
course,
these
two
equations
are
functions
of
two
with
respect
to
time
and
time-dependent
funcandand
c=
r, Equat
Note
that
when
 = 1,
0 = 0,A6
xtnotation.
l’équation
+ conπ
/<rpositive
−the
πathe
/time-dependent
W
rWDT,
notation.
The
real
interest
rate,
r,
is
a
conwith
to
time
and
funcinterest
rate
v(t,F
)
on
borrowing
when
F
0.
For
Mathematically,
,
satisfies
the
equation
(
)
n-where
0
0
t
t
*
the
WDT
(F
=
0),
we
can
solve
for
the
initial
concourse,
these
two
equations
are
functions
of
two
the
double
dots
denote
the
second
derivative
them,
which
we
will
do
sequentially.
=
.
c
(A7)
them,
which
we
will
do
the
WDT
(F

=
0),
we
can
solve
for
the
ini
depletion
<D
by
assuming
a minimal
penthe
0),
we
can
solve
forderivative
the
initial
contion
of
theory—it
must
converge
to
and
aintroduced
pivotal
input
to
the
model.
We
 a0.τ .
τlife-cycle
τ we must
where
the
double
denote
the
second
unknowns—
—and
now
solve
for
tionWDT
ktime
==(F
(rdots
)/
–stant
ismore
to
simplify
A7
collapses
to W/
kt–=
stant
and
a pivotal
input
model.
We
tion
kt0to
= the
(rreiterate
–and
)/
is
to simplify
detailed
discussion,
including
the
c*r0*impact
where
– and
the
unknown
initial
contγ)/
−
*, of
a–
k, tm
b
earintroduced
(
)
/and
1
x of
rreiterate
τsumption
x
rate:
* tkto
*(r
unknowns—
and
—and
we
must
now
solve
for
with
time
the
time-dependent
funcsionrespect
annuity,
as
well
as
a
large-enough
(arbitrary)
eewealth
trajectory
(financial
capital
during
(A5)
c
First,
from
Equation
A6
and
the
definition
c
=
c
e
p
,
sumption
rate:
First, from
Equatio
(and
)interest
π0will
π0l’équation
+0until
/ partir
rthe
eand
−
/ r is
(W
)=do
sumption
t to time
0rate:
t *xthat
Equation
valid
only
until
the
wealth
1/et
γ the
Mathematically,
the
WDT,
satisfies
the
equation
respect
time-dependent
funck τ a,Finally,
Premièrement,
àinterest
de
A6
la
them,
which
we
sequentially.
notation.
The
real
rate,
r,A4
ais0.
positive
conthat
A4
is
valid
only
wealth
notation.
The
real
rate,
conWDT,
, is obtained
by substitut
mortality
see
Huang,
Milevsky,
, the
can
bestochastic
solved
for.
The
hwith
c0borrowing
0,r,
and

=p
r,
Note
that
when
=do
1,sequentially.

(A8)
=de
π
esolve
interest
) on
when
Fist Equation
<
Foroptimal
a rate,
( τpositive
ent)
is denoted
,–and
the
dynamic
con0 = can
them,
which
we
will
tion
ksumption
= rate
(r by
– v(t,F
Ftrate,
)/
is
introduced
to
simplify
t
x )Equation
0.
the
WDT
(F
0),
we
for
the
initial
conthe
WDT
(F
=
0),
we ca
t
t
r
τ
r
τ
τ

depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth

τ
rτ
définition
la−force
patrimoine
ktconsumption
=detailed
(roùand
–kk==(rdiscussion,
–trate
)/
istaux
introduced
toimpact
simplify
where
)/
and
unknown
initial
constant
a–(rpivotal
input
to
the
model.
We
time,
. But
cana always
stant
and
pivotal
input
to
the
model.
We
First,
from
and
Equation
A7
Salisbury
(2010).
r τ dethe
πdefinition
− of
π+Equation
r ) e into
ade
rEquation
kdate
bwealth
e and
A7one
collapses
to
. *,
raτd’épuisement
(Wthe+dudefinition
the
SDR,
is
)A6
more
including
the
ofreiterate
a ,
ar,xm
h
ntion
our
model—linked
objective
funcρ)/γ
et/ le
consommation
initial
inconnu
− π0and
/rate:
W
r searching
0 /reiterate
0π/0r / r ) e A5
x+(W/
(
+interest
πthe
− πr,
/when
W– to
r )declines
erate,
radepletion
notation.
The
real
is
positive
con(
π
π
W
/
e
−
*/ r= kthe
First,
from
Equation
A6
of
(
)
sumption
rate:
sumption
0
0
/
1
γ
.
c
(A7)
0
0
*
τ
depletion
time

<
D
by
assuming
a
minimal
pen*
(F
= 0),(FEquation
nous
trouver
solution
pour
le equation over the. range (0,D)
* can
= πconc wealth
0 une
notation.
The
interest
rate,
r,r,solved
isand
aThe
positive
sumption
rate,
be
for.
The
that
Equation
is
valid
only
until
the
Finally,
WDT,
,
isis
obtained
by
stochastic
mortality
rate,
see
Huang,
Milevsky,
and
time
 <that
D
apouvons
minimal
penEquation
A4
is
only
until
theby
WDT
resulting
τassuming
=another
0),
wevalid
can
solve
the
initial
.depletion
(A7)
cA4
solution
to
the
differential
A4
efor
pthe
ττ substituting
A1—can
now
be
as
equal
to=real
the
interest
rate,
hence,
kcon=optimal
0.wealth
This
n-Equation
)nonlinear
peuvent
être
établis.
dereiterate
consommation
the
0 , expressed
rτ
x−
Put
way,
stant
and
ac0pivotal
to
the
model.
We
rLe
τ input
τ taux
a(the
k0, m=*,conb0a). eτ r(τr(A8)
the
WDT
(F
we
can
solve
for
rr:ττ and
τ 0), Equation
− k , m**,–b) e=
x ( r initial
 a=
sion
annuity,
as
well
as
a
large-enough
(arbitrary)
Equation
A7
into
A5
searching
the
Salisbury
(2010).
taux
de
consommation
initial
−
,
*,
a
r
k
m
b
e
(
)
stant
and
a
pivotal
input
to
the
model.
We
reiterate
rτ
r
−
k
,
m
*,
b
e
xsolves
consumption
rate
declines
when
the
SDR,
,
is
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth
(
)
:
sion
annuity,
as
well
as
a
large-enough
(arbitrary)
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth
the
value
of

that
wor
sumption
rate:
x
obtained
in
two
stages.
First,
the
optimal
consumpcτ
x
outcome
is
a
very
important
implication
(and
y)that Equation
optimalA4
diminue
lorsque
le until
TAS, ρ,
équivaut
au tauxsumption rate: (W + π0 / r ) e − π0 / r
0 (0.
+ πother
W In
is
valid
only
the
wealth
0 / r)e
* For
resulting
nonlinear
equation
over
the
range
(0,D)
for
The
solution
to valid
the
differential
Equation
A4
is
*=
=
0,
and

r,
Equation
Note
that
when

=
1,

interest
rate
v(t,F
)
on
borrowing
when
F
<
0.
a
=
.
c
(A7)
that
Equation
A4
is
only
until
the
wealth
=
c
0
=
0,
and

=
r,
E
Note
that
when

=
1,
equal
to
the
interest
rate,
r,
and
hence,
k
=
0.
This
depletion
time

<
D
by
assuming
a
minimal
pen(A8a)
t
t
interest
rate
v(t,F
)
on
borrowing
when
F
<
0.
For
a
depletion
time

<
D
by
assuming
minimal
penτ
=
f
γ
,
π
W
,
ρ
,
r
,
x
,
m
,
b
.
if
a
WDT
exists,
then
for
consumption
to
rem
0
tion
rate
while
F
>
0
can
be
shown
to
satisfy
the
=
0,
and

=
r,
Equation
Note
that
when

=
1,

(
)
0 0
from
the
Planning
rresult)
et one
queFirst,
partant,
koptimal
= LCM.
0. Ceconsumpttothe value of
tr τway,
Put
another
t est une
τ
But
can
always
force
arésultat
wealth
=adepletion
+ two
π0 ,. stages.
v (obtained
t , Ft )observable
Ft − d’intérêt
ctime,
τ.
+that
solves
–collapses

other
words,
the0(A3)
ckτ*,πm
tin
*,
arxτ)0(impact
rτ−aA7
ba=)smooth
e0.r τIn to
τ.
π
/
−
/
W
e
r
0
−
,
*,
a
r
k
m
b
W/
(
(
r
τ
more
detailed
discussion,
including
the
impact
of
a
a
depletion
time,
.
But
one
can
always
force
a
wealth
0
0
x
A7
collapses
to
W/
outcome
is
a
very
important
implication
(and
sion
annuity,
as
well
as
a
large-enough
(arbitrary)
more
detailed
discussion,
including
the
of
sion
annuity,
as
well
as
large-enough
(arbitrary)
a
at
that
point—which
is
part
of
the
foun
x
equation
A7
collapses
W/
conséquence
importante
(et
untorésultat
observable)
+ π0 /then
− πconsumption
r ) e for
adepletion
a x .be shown
x
c*0* = (Wexists,
(A7)
if a WDT
to remain
0 /r .
tion
rate
while
Ftto
0 for
can
satisfy
the
time
notation
<
D>très
by
assuming
a
minimal
penhe
dot
is
shorthand
a
derivative
r
τ
τ
=rate
.mtion
c0see
(A7)
Finally,
the
WDT,
,
is
obtained
by
stochastic
mortality
Huang,
(A8a)
τNote
= fand
,on
Wb, ρ
,=
xis,1,
, b0 )=.of
0,the
 =For
r, theory—it
Equation
that

time
 <the
D
by
a minimal
penobservable
result)
from
the
LCM.
Planning
to
interest
rate
v(t,F
Note
that when
on
borrowing
when
F
<see
0.propre
For
asmooth
WDT,must
,
issubstituting
obtained
by
stochastic
rate,Milevsky,
of
life-cycle
converge
tosub
=0.1
interest
)γMilevsky,
borrowing
when
Fand
0.
athe
*,
av(t,F
r(t−
kπ, 0mwhen
du
MCV.
La
planification
vue
d’abaisser
son
Finally,
WDT,
,
is en
obtained
byrate,
substituting
ddepletion
t)assuming
tmortality
)ee,rrττand
atHuang,
that
part
foundaequation
t <Finally,
sion
annuity,
as well
as
a large-enough
(arbitrary)
1/ γ
kt
− k, m
*,(A5)
a xτx((rpoint—which
bEquation
thsion
(financial
capital)
with as
respect
to time,(2010).
0c* =(arbitrary)
56
www.cfapubs.org
©2011
CFA Institute
)
τ.
*the
A7
into
Equation
A5
and
searching
the
Salisbury
c
e
p
,
(
)
A7
collapses
to
W/
.
annuity,
as
well
a
large-enough
A7
collapses
to
W/
more
detailed
discussion,
including
impact
of
a
a
Equation
A7
into
Equation
A5
and
searc
Salisbury
(2010).
more
detailed
discussion,
including
the
impact
of
a
ax
of life-cycle
theory—it
0.
0 searching
t = xr). thetion Note
niveau
de) vie
avec
l’âge estwhen
rationnelle
si
(ρ
the WDT, , satisfies the equa
Equation
A7
into
A5 t and
x= 0,converge
and Mathematically,
 = r,toEquation
that when
 = 1, must
1/borrowing
γ Equation
interest
rate
v(t,F
on
Ft to
<
0.
For
a
the
income
any prekt tdollars)
0=
(A5)
ct*rate
=(in
c0*v(t,F
ereal
, from
( ttmortality
nonlinear
equation
theFinally,
rangeover
(0,D)
forrange
=
0,
and
r,resulting
=the
r, Equation
Note
that
when
γτ==con1,resulting

À
notermortality
que
lorsque
π0A4
0,
et
ρ =Milevsky,
l’équation
A7 overequation
The
solution
the
differential
Equation
A4
is the
x ) borrowing
)pon
when
F
<
0.
For
a and
Mathematically,
the
WDT,
,
satisfies
equation
Finally,
WDT,
,
is
obtained
by
substituting
stochastic
rate,
see
Huang,
Milevsky,
and
nonlinear
the
the
WDT,
,
stochastic
rate,
see
Huang,
and
0
The
solution
to
differential
Equation
is
t
resulting
nonlinear
equation
over
the
range
(0,D)
for
where
k
=
(r
–
)/
the
unknown
initial
isinterest
pension
annuities,
and the function
multi-the impact of a
rτ
A7 collapses to W/ aτx .
56
www.cfapubs.org
©2011
CFA
more detailed
discussion,
including
πsolves
W
+value
/ r of
ecInstitute
−– π
/ r0. kIn
* that
)
value ofA5
(the
that
0the
=
other
s’effondre
sur
A7
collapses
to
W/
. the
obtained
in
two
stages.
First,
the
optimal
consumpwhere
kvalue
(rdiscussion,
–of(2010).
)/
and
thede
unknown
initial
con/ γ=into
1words,
more
detailed
including
the
impact
of
a
a
0searching
Equation
A7
into
Equation
and
Salisbury
*
τ
r τ optimal

solves
–

0.
In
othe
Equation
A7
Equa
Salisbury
(2010).
Il=defined
convient
également
noter
que
la
consommation,
obtained
in
two
stages.
First,
the
optimal
consumpc
τ
*
*
x
the

that
solves
–

=
0.
In
other
words,
sumption
rate,
,
can
be
solved
for.
The
p0
wealth
itself
is
by
c
c0
r ) eWDT,
− π0 ,/ ris kobtained
e ( ττ p x ) = π0 . (A
(W + π0 /the
0Milevsky, and
Finally,
stochastic
mortality
rate,
seesolved
Huang,
/ γby substituting
τ for.
τ
sumption
rate,
cantion
be
The
optimal
τ0 WDT
τresulting
c0* ,rate,
ifisiseequation
aobtained
WDT
to remainequa
π
.then
rate
while
Flet rate
>
0 rate
can
be
toresulting
satisfy
( τ px )1exists,
Finally,
thethe
WDT,
,
byif=asubstituting
see
Huang,
Milevsky,
and
nonlinear
over
(0,D)
The
solution
to
the
differential
Equation
A4
is 0 can
définie
antérieurement,
comprend
revenu
de
rente
athe
then
for consumption
to
nonlinear
tion
while
Fshown
be
shown
satisfy
the
The
toto
the
Equation
is
r range
− A4
k(A8)
,for
mexists,
*,
bconsumption
erfor
if a mortality
WDT
exists,
then
for
consumption
to
remain
consumption
declines
when
the
SDR,
r,
τsolution
τdifferential
estochastic
(
)
t >
x
Equation
A7
into
Equation
A5
and
searching
the
Salisbury
(2010).
a
r
−
k
,
m
*,
b
e
consumption
rate
declines
when
the
SDR,
,
is
(
)
r , (2010).
F
≥
0
x
⎧ obtained
smooth
at
that
point—which
is
part
of
the
foundat
equation
Enfin,
la
date
d’épuisement
du
patrimoine
τ
est
obtenue
Equation
A7
into
Equation
A5
and
searching
the
Salisbury
*
the
value
of=0.
that
solves
–

=
0.
In
other
words,
de retraite,
πpoint—which
.stages.
Par conséquent,
leoptimal
taux
deconsumpretrait
duobtained
in
two
First,
the
smooth
at
that
point—which
is
part
of
the
the
value
of

that
solves
c
equation
in
two
stages.
First,
the
optimal
consumpsmooth
at
that
is
part
of
the
founda0
equal
to
the
interest
rate,
r,
and
hence,
k
This
, Ft )equal
= ⎨The
,
0
(A3a)
τ thePut
r, and hence,
k = 0.A4
This
resulting
nonlinear
equation
over
range
(0,D) for
to therate,
differential
Equation
is
another
way,
Put
way,
+to
λsolution
,the
Ft interest
< 0to
tion
of
life-cycle
theory—it
must
to
converge
en
remplaçant
A7over
dans
l’équation
A5the
et remain
resulting
nonlinear
equation
the
range
(0,D)
for
tportefeuille
(TRP),
constitue
le principal
élément
The
solution
the
differential
Equation
⎩ Rtion
if another
a WDT
exists,
then
for
consumption
to
tion
rate
Fimportant
0 can
be
shown
satisfy
the
0. then f
tion
of
life-cycle
theory—it
must
ifconverge
a WDT
exists,
tion
rate
while
Ftl’équation
>solves
0 (and
can
be
shown
to
satisfy
of
theory—it
must
converge
tois
0.important
outcome
is
very
implication
t > qui
outcome
islife-cycle
a while
very
implication
(and
1/to
γaA4
kt
*
the
value
of

that
–

=
0.
In
other
words,
*
*
obtained
in
two
stages.
First,
the
optimal
consump1
/
γ
c
kt
(A5)
c
=
c
e
p
,
0
*
*
(
)
τ
(A5)
c
=
c
e
p
,
t
0
t
x
en
recherchant
l’équation
non
linéaire
qui
en
découle
*
)thethe
the
WDT,
, satisfies
equation
5)
value
, πthat
solves

d’intérêt
de notre
étude,
s’établit
à consump( t result)
–the
π00equation
)/F
et xleequation
in
tworesult)
stages.
First,
the
optimal
(A8a)
is
foundaRobtained
observable
r. The
discontinuous
function
v(t,F
cτ, b–)Mathematically,
τ =smooth
f of
Wthat
, ρ, r ,point—which
x, m
. 0 = 0. In
equation
at that
point—w
(A
( γexists,
the
LCM.
tot(, tfrom
Mathematically,
, satisfies
the
τ other
=part
f to
,remain
πthe
, mthe
, b )WDT,
. the
t) satisfies
0 at
( γofwords,
observable
LCM.
Planning
to
Mathematically,
the
WDT,
,
0 W , ρ, r , xsmooth
if adans
WDT
then
for
consumption
tion
rate while
Ft financial
>(c.
0from
can
be
shown
toPlanning
satisfy
the
la
fourchette
(0,D)
pour
la
valeur
de
τ
q

ui
résout
the interest
rateinitial
on
capital
and
TRP
à where
d. be
le
taux
de
dépense
à
la
retraite)
est
if
a
WDT
exists,
then
for
consumption
to
remain
tion
rate
while
F
>
0
can
shown
to
satisfy
the
tion
of
life-cycle
theory—it
must
converge
to

.
k
=
(r
–
)/
and
the
unknown
initial
contion
of
life-cycle
theory—
r
τ
t
0
where k = (r – )/smooth
and theatunknown
conn-equation
that
point—which
is +
part
ofr )the
foundaτ )1/ γand
1/ γinitialtermes,
π0 of
π+(A5)
W
/existe
e (une
−
kt 0. En
(is
* –= at
(A5)
π/0requation
W
/erk)τer τ p− π10Mathematically,
to be negative.
0date
=
c00*credit
e)/F
πc00*ethat
=
s’il
cbe
p x )d’autres
, optimal
((cWt* For
–π
+
/ktr0().et rpcards
1/ γ the W
( tpoint—which
*1/, γcan be
tequation
part
the
foundasumption
solved
for.
optimal
x− π0, / r other
Mathematically,
the
WDT,
,
satisfies
the
t The
c
* , smooth
k τrate,
πk 0τ .( p(A8)
56
www.cfapubs.org
©2011
CFA
Institute
sumption
rate,
can
solved
for.
The
( τ x ) / γ/ r=e©2011
c
0
al
= π0
tion
of
life-cycle
theory—it
must
converge
to

.
(A8)
=
π
e
p
.
0
(
)
r
τ
τ
x ) Instit
τ CFA
red lines of credit,
v(t,F
)
=
R
+

.
The
bor0
56
www.cfapubs.org
x
τ
0
d’épuisement
du
patrimoine,
pour
que
la
consommation
rτ
τ
t1/ γ consumption
tr τ
tion
of
life-cycle
theory—it
must
converge
to

.
τ
a
r
−
k
,
m
*,
b
e
kt
rate
declines
when
the
SDR,
,
is
(
)
*
*
0conwhere
k
=
(r
–
)/
and
the
unknown
initial
cona
r
−
k
,
m
*,
b
e
x
(A5)
consumption
rate
declines
when
the
SDR,
,
is
where
k
=
(r
–
)/
and
the
unknown
initial
(
)
c
=
c
e
p
,
r
τ
a
r
−
k
,
m
*,
b
e
(
)
is
(
)
r
τ
x
1
/
γ
kt
0the
t x) , (to protect the
pays Rc*tplus
Mathematically,
the
WDT,
, rsatisfies
the
x(insurance
(A5)
+π
rpoint
− π0fait
= c0*La
e trajectoire
(0.Whence,
) ebe
demeure
lissée
à ce/the
(qui
partie
du
fondement
(W + π0 / r ) e − π0
optimale
du
capital
financier
(également
/equation
1equation
γ
k τ The
t sumption
t prate,
x
interest
r, andsumption
hence,
=
This
Mathematically,
WDT,
,/ satisfies
*equal
* ,0 can
,death).
can to
be the
solved
for.torate,
The
optimal
equal
the
interest
rate,
r,k and
k=
0.solved
This
rate,
optimal
cway,
Put
another
way,
=another
π0 . (A8)
efor.
pthe
cdu
is
(
)
nwhere
the event
the–another
borrower’s
0
Put
way,
x
τ
0
k =of
(r
)/
and
the
unknown
initial
conPut
de
la
théorie
cycle
de
vie),
elle
doit
converger
r
τ
τ
comme
seulement
lorsque
le
temps
t < τ),,quiisimplication
outcome
iswhen
aoutcome
very
k = définie
(r – )/
and
the
unknown
initial
coneτ
consumption
rate
declines
theimportant
SDR,
rx)(errrττ−declines
−k ,πm*,
/ rb )(and
a xτ ( r − k , m*, b ) er τ
is
a very
important
implication
(WWπ++π.π0 //ar(and
consumption
rate
the
1/ γ SDR, , is
dwhere
sumption représente
rate, c*0* ,lacan
be solved
for.
Thepeut
optimal
eto − π00 / r ekkwhen
(
)
vers
(A8)
solution
de
l’équation
A4,
être
exprimée
=
π
p
.
/
1
γ
(
)
0
0
τ
τ
=
f
γ
,
π
W
,
ρ
,
r
,
x
,
m
,
b
.
(
)
observable
result)
from
the
LCM.
Planning
x
τ
0
rate,
be solved
The
optimal
= fThis
x, m,another
b ) . (A8a)
0=kπ=τ. 0.
equal
the
interest
and
hence,
k =result)
0. This
( γ, π0 W , ρ, r , Put
c( 0γwww.cfapubs.org
observable
fromtoathe
τthe LCM.
equal
rate,
r,e and
(A8)
τ =tofrate
,, πcan
, xwhen
, m,r,
bfor.
.the
(toτ phence,
)55
osumption
x)
0
0 W , ρ, rrate,
way,
−interest
k ,another
m*, bPlanning
errττway,
consumption
declines
SDR, , is (A8a)
)
τx ( rPut
a x (is
r −ak ,very
m*, b )important
e
consumption
rate
when the implication
SDR, , is (and
outcome
is declines
a very important
outcome
implication (and
equal to the interest rate, r, and hence, k = 0. This
Put another
way,
τresult)
= f (way,
γ, πfrom
, r , xSuite
, m, b ) .àPlanning
equal to
the interestresult)
rate,
r, and
hence,
k = 0.Planning
This
τ =CFA
f ( γInstitute
, π0 W , ρ, r , x
la PAGE 44
observable
the LCM.
to
observable
the
LCM.
to (A8a)
0 W ,ρ
Put another
56 from
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outcome is a very important
implication
(and
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©2011
CFA
Institute
outcome is a very important implication (and
(A8a)
τ = f ( γ, π0 W , ρ, r , x, m, b ) .
observable result) from the LCM. Planning to
(A8a)
τ = f ( γ, π0 W , ρ, r , x, m, b ) .
observable result) from the LCM. Planning to
56
56
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©2011 CFA Institute
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
43
First, from Equation A6 and the definition of
ate,
r, is a positive
conintroduced
to simplify
the
WDT
we can A6
solve
thedefinition
initial conFirst, (F
from
Equation
andforthe
of
 = 0),
the
We reiterate
ate,model.
r, is a positive
consumption
rate:
the
WDT
(F
=
0),
we
can
solve
for
the
initial
con
only
until
the
the
model.
R É aWe
c treiterate
iwealth
o n à l’ Ég
a rd rate:
des risques
sumption
nonly
always
force
until
thea wealth
(W + π / r ) erτ − π / r
c0* = W + π0 / r er τ − π0 / r .
(A7)
uming
a minimal
penn always
force a wealth
rτ
( τ
)
c0* = a x ( r 0− k , m*, b ) e 0 .
(A7)
suming
a minimal
penrge-enough
(arbitrary)
a xτ (when
r − k, m
b )er τ= 0, and  = r, Equation
Note that
 *,
= 1,
arge-enough
wing when Ft(arbitrary)
< 0. For a
0
Note thattowhen
A7 collapses
W/ axτ=. 1, 0 = 0, and  = r, Equation
wing
when
cluding
the Fimpact
of a
t < 0. For
A7 collapses
to W/
ncluding
impactand
of a
Finally, the
WDT,
e Huang, the
Milevsky,
a xτ ., is obtained by substituting
Finally,
WDT,
, is obtained
substituting
e Huang, Milevsky, and
Equation
A7the
into
Equation
A5 andby
searching
the
Equation
A7
into
Equation
A5
and
searching
resulting
nonlinear
equation
over
the
range
(0,D)
for
erential Equation A4 is
La retraite sur la planète Vulcain | suite de lathe
page 43
resulting
equation
for
the
value nonlinear
of  that solves
0 = the
0. Inrange
other(0,D)
words,
Equation
A4 is
,erential
the optimal
consumpcτ* –over
thea value
 that then
solvesforcτ*consumption
– 0 = 0. In other
words,
if
WDTofexists,
to remain
, the
optimal
consumpbe
shown
to satisfy
the
if a WDT
exists,
then for consumption
tofoundaremain
smooth
at that
point—which
is part of the
be shown to satisfy the
Auof plan
mathématique,
la isdate
d’épuisement
smooth
at that
point—which
part
of thetofoundation
life-cycle
theory—it must
converge
0. du Brown, J.R., O.S. Mitchell, J.M. Poterba et M.J.
(A5)
Warshawsky. The Role of Annuity Markets in Financing
patrimoine
τ
satisfait
à
l’équation
tion Mathematically,
of life-cycle theory—it
must
converge
0.
the WDT,
, satisfies
theto
equation
(A5)
Retirement. Cambridge (MA), MIT Press, 2001.
Mathematically,
the WDT, , satisfies the equation
e unknown initial conW + π0 / r ) e r τ − π0 / r k τ
(
/
1
γ
Bütler, M. Neoclassical Life-Cycle Consumption: A
eolved
unknown
initial
confor. The
optimal
W τ+ π0 / r ) er τ − πr0τ / r e k τ ( τ p x )1/ γ = π0 . (A8)
(
Textbook Example, dans Economic Theory, vol. 17, no 1,
a x ( r − k , m*, b ) e
olved
optimal
whenfor.
theThe
SDR,
, is
e ( τ p x ) = π0 . (A8)
rτ
τ
janvier 2001, pp. 209–221.
*, b ) e
when
the SDR,
is
( r − k , mway,
and
hence,
k = 0. ,
This
Puta xanother
Exprimée
autrement,
and implication
hence, k = 0. (and
This
Chen, P., R.G. Ibbotson, M.A. Milevsky et K.X. Zhu.
tant
Put another way,
(A8a)
τ = f ( γ, π0 W , ρ, r , x, m, b ) .
Human Capital, Asset Allocation, and Life Insurance, dans
tantLCM.
implication
(and
he
Planning
to
(A8a)
τ = f ( γ, π0 W , ρ, r , x, m, b ) .
Financial Analysts Journal, vol. 62, no 1, janvier-février
he LCM. Planning to
La politique de la consommation optimale (décrite
par l’équation A5) et la trajectoire optimale du
patrimoine (décrite par l’équation A6) sont maintenant
disponibles de façon explicite. Au plan pratique, la
date d’épuisement du patrimoine (τ ≤ D) est extraite
de l’équation A8, et le taux de consommation initial est
ensuite obtenu de l’équation A7. Par la suite, tout se
met en place. Ces expressions peuvent être codées en
Excel en quelques minutes.
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RÉactio
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a Srd
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Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
45
C u l t u r e d u r i s q u e e t d i v u l g a t i o N DES RISQUES
Évolution des comportements face aux risques
Par David Ingram et Michael Thompson, Ph.D.
Note de la rédaction : Cet article a initialement paru dans The Actuary, numéro de février-mars 2011.
Les comportements face aux risques
jouent
un
rôle
extrêmement
important dans la prise de décisions
financières. Les auteurs expliquent comment et
pourquoi ces comportements ne cessent d’évoluer en
fonction des événements et surtout des surprises.
Le 21 juillet 2010, Ben Bernanke, président de la Réserve
fédérale américaine, a affirmé que l’économie était, selon
lui, « inhabituellement incertaine ». Par ailleurs, les
dirigeants d’entreprise ont fait remarquer que les sociétés
américaines rechignaient à investir, préférant rembourser
leurs dettes et constituer des réserves de liquidités. Les
choses sont trop incertaines, trop imprévisibles pour que
les entreprises consentent à contracter des engagements.
Il y a à peine trois ans, Charles Prince faisait sa fameuse
déclaration à un journaliste de Hong Kong au sujet
de la participation de Citigroup au marché des prêts
hypothécaires à risque : « Aussi longtemps que la musique
joue, vous devez rester debout et danser, [et] nous
dansons toujours. » Cette déclaration représentait presque
exactement l’approche opposée aux affaires, un besoin
urgent d’être présent sur le marché.
Dans l’intervalle, les entreprises américaines ont réagi très
rapidement au ralentissement de l’activité économique.
Elles ont réduit leur masse salariale, supprimé des emplois,
réduit les avantages sociaux, ce qui leur a permis de
retrouver le chemin de la rentabilité dans une économie
stagnante.
Si vous creusez davantage, vous trouverez aussi des
exemples d’entreprises qui n’ont pas voulu prendre
part à la forte croissance durant la phase d’expansion,
ni procéder à des compressions durant la période de
récession, ni rester immobiles en contexte d’incertitude.
Ces entreprises semblent vouloir uniquement esquiver
les difficultés, évitant les écueils, les courants rapides
et les remous.
Mais on peut sentir le vent de changement dans l’opinion
dominante des acteurs économiques. Dans une économie
de libre marché, cette opinion dominante se forme
non pas par décret, mais bien par des gestionnaires et
des entreprises qui en viennent individuellement à la
conclusion qu’une certaine ancienne façon de penser ne
46 |
SEPTEMBER 2011
DéCEMBrE
2010
|| Gestion
Risk management
du risque
leur convient plus et que d’autres gestionnaires et d’autres
entreprises ayant un comportement différent obtiennent
des résultats meilleurs ou moins mauvais. Ces personnes et
ces entreprises avaient toutes des opinions fermes quant au
fonctionnement de l’économie et donc quant à la meilleure
façon de diriger leurs affaires, opinions qu’elles s’étaient
forgées à la lumière de leur expérience durement acquise
et de leur fine perception.
Même dans le meilleur ou dans le pire des temps, voire
lorsque l’économie est « inhabituellement incertaine », cette
opinion dominante ne fait jamais l’unanimité. Quelle que
soit la période, ces opinions au sujet de l’environnement,
et surtout au sujet des risques, appartiennent généralement
à quatre catégories ou types de comportements face aux
risques :
•
•
•
•
les pragmatistes, qui croient que le contexte est
incertain et imprévisible;
les conservateurs, qui estiment le contexte dangereux
et très risqué;
les maximalistes, qui considèrent le contexte comme
étant peu risqué et essentiellement à même de
s’autocorriger;
et enfin les gestionnaires, qui considèrent le contexte
comme étant risqué, mais pas trop risqué pour les
entreprises bien dirigées.
(Se reporter à l’article « Full Spectrum of Risk
Attitude » (« Spectre complet d’attitude au risque ») du
numéro d’août-septembre 2010 du magazine The Actuary.)
Ces comportements face aux risques se voient modifier par
le phénomène de surprise. Par surprise, nous entendons
l’écart persistant, et très probablement grandissant, entre,
d’une part, nos attentes fondées sur la stratégie que nous
avons adoptée et, d’autre part, ce qui se produit réellement.
La surprise est la différence entre le risque knightien et
l’incertitude1. En l’absence d’incertitude, il ne devrait
jamais y avoir de surprise. Mais, à l’évidence, l’incertitude
existe, car nous sommes constamment pris par surprise.
Si nous avons tous exactement les mêmes attentes, la
surprise est simultanée. Mais, à n’importe quel moment,
il existe des entreprises et des gestionnaires dont les
comportements face aux risques diffèrent complètement.
Il se produit donc, à tout moment, des surprises variées et
Figure 1
CONTEXTE PRévu
Contexte environnant
Contexte incertain
Récession
Expansion
Contexte Modéré
CONTEXTE
INCERTAIN
(pragmatiste)
AUCUNE SURPRISE
Les bénéfices espérés
ne se matérialisent pas –
uniquement des pertes
De manière inattendue, la
chance est de leur côté
De manière inattendue,
tantôt c’est la chance qui
est de leur côté, tantôt
c’est la malchance
RÉCESSION
(conservateur)
La prudence n’est pas de
mise
AUCUNE SURPRISE
Les autres prospèrent (surtout
les maximalistes)
Les autres prospèrent
(surtout les gestionnaires)
EXPANSION
(maximaliste)
Le savoir-faire n’est pas
récompensé
Effondrement total
AUCUNE SURPRISE
Effondrement partiel
CONTEXTE
MODÉRÉ
(gestionnaire)
Imprévisibilité
Effondrement total (alors
qu’on prévoyait un
effondrement partiel)
Compétition
AUCUNE SURPRISE
changeantes. En termes économiques, nous pouvons nous
attendre soit à un marché modéré qui fluctue comme par
le passé, soit à un marché incertain dont la volatilité est
imprévisible, soit à un marché en forte expansion lorsque
tout semble en période de croissance ou à une récession
lorsque tout semble aller pour le pire. En règle générale,
différentes stratégies sont adoptées en fonction des attentes
relatives à l’état du marché. Si bien que, lorsqu’elles se
produisent, les surprises peuvent prendre jusqu’à un total
de 12 formes différentes. (Voir la figure 1.)
•
Si l’on suit la diagonale de la matrice qui part du coin
supérieur gauche au coin inférieur droit, là où le contexte
est effectivement comme on le croyait, il n’y a pas de
pénalité et donc pas de surprise, ce qui n’est pas le cas
dans les 12 autres cases. Pour pouvoir déterminer chacune
de ces surprises, il nous faut mettre en contraste la stratégie
privilégiée par chaque entreprise avec les réponses que les
tactiques qui en résultent provoqueront dans chacun des
contextes réels.
•
•
1
Dans un marché incertain, on ne peut prévoir les
réponses : le monde est une immense loterie. Le
contexte en est un d’incertitude financière, dans
lequel l’activité économique et le marché peuvent
rapidement s’effondrer. Selon ce modèle, l’orientation
et la volatilité du marché sont inconnues. Les
maximalistes, les conservateurs et les gestionnaires
sont tous surpris de l’absence de prévisibilité de ce
marché incertain. Chacun d’entre eux avait sa propre
idée de ce qu’il croyait qu’il allait se produire, et ils
sont tous désappointés.
En période de récession, l’ordre des choses est
prévisible : le monde est un vaste jeu à somme
négative, caractérisé par la baisse des marchés
financiers. Selon ce modèle, l’orientation est à
la baisse et la volatilité est faible. Bien entendu,
les maximalistes et les gestionnaires sont surpris.
Les premiers croyaient que les pertes répétées ne
pouvaient tout simplement pas se produire, tandis
que les gestionnaires sont surpris de l’importance
des pertes. Les pragmatistes ont été pris de surprise
lorsque les corrélations ont été positives et parfaites
et qu’ils ont constaté que leur stratégie privilégiée de
diversification ne pouvait les protéger.
En période d’expansion, c’est l’inverse qui se
produit : le monde est un vaste jeu à somme positive,
Suite à la PAGE 48
ans son célèbre livre de 1921 intitulé Risk, Uncertainty, and Profit, Frank Knight a établi une distinction entre la définition du
D
risque (variations purement statistiques dont la distribution des fréquences est connue) et celle de l’incertitude (variations dont
la distribution des fréquences et des amplitudes est inconnue).
Risk
Gestion
management
DéCEMBRE 2011
2010 |
47
Évolution des comportements face aux risques | suite de la page 47
caractérisé par la formation de bulles financières.
Selon ce modèle, les marchés ont une forte orientation
positive et une faible volatilité. Les gestionnaires
et les conservateurs constatent l’importance des
gains qu’enregistrent les maximalistes pendant cette
période d’expansion et s’étonnent qu’on les laisse
faire. Quant aux pragmatistes, ils sont surpris de
réaliser des gains plus importants que prévu.
• Dans un marché modéré, deux jeux ont cours : un
jeu à somme positive et un jeu à somme négative.
Mais, à la différence du marché
incertain, l’ordre des choses est
David Ingram, FSA, CERA, FRM,
prévisible : on peut distinguer les
PRM, est premier vice-président
situations dans lesquelles un jeu
chez Willis Re Inc. Vous pouvez le
s’opère de celles dans lesquelles
l’autre jeu a cours. Il s’agit là
du contexte « normal » propre
aux modèles de gestion du risque,
caractérisé par une orientation
et une volatilité modérées, peutêtre à des niveaux correspondant
Michael Thompson est chercheur
aux moyennes à long terme. Les
boursier au Risk and Vulnerability
maximalistes sont surpris que leurs
Program de l’International
rendements soient inférieurs à leurs
Institute for Applied Systems
attentes démesurées, tandis que les
Analysis (IIASA) à Laxenburg, en
conservateurs constatent les succès
Autriche. Vous pouvez le joindre à
des gestionnaires qui avaient
[email protected].
pris des risques calculés, risques
qu’ils avaient eux-mêmes évités.
Les pragmatistes sont perplexes
et surpris eux aussi du succès des gestionnaires
disciplinés.
En entreprise, le processus d’évolution des comportements
face aux risques peut prendre deux voies. En premier lieu,
les gestionnaires sont tous pris par surprise, tel que nous
l’avons décrit précédemment. À force de prendre conscience
que leurs attentes ne sont pas comblées, leurs convictions
quant à la façon dont le monde fonctionne s’effondreront.
Certains gestionnaires prendront note sur-le-champ et
s’adapteront rapidement; d’autres continueront de croire
qu’un jour le monde fonctionnera de nouveau comme
avant, persistant dans leurs croyances non partagées,
malgré l’évidence répétée du contraire. Au fur et à mesure
que ces personnes modifieront leurs comportements face
aux risques, elles modifieront aussi leur conception des
activités qu’elles dirigent et, surtout, leur conception des
48 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
risques que comportent ces activités. Si elles sont très
perspicaces et qu’elles peuvent s’adapter aisément, elles
acquerront une conviction qui sera compatible avec le
contexte environnant, et le processus débutera de nouveau.
Elles aideront leur entreprise à obtenir les meilleurs
résultats possibles dans cet environnement. Si elles ne
sont pas aussi souples et perspicaces, elles pourraient bien
adopter des comportements différents face aux risques, qui
ne seront pas compatibles avec le contexte. Leur entreprise
pourrait donc passer d’un type de rendement sous-optimal
à un autre.
Le second moyen qu’ont les entreprises pour s’adapter
consiste à changer le personnel de direction, ce qui se produit
lorsque l’entreprise a été surprise de façon spectaculaire.
Les entreprises dirigées par des maximalistes comme
M. Prince, de chez Citigroup, sont plus susceptibles de
s’effondrer en contexte de changement et lorsqu’elles
persistent dans leur philosophie « à fond les moteurs ».
Quant aux entreprises dirigées par des gestionnaires,
elles peuvent elles aussi s’effondrer. Nous en avons vu
des exemples, ces deux dernières années, lorsque des
entreprises se sont appuyées sur leur excellent modèle de
risque pour prendre le maximum de risque que ce modèle
autorisait, pour ensuite essuyer des pertes colossales. Les
conservateurs et les pragmatistes sont beaucoup moins
susceptibles de faire face à un effondrement du fait que
leurs stratégies sont généralement moins agressives.
En fait, leurs surprises sont plus souvent des déceptions
d’avoir raté des occasions que les maximalistes ont saisies
et dont profitent aussi les gestionnaires de façon modérée.
Dans les entreprises où le conseil d’administration, face
à un effondrement ou même à une déception, réagit en
changeant le personnel de direction, le nouveau leader sera
aux prises avec le problème de changer les comportements
dominants dans l’entreprise face aux risques.
Celui-ci cherchera à faire équipe avec des gestionnaires
qui partagent ses vues. Par le biais de la persuasion, de
l’autorité ainsi que de remaniements, promotions, mises
à la retraite et licenciements, il finira par façonner les
comportements face aux risques à sa manière et à celle du
conseil d’administration.
Entre-temps, les entreprises dont l’approche est
compatible avec l’environnement connaîtront du succès,
ce qui les amènera sur le chemin de la croissance, alors
Figure 2
Orientation
Volatilité
Contexte
modéré
Modérée
Modérée
Expansion
Élevée
Faible
Récession
Négative
Faible
Contexte
incertain
Inconnue/
imprévisible
Inconnue/
imprévisible
que celles dont l’approche ignore le contexte environnant
connaîtront une baisse relative d’activité. De plus, ce
processus viendra modifier l’importance que l’on accorde
sur le marché aux comportements face aux risques. Les
dirigeants qui se comportent de façon appropriée face
aux risques finiront par contrôler une plus grande part des
ressources du marché.
Maintenant, au service de gestion des risques, il existe un
modèle ainsi qu’un groupe de modélisateurs. Le service
constatera et subira l’évolution de l’environnement. Les
résultats qui émergeront correspondront à une et une seule
de ces quatre situations. (Voir la figure 2 ci-dessous.)
Les modélisateurs subiront également les effets des
nouveaux comportements face aux risques qui ont
été adoptés dans l’entreprise et dont il a été question
précédemment. Dans la plupart des cas, les modèles
de risque donnent de bons résultats dans le contexte
modéré. Les modélisateurs constateront que leur travail
est parfois d’une grande utilité pour la direction, et parfois
complètement ignoré. Quoi qu’il en soit, il pourrait y
avoir dans le groupe des modélisateurs qui considèrent
que le modèle est trop prudent et qu’il nuit à la croissance
de l’entreprise à une période où le contexte est très
avantageux. D’autres encore pourraient penser que les
hypothèses modérées se traduisent par une sous-estimation
des risques, amenant ainsi l’entreprise à prendre trop de
risques à un bien mauvais moment. Et lorsque le groupe
de modélisateurs discutera du calcul des corrélations, le
quatrième groupe se distinguera par son scepticisme quant
à la fiabilité des éventuels effets de la diversification des
risques extrêmes.
Le même processus de surprise qui provoque des
changements dans les comportements face aux risques
aura une incidence considérable sur les modélisateurs du
risque. Cette incidence pourrait se traduire par une décision
de la direction de vouloir examiner différents résultats à
différents moments. Elle pourrait aussi faire en sorte que
les modèles et les modélisateurs soient laissés en plan
quelque temps. Et certaines entreprises pourraient tout
simplement cesser de financer l’activité de modélisation et
dissoudre complètement le groupe.
Afin d’éviter ce cycle caractérisé par l’inutilité et la
réduction du financement, les modélisateurs doivent
prendre conscience du processus d’évolution de
l’environnement et des comportements face aux risques,
et peut-être faire preuve d’une plus grande souplesse face
aux divers contextes et aux divers besoins d’information
des gestionnaires qui appliquent diverses stratégies en
matière de gestion des risques.
Et ils doivent aussi s’attendre à des surprises.
Pour en savoir plus sur le thème de la surprise, voir
Thompson, M. Organising and Disorganising, Triarchy
Press, 2008.
Le risque et le concept du
« dividu » proposé par Michael
Thompson, Ph.D.
Par Robert Wolf
Tout bien considéré, on peut affirmer
que bon nombre des risques auxquels nous faisons
face aujourd’hui dans la société sont le fait des
décisions, des comportements et des préjugés des
individus, et non forcément le résultat d’événements
exogènes et indépendants de notre volonté. La
collaboration entre Dave Ingram, actuaire (FSA,
CERA, MAAA) et Michael Thompson, anthropologue
(Ph.D.), vient renforcer cette notion et a donné lieu
à la publication d’articles extrêmement intéressants
et évolutionnistes qui incitent à la réflexion – comme
celui publié dans le présent numéro du magazine The
Actuary – et qui jettent un regard sur le risque à travers
le prisme de la culture ainsi qu’à la façon dont ce point
Suite à la PAGE 50
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
49
Le risque et le concept du « dividu » | suite de la page 49
de vue intervient dans la gestion du risque et la prise de
décision.
J’ai eu le plaisir de rencontrer personnellement
M. Thompson la première fois à l’occasion du
Symposium sur la GRE, en avril dernier, car j’y avais
invité Dave Ingram et lui à faire un exposé sur l’aspect
humain de la gestion du risque. J’ai pu constater qu’il
était non seulement un excellent orateur et quelqu’un
de vraiment bien, mais également un passionné
d’alpinisme, ayant fait l’ascension, il y a 35 ans, du mont
Everest dans l’Himalaya. Il y a lieu de croire que pareille
expérience amène un point de vue unique sur le risque
et la récompense, qui tient certainement compte de
l’aspect humain.
En tant qu’humains, nous avons tendance à ne pas
chercher à renier nos propres convictions malgré
l’évidence des faits. En tant que décideurs, nous
faisons fi de la rationalité en raison de nos propres
préjugés et nous sommes nettement influencés par la
forme que prend l’information qui nous est transmise.
M. Thompson va plus loin : « L’essentiel de ce que j’ai
à dire réside dans une affirmation très audacieuse. Le
monde de l’activité humaine peut se diviser en quatre
façons divergentes de percevoir le risque, quatre [types]
de stratèges qui en résultent, et quatre contextes
différents qui influent sur la perception du risque,
lesquels sont eux-mêmes altérés par les [types] de
stratèges. Ces quatre façons divergentes de percevoir
le risque sont le fruit des travaux sur les rationalités
multiples de l’éminente anthropologue Mary Douglas. »
M. Thompson compte parmi les élèves de Mary
Douglas. La principale prémisse de la théorie des
rationalités multiples a trait à la façon dont nous nous
comportons en groupe. En tant qu’humains, nous ne
nous comportons pas uniquement comme le font les
personnes ayant de l’aversion pour le risque, selon le
modèle de l’économie classique, ni comme le font les
personnes émotives, conformément au modèle de la
finance comportementale. « Les groupes se forment
parce que des gens partagent la même perception
du risque. En anthropologie, l’expression clé est
« solidarité sociale », que le grand sociologue français
Émile Durkheim définit comme étant “les différents
moyens par lesquels nous tissons des liens entre nous
comme moyen d’organisation, et, ce faisant, nous
50 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
déterminons nos rapports avec la nature” », indique
M. Thompson. Et d’ajouter : « Pour l’essentiel, la théorie
culturelle regroupe tout cela dans une typologie de
la solidarité sociale qui comporte quatre formes. Ces
quatre modèles particuliers de la nature, en tant que
tels, ont pour but de maintenir et de justifier les quatre
arrangements fondamentaux pour le développement
des interactions sociales. »
Lorsqu’on lui demande en quoi son point de vue
diffère de celui des économistes comportementaux,
M. Thompson indique que « les économistes
comportementaux supposent que nous, les humains,
sommes systématiquement dans l’erreur. J’affirme
que ces formes de solidarité sociale devraient être les
véritables éléments d’analyse, et non l’individu. De fait,
si vous adoptez ce point de vue, il est plus logique de
parler non pas de l’individu, mais du « dividu ». À bien
y réfléchir, nous adoptons et abandonnons tous ces
différentes formes de solidarité à différents moments de
la journée. Ce point de vue fait contraste avec les théories
plus connues qui considèrent l’« individu » comme étant
l’élément d’analyse, par exemple l’économie classique
et la finance comportementale. »
Ce point de vue nous permet de véritablement
comprendre pourquoi parfois nous disons une chose
et en faisons une autre. Par ailleurs, MM. Thompson et
Ingram poursuivent leurs travaux, cherchant à intégrer
le point de vue anthropologique et les problèmes
financiers auxquels sont confrontés les actuaires et
les gestionnaires du risque et à les combiner avec les
quatre catégories de comportements face aux risques,
avec les types d’outils de gestion du risque, et la solution
ultime d’adaptabilité rationnelle et ce que M. Thompson
désigne comme étant des mauvaises solutions. À mon
avis, leur contribution par les voies de l’oral et de
l’écrit continuera d’influer sur notre façon de percevoir
la gestion du risque. Je remercie MM. Thompson et
Ingram de vouloir nous amener à adopter, peut-être,
une nouvelle façon de penser. Je suis impatient de voir
la suite.
Robert Wolf, ASA, CERA, FCAS, MAAA, est membre
du personnel permanent du volet Gestion du risque
de la Society of Actuaries. Vous pouvez le joindre à
[email protected].
nR
ér
a l ’ S CO R NE R
C H AI RgS éPE
S ON
Critique de livre : Mastering Operational Risk
Par Tony Blunden et John Thirwell
Critique de Pierre Tournier
Lorsque j’ai eu en main mon exemplaire
du livre Mastering Operational Risk (Maîtriser le
risque opérationnel), j’ai été quelque peu perplexe.
Tout d’abord, il m’a semblé rebutant, avec ses
344 pages, et puis il faisait partie d’une de ces séries
de guides pratiques en finance. Mais dès les premières
pages, j’ai su qu’il en valait le coup. Bien qu’il s’agisse
d’un livre volumineux, chacune de ses parties semble
concise, et je ne voudrais pas qu’il soit moins détaillé.
Mastering Operational Risk (Maîtriser le risque
opérationnel) fait un survol général de la théorie,
de la culture et de l’exercice de la gestion du risque.
Bien que les rapports donnés à titre d’exemple se
rapportent au secteur bancaire, ils s’appliquent aussi
bien à d’autres secteurs. Les auteurs ont su faire preuve
d’un sens pratique en s’attardant longuement sur les
rouages de la gestion du risque, et plus particulièrement
sur la communication efficace d’informations. Ce
livre s’adresse à ceux qui souhaitent avoir une vue
d’ensemble du cadre de risque opérationnel de leur
entreprise ou qui viennent d’obtenir un poste en gestion
du risque.
Les auteurs commencent par décrire un cadre de
gestion du risque, qui définit aussi la structure
du livre : gouvernance, indicateurs, évaluations,
événements, modélisation et communication
d’informations. Chaque partie du cadre est présentée
successivement en relation avec ce dernier. Pour situer
chacune des parties dans son contexte et rappeler au
lecteur l’objet général du livre, il est utile de faire le
lien entre le cadre et les différentes étapes du processus
de gestion du risque opérationnel. Pour moi, il s’agit
là de la partie la plus intéressante et la plus pertinente
du livre.
La seconde partie du livre traite de risques particuliers
(ressources humaines, réputation, continuité) et
de certains outils de gestion du risque (assurance,
vérification). Tout au long de cette partie, les auteurs
insistent sur l’importance de gérer le risque opérationnel
par anticipation, plutôt que sur la description d’un cadre
de gestion. La section intitulée « The outsourcing
project – getting it right at the start » (« Le projet
d’impartition – commençons le correctement ») est
représentative de cette partie. La frontière existant entre
des pratiques commerciales prudentes et la gestion du
risque est parfois floue, mais cela semble compatible
avec la notion selon laquelle, pour être efficace, la
gestion du risque opérationnel doit s’accompagner
d’une culture de risque.
L’un des points faibles du livre est l’usage d’acronymes
et de termes qui ne sont définis qu’ultérieurement. Par
exemple, au début du livre, les auteurs mentionnent la
philosophie dite des « three lines of defense » (les trois
lignes de défence), qu’ils n’expliquent que vers la fin
du livre. Par ailleurs, les deux parties du livre semblent
manquer de cohésion. La première partie concerne
le milieu des affaires et est fort détaillée, alors que la
seconde est plus diverse et plus générale.
Les auteurs m’ont certes donné
matière à réfléchir; plusieurs de
leurs suggestions différaient de ma
propre expérience. Dans le cadre
qu’ils proposent, la responsabilité
du risque, les fonctions de contrôle
et la gestion sont abaissées au
niveau opérationnel. La fonction
de gestion du risque joue un
rôle d’assurance, de soutien et
de coordination et ne participe pas directement à la
fonction de surveillance continue. L’une des raisons
pour lesquelles j’avais choisi ce livre était qu’il avait
été publié après 2008 et qu’il reposait sur un modèle
bancaire. Je m’attendais donc à une structure plus
centralisée que celle qui y est proposée.
Pierre Tournier, FSA, CERA, est
actuaire adjoint dans le secteur
de la gestion de la rentabilité à
l’Allianz Life Insurance Company à
Minneapolis. On peut le joindre à
[email protected].
L’un des points forts de Mastering Operational Risk
(Maîtriser le risque opérationnel) a trait à la façon
dont les auteurs abordent le thème de la culture de
risque. En plus de faire l’objet d’une analyse distincte,
la culture de risque est constamment citée comme
étant l’un des éléments clés du processus de gestion
du risque. Par ailleurs, l’importance de l’adhésion des
cadres intermédiaires et supérieurs est souvent mise en
évidence, tout comme l’est l’association de la gestion
du risque au bon message. Sont aussi très bien abordés
les thèmes de la sensibilisation et de l’information en
matière de gestion du risque.
En résumé, Mastering Operational Risk (Maîtriser le
Gestion du risque |
DéCEMBRE 2011
|
51
nR
ér
a l ’ S CO R NE R
C H AI RgS éPE
S ON
Maîtriser le risque opérationnel | suite de la page 51
risque opérationnel) se veut une bonne introduction
théorique et pratique à la gestion du risque opérationnel.
Le livre donne une vue d’ensemble et décrit, pour
l’essentiel, une philosophie de gestion et de structure
pour chaque étape du processus de gestion du risque
opérationnel. Parallèlement, des sections entières sont
52 |
DéCEMBrE 2011
| Gestion du risque
consacrées à des sujets comme la production efficace
de rapports et l’analyse de scénarios pratiques. J’ai bien
apprécié le fait que l’on me donne une vue d’ensemble
des questions en regard des défis de tous les jours, car
cela me permet de toujours voir les choses dans leur
contexte.
Risk management |
DECEMBER 2011
|
53
Sub tittle | from Page X
More than 400 senior executives, directors, and risk management
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management
experts gathered
ERM
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at the 2009 Enterprise Risk Management
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Colegio Nacional de
Actuarios, A.C.
and with collaboration of the Asociacion Mexicana de Actuarios, Colegio Nacional de Actuarios, and Enterprise Risk Management International Institute.
54 |
SEPTEMBER 2011
DéCEMBrE
2010
|| Gestion
Risk management
du risque
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2012 ERM Symposium
April 18–20, 2012
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Washington, DC
Risk
Gestion
management
DéCEMBRE 2011
2010 |
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Schaumburg, Illinois 60173
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Gestion Du Risque - Society of Actuaries

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