2 - Triangles, médiatrices et cercle circonscrit

#2 – Triangles,
médiatrices et cercle circonscrit
I – Construction d’un triangle connaissant ses 3 longueurs
Activité 1 : Construis un triangle dont les côtés mesurent 3, 5 et 9 cm. Que remarque-t-on ?
Réponse : Les arcs de cercle ne se coupent pas. On ne peut donc pas construire ce triangle.
Propriété 1 : L'inégalité triangulaire
On peut construire un triangle, connaissant ses trois longueurs, à condition que celle du plus grand
côté soit inférieure ou égale à la somme des deux autres.
Propriété 1 BIS : Autrement dit, un triangle ABC est constructible si :
• AB ≤ AC + CB
• AC ≤ AB + BC
• BC ≤ BA + AC
Exercice 1 : Construis le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
Méthode :
1. On commence par tracer le côté [AB] de longueur 6 cm.
2. On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
3. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
4. Les deux arcs de cercle se coupent en C. Il ne reste plus qu'à tracer les côtés [AC] et [BC].
Activité 2 : Construis le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 3 cm et CB = 2 cm.
On a : 5 = 3 + 2
Donc : AB = AC + CB
Dans ce cas, le point C appartient au segment [AB] et on dit que le triangle ABC est « aplati ».
Propriété 2 : Soient A, B et C trois points quelconques.
Si AB = AC + CB alors C appartient à [AB].
Réciproquement :
Si C appartient à [AB] alors AB = AC + CB.
Exercice 2 : Peut-on construire les triangles suivants :
• ABC tel que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 13 cm.
On peut construire ABC car [BC] est le plus long côté et BC < AB + AC.
• DEF tel que DE = 3,5 cm, DF = 1,8 cm et FE = 1,7 cm.
On peut construire DEF car DE = DF + FE.
Remarque : C'est un triangle aplati et F appartient au segment [DE].
• GHI tel que HG = 5 cm, HI = 34 cm et GI = 23 cm.
On ne peut pas construire GHI car HI > HG + GI.
II – Construction d’un triangle connaissant 1 longueur et 2 mesures d’angles
̂
Exercice 3 : Construis le triangle ABC tel que : AC = 4 cm, CAB=70
° et ̂
ACB=30 ° .
Tu commenceras pas réaliser un croquis, sur lequel tu indiqueras toutes les données.
Méthode :
1. On commence par tracer le côté [AC] qui mesure 4 cm.
̂ de sommet A et de mesure 70°.
2. On utilise ensuite le rapporteur pour tracer l’angle CAB
̂
puis l’angle ACB de sommet C et de mesure 30°.
3. Les demi-droites tracées se coupent en B.
4. On n’oublie pas d’écrire toutes les données sur la figure, au fur et à mesure.
III – Construction d’un triangle connaissant 1 mesure d’angle et 2 longueurs
Exercice 4 : Construis le triangle ABC tel que : AB = 4 cm, BC = 5 cm et ̂
ABC=45° .
Tu commenceras pas réaliser un croquis, sur lequel tu indiqueras toutes les données.
Méthode :
1. On commence par tracer le côté [AB] qui mesure 4 cm. C'est l'un des côtés de l'angle ̂
ABC
2. On utilise ensuite le rapporteur pour tracer l’angle ̂
de
sommet
B
et
de
mesure
45°.
ABC
3. On place sur la demi-droite tracée le point C de sorte que : BC = 5 cm.
4. Il ne reste plus qu’à tracer le troisième côté [AC].
5. On n’oublie pas d’écrire toutes les données sur la figure, au fur et à mesure.
IV – Médiatrices et cercle circonscrit
1.) Définition et propriétés de la médiatrice d'un segment (Rappels)
Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par
son milieu.
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des
extrémités de ce segment.
Vocabulaire : « équidistant de … » signifie « à la même distance de ... »
Exercice 5 : Trace un segment [DE] de longueur 7 cm. Construis sa médiatrice (d) et place un
point M sur (d) de sorte que EM = 4 cm. Démontre la nature du triangle EDM.
Correction :
On sait que M appartient à la médiatrice de [DE].
Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant de ses extrémités.
Donc : MD = ME
On sait que : MD = ME
Or, si un triangle possède 2 côtés de même longueur alors c'est un triangle isocèle.
Donc MED est isocèle en M.
Propriété 2 : (réciproque de la propriété 1) Si un point est équidistant des extrémités d'un segment
alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Exercice 6 : ABC est un triangle isocèle en B tel que AB = 4 cm et ̂
ABC =37° .
a) Fais une figure en vraie grandeur.
b) Démontre que B appartient à la médiatrice de [AC].
Correction du b) :
On sait que ABC est un triangle isocèle en B.
Or, si un triangle est isocèle, alors il possède 2 côtés de même longueur.
Donc : BA = BC.
On sait que : BA = BC
En d'autres termes, B est équidistant de A et de C.
Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à sa médiatrice.
Donc B appartient à la médiatrice de [AC].
Méthode de construction de la médiatrice d'un segment au compas :
Exercice 7 :
a) Trace un segment [AB] de longueur 5 cm puis construis sa médiatrice à l'aide d'une équerre.
b) Trace un segment [CD] de longueur 7,5 cm puis construis sa médiatrice au compas.
c) Trace un segment [EF] de longueur 4,7 cm puis construis sa médiatrice (d).
Place sur (d) un point M de sorte que EM = 7 cm. Démontre la nature du triangle EMF.
2.) Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit
Activité Géogébra (en ligne sur http://jm.larregle.free.fr)
Définition: Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par ses 3 sommets.
Propriété : Les médiatrices d'un triangle non aplati sont concourantes.
Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Démonstration : On considère un triangle ABC non aplati. On notera (d1), (d2) et (d3) les médiatrices
respectives de [AB], [AC] et [BC]. Complète le raisonnement suivant :
Les point A, B et C n'étant pas alignés, les médiatrices (d1) et (d2) ne sont pas parallèles.
Elles ont donc un point d'intersection. On le note O.
•
On sait que O appartient à (d1).
Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités
de ce segment.
Donc OA = OB
•
On sait que O appartient à (d2)
Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités
de ce segment.
Donc OA = OC
•
Puisque, d'une part : OA = OB et d'autre part : OA = OC alors j'en déduis que : OB = OC
•
On sait que OB = OC. En d'autres termes, O est est équidistant de B et de C.
Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la
médiatrice de ce segment.
Donc O appartient à (d3).
Finalement, O est le point de concours des trois médiatrices du triangle ABC.
Et puisque OA = OB = OC, les 3 sommets du triangle sont sur le même cercle de centre O.
•
Remarque : Pour construire le cercle circonscrit d'un triangle il suffit de construire 2 médiatrices.
Socle commun et bilan des compétences travaillées dans ce chapitre :
A l'issue de ce chapitre, je dois :
• Savoir justifier si un triangle dont on donne les 3 longueurs est constructible ou non.
• Savoir construire en vraie grandeur des triangles.
• Savoir construire et coder la médiatrice d'un segment à l'équerre, au compas.
• Savoir démontrer que deux longueurs sont égales et qu'un triangle est isocèle.
• Savoir démontrer qu'un point appartient à la médiatrice d'un segment.
• Savoir construire le cercle circonscrit d'un triangle.