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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES A PPLIQUEES DE TOULOUSE Département de Sciences et Technologies Pour l'Ingénieur 3 ème année Ingénierie de la Construction GÉOTECHNIQUE 1 Cours Chapitres 2 Jacques Lérau Maître de Conférences Année universitaire 2005 2006
GÉOTECHNIQUE 1 SOMMAIRE Chapitre II HYDRAULIQUE SOUTERRAINE 1 ÉLÉMENTS D' HYDRAULIQUE SOUTERRAINE 2 ÉCOULEMENTS TRIDIMENSIONNELS – HYDRAULIQUE DES PUITS 3 ÉCOULEMENTS BIDIMENSIONNELS – ÉTUDE DES RÉSEAUX D' ÉCOULEMENT 4 EFFETS MÉCANIQUES DE L 'EAU SUR LES SOLS – INTERACTION FLUIDESQUELETTE 5 EFFETS DE LA CAPILLARITÉ DANS LES SOLS Annexe 1 : Condition de continuité Annexe 2 : Débit de pompage Démonstration de Tcharny
Géotechnique 1 J. Lérau Chapitrell
HYDRAULIQUE
SOUTERRAINE
T . ÉuÉnaENTsD,HYDRAULIQUESoUTERRAINE
1 . 1 - HYPOTHÈSESET DÉFINITIONSFONDAMENTALES
1 - 1 - 1 - Hypothèsesdebase-Conditiondecontinuité
L'étude de l'écoulementde I'eau dans les sols reposesur les trois hypothèsessuivantes:
1. Le sol estsaturé.
2. L'eauet lesgrainssontincompressibles.
3. La phaseliquideestcontinue.
-!,,c"Ll
."",iiÏ;d'eau
Soitun volumequelconque
de sol saturé(V),limitépar
(fig.1). Dans
une surface(S) et traversépar un écoulement
un intervalle
de tempsdonné.dt,
un volumed'eaudV1pénètre à I'intérieur
de (S) et un volumed'eaudV2en sort.Si on X---R&"tiE?YV=vs+vw
supposeque les grainsn'ont pas bougé,c'est à diresi (V)
est un domainefixede l'espace,et en vertude I'hypothèse
2,
le volumed'eauVrlycontenudans(S) restele même.
dV1volumed'eau
entrant
Parsuite,dVr = dVe.Le débitest conservé.
C'estla condition
de continuité.
- Figure1 Pourexpliciterla conditionde continuité,
considérons
un parallélépipède
élémentaire
de
sol,limitéparunesurface(S), de côtésdx,dy et dz.
Soit Û(vr,vy,vz)la vitessede l'eauau centreM de cetélémentde volume(fig.2).
(*ar=:àr'
---:j--
1
1
1
L'eau pénètrepar la facetteABCDavec une vitessê!vx $'*- o* et sort oar ra facette
2 ôx
A'B'C'D'avecunevitessêr v; * 1.}k O*
2 ô x
ll en estde mêmepourlesautresfacettes.
'o*
Géotechnique1 - J. Lérau
î
&a*
àx-
-c.n-2Au total,le volumed'eauentrantdansle parallélépipède
pendantI'interualle
de tempsdt
s'écrit:
dVr-[tu*
+]
o*l.oy.dz+(vy+(vz
++dy).dz.dx + *
o=r.dx.dv].dt
On a de mêmepourle volumesortant:
dVz-
.
[tu* *.*
(vy.
o*,.dy.dz+
* #
ou,.oz.dx
+ (vz*
+Ydz).dx.dy].dt
La conditionde continuitédVr - dV2s'écrit donc après simplification:
ql-.1!-. lL = o
dx
dy
dz
soit
divV = Q
(1)
C'estla loi de conservation
en volume.
Remarques
:
. C'est aussila loi de conservation
de la masse(hypothèse
2: la massevolumiquede
l'eauresteconstante).
. La relation(1) peut être obtenuesans faire d'hypothèse
sur la forme du volume
- voirannexe1.
élémentaire
. En hydraulique
dessolson a le plussouventaffaireà des régimespermanents,
c'està
dire des écoulements
stabiliséspour lesquelsla vitessede I'eau en tout pointdu massifest
indépendante
du temps.Lesparticules
fluidessuiventdoncdestrajectoires,
appeléeslignesde
courant,invariables
au coursdu temps.Le présentchapitretraiteuniquement
l'étudede tels
écoulements.
. On appellerégimetransitoire
un régimenonstabilisé,
variableavecle temps.
1 - 1- 2 - Vitessede l'eaudansle sol
L'eau qui s'écouledansun sol circuledansles interstices
entreles grainsqui forment
descanauxde taillesvariables.
Lestrajectoires
réellesdesfiletsliquidessontasseztortueuses
et il n'estpaspossible
de définirlesvitesses
réellesde l'eau(fig.3-a). Commeon s'intéres'se
surtoutau mouvementglobaldu fluide on définitdes trajectoiresfictiveset des vitesses
moyennes.
D€bit
q
. Soit q le débitde l'eau s'écoulant dans un tube de sol au travers
d'unesurfaced'airetotaleS (grains+
vides).
Par définition,la vitessede déchargede I'eau dans le sol, notéev,
est égaleau rapport:
traJ ecÈgire
réellê et
viÈesse loca
- Figure3 En pratique,c'est la vitessede décharge
v (appelée
aussivitessede percolation)
qui est
utiliséedanslescalculsde débits.C'estunevitessefictive,apparente.
que I'eau ne circuleque dans les vides,on peut définirla vitesse
En considérant
moyenneréelle,notéev', définie'par: v'=
s +v
Soitn la porosité
du milieu n = 5 =) Vy = n.V
V
Pourun cylindrede sectionS et de hauteurH, on a : Vu= Sv.H = D.S . H = =+ Sv= h . S
S : airetotalede la section,Sy : aireoccupéeparlesvides.
-c.il-3-
La vitesseréellemoyennea donc pourvaleur: v' =
q _ q
d'où:
n.S
Sv
- Pertede charge
1 - 1 - 3 - Chargehydraulique
Dans l'étudede l'écoulement
d'un fluidesous l'actionde la pesanteur,
on appelle
point
prenant
chargehydraulique
en un
M, en
O] verticalascendant,
la quantité:
h
h
M =vm2
Ë.
u1
#
+zM
avec v":vitessede I'eauau pointM,
uM: pressionde l'eau en M (en prenantpouroriginedes pressions
la pressionatmosphérique),
appeléepression
interstitiellel,
z" : altitudedu pointM par rapportà un plande référencearbitrairemaisqui,judicieusementchoisi,peutsimplifier
lescalculs(si ô7 estverticatdescendant
: - zu),
g : accélération
dueà la pesanteur.
La chargehydraulique
représente
l'énergied'uneparticule
fluidede masseunité,
' 5É
2 9
correspondant
à l'énergiecinétique
et (llIL* =r) à l'énergiepotentielle.
Elleest expriméeen
Yw
mètres.
2
En Mécaniquedes Sols,le term" ll
est toujourstrès faible par rapportaux autres
2g
termes,car lavitessed'écoulement
de I'eauest toujoursfaible.Pourunevitessede 10 cm/s,
2
= 0,5 mm seulement.
qui n'estjamaisatteinteen pratiqu",*
On peutdoncle négligeret
zg
écrire:
hM= *="
#
Dansle cas de l'écoulement
d'unfluideparfait(incompressible
et nonvisqueux)
le théorèmede Bernoulli
indiqueque la chargele longd'unfiletfluideresteconstante.
L'eaun'étant
pas un fluideparfait,la présencedes particules
solidesgénèredes contraintes
de cisaillement
(liées au gradientde vitesse).ll y a interactionde I'eau avec les grains du sol et, en
conséquence,
dissipation
d'énergie.
Le théorème
pas.ll y a pertede
de Bernoulli
ne s'applique
chargele longd'unfiletfluide.
est unevaleurrelativefonctionde la positiondu plande référence,
elle est doncdéfinieà uneconstanteprès.Celane posepas de problèmecar c'estla variation
de chargeentredeuxpointsqui est le paramètre
fondamental.
La variationde chargedh subie
par I'eaudansson mouvement
- hy.
de M à N (dansle sensde l'écoulement)
est égaleà hr'*r
(fig.
Cettevariationest négative a).
On appellepertede chargela quantité- dh
- dh = hrrrr- hru
La pressioninterstitielle
u est mesuréepar la hauteurd'eaudansun tubepiézométrique
(appeléaussioiézomètre)
pénétrant
dansle soljusqu'aupointconsidéré.
SoitM le pointconsidéré
et A le niveausupérieur
de I'eaudansle tube.
est la mêmeen A et en M puisqu'iln'ya pasécoulement
entreces
deuxpoints.
t
remarqueret retenir I'orthographedu mot : interstiliel(le)
-c.il-4uu
hr'rM = - u M - +r'rz M =F\h A =A Z r+
Yw
= z '.a - z M : +
uM=T*@o-zr,rr)
Yw
La pressioninterstitielle
est proportionnelle
à la hauteurd'eaudansle tubepiézométrique.
On appellesurfaceoiézométrique
le lieu des pointscorrespondant
au niveaude l'eau
danslestubespiézométriques.
Sa tracedansle pland'étudeestla lignepiézométrique.
La pertede chargeentreM et N estégaleàzo-zs.
pié5o "-'t,.1\J<s
*ot
Srr Fccc àu sol
:9eei.,r.d+i1q.
{-
+
E
â_
t
I
I po-be.
#e.nEra-
I
-t
---
,
I
It
a,
,
c
r
àc' <-hârqe.
Ha.bN
J
N
t
,
,
t
.9
I
,
I
,
Lioncs /
Jq"i gitrnfiellcs
,
I
N,
Figure4 La surfacelibrede l'écoulement
est constituée
de lignesde iourantconfondues
avecla
qui leur est associée(ur,rr= 0, quel que soit le point M considéré
ligne piézométrique
appartenant
à la surfacede l'écoulement).
1 - 1 - 4 - Gradienthydraulique
l-achargehydraulique
h" estfonctiondescoordonnées
x, y etz de M.
- âh/ôx
on appellegradienthydraulique
en M, le vecteuri de composantes
: T -âh/ôy = -grad h
-àh lôz
SoitP un pointtrèsvoisindu pointM (fig.5),tel que:
lox
ffilo,
ld=
Ona:
i . MF=-# dx-# ou-# dz=-dhup
- hp,s'exprimedoncpar: - dhnrp- i . M P
doncla pertede chargeentreM et P, égaleà hr,rr
SoitQ un pointtrèsvoisinde M dansla direction
de i ,
?
tviôt=dl,ona:
hy- hq = - dhMe= î. ffi= lî l.lN4tI
=+ dansle sensde l'écoulement
: - dh = . d l
d'oùrI'expression
du modulede i :
M
- Figure5
positifdansle sensdu courant.
i est un nombresansdimension,
Lorsquedansun écoulement
le gradient
hydraulique
estle mêmeen toutpoint,l'écoulementestdit uniforme.
-c.il-51 - 1 - 5 - Exemplede calculde gradienthydraulique
Considérons un échantillon cylindrique de sol traversé par un écoulement vertical
(fig.5).
descendant
. Au pointB :
us = AB . yyy(étathydrostatique)
zs=BC
d'où : ha- !E- + Ze= AB + BC= AC
Yw
. Au pointD :
U D= C D. Y *
zD=- CD
d'où:ho=P.zo=CD-CD=0
TW
. Entrele pointB et le pointD, il y a uneperte
= hB-ho = AC
de charge: (-dh)sD
- Figure6 -
. Gradienthydraulique
entreBD :
ll a pourmodule:
.
l
-dh
-
=
v
he-hn
v
=
AC
dI
BD
BD
En tout pointde l'échantillon
de sol le gradient
hydraulique
est le même:l'écoulement
est uniforme
(pertede chargetotale)
ll Remarque: On obserueque la pertede chargeà traversl'échantillon
entrele niveaude l'eauà l'entréede l'échantillon
et le niveaude I'eauà
ll estégaleà la différence
ll la sortie.
tt
-
1 .2 - LOI DE DARCY
Lesexpériences
de Darcy,qui sontà la basede l'hydraulique
souterraine,
étaientrelatives à l'écoulement
de I'eau dansune conduiteverticalerempliede sableen régimepermanent.Dansun tel cas,les lignesde courant'sont
rectilignes
et parallèles.
peutêtre étendueau cas d'un écoulement
La loi, établieexpérimentalement,
monodiquelconque.
mensionnel
de direction
La loi de Darcyexprimeque la vitessede déchargeest proportionnelle
au gradienthydraulique:
[ = k.i
La circulation
de I'eaus'effectue
en régimelaminaire.
Le coefficient
k ainsiintroduitest
une caractéristique
du sol étudié.ll est appelécoefficient
de perméabilité.
Sa dimensionest
celled'unevitessepuisquei estsansdimension.
La perméabilité
variebeaucoupavecla naturedu terrain.Le tableauci-aprèsdonneles
interualles
de valeurscorrespondant
aux perméabilités
de différents
typesde sol :
Type de sol
Graves
Sables
Limonset sablesargileux
Arqiles
Coefficientde perméabilité
(m/s)
Perméabilité
10-3<k<1
10-5<k<10-3
10-s<k<10-5
10-13<k<10-e
très élevée
assezélevée
faible
pratiquementimperméable
-c.il-6Remarques
:
1.
Pouravoirun ordrede grandeur
facileà retenir: 10-8m/s représente
unevitessede 30
cm paran environ'.
2.
Lesrochesnonfissurées
ontdesperméabilités
variantde 10-12à 10-10m/s.
3.
Dansle casd'un sableà granulométrie
serrée(c, . 2),on peutobteniruneestimation
du
coefficient
de perméabilité
à I'aidede la relationempirique
de Hazen:
k = Dro2
où k estexpriméeen m/set D1sestexpriméen cm.
4.
Le décretministériel
du 11 Mars1987concernant
les Centresde Stockageet de Traitementdes Déchetspourles orduresménagères
et assimiléspréciseque le sol du site doitprésenterun coefficient
de perméabilité
inférieur
à 10-6m/ssur uneépaisseur
égaleou supérieure
à 5 m et la présenceen partiesupérieure
d'unsol ayantun coefficient
de perméabilité
inférieur
à 10-em/ssurun mètred'épaisseur.
1 .3. MESUREDE LA PERMÉNEIL|TÉ
CN LABORATOIRE
Le principede la mesureconsisteà relierle débitq traversant
un échantillon
cylindrique
de sol saturé(écoulement
uniforme)
à la chargeh souslaquellese produitl'écoulement.
Suivantl'ordrede grandeurde la perméabilité
du sol étudiéon seraamenéà travailler
souscharge
(perméabilités
constante
élevées<+,k > 10-5m/s)ou souschargevariable(faiblesperméabilités c+ k < 10-5m/s).
1 - 3 - 1 - Perméamètre
à chargeconstante
Le niveaude I'eau dans le réservoirétant
maintenuconstant,on a, en prenantle plan de
référence
au niveaude sortiede I'eau(fig.7):
.enAi ho=-uA+zA=H-L=h
'1
Yw
.enB:
q nrveou
aonstont
hB=
z B= 0
#.
. pertede chargeentreA et B : hn - he = h
. gradient
hydraulique
. : i - IL
. débittraversant
l'échantillon
:
q = v . S = f . I . S
L
d'où:
k =
q . L
S
rnesuredu ffiit
h
avec q, = 9t et S sectionde l'échantillon.
Q : volumed'eaurecueillipendantle tempst.
L'écoulement
dansl'échantillon
est uniforme.
1 3 2 Perméamètre
à chargevariable
Dansle casdesfaiblesperméabilités,
l'essaià chargeconstante
seraittroplong,les débitsétanttrèsfaibles.On procèdealorsà chargevariable: l'eau provientd'un tubete faible
diamètre(sections) reliéà l'échantillon.
Au fur et à mesureque l'écoulement
se produit,le
niveaude I'eaudansle tube baisse(chargevariable).On mesurele tempst nécessaire
pour
queI'eaudescende
du niveauh1au niveauh2(fig.8).
Danscet essai,le mouvement
n'estpas permanent,
maisle phénomène
est lenter on
supposeque la loi de Darcyestapplicable
à chaqueintervalle
de tempsélémentaire.
"
1 an = n.107sec
-c.il-7Avec les notationsde la figure (plan de référence
au niveaud'entréede l'échantillon)
il
vient,pour un tempsintermédiaire
:
.enA:
hA=
H+0
#.zA=
. enB:
hB=#.zB=0+L
opêrtêdecharge: hn - hB = H - L= h
. gradient
hydraulique
: i - FL
.
. débittraversantl'échantillon:
9 = v . S - r . L. F . S
En écrivantque le volumed'eau qui trapendantI'intervalle
versel'échantillon
de temps
dt estégalà la diminution
de volumed'eaudans
le tube,il vient:
dV= q.dt= -s.dh
s o i t: k .
h
t
Perméamètre
à chargevariable
- Figure8 -
. S . d t= - s . d h
t
l.
d'où:k.ldt
J
0
de sol
h2
- s ' f of et,aprèsintégration
:
s'''J h
h1
ft=È.f.,'#
Remarques
:
. La mesurede k en laboratoire
est intéressante
lorsqueI'homogénéité
du massifde sol est
pourqu'un échantillon
suffisante
soit représentatif.
C'estrarementle cas,saufdansle cas de
couchesargileusesou de matériauxmis en æuvre dans les ouvragestels que digueset
barragesen terre (matériauxde qualitécontrôléeà la mise en æuvre).Dans le bas de
problèmescourantstels que rabafiements
de nappeen milieu perméable,I'hétérogénéité
nécessite
l'emploid'autresméthodes
(pompages,
...).
' Commeprécédemment
on observe,pour les deux perméamètres,
que la pertede charge
totaleà traversl'échantillon
est égaleà la différence
entrele niveaude I'eauà l'entréeetle
niveaude l'eauà la sortiede l'échantillon
1 .4. PERMÉABILITÉ
DES TERRAINS
STRATIFIÉS
De nombreuxsolssédimentaires
par des couchessuperposées
sontconstitués
de granulométries
et donc de perméabilités
variables.La perméabilité
est parmiles propriétés
ôes
solsles plussensibles
à I'anisotropie.
Soitun terrainstratifiéd'épaisseur
H constitué
de n coucheshorizontales
d'épaisseur
H;
et de perméabilité
k i . On peutdéfinirun terrainfictifhomogène
qui,danslesmêmesconditions
de pertede charge,laissefiltrerle mêmedébit.
1 - 4 - 1 - Casd'unécoulement
oarallèle
au plande stratification
(fig.9-a)
Soitk 5 le coefficient
de perméabilité
du terrainfictifhomogène.
que:
En exprimant
- la pertede chargeestla mêmepourtouteslescouches
(le gradienthydraulique
i estdoncaussile même)
- le débittotalestla sommedesdébitsde chaquecouche
quel'ona:
on démontre
k h = *
l=O
Fl
,
) Ki . l-1i
L l r r
i=1
Géotechnique1 -J. Lérau
-c.il-8-
- 4 - 2 - Cas d'un écoulementperpendiculaire
au plan de stratification(fig.9-b)
Soit ky le coefficientde perméabilitédu terrainfictif homogène.
En exprimantque :
- la perte de chargetotaleest la somme des pertesde chargede chaquecouche
- le débit est le même pour toutesles couches
(la vitessede déchargev est donc aussi la même)
on démontreque I'on a :
1
1 in,
ç="?rn
,
Krr =
ou encore:
H
iu
3k,
,
/.rI.:-
I I I t l l
I I
,
io'.'.ci1t
{J
+)
parallèle
a - Ecoulement
perpendiculaire
b - Ecoulement
- Figure9 Remarque: La perméabilité
du terrainfictifhomogène
est beaucoupplusélevéedansle sens
descouchesque dansle sensperpendiculaire
auxcouches.Dansle casd'unterrainconstitué
de deuxcoucheson peutfacilementdémontrerque
=r
ta
FK V r 1 dansles terrainsstratifiés,
perméabilité
estplusgrandeparallèlement
queperpendiculairement.
à la stratification
1 .5.. CÉNÉNNLISATION
DE LA LOt DE DARCY
1 - 5 - 1 - Milieuhomogène
et isotrope
Le coefficient
de perméabilité
k a la mêmevaleuren touspointset danstouteslesdirections.La loi de Darcygénéralisée
exprimeque le vecteurvitessede déchargeet le gradient
hydraulique
sontproportionnels
:
V = k.i
En toutpointM du milieuperméable,
le vecteurgradient
hydraulique
esttangentà la tignede courantpassantparce pointet il estorientédansle mêmesens.
û et T sontcolinéaires,
k estun scalaire.
Commeparailleursî = - grae h, la loide Darcypeuts'écrire:
v --k.graÈh=$ae (-k.h)
ce qui revientà postulerI'existence
= - k.h appeléepotentiel
d'unefonctionQ(x,y,z)
desvitesses(c'està diredonnantlescomposantes
de la vitessepardérivation)
:
v-grada
Géotechnique
1 -J. Lérau
-c.il-9La vitessede déchargea donc pour composantes:
u r = # - - k*
V v =aô
a t = - Kah' Ù y z = 9 E = - r . â h
dz
La loi de conservation
div ( Û) = 0 s'écrit: div (ffi
àz
A0= 0
0) = 0 +
Le potentieldesvitessesest unefonctionharmonique.
par- k, on obtient
De la mêmefaçon,aprèssimplification
Ah = 0
estaussiunefonctionharmonique.
1 - 5 - 2 - Milieuhomogène
et anisotrope
Dansce cas les vecteursgradienthydraulique
et vitessede déchargene sontpluscolinéaires.lls se déduisent
I'un de I'autrepar un opérateur
linéaire:le tenseurde perméabilité
(k) indépendant
de x, y etz (homogénéiTé),
symétrique
et diagonalisable.
( n* kru k", )
=
(k)
| kv" ky kv. I
kyy k,
[kr*
)
Si les axes de coordonnéesutiliséssont les directionsprincipalesdu tenseurde
perméabilité
(k), il estramenéà saformediagonale
et s'écrit:
(k* o o)
(k=
) 10 kY0l
|.0 0 t,z)
La loide Darcys'écrit :
û = - ( k ) . g r a dh
et lescomposantes
de la vitessede décharge
ont pourexpression
:
vx=-k-*
'La
condition
de continuité
s'écrit:
vy=-nu# vz=-k.#
k r 4 *' r"Y
u4*kr&=e.
a,É
arz
ô22
Ce n'estpasuneéquationde Laplace;la chargehydraulique
n'estpasunefonctionharmonique
.
En pratique,du fait de la sédimentation
et de la consolidation
suivantla verticale,ky <<
k6.On posealors: kx = ky = k6 et k2 = ky (milieuhomogène
orthotrope).
1 .6 . DOMAINEDE VALIDITÉDE LA LOI DE DARCY
La loi de Darcyest bienvérifiéepourtous les solsdansle domainedesvitessesde déchargeusuelles.
On constatetoutefoisdesécartsparrapportà la loi de Darcydansle casde :
. très faiblesvitessesde décharge+ écartsdus à la présencedes couchesd'eauadsorbées
qui peuventralentir
ou annulerl'écoulement,
. fortesvitessesde décharge+ écartsdus probablement
à I'effetde forcesd'inertiedansun
mouvementnon uniformequi provoquedes turbulences.
Toutefois,ces fortesvitessesde
jamaisatteintes,sauf éventuellement
déchargene sont pratiquement
dans certaineszones
restreintes
du milieu.
justifiée,
pleinement
L'utilisation
de la loide Darcyestdoncen pratique
d'autantplusque
d'autressourcesd'erreur,tellesquela nonhomogénéité
dessolsréels,la modification
de l'arrangement
du squelette
solidesousI'effetde l'écoulement,
lesvariations
qui
de température
modifient
laviscositéde l'eau,fourniraient
descorrections
supérieures
aux écartsmentionnés
ci-dessus.
- c. il - 10-
z - ÉcouLEMENTs
TRIDIMENSToNNEI-s
À svnnÉrrueDE nÉvot-uloN - HyDRAULIQUE DES PUITS
lors de la réalisation
On rencontrede tels écoulements
de pompagesdans la nappe
phréatique.
pratiques
Lesapplications
des pompages
sontles suivantes: alimentation
en eau,
rabattement
desnappeset essaisde perméabilité
in situ.
Nousne donnerons
ici quequelquesrésultats
concernant
le pompageen régimepermanent.
2 - 1 .HYPOTHÈSES
DE CALCUL
Soit un massif perméable,isotrope,de perméabilité
k, baignépar une nappe libre
d'épaisseur
H, reposant
sur un substratum
(fig.10).Supposons
imperméable
que l'on foreun
puitscirculairevertical,de rayonr, traversantcomplètement
la coucheperméablejusqu'au
substratum.
Le puitsest crépinéde manièreà ce queles paroisne s'éboulentpas.On pompe
alorsdansle puitsà débitconstantq. La hauteurde I'eaudansle puitsestnotéeh.
Dans le cas où la nappephréatiquea une grandeépaisseurau repos,un régime
permanents'établiten unejournéeenviron.La surfacelibrede la nappeprésentealorsune
dépression
en formed'entonnoir,centréesur le puitset se raccordant
à une distanceR de
l'axe du puitsà la surfaceinitialede la nappe.Le rabattement
de la nappen'affectedonc
qu'uneportiondu massifperméable
situéeà I'intérieurdu
cylindrevertical
de rayonR, appelé
rayond'alimentation
ou rayond'action.
Le problèmeest de révolution
autourde l'axe du puits.La figureci-aprèsreprésente
une
sectiondu massifpar un plandiamétral
vertical.Le rabattement
ô en un pointd'abscissex est
donnépar la différencede cote entreles pointsde la surfacelibresituésà la verticalede x
avantet aprèspompage.
t ,
rn a:ri{
p.,it
s
,
|
,.
6ragrn4
R
a
6ub rhral-urrr i m p cr rn d. bl e-
4
( rayoa dtechi cn\
pc"-Lbl-
;
Rabattement
de napoelibre
- Figure10- FORMULE
2.2. POMPAGE
EN NÉCIITIT
PERMANENT
DE DUPUIT
Puitsdansunenappelibre(fig.10)
Soitun pointM quelconque
de la surfacelibrede coordonnées
x et z.
En désignantpar s I'abscissecurvilignele long de la surfacelibre, le gradient
hydraulique
en M a pourvaleur-dzl-dset la vitessede décharge,
tangenteà la surfacslibre,a
p o u r m o d uV
l e=r k . i = k +
os
L'hypothèse
de Dupuitconsisteà supposer
que la surfacelibrea unepentefaibleet que
les lignesde courantpeuvent,en premièreapproximation,
êtreconsidérées
commehorizontaleset parallèles.
On peutalorsécrirei v = v; êt ds = dx = à V ; = K dz
d*
En admettantque lesfiletsliquidessontpratiquement
horizontaux
et parallèles,
il résulte
vx
horizontale
de la vitessede déchargele long
Quê est la valeurmoyennede la composante
de la verticale
d'abscisse
x.
- c . i l - 1 1Par suite, le débit qui entre dans le cylindrede surfaceS (rayonx et hauteurz) a pour
v a f e u r : q = $ . V x= Z n . x . z . k+.
dx
(1)
Puisquel'eau est incompressible
et que le régimeest permanent,
q est égal au débit
pompédansle puits.En intégrant
(1)entrele rayondu puitsr et le rayond'actionR,
l'équation
on trouvela formulede Dupuit:
Q =t[
,
H2 -h2
ln l-
r
Puitsdansunenaopecaptive(fig.11)
On ne considèreplus la surfacede la
nappemaisla sudacepiézométrique.
Le débit
à considérer
entredansle cylindrede surface
S, de rayonx et de hauteurconstantee.
g = Zæ.x.e.k. +
L'intégration
de ta relation
dx
conduit
à:
q = 2 n .k . e . I ; 3
. R
ln-
f
Puitsdansunenapoecaptive
- Figure
11-
2 . 3. REMARQUES
2 - 3 - 1 - Rayond'action
L'utilisation
de la formulede Dupuitnécessitela connaissance
du rayond'actionR. Ce
dernierpeut être évaluéde différentes
manières,soit simplement
par relevédu niveaude la
nappeau coursdu pompage,soit à l'aide de formulesempiriques,
soit encorepar un calcul
théorique
en régimetransitoire.
1. En premièreapproximation,
on peutadmettreque
100r < R < 300r
Lesvaleursextrêmesdu logarithme
sontIn 300 = 5,70et In 100= 4,61;on voit que la
plaged'incertitude
surq restefaible.PourR = 200r, on obtientIn R/r = In 200= 5,30.
2. On peutégalement
utiliser
la formuleempirique
de Sichardt:
R = 3 0 0 0 ( H - h ){ I
avec: R, H et h exprimésen m, k expriméen m/s.
3. Etablissement
du régimepermanent.
On montreque R = 1,5
avec: k : coefficient
de perméabilité,
expriméen m/s,
t : duréedu régimetransitoire,
expriméen secondes
n : porosité.
Nota: Le produitkH estappelétransmissivité,
elleestnotéeT.
2 - 3- 2 - Equation
de la surfacelibre
En intégrant
l'équation
(1)entrele rayondu puitset le pointcouranton obtientl'équation
de la méridienne
:
22=h2+ I .tnI
n.k
r
- c . l t- 1 2 -
L'expériencemontre que l'hypothèsede Dupuitn'est pas valableau voisinagedu puits(fig.12).:
. la pentede la surfacelibreest loin
d'êtrenégligeable,
. il existeune zone de résurgence
sur la surfaceintérieure
du tube
'S--.
0 1 00
oiùo
+
|
fvrlau. L;b rc-
(nàr;aic,nnc.)
:qlD:3
l 0 l 0q
t A | 'rlr.
l eb. cri
L'équation
de la méridienne
n'estqu'approchée.La méridienneréelleet la méridiennede Dupuitne peuventêtreconsidéquepourx > 1,5H.
réesconfondues
Zonede résurgence
- Figure12 En revanche,le calculdu débitpeutêtremenérigoureusement
sansfaired'hypothèse
simplificatrice
sur la pentedes filetsliquides(démonstration
due à Tcharny- cf. annexe2). ll
conduità la mêmerelationqueDupuit(h désignant
alorsla hauteurde l'eaudansle puits).
2 - 4 - MESUREDE LA PERMÉABILITE
IN- SITU
Les petitséchantillons
testésen laboratoire
ne rendentpas comptede l'hétérogénéité
desformations
naturelles.
En effet,il peutexisterdansla naturedespassages
privilégiés
fioints
de stratification,
fissures,...) qui modifientlocalement
l'écoulement.
On procèdealorsà des
essaisen place.Lesperméabilités
mesurées
en laboratoire
sontinférieures
à cellesmesurées
in-situ(effetd'échelle).On distinguedeux types d'essais: l'essaide pompageet I'essai
ponctuel.
2 - 4- 1 - ESSAIDE POMPAGE
(normeNF P 94-130)
L'essaiconsisterabattre,par pompage,
la surface piézométrique
d'une nappe. La
'sol
perméabilité
du
est telle que le pompage
provoque un rabattement de la surface
piézométrique
en quelquesheures.Pour cela
Eouchon
on fore un puits à travers la formation
êtanche
perméablejusqu'ausubstratum.Le puits est
crépinésurtoutela hauteurtraversant
la nappe
(fig. 13); des piézomètres
sont mis en place.
On pompealorsavec un débitconstantq jusqu'à ce que I'on ait atteintun régimepermanent.'
On mesurele débitpompéainsique le
niveau de l'eau dans le puits et dans les
piézomètres.
Laformulede Dupuitdonnealors:
Sondede mesure
Tube de mesure du niveau
d'eau
tnl
k=effi
Pompeinrnergée
avec crépine
d 'asoirati on
Substratum imoermèabl
Le rayon d'action est obtenupar obe
servation
du niveaude la nappeà I'aided'au
Essaide oomoaoe
moinstrois piézomètres
alignés.La duréede
- Figure13 l'essaiestde I'ordred'unejournée.
L'essaide pompagedonne la valeurglobalede k représentative
du comportement
hydrauliquemoyen du volume de sol intéressépar l'essai(cylindreayant pour hauteur
l'épaisseur
de la nappeet ayantpourrayonle rayond'actiondu pompage).
2 . 4 . 2 - E S S AP
I ONCTUEL
Un essaiponctuelest réalisépendantun tempssuffisamment
courtpourque le niveau
de la nappeau coursde l'essairesteinchangé.
On supposeque le substratum
imperméable
estassezloindu fonddu sondaqe.
- c. il - 13un volumesphérique
ll intéresse
de sol ayantun rayonde quelquesmètresautourdu
pointétudié.
L'essaile pluscourantest I'essaiLefranc(normeNF P 94-132),
quel'on exécuteen généralau coursde l'avancement
d'un sondage(= économies).
Le sondageest tubéjusqu'au
niveauoù doitêtreeffectuéela mesureet on exécute,à ce niveau,unecavitéde formedéterpar un coefficient
minée(appeléelanterne),
caractérisée
de formeC (déterminé
le plussouvent
paranalogieélectrique).
La cavitéest isoléeà sa partiesupérieure
parun bouchonétanchede
(fig.13).La filtrations'effectue
parles paroisde la cavitéet nonparcellesdu forage.
bentonite
Selonla perméabilité
desterrainsdeuxméthodes
sontutilisées.
. Danslesterrainsrelativement
perméables
(k > 10-5m/s)on pompedansta cavitéà débit constantq souschargeconstante
h (régimepermanent).
On montrealors que le débit peut se
mettresousla forme:
9=C.k.h
q
d'où:
k' , =
c.h
Dans la pratique, pour obtenir une
meilleure précision, oî effectue plusieurs
mesures(par pompageou injection)avec des
chargeset desdébitsdifférents.
. Dansles terrainsmoinsperméables
(k
< 10-5 m/s),on procèdeà chargevariabledu
fait desfaiblesdébitsmis en jeu (régimetransitoire).
Aprèsavoirpompél'eau dansla cavité,
on arêtele pompageet on observela remontée
de I'eaudansle tubecentral.Soienth1et h2les
deux mesuresde la charge etfectuéesaux
tempst1 et t2 .
quel'on a :
On démontre
'n#fr=
#(ta-tr)
d ' o ù ' l ' o tni r e :
k=
tn!1
. h- t rz
4 C te
n. d2
Essai Lefranc
- Figure14-
d : diamètredu tubeintérieur.
Pourunecavitécylindrique
de diamètreD et de hauteurL (L t 2D),éloignée
deslimites
(dela surfacede la nappeet du substratum
de l'aquifère
imperméable)
:
2nL
C a la dimension
d'unelongueur.
, 2 L
lnD
La précisionde l'essaiest au mieuxde l'ordrede 50%.Cet essaipermetde déterminer
un coefficientde perméabilité
locale;il ne doit pas être utiliséseut pour déterminerun
rabattement
important
de nappe.
- ÉTUDEDESnÉsenux D'ÉcoULEMENT
3 - ÉCOULEMENTS
BIDIMENSIONNELS
s-1-cÉruÉnnlrrÉs
Dansun massifde sol homogène
isotrope
soumisà un écoulement
permanent
et tel qu'il
n'y ait pasde variationde volumedu sol (doncpasde modification
de l'arrangement
du squequi régissent
lettesolide)leséquations
l'écoulement
sont:
- la condition
de continuité
de la phaseliquide: div V = 0 et
- la loide Darcygénéralisée
: V = k. T = - k. graA h
- c .l l- 1 4 [ â u "l ô x + ô v = / è z - O
Cesdeuxéquations
sontéquivalentes
au système: .{v" - - k ôh/ôx
-kàhlôz
L u ,=
La condition
de continuité
s'écrit:
a2h/ôx2 + a2h/à22 = Ah = 0
La chargeh1x,z)
satisfaitdoncà une équationde Laplace.C'est une fonctionharmonique.
Dansle casd'unmilieuanisotrope,
on aboutità l'équation
:
a2h
trx.
a2h
.r
= o
* tKz.
u*z
6S
qui n'estplusuneéquation
de Laplace.
La chargen'estplusunefonctionharmonique.
3 . 2 . M I L I E UI S O T R O P E
- Définitions
3 - 2- 1 - Généralités
La condition
de continuité
s'écrit: ô2h/èx2+ â2h/ô22 - O
L'écoulement
a lieuentredeslimitesdéterminées
sur lesquelles
sontimposées
descon(la vitessede décharge)
ditionssur l'écoulement
ou sur la chargehydraulique.
Le problème
consisteà déterminerunefonctionh1x,z)
satisfaisant
à l'équationde Laplaceet aux conditions
auxlimites.La solution
estindépendante
de la perméabilité
k du sol.
En pratique,la résolution
de l'équation
de Laplaceconsisteà rechercher
:
- lesligneséquipotentielles
pourlesquelles
on a h - Cte,
- les lignesde courantpourtoutpointM desquelles
ffi etantportépar
'
âon a + n = 0, l'a><e
la normaleà la lignede courant.
Dans le cas générall'équationde Laplacen'est pas intégrableet on a recoursaux
méthodes
numériques.
Danslescasgéométriquement
simpleson utilisela transformation
conforme.
que
pouvait
=
potentielle:Q1x,z)
l'on
introduire
On avu
lafonction
[.h =+ V = $raôq.
lafonction
On peutaussiintroduire
de courantry(x,z;
définieOar,
'
=vx êt
=vz.
S
#
que0 et \r sontdesfonctionsharmoniques
On montrefacilement
(Â 0 = A V = 0) et que
les lig.nes 0 cstesontles ligneséquipotentielles
(h = çste;
et
c9t"
sont
les
lignes
de
courant.
V
On peutalorsécrireque la fonction0 + iV, appeléepotentielcomplexeest unefonction
harmoniquede la variablecomplexex + iy. Les méthodesde transformations
conformes
permettent,
à partirde potentiels
simples,
de définirdesécoulements
de formespluscomplexes
s'adaptant
aux conditions
auxlimitesimposées.
Lescalculssontassezlourds.
Ligneséquipotentielles
et lignesde courantconstituent
un réseauorthogonal
: le réseau
d'écoulement.
En effet,en toutpointM, la lignede courantestperpendiculaire
à la ligneéquipotentielle
:
passant
parM (fig.15).
SoitP un pointtrèsvoisinde M surl'équipotentielle
Pertede chargeentreM et P: (- dh)"p= î. ÀÊ
= 0 (équipotentielle),
or (- dh)rr,rp
donclesvecteursî et VÈ sontperpendiculaires.
- c. il - 15-
d , 1 " i p "t e , n t i e l l e s
L;Xnes
etL
n
cauranb
I
{ = Cri.
\
^
f,,={t4
t
o
t^
,/
' - r,-
-14\
-AI
AL
\
\
Ligneséquipotentielles
et lignesde courant
- Figure15Deuxlignesde courantdéterminent
un tube de courantdanslequelI'eau circulesans
sortir;le débity est doncconstant.
Lavitessede décharge
estd'autantplusfaiblequeleslignesde courants'écartent.
Détermination
desréseauxd'écoulement
La détermination
peutse fairede différentes
façons:
- par recherched'une solutionanalytiqueà partirdu potentielcomplexedans tes cas
géométriquement
simples,
- parméthodenumérique
(calculparélémentfinis),
- parméthodeanalogique
(analogie
électrique),
- manuellement,
parapproximations
successives.
3 - 2- 2 - Exemples
de conditions
auxlimites
Soit un barrageen terrede sectiondroiteABCDreposantsur un substratumimperméable (fig.16).La hauteurde l'eaudansla retenueest H. Le plande référence
pourles altitudes
et les chargeshydrauliques
est le niveaudu substratum.
ll correspond
au niveaude I'eauà
l'aval.
Lesconditions
auxlimitesde l'écoulement
sontlessuivantes
:
' 'AF
est unesurfaceimperméable
: aucundébitne ta traverse,la composante
de la vitesse de déchargeselon la normaleil à la surfaceimperméable
est nulle : le
gradienthydraulique
transversal
estnul.
ah = t
O
la dérivéenormaleestnulle(condition
de Neumann).
an
AF est unelignede courant.
'AE est unesurfacefiltrante: c'est unesurfaceen contactavecunemassed'eau libre.
Dansla massed'eaulibre,les pertesde chargesontnégligeables
:
h _ c s t e ( i=c 6i 1 .
La condition
à la limitesurAE estdonc' h - cste(condition
de Dirichlet).
Lessurfacesfiltrantessontdessurfaceséquipotentielles.
AE estdoncnormaleauxlignesde courant.
' EF est la surfacelibre(surfacede la nappe): le débitqui la traverseestnul : le gradient
hydraulique
transversal
estnul' P = 0 (fr normalà EF au pointconsidéré).
C,est
ân
une ligne de courant.Elle n'est soumisequ'à la pressionatmosphérique.
En
négligeant
l'action
de la capillarité
: h = z.
' # = n* a à n = l s f l ï ah + ah =0
l B R itcoscr
3 î = *;sino
-c.il-16On a donc la doublecondition.
a h= 0 e t h = 2 .
ôn
. au pointF et dansle drainde pied: h - 0.
L'écoulement
limitédanssa partiesupérieure
considéré,
par une surfacelibre,est dit
écoulement
à surfacelibre.
Tfelenue.
H
5ub:l'ral-,rm
iwrper.-éotfi.
Barrageen terre
- Figure163 - 2 - 3 - Méthoded'analogie
électrique
peutêtredéterminé
Le réseaud'écoulement
parla méthoded'analogieélectrique.
Si une plaqueconductrice
plane,d'épaisseurconstante,homogèneet
de l'électricité,
par un courantélectrique,
isotropeest parcourue
le potentielélectrique
V1x,z;
vérifiel'équation
de Laplace:
a2v
a2v
æ * æ = Â V = 0
La densitéde couranti et le potentiel
électrique
sontreliésparla relation:
----+
.1 .
i = -(;)grad V
(p: résistivité)
p
ll y a doncune analogieentrel'écoulement
d'un courantélectrique
dansune plaque
1
r
V]et l'écoulement
bidimensionnel
de l'eaudansun sol[V= - k.grae h].
[T =' - (*)graA
p
Le modèledu problème
étudiéestdécoupédansun papierconducteur
graphité.
Les lignesde courantsont représentées
par les bordslibresou des entailleà(pourune
palplanche
parexemple).
Lessurfacesfiltrantes(équipotentielles)
sontportéesà un potentiel
V proportionnel
à h.
Si l'écoulement
est à surfacelibre il faut découperle modèlepar approximations
successives
de façonà avoirh = z (condition
à la limitede surfacelibre).
Mis à partcetteincertitude,
I'analogieélectrique
estfacileà mettreen æuvre,rapide,directeet quasiexacte.
On détermine
le réseaud'écoulement
parseséquipotentielles:
à l'aided'unesonde,on
mesureen toutpointde la plaquele potentiel
V1x,z).
?
qui se correspondent
Lesgrandeurs
sontlessuivantes
:
Grandeur
hydraulique
charge : h
vitesse de décharge : V
d é b i t :q
perméabilité: k
Grandeur
électrique
potentiel: V
densitéde courant: T
intensité:
I
conductivité:
1/p
-c.il-17-
3 - 2 - 4 - Exploitation
Les réseauxd'écoulementpermettentde résoudredeux problèmespratiquestrès
courantsen Mécanique
desSols:
. le calculdesdébits: barrages,
assèchements
d'unefouille,...
. le calculde la pressioninterstitielle
utiliséepourl'étudede la stabilitédes talus,des
barrages
en terre,desmursde soutènement,
desrideauxde palplanches,
...
Considérons
un réseaud'écoulement
sousun rideaude palplanches
(fig.17).Le rideau
estsupposéde longueurinfinie.ll estfichédansunecouchede limonsurmontant
uneargile.Le
permetde considérer
rapportde perméabilité
l'argileimperméable
vis-à-visdu limon.
Substrotumimpermdoble
Rideaude palplanches
- Figure17pourlesaltitudes
Le plande référence
et leschargeshydrauliques
estle planDJ.
Lesconditions
auxlimitessontlessuivantes
:
DJ : surfacefiltrante,ligneéquipotentielle
(h = 0)
lC : surfacefiltrante,ligneéquipotentielle
(h = H1+ He)
'
CED: surfaceimperméable,
lignede courant
KFL: surfaceimperméable,
lignede courant
Tracédu réseaud'écoulement
:
Leslignesde courantet les ligneséquipotentielles
sonttracéesde tellesortequ'il y ait :
- le mêmedébitAq entredeuxlignesde courantvoisines,
- le mêmeintervalle
de pertede chargeÂh entredeuxéquipotentielles
voisines.
Leslignesdu réseauformentdesquadrilatères
curvilignes.
l'un d'euxde largeura et de longueur
Considérons
b.
Le débitde I'eauAq à traversce quadrilatère
et sur uneépaisseur
unitéest :
A q = v . Â S = V . â . 1 a v e c v= k . i = k . 4 t
b
Soit:
aq=r<.4[.a
b
un autrequadrilatère
Si nousconsidérons
de largeurc et de longueur
d, nousauronsde
même: Aq=r.$.c
o
Donc: alb = c/d = etc... (mêmedébitÂq)
Pourtous les quadrilatères
le rapportde la largeurà la longueurest le même.Le problèmerevientdoncà déterminer
deuxfamillesde courbesorthogonales,
satisfaisant
auxconditionsaux limiteset tellesque les quadrilatères
curvilignes
forméssoientsemblables.
Cettedé-
- c. il - 18terminationpeut être faite à la main par approximationssuccessivesen prenantle plus souvent
alb= 1.
Calculdu débitsous le rideaude palplanches:
Le calculest généralement
mené pour 1 m de longueurd'ouvrage.
E n t r e l e s é q u i p o t e n t i e l l e s e x t r ê m e s ( h = H r + H 2 e t h =y 0
a )n,6i li n t e r v a l l e s ( inc ni = 9 )
donc I'intervallede chargehydrauliqueAh entredeuxéquipotentielles
voisinesest :
Ah=
H 'r * Hco
H
= î6
h6
Onendéduit:
A o. = kD . 9 î.
(H:pertedechargetotale)
H
6
Si n1est le nombred'intervalles
entreles lignesde courantextrêmes(nombrede tubes
de courant,ici ht = 5), le débittotalest
Ç = nt. Aq
soit:
q-kf;
+H
Pourun réseauà mailles"carrées"I â = b
q' = nr . Ah . H
Calculde la chargehydraulioue.
du gradienthydraulique
et de la pressioninterstitielle
:
EntoutpointM du milieuon peutdéterminer
lesvaleurs:
- de la charge hydraulique,à partir de la chargeà l'entréedu massif (première
équipotentielle)
diminuéede la pertede chargeentrela surfacefiltranteet le pointconsidéré.
Si
par interpolation
M n'estpassur uneéquipotentielle
h" est déterminée
linéaireentreles deux
lesvoisines.
équipotentiel
'- du gradient
hydraulique,
à l'aidede sa relation
de définition
: i = :q!
dl
- de la pressioninterstitielle.
La définition
de la chargehydraulique
: hM=
PI W * ="
donneI uru= y* (hu - zu)
(ORTHOTROPE)
ANTSOTROPE
3 - 3 - MTLTEU
Dansla réalité,du fait de la sédimentation
et de la consolidation
suivantla verticale,
les
perméabilités
horizontale
kx et verticalek2 sontdifférentes: k2 < k; .
L'équation
aux dérivéespartiellesqui
régitl'écoulement
n'estplusuneéquationde Laplace.
d i v û= o + k - . 4 + k z . $ = o
ôx'
àzz
etAhÉo
On se ramèneà uneéquationde Laplaceparle changement
de variablessuivant:
I
l-
l x =1 9 . "
i
Ïk*
lz-z
On a donc:
-c.il-19-ah =
ôx
ah
- =ax
aX âx
ah)
-a f =
ax
àx2
[axj
h
-a 2 =
,,#=#
ah
J\Z
AX
kx
a (an
E
* [ * 1[k;)- -ï Jk*
f - 3 -
azh
ax2
kz
kx
La condition
de continuité
s'écritdonc,aprèssimplification
:' 4
. 4
ax2 azz
- O
ll suffitdoncde traiterle problèmepourun milieufictifisotrope,déformépar uneaffinité
de rapport^79 (en général< 1 car k7 <k;) puis de construire
le réseau
ll Kx
(fig.1S-a).
d'écoulement
de la manièrehabituelle
d'axe det
ff'..\...]t
horizontale
iir
.:.:"!:,'.'..:
Echelletr-
'
verticale 1[l f,
a - Milieufictifdéforméisotrope
b - Milieuréelanisotrope
(kx= 4 kz)
Réseaud'écoulement
dansun solanisotrope
- Figure18Aprèsavoirtracéle réseaud'écoulement
dansle milieuisotropeon revientau milieuréel
par la transformation
inverse(fig. 18-b).Le réseaud'écoulementréel est alorsconstituéde
famillesde courbesqui ne sontplusorthogonales.
Le calculdu débits'effectueà partirdu réseaufictifen utilisantla perméabilité
fictive.
L'expression
du coefficient
de perméabilité
fictivek est obtenueen écrivantla conservation
du
débit: le débitdansle milieufictifestle mêmequedansle milieuréel.
Supposons
tout d'abordl'écoulement
limitépar AB selonun planverticalp assantpar M
(fis.1e-b).
Z=z
M( x ,z )
x
x
a - Milieufictif déforméisotrope
x
x
b - Milieuréel anisotrope
- Figure19 -
- c . l r- 2 0 Le débitquitraverseAB est :
zB'
Zg
dansle milieuréel: q' = Jf vx^ . dz
dansle milieufictif: q' =
zA
f
,
-
vy. oZ
J
z^,
dz-dZ
avec ZA = ZA,
ZB = ZB,
PouravoirQ= g' il fautque v x =
m i l i e u r é: evl x = - k x . * =
m i l i e u f i c: t iVf X = - k . +
- k x . ah
kz
AX
kx
-â k- kx
kr 'k=
AX
k-
k" 'k=
Considérons
maintenantune sectionhorizontale
CD du
réel anisotrope,
transfor3-|ieiu
(fig.20)
méeen C'D'dumilieufictif
déformé
isotrope
' : C'D' = ./ - CD
ïk"
t v
a - Milieufictif déforméisotrope
- Figure20 -
C
D
b - Milieuréelanisotrope
. . 1z . t O
Débitdanslemilieu
:Q
r é=evl. S - - k' , à
Débitdansle milieu
flctif: Q'= - k. + . CD' = -re
dz
k" 'k,
ah
A=
Onabienq-q'
,F
ah
c'D'
A=
cD- -kzS
m
4 . EFFETSMÉCANIQUES
DE L'EAUSURLESSOLS.INTERACTION
FLUIDE€QUELETTE
..FORCE
4.1
D'ÉCOULEMENT
ET POUSSÉE
D' ARCHIMÈDE
Dansune nappeen équilibrehydrostatique,
I'actionde l'eau sur le squelette
solidese
(II) s'exerçant
réduità la pousséed'Archimède
sur les grains.Maislorsqu'ily a écoulement,
apparaîtune pertede chargequi traduitune dissipation
d'énergiepar frottementvisqueuxdu
fluidesur les grainsdu sol. On voit ainsiapparaître
sur les grainsdu sol, qui s'opposentà
l'écoulement
de l'eau,desforcesdirigées
dansle sensde l'écoulement.
Considérons
un massifde sol saturésoumisà un écoulement
bidimensionnel.
L'équation
locals'écrit:
de l'équilibre
avec
Ê : force de volume.
En prenantpourrepèrede référence
on obtient
{O,xz}avecl'axeO? verticalascendant,
sousformedéveloppée
:
[ ôo" , àrr= _n
I a-
{ ^---
*Ë-u
^--
:)
avec F
|L+ô x * pà*zy s' a t = o
X=0
Y = -Ysat
Transformons
ces équationsde manièreà faireapparaître
qui
les contraintes
effectivesa
s'exercent
surlesgrainsdu sol.
a
Lanotion decontrainteeffectiveest préciséedanslechapitrelll, au g 1-2
- c . i l - 2 1-
L a r e l a t i od
n e ï e r z a g h si ' é c r i t :
d,où
e. I
{\ : = = i . '
âo'ah
ôo" _ ôo'-
avec:u=Twh - z)
* Y * ô(h-z\ = Ë * t o a *
ôx a"
a*
ôo,
ôo',
â(h- z) = ôc,,
ah
Ë=E*T*Ë
E-{*E-^{*
Leséquations
de l'équilibre
locals'écrivent
finalement:
[ ôo'" *h.'*=
'E *ï*
* y,^,4 = o
.Ja"
a*
ah
I h'=* , ào',
LÉ*É*y*Ë+(ysat-yw)=0
ll en résultequele squelette
du solestsoumisauxforcesvolumiques
suivantes:
=
a - uneforcede pesanteur,
de composantesI )t 9
lZt=-(Ys"t-Y*)=-y'
ici la pousséed'Archimède
(n) (moduley*, direction
On voit apparaître
verticaleascendante).La force de pesanteurs'exerçantsur le squeletteest son poidsvolumiquedéjaugé
(moduley'= Tsat- yw,direction
verticaledescendante).
X2 = -y* (âh/ âx)
(ouforcede filtration)
b - uneforced'écoulement
de composantes
22 = -y * (àh/ôz)
Levecteurgradienthydrauliquei ayantpourcomposantes
: -Ahlâx et -Ah/àz ,laforce
quis'exercesurle squelette
d'écoulement
solided'unélémentde soldevolumeunitéestdonc
parle vecteur j = y*. i
représentée
Pourun élémentde volumeAV de sol on écrira
donc (fig. 21) :
ÂF= i .y*.ÀV
au centrede
. i étant le gradienthydraulique
gravitéde l'élémentde sol considéré.
Forcede pesanteur
et forced'écoulement
- Figure21 -
Lesforcesd'écoulement
sontdesforcestoutà fait analogues
auxforcesde pesanteur
et
ll
grandeur.
du
même
ordre
de
ll convientde ne pasles oublierlorsdescalculsde stabillsouvent
ll titodesouvrages.
. Casd'unécoulement
(axed
verticaldescendant
verticalascendant)
:
o
les composantes
desforcesde volumesont: l x =-(t'+iy*)
lz=
. Casd'unécoulement
verticalascendant
(axeO? verticalascendant):
0
lescomposantes
desforcesde volumesont: X =-(t'-iy*)
z-
4 .2 - GRADIENT
HYDRAULIQUE
CRITIQUE PHÉNOMÈI.IES
DE BOULANCE
ET DE
RENARD
- Boulance
4-2 - 1 - Casd'unécoulementvertical
ascendant
Lorsquel'écoulementest verticalascendant,le vecteurgradienthydrauliqueT est
verticalet dirigévers le haut.La forced'écoulement
s'opposedoncdirectement
à la forcede
pesanteur.
Si le gradienthydraulique
est suffisamment
élevéla résultante
de ces deuxforces
- c . l l- 2 2 par I'eau: il y a phénomène
est dirigéevers le hautet les grainsdu sol sontentraînés
de
Le gradienthydraulique
pourlequella résultante
boulance.
critiqueest le gradienthydraulique
de cesforcesest nulle.
Sa valeurestdonc:
ic=
Y'
Yw
Le phénomène
de boulancepeutprovoquerdes accidentsgravessi des constructions
sontfondéessur le sol où il se produit,ou si le terrainlui-même
fait partiede I'ouvrage: digue
ou barrage
en terre,fondde fouille,...
Danstousles problèmes
d'hydraulique
dessols,il importede vérifierque les gradients
ll
réelssontsuffisamment
ascendants
inférieurs
au gradientcritiqueiç.
llhydrauliques
Remarque
:
Dansle casde sableset de gravesle gradienthydraulique
critiqueesttrèsvoisinde 1.
E n e f f e t r y ' = ( y . - y * )-(n1)
d o n ci c = ( # - 1 ) ( 1 - n )
En prenantuneporositéde 40o/"(valeurmoyennepourles sableset les graves)et y. =
26,5kN/m3,on trouveic = 1.
4 - 2- 2 - Phénomène
de renard
Le phénomène
de boulanceapparaîtdansle cas d'un écoulement
verticalascendant.
Dansle casgénérald'un écoulement
en milieuperméable,
l'eau peutatteindre
localement
des
vitessesélevéessusceptibles
d'entraînerles particulesfines du sol. De ce fait, le sol étant
plusperméable,
rendulocalement
la vitessede déchargeaugmenteet le phénomène
s'amplifie. Des élémentsplus grosvont êtreentraînéstandisque l'érosionprogressera
de manière
régressive
le longd'unelignede courant.Un'conduit
se formeparoù l'eaus'engouffre
et désorganisecomplètement
le sol.C'estle phénomène
de renard(tig.22).
fA\-
P ;
n
,
,
. 4 r n o r c e J u p h c ' n o r r r è n :c
Borrlancc
â l'ovaL
Phénomène
de renard
- Figure22 4 - 3 - PROTECTION
DES OUVRAGESCONTREl-A BOULANCE
: FILTRES
peut
Le phénomène
de boulancedessables
êtreévitépar la réalisation
de filtresconstituésde couchesde matériauxperméables
de granulométrie
choisieet, maintenant,
de nappes
(géotextiles).
textilesappropriées
lls sontchoisisde manièreà permettreà l'eaude s'écouler
sansentraÎnement
de particules.
Par leurpoidspropre,ils chargentle terrainsous-jacent
et y
provoquent
uneaugmentation
descontraintes
effectives.
Leurgranulométrie
estétudiéede manière
à:
- retenirlesparticules
de sol sous-jacent
parl'écoulement
entraînées
(critèrede rétention),
- ne passensiblement
diminuerla perméabilité
du sol (critèrede perméabilité).
Parmiles diversesrèglesempiriques
relatives
à l'exécution
desfiltres,on retiendrala règle suivante:
- le D15du filtreinférieur
à 4,5foisle Ds5du terrainà protéger
(rétention),
- le D15du filtresupérieur
à 4,5foisle D15du terrainà protéger
(perméabilité).
En résumé:
-c. ll-23-
4,5 D15(terrain)
S Drs (filtre)< 4,5 Das(terrain)
ll faut veillerau délicatproblèmedu colmatage.
Si des particules
finessontentraînées
puisretenuespar le filtre,la perméabilité
de ce dernierpeutdiminueret ralentirconsidérablementl'écoulement.
5 - EFFETSDE LA CAPILLARffÉDANS LES SOLS
Dansles sols non saturés,l'eaus'accroche
entreles grains,particulièrement
dansles
zonesvoisinesdespointsde contact,parsuitedesphénomènes
de capillarité.
5 . 1 . NOTIONDECAPILLARITÉ
. Si l'on plongedans un récipientcontenantde I'eaudes tubes de verre de faible
diamètre(tubescapillaires,
d < 3 mm), on observeque l'eaus'élèvedans ces tubesd'une
proportionnelle
hauteurinversement
à leurdiamètre.
Cettehauteurd'ascension
capillaire
est la
mêmequellequesoitla formedestubespourunesectiondonnée(fig.23).
Lubes àe rnî^e-J;<,mètra,6,
Èubc /c. d;amàl-re.
*z'4"
eau
Ascension
capillaire
- Figure23 . Si l'onplaceentredeuxfineslamesde verrequelquesgouttesd'eau,on observeque
lesdeuxlamesadhèrentl'uneà I'autre.Si cesdeuxlamesainsi"collées"
sontplongées
dansun
récipientd'eau,ellesse séparentimmédiatement.
Cettedernièreexpérience
meien évidence
que Le phénomènede capillaritén'a lieu qu'enprésencedes 3 phases: solide,liquideet
gazeuse(tig.24).
lq m e.lles
àe
Verre.
- Figure24 . On peut considérerque tout se passe commesi la surfacedu liquideétait une
membrane
soumiseà unetensionT appelée
élastique
tensionsuperficielle.
Sur un segmentde
longueurdl tracésur la surfacedu liquide,cettetensionse traduitpar uneforced'intensité
T.dl
tangenteà la surfacedu liquideet perpendiculaire
au segmentconsidéré.
L'existence
de cette
tensiona pour conséquence
que la surfacede séparationliquide-air
n'estpas plane,ce qui
expliquela forme des gouttesd'eau et les ménisquesobservésdans les tubes de faible
diamètre(fig.25).Bienévidemment,
en un pointéloignédes paroissolides,ces phénomènes
disparaissent
et la surfacede séparation
liquide-air
estplane.
- c . f t- 2 4 -
mêni:
a - Tensionsuperficielle
b - surfacede séparationliquide-air
- Figure25 -
Considérons
un tube de faiblediamètredont la
partieinférieure
plongedansI'eau(fig.26). La colonne
d'eauqui se forme est en dépressionpar rapportà la
pressionatmosphérique.
Entredeux pointsA et B situés de part et d'autredu ménisquede rayonégalau
rayondu tube R, existeunedifférencede pressionÂp.
ÂP=Patm-Peau=Y*.h.
(h. : hauteurd'eaudansle tube).
En écrivantque la résultante
de la tensionsuperficielleT équilibre
le poidsde la colonned'eaudansle
parfaitement
tubecapillaire
propre,Jurinobtenait:
2 . n . R .T = n . R 2 . y * . h "
2T
=
d'où : h"
T w. R
- Figure26 -
T a pourvaleur: 8.10-2N/mà 0"C.
La tensionT estliéeà la température
t parla relation
: T = (128- 0,1850. 1O-3N/m
avec.ten oK(T \ quandt' t)
Application
numérique
:
R = 1 rrtr = 10-3m-> hc= 1,6cm
R = 1 0l r m= 1 0 - 5m + h c = 1 , 6m
R = 0,1FrTt= 10-7m + hc= 1G0m
Tenantcomptedu fait que le ménisquen'estpas
tangentau tubelorsqu'ilest graset qu'ilexisteun anglede
raccordement
cr,la formulede Jurinpeutêtreaméliorée
et
2
T
cos
a
l'onobtientfinalement
: h^
\ffis.
'
v z7l
'
Yr".R
(si le tubeest parfaitement
propre,cx= 0)
Rayonde courburedu ménisque
'
> rayondu tube
*
Différence
de pression
entreA et B :
- 2Tcoss
- peau
= y* . h"
Âp = patm
'
R
- Figure27 -
-c.il-25-
5 .2. ASCENSION
DANSLES SOLS
CAPILLAIRE
Les sols sont des milieuxà porositécommunicante
: les interstices
entre les grains
forment de très petits canaux,de formes et de dimensionsvariables,en liaisonavec
l'atmosphère,
danslesquelsles phénomènes
de capillarité
vontapparaître.
Le phénomène
sera
plus marquédans les solsfins que dans les sols grenusdu fait que les capillaires
ont un
diamètrepluspetit.
- Distribution
Frangecapillaire
de la pressioninterstitielle
Au-dessus
de la nappephréatique,
dontle niveauest celuide l'eau dansun tube piézométrique,
l'eau peuts'éleverpar capillarité
formantainsiune frangecapillaire
d'autantplus
que lesvidesdu sol sontde petitesdimensions.
importante
Directement
au-dessus
de la nappela frangecapillaire
est saturéesur unehauteurhç et
parrapportà la pression
I'eauesten dépression
atmosphérique:
Uc= - Y*.hc
L'ordrede grandeurde h. est le suivant:
sablesgrossiers: 10 à 50 cm
sablesfins : 50 cm à 2 m
solsargileux: dizaine(s)
de mètres
En prenantcommezérodespressions
la pressionatmosphérique
et en définissant
la positiond'unélémentdu sol parsa cotepar rapportà la nappe,on aura,aussibiensousla nappe
quedansla zonede saturation
(fig.28)avecI'axed "r""ndant :
capillaire
u = yw.z
avec;z>0danslanappe
z < 0 au-dessus
de la nappe
IN'
h.,tc'
,\^*Jw
lLlcr^â
o.héLri
Exemplede distribution
de la pressioninterstitielle
- Figure28 Dansla frangecapillaire
saturéela pressioninterstitielle
est négative,les contraintes
effectivessontdoncplusélevéesqueles contraintes
totales.Lesforcesde capillarité
augmentent
ainsila résistance
du sol.
La zonesaturéeest elle-même
parunezonenonsaturéedanslaquelle
surmontée
I'eau
n'estpluscontinue,
seulslescanauxlesplusfinssontsaturés.
La hauteurd'ascension
capillaire
dansun sol peutêtreestiméeau moyende la formule
de Terzaghi: h. = +
avech" et D1sexprimésen cm
e.Dro
e : indicedesvides
Dro: diamètreefficace
caractéristique
C : constante
du solvariablede 0,1à 0,5cm2
-c. lt-26On notera que le produit e.D19représentele diamètremoyen des canaux d'un sol d'indice des vides e, formé de particulesidentiquesde diamètreégal à Dro
Applicationnumérique:
sablefin: e =0,4 D1o= 0,1mm= 0,01cm
5 .3 - PROFILHYDRIQUE
D'UNSOL
La courbereprésentative
desteneursen
eau en fonctionde la profondeurmesuréeà
partirde la surfaceest appeléeprofilhydrique.
La figure28 en donneun exempledansdifférents cas. Sous nos climats,dans la frange
capillaire,
un flux d'humidité
ascendant
s'établit
d'avril à octobre (sauf cas de très fortes
pluies).Le restede l'annéeon obserueun flux
descendant.
A la surfacedu sol et danstoutela zone
où l'airpeutcirculer,il s'établituneatmosphère
de même humiditérelativeque l'atmosphère
extérieure
et celle-ci,en fonctionde la courbe
ci-contre,règlela teneuren eau de la couche
superficielle.
Ainsi, si dans les zones superficielles
l'atmosphère
se dessèche,il en résulteune
diminution
de w qui provoque,
en raisondu pF":
croissant,
un flux ascendant
d'humidité
à partir
de la nappe.
C=0,2cm
+ 2n " =
ffi
0
I
o'5
a
lro
L
L
a
3
t'5
!
2,o
w" : teneuren eaud'équilibre
1 : à la fin d'unétésec
2 : aprèsunepluiede courtedurée
3 : aprèsunepluieprolongée
4 : ligned'équilibre
d'hiver
progressif
5 : assèchement
à l'approche
de l'été
Profilhydriqued'un sol
- Figure29 -
5 - 4. COHESION
DES ARGILES
Dansles sols limoneuxfins et les argiles,la cohésioncapillaireexistetoujours,mais
elle se superposeà la cohésiond'adsorption
(fig.30).La cohésiond'adsorption
se manifeste
lorsqueles grainssontdirectement
au contact
par l'intermédiaire
de leur coquille d'eau
adsorbée.
' La très forte résistanceà la tractionde
l'eauadsorbéepermetla transmission
de forces de tractionimportantes;
en généralla coque la
hésiond'adsorption
est plusimportante
cohésion
capillaire.
que
On peutdirede manièrequalitative
dansla phasecapillairele matériauest
plastique(au sens d'Atterberg),
et que
dansla phased'adsorption
il estfragile.
quele sol soitsoumis
Supposons
à dessiccation.L'eau capillaire va
s'évaporer dans l'atmosphère,les
rayonsdes ménisquescapillairevont
diminuer(fig.31) el I'onvoit d'aprèsla
qu'ilva en résulter
formulede Laplaceo
une cohésioncapillaireplusimportante
De plus, commede nouveauxgrains
- Figure30 -
rn i ni t4ltc
I
cou r bv re
Il,aR
- Figure31 -
t pp
: valeurdu logarithmedécimalde la tensiond'eauexpriméeen centimètresd'eau
uap=t,*.
$,
avec : AP = Patm- Peau T : tensionsuperficielle
R et R' I rayonsde courbureprincipauxdes ménisques.
Géotechnique
1 -J. Lérau
=SOcm
tr r;r|ciFouY ,
.b de.d
- c . l t- 2 7 -
vont entrer en contact, la cohésion
va également
d'adsorption
augmenter.
La résistance mécanique de
I'argiledoit donc s'accroître,c'est ce
que l'onpeutobserversur la courbede
la figure32 qui montrela variationde la
résiètance
à ia compression
simpled'un
solfin en fonctionde la teneuren eau.
R,
J
IF
; ô
! i
j i
Ëi
FÙ
phaee
àe
eemporl-eaenl-
f ra3ïlcr
Those
âe
eomporlemeaÈ
Tlaalilue.
Ws -
Wp
Wr.
-lenaur
."
e^u
.rtt "/
- Figure32 plus,
De
la contraction
du matériauentraîneune diminution
de volumesouventaccompagnéede fissuration:
c'estle phénomène
de retrait.
Inversement
lorsqueI'argilese trouveplacéedansuneatmosphère
humideou au contact
parla pluieparex.),lesforcescapillaires
de l'eau(imbibition
vontdiminuer,
ce quiva provoquer
un gonflement
et par ailleursle complexed'adsorption
va également
augmenter
en volumece
quiva augmenter
ce gonflement.
Danscertainssols,les phénomènes
peuventêtretrèsimportants.
de gonflement
On les
observerasurtoutdansles pays semi-arides
où les phénomènes
d'évaporation
sont très importants,mais on les rencontrera
parfoisdans nos régionsà climatcontinental
sousforme
mornsmarquee.
La figure33 montrele
qui
mécanisme
desdésordres
apparaissent dans le cas
d'uneconstruction
fondéesur
un sol gonflant.En été le bâtiment repose sur sa paftie
centraleavecporteà fauxdes
coins.En hiverle phénomène
contrairese produit: lescoins
se soulèventet il y a porteà
fauxde la partiecentrale.
Elà ' ièàeralsa.-+
raLraiE
Hiv"- , humiâ;f;caf;on(plu;e\
-- ynf[eme|
Fissuration
du gros-æuvre
d'unestructure
fondéesuperficiellement
sursol argileux
- Figure33 ' Le remèdepréventifconsisteà fonderà uneprofondeur
suffisante
car I'influence
desvariationsd'hygrométrie
de l'atmosph.ère
diminueavecla profondeur.
On auraégalement
intérêtà
augmenter
les contraintes
en serviceexercées
sur le sol parle bâtimentdansles limitespermises par la résistance
de l'argileà la teneuren eau considérée
et à ossaturer
soigneusement
la
structure
sansoublierun chaînage
trèssérieuxdesfondations.
5 . s . S E N S I B I L I TAÉU G E L
les sols imbibésd'eaugèlentsansdommage.Au momentdu gel, il se
Généralement
produitun gonflement
quiécartelesgrains,maismêmepourun sol ayantuneteneuren eaude
25o/o,
il n'enrésultequ'ungonflement
pourun sol.Au dégel,les grainsdu sot
de 2% insignifiant
retrouvent
leur état initiallorsquela glacese transforme
en eau. Maisil existecertainssols,
appeléssolsgélifspourlesquelsle phénomène
esttrèsdifférent.
Dansde tels sols,on constatel'apparition de lentillesde glacedont on expliquela
formationpar succioncapillaire: alors que
àz
dansun sol non gélifil y a priseen massedu
1lacz
sol saturélorsdu gel,dansle casde solsgélifs
x;t';l
il y a aspirationpar capillaritéde I'eaude la
capil\aireS
nappequi se trouveen généralà une profondeursuffisantepourque sa température
reste
supérieure
à OoC,(on peutdémontreren effet
- Figure34 quedanslescapillaires
il y a baissement
de la
- c . l t- 2 8 température
de congélation).
Au voisinage
du sol,I'eause solidifieconstituant
des lentilles
de
glacecontinuellement
parla nappe(fig.3 ).
alimentées
Au dégel,la structuredu sol se trouvedétruiteet unegrandequantitéd'eauest libérée.
La teneuren eau dépassealorssouventla limitede liquiditéet il y a chutespectaculaire
de la
résistance
mécanique
du matériau.
Pourqueles lentilles
de glacepuissent
que l'alimentation
se former,il fautcependant
en
pendantla périodede gel.On conçoitdoncque la perméabilité
eau soit suffisante
du matériau
joue un rôle important: les solstrès perméables
ne sontpasgélifs: il se prennenten masse;
les solstrès peu perméables
ne sont pas gélifsnon pluscar la remontéecapillairene se fait
pasassezrapidement.
Dansle casde chaussées
affectéesle gel,la miseen placede barrières
de dégelpermet
provisoire
lesdégâtsparl'interdiction
de minimiser
de la circulation.
- c . l t- 2 9 ANNEXE 1
CONDITION
DE CONTINUITÉ
un volumequelconque
Considérons
de sol saturé(V), limitépar une surface(S) et
parun écoulement
(fig.1).Dansun intervalle
traversé
de tempsdonnédt, unvolumed'eaudV1
pénètreà I'intérieur
de (S) et unvolumed'eaudV2en sort.
Soit V la vitessede I'eau,ses composantes
vx, vy et v2 sontfonctiondes coordonnées
du pointconsidéré.
Le volumed'eaudV traversant
l'élément
de surfacedS, de normalesortantefr, pendant
f intervalle
de tempsdt, est (fig.1) :
/
d V= V . n . d s . d t
dV < 0 c+ I'eaupénètreà I'intérieur
de (S)
à-@.
liqne9'
dV > 0 <+l'eausortde (S)
c J.r-o...b
,/
La condition
de continuité
s'écrit:
dVr -dV2 = 0 <+ dt.
tr
V . R . d S= 0
S
- Figure1 -
La relationd'Ostrogradskys'écrit :
eu
l esoitV)
t r V . f r . o S = f f id i v û . d V ( q u q
S
V
=
d'où:
ffi divû.dVo
V
Vérifiépourtoutvolumedoncpourtoutvolumeélémentaire
+ divû . dV = 0
La condition
de continuité
s'écritdonc,aprèssimplification
:
divV=0
ANNEXE2
DÉBIT DE PoMPAGE. DÉMoNSTRATIoN
DETcHARNY
L'hypothèse
de Dupuitconcernant
la pentede la surfacelibresupposée
faiblen'estplus
nécessaire.
Hypothèses:
- sol homogène
et isotrope,
- eauet sol incompressibles,
- régimepermanent
laminaire,
- loi de Darcyapplicable,
- écoulement
de révolution,
- débitpompéprélevéà I'extérieur
de la zoned'actiondu pompage,
(alimentation
à traversun cylindrede rayonR correspondant
à la distance
où le
rabattement
estnul),
- existence
d'unezonede résurgence
dansle puits,de hauteurh' - h (donton ne tient
pascomptedansla démonstration
de Dupuit).
-c.il-30-
parh* la chargehydrauliquet
En désignant
en un pointM(x,y)de l'écoulement,
le potentiel
des
vitessess'écrit:Q(x,y)= - k.h*
S o i t : Q ( x' =, y- )fYt ( * w * V l
Lavitessed'écoulement
a pourvateur: û = gAA(- k.h.)
et sa composante
horizontale
est : v,^ = ô3 x
Le débitdq quitraverseun cylindreélémentaire
de rayonx et de hauteurdy a pourvaleur
d q = - 2 n . x . d y . v^,= - 2 nô. x . 9 .x0 u
"
( - parcequexetvrdesignesopposés)
Le débitq quitraversele cylindrede mêmerayonx et de hauteurz s'écritdonc:
i aô
z, ijlov
A=Jdq=-2.n.Jt.a".dy=
0
0
0
Enutilisant
larègledeLeibnitzs,
itvient'
dy =
i#
#jt(x,y)
0
+
z
f d0
J ffi
0
^
_, =
oY
d
0
dy + 01x,2;
#
z
I
- \ " t - l dz
' \ ^ t r , f dY 0(x,21
o",.J Q1x,v1
d ln x
o
-01x,2;
-9:-1
d'où:q--t r t#jq(*,y)dy
\^'rl
dlnx'
o
0(x,z)= - k.z (carsurla surfacelibreu = 0)
t h* carh représente
icila hauteur
de l'eaudansle puits
' Règlede Leibnitz
de différentiation
sousle signeintégrale
:
uÊ
Soitl'intégrale
a < cx,< b
où u1 et u2 peuventdépendre
du paramètre
S(a)= J f1x,o;dx
CI,.
U1
dô It at
duo
dur
=
oX+f1u2,a) - f(u1,o) Ooura < c[< b si f(x,a)etôtlâq,sontcontinues
enx etc[ etsi
J a"
Ë
d"
fr
U1
u1 et u2 sont continueset ont des dérivéescontinuespour a < q, < b.
si u1 et u2 sont constantes,les deux dernierstermesde l'équationsont nuls.
-c.il-31-
En posantl(x)=
dy il vient:
JQ(",u)
q.dlnx- - 2.rc(dl+ k.z.dz)
(1)
0
I est inconnuesaufpourX = r et pourX = R car lesconditions
aux limitesdonnent:
q ( r , y ) - k- t ( h - - . y ) y+*y l = - k h
Yw
<
h
'
X=I h<y
0 ( r , y ) -k-[ 0 + y ] = - k y
X=r 0<y <h
q ( n , y- -) k t ( H - - Y ) Y+* y l = - k H
Yw
(1)entrer et R, il vient:
En intégrant
l'équation
différentielle
X=R
?
q .ln:R= - Z.Tc
I l(n)- l(r)* )te.dz )
r
H
.
f
l(R=
) J - k H d y= - k H 2
0
h
f ( , . )=
f
J
o
h
-khdy .
'
-h2
- - kh2 - k h'2
Ï-kydy
h
2
FI
n''=ht
d ' o ù : Q l-n = - 2 . n 1- k H 2 +k h 2 + n
* I t r r * h ' 2l )
< h 2k +h ' " n t i r | - r . f
2
2
2
2
r
J
]i2
h2
2 . n-l - k + 2 + k +2 I = n . k( H 2- h 2)
d'où :
, H 2 -h2
9 = n^ . | n E r
On retrouve
bienla formulede Dupuitmaish désignemaintenant
la hauteurd'eaudans
le puitsalorsqueh',quireprésente
la hauteurd'eaudansle terrain,n'interuient
pas.
Avril 2006

Chapitre 2( format pdf 2,1 Mo)

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