Son et Lumiere (v7s) - Laboratoire de Physique des Hautes

18 v 5
Ondes Son et Lumière 1
Ondes sismiques
2
Types d'ondes
δx = δx(x,t)
x
€
y
δy = δy(x,t)
Exemples: son dans l'air: onde longitudinale.
lumière: transverse.
€
x
3
Ondes périodiques
δ
t
période T
δ
Exemple:
ondes sinusoïdales
T
t
4
Exemple: le son
On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la
vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se
comporte comme un piston. Les molécules d'une couche
transmettent le mouvement à la couche suivante etc.
Pression
externe = P0
P0-ΔP
P0+ΔP
P(t) = P0 + ΔP sinωt 5
Exemple: ondes e.m. transverses
Onde électromagnétique polarisée horizontalement
y
Ex = E sin ωt
E
x
B
6
Ondes dans le temps
Considérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre
(on néglige l'atténuation au cours du temps).
On peut fixer un point, à distance r du
point d'impact et observer l'hauteur de
l'onde au cours du temps:
h(t) = H sin(ωt + φ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.
h
H
t
ω = 2π/T
T
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. en un point E(t) = E0 sin(ωt)
7
Ondes dans l'espace
On peut aussi prendre une photo au temps t
et observer l'hauteur de l'onde en fonction
de la distance r du centre:
h(r) = H sin(κr + γ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.
h
H
r
λ
κ = 2π/λ
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E0 sin(κr)
8
Vitesse des ondes Une onde sinusoïdale est en général donnée par: δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ)
On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un point
de l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on repère la distance parcourue. Par définition elle sera une
longueur d'onde λ plus loin.
t
La vitesse de propagation est donc
v = λ/T
Si ν est la fréquence = 1/T
t+T
λ
v = λν
9
Vitesse des ondes .2
On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulle
et il y a donc transport d'énergie. Exemples:
La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 108 m/s.
Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.
Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonance
constitue une onde stationnaire, v = 0.
On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à des
caractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une corde
est donnée par
Tension
v=
v
masse /longueur
Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'une
corde de piano
Tension=1098 N, masse par
unité de longueur
€ = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s
10
Interférences
Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes. P. ex.: *
a(t) = A1 sin(ω1t + φ1) + A2 sin(ω2t + φ2)
Ce principe de superposition est valable si le phénomène est
"linéaire".
Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitude
totale peut être plus petite que
l'addition linéaire.
Les ondes d'eau
peuvent se croiser sans
se détruire.
11
Interférences .2
Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.
On a deux cas particuliers:
interférence destructive
interférence constructive
les ondes sont en contre-phase
les ondes sont en phase
Asin(ωt) − Asin(ωt) = 0 Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)
somme = onde avec le
double d'amplitude
€
€ intermédiaire.
Ex.: considérer un cas
12
Interférences .3
L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère des
battements.
Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π
A(t) = sin(ωt ) + sin((ω + δ)t ) =
⎛ δ ⎞
t(2ω + δ)
= 2cos⎜ t ⎟ × sin
⎝ 2 ⎠
2
⎛ δ ⎞
≈ 2cos⎜ t ⎟ × sin(ωt ) si δ << ω
⎝ 2 ⎠
€
Donc, approximativement, on a une onde de même fréquence
que l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec une
fréquence qui est égale à la moitié de la différence entre
les fréquences des deux ondes.
13
Ondes stationnaires et résonance .1
Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires,
si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une corde
tendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des
"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de la
corde.
n=0
λ = 2L /n
n = 0,1,2,3,...
(pas d'oscillation)
La€fréquence dépend de la tension de
la corde:
v n Tension
ν= =
λ 2L masse /L
1
2
3
On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v,
qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.
€
14
Ondes stationnaires et résonance .2
λ = 2L /n
€
antinodes
= ventres
Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quand
on tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.
Sinon l'énergie est rapidement dispersée.
15
Ondes stationnaires et résonance .3
tuyau ouvert: les ventres
(antinodes) sont sur les
extrémités
La fondamentale
λ = 2L ν = v/2L
Harmonique
λ = L ν = v/L
16
Ondes stationnaires et résonance .4
tuyau fermé: un ventre est
sur l'ouverture, un noeud
sur le côté fermé. Fondamentale
λ = 4L ν = v/4L
Harmonique
λ = 4/3 L ν = 3v/4L
17
L'effet Doppler avec observateur immobile
v
v
a)
v
A
v
b)
et source en
mouvement
B
a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport au
milieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un son
plus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher
(position A) ou s'éloigner (B).
Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est la
vitesse de propagation de l'onde, une constante.
Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.
La fréquence du son à l'oreille de B sera
ν' = v/ λ' = v ν /(v-V)
et pour A: ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)
18
Effet Doppler avec source immobile
v
et observateur en
mouvement
V
La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou
plus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure,
se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).
Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.
La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v - V.
Donc la fréquence est modifiée par ν' = v'/ λ = (v-V)ν/v
Donc ν' > ν quand V > 0 ν' < ν quand V < 0
19
Ondes de choc
Quand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v,
une onde de choc se forme sur le front avant.
Si V>v, l'onde de choc suit la
source. C'est l'origine du bang
sonique.
région de haute
pression
L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique est
l'effet Cherenkov.
20
Transducteurs son⇔ électricité
Haut-parleur
Transducteur piézoélectrique
21
Intensité du son La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I,
est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pression
au carré
ΔE
ΔP 2
I=
=
ΔSΔt 2ρv
Ex.:
haut-parleur 1 W, S=0.05 m2, I à la surface =1/0.05 = 20W/m2
€
à R=1 m, l'onde
est répartie sur une demi-sphère S=2πR2
I = (1 W) /(2π ×12 m2 ) ≈ 1/6 Wm−2
R
€
€
ΔP = 2Iρv ≈ 2 16 1.2 × 344 ≈ 12
N/m2
22
Le décibel
Le décibel
I
β = 10log
I0
est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"
de l'oreille.
€
Par convention, on utilise pour I0 = 10-12 W/m2.
ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.
Le seuil de la douleur est à 120 dB
23
Lumière
24
La vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière dans le vide est c=299 792 458 m/s
exactement, car le mètre est défini comme la longueur parcourue
par la lumière en 1/ 299 792 458 de seconde.
Q.: quelles sont les expériences qui ont permis de mesurer c ?
Dans un milieu matériel, la vitesse v de la lumière est v = c /n
avec n > 1, l'indice de réfraction .
n
Air
1.00029
n dépend faiblement de la longueur d'onde.
Eau
1.333
C'est la dispersion. Cela permet de séparer les
Verre
1.5 - 1.6
composantes d'un rayon de lumière par un
Diamant 2.417
prisme.
25
Propagation dans un milieu
L'oscillation est caractérisée par une fréquence ν déterminée.
Dans un milieu d'indice n, on observe donc un changement de
longueur d'onde
v c1
λ=
ν
=
nν
Lors du passage entre deux milieux d'indice n1, n2, le rapport
des longueurs d'onde est:
€
λ1 n 2
=
λ 2 n1
€
26
Le spectre
27
La trichromie
addition RGB
soustraction à la lumière
blanche par des filtres
28
Réflexion .1
Diffusion
φ
φ
Réflexion spéculaire (miroir).
L'angle d'incidence et de réflexion
sont identiques.
Quand la lumière traverse l'interface entre deux milieux
transparents, une partie de la lumière est absorbée, une partie
réfléchie, et le reste est transmis…
29
Réflexion .2
Pour des rayons à incidence normale (ou presque) sur
l'interface entre deux milieux d'indice n1, n2, l'intensité réfléchie
Ir est donnée par
2
n2
n1
⎛ n 2 − n1 ⎞
I r = I 0 ⎜
⎟
n
+
n
I0
⎝ 2 1 ⎠
It
Ir
Ex. 23.2
€
Portion de la lumière réfléchie sur une lentille de verre n=1.5
2
I r ⎛ 1.5 −1⎞
= ⎜
⎟ = 0.04
I 0 ⎝1.5 + 1⎠
On perd environ 4% d'intensité à chaque interface air-verre.
€
30
Réfraction .1
rayon
incident
n1
Loi de Snell
n1 sinφ1 = n2 sinφ2
φ1
φ1
rayon
réfléchi
n2
φ2
rayon
réfracté
30°
air n=1
H2O
n=4/3
22°
Ex.: air-eau
31
Réfraction .2
Double interface. Ex.: lame de verre, faces parallèles
φ1
air
verre
air
φ2
φ1 = φ2
32
Réflexion totale
La loi de Snell, n1 sinφ1 = n2 sinφ2 , prédit que l'angle
de réfraction "rasant" φ2=90° est atteint quand l'angle
incident vaut l'angle critique φc:
n1 sin φ c = n 2 sin90° = n 2
sinφc = n2/n1
€
n2
n1
33
Interférence .1
Les fentes de Young
fronts
d'onde
écran
point de vue
géométrique !
On illumine une plaque avec
deux fentes avec de la lumière
monochromatique. Si la lumière
avait un comportement
"géométrique", on s'attendrait à
observer deux spots lumineux sur
l'écran.
Ce n'est pas le cas: on observe
une structure complexe de figures
d'interférence.
34
Interférence .2
Les fentes de Young
fronts
d'onde
point de vue
ondulatoire
On observe une structure complexe
de figures d'interférence que l'on
peut interpréter par le principe de
Huyghens: les deux trous sont
sources d’ondelettes qui partent en
phase. intensité
35
Interférence .4
x
r
θ
d
δ
D
Les fentes de Young
Pour arriver au point x de l'écran,
les deux rayons parcourent une
distance qui diffère de δ ≈ dsin θ
d/2
0
Pour avoir interférence constructive
(les maxima), la différence de
chemin doit différer
d'un multiple
€
entier de la longueur d'onde:
δ = mλ m = 0,±1,±2,...
rδ r
D
x = = mλ ≈ mλ
d d
d
La position des maxima permet donc de déterminer la
longueur d'onde de l'onde incidente.
On utilise des grilles fines
€ ou réseaux de diffraction pour
séparer la lumière dans ses composantes, comme avec un prisme.
36
Diffraction .1
C'est le phénomène d'interférence
produit par une source étendue.
Dans la figure, une fente de
largeur d est illuminée et l’image
d
est projetée sur un écran à
distance D>>d.
En appliquant le principe de
Huygens, on peut déterminer la
position des maxima:
θ
D
d sin θ = mλ
Les maxima se trouvent approximativement pour m=0, ±3/2, ±5/2,..
les minima avec m = ±1, ±2, ±3,...
37
Diffraction .2
Ouverture circulaire de diamètre d:
le premier minimum se trouve lorsque sin θ = 1.22 λ / d
premier minimum
38
Diffraction .3
Diffraction de rayons X (gauche) et d'électrons (droite) traversant une
feuille mince d'Al. Les électrons se comportent donc comme des
ondes! C'est une démonstration de la dualité onde-particule.
39
Polarisation de la lumière .1
Onde électromagnétique polarisée horizontalement
y
Ex = E sin ωt
E
x
B
40
Polarisation de la lumière .2
Si le champ électrique oscille toujours dans le même plan, on dit
que l'onde est polarisée linéairement. L'émission de lumière d'un atome est polarisée. L'émission d'un
ensemble d'atomes est normalement une superposition aléatoire
d'émissions individuelles avec plans de polarisation différents,
ce qui donne une lumière globalement non polarisée. On peut produire de la lumière polarisée par réflexion, absorption
ou diffusion.
41
Polarisation de la lumière .3
On peut produire de la lumière polarisée par absorption sélective,
par des filtres Polaroïd, p. ex. Ces filtres contiennent des chaînes
moléculaires allongées qui absorbent le champ électrique quand il est
parallèle à la direction des chaînes.
chaînes
faisceau
non polarisé
moléculaires
faisceau
polarisé
Par réflexion si l’angle d’incidence est l’angle de Brewster
φp = atan n2/n1 . Pour l’eau atan(4/3 / 1) = 53°
φp
Air
Eau
42
Polarisation de la lumière .4
Système "polariseur - analyseur"
φ
I0
I1
orientation
du polariseur
L'intensité après l'analyseur vaut I1 = I0 cos2 φ
43
Diffraction rayons X
Il est possible de rendre monochromatique un faisceau de rayons X
par l'utilisation d'un réseau cristallin. Dans ce réseau, les atomes
sont disposés de façon régulière, dans des plans à distance d,
et on observe une réflexion quand l'angle satisfait 2d sin α = mλ m = 1,2,3,... (condition de Bragg)
α
d
Ex 23.14
d = 0.2 nm α = 10°
λ = 2d sin α / m
pour m = 1 λ = 0.07 nm
cette longueur d'onde est dans le domaine X
44
Diagrammes de Laue et structure cristalline
cristal
rayons
X
spectre
continu
points qui satisfont
la condition de Bragg
film
écran pour bloquer le faisceau direct
45
Les rayons X
Ont été découverts en 1895 par W. K. Roentgen pendant qu'il
étudiait les décharges électriques dans les gaz. Trois mois
plus tard, les rayons X sont utilisés à l'hôpital de Vienne lors
de la préparation d'une opération.
- kV +
filament
chauffant
faisceau
cathode
d'électrons
spectre anode
en Rhodium
anode cible
rayons X
46
Laser
La phase des émission des atomes est en général aléatoire.
On peut forcer un milieu à émettre de façon cohérente par
la méthode du LASER:
light amplification by stimulated emission of radiation.
ex: laser à rubis
faisceau laser
miroir
100%
rubis
miroir
99.9 %
monochromatique
cohérent
lampes flash
47
La Radio
On génère des ondes radio en faisant osciller un circuit électronique
qui est couplé à une antenne: Le dipôle de l'antenne oscille à une fréquence f,
la polarité des bouts change continuellement et
on mesure un champ E = E0 sin(ω t) ω=2πf.
f est la fréquence de la "porteuse" (Ex: 100 MHz)
La question est: comment transporter l'information ?
La première version de la solution de ce problème a été
le code "Morse" des télégraphistes. Cela consiste à allumer
et éteindre le circuit de façon à générer les lignes et les points:
E
... =S
--- =O
t
48
Optique
49
Lentilles
biconvexe
biconcave
plan convexe
ménisque
convergent
plan concave
ménisque
divergent
symbole
φ1
n1sin φ1 = n2sin φ2
φ2
axe optique
n2
n1
n2
50
Lentilles .3
rayons convergents
F
distance focale f
rayons parallèles
F
rayons divergents
51
Lentilles .4
R2
R1
formule des opticiens:
lentilles sphériques de rayon
de courbure R1 et R2, d'indice
de réfraction n1, dans milieu n2:
1 ⎛ n1 ⎞⎛ 1
1 ⎞
= ⎜ −1⎟⎜ + ⎟
f ⎝ n 2 ⎠⎝ R1 R 2 ⎠
N.B.: Les Ri peuvent être >0, <0, ou même infini pour
€
une surface plane.
f<0 (f> 0) indique une lentille divergente (convergente). 52
Formation de l'image
f
objet
F
F
s
s'
image
Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux de
ces trois rayons particuliers.
La formule des lentilles minces: 1 1 1
+ =
s s' f
L'image de la figure est réelle. On peut la projeter sur un écran.
€
53
Formation de l'image .2
f
image
F
F
s
s'
Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux de
ces trois rayons particuliers.
L'image de la figure est virtuelle. 54
L'oeil
rétine
h
θ
d
θ
cristallin+cornée
Punctum optimum pour l'observation de petits objets:
d = xm ~ 25 cm.
On est capable de séparer des points distants d'environ h=0.1 mm
ce qui correspond à θ = 0.1mm/25 cm = 0.1/250 = 4 10-4 rad.
Une loupe, placée tout près de l'oeil est capable d'augmenter
cet angle d'un facteur 2 ou 3...
55
La loupe
image virtuelle
à ~ l'infini
cristallin+cornée
h
~f
θ'
loupe
L'angle d'observation θ' vaut environ h/f Le grossissement est le rapport
θ'
h /f
0.25m
G= =
=
θ h /0.25m
f
€
56
Puissance
La Puissance P = 1/f s'exprime en dioptries:
1 dioptrie = 1 m-1
Pour des lentilles accolées, la distance focale résultante vaut
1 1 1
= +
f f1 f2
En termes de Puissance: P = P1 + P2
€
57
Microscope
objectif
s
s'
oculaire oeil
f2
f1
image virtuelle
L'objet est légèrement plus loin que le foyer
de l'objectif s~f1. Le grossissement
vaut g1 = s'/s ~ s'/f1 de l'ordre de 10-100.
L'image intermédiaire est légèrement au-delà du plan focal de
l'oculaire qui fonctionne comme une loupe pour produire une image
virtuelle, g2 ~0.25/f2. On a donc g = g1g2 ~ 0.25s'/(f1f2)
58
Aberrations
bleu vert rouge
Chromatiques
correction par
un doublet
59
Aberrations .2
Types: sphérique, coma, astigmatisme, courbure du champ, distorsion
sphérique:
coma: les rayons proches de l'axe
forment une image plus petite que
ceux de la périphérie
60
Aberrations .3
astigmatisme: un point sur l'axe x
envoie ses rayons dans le plan
horizontal vers une image plus
éloignée que celle des rayons dans
le plan vertical.
y
x
61
Résolution
Les phénomènes de diffraction limitent la capacité de l'appareillage
de séparer deux points source. La figure représente l'image produite par
un objectif avec 3 résolutions différentes.
Pour une ouverture circulaire de diamètre
d, on avait trouvé que la position du
premier minimum se trouve à un angle
sinθ = 1.22
λ
d
S' il s'agit d'une lentille de distance focale f, l'image d'un point sur
le plan focal aura une taille r: €
θ≈
θ
~f
r
€
r
λ
≈ 1.22
f
d
⇒ r ≈ 1.22
λf
d
62
Résolution .2
La résolution d'un système indique la capacité de "séparer" deux points.
On peut considérer que deux points sont "séparés" quand leur distance
est plus grande que la distance de leur premier minimum:
θ > θmin
Donc le max de l'un va finir dans le min de l'autre:
θmin
Dans le cas de microscopes, p. ex, cette formule
donne la distance d résolue avec une
d=
lentille d'indice de réfraction n:
φ est l'angle sous lequel l'objectif voit l'objet
sinφ ~ D/2f . D est le diamètre de l'objectif.
N = n sinφ est l'ouverture numérique
€
λ
λ
=
2nsin φ 2N
φ
D
~f
63