Partiel INF242

Partiel INF242
Stéphane Devismes
Benjamin Wack
7 mars 2016
2 pages
Total : 120 points
Durée : 2h00
Documents autorisés : une feuille recto verso de notes manuscrites format A4.
Le barème est indicatif, les points correspondent au nombre de minutes nécessaires pour réaliser les exercices.
L'épreuve sera notée sur 120 points.
Le résultat d'une question peut être admis pour s'en servir dans la suite de l'énoncé. Les exercices peuvent être
traités dans l'ordre de votre choix à condition de les numéroter clairement.
Exercice 1 (Table de vérité (15 points))
1.
2.
3.
4.
5.
Pour la formule a ∨ b ∧ c ⇒ a ⇔ ¬c, donner :
la formule stricte associée,
la structure en arbre associée,
la table de vérité,
un modèle et
un contre-modèle.
Exercice 2 (Formalisation et mise en forme normale (20 points))
L'énigme ci-dessous est extraite de l'excellente série Le chemin des étoiles de Jean-Claude Baillif et Claude
Lacroix, publiée dans la non moins excellente revue Jeux et stratégie (numéro 25 de février 1984).
1. Comment peut-on formaliser en logique propositionnelle une armation du type De deux choses l'une :
... ?
2. Formaliser la conjonction des trois armations d'Enigma, en précisant bien les variables propositionnelles utilisées.
3. Mettre cette formule en forme normale disjonctive et utiliser cette forme pour répondre à la question
posée.
1
Exercice 3 (Déduction naturelle (25 points))
Démontrer les formules suivantes en déduction naturelle :
1. q ∧ ¬(p ∨ q) ⇒ p
2. (p ⇒ q ∨ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
3. (¬p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇒ p
Exercice 4 (Démonstration par récurrence (20 points))
1. Démontrer que toute formule (stricte) construite uniquement avec :
des variables propositionnelles,
les connecteurs ∨ et ∧,
et les constantes > et ⊥
est dans un des deux cas suivants :
elle admet pour modèle l'assignation v qui à toute variable propositionnelle associe la valeur 1.
ou elle est équivalente à ⊥.
2. Énoncer (sans la démontrer) une propriété similaire sur l'existence d'un contre-modèle pour ces formules.
3. En déduire que l'ensemble {∨, ∧, >, ⊥} n'est pas complet, autrement dit qu'il existe une formule qu'on ne
peut pas réécrire de façon équivalente avec ces seuls connecteurs et constantes.
Exercice 5 (Formalisation et résolution (20 points))
Les Beatles étaient un groupe de rock qui s'est formé dans les années soixantes à Liverpool. Ce groupe était
composé de quatres garçons : Ringo Starr, Paul MacCartney, John Lennon et Georges Harrison. À l'époque où
s'est formé le groupe, il n'a pas été évident de décider qui allait jouer de quel instrument. Pour preuve, voici un
extrait de leurs discussions :
Paul dit : Si Ringo ne joue pas de la guitare, alors je jouerai de la basse et John jouera de la guitare ,
Georges dit : Je jouerai de la guitare si et seulement si John en joue ,
John dit : Si Paul joue de la basse, alors Georges jouera de la guitare ,
Ringo dit : Je jouerai de la batterie et donc pas de la guitare .
Après cette discussion, ils décidèrent que :
Ringo jouerait à la batterie,
Paul jouerait de la basse, et que
John et Georges joueraient tous les deux de la guitare.
Nous allons maintenant montrer que cette conclusion a satisfait tous les membres du groupe.
1. Formalisez les quatres hypothèses et la conclusion en utilisant les variables propositionnelles suivantes :
RB : Ringo joue de la batterie ,
RG : Ringo joue de la guitare ,
P B : Paul joue de la basse ,
JG : John joue de la guitare , et
GG : Georges joue de la guitare .
2. Transformez en clauses les hypothèses et la négation de la conclusion.
3. Démontrez avec une preuve par résolution que la conclusion est conséquence des hypothèses.
Exercice 6 (DPLL, exercice du Poly (20 points)) Utiliser l'algorithme DPLL pour déterminer si les ensembles suivants de clauses sont satisfaisables ou insatisfaisables :
{b + j + a, a + j + b, b + a + j, a + j, j + b, b + j, j + b, j + s, s + b}.
{a + c + d, b + c + f, b + e + f, c + e + f , e + f, c + d, a, e + f }.
Donner une trace de l'algorithme et en déduire un modèle lorsque l'ensemble de formules est satisfaisable.
2
Corrigés
Exercice 1, page 1
La formule stricte :
(((a ∨ (b ∧ c)) ⇒ a) ⇔ ¬c)
Arbre :
⇔
⇒
~
∨
a

a
b
c
b∧c
a∨b∧c
¬
c
a
∧
b
Table de vérité :
!
v
~
a∨b∧c⇒a
0 0 0
0
0
1
0 0 1
0
0
1
0 1 0
0
0
1
0 1 1
1
1
0
1 0 0
0
1
1
1 0 1
0
1
1
1 1 0
0
1
1
1 1 1
1
1
1
Modèle et contre-modèle cf. table de vérité.
c
¬c
1
0
1
0
1
0
1
0
a ∨ b ∧ c ⇒ a ⇔ ¬c
1
0
1
1
1
0
1
0
Exercice 2, page 1
1. De deux choses l'une : ou bien x, ou bien y peut s'écrire de plusieurs façons :
xȳ + x̄y
(x + y)(x̄ + ȳ)
x⇔y
(x + y)xy
2. On pose :
m : les malades peuvent sortir de leur catalepsie
s : la solution à ce problème est proche
r : je continue mes recherches
d : il me manque certaines données
Les trois armations (toutes vraies) s'écrivent donc (m.s̄ + m̄.s) . (r.d) . (r.s̄ + r̄.s)
3. Les simplications donnent très rapidement la forme normale :
(m.s̄ + m̄.s) . (r.d) . (r.s̄ + r̄.s) ≡ (m.s̄ + m̄.s).r.d.s̄ ≡ m.r.d.s̄
Les malades peuvent donc sortir de leur catalepsie.
3
Exercice 3, page 2
1. q ∧ ¬(p ∨ q) ⇒ p
1
2
3
4
5
6
7
assume q & -(p + q).
q.
-(p + q).
p + q.
F.
p.
therefore q & -(p + q) => p.
&E1
&E2
+I2
=>E
Efq
=>I
1
1
2
3,4
5
1,6
2. (p ⇒ q ∨ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
assume p => q + r.
assume q => r.
assume p.
q + r.
assume r.
therefore r => r.
r.
therefore p => r.
therefore (q => r) => p => r.
therefore (p => q + r) => (q => r) => p => r.
=>E 1,3
=>I 5,5
+E 4,2,6
=>I 3,7
=>I 2,8
=>I 1,9
3. (¬p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇒ p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
assume (-p => q) & (q => p).
-p => q.
q => p.
assume -p.
q.
p.
F.
therefore --p.
p.
therefore (-p => q) & (q => p) => p.
&E1 1
&E2 1
=>E
=>E
=>E
=>I
Raa
=>I
2,4
3,5
4,6
4,7
8
1,9
Exercice 4, page 2
1. Par récurrence sur la taille de la formule.
Une formule de taille 0 est nécessairement une variable ou une constante.
Si c'est une variable ou >, alors l'assignation v en est eectivement un modèle.
Sinon c'est la constante ⊥ (équivalente à elle-même...)
Soit un entier n > 0, supposons la propriété vraie pour toute formule de taille strictement inférieure à n.
Soit alors A une formule de taille n de la forme décrite dans l'énoncé. A est forcément de la forme B ◦ C
où B et C sont des formules de taille strictement inférieure à n, toutes deux construites comme A, et où
◦ est soit une conjonction, soit une disjonction.
Par hypothèse de récurrence, B et C sont toutes deux ou bien équivalentes à ⊥, ou bien ont v pour
modèle.
On est ramené à étudier 4 cas :
A = B ∨ C avec B ≡ ⊥ et C ≡ ⊥ : alors clairement A ≡ ⊥
A = B ∨ C avec au moins une des deux sous-formules pour laquelle v est un modèle. Alors [B ∨ C]v =
max(1, ?) = 1 donc v est aussi un modèle pour A
A = B ∧ C avec B ≡ ⊥ ou C ≡ ⊥ : alors clairement A ≡ ⊥
A = B ∧ C et v est à la fois un modèle de B et de C . Alors [B ∧ C]v = min(1, 1) = 1 donc v est aussi
un modèle pour A
2. De même toute formule de cette forme est soit :
équivalente à >
4
ou admet pour contre-modèle l'assignation qui à toute variable associe 0.
3. La formule ¬x n'est pas équivalente à ⊥ et elle n'admet pas v pour modèle, donc elle n'est équivalente
à aucune formule construite avec ces quatre connecteurs.
Exercice 5, page 2
Paul dit :
Si Ringo ne joue de la guitare, alors je jouerai de la basse et John jouera de la guitare :
¬RG ⇒ P B ∧ JG : RG + P B , RG + JG
Je jouerai de la guitare si et seulement si John en joue : GG ⇔ JG : GG + JG, GG + JG
John dit : Si Paul joue de la basse, alors Georges jouera de la guitare : P B ⇒ GG : P B + GG
Ringo dit : Je jouerai de la batterie et donc pas de la guitare : RB ∧ ¬RG : RB , RG
Georges dit :
Conclusion : RB ∧ P B ∧ JG ∧ GG et sa négation RB + P B + JG + GG
Résolution :
(1)
RG
(2)
RG + P B
(3)
PB
(4)
RG + JG
(5)
JG
P B + GG
(6)
(7)
GG
(8)
RB
(9)
RB + P B + JG + GG
(10) P B + JG + GG
(11) JG + GG
(12) GG
(13) ⊥
Hyp
Hyp
Res 1,2
Hyp
Res 1,4
Hyp
res 3,6
Hyp
Hyp
Res 8,9
Res 3,10
Res 5,11
Res 7,12
Exercice 6, page 2
Nous choisissons la variable j .
b + j + a, a + j + b, b + a + j, a + j, j + b, b + j, j + b, j + s, s + b
RE
a + j, j + b, b + j, j + b, j + s, s + b
ELI a = 1
j + b, b + j, j + b, j + s, s + b
j=0
j=1
u
)
b, s, s + b
b, b, s + b
RU b = 1, s = 1
RE
b, b
⊥
RU
⊥
Nous choisissons la variable e.
5
a + c + d, b + c + f, b + e + f, c + e + f , e + f, c + d, a, e + f
ELI d = 1
b + c + f, b + e + f, c + e + f , e + f, a, e + f
ELI a = 0
b + c + f, b + e + f, c + e + f , e + f, e + f
e=0
e=1
u
)
b + c + f, c + f , f
b + c + f, b + f, f
RU f = 1
ELI c = 0
c
∅
On trouve un modèle : d = 1, a = 0, e = 0, f = 1, c = 0. L'autre branche donne un autre modèle.
6