Dossier de candidature à un poste de Maître

Dossier de candidature
à un poste de Maître de conférences
Anne-Laure Dalibard
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Le laboratoire et l’Université
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Université Paris-Dauphine - CEREMADE
Place du Maréchal de Lattre de Tassigny
75016 Paris
+33 6 82 58 44 02
+33 1 44 05 45 99
[email protected]
http://www.ceremade.dauphine.fr/∼dalibard
Table des matières
1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Curriculum vitæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Publications et pré-publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4 Activités d’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5 Responsabilités administratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6 Activités de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7 Résumé des travaux de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 Projet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9 Bibliographie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10 Annexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mots clés
Équations aux dérivées partielles. Homogénéisation. Lois de conservation scalaires. Équations de transport.
Formulation cinétique. Équations paraboliques. Fluides géophysiques. Couches limites. Mécanique des
fluides.
1
Présentation
1.1 Recherche
Je suis docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ; au cours de ma thèse, j’ai démontré
les premiers résultats généraux sur l’homogénéisation de lois de conservation scalaires, dans
des cadres paraboliques ou hyperboliques.
J’ai travaillé dans de nombreux domaines liés aux équations aux dérivées partielles, qui sont tous
présents au sein de [mettre ici le nom du labo] : équations cinétiques, lois de conservation, équations
elliptiques et équations paraboliques lors de mon doctorat, équations de Navier-Stokes et des fluides
tournants depuis ma soutenance de thèse. Dans l’ensemble, mes travaux sont plutôt théoriques
(analyse qualitative des solutions d’une équation, ou analyse asymptotique d’un système avec petit
paramètre), mais certains d’entre eux sont tournés vers les applications (étude du système de
Keller-Segel en biologie, de fluides géophysiques...) Je souhaiterais conserver ces deux composantes
- théorie et applications - dans mes recherches à venir.
Je suis en outre tout à fait disposée à m’ouvrir à de nouvelles thématiques de recherche représentées à [mettre ici le nom du labo], par exemple....
1.2 Enseignement
Au cours de ma thèse, j’ai bénéficié d’un monitorat d’une durée de trois ans à l’Université ParisDauphine. J’ai assuré des travaux dirigés d’Algèbre et d’Analyse (analyse réelle, calcul matriciel,
analyse fonctionnelle, algèbre linéaire) dans les trois années de Licence (L1, L2 et L3), et devant
des groupes d’une trentaine ou d’une quarantaine d’étudiants.
Je souhaiterais à l’avenir enseigner dans un cursus de Mathématiques fondamentales et/ou
appliquées.
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2
Curriculum vitæ
Nom :
Date de naissance :
Nationalité :
État civil :
Titre :
Anne-Laure Dalibard ép. Roux
05.08.1982 ;
Française ;
Mariée ;
Docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ;
Qualifiée en sections 25 et 26 du CNU.
2.1 Situation actuelle
2007-2008
Membre à mi-temps du DMA (ENS, Paris).
Travail post-doctoral sous la direction de Laure Saint-Raymond.
2005-2008
Allocataire-monitrice au CEREMADE (Université Paris-Dauphine).
2.2 Formation doctorale
2004-2007
2003-2007
2002-2003
2002-2003
Thèse au CEREMADE, sous la direction de Pierre-Louis Lions.
Sujet : homogénéisation de lois de conservation et d’équations de transport.
Soutenance à l’Université Paris-Dauphine le 8 octobre 2007. Mention très honorable.
Jury : Présidente : Laure Saint-Raymond. Rapporteurs : Denis Serre, Benoît
Perthame. Examinateurs : Thierry Goudon, Jean Dolbeault. Directeur : PierreLouis Lions.
Cours de Pierre-Louis Lions au Collège de France.
DEA d’Analyse de l’Université de Paris 6 (mention TB).
Sujet de mémoire : formulation cinétique de lois de conservation.
Directeur : Pierre-Louis Lions.
Cours du DEA d’Analyse numérique de l’Université de Paris 6.
2.3 Études pré-doctorales
2001-2002
Cursus mixte maths/physique du Magistère de mathématiques fondamentales et
appliquées (ENS Paris).
Licence (mention TB) et maîtrise (mention TB) de mathématiques.
Licence de physique (mention TB).
Mémoire de maîtrise sur le comportement en temps long des solutions des équations de coagulation-fragmentation (travail dirigé par Stéphane Mischler).
2001-2005
Élève de l’ENS (Ulm).
3
3
Publications et pré-publications
3.1 Articles acceptés ou publiés dans des revues à comité de lecture
1. Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws.
Publié dans les Annales de l’IHP (C) : Analyse non linéaire, 23, pp. 475-498 (2006).
2. Homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity.
Publié dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, 86, pp. 133-154 (2006).
3. Initial layer for the homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity.
Publié dans Archive for Rational Mechanics and Analysis, 185, pp. 515-543 (2007).
4. Kinetic formulation for a parabolic conservation law. Application to homogenization.
Publié dans SIAM Journal on Mathematical Analysis, 39, pp. 891-915 (2007).
5. Homogenization of a linear transport equation in a stationary ergodic setting.
Accepté pour publication dans Communications on Partial Differential Equations (2007) ; 31 pages.
6. Existence of solutions of the hyperbolic Keller-Segel model.
Avec Benoît Perthame. Accepté pour publication dans Transactions of the AMS (2006) ; 23 pages.
7. Homogenization of nonlinear scalar conservation laws.
Accepté pour publication dans Archive for Rational Mechanics and Analysis (2007) ; 35 pages.
3.2 Articles soumis
8. Asymptotic behavior of a rapidly rotating fluid with random stationary surface stress.
Disponible sur HAL (référence hal-00260396) ; 45 pages.
9. Mathematical study of resonant wind-driven oceanic motions.
Avec Laure Saint-Raymond. Disponible sur HAL (référence hal-00258519) ; 52 pages.
10. Resonant wind-driven oceanic motions.
Avec Laure Saint-Raymond ; 6 pages.
3.3 Article en préparation
11. Nonlinear stability of vertical profiles for resonant wind-driven oceanic motions.
En collaboration avec Laure Saint-Raymond.
3.4 Acte de séminaire sans comité de lecture
12. Étude mathématique de fluides en rotation rapide avec forçage en surface.
Séminaire X-EDP, 2007-2008 ; 17 pages.
Les articles 1-10 et 12 sont accessibles sur la page
http://www.ceremade.dauphine.fr/∼dalibard/publis.html,
et pourront être adressés aux rapporteurs.
4
4
Activités d’enseignement
4.1 Monitorat à l’Université Paris-Dauphine (2005-2008)
5
4.2 Interrogations orales au Lycée Henri IV à Paris (2002-2003)
Durant l’année 2002-2003, j’ai donné 90 heures d’interrogations orales (colles) dans les deux
classes de MPSI du Lycée Henri IV, à Paris, à raison de trois heures hebdomadaires. Ce type
d’enseignement permet d’avoir un contact suivi et personnalisé avec des étudiants d’un très
bon niveau, et requiert un travail personnel important de la part de l’interrogateur (recherche de
questions de cours et d’exercices originaux).
4.3 Participation à la préparation à l’agrégation à l’ENS Ulm (2008)
En février 2008, j’ai encadré deux leçons d’Analyse, à la demande du responsable de la préparation à l’épreuve orale d’Analyse de l’agrégation à l’ENS (Grégoire Nadin) ; les sujets étaient
« Méthodes hilbertiennes en dimension finie et infinie » et « Équations différentielles Ẋ = f (t, X) ;
exemples d’études qualitatives des solutions ». Ma formation doctorale en équations aux dérivées
partielles m’a permis d’apporter aux élèves quelques exemples originaux pour chacune des deux
leçons.
6
5
Responsabilités administratives
2005-...
Reviewer pour Mathematical Reviews.
2006-2008
Représentante (nommée) des doctorants et ATER au conseil de laboratoire du
CEREMADE.
Porte-parole des doctorants lors de l’évaluation du CEREMADE par l’AERES.
Déc. 2007
7
6
Activités de recherche
6.1 Exposés dans des conférences nationales ou internationales
Déc. 2007
Journées Singularités et Comportement Asymptotique des Systèmes d’Euler et
Navier Stokes, à Paris (exposé sur invitation).
Juil. 2007
Conférence ICIAM 07 à Zürich (exposé sans invitation).
Juin 2006
Conférence à Vienne : “Nonlinear PDEs : Homogenization and Kinetic Equations”
(exposé sur invitation).
Juin 2006
Conférence à Tolède en l’honneur de Peter Lax et Louis Nirenberg : “Recent
advances in Nonlinear PDEs and Applications” (présentation d’un poster).
6.2 Invitation dans des séminaires ou des groupes de travail en France
Juin 2008
Séminaire EDP de l’Institut Élie Cartan de Nancy.
Juin 2008
Séminaire d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique de l’Université de FrancheComté (Besançon).
Fév. 2008
Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE (Université ParisDauphine).
Jan. 2008
Séminaire X-EDP (École polytechnique, Palaiseau).
Nov. 2007
Séminaire EDP de l’Université Paris-Sud.
Oct. 2007
Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE.
Sep. 2007
Séminaire de mathématiques appliquées de l’Université Blaise Pascal (ClermontFerrand).
Av. 2007
Séminaire de Mathématiques appliquées du Collège de France.
Jan. 2007
Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE.
Jan. 2007
Séminaire Calcul scientifique du CERMICS (ENPC).
Nov. 2006
Séminaire EDP et Applications de l’UMPA (ENS Lyon).
Jan. 2006
Séminaire EDP du DMA (ENS Paris).
Nov. 2005
Groupe de travail des thésards du CEREMADE.
Av. 2004
Séminaire des élèves de l’ENS.
8
6.3 Participation régulière à des groupes de travail, avec exposé
2007-2008
Groupe de travail « Maths-Océano »à l’École normale supérieure (Paris).
Exposé en Janvier 2008.
2007
Groupe de lecture « Transport Optimal »à l’École normale supérieure (Paris).
Exposé en Mars 2007.
6.4 Participation à des conférences nationales ou internationales sans exposé
Juil. 2007
Congrès en l’honneur de Luc Tartar à Paris.
Juil. 2005
Congrès “Homogénéisation aléatoire” au CIRM à Marseille.
Mai 2005
Congrès “Recent advances in homogenization” à Rome.
Juin 2004
Congrès en l’honneur de Haïm Brézis à Paris.
6.5 Participation régulière à des séminaires (en tant qu’auditeur)
2007-2008
Groupe de travail Analyse non linéaire (commun au DMA et au Laboratoire
Jacques-Louis Lions).
2004-2008
Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE.
2004-2008
Séminaire de mathématiques appliquées du Collège de France.
2003-2007
Séminaire EDP du DMA.
6.6 Organisation de groupes de travail
2005-2007
Co-organisatrice du groupe de travail des thésards du CEREMADE
9
7
Résumé des travaux de recherche
Cette partie est consacrée à la description de mes travaux de recherche, réalisés dans le cadre
de mon stage de DEA et de ma thèse au sein de l’équipe Analyse non linéaire du CEREMADE
(UMR CNRS 7534, Université Paris-Dauphine), sous la direction du Professeur Pierre-Louis Lions,
puis de mon travail post-doctoral dans l’équipe Équations aux dérivées partielles du Département
de mathématiques et applications (UMR CNRS 8553, École normale supérieure, Paris), sous la
direction du Professeur Laure Saint-Raymond.
Les références de cette partie et de la suivante sont regroupées dans la bibliographie générale
page 19.
7.1 Présentation générale
Au cours de ma thèse, j’ai étudié différents phénomènes d’oscillations dans des équations aux
dérivées partielles d’évolution, et en particulier des questions liées à l’homogénéisation de lois
de conservation scalaires. Précisément, le résultat principal de ma thèse est le suivant : soit
N
uε ∈ C(R+ , L1loc (RN )) ∩ L∞
loc (R+ × R ) la solution entropique de l’équation

N
x

X
∂uε
∂



(t, x) +
Ai
, uε (t, x) = 0 t ≥ 0, x ∈ RN ,
∂t
∂xi
ε
(7.1)
i=1


x

 uε (t = 0, x) = u0 x,
,
ε
où A : RN × R → RN est un flux donné, périodique en sa première variable. J’ai démontré, sous
une hypothèse de donnée initiale « bien préparée », c’est-à-dire adaptée à la microstructure dictée
par le flux A, que
x
→ 0 dans L1loc ([0, ∞) × RN ),
(7.2)
uε (t, x) − u t, x,
ε
où u est l’unique solution d’un système limite de nature cinétique, composé d’une équation microscopique dite « de la cellule », et d’une équation d’évolution macroscopique. La grande nouveauté de
ce résultat réside dans l’universalité de ses hypothèses sur le flux A, ainsi que dans la complexité du
système limite : en effet, il n’y a en général ni problème homogénéisé, ni loi de conservation associée
aux équations cinétiques limites. Ce phénomène était entièrement absent des travaux antérieurs sur
le sujet.
Avant la preuve de ce résultat et en vue de définir des techniques adaptées à l’étude de phénomènes d’oscillations dans les équations de transport, j’ai travaillé sur l’homogénéisation de lois de
conservation scalaires avec viscosité évanescente, une variante parabolique du problème (7.1). J’ai
démontré dans ce cadre un résultat de convergence du même type que (7.2). Ce résultat est, à ma
connaissance, le premier sur l’homogénéisation de lois de conservation multi-dimensionnelles dans
un cadre général, sans hypothèse de structure sur le flux ou sur la condition initiale.
Cette entreprise nécessite une bonne compréhension de la loi de conservation (7.1) - ou de sa
version visqueuse - à ε > 0 fixé. J’ai donc été amenée à démontrer, parallèlement aux questions
d’homogénéisation directement liées à (7.1) (voir [?, ?, ?, ?]), deux résultats sur les formulations
cinétiques de lois de conservation scalaires (voir [?, ?]). Ces derniers travaux ont donné lieu
à un article en collaboration avec Benoît Perthame sur un sujet indépendant, dans lequel nous
démontrons l’existence de solutions du modèle de Keller-Segel hyperbolique (voir [?]).
Enfin, toujours dans le cadre de ma thèse, j’ai également prouvé un résultat d’homogénéisation
pour une équation de transport, dans un cadre stationnaire ergodique (voir [?]).
Depuis le mois de septembre 2007, je suis également membre à mi-temps de l’équipe Équations
aux dérivées partielles du DMA, où je travaille sous la direction de Laure Saint-Raymond sur des
10
problèmes d’océanographie, abordés sous un angle mathématique, et plus spécifiquement sur
l’influence du vent sur la vitesse des courants océaniques. Dans l’article [?], je démontre
des résultats de convergence forte pour un fluide en rotation rapide soumis à un forçage aléatoire,
stationnaire et non résonnant ; dans [?], nous étudions, avec Laure Saint-Raymond, le cas où le
forçage est en résonance avec la rotation de la Terre, et nous mettons en évidence de nouveaux
profils de couches limites et des phénomènes de déstabilisation du fluide dans ce cadre.
Dans les paragraphes qui suivent, je décris plus en détail chacun des articles sus-mentionnés.
7.2 Formulation cinétique de lois de conservation scalaires et applications
7.2.1 Formulation cinétique de lois de conservation hétérogènes
[?], paru aux Annales de l’IHP.
Cet article est consacré à l’étude des solutions entropiques de lois de conservation scalaires du
type ∂t u+divx A(x, u) = 0. Dans le cas homogène, c’est-à-dire lorsque le flux A est indépendant de la
variable d’espace x ∈ Rn , Pierre-Louis Lions, Benoît Perthame et Eitan Tadmor ont démontré dans
[?] que la fonction (t, x, v) 7→ 1v<u(t,x) vérifie une équation de transport linéaire, appelée formulation
cinétique, dont le second membre est la dérivée en v d’une mesure positive. Cette construction
permet ensuite de définir une notion plus faible de solutions, appelées solutions cinétiques. J’ai
généralisé dans [?] ces résultats au cas hétérogène. La principale différence structurelle réside dans
la présence d’un terme supplémentaire dans la formulation cinétique, qui représente un transport
dans la variable v. Par ailleurs, les preuves deviennent beaucoup plus techniques en raison de la
dépendance spatiale du flux.
7.2.2 Formulation cinétique d’une loi de conservation parabolique
[?], paru dans SIAM J. Math. Anal.
L’article [?] est composé de deux parties : la première, que je vais exposer ici, présente une
formulation cinétique pour une loi de conservation scalaire parabolique, et la seconde, dont il sera
question plus tard, donne une application de cette construction à l’homogénéisation d’une version
visqueuse de l’équation (7.1).
Dans la première partie de [?], on considère l’équation ∂t u(t, y) + divy A(y, u(t, y)) − ∆y u(t, y) =
0, munie de conditions aux bords périodiques. En s’inspirant d’une idée de E. Audusse et B.
Perthame [?], on définit pour cette équation une nouvelle formulation cinétique, associée à des
inégalités entropiques basées sur la comparaison entre la fonction u et les solutions stationnaires
de la loi. Cette formulation permet en particulier de définir une notion de solution cinétique, dont
on montre qu’elle est équivalente à celle de solution entropique si l’on travaille dans une classe de
fonctions régulières et bornées.
On donne dans la seconde partie une application de cette construction à l’homogénéisation
d’une version visqueuse de l’équation (7.1) ; ce point sera décrit au paragraphe 6.3.1.
7.2.3 Existence de solutions du système de Keller-Segel hyperbolique
[?], avec Benoît Perthame, accepté pour publication dans Transactions of the AMS.
Le modèle de Keller-Segel décrit la réponse collective de populations de cellules à des signaux
chimiques. On étudie un système couplé de deux équations :
(
(
∂t u + divy (∇S u(1 − u)) = 0, t > 0, y ∈ Ω,
− ∆S + S = u dans Ω,
et
(7.3)
1
∞
∇S · nΩ = 0 sur ∂Ω,
u(t = 0) = u0 ∈ L ∩ L (Ω), 0 ≤ u0 ≤ 1 p.p,
où Ω ⊂ Rd est un domaine C 1 borné, et nΩ est la normale sortante à Ω. Ici, la quantité u représente la
11
densité de cellules et S la concentration en chimioattractant. Dans un premier temps, on démontre
l’existence de solutions du système (7.3) par passage à la limite dans une approximation
parabolique de l’équation. Cette méthode avait été utilisée en dimension d = 1 par Yasmin Dolak
et Christian Schmeiser dans [?] ; mais dès que d > 1, l’analyse du système parabolique approché
est très différente en raison de l’absence de bornes a priori dans L∞
loc (0, ∞; BV (Ω)), et donc de
compacité sur les solutions du système. La technique adoptée consiste en l’écriture d’une formulation
cinétique pour le système approché, équation de transport linéaire dans laquelle il est possible de
passer à la limite faible. Le cœur de la preuve réside dans un théorème de « rigidité » : on montre
que les solutions de l’équation limite sont des fonctions indicatrices. On en déduit ensuite sans mal
la convergence forte des solutions du système approché vers une solution du système de Keller-Segel
(7.3).
Dans un second temps, on démontre des résultats qur le comportement en temps long d’une
solution du système (7.3) ; ceux-ci viennent en partie corroborer les simulations numériques de [?]
en dimension 1.
7.3 Homogénéisation de lois de conservation scalaires
7.3.1 Cas visqueux, données bien préparées
[?], paru au J. Math. Pures et Appl. ;
[?], paru dans SIAM J. Math. Anal.
L’objet de ces travaux est la preuve du résultat (7.2) dans le cas de l’équation

N
x

X
∂
∂uε



(t, x) +
Ai
, uε (t, x) − ε∆x uε = 0 t > 0, x ∈ RN ,
∂t
∂xi
ε
(7.4)
i=1
x



ε
 u (t = 0, x) = u0 x,
.
ε
En postulant un développement asymptotique du type uε (t, x) ≈ u0 t, x, xε + εu1 t, x, xε , on
trouve que u0 (t, x, y) = v(y, ū(t, x)), où, pour chaque p ∈ R, v(·, p) est la solution d’un problème
microscopique dit « de la cellule » (une équation elliptique en y) et ū : R+ ×RN → R est la solution
entropique d’une loi de conservation scalaire homogène, appelée « problème homogénéisé ». Cette
méthode formelle soulève une première difficulté, sur laquelle on reviendra dans le paragraphe
suivant : il est possible qu’à l’instant t = 0, u0 (x, ·) ne soit pas solution du problème de la cellule.
Cela signifie que l’Ansatz était faux à t = 0, et il faut alors le modifier pour décrire convenablement
le comportement asympotique de uε . Dans tout ce paragraphe, on se concentre donc sur le cas de
données initiales bien préparées ; autrement dit, u0 (x, ·) est solution de l’équation de la cellule pour
presque tout x.
Dans un premier temps, dans [?], on montre l’existence et l’unicité de solutions du problème de
la cellule sous certaines hypothèses de régularité et de croissance sur le flux. On montre ensuite le
résultat de convergence (7.2) dans le cas visqueux. Cette étape est réalisée de deux façons différentes
dans [?] et [?] : dans [?], la méthode s’inspire de celle développée dans [?] et [?], et s’appuie sur la
notion de mesures d’Young à deux échelles. Dans [?], j’ai mis en place une méthode originale, qui
simplifie nettement la preuve de convergence, et qui s’appuie sur la formulation cinétique développée
dans la première partie de [?], décrite plus haut. Le passage à la limite double-échelle dans cette
équation linéaire permet facilement de montrer le résultat de convergence forte. De plus, le résultat
démontré est plus général que celui de [?] car l’hypothèse ū0 ∈ L∞ devient superflue. Enfin, cette
méthode se généralise aisément au cas où le flux A possède une dépendance macroscopique, i.e.
A = A(x, y, v), et A très régulier en x ; cette dernière extension, qui ne figure pas dans [?], est
incluse dans ma thèse de doctorat.
12
7.3.2 Couche initiale dans le cas visqueux, pour des données mal préparées
[?], paru dans Arch. Rat. Mech. Anal.
L’article [?] est consacré à l’homogénéisation de l’équation (7.4) dans le cas de données initiales
mal préparées, c’est-à-dire qui ne sont pas solutions du problème de la cellule. Dans ces circonstances, on s’attend à ce qu’il se forme une couche initiale, de durée typique ε, durant laquelle la
famille de solutions uε se rapproche du profil microscopique dicté par le flux. Plus précisément, on
montre que l’évolution de uε sur des temps courts (d’ordre ε) est régie par un problème d’évolution
parabolique, dont les solutions convergent en temps grand vers une solution stationnaire. De plus,
en vertu d’une propriété de trou spectral, on montre que la vitesse de convergence est exponentielle.
Il faut ensuite combiner cette analyse avec le résultat d’homogénéisation dans le cas de données
bien préparées [?, ?]. À l’aide d’une série d’estimations fines, on montre qu’au bout d’un temps
ε, tout se passe comme si la condition initiale était bien préparée. Évidemment, le résultat de
convergence exponentielle exposé plus haut est fondamental dans la description des solutions sur
des temps d’ordre ε. À ma connaissance, ce résultat est la première preuve d’homogénéisation pour
des lois de conservation scalaires hétérogènes dans le cas de données mal préparées.
7.3.3 Cas hyperbolique, données bien préparées
[?], accepté pour publication dans Arch. Rat. Mech. Anal.
L’article [?] traite de l’homogénéisation de l’équation hyperbolique (7.1), dans le cas de données
bien préparées, et j’y démontre le résultat de convergence (7.2). La situation est ici beaucoup plus
compliquée que dans le cas parabolique, en raison du manque d’informations sur la structure des
solutions stationnaires de l’équation (7.1) ; en particulier, il est impossible de transposer directement
les techniques mises au point dans [?].
La première partie de la preuve de convergence repose sur un passage à la limite double-échelle
dans l’équation de formulation cinétique associée à (7.1) (voir aussi l’article [?]). Le système limite se
compose alors de deux équations sur la fonction indicatrice 1p<u(t,x,y) : une équation de contrainte
d’une part, qui joue le rôle d’une équation de la cellule à un niveau cinétique, et une équation
de transport linéaire d’autre part, avec un second membre que l’on peut interpréter comme un
multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes sur 1p<u(t,x,y) . La grande particularité de ce
système réside dans le fait qu’on ne peut écrire d’équation d’évolution pour la fonction u, ni pour
la moyenne de u sur une période spatiale. Il n’y a donc pas, en général, de problème homogénéisé.
Ainsi, la formulation cinétique de la loi de conservation (7.1) semble être la vision adéquate pour
aborder les problèmes d’oscillations en général, et d’homogénéisation en particulier.
En vue de montrer le résultat de convergence forte, il faut ensuite montrer des propriétés de
rigidité et de contraction pour le système limite. La faible régularité des solutions, ainsi que la
présence d’oscillations rapides, rend les preuves relativement techniques.
7.4 Homogénéisation d’une équation de transport linéaire
[?], accepté pour publication dans Comm. Partial Differential Equations.
Ce travail traite de l’homogénéisation de l’équation ∂t f ε + ξ · ∇x f ε − 1ε ∇x u xε , ω · ∇ξ f ε = 0,
qui modélise le transport de particules chargées par un potentiel électrique fortement oscillant
u(x/ε, ω), où x ∈ RN est la variable d’espace, et ω ∈ Ω, où (Ω, P ) est un espace de probabilité sur
lequel agit un groupe ergodique de transformations invariantes τy , y ∈ RN . On suppose de plus que
la densité de particules initiale f0 (x, y, ω) et u(y, ω) sont des fonctions stationnaires en y.
Je montre dans [?] un résultat de convergence forte dans L1loc sur la fonction f ε , et j’identifie les
équations macroscopiques et microscopiques satisfaites à la limite. Ce travail généralise un article
de K. Hamdache et E. Frénod [?], qui abordent le même problème dans un cadre périodique. Mais
13
les techniques choisies par ces auteurs semblaient difficilement transposables au cas stochastique,
et il a donc fallu changer de stratégie. La méthode adoptée dans [?] est fondée sur les liens entre
l’équation de transport et le système hamiltonien associé à l’énergie H(y, ξ; ω) = |ξ|2 /2 + u(y, ω).
Au moyen du théorème ergodique, on retrouve alors les résultats de K. Hamdache et E. Frénod, en
mettant de plus en évidence un phénomène d’oscillations rapides en temps, qui était absent de [?].
Dans un second temps, on démontre des formules explicites sur les coefficients du système homogénéisé en dimension un. Ici encore, la méthode choisie est différente de celle de [?]. Les arguments
utilisés dans le cadre stationnaire sont inspirés de calculs récurrents dans la théorie d’Aubry-Mather
ou dans la théorie KAM, et mettent ainsi à jour certains liens inédits avec l’homogénéisation d’équations de Hamilton-Jacobi.
7.5 Forçage par le vent de courants océaniques
[?], pré-publication ;
[?], avec Laure Saint-Raymond, pré-publication.
Ces articles sont consacrés à l’analyse du comportement d’un fluide homogène et incompressible,
en rotation rapide à une fréquence 1/ε, soumis à un forçage en surface. Le forçage est décrit par une
condition de Neumann non homogène et rapidement oscillante sur le bord, de la forme σ (t, t/ε) .
On étudie le comportement asymptotique du système de Navier-Stokes-Coriolis lorsque le petit
paramètre ε et la viscosité verticale ν tendent vers zéro. Des résultats de convergence forte sont
alors démontrés dans deux cadres différents et complémentaires : l’article [?] traite du cas où la
fonction σ est aléatoire et stationnaire en sa variable rapide, et n’a pas de fréquences d’oscillations
voisines de celle de la rotation de la Terre. Le cas résonnant, c’est-à-dire celui où le forçage σ est
une fonction périodique, de même période que la rotation de la Terre, est traité dans [?], dans le
cas linéaire. Ces deux travaux généralisent ceux de Nader Masmoudi dans [?].
Dans les deux cas, la preuve repose sur la construction d’une solution approchée, et suit pour ce
faire des méthodes classiques en théorie des fluides tournants (voir [?, ?]), utilisant des techniques
de filtrage des oscillations d’une part, et de construction de couches limites d’autre part. Dans
l’article [?], l’introduction de termes aléatoires et stationnaires nécessite de modifier les définitions
habituelles des termes de couches limites, adaptées à des cadres périodiques ou presque périodiques
en temps (voir par exemple [?, ?]). Par ailleurs, les méthodes de filtrage consistent à étudier le
comportement moyen en temps long de fonctions oscillantes, ce qui est accompli ici au moyen du
théorème ergodique de Birkhoff. Il convient de souligner que l’équation limite obtenue dans [?]
demeure aléatoire. Par conséquent, la dernière partie de l’article [?] est consacrée à l’obtention
d’une équation déterministe « moyenne », ou homogénéisée.
Dans l’article [?], la résonance entre la fréquence de rotation de la Terre et celle du forçage
par le vent modifie principalement la construction des couches limites : en effet, on montre qu’un
forçage résonnant et non homogène crée des tailles de couches limites beaucoup plus grandes que
les forçages usuels. En outre, la partie homogène et résonnante du forçage ne peut être traitée par
les méthodes usuelles de couches limites, et donne naissance à un profil singulier, déstabilisant ainsi
en temps grand l’ensemble du fluide à l’intérieur du domaine. Ces résultats diffèrent donc de façon
conséquente des travaux [?, ?]. Dans un troisième article en cours de rédaction [?], nous démontrons
un résultat de stabilité non linéaire pour ce profil singulier.
14
8
Projet de recherche
Dans les années à venir, je compte développer trois grands axes de recherche, classés ici par ordre
décroissant d’importance du temps que je souhaite leur consacrer. Le premier et le deuxième thème
sont partiellement liés : il s’agit respectivement d’étudier des modèles de fluides géophysiques et de
rugosité en mécanique des fluides. Le troisième volet de ce programme de recherche est indépendant
des autres, et porte sur le comportement en temps long des solutions de lois de conservation scalaires.
Par ailleurs, je suis prête à m’investir dans d’autres projets, suivant les souhaits et les besoins
de l’équipe dans laquelle j’effectuerai mes recherches.
Les références entre crochets sont regroupées dans la bibliographie générale page 19.
8.1 Étude de fluides géophysiques
Le but de cette première thématique de recherche est d’étudier mathématiquement le comportement des fluides géophysiques. Cette question se situe dans la continuité des travaux que j’ai
effectués après la fin de ma thèse, et qui ont donné lieu à la rédaction de deux articles de recherche,
dont un en collaboration avec Laure Saint-Raymond.
Les modèles considérés décrivent l’évolution des fluides océaniques ou atmosphériques dans un
référentiel terrestre en rotation, sur des domaines qui s’étendent horizontalement sur plusieurs milliers de kilomètres, et verticalement sur quelques kilomètres. Les forces qui s’exercent sur le système
sont la force de Coriolis et la force de pesanteur. Ces deux forces se compensent, créant ainsi un équilibre dit « géostrophique », autour duquel apparaissent de petites oscillations. La compréhension
de ce mécanisme de compensation et la description des fluctuations autour de l’équilibre sont deux
enjeux majeurs de la modélisation. Du point de vue mathématique, l’évolution du système (océan
ou atmosphère) est régie par les équations de la mécanique des fluides, portant sur la densité, la
vitesse, l’énergie volumique ou la température du fluide. Ce système d’équations est ensuite réduit
à l’aide d’équations d’état ou d’approximations physiques qui dépendent de la situation étudiée
(voir [?]).
Objectifs généraux et outils. Le but est, dans un premier temps, de montrer l’existence
de solutions du système réduit, puis de passer à la limite lorsque le petit paramètre ε := U/(2|Ω|L)
tend vers zéro, où U (resp. L) est une vitesse (resp. une distance) horizontale caractéristique du
mouvement, et |Ω| est la vitesse de rotation de la Terre. Cette limite correspond donc à des situations
où la vitesse de rotation de la Terre est grande devant la vitesse angulaire caractéristique du fluide ;
pour l’Atlantique occidental, par exemple, on a ε ' 10−3 , et cette approximation est justifiée.
Ce type d’étude s’apparente donc à des problèmes de perturbation singulière ; dès lors, la première étape en vue du passage à la limite consiste à étudier le spectre de l’opérateur de pénalisation, et les ondes associées à celui-ci. Le système limite est ensuite obtenu grâce à des méthodes
de filtrage, introduites indépendamment par Emmanuel Grenier [?] et Steven Schochet [?]. Par
ailleurs, il est classique en océanographie de supposer que la viscosité verticale tend vers zéro, ce
qui conduit naturellement à étudier des phénomènes de couches limites. Enfin, les preuves de
convergence reposent en général sur des méthodes d’énergie classiques (voir [?]), qui permettent
d’estimer la différence entre la solution du système initial et une solution approchée explicite, obtenue comme la somme de la solution du système limite filtré, de termes de couches limites, et de
termes correctifs intérieurs.
Quelques problèmes plus précis. Un premier but à moyen terme sera de généraliser les
résultats de [?, ?], portant sur le forçage par le vent de courants océaniques, au cas du modèle
β-plan, pour lequel on prend une approximation affine (et non constante) pour le vecteur rotation
15
de la Terre. Ce type d’étude a déjà été réalisé par Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond dans
[?], où les auteurs étudient le modèle β-plan au voisinage des zones équatoriales (sans forçage par
le vent).
Après cela, une généralisation supplémentaire consistera à considérer des modèles dépendant
de la densité. En effet, la stratification des fluides océaniques - c’est-à-dire la répartition du fluide
en couches d’isodensité superposées - joue un rôle primordial dans l’équilibre et dans la dynamique,
et il serait donc intéressant de disposer d’une méthode systématique pour étudier ces phénomènes.
Pour cela, les travaux de Raphaël Danchin (voir par exemple [?, ?]) sont un point de départ possible.
Enfin, la prise en compte de conditions aux bords réalistes est un autre enjeu important de
la modélisation. Dans cette optique, des liens se tisseront naturellement avec mon deuxième axe de
recherche, les modèles de rugosité en mécanique des fluides : dans le contexte de l’océanographie,
l’objectif sera d’étudier les conséquences sur la dynamique globale des irrégularités des fonds marins
ou des côtes. Plus précisement, je compte m’intéresser aux effets de la rugosité sur les couches
limites. Des études ont déjà été menées par David Gérard-Varet [?] et David Gérard-Varet et
Didier Bresch [?] pour des profils périodiques de rugosité, et le but sera dans un premier temps de
généraliser leurs travaux à un cadre aléatoire et stationnaire.
Environnement scientifique. Une demande de projet ANR Blanc a été déposée en mars
2008 par David Lannes (CNRS, MAB-UMR 5466, Université de Bordeaux 1), sur le thème « Modélisation, analyse mathématique et simulation numérique en océanographie » ; si le projet est accepté,
il est prévu que je fasse partie de la composante « Fluides tournants » de ce projet.
8.2 Modèles de rugosité en mécanique des fluides
Le but de ce deuxième axe de recherche est de comprendre les effets d’une paroi rugueuse
sur la dynamique d’un fluide au contact de celle-ci. Outre les questions liées à l’océanographie,
mentionnées dans la première partie, il s’agit d’étudier par exemple des problèmes de microfluidique.
Cette thématique de recherche est en grande partie nouvelle pour moi, mais se rapproche néanmoins
des travaux que j’ai effectués dans ma thèse, puisque la modélisation des rugosités se traduit souvent
mathématiquement par des problèmes d’homogénéisation.
Motivations physiques. La problématique est d’obtenir une description précise des propriétés
de glissement d’un fluide sur une surface rugueuse. Il semble naturel, et il est de fait communément
admis, que la rugosité augmente les effets de friction sur le bord de la paroi, allant jusqu’à supprimer toutes les propriétés de glissement au niveau macroscopique. Néanmoins, des expériences
et des simulations récentes (voir par exemple [?]) indiquent au contraire que pour certaines surfaces hydrophobes et très rugueuses, soumises à de faibles pressions, les irrégularités de la surface
améliorent les propriétés de glissement. Ce phénomène s’explique par la formation d’une interface
composite : des poches d’air s’immiscent dans les creux des aspérités de la surface, et le fluide
glisse sur ce coussin d’air au lieu d’être au contact direct de la paroi. La minimisation des effets de
friction est un enjeu industriel primordial, car l’énergie dissipée pour faire passer un fluide visqueux
dans des microcanaux est considérable. Toutefois, il semble difficile pour l’instant de quantifier ces
propriétés de glissement à l’aide d’une loi empirique, car les résultats expérimentaux, par ailleurs
peu nombreux, sont très disparates. D’après les physiciens, ces différences quantitatives pourraient
s’expliquer par des propriétés de mouillage variables d’une expérience à l’autre, ou par la formation de « nano-bulles » à l’interface fluide/paroi. Disposer d’études mathématiques approfondies
sur le sujet permettrait de trancher entre ces différents points de vue, et de mieux comprendre le
phénomène de glissement.
D’autre part, dans l’idée d’accentuer l’effet de ce glissement, on peut utiliser un procédé d’électrophorèse pour concentrer l’écoulement dans une couche limite près de la surface rugueuse « glissante ». Un deuxième objectif sera de décrire mathématiquement ce phénomène de couche limite.
16
Modélisation et outils mathématiques. D’un point de vue formel, la rugosité de la
surface peut être modélisée d’au moins deux façons : soit par le manque de régularité de la fonction
représentant la surface, soit par son caractère fortement oscillant. Je compte me concentrer plutôt
sur le deuxième aspect, ce qui conduit donc à représenter une surface rugueuse par une équation
du type
x y
z = f x, y, ,
, (x, y, z) ∈ R3 ,
ε ε
où ε est un petit paramètre. Une hypothèse classique consiste à supposer que la fonction f est périodique mais en général, les rugosités sont dûes à des défauts de fabrication de la paroi, par exemple,
et il semble donc plus réaliste de supposer que la fonction f est aléatoire. Je serai donc naturellement amenée à étudier des problèmes d’homogénéisation stochastique de systèmes fluides.
Pour cela, mes travaux antérieurs sur l’homogénéisation stochastique d’équations de transport (voir
[?]), ainsi que sur le forçage aléatoire par le vent de courants océaniques (voir [?]), seront des atouts
certains. En passant à la limite lorsque le petit paramètre ε tend vers zéro, on espère trouver une
condition aux limites effective, appelée loi de paroi. Ce type d’étude a été mené par exemple par
David Gérard-Varet dans [?], pour des conditions aux limites de type Dirichlet. Compte tenu des
motivations physiques exposées plus haut, mon but est de généraliser ce travail à des conditions aux
limites mixtes, afin de prendre en compte les bulles qui se forment dans les cavités de la surface.
Un point de départ possible serait de considérer des conditions de type Neumann dans les zones où
le fluide est en contact avec une bulle d’air, et Dirichlet pour l’interface fluide/paroi. Cette étude
devrait spontanément conduire à étudier des phénomènes de couches limites, ce qui facilitera sans
doute l’attaque du deuxième point mentionné plus haut.
Environnement scientifique. David Gérard-Varet (CNRS, DMA-UMR 8553, École normale
supérieure) m’a proposé de participer à un projet ANR-Jeunes chercheurs, sur les modèles de
rugosité en mécanique des fluides. La demande de projet a été déposée en mars 2008, et si celui-ci
est accepté, l’équipe comportera des mathématiciens « numériciens » et « théoriciens ».
8.3 Comportement en temps long de solutions de lois de conservation scalaires
Cette partie de mon projet de recherche est totalement indépendante des deux premières ; mon
intérêt pour ces questions est né de discussions avec Denis Serre. Il s’agit d’étudier le comportement
en temps long de solutions entropiques de lois de conservation visqueuses ou hyperboliques. Dans
un premier temps, je me concentrerai sur l’étude du système
∂u
+ divx A(x, u(t, x)) − ∆x u = 0,
∂t
u(t = 0) = u0 ∈ L∞ (TN ).
t > 0, x ∈ TN
(8.1)
(8.2)
Connaître le comportement lorsque t → ∞ de u(t) est une question directement inspirée de certains
de mes travaux de thèse, et j’y ai d’ailleurs consacré l’un de mes articles (voir [?]). J’ai démontré,
sous certaines hypothèses sur le flux et à condition que la donnée initiale soit comprise entre deux
solutions stationnaires de la loi (8.1), que la famille u(t) converge exponentiellement vite vers une
solution stationnaire de (8.1). Le but ici sera donc de comprendre dans quelle mesure ce résultat
peut être généralisé à des classes plus grandes de données initiales.
Dans un second temps, je compte m’intéresser à un problème similaire, mais sans doute plus
difficile en raison de son hyperbolicité. En effet, il s’agit de comprendre la nature du comportement
en temps long de la solution du système
∂u
+ divx A(x, u(t, x)) = 0,
∂t
u(t = 0) = u0 ∈ L∞ (Ω),
17
t > 0, x ∈ Ω
(8.3)
(8.4)
où Ω = TN ou RN . À ma connaissance, ce type de comportement asymptotique a été étudié
majoritairement dans le cas homogène ; l’hypothèse classique sur le flux A est alors une condition
de convexité, sous laquelle on démontre qu’il y a convergence vers une solution stationnaire de (8.3)
(voir par exemple [?], [?], ainsi que l’ouvrage de C. Dafermos [?]). Il est important de souligner
que la seule non-linéarité du flux est insuffisante pour obtenir ce résultat, comme le montre un
contre-exemple de Debora Amadori et Denis Serre dans [?] : les auteurs construisent, pour un flux
A particulier, non linéaire et non convexe, une solution périodique en temps et en espace de (8.3).
Dès lors, la solution de (8.3) ne peut converger vers un état stationnaire pour toute donnée initiale.
La convexité est donc une condition cruciale en dimension un, et il faudra dégager des hypothèses
non triviales en dimension supérieure.
Objectifs précis et pistes possibles. Dans le cas visqueux, supposer que la donnée initiale
est comprise entre deux solutions stationnaires est une hypothèse relativement classique dans un
cadre parabolique ; on pourra par exemple se référer à [?], ou encore à [?]. Néanmoins, dans [?],
les résultats de convergence sont généralisés à des profils quelconques de données initiales, ce qui
laisse penser que le même type d’étude peut être entrepris ici. Je commencerai par étudier le cas où
le flux A est de la forme A(y, v) = ∇φ(y)g(v), où φ est périodique. En effet, de nombreux calculs
explicites sont possibles dans ce cas, et en particulier, la forme des états stationnaires est connue. Il
semble donc plus accessible d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de convergence dans
ce cadre. D’un point de vue mathématique, le phénomène de convergence est dû à des propriétés
de dissipation par diffusion : les parties de la solution u(t) qui se trouvent respectivement au-dessus
et en-dessous du profil stationnaire ont tendance à décroître avec le temps.
Quant au cas hyperbolique, le type de résultat que je souhaite généraliser dans un premier
temps est celui obtenu par D. Amadori et D. Serre dans [?] : ces auteurs considèrent un flux A du
type A(y, v) = f (v) − V (y), avec V périodique, en dimension 1. Sous une hypothèse de convexité
de f , ils montrent que u(t) converge quand t → ∞ vers une solution stationnaire de (8.3) ; sous
une hypothèse supplémentaire sur V , cet état stationnaire peut être déterminé de façon unique en
fonction de u0 .
Ce projet nécessite donc de connaître les états stationnaires de la loi (8.4) ; toutefois, on peut
diviser la preuve de [?] en deux étapes. La première s’appuie des arguments de systèmes dynamiques,
et ne fait pas appel à la forme des solutions stationnaires de (8.3). On peut donc imaginer que
l’on puisse généraliser les résultats de cette première partie en dimension supérieure en admettant
l’existence de solutions stationnaires. La seconde partie, en revanche, repose sur une étude précise
des solutions stationnaires, ainsi que sur la structure des chocs de (8.3)-(8.4) en dimension un. Pour
cette partie, il faudra donc vraisemblablement mettre en place d’autres arguments, ou commencer
par étudier les solutions stationnaires de (8.3).
18
9
Bibliographie générale
9.1 Publications
9.2 Références
19
10
Annexes
Je donne ici la liste des documents joints à ce dossier de candidature.
–
–
–
–
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Déclaration de candidature ANTARES/ANTEE datée et signée ;
Copie du rapport de soutenance de thèse ;
Copie des rapports de pré-soutenance, rédigés par Benoît Perthame et Denis Serre ;
Lettres de recommandation de recherche (Pierre-Louis Lions et Laure Saint-Raymond) ;
Lettres de recommandation d’enseignement (Judith Rousseau, Rabah Tahraoui et Gabriel
Turinici).
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