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Influence de l'hygrométrie du bois sur sa
fissuration et son taux de restitution
d’énergie: détermination du temps à
rupture
Ngoc Anh PHAN, Myriam CHAPLAIN, Stéphane MOREL
Université Bordeaux 1, I2M/GCE, 351 cours de la libération-33405 Talence
cedex France - [email protected]
RÉSUMÉ. Cette étude consiste à modéliser et à simuler, d'une part, par une méthode des
éléments finis et d'autre part, par le modèle Viscoelastic Crack Model (modèle VCM) pour
étudier l'évolution de la propagation de la fissure de différents types d'éprouvettes. Ces
éprouvettes sont soumises aux chargements mécaniques ainsi qu’aux variations des
conditions hygrométriques (teneur en eau) pour quantifier plus précisément l’effet des
conditions climatiques et de ses variations sur la rupture différée. Seules les variations de
l'humidité relative de l’air sont prises en compte, celles-ci étant plus préjudiciables que les
variations de températures. Ce travail se base sur le calcul des temps de rupture par la
détermination du taux de restitution d’énergie (G) à diverses teneurs en eau du bois qui est
considéré comme un matériau élastique orthotrope. Les propriétés de ruptures dans la critère
de propagation de fissure en mode I (courbe de résistance (courbe-R)), telles que l’énergie
de rupture au plateau (GRc) et la longueur de fissure critique (ac), sont estimées sur la base de
la Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture Equivalente (MLER eq).
ABSTRACT. The aim of this study is to model and to simulate, in one hand, using the finite
element method, and in the other hand, using the Viscoelastic Crack Model (VCM), in order
to study the evolution of the crack growth in different types of wood specimens. Specimens
will be subjected to mechanical solicitations as well as variations of moisture conditions to
describe more precisely the effect of climate conditions and its variations on the delayed
fracture. Only the variations of the relative humidity of the air are taken into account, this
latter being more harmful than temperature variations. This work is based on the calculation
of failure time by determining the elastic energy release rate (G) at various moisture contents
of the wood which is considered as orthotropic elastic material. Properties of fractures, such
as the fracture energy (Gr) and the critical crack length (ac) are estimated on the basis of the
Linear Elastic Fracture Mechanics Equivalent.
MOTS-CLÉS : Bois, Teneur en eau, Courbe-R, Propagation de fissure, Temps de rupture,
Rupture différée.
KEY WORDS:
fracture.
Wood, Moisture content, R-curve, Growth crack, Time of rupture, Delayed
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013
1.
2
Introduction
Le bois est un matériau dont les propriétés mécaniques (élastiques, visqueuses,
rupture...) sont liées aux conditions d'exposition (humidité relative de l'air,
température) et à leurs variations. La durabilité du bois est ainsi affectée par les
variations d’ambiance régissant le fluage ou la propagation de fissure. Les zones
entourant les singularités ou les défauts, nombreux dans les composants structuraux
bois (cernes, nœuds; sciage, séchage; angles vifs, perçages, trous d’assemblages…),
sont des lieux favorables pour la propagation de fissures (appelés les zones de la
concentration de contraintes) qui peuvent conduire à la rupture de la structure. La
cinétique de la propagation des fissures sera alors dépendante de l’état interne de
l’humidité du bois et de ses propriétés mécaniques: ces couplages restent encore mal
connus. Aujourd'hui, de plus en plus d’études sur les structures bois se concentrent
sur les effets possibles des variations climatiques ([FOS 82], [GUS 98], [CHA 06],
[CHA 10]...). L’étude de l’évaluation de la stabilité et/ou de la propagation de ces
fissures nécessite de déterminer l'influence d'humidité sur le champ des contraintes
et des déformations au voisinage du fond de fissure.
Dans cet article, d’une part, des essais de propagation de fissure en mode I ont
été réalisés sur des éprouvettes «mTDCB» (Modified Tapered Double Cantilever
Beam) d’abord sous des chargements monotones pour déterminer les paramètres du
critère de la propagation du fissure (GRc, ac) à diverses teneurs en eau moyenne H de
l’éprouvette; puis sous des chargements constants en étuve sous variations de
l’humidité relative de l’air (HR). Dans le second type d’essai, la température est
maintenue constante pour valider ces paramètres dans ce critère.
Les études dans le paragraphe ci-dessus nous amène à étudier ensuite la durée de
vie sur les grands échantillons (Poutres épaulement) par le modèle VCM. Les
résultats obtenus à partir de VCM sont comparés aux résultats issus d’essais de
rupture sous flexion avec un chargement constant sous différentes conditions
climatiques (Région Aquitaine). Ces essais ont été réalisés au département Génie
Civil et Environnemental (GCE) de l'Institut I2M, Bordeaux.
2.
La propagation en mode I (mTDCB): essais et interprétation
La campagne expérimentale réalisée sur des éprouvettes mTDCB en mode I sur
le pin Maritime avec la longueur de fissure initial a0 se divise en deux catégories : (i)
Essais monotones sur l’éprouvette (a) et (ii) Essais à charge constante dans une
étuve avec les conditions de température constante et à humidité relative variantes
sur l’éprouvette (b) (l’éprouvette jumelle a) (Figure 1a).
Grâce à la pente de l’éprouvette mTDCB (Figure 1b), la force nécessaire pour
déclencher la propagation de la fissure est quasi indépendante de la longueur de la
fissure a tant que cette dernière reste dans la zone 1. L'évolution du taux de
restitutions d'énergie sous une charge donnée est aussi quasi-constante dans cette
zone inclinée.
Influence de l'hygrométrie du bois sur sa fissuration et son taux de restitution d’énergie
3
Figure 1. (a) découpe éprouvettes
(b) Géométrie de l’éprouvette mTDCB (a0=40mm)
2.1.
Essais monotones et courbe-R
La vitesse des essais (déplacement imposée) est de 1 mm/min pour H=12% ou 8% et
2 mm/min pour H=30% (en supposant que le teneur en eau de saturation Hsat=30%)
afin d'obtenir une durée d'essai environ de 3 minutes permettant notamment de
minimiser les effets viscoélastiques. Le dispositif d’acquisition enregistre le
déplacement des points d’application de la charge à l'aide d'un capteur optique
(Figure 2). Les résultats d’essai (Courbe force - déplacement) sont traités pour
obtenir les courbe-R (ou courbes de résistance) estimées sur la base de la MLER
équivalente.
Figure 2. Le dispositif d'essai monotone
La Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER) ne peut pas directement
s’appliquer aux matériaux quasi-fragiles compte tenu des phénomènes non linéaires
dus à l’endommagement [BAZ 98]. Toutefois, une adaptation de la MLER, bien
connue sous le nom de MLER équivalente (MLEReq), peut être utilisée. Cette
approche s’appuie sur la notion de fissure élastique équivalente aeq correspondant à
la fissure qui, dans un modèle élastique pur (i.e., au sens de la MLER), produira la
même complaisance que le spécimen réel. Pour simplifier, dans la suite de cet
article, on notera a au lieu de aeq. Afin de vérifier l’applicabilité de la MLEReq, des
cycles de charge-décharge sont réalisés (Figure 3a). Suivant [MOR 05], la MLEReq
sera applicable si la complaisance initiale d’un cycle donné passe par le point de
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013
4
300
P (N)
décharge du cycle précédent à la teneur en eau H<30%). Si H est plus élevée
(H=30%, Figure 3a), des déplacements supplémentaires de type visqueux se
manifestent pour les durées d’essais importantes et rendent inapplicable la MLEReq
pour les valeurs importantes de déplacements.
(a)
H=12%
200
H=30%
100
 (mm)
0
0
4
8
12
16
Figure 3. Courbe force – déplacement (courbe P-)
(a) des cycles de charge-décharge
(b) la complaisance initiale expérimentale Cexp(a0)
Le taux de restitution d'énergie G, énergie stockée dans la structure, est
déterminé par la formule suivante [MOR 05]:
G (a ) 
P 2  C ( a ) 
.
2b  a 
[1]
C(a) est la complaisance du spécimen (C(a) = /P), P est la force appliquée au
spécimen et  est le déplacement de la force P pour une longueur de fissure
élastique équivalente a.
Pour calculer le taux de restitution d'énergie G(a) [1] dans chaque humidité
considérée, une fonction de complaisance numérique (Cnum(a)) est calculée par
éléments finis (Castem®) avec les propriétés élastiques mécaniques présentées sur le
tableau 1, issues de [GUI 94]. La complaisance initiale expérimentale Cexp(a0) (la
pente initiale dans la première partie linéaire lors la fissure n'a pas encore propagé)
de la courbe force–déplacement), est déterminée (Figure 3b). Cette valeur permettra
d’obtenir un coefficient de correction correspond également au rapport des modules
effectif E* numérique et expérimental:cor = E*/E*exp (=Cexp(a0)/Cnum(a0)) et ainsi
d’exprimer un polynôme de complaisance propre à l'échantillon testés à une teneur
en eau H considérée: C(a) = Cexp(a) = cor .Cnum(a) [MOR 05].
Une fois la longueur de fissure élastique équivalente a connue pour tout point de
la courbe force-déplacement, il est alors possible d’estimer la résistance à la
propagation de fissure, en fonction de a, à partir du taux de restitution d’énergie [2]
qui viens de la formule [1] avec le coefficient de correction cor . Dans le cas des
5
Influence de l'hygrométrie du bois sur sa fissuration et son taux de restitution d’énergie
essais monotones, G(a) correspond à l'évolution de la courbe-R : GR(a) = G(a)
suivant l’expression ci-dessous :
G R (a) 
P 2  C num (a )

 cor 
.
2b  a

[2]
Tableau 1. Propriétés élastiques mécaniques utilisées pour obtenir Cnum(a).
Teneur en eau
H = 8%
H = 12%
H = 30%
EL(MPa)
14040
13500
11070
ET (MPa)
1181
1054
485

GLT (MPa)
1181
1094
700
0,425
0,425
0,425
a  a  a 0
0.75
a c  a c  a 0
0.70
GRc (N/mm)
0.8
GR (N/mm)
Sur la Figure 4a, on constate que la résistance à la propagation de fissure GR(a)
devient indépendante de a lorsque cette longueur atteint une valeur critique ac
correspond à la longueur de fissure pour laquelle apparaît la résistance plateau GRc
[MOR 05]. L’évolution de GR(a) peut être exprimée par une loi puissance  (Figure
4a) dont les caractéristiques moyennes sont déterminées dans le tableau 2.
0.65
0.6
0.60
0.4
Humide (H=30%)
0.55
Ambiante (H=12%)
0.50
Seche (H=8%)
0.2
a cH 12 %
0.0
40
a
H 8%
c
60
a cH  30 %
80
0.45
a (mm)
100
H (%)
0.40
120
8%
12%
16%
(a)
20%
24%
28%
32%
(b)
Figure 4. Courbes-R (a) et les valeurs GRc (b) à 3 différentes teneurs en eau H
Tableau 2. Caractéristiques moyennes des courbes-R obtenues pour les 3
teneurs en eau (écart-type entre parenthèses).
Type
Nombre
GRc (N/mm)
ac (mm)

Humide (30%)
37
0.712 (0.186)
76.9 (10.6)
0.253 (0.158)
Ambiante (12%)
35
0.602 (0.171)
58.7 (8.4)
0.280 (0.159)
Sèche (8%)
22
0.494 (0.281)
51.2 (22.6)
0.211 (0.128)
Sur le Figure 4b, GRc est le plus élevé dans un environnement « humide », le plus
faible au milieu « sec ». Les parties croissante des courbes-R se superposent, ça
signifie qu’elles suivent la même parcours quelque soit la teneur en eau H, qui nous
nécessite de connaître seule GRc et ac [3]. Par conséquent, les courbes-R pour autres
teneurs en eau H (6%<H<Hsat) sont tracées dont GRc(H) est déterminée par
régression linéaire grâce aux GRc connues à H=8%, 12% et 30% (Figure 4b) [3].
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013
GRc ( H )

( a  a0 ) 
GR ( a  a0 , H ) 
( ac  a0 ) 

G ( a  a , H )  G ( H )
Rc
0
 R
2.2.
6
[3]
 si a  ac ( H ): Partie croissante
 si a  ac ( H )
Essai de propagation sous HR variables
Pour valider les paramètres dans le critère de propagation de fissure (GRc, ac,
obtenues à partir des essais monotones, dans le deuxième temps, des essais de
propagation de fissure en fonction de l’humidité sont réalisés sur l’éprouvette (b),
dans une enceinte climatisée où la température est maintenue constante à 20°C et
l’humidité relative est alternée chaque 3h entre 40 % et 90% (durée du changement
20 minutes). La charge appliquée est constante et égale à 85% de celle utilisée dans
les essais monotones. L'éprouvette est déposé sur une balance placée au sein de
l’enceinte pour mesurer l’évolution de la masse d’eau durant l’essai. L’évolution de
l’ouverture de la fissure est enregistrée tous les 5 minutes par un caméra (Figure 5)
et traitée par l’analyse d'images pour mesurer la longueur de la fissure. La difficulté
à distinguer le fond de fissure réelle entraine des perturbations sur la détermination
des évolutions de la fissure.
Figure 5. Le dispositif d’essai de propagation de fissure sous HR variables
Les résultats expérimentaux sont ensuite comparés avec ceux de la simulation
numérique basée sur la méthode des éléments finis dont les caractéristiques
élastiques de chaque élément varient en fonction de leurs positions z (Figure 1) sous
l’influence de l’humidité relative [CHA 11] comme suit :
1 

4
  f 2
H  z   H eq1   exp    i  z  H eqi  H eqi 1
    


i 2




[4]
Où Heqi est la teneur en eau moyenne d’équilibre sur la surface pendant une
période i (i = 1: 1 an, i = 2: 3 mois, i = 3: 30,5 jours, i = 4: 1 an) et fi est la fréquence
correspondant de la période i ;  est le coefficient de dispersion égal à 2.10-10 (m2/s).
7
Influence de l'hygrométrie du bois sur sa fissuration et son taux de restitution d’énergie
Les caractéristiques élastiques sont ensuite déterminées en fonction de H% en
utilisant les formules [5] proposées par Guitard [GUI 94] :
 EL  E12
L 1  0.015( H  12) 

12
 ET  ET 1  0.030( H  12) 
et GLT  G12
L 1  0.015( H  12)  (6%  H  H sat )
[5]
Où EL est le module Young dans la direction longitudinale (L), ET est le module
Young dans la direction tangentielle (T) et GLT est le module de cisaillement.
Lors du calcul EF, à chaque instant, le taux de restitution d’énergie G(a,H) en
mode I dans la zone singulière au fond de la fissure est calculé par la méthode
M_theta et cette zone est maillée avec diamètre de 1mm en 6 couches. On impose
virtuellement sur la fissure d'un incrément de a = 0,1 mm et l’on calcule l'énergie
G(a+a,H). En utilisant les valeurs de la courbe R, le critère de propagation est
défini comme suit [BAZ 98] :
G ( a   a , H )  GR ( a   a , H )  il n ' y a pas de propagation

G ( a   a , H )  GR ( a   a, H )  la fissure se propage de valeur  a
G ( a   a , H )  G ( a   a, H )  il y a de propagation instabe ou rupture totale
Rc

[6]
Les valeurs des longueurs de fissure obtenues par EF sont comparées avec celles
expérimentales comme l’indique la Figure 6. La différence d’humidité relative entre
la chambre de conditionnement des éprouvettes (HR 55%) et l’étuve explique
l’augmentation de la teneur en eau moyenne H durant les premiers cycles
d’humidité suivit par une phase plus stable.
40
15%
H (%)
a (mm)
Fissure_FEM (Castem)
Fissure apparente_experimentale
H moyenne
30
14%
20
13%
10
12%
Temps (jours)
11%
0
0
2
4
6
Figure 6. Comparaison l’évolution de la fissure modélisée et expérimentale.
L’évolution de la longueur de fissure expérimentale et celle numérique ont des
allures similaires bien que non confondues (Figure 6). Les différences peuvent être
dues : (i) aux valeurs des propriétés élastiques du bois dans la modélisation extraites
du pin Maritime [GUI 94] sont obtenues en utilisant une fonction de transfert
unidirectionnel simple qui ne prennent pas en compte l’effet du gradient d’humidité
(succession d’états d’équilibres) [4] ; (ii) aux propriétés de viscosité dans
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013
8
l’éprouvette ne sont pas non plus abordées ce qui amène une similarité partielle mais
plus faible de l’évolution de la longueur de fissure dans la modélisation EF par
rapport à celle expérimentale ; (iii) au critère de propagation de fissure qui s’appuie
sur les propriétés des courbes-R (mode I) à diverses humidités : on n’a que des
courbes-R pour 3 teneurs en eau (8%; 12% et 30%) et puis les courbes-R pour les
teneurs en eau intermédiaires sont obtenues par interpolation linéaire de GRc (cf.
2.2).
Pour tenir en compte la viscosité du comportement du matériau en fonction de H
et du temps et pour réduire le temps de computation de simulation, le modèle
Viscoelastic Crack Model (VCM) est proposé dans cette étude et sera détaillé dans
la partie suivante.
3.
Simulation de la durée de vie pour poutre épaulement: Modèle VCM
Le modèle analytique VCM, qui nous permet de modéliser la rupture différée par
fissuration, a été développé au GCE basé sur le modèle de Schapery qui a considéré
une zone endommagée au fond de fissure et fait l’hypothèse d’un milieu orthotrope
viscoélastique linéaire [SCH 75]. Ce modèle repose sur la superposition de la
modélisation de deux mécanismes: d’une phase d’incubation conduisant à la
création d’une macro-fissure qui est simplement traduite par un modèle
d’endommagement ; et d’une phase de propagation de fissure traduite par un modèle
de fissuration cohésive dans un milieu orthotrope viscoélastique.
Pour la phase d’incubation, l’état d’endommagement est caractérisé par une
variable D variant de zéro lorsque le matériau est vierge, à la valeur Dcr lorsqu’une
macro-fissure apparaît. Un calcul préalable sur ce spécimen avec une longueur
fissure 5mm par éléments finis a permis de déterminer la valeur de Dcr = 0.01; cette
valeur parait indépendante de H. Le modèle à cumul de dommage non linéaire
proposé par Barrett et Foschi a été retenu [FOS 82]:
B
 dD (t )
 F ( t )  F0 ( H ) 

 A
 C .D (t )

 dt
FS



 dD (t )
0

 dt
 si F ( t )  FS
[7]
 si F (t )  FS
A, B, C sont des paramètres du modèle, supposés indépendants de H ; F(t) est le
charge à l'instant t ; Fo(H) représente le seuil de force en fonction de H ; Fs est la
résistance statique de la structure à une teneur en eau de référence Href = 20%. Le
niveau de charge est défini par SL=F(t)/Fs [CHA 11].
Une fois que Dcr est atteint, la phase de propagation de fissure se commence. Sa
vitesse de la fissuration en utilisant les valeurs de courbe-R (GRc) est donnée par
l’équation [8] [CHA 06] :

C2 ( H )n ( H )
da  
 

dt 2  2GRc ( H )  G1 (a, H )
1/ n
K I2(11/ n) (a, H )
 m I1 ( H )2
et K I (a, H )  2.G1 (a, H ) / C0 ( H )
[8]
9
Influence de l'hygrométrie du bois sur sa fissuration et son taux de restitution d’énergie
Dans la formule [8], KI(a,H), GI(a,H) sont respectivement le facteur d’intensité
de contrainte et le taux de restitution d'énergie sur la structure en mode I ; mI1
traduit la distribution de contraintes cohésives au fond de fissure ; m est une
fonction de la viscosité du matériau; Co, C2 et m sont des coefficients traduisant les
propriétés viscoélastiques du matériau; H est la teneur en eau moyenne de
l’éprouvette sauf mI1 qui dépend de H au fond de fissure.
Cette étude vise à réduire le temps de calculs de la durée de vie par donner une
fonction de G en mode I qui dépend seule de a et H. Il nous permet de traiter
rapidement la vitesse de fissuration par calcul numérique une fois que GI (ou KI) et
GRc quelque soit la structure ainsi que les propriétés viscoélastiques du matériau
sont connus.
0.030
f (a)
G (a, H ) 
P2
. f (a, H )
b2
0.020
0.010
H=8%
H=16%
H=24%
H=10%
H=18%
H=26%
H=12%
H=20%
H=28%
0.000
50
100
150
200
250
H=14%
H=22%
H=30%
a (mm)
300
Figure 7. Evolution du coefficient du taux de restitution f(a,H)
1.0
SL calcul
1.1
0.9
HR cte=60%
0.8
HR cte=80%
Essais printemps
0.7
0.6
Essais été
Essais automne
Essais hivers
VCM (H=10%) (HR=60%)
VCM (H=17%) (HR=80%)
0.5
0.001
0.1
10
t_rupture (heures)
1000
100000
Figure 8. Temps de rupture expérimentaux et simulation de VCM
Autre type d’éprouvette, poutres à épaulement, est également étudiée comme
l’indique la figure 7, où un calcul par éléments finis permet d’obtenir les fonction de
GI(a,H) ou f(a,H). Le modèle VCM est appliqué afin de prédire la durée de vie de
ses poutres en utilisant les valeurs GRc, ac dans les essais monotones (mTDCB) pour
31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013
10
comparer avec les résultats expérimentaux d’essais réalisés au laboratoire pendant
quatre saisons de la région Aquitaine et ceux obtenu dans une chambre de
conditionnement (à HR = 60% et à HR = 80%) sous flexion avec un chargement
constante avec le niveau de charge (SL = 0.55→1.10).
Sur la Figure 8, les simulations à HR égale à 60% et 80% sont proches des
résultats expérimentaux. Pour un même SL, le temps de rupture dans un
environnement humidité est plus faible que celui obtenu dans un environnement plus
sec.
4.
Conclusions
Les courbes-R du bois sont influencées par la teneur en eau, facteur important
dans le calcul de la durée de service d’une construction en bois. La valeur des taux
de restitution énergie critique GRc décroit lorsque la teneur en eau diminue. Les
évolutions de fissures obtenues par la modélisation éléments finis et celles observées
expérimentalement ont des allures similaires bien que non confondues de part les
hypothèses simplificatrices que nous avons considérées. Des modélisations
complémentaires (fonction de transfère, viscosité…) restent à étudier. Les temps de
rupture prédits pour des poutres à épaulement par le modèle VCM sont proches des
résultats obtenus dans le laboratoire ces dernières années.
5.
Bibliographie
[BAZ 98] BAZANT Z.P., PLANAS J., "Fracture and size effect in concrete and other quasibrittle materials". CRC Press, USA, 1998.
[CHA 06] CHAPLAIN M., GERARD V., "Fracture mechanics models applied to delayed
failure of LVL beams", Holz als Roh - und Werkstoff, vol. 65, 2007, pp. 7-16.
[CHA 10] CHAPLAIN M., GERARD V., "Effects of relative humidity conditions on crack
propagation in timber : experiments and modelling", WCTE, Portland, USA, 2010, 8p.
[CHA 11] CHAPLAIN M., BREYSSE D., MARACHE A., "Modelling time to failure of
notched beams under random humidity variations of Atlantic environment", Eur. J. of
Environmental and Civil Engineering, 1045-1058.
[FOS 82] FOSCHI R.O., BARRETT J.D, "Load duration effects in Western Hemlock
lumber", ASCE Journal 108 (ST7), pages 494-510, 1982.
[GUI 94] GUITARD D., "Le bois, matériau d’ingénierie, chapitre III: Comportement
mécanique du bois".
[GUS 98] GUSTAFSSON P.J., HOFFMEYER P., VALENTIN.G. (1998), "DOL behavior of
end-notched beams", Holz als Roh - und Werkstoff, vol. 56, 1998, pp.307-317.
[MOR 05] MOREL S., DOURADO N., VALENTIN G., MORAIS J. (2005), Wood : a quasibrittle material R-curve behavior and peak load evaluation, Int J Fract 131 :385-400,
Springer.
[SCH 75] SCHAPERY RA (1975b) A theory of crack initiation and growth in viscoelastic
media: II. Approximate methods of analysis. Int J Fract 11:369–388