Algebra Geometry - Stewart Calculus

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Algebra Geometry - Stewart Calculus
REFERENCE PAGES
Algebra
Geometry
Arithmetic Operations
Geometric Formulas
a
c
ad bc
b
d
bd
a
d
ad
a
b
c
b
c
bc
d
ab c ab ac
ac
a
c
b
b
b
Formulas for area A, circumference C, and volume V:
Triangle
A 12 bh
12 ab sin a
Exponents and Radicals
Circle
A r 2
C 2 r
Sector of Circle
A 12 r 2
s r in radians
r
h
¨
xm
x mn
xn
1
xn n
x
x m x n x mn
x mn x m n
x
y
xyn x n y n
n
n
n
n
xy s
xs
y
s
n
s
¨
b
r
Sphere
V 43 r 3
xn
yn
Cylinder
V r 2h
Cone
V 13 r 2h
A 4 r 2
n
n
x mn s
x m (s
x )m
n
x 1n s
x
r
A rsr 2 h 2
r
n
x
x
s
n
y
sy
r
Factoring Special Polynomials
r
x y x yx y
2
2
x 3 y 3 x yx 2 xy y 2
x 3 y 3 x yx 2 xy y 2
Distance and Midpoint Formulas
Binomial Theorem
Distance between P1x1, y1 and P2x 2, y2:
x y2 x 2 2xy y 2
x y2 x 2 2xy y 2
d sx 2 x12 y2 y12
x y3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
x y3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
x yn x n nx n1y nn 1 n2 2
x y
2
Midpoint of P1 P2 :
n nk k
x y nxy n1 y n
k
x1 x 2 y1 y2
,
2
2
Lines
n
nn 1 n k 1
where
k
1 2 3 k
Slope of line through P1x1, y1 and P2x 2, y2:
m
Quadratic Formula
If ax 2 bx c 0, then x b sb 2 4ac
.
2a
y2 y1
x 2 x1
Point-slope equation of line through P1x1, y1 with slope m:
y y1 mx x1
Inequalities and Absolute Value
If a b and b c, then a c.
Slope-intercept equation of line with slope m and y-intercept b:
If a b, then a c b c.
y mx b
If a b and c 0, then ca cb.
If a b and c 0, then ca cb.
If a 0, then
x a
x a
x a
means
xa
or
Circles
x a
Equation of the circle with center h, k and radius r:
means a x a
means
h
h
xa
or
x h2 y k2 r 2
x a
❙❙❙❙
1
❙❙❙❙
REFERENCE PAGES
Trigonometry
Angle Measurement
Fundamental Identities
radians 180
1 rad
180
1 rad s
r
180
r
in radians
Right Angle Trigonometry
cos tan hyp
csc opp
adj
hyp
sec opp
adj
cot 1
sin sec 1
cos tan sin cos cot cos sin cot 1
tan sin 2 cos 2 1
¨
s r
opp
sin hyp
csc hyp
hyp
adj
opp
¨
adj
adj
opp
1 tan 2 sec 2
1 cot 2 csc 2
sin sin cos cos tan tan sin
cos 2
tan
cot 2
cos
sin 2
Trigonometric Functions
y
sin r
r
csc y
cos x
r
sec r
x
tan y
x
cot x
y
r
sin A
sin B
sin C
a
b
c
(x, y)
C
¨
The Law of Cosines
x
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
y
A
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
y=tan x
y=cos x
1
1
π
b
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
y
y=sin x
a
c
Graphs of Trigonometric Functions
y
B
The Law of Sines
y
2π
Addition and Subtraction Formulas
2π
x
_1
π
2π x
sinx y sin x cos y cos x sin y
x
π
_1
sinx y sin x cos y cos x sin y
y
cosx y cos x cos y sin x sin y
cosx y cos x cos y sin x sin y
y
y=csc x
1
y=sec x
y
y=cot x
1
π
2π x
_1
π
2π x
2π x
π
tanx y tan x tan y
1 tan x tan y
tanx y tan x tan y
1 tan x tan y
_1
Double-Angle Formulas
sin 2x 2 sin x cos x
Trigonometric Functions of Important Angles
cos 2x cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1 1 2 sin 2x
radians
sin cos tan 0
30
45
60
90
0
6
4
3
2
0
12
s22
s32
1
1
s32
s22
12
0
0
s33
1
s3
—
tan 2x 2 tan x
1 tan2x
Half-Angle Formulas
sin 2x ❙❙❙❙
2
❙❙❙❙
1 cos 2x
2
cos 2x 1 cos 2x
2
REFERENCE PAGES
Differentiation Rules
General Formulas
1.
d
c 0
dx
2.
d
cf x c f x
dx
3.
d
f x tx f x tx
dx
4.
d
f x tx f x tx
dx
5.
d
f xtx f xtx txf x (Product Rule)
dx
6.
d
dx
7.
d
f tx f txtx (Chain Rule)
dx
8.
d
x n nx n1 (Power Rule)
dx
f x
tx
txf x f xtx
tx 2
(Quotient Rule)
Exponential and Logarithmic Functions
9.
d
e x e x
dx
10.
d
a x a x ln a
dx
11.
d
1
ln x dx
x
12.
d
1
log a x dx
x ln a
Trigonometric Functions
13.
d
sin x cos x
dx
14.
d
cos x sin x
dx
15.
d
tan x sec 2x
dx
16.
d
csc x csc x cot x
dx
17.
d
sec x sec x tan x
dx
18.
d
cot x csc 2x
dx
Inverse Trigonometric Functions
19.
d
1
sin1x dx
s1 x 2
20.
d
1
cos1x dx
s1 x 2
21.
d
1
tan1x dx
1 x2
22.
d
1
csc1x dx
x sx 2 1
23.
d
1
sec1x dx
x sx 2 1
24.
d
1
cot1x dx
1 x2
Hyperbolic Functions
25.
d
sinh x cosh x
dx
26.
d
cosh x sinh x
dx
27.
d
tanh x sech 2x
dx
28.
d
csch x csch x coth x
dx
29.
d
sech x sech x tanh x
dx
30.
d
coth x csch 2x
dx
Inverse Hyperbolic Functions
31.
d
1
sinh1x dx
s1 x 2
32.
d
1
cosh1x dx
sx 2 1
33.
d
1
tanh1x dx
1 x2
34.
d
1
csch1x dx
x sx 2 1
35.
1
d
sech1x dx
x s1 x 2
36.
d
1
coth1x dx
1 x2
❙❙❙❙
3
❙❙❙❙
REFERENCE PAGES
Table of Integrals
Basic Forms
1.
y u dv uv y v du
2.
yu
3.
y
4.
ye
u
du e u C
5.
ya
u
du 6.
n
du y csc u cot u du csc u C
12. y tan u du ln sec u C
13. y cot u du ln sin u C
14. y sec u du ln sec u tan u C
15. y csc u du ln csc u cot u C
11.
u n1
C, n 1
n1
du
ln u C
u
au
C
ln a
y sa
17.
ya
18.
y u su
y sin u du cos u C
2
7.
y cos u du sin u C
8.
y sec u du tan u C
9.
y csc u du cot u C
19.
ya
2
y sec u tan u du sec u C
20.
yu
2
10.
2
2
Forms Involving sa 2 u 2 , a 0
u
a2
ln(u sa 2 u 2 ) C
sa 2 u 2 2
2
y
sa 2 u 2 du 22.
y
u 2 sa 2 u 2 du 23.
y
a sa 2 u 2
sa 2 u 2
du sa 2 u 2 a ln
u
u
24.
y
sa 2 u 2
sa 2 u 2
du ln(u sa 2 u 2 ) C
2
u
u
25.
y sa
21.
u 2
a4
a 2u 2 sa 2 u 2 ln(u sa 2 u 2 ) C
8
8
du
u2
2
u 2 du
26.
y sa
27.
y u sa
28.
y u sa
29.
y a
u2
2
u2
du
2
2
2
C
ln(u sa 2 u 2 ) C
du
2
u2
u
a2
ln(u sa 2 u 2 ) C
sa 2 u 2 2
2
1
sa 2 u 2 a
ln
a
u
C
sa 2 u 2
C
a 2u
du
u
2
C
u 2 32
a sa 2 u 2
❙❙❙❙
4
du
16.
❙❙❙❙
2
u
2
sin1
u
C
a
du
1
u
tan1 C
u2
a
a
du
2
a2
1
u
sec1 C
a
a
du
1
ua
ln
u2
2a
ua
du
1
ua
ln
a2
2a
ua
C
C
REFERENCE PAGES
Table of Integrals
Forms Involving sa 2 u 2, a 0
u 2 du u
a2
u
sin1 C
sa 2 u 2 2
2
a
30.
y sa
31.
y u sa
32.
y
a sa 2 u 2
sa 2 u 2
du sa 2 u 2 a ln
u
u
33.
y
1
u
sa 2 u 2
du sa 2 u 2 sin1 C
u2
u
a
2
2
u
a4
u
2u 2 a 2 sa 2 u 2 sin1 C
8
8
a
u 2 du 2
u 2 du
34.
y sa
35.
y u sa
36.
y u sa
37.
y a
38.
y a
u2
2
du
du
2
2
1
a sa 2 u 2
ln
a
u
u2
C
1
sa 2 u 2 C
a 2u
u 2 32 du 2
C
u
a2
u
sin1 C
sa 2 u 2 2
2
a
u2
2
u
u
3a 4
2u 2 5a 2 sa 2 u 2 sin1 C
8
8
a
du
u
2
C
u 2 32
a sa 2 u 2
2
Forms Involving su 2 a 2, a 0
39.
y su
2
a 2 du u
a2
ln u su 2 a 2 C
su 2 a 2 2
2
u
a4
2u 2 a 2 su 2 a 2 ln u su 2 a 2 C
8
8
40.
y
u 2su 2 a 2 du 41.
y
a
su 2 a 2
du su 2 a 2 a cos1
C
u
u
42.
y
su a
su a
du ln u su 2 a 2 C
u2
u
43.
y su
44.
y su
2
2
du
2
a2
u 2 du
2
a2
2
du
2
2
2
2
ln u su 2 a 2 C
y u su a
du
46. y
u a 45.
2
2 32
u
a2
ln u su 2 a 2 C
su 2 a 2 2
2
su 2 a 2
C
a 2u
u
C
2
2 a2
su
a
❙❙❙❙
5
❙❙❙❙
REFERENCE PAGES
Table of Integrals
Forms Involving a bu
1
u du
(a bu a ln a bu ) C
47.
y a bu b
48.
u du
1
y a bu 2b [a bu
49.
y ua bu a ln
50.
y u a bu au a
51.
y a bu
52.
y ua bu
53.
y a bu
54.
y u sa bu du 15b
55.
y sa bu 3b
56.
y sa bu 15b
57.
y u sa bu sa ln
2
2
2
3
du
1
du
1
b
du
2
u 2 du
2
2
C
ln
3
C
3bu 2aa bu32 C
2
2
sa bu sa
C, if a 0
sa bu sa
tan1
sa
a bu
C,
a
58.
y
sa bu
du 2 sa bu a
u
59.
y
b
sa bu
sa bu
du u2
u
2
60.
y u sa bu du b2n 3
61.
y sa bu 62.
y u sa bu an 1u
if a 0
du
y u sa bu
2
du
8a 2 3b 2u 2 4abu sa bu C
1
C
bu 2a sa bu C
2
2
du
a2
2a ln a bu
a bu
a bu 2
u 2 du
1
b3
u du
n
C
1
1
a bu
2 ln
aa bu
a
u
2
u n du
a bu
u
n
] C
1
a
2 ln a bu C
b 2a bu
b
2
u
a bu
2
u du
4aa bu 2a 2 ln a bu
du
y u sa bu
u na bu32 na
2u nsa bu
2na
b2n 1
b2n 1
sa bu
n1
yu
n1
sa bu du
u n1 du
y sa bu
b2n 3
2an 1
yu
du
sa bu
n1
❙❙❙❙
6
❙❙❙❙
REFERENCE PAGES
Table of Integrals
Trigonometric Forms
63.
y sin u du 1
2
64.
y cos u du 1
2
65.
y tan u du tan u u C
2
2
u 4 sin 2u C
1
76.
y cot u du n 1 cot
77.
y sec u du n 1 tan u sec
78.
y csc u du n 1 cot u csc
2
79.
y sin au sin bu du 1
u 14 sin 2u C
n
u
n1
y cot
n2
n1
y sec
n2
u
n2
n1
y csc
n2
n2
1
n2
u du
2
n
66.
y cot u du cot u u C
67.
y sin u du 2 sin u cos u C
68.
y cos u du 1
3
2 cos 2u sin u C
80.
y cos au cos bu du 69.
y tan u du 1
2
tan 2u ln cos u C
81.
y sin au cos bu du 70.
y cot u du 82.
y u sin u du sin u u cos u C
71.
y sec u du 83.
y u cos u du cos u u sin u C
72.
y csc u du 84.
yu
n
sin u du u n cos u n
85.
yu
n
cos u du u n sin u n
86.
y sin u cos u du 73.
u du
u
1
n
n2
2
1
3
3
3
3
3
3
1
2
cot 2u ln sin u C
1
2
1
2
sina bu
sina bu
C
2a b
2a b
cosa bu
cosa bu
C
2a b
2a b
csc u cot u ln csc u cot u C
1
2
1
n1
sin nu du sin n1u cos u n
n
1
74.
y cos u du n cos
75.
y tan u du n 1 tan
n
sina bu
sina bu
C
2a b
2a b
sec u tan u ln sec u tan u C
3
y
1
2
u du
1
n
u sin u n1
u
n1
n1
n
y tan
y sin
y cos
yu
n1
cos u du
n2
u du
n2
u du
n
m
n2
u du
yu
n1
sin u du
sin n1u cos m1u
n1
nm
nm
sin n1u cos m1u
m1
nm
nm
y sin
n2
u cosmu du
y sin u cos
n
m2
u du
Inverse Trigonometric Forms
1
u du u sin1u s1 u 2 C
87.
y sin
88.
y cos
89.
1
92.
y u tan
93.
yu
n
94.
yu
n
95.
yu
n
u du u2 1
u
tan1u C
2
2
sin1u du 1
n1
cos1u du 1
n1
u n1 cos1u y s1 u
tan1u du 1
n1
u n1 tan1u y 1u
1
u du u cos1u s1 u 2 C
1
y tan
1
u du u tan u ln1 u C
1
2
2
2u 2 1
u s1 u 2
sin1u C
u sin u du 4
4
1
90.
y
91.
y u cos
1
u du 2u 2 1
u s1 u 2
cos1u C
4
4
❙❙❙❙
7
❙❙❙❙
u n1 sin1u u n1 du
y s1 u
2
, n 1
u n1 du
u n1 du
2
, n 1
2
, n 1
REFERENCE PAGES
Table of Integrals
Exponential and Logarithmic Forms
96.
y ue
97.
yu e
98.
ye
au
99.
ye
au
au
du n au
1
au 1e au C
a2
1 n au
n
u e a
a
du yu
n1 au
e du
sin bu du e au
a sin bu b cos bu C
a b2
cos bu du e au
a cos bu b sin bu C
a b2
2
100.
y ln u du u ln u u C
101.
yu
102.
y u ln u du ln ln u C
n
ln u du u n1
n 1 ln u 1 C
n 12
1
2
Hyperbolic Forms
y csch u du ln tanh u C
109. y sech u du tanh u C
110. y csch u du coth u C
111. y sech u tanh u du sech u C
112. y csch u coth u du csch u C
y sinh u du cosh u C
104. y cosh u du sinh u C
105. y tanh u du ln cosh u C
106. y coth u du ln sinh u C
107. y sech u du tan sinh u C
103.
2
2
1
Forms Involving s2au u 2 , a 0
du ua
a2
au
cos1
s2au u 2 2
2
a
113.
y s2au u
114.
y u s2au u
115.
y
au
s2au u 2
du s2au u 2 a cos1
u
a
116.
y
2 s2au u 2
au
s2au u 2
du cos1
u2
u
a
117.
y s2au u
118.
y s2au u
119.
y s2au u
120.
y u s2au u
2
2
du
2
u du
2
u 2 du
2
du au
a
du
2
C
C
C
s2au u 2 a cos1
C
2u 2 au 3a 2
a3
au
cos1
s2au u 2 6
2
a
cos1
au
a
C
u 3a
3a 2
au
cos1
s2au u 2 2
2
a
1
2
108.
C
s2au u 2
C
au
❙❙❙❙
8
❙❙❙❙
C

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