Kit de survie à l`usage de l`agrégatif

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Kit de survie à l’usage de l’agrégatif.
Deuxième édition
Par les agrégatifs de l’université de Nantes 2012-2013 et 2013-2014
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Sommaire
1 Guide du routard de la BU.
1.1 Les touche-à-tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 En algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 En analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Développements durables.
2.1 Algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré. . . . . . . . . . . .
2.1.2 Algorithme des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Automorphismes du groupe symétrique Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées
2.1.5 Classification des groupes abéliens finis par les caractères . . . . . . . . . . .
2.1.6 Classification des groupe d’ordre 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Classification des groupes d’ordre 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Classification euclidienne des coniques propres. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Comptage des racines par les formes quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Critère de simplicité par les caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.11 Décomposition de Dunford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.12 Décomposition polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.13 Dénombrement des polynômes irréductibles sur Fq . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.14 Densité des matrices diagonalisables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.15 Déterminant d’une matrice de Gram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.16 Déterminant de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.17 Diagonalisation des endomorphismes normaux d’un C-espace vectoriel. . . . .
2.1.18 Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLn pRq. . . .
2.1.19 Dual de Mn pKq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.20 Ellipse de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.21 Ellipsoïde de John-Loewner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.22 Études d’anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.23 Exponentielle et diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.24 Exponentielle & matrices symétriques ou hermitiennes. . . . . . . . . . . . .
2.1.25 Générateurs de SLn pKq et GLn pKq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.26 Générateurs du groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.27 Groupes d’ordre pq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.28 Groupes de frises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.29 Invariants de similitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.30 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q. . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.31 Isométries du cube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.32 K-automorphismes de K(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.33 Lemme de Morse à plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.34 Matrices des isométries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.35 Méthode du gradient à pas optimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.36 Nombres algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.37 Nombre de matrices sur Fq de polynôme caractéristique donné. . . . . . . . .
2.1.38 Nombres de Bell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2
2.1.39 Nombres de Catalan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.40 Nombre de partitions d’un entier en parts fixées. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.41 Points extrémaux de la boule unité de LpEq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.42 Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.43 Réduction des endomorphismes autoadjoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.44 Réduction des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel euclidien. . . . .
2.1.45 Résultant de deux polynômes et applications aux matrices diagonalisables. . .
2.1.46 Similitude et extension de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.47 Simplicité de An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.48 Simplicité de SO3 pRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.49 Sous-groupes compacts de GLn pRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.50 Suite de polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.51 Surjectivité de l’exponentielle dans GLn pCq et applications. . . . . . . . . . . .
2.1.52 Table de caractères de S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.53 Table de caractères de A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.54 Théorème de Brauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.55 Théorème de Burnside. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.56 Théorème de Cayley-Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.57 Théorème de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.58 Théorème de Frobenius Zolotarev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.59 Théorème de Hahn Banach géométrique en dimension finie. . . . . . . . . . . .
2.1.60 Théorème de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.61 Théorème de Molien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.62 Théorème de Morley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.63 Théorème des deux carrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.64 Théorème des extremums liés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.65 Théorème de Sophie Germain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.66 Théorème de Wedderburn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.67 Théorème faible de la progression arithmétique de Dirichlet. . . . . . . . . . . .
Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Billard elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Caractérisation de la fonction Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées. .
2.2.4 Convergence commutative et convergence absolue. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Convergence commutative et théorème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Convergence uniforme des fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Critère de Weyl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Densité des fonctions continues sur r0, 1s nul part dérivables dans l’ensemble des
fonctions continues sur r0, 1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Deux méthodes de calcul de la gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.10 Dimension d’un sous-espace vectoriel fermé de l’espace vectoriel des fonctions
continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.11 Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLn pRq. . . . .
2.2.12 Échantillonnage de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.13 Ellipsoïde de John-Loewner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.14 Équation de Hill Mathieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.15 Espace de Bergman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.61
2.2.62
Études d’équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs. . . . . .
Exemple d’un (autre) ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs.
Fonction de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule des compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule d’Euler Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule d’inversion de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz. .
Inégalité de Carleman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inégalité de Hoeffding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inégalité de Le Cam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inégalité isopérimétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de Morse à plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi des extrêmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Marche aléatoire sur Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode du gradient à pas optimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres de Bell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres de Catalan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre de partitions d’un entier en parts fixées. . . . . . . . . . . . . .
Nombres Normaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Points de continuité d’une limite simple de fonctions continues . . . . .
Primitives de distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processus de Galton-Watson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projection sur un convexe fermé et théorème de représentation de Riesz.
Prolongement méromorphe de la fonction Γ. . . . . . . . . . . . . . . . .
Prolongement méromorphe de la fonction ζ. . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplicité de SO(3) par la connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-groupes compacts de GLn pRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème central limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorèmes d’Abel angulaire et taubérien faible. . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Banach-Steinhaus et séries de Fourier. . . . . . . . . . . .
Théorème de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de convergence de Fejèr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de D’Alembert Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de l’application ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Liapounov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Riesz Fischer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Sharkovsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de sélection de Helly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème des extremums liés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème des quatre sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Stampacchia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.63
2.2.64
2.2.65
2.2.66
2.2.67
Théorème de Stone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Tietze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Weierstrass par convolution. . . . . . . . . .
Théorème de Weierstrass par les polynômes
` ˘ de Bernstein.
Une équation fonctionnelle : f 1 ptq “ f 1t . . . . . . . . . .
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3 Trucs et astuces.
3.1 Ellipse de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Études d’anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs. . . . . . . .
3.4 Inégalité de Le Cam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz sauce
3.6 Suite de polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Théorème de d’Alembert Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Théorème des deux carrés et l’isomorphisme de M. Gervais. . . . . . . . . .
3.9 Théorème de Frobenius Zolotarev et les astuces de M. Gervais. . . . . . . .
3.10 Théorème de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nicoleau.
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69
4 Travaux pratiques.
4.1 Temps de préparation. . . . . . . . . . .
4.2 Les malles. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Feuilles d’écriture. . . . . . . . . . . . .
4.4 Aménagements pour les non-marchants.
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Introduction.
Ce document se veut être un compagnon de route pour les candidats aux concours de l’agrégation externe de mathématiques. Là où les épreuves écrites vous demanderont de raisonner à l’aide
des théorèmes classiques vu depuis la licence – et donc où la préparation consistera principalement
à faire des annales afin de vous imprégner du style des sujets – les épreuves orales demandent une
toute autre approche. C’est pour la préparation à ces épreuves orales que ce document à été écrit.
Remarquons tout de même que la préparation aux épreuves orales contribue aussi à la préparation des
écrits. Nous mettrons de côté l’épreuve de modélisation (qui n’est cependant pas à négliger. On me
susurre d’ailleurs subtilement à l’oreillette de vous rappeler que durant l’épreuve de modélisation on
ne vous demande pas de faire de développement. Ou plutôt - pour ceux mal à l’aise avec les figures
de styles et l’implicite - vous ne devez pas faire de développement durant cette épreuve sous risque de
perdre du temps et des points. Aussi pour ne pas perdre de temps le jour J, un petit entrainement
régulier à Scilab est fort utile 1 ). Nous nous concentrerons sur les leçons d’ algèbre & géométrie et
d’analyse & probabilités. Ainsi vous trouverez dans ce document un certain nombres de choses visant
à vous faciliter, au moins partiellement, la tâche. Tout d’abord une liste de livres qui vous serviront de
base pour vous constituer ensuite votre propre bibliothèque de préparation à l’agrégation. Ensuite une
liste de propositions de développements travaillés durant notre préparation. Enfin une section annexe
visant à apporter des précisions, si besoin est, sur certains développements.
Les épreuves orales s’apparentent à des cérémonies (qu’il vous est tenu de ne pas transformer en
sacrifice humain). Elles sont assez codifiées et respectent le timing suivant :
‚ 2 minutes de mise en place, on entre, on signe les papiers, on nous rappelle le déroulement de
l’épreuve.
‚ 8 minutes de présentation de votre plan. Veillez à ne pas juste relire votre plan de façon trop
linéaire. Justifiez votre plan et son articulation.
‚ 15 minutes de développement. Derniers instants où vous êtes encore maître de ce que vous
racontez. Veillez à ne pas les gâcher.
‚ 25 minutes de questions. Le jury va pouvoir vous cuisiner sur tout ce que vous avez raconté
avant et peut être plus. Soyez réactif et plein d’initiatives.
Avant de lancer les hostilités, nous souhaiterions remercier M. Gilles Carron qui a orchestré la prépa
agreg 2012/2013 de Nantes d’une main de maître. Merci aussi aux préparateurs qui ont réussi à être
présents tout au long de l’année et qui n’ont pas été avares en conseils. Merci aux agrégés nantais de
2012, en particulier à l’un d’entre eux pour son décompte des jours nous séparant des oraux. Merci à
d’autres agrégé-e-s que nous ne connaissons que par les documents de leur préparation qu’ils ont eu
la gentillesse de mettre à disposition sur internet. Merci aussi à mes parents de m’avoir soute... ouais
nan, je m’égare là. 2 3 4 5 6 7
Nous aussi, petit groupe de préparatifs de l’année 2013/2014, aimerions faire des remerciements :
à peu près les mêmes en fait, alors on ne va pas trop s’éterniser là dessus.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
c’est comme pour les abdos en prévision des vacances à la plage !
Moi aussi j’aimerai remercier mes parents.
Coucou papa et maman !
On est à la télé là ?
Merci maman, merci papa.
Les jolies colonies de vacances (à la BU) !
Hum, c’est bon on peut passer à autre chose ?
6
Nous espérons que ce document remplira au maximum sa tâche : vous simplifier la vie.
Bon courage et have fun.
N’oubliez pas de manger et de dormir.
– Le savant doit ordonner ; on fait la Science avec des faits comme une maison avec des pierres ;
mais une accumulation de faits n’est pas plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison. –
Henri Poincaré
7
1
Guide du routard de la BU.
S’il est un compagnon indispensable à l’agrégatif, outre le café 8 , c’est la bibliothèque universitaire.
Vous y trouverez pléthore de littérature. La première fois il y a néanmoins de forte chance que vous
vous sentiez bien seul face à l’immensité des rayons de la salle 4 9 . Voici une liste, volontairement non
exhaustive, de livres qu’il faut avoir ouvert au moins une fois dans l’année. Il est évident qu’il faudra
compléter ou amputer cette liste avec vos goûts, vos sensibilités et vos besoins. Certains livres non
proposés ici n’en sont pas moins des classiques et/ou des livres utiles, mais il est à peu près certains
que vous les découvrirez au fil de votre préparation.
1.1
Les touche-à-tout
— Oraux X ENS de S.Francinou, H.Gianella et S.Nicolas chez Cassini. Les 3 tomes d’algèbre
et 4 d’analyse regroupent des exercices portant sur une vaste partie des mathématiques de
l’agrégation.
— Objectif agrégation de V.Beck, J. Malick, G.Peyré. chez H&K. Ce livre, éventuellement un peu
dur pour une première lecture, se révèle très utile 10 pour trouver des applications originales sur
une grande partie des leçons.
— Les contre-exemples en mathématiques de B.Hauchecorne chez Ellipses. Livre incontournable
en matière de contre-exemples 11 .
— Cours de mathématiques pures et appliquées de J-P.Ramis, A.Warusfel et F.Moulin chez De
Boeck. Appelé entre nous le TGB 12 , il aborde énormément de sujets. Loin d’être exhaustif, son
style pourra plaire à certains.
— Éléments d’analyse et d’algèbre de P.Colmez chez les éditions de l’école polytechnique. De bonnes
choses à piocher dedans. La partie sur les représentations de groupes est très agréable à lire.
1.2
En algèbre
— Cours d’algèbre de D.Perrin chez Ellipses. Appelé dans l’intimité "Le Perrin" 13 , il aborde un
grand nombre de notions algébriques telles que les groupes, les anneaux, les corps, le groupe
linéaire et ses sous-groupes classiques.
— Les maths en tête : Algèbre de X.Gourdon chez Ellipses. Livre de maths spé (deuxième année)
qui aborde toutes les notions classiques à maitriser et parfois un peu plus.
— Groupes en situations géométrique de M.Alessandri chez Dunod. Beaucoup de choses intéressantes à piocher dans ce livre.
— Théorie de Galois de J-P.Escofier chez Dunod. Traite de manière agréable la théorie des corps
et de leurs extensions.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
j’oubliais : merci à Bertrand de la cafet’. Partenaire officiel des agrégatifs de Nantes.
ce qui est désormais bien plus pratique d’avoir tous nos bouquins au même endroit
Le titre étant là pour le rappeler.
Le titre est, une nouvelle fois, relativement explicite là-dessus.
Très Gros Blanc, et c’est peut être un euphémisme.
Mais sans Vito Corleone et la tête de cheval...
8
— L3 Algèbre de A.Szpirglas chez Pearson. Surnommé le gros bleu algèbre, la quantité des thèmes
abordés incite à y jeter un œil régulièrement (malgré quelques fautes).
— Géométrie de M.Audin chez EDP Sciences. Grand classique de la géométrie.
— Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques de R.Mneimné et F.Testard chez Hermann. Traite d’algèbre linéaire et de topologie. C’est aussi un des rares livres à parler spécifiquement d’exponentielle de matrice. On se restreindra sans doute aux, déjà très riches, trois
premiers chapitres.
— Algèbre linéaire de J.Grifone chez Cépaduès. Livre très utile et agréable sur l’algèbre linéaire et
bilinéaire.
1.3
En analyse
— Les maths en tête : Analyse de X.Gourdon chez Ellipses. Livre de maths spé (deuxième année)
qui aborde toutes les notions classiques à maitriser et parfois un peu plus.
— L3 Analyse de J-P.Marco chez Pearson. Surnommé le gros bleu analyse 14 la quantité des thèmes
abordés incite à y jeter un œil régulièrement (malgré quelque fautes).
— Mathématiques : topologie et analyse de G.Auliac et J-Y.Caby chez EdiScience. Aborde toute
la théorie de l’analyse et de la topologie vue en licence.
— Topologie de H.Queffélec chez Dunod. Livre référence sur la topologie et tous les trucs associés.
— Éléments d’analyse de C.Zuily et H.Queffélec chez Dunod. Aborde une grande quantité de
thèmes en analyse. Les 2nde et 3ème éditions s’offrent même le luxe de parler de probabilités.
— Petit guide du calcul différentiel de F.Rouvière chez Cassini. Aborde, depuis le commencement,
la théorie du calcul différentiel ; le tout en mettant l’accent sur la pratique plus que sur la théorie
pure et dure puis en proposant à chaque chapitre une grande variété d’exercices corrigés.
— Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels de M.El Amrani 15 chez Ellipses. Expose la
théorie des espaces hilbertiens puis celle de Fourier.
— Analyse de Fourier et applications de C.Gasquet et P.Witomski chez Dunod. Traite de la théorie de Fourier d’un point de vue pratique et aborde avec une extrême douceur la théorie des
distributions.
— Analyse complexe de E.Amar et E.Matheron chez Cassini. Ouvrage agréable et complet sur
l’analyse complexe.
— Analyse fonctionnelle de H.Brezis chez Dunod. Livre éventuellement un peu dur en première
lecture. Le style propre et précis de l’auteur est néanmoins agréable.
— De l’intégration aux probabilités de O.Garet et A.Kurtzmann chez Ellipses. Reprend depuis le
départ la théorie des probabilités.
— Analyse numérique et équations différentielles de J-P.Demailly chez presses universitaire de
Grenoble. Livre référence depuis des années dans le milieu de l’analyse numérique.
14. Admirez l’effort de recherche dans les surnoms.
15. les angevins seront contents de retrouver leur cours de M1
9
2
Développements durables.
Parmi les épreuves orales de l’agrégation, deux portent sur des leçons. Lors de ces épreuves vous
serez amenés à proposer au moins deux développements au jury. Il en choisira alors un que vous
présenterez, sans note, pendant une durée maximale de 15 minutes. La préparation des développements
est donc primordiale pour se faciliter la tâche le jour J (et éviter d’avoir à improviser un développement
à la dernière minute, vous n’avez que trois heures de préparation). Il convient donc de se préparer une
liste de développements. Cette liste vous permettra d’une part de vous familiariser avec la liste des
leçons possibles pendant l’année 16 , d’autre part, en préparant vos développements, vous réfléchirez au
contenu des leçons 17 . Cela permet aussi d’éviter le piège de faire un plan de leçon très bien construit
mais sans aucun développement valable. Lors de l’élaboration de votre liste (et de vos leçons aussi en
fait), qui doit se faire le plus tôt possible dans l’année, pensez à utiliser de bons livres 18 , à bien noter
les références 19 20 et surtout à consulter régulièrement les rapports de jury 21 . Ces mêmes juré-e-s qui
auront votre destin entre leurs mains ont pris le temps de rédiger un document comportant ce qu’ils
aiment et surtout ce qu’ils n’aiment pas dans la plupart des leçons. Il serait dommage de les froisser...
A ce propos, parlons un peu du jury. Ancrez vous dans le crâne le point commun entre le jury et
la console Sega :
Le jury, c’est plus fort que toi !
Ainsi toute tentative de bluff de votre part sera sévèrement punie. Si vous proposez un développement il faut que vous soyez capable d’expliquer chaque petite implication sans laisser au jury la moindre
impression de doute dans votre raisonnement. Face à des passages flous le jury sera pire qu’une meute
de loup enragés face à un clapier rempli de lapins aux olives. Il vous tombera forcément dessus à la fin
de votre exposé pour vous demander des précisions sur ce fameux passage ou vous avez baissé votre
voix en espérant donner l’impression qu’il était évident. Et si effectivement c’était du bluff, préparez
vous à entrer dans une faille spatio-temporelle dans laquelle le temps parait un peu trop long.
A l’inverse, si vous savez que vous ne pouvez pas bluffer le jury, il n’est pas interdit de le manipuler.
Sans aller jusqu’à la poupée vaudou ou le philtre d’amour, il peut être très profitable de laisser volontairement quelques zones d’ombres que vous savez justifier proprement. Le jury sera toujours friand
du candidat qui répond du tac au tac à ses questions.
En parlant de question, votre développement n’est qu’une partie de votre évaluation orale. Il sera
suivi d’à peu près 25 minutes de questions. Et bien que les mathématiques soient un monde vaste (et
onirique), le jury a une tendance systématique à poser ses premières questions en rapport avec votre
développement. Comme dit plus haut cela pourra consister à éclaircir les zones d’ombres. Mais ensuite
il cherchera à savoir si vous en savez plus. Si votre développement est un théorème sachez donner des
applications de celui ci ou des contres exemples qui justifieront la nécessité des hypothèses. Situation
réelle : Si vous faites le théorème de diagonalisation des matrices symétriques réelles, il est bon de
connaître des applications classiques (racine carrée d’endomorphisme, diagonalisation simultanée...)
mais aussi de savoir ce qui se passe en dimension infinie (Théorème spectral, opérateur compact auto
adjoint...). Sans forcément connaitre sur le bout des doigts les démonstrations de ces résultats, le jury
16. Publiée sur agreg.org, la liste des leçons peut donc légèrement changer par rapport à celle que nous utilisons dans
ce document.
17. Si c’est pas du double effet kiss cool ça ...
18. ceux sans trop d’erreurs et qui ne vous rebutent pas dès la lecture d’un théorème
19. livre, collection, édition, pages, chapitre, paragraphe
20. histoire de gagner du temps pendant les révisions
21. Toujours sur agreg.org
10
appréciera votre culture mathématique. Veillez toutefois à ne pas non plus mentionner de concepts que
vous ne maitrisez pas. Ce qui risquerait aussi d’ouvrir une faille.
Un dernier conseil qui porte maintenant sur le choix de vos développements. 15 minutes ça peut
vous paraître long pour le moment, et peut être penserez vous mettre toutes les chances de votre côté
en présentant la théorie de Galois différentielles sur les variétés C 8 à bords, quitte à accélérer un peu
sur la fin. Que nenni, soyez réaliste. Le but de cette épreuve et d’évaluer à la fois votre capacité à faire
des maths au tableau et vos capacités pédagogiques.
En ce sens, il pourrait éventuellement être plus profitable de présenter quelque chose que vous
pensez un peu court mais en prenant vraiment le temps de l’expliquer, de justifier rigoureusement
chaque implication, de faire des dessins et tout ce qui fera que vous vous mettrez en valeur en tant que
futur brillant professeur agrégé de mathématiques. Même s’il est évident que démontrer que l’ensemble
des matrices inversibles est dense dans Mn pCq c’est un peu léger, même en détaillant. Mais ne nous
faites pas dire ce que nous n’avons pas dit.
N.B. : Cette liste est bien sûr non-exhaustive.
– Mes préparateurs disaient toujours, "l’oral d’agrégation, c’est comme une boîte de chocolats : on ne
sait jamais sur quoi on va tomber." –
Et bah moi je dis que les coniques c’est ceux à la liqueur... .
Auteur anonyme.
11
2.1
2.1.1
Algèbre.
Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré.
On montre que SL2 pZq est engendré par deux éléments en étudiant son action sur le demi-plan de
Poincaré P “ tz P C, Impzq ą 0u. On le fait agir par homographie, puis l’on fait une étude sur les orbites
des points de P, notamment en étudiant un domaine fondamental de l’action. Ce développement est
trop long en l’état. Il convient d’admettre certains résultats et de développer ceux qui vous semblent
le plus pertinent dans la leçon.
Référence(s) :
— Michel Alessandri, Thèmes de géométrie agrégation de mathématiques : groupes en situation
géométrique. Dunod.
— Serge Francinou, Oraux X-ENS Algèbre 1. Cassini.
— Aviva Szpirglas, L3 Algèbre. Pearson.
Leçons :
101 Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
108 Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
2.1.2
Algorithme des facteurs invariants
Une matrice M P Mnˆm à coefficients dans un anneau principal est équivalente à une matrice
quasi-diagonale dont les coefficients d1 , ..., dr vérifient d1 |d2 |...|dr et sont uniques aux inversibles près.
On montre l’existence et l’unicité de tels scalaires appelés facteurs invariants de la matrice M . Pour
l’unicité, on utilise le fait que le pgcd des mineurs d’ordre k de deux matrices équivalentes sont égaux
(voir Beck). Ceci permet en particulier de remarquer alors que d1 est le pgcd des coefficients de M .
On raisonne par récurrence sur r “ minpn, mq, en construisant une matrice équivalente à M , M 1 ,
n’ayant que des zéros sur la première ligne et la première colonne et dont le terme m111 est le pgcd
des coefficients de M . (c’est pour trouver cette matrice M 1 que l’on applique un algorithme, dont les
étapes consistent à faire des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes de M ).
Référence(s) :
— Matrices, D.Serre. Dunod.
— Objectif agrégation„ V.Beck. H&K.
Leçons :
122 Anneaux principaux. Exemples et applications.
162 Systèmes d’équations linéaires ; opérations, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
2.1.3
Automorphismes du groupe symétrique Sn
On montre que si n ‰ 6, tout automorphisme de Sn est intérieur. Tout repose sur un lemme qui
dit que si un automorphisme de Sn transforme transposition en transposition, alors il est intérieur. La
preuve de Perrin consiste à étudier les centralisateurs des éléments d’ordre 2 ; celle du Oraux X-ENS
se ramène à un calcul de cardinal.
12
Référence(s) :
— Daniel Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses.
— Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS Algèbre 1, Cassini.
Leçons :
105 Groupe de permutations d’un ensemble fini. Applications.
190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement. (celle de Oraux X-ENS)
2.1.4
Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées
On se place sur un R-ev normé E de dimension n ě 1. Les composantes connexes de l’ensemble des
formes quadratiques non dégénérées, ΩpEq, sont les Ωk pEq “ tq P ΩpEq, sgpqq “ pk, n ´ kqu, k P pN q
avec 0 ď k ď n. On montre dans un premier temps que les Ωk pEq sont des ouverts dans l’ensemble des
formes quadratiques sur E. De plus, ils forment une partition de ΩpEq donc il suffit de montrer qu’ils
sont connexes pour obtenir le résultat. Pour ce dernier point, on raisonne matriciellement et on utilise
le fait que GLn ` pRq est connexe par arcs, ce qu’il faut savoir montrer car c’est un point important
pour la preuve.
Référence(s) :
— Oraux x-ens, algèbre 3, Francinou et Gianella. Cassini
Leçons :
170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
171 Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
204 Connexité. Exemples et applications.
2.1.5
Classification des groupes abéliens finis par les caractères
On utilise les caractères d’un groupe abélien fini G pour montrer que l’on peut le décomposer sous
forme d’une somme directe de groupes de la forme Z{N Z. On pourra présenter le lemme disant que
si G est abélien fini, alors lui et son dual ont même exposant puis le théorème. Ce développement
nécessite d’avoir bien travailler les représentations de groupes finis mais a la sympathie d’utiliser le
fait que l’ensemble des racines N íème de l’unité forme un groupe cyclique
Référence(s) :
— Pierre Colmez, éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Les éditions de
l’école Polytechnique, [51 COL].
Leçons :
102
104
107
109
Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupe des racines de l’unité. Applications.
Groupes finis. Exemples et applications.
Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel.
Représentations de groupes de petit cardinal.
13
2.1.6
Classification des groupe d’ordre 12.
On montre qu’à isomorphisme près il n’existe que 5 groupes d’ordres 12 qui sont :
Z{12Z ; Z{6Z ˆ Z{6Z ; V4 ¸ Z{3Z ; Z{3Z ¸ V4 ; Z{3Z ¸ Z{4Z.
où V4 est le groupe de Klein. Ceci se fait à l’aide des théorèmes de Sylow puis des critères de dévissage.
Il est chaudement recommandé de connaître les interprétations de V4 ¸ Z{3Z (“ A4 ) et Z{3Z ¸ V4
(“ D6 ).
Référence(s) :
— Michel Alessandri, Groupes en situation géométrique. Dunod.
— Serge Francinou, Exercices de mathématiques pour l’agrégation. Masson.
Leçons :
103 Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.
104 Groupes finis. Exemples et applications.
120 Anneaux Z/nZ. Applications.
2.1.7
Classification des groupes d’ordre 30.
On montre qu’un groupe d’ordre 30 admet un unique sous-groupe d’ordre 15 en utilisant les théorèmes de Sylow. Puis on utilise le produit semi-direct pour montrer qu’il n’y a que 4 groupes distincts à
isomorphisme près qui sont Z{30Z, D15 , Z{5ZˆD3 et Z{3ZˆD5 . En effet, leurs centres sont différents.
Référence(s) :
— Pascal Ortiz, Exercices d’algèbre. Ellipse.
Leçons :
103 Exemples et applications des notions de sous-groupes distingué et de groupe quotient.
120 Anneau Z{nZ. Applications.
2.1.8
Classification euclidienne des coniques propres.
On regarde les orbites des coniques propres sous l’action du groupe des isométries affines du plan,
on utilise en particulier le théorème d’orthogonalisation simultanée (sur le produit scalaire et la forme
quadratique de la conique propre).
Référence(s) :
— Michèle Audin, Géométrie. EDP Sciences.
Leçons :
14
180 Coniques. Applications.
183 Utilisation des groupes en géométrie.
2.1.9
Comptage des racines par les formes quadratiques.
étant donné P un polynôme à coefficients réels, on définit Q une forme quadratique ddont les
coefficients sont exprimés en fonction des racines de P . On calcule le nombres de racines réelles et
complexes de P en fonction de la signature de Q.
Référence(s) :
— Gantmacher, Théorie des matrices, tome 2.
Leçons :
144 Racines d’un polynômes. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
159 Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.
2.1.10
Critère de simplicité par les caractères.
Un développement qui donne un critère pour montrer qu’un groupe fini est simple. On utilise
notamment la représentation régulière d’un groupe quotient que l’on "remonte" ensuite au groupe de
départ : on obtient alors la forme de ses sous-groupes distingués. En lisant la table des caractères du
groupe, on obtient les relations d’inclusions des différents sous-groupes distingués et s’il est simple ou
non.
Référence(s) :
— Gabriel Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, [517.4 PEY]
Leçons :
107 Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel.
109 Représentations de groupes de petit cardinal.
2.1.11
Décomposition de Dunford.
On démontre que tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé peut s’écrire
comme la somme d’un endomorphisme diagonalisable et d’un endomorphisme nilpotent qui commutent
15
entre eux. Il y a deux démonstrations, la seconde dans le Gourdon a le mérite de prouver que les deux
endomorphismes peuvent en fait s’écrire comme des polynômes en l’endomorphisme initial.
Référence(s) :
— Xavier Gourdon, Algèbre. Ellipses.
Leçons :
153 Polynômes d’ endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension
finie. Applications.
154 Sous espace stable par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 Exponentielle de matrices. Applications.
157 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
2.1.12
Décomposition polaire.
Le but ici est de montrer que toute matrice M de GLn pCq s’écrit de façon unique comme le produit
d’une matrice unitaire par une matrice symétrique définie positive. Tout d’abord, on montre l’existence
de l’écriture. étant donné M appartenant à GLn pCq, l’idée est de montrer qu’il existe H symétrique
définie positive telle que t H ˚ M “ H 2 . Ainsi, M “ pM ˚ H ´1 q ˚ H. Pour l’unicité, on diagonalise dans
la même base les deux matrices symétriques définies positives (données dans les deux écritures de M ).
Référence(s) :
— Mneimné-Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques.
Leçons :
106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
150 Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
153 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension
158 Matrices symétriques réelles. Matrices hermitiennes.
160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (en dimension finie).
2.1.13
Dénombrement des polynômes irréductibles sur Fq .
On se sert de la formule d’inversion de MÃ¶bius pour déduire une formule explicite du nombre de
polynômes irréductibles sur le corps à q éléments. Cette formule permet alors d’affirmer qu’il existe
des polynômes irréductibles de tout degré, puis de donner un équivalent de leurs nombres quand le
degré tend vers l’infini. Attention toutefois, l’inégalité utilisé pour montrer qu’il existe des polynômes
de tout degré ne suffit pas : elle est trop brutale mais il est mentionnée une inégalité intermédiaire
assez fine pour cette démonstration.
Pour ceux qui ne craignent pas l’anglais, une application est donnée dans A Concrete Introduction to
16
Higher Algebra, Lindsay Childs, éditions Springer. On utilise une minoration du nombre de polynômes
irréductibles de degré n pour montrer que dans un certain sens, presque tous les polynômes unitaires
de Z[X] de degré n > 0 sont irréductibles.
Proposé par le jury après le développement :
L’existence de polynômes irréductibles de tout degré sur Fq peut aussi être vue en utilisant
! les polynômes
)
n
ˆ
n
minimaux (donc irréductibles et unitaires) et la cyclicité du groupe multiplicatif pFq q “ 1, ξ, . . . , ξ q ´2 .
On a un isomorphisme de corps entre Fqn et Fq pξq.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Exercices de mathématiques pour l’agrégation : Algèbre 1. Masson.
— Lindays N. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer-Verlag
Leçons :
123 Corps finis. Applications.
125 Extensions de corps. Exemples et applications.
141 Polynômes irréductibles à une indéterminées. Corps de rupture. Exemples et applications.
190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
2.1.14
Densité des matrices diagonalisables.
On montre que l’ensemble des matrices diagonalisables à coefficients complexes et à valeurs propres
distinctes est un ouvert dense de Mn pCq. On trouvera des applications dans Rombaldi, par exemple le
théorème de Cayley-Hamilton (que l’on peut inclure dans le développement si celui-ci est trop court),
et dans Objectif agrégation.
Référence(s) :
— J-E Rombaldi. Thèmes pour l’agrégation de mathématiques.
Leçons :
202 Exemples de parties denses. Applications.
2.1.15
Déterminant d’une matrice de Gram.
On établit la formule liant la distance et les déterminants de matrices de Gram. On montre d’abord
une propriété sur le projeté orthogonal (attention aux justifications du passage à la borne inférieure),
puis on trouve que Gpe1 , ..., en , xq “ d2 ˚ Gpe1 , ..., en q à l’aide des propriétés sur les déterminants. Il
reste ensuite à justifier que Gpe1 , ..., en q est non nul.
Si on trouve ce développement un peu court, et on peut y ajouter le calcul du déterminant de Cauchy
pour la leçon sur les déterminants, si besoin : ce sont les deux ingrédients principaux de la preuve du
théorème de Müntz.
Référence(s) :
— Xavier Gourdon, Algèbre. Ellipse.
— Henri Roudier, Algèbre linéaire. Vuibert.
17
Leçons :
152 Déterminant. Exemples et applications.
158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
2.1.16
Déterminant de Cauchy.
¯
´
1
, il existe plusieurs méthodes, même dans l’exercice concerné,
On cherche à calculer det αi `β
j
on peut se contenter de bien mettre en forme la seconde qui utilise les fractions rationnelles. Pour
les curieux c’est aussi fait sous cette forme dans le Gourdon Algèbre mais il y a un parachutage en
début de démonstration (qui raccourci la preuve alors que ce n’est absolument pas nécessaire) qui est
justifié dans le Oraux X-ENS Algèbre 2. Si toutefois c’est trop court on peut faire l’application sur le
déterminant de Gram et son interprétation en terme de distance dans le plan de Muntz.
Référence(s) :
Leçons :
140 Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
2.1.17
Diagonalisation des endomorphismes normaux d’un C-espace vectoriel.
On montre ici l’équivalence entre 4 assertions concernant les endomorphismes normaux d’un Cespace vectoriel. On fait notamment deux raisonnement par récurrence sur la dimension de l’espace. il
faudra être capable de parler du cas d’un espace vectoriel euclidien où le résultat n’est plus vrai.
Référence(s) :
— Rémi Goblot, Algèbre linéaire, page 215, Ellipses, [512.64 GOB].
Leçons :
151 Dimension d’un espace vectoriel ; Rang. Exemples et applications.
154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
2.1.18
Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLn pRq.
Dans ce développement on calcule la différentielle du déterminant en utilisant en particulier la
densité de GLn pRq dans Mn pRq afin de montrer que SLn pRq est une sous-variété de dimension n2 ´ 1
de Mn pRq, on en profitera pour déterminer l’espaces tangent en chaque point et en particulier celui
de In . Selon la leçon on pourra aussi faire le lien avec le fait que On pRq et même que les sousgroupes fermés de GLn pRq sont des sous-variétés de Mn pRq, mais les outils servant à ces dernières
démonstrations n’utilisent pas le déterminant.
18
Référence(s) :
— Rached Mneimné & Fréderic Testard, Introduction aux groupes de Lie classiques. Hermann.
— François Rouvière, Petit guide du calcul différentiel. Cassini.
Leçons :
2.1.19
Dual de Mn pKq.
On montre que le dual des matrices à coefficients dans un corps est isomorphe à l’ensemble des
applications de la forme X ÞÑ trpAXq avec A P Mn pKq. Ceci permet ensuite de donner une caractérisation de l’application trace comme étant l’unique, à multiplication par un scalaire près, forme linéaire
vérifiant φpABq “ φpBAq. On peut aussi en déduire que tout hyperplan de Mn pKq intersecte GLn pKq.
Référence(s) :
Leçons :
2.1.20
Ellipse de Steiner.
On considère z1 , z2 et z3 3 complexes non alignés, puis P “ pX ´ z1 qpX ´ z2 qpX ´ z3 q. Alors les
zéros de P 1 sont les foyers d’une ellipse tangente aux trois côtés du triangle formé par z1 , z2 et z3 .
Attention, ce développement est assez technique et long. De plus il n’est pas référencé dans l’index de
la référence et la démonstration est lacunaire. Voir des éléments complémentaires en annexe 3.1.
Référence(s) :
— Alain Tissier, Mathématiques générales - agrégation interne de mathématiques. Bréal.
— Dany Mercier, Jean-Etienne Rombaldi, Annales du CAPES externe de mathématiques 2009 à
2011 + 2 problèmes d’entraînement (beaucoup plus clair que dans le Tissier)
Leçons :
144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
180 Coniques. Applications.
182 Applications des nombres complexes à la géométrie.
2.1.21
Ellipsoïde de John-Loewner.
On montre que pour tout compact K d’intérieur non vide de Rn il existe un 22 unique ellipsoïde
centré en l’origine de volume minimal contenant K. Ce développement est long, il faut admettre
certaines parties et démontrer ce qui est vraiment en lien avec votre leçon.
Référence(s) :
22. Oui, c’est masculin.
19
Leçons :
2.1.22
Études d’anneaux.
`
˘
On montre que les anneaux C rX; Y s { Y ´ X 2 et C rX; Y s { pXY ´ 1q sont principaux. Il est
possible de ne faire que le deuxième si l’on souhaite démontrer le lemme utilisé dans Francinou, à ce
propos on pourra consulter l’annexe 3.2.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Exercices de mathématiques pour l’agrégation, Algèbre 1. Masson.
Leçons :
142 Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
2.1.23
Exponentielle et diagonalisation.
On montre à l’aide de la décomposition de Dunford qu’une matrice est diagonalisable si et seulement
si son exponentielle est diagonalisable. On peut ensuite montrer que les matrices qui vérifient exppAq “
In sont les matrices diagonalisables dont le spectre est inclus dans 2πZ.
Référence(s) :
— Vincent Beck, Objectif agrégation. H&K.
Leçons :
2.1.24
Exponentielle & matrices symétriques ou hermitiennes.
On montre que l’exponentielle de matrice réalise un homéomorphisme entre Sn et Sn`` ou encore
entre H et H `` . En faisant la démonstration dans le cas hermitien on diagonalise unitairement et on
utilise des polynômes d’interpolation.
Référence(s) :
20
Leçons :
153 Polynômes d’endomorphismes en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension
2.1.25
Générateurs de SLn pKq et GLn pKq.
On montre que le groupe spéciale linéaire est engendré par les transvections, et que le groupe
linéaire est engendré par les transvections et les dilatations. On utilise pour cela deux lemmes sur
les transvections qui permettront de se ramener à des sous espaces stables. Il faut mixer plusieurs
démonstrations pour en avoir une qui soit vraiment complète et agréable.
Référence(s) :
— Jean Delcourt, Mathématiques algèbre et géométrie. EdiScience.
— Daniel Perrin, Cours d’algèbre. Ellipses
Leçons :
106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GLpEq. Applications.
154 Sous espaces stables par un endomorphismes ou une familles d’endomorphismes d’un espace
vectoriel de dimension finie. Applications.
2.1.26
Générateurs du groupe orthogonal.
On montre par récurrence sur la dimension n que "toute isométrie (euclidienne) est la composée
d’au plus n réflexions". Pour l’hérédité, on considère un point x, si x est un point fixe de l’isométrie f
alors f est la composée d’au plus n ´ 1 réflexions, et sinon, en considérant la composée de f et de la
réflexion par rapport à l’hyperplan médiateur de f pxq et de x, on se ramène au cas précédent. Pour le
cas affine, on se ramène au cas euclidien en fixant l’origine du repère en un point fixe de F , s’il existe,
ou en considérant la composée de F et de la réflexion par rapport à l’hyperplan médiateur de A et de
F pAq.
Référence(s) :
— Michèle Audin, Géométrie. EDP Sciences.
Leçons :
160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
161 Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.
21
2.1.27
Groupes d’ordre pq.
Soit G un groupe d’ordre pq. On écrit la suite exacte : 1 Ñ Q Ñ G Ñ G{Q Ñ 1. On en déduit
une écriture de G en un produit semi-direct de Z{qZ avec Z{pZ. Il s’agit ensuite de déterminer tous
les produits semi-directs possibles.
Référence(s) :
— Perrin, Cours d’algèbre.
— Szpriglas, L3 algèbre.
Leçons :
103 Exemples et applications de notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.
120 Anneaux Z/nZ. Applications.
121 Nombres premiers. Applications.
2.1.28
Groupes de frises.
On donne ici la classification des groupes de frises. Ce résultat est trop long pour être démontrer
complètement alors on peut se restreindre à démontrer les deux premiers lemmes et la première partie
de la classification (classification des groupes n’ayant que des translations comme déplacements) la
deuxième partie fonctionnant exactement de la même manière. On donne ici deux références, le Tauvel
pour les énoncés qui sont plus concis et le gros bleu algèbre pour les preuves qui sont, à mon 23 goût,
plus claires.
Référence(s) :
— Patrice Tauvel, Cours de géométrie, pages 285 à 291, Editions Dunod, [514(079) TAU]
— Aviva Szpirglas, Algèbre L3 [GBG], pages 446 à 451, Editions Pearson Ed, [512 MAT]
Leçons :
2.1.29
Invariants de similitude.
Si E est un espace vectoriel de dimension finie et f P LpEq, alors il existe une suite de sous-espaces
vectoriels de E, F1 , ..., Fr , tous stables par f , tels que E “ F1 ‘...‘Fr , et tels que chaque fi “ f|Fi soit
un endomorphisme cyclique avec, en notant Pi le polynôme minimal de cet endomorphisme, Pi`1 |Pi
pour tout i P t1, ..., r ´ 1u. La suite des P1 , ..., Pr ne dépend que de f . On montre l’existence et l’unicité
de cette suite. Un résultat essentiel pour la partie existence est le fait que si on note Pf le polynôme
minimal de f , alors il existe un x P E tel que le polynôme minimal de x relativement à f , i.e. le
polynôme unitaire Q de plus bas degré tel que Qpf qpxq “ 0, soit exactement Pf . On considère alors
le sous-espace vectoriel F “ tQpf qpxq, Q P pKqrXsu de E, stable par f . On trouve un supplémentaire
de F dans E, G, aussi stable par f , puis le polynôme minimal de f|F est P1 “ Pf donc divise P2 ,
23. Qui suis-je ?
22
le polynôme minimal de f|G . On ré-applique un raisonnement similaire à l’endomorphisme f|G pour
obtenir toute la suite des invariants de similitude.
Référence(s) :
— Algèbre, X.Gourdon. Dunod.
Leçons :
151 Dimension d’un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.
160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
2.1.30
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q.
La proposition en 4 points dans le livre d’Escofier est sans doute longue, il y a donc aucun problème
à admettre que Φn est dans ZrXs puis à montrer qu’il est irréductible. La première partie (mise en
lemme) utilise la formule d’inversion de MÃ¶bius qui est très bien détaillée dans le livre de Mignotte.
Il y aussi une démonstration dans le Perrin ou même le Gourdon algèbre, selon les goûts de chacun.
Référence(s) :
— Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois. Dunod.
— Maurice Mignotte, Algèbre concrète. Ellipses.
— Daniel Perrin, Cours d’algèbre. Ellipses.
— Algèbre, X.Gourdon. Dunod.
Leçons :
102
120
121
141
2.1.31
Nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
Anneau Z{nZ. Applications.
Nombres premiers. Applications.
Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Isométries du cube.
En considérant les 4 grandes diagonales du cube, on montre qu’il existe un morphisme surjectif des
isométries du cube dans S4 : chaque transposition est réalisées et elles engendrent S4 (il faut faire
attention au retournement proposé dans la preuve du Alessandri, le premier est faux mais la page
suivante corrige le problème). Le noyau du morphisme étant composé de l’identité et de la symétrie
centrale par rapport au centre du cube on en déduira que les isométries du cubes sont isomorphes à
S4 ˆ Z{2Z.
Référence(s) :
— Michel Alessandri, Thèmes de géométrie agrégation de mathématiques : groupes en situation
géométrique. Dunod.
23
Leçons :
101
105
108
161
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Exemples et applications en dimensions 2 et 3.
2.1.32
K-automorphismes de K(X).
On montre ici que tout K-automorphismes de KpXq est une homographie. On montre en fait
l’isomorphisme suivant :
P GL2 pKq » AutK pKpXq
. Ce théorème est basé sur un lemme (qui fait l’essentiel de la preuve) et qui peut resservir pour
montrer le théorème de Lüroth. On utilisera notamment des extensions de corps et des polynômes à
plusieurs variables.
Une autre preuve, sans le lemme utilisant les extensions de corps, dans le X-ENS Algèbre 1.
Référence(s) :
— Ramis J.-P. Warusfel A. et Moulin F., Cours de mathématiques pures et appliquées - Algèbre
et géométrie, pages 79 80, éditions De Bœck, [51 COU].
— Francinous, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS Algèbre 1
Leçons :
2.1.33
Lemme de Morse à plusieurs variables.
Pour ce développement on montre un lemme, une version différentiable de la réduction des formes
quadratiques, qui utilise, entre autre le théorème des fonctions implicites. Avant de l’utiliser pour
montrer le lemme de Morse. Il faudra penser à mettre des applications, pour cela on peut ,par exemple,
trouver dans le Rouvière des applications en dimension 3 sur des études locales de surfaces du type
z “ f px, yq.
Référence(s) :
Leçons :
150 Exemples d’actions de groupe sur les espaces de matrices.
24
2.1.34
Matrices des isométries.
On montre que tout élément u P On pR admet une base orthonormée où la matrice de représentation
est diagonale par blocs, avec un bloc Id, un bloc Íd et des blocs de tailles 2 ˆ 2 correspondants à des
rotations.
Référence(s) :
Leçons :
154 Sous espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace
161 Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimension 2 et 3.
2.1.35
Méthode du gradient à pas optimal.
On démontre la convergence de la méthode du gradient à pas optimal vers la solution d’un système
linéaire. Si le temps le permet on peut affiner la vitesse de convergence à l’aide de l’inégalité de
Kantorovich. La seconde référence contient une preuve de l’inégalité de Kantorovich.
Référence(s) :
— Jean Pierre Ramis, Cours de mathématiques pures et appliquées, Volume 1 Algèbre et géométrie.
De Boeck.
— Bernard Heron, ANALYSE NUMERIQUE. Exercices et problèmes corrigés. Dunod.
Leçons :
162 Systèmes d’ équations linéaires ; opérations, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
2.1.36
Nombres algébriques.
On dit qu’un nombre complexe est algébrique sur Q (respectivement un entier algébrique) s’il
est racine d’un polynôme non nul unitaire et à coefficients rationnels (respectivement à coefficients
entiers). Dans ce développement on montre que la somme et le produit de deux nombres (resp. entiers)
algébriques est encore algébrique et pour cela on utilise le résultant, des polynômes à 2 indéterminées
...
Référence(s) :
Leçons :
25
143 Résultant. Applications.
2.1.37
Nombre de matrices sur Fq de polynôme caractéristique donné.
étant donné P dans Fq rXs irréductible de degré n, on montre que le nombre de matrices de Mn pFq q
śn´1
admettant P pour polynôme caractéristique est égal à k“1 pq n ´ q k q. On utilise l’action du groupe
linéaire sur Mn pFq q par conjugaison. Ce théorème n’est démontré tel quel dans aucun livre, mais si
on retient le plan de la preuve, la plupart des éléments de preuve sont dispatchés dans les livres de
référence. L’avantage est qu’il s’agit donc d’un développement original qui attirera l’attention du jury,
et peut donc valoir le détour !
Référence(s) :
— Beck, Malick, Peyré, Objectif Agrégation, HetK.
— Gourdon, Algèbre, Ellipses.
Leçons :
101 Groupes opérant sur un ensemble. exemples et applications.
190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
2.1.38
Nombres de Bell.
Le n-ième nombre de Bell, Bn , correspond au nombre de partitions de l’ensemble rr1, nss. Dans ce
développement, sans doute long si l’on souhaite faire l’exercice en entier, on utilise une série génératrice
et des séries entières ainsi qu’une double somme pour réussir à écrire Bn sous forme d’une série ne
dépendant que de n.
Référence(s) :
Leçons :
124 Anneau des séries formelles. Applications.
190 Méthodes combinatoires, problème de dénombrement.
26
2.1.39
Nombres de Catalan.
p2n´2q
On montre que le nombre de parenthésages différents d’un produit de n éléments est égal à n´1
n! .
Les deux références n’utilisent pas la même philosophie, le Saux Picard reste dans le cadre strict des
séries formelles quand Francinou flirte avec les séries entières.
Référence(s) :
— Philippe Saux Picart, Cours de calcul formel : algorithmiques fondamentaux. Ellipses.
Leçons :
243 Convergence des séries entières. propriétés de la somme. Exemples et applications.
2.1.40
Nombre de partitions d’un entier en parts fixées.
En posant a1 , . . . , ak , k entiers premiers entre eux dans leur ensemble, on cherche un équivalent en
`8 du nombre un de k-uplets px1 , . . . , xk q dans Nk tels que pour un entier n on ait a1 x1 `. . .àk xk “ n.
Pour se faire on utilisera un produit de Cauchy de séries géométriques que l’on verra à la fois comme
un série génératrice et comme une fraction rationnelle.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Oraux X-ENS Analyse 2. Cassini.
Leçons :
126 Exemples d’équations diophantiennes.
190 Méthodes combinatoires, problème de dénombrement.
2.1.41
Points extrémaux de la boule unité de LpEq.
On montre que dans un espace euclidien E, les points extrémaux de la boule unité de LpEq sont
exactement les éléments de OpEq.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Oraux X ENS Algèbre 3. Cassini.
Leçons :
181 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
27
2.1.42
Quaternions.
On démontre ici l’isomorphisme suivant :
G{t`1, ´1u » SO3 pRq
où G est le groupe des quaternions unitaires. Un développement long mais agréable car bien structuré
et qui fait appel aux actions de groupes et à de la topologie. Il est intéressant car même s’il ne convient
pas à certaines leçon comme développement, il pourra quand même être énoncer dans le plan.
Référence(s) :
— Daniel Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, [512 PER].
Leçons :
101 Groupe opérant sur un ensemble ; Exemples et applications.
106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
2.1.43
Réduction des endomorphismes autoadjoints.
On montre que dans un espace E euclidien (resp. hermitien), tout endomorphisme autoadjoint est
diagonalisable dans une base de vecteurs propres orthonormée (et les valeurs propres sont réelles).
Référence(s) :
— Grifone, algèbre linéaire.
Leçons :
151 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples
et applications.
154 Sous espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace
28
2.1.44
Réduction des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel euclidien.
Un développement qui donne la forme des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel euclidien.
Il faudra connaitre le résultat pour un C-espace vectoriel hermitien (pour les questions) et la réduction
des endomorphismes auto-adjoints (pour la preuve). Ce développement est un peu long, on pourra,
pour réduire le temps, admettre le lemme sur le cas en dimension 2. On raisonnera par récurrence sur
la dimension de l’espace.
Référence(s) :
— Xavier Gourdon, Les maths en tête : algèbre, page 260 , Editions Ellipses, [512 GOU].
Leçons :
2.1.45
Résultant de deux polynômes et applications aux matrices diagonalisables.
On commence par démontrer que le résultant de deux polynômes est nul si et seulement si ils ne
sont pas premiers entre eux avant d’appliquer ce résultat pour prouver que l’intérieur de l’ensemble des
matrice diagonalisable est l’ensemble des matrices diagonalisables aux valeurs propres toutes distinctes.
Ce développement est sans doute un peu long mais on peut, par exemple, mettre la première question
de l’exercice en lemme.
Référence(s) :
Leçons :
2.1.46
Similitude et extension de corps.
On montre que la relation de similitude est conservé par passage à un sous corps du corps de base
(pour des corps infinis). Le cas du passage de C à R peut se traiter à part. Le cas général fait intervenir
les notions de systèmes linéaires et de rang d’un système linéaire. On peut interpréter ce résultat en
terme d’action de groupe et d’orbite (pour la leçon 150).
Référence(s) :
Leçons :
29
162 Systèmes d’équations linéaires ; opérations, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
2.1.47
Simplicité de An .
On montre à l’aide d’action de groupe et du résultat sur A5 que An est simple pour n ě 5 24 .
Référence(s) :
— Daniel Perrin, Cours d’algèbre. Ellispes.
Leçons :
105 Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
2.1.48
Simplicité de SO3 pRq.
On montre que SO3 pRq est simple. Ce développement sera l’occasion de faire des dessins afin
d’illustrer les raisonnements.
Référence(s) :
Leçons :
2.1.49
Sous-groupes compacts de GLn pRq.
On montre que tout sous-groupe compact de GLn pRq est conjugué à un sous-groupe de On pRq.
On montre pour cela un premier lemme de point fixe, qui est une forme de théorème de point fixe de
Kakutani. Remarquons que ce développement est long.
Référence(s) :
Leçons :
24. Rappelons que pour n “ 4, le groupe de Klein est un sous-groupe propre distingué, tandis que le résultat reste
vrai pour n “ 2 et n “ 3
30
2.1.50
Suite de polygones.
On considère un polygone dans le plan complexe (quelconque). Et l’on définit une suite de polygone
où le polygone suivant a pour sommets les milieux des sommets du polygone précédent 25 . Alors cette
suite de polygone converge vers le polygone point dont tout les sommets sont l’isobarycentre des
sommets du polygone initial. On utilise pour ça l’expression du déterminant circulant. Pas de référence
pour le développement en entier.
Référence(s) :
— Kit de survie à l’agrégation 3.6.
— Pour le déterminant circulant : Xavier Gourdon, Algèbre. Ellipses.
Leçons :
102 Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
181 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
2.1.51
Surjectivité de l’exponentielle dans GLn pCq et applications.
Pour cette preuve on s’appuie sur la décomposition de Dunford et on utilise un logarithme de matrice
pour les nilpotentes qui ne dit pas complètement son nom (mais qui est dans le titre du problème utilisé
pour ce développement). Une fois la surjectivité prouvée on peut l’utiliser, par exemple, pour prouver
la connexité de GLn pCq (mais savoir que c’est aussi faisable en utilisant le polynôme caractéristique).
Référence(s) :
Leçons :
25. Sur un dessin ça se comprend très bien
31
2.1.52
Table de caractères de S4 .
Simplement une application de la théorie des caractères à l’édification de la table de S4 . On pourra
s’attacher à regarder ensuite une réalisation géométrique de S4 et comment lire les sous-groupes
distingués sur une table de caractères.
Référence(s) :
— Gabriel Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier et applications. Ellipse.
Leçons :
109 Représentation de groupes finis de petit cardinal.
2.1.53
Table de caractères de A5 .
On construit ici la table des caractères de A5 après avoir étudier les classes de conjugaisons de
ce même groupe. On prendra l’étude des classes de conjugaisons dans le livre d’Ortiz et la table
essentiellement dans le TGB sauf en ce qui concerne le caractère de degré 5. Pour celui ci, on fait
agir par conjugaison A5 sur l’ensemble des transpositions de S5 ce qui nous donne une représentation
de A5 de dimension 10 de laquelle on déduit notre représentation irréductible de dimension 5 assez
facilement (étudier les produits scalaires avec la représentation triviale et la représentation irréductible
de dimension 4). On choisira les parties que l’on expose en fonction de la leçon abordée.
Référence(s) :
— Ramis J.-P. Warusfel A. et Moulin F., Cours de mathématiques pures et appliquées - Algèbre
et géométrie , Editions De Bœck, [51 COU].
— Pascal Ortiz, Exercices d’algèbre , Editions Ellipses, [512(076) ORT]
Leçons :
105 Groupe des permutations d’un ensemble fini ; Applications.
109 Représentations de groupes de petit cardinal.
2.1.54
Théorème de Brauer.
On démontre ici que deux matrices de permutations sont semblables si et seulement si les deux
permutations sont conjuguées.
Référence(s) :
— Gabriel Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, [517.4 PEY].
Leçons :
32
2.1.55
Théorème de Burnside.
On montre qu’un sous-groupe G de GLn pCq est fini si et seulement si il est d’exposant fini 26 (i.e.
De P N tel que @A P G, Ae “ In ). On utilise pour ça un lemme de caractérisation des endomorphismes
nilpotent (ou idempotent selon la littérature choisie).
Référence(s) :
— Michel Alessandri, groupes en situation géométrique. Dunod.
Leçons :
2.1.56
Théorème de Cayley-Hamilton.
On montre par récurrence un résultat préliminaire sur les matrices compagnons (on peut aussi
le montrer directement par des opérations élémentaires sur les lignes). Puis, pour x non nul, avec le
plus grand r tel que x, f pxq, ..., f r pxq soit libre (justifier que l’ensemble des r tels que x, f pxq, ..., f r pxq
est libre est une partie de N non vide et majorée), on a f r`1 pxq combinaison linéaire des vecteurs de
la famille précédente et on construit une base, en complétant la famille libre, dans laquelle la matrice
de f est triangulaire par blocs, dont le premier bloc est la matrice compagnon. Il conclut grâce au
résultat préliminaire.
27
Référence(s) :
Leçons :
153 Polynômes d’endomorphisme en dimension finir. Réduction d’un endomorphisme en dimension
26. Si l’un des sens de cette implication est relativement immédiat, l’autre est une vraie plus value. Penser aux
polynômes à coefficient dans un corps fini.
27. ou l’agrégation pour les nuls
33
2.1.57
Théorème de Frobenius.
Un des théorème justifiant la construction de table de caractère d’un groupe fini. Il annonce que les
caractères irréductibles forment une base orthogonale de l’espace des fonctions centrales. On commence
par montrer que c’est une famille orthogonale puis que c’est une base. Il y a deux lemmes dans le livre
de Colmez, à énoncer mais il n’y a sans doute pas le temps de les inclure dans le développement.
Référence(s) :
— Pierre Colmez, éléments d’analyse et d’algèbre . éditions de l’école Polytechnique.
Leçons :
109 Représentation de groupes finis de petit cardinal.
2.1.58
Théorème de Frobenius Zolotarev.
On considère un espace vectoriel de dimension fini sur un corps fini à p éléments, où p est premier
impair. Alors la signature d’un élément u de GLpEq, vu comme permutation de E 28 , est donnée par
le symbole de Legendre du déterminant de u sur p. Ce développement se résume à un diagramme
relativement simple mais duquel découle tout les raisonnements. Notons que M. Gervais nous a livré
un certain nombre d’astuces simplifiant la démonstration du Beck 3.9.
Référence(s) :
— Vincent Beck, Objectif Agrégation. H&K.
Leçons :
2.1.59
Théorème de Hahn Banach géométrique en dimension finie.
Théorème important pour la séparation des convexes par un hyperplan, on effectue la preuve en
trois temps. Trivialement en dimension 1, on traite le cas de la dimension 2 à l’aide d’un cône convexe,
et enfin, si la dimension est au moins 3, on fait une double démonstration par l’absurde en se ramenant
au cas de la dimension 2 pour aboutir à la contradiction qui prouvera le théorème.
Référence(s) :
— Ramis, Warusfel & Moulin, Cours de mathématiques pures et appliquées. Volume 1 Algèbre et
géométrie. De Boeck.
— Tauvel, Géométrie, Dunod
28. Mais comment définit on la signature d’une permutation sur un ensemble quelconque fini, au fait ?
34
Leçons :
159 Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemple et applications.
181 Barycentre dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
2.1.60
Théorème de Kronecker.
On montre que les racines d’un polynôme non-constant unitaire à coefficient entiers, si elles sont
non nulles et de modules inférieurs à 1, sont des racines de l’unité. Il y a une erreur de raisonnement
à la fin de la démonstration qu’il convient de corriger 3.10.
Référence(s) :
Leçons :
144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
2.1.61
Théorème de Molien.
Pour la preuve du théorème de Molien 29 , on étudie, pour un sous-groupe fini G de GLn pCq, l’action
de ce sous-groupe fini sur les polynômes homogènes de degré k. On démontre ensuite une égalité avec
la série génératrice des dimensions ak pGq des points fixes pour cette action. Il y a beaucoup de choses
dans ce développement. Il faut choisir ce que vous voulez montrer et le maitriser suffisamment pour
être capable de le faire en 15 minutes.
Référence(s) :
— Eric Leichtnam, Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des concours de l’X et des
ENS, Algèbre. Ellispes.
Leçons :
151 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples
et applications.
2.1.62
Théorème de Morley.
On démontre ici que les intersections des trisectrices des angles d’un triangle quelconque forment
un triangle équilatéral.
Référence(s) :
29. Se prononce à l’anglaise "Molienne", cet homme était letton.
35
— Wikipédia (démonstration tiré d’un exposé d’Alain Connes.)
Leçons :
2.1.63
Théorème des deux carrés.
Dans Perrin, on caractérise les entiers qui sont la somme de deux carrés via une étude sur l’anneau
des entiers de GauÃ. On admettra les premiers résultats sur cet anneau pour se concentrer sur les
résultats directement en lien avec le théorème. Il est à noter que dans le lemme, la suite d’isomorphisme
est assez ardue à justifier proprement. Mais M. Gervais nous aura grandement aidé à lever le voile de
l’incertitude 30 en nous fournissant une justification claire et rigoureuse de l’isomorphisme voulu 3.8.
Il existe sinon une preuve combinatoire dans les oraux X ENS.
Référence(s) :
— Daniel Perrin, Cours d’algébre. Ellipses.
Leçons :
120 Anneaux Z{nZ. Applications.
2.1.64
Théorème des extremums liés.
Ce théorème dont la preuve utilise alternativement des matrices jacobiennes, le théorème des fonctions implicite et des dérivées de composées, a besoin d’être accompagné d’une ou de plusieurs applications (on pourra regarder les exercice du Gourdon). Mais il faut faire attention à ne pas se limiter à
l’inégalité arithmético-géométrique qui a bien sûr une preuve plus élémentaire à l’aide de la concavité
du logarithme par exemple.
Référence(s) :
— Xavier Gourdon, Analyse. Ellipse.
Leçons :
214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
215 Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications.
217 Sous-variétés de Rn . Exemples et applications.
30. Lors des oraux entre autre, si vous affirmez et justifiez avec force et conviction quelque chose de vrai vous serez
baigné – dit-on – dans un bain de lumière. Si vous affirmez sans force et sans conviction quoi que ce soit, ou pire, avec
force et conviction quelque chose de faux vous vous prendrez les pieds dans le voile de l’incertitude.
36
2.1.65
Théorème de Sophie Germain.
C’est un cas particulier du théorème de Fermat, on considère un nombre premier de Sophie Germain,
p premier tel que q “ 2p ` 1 soit premier, et on montre qu’il n’existe pas de triplet px, y, zq P Z3 tel
que xyz ‰ 0rps et xp ` y p ` z p “ 0. C’est une preuve un peu technique, par l’absurde, qui consiste à
établir un certain nombre de congruences modulo q, afin d’aboutir à une contradiction.
Référence(s) :
— Oraux X ENS, algèbre 1, Francinou et Gianella. Cassini.
Leçons :
2.1.66
Théorème de Wedderburn.
On montre que tout corps fini est commutatif. Pour cela on fait agir le groupe multiplicatif sur le
corps par conjugaison puis l’on utilise la formule des classes ainsi que quelques résultats classiques sur
les polynômes cyclotomiques. Pour l’un des résultats Perrin propose deux démonstrations, à la main
ou par l’utilisation d’espace vectoriel sur des corps non commutatifs. On ne saurait que recommander
chaudement la première version afin d’éviter de se sentir bien seul au tableau lors des questions sur
la théorie des sous espaces vectoriels gauches. De plus il convient de faire attention à l’endroit où
l’on place ce théorème dans le plan. Le théorème devenant évident si l’on sait déjà que le groupe
multiplicatif est cyclique 31 ...
Référence(s) :
Leçons :
102 Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupe des racines de l’unité. Applications.
2.1.67
Théorème faible de la progression arithmétique de Dirichlet.
On montre que pour tout λ, il existe une infinité de nombres premiers de la forme λn ` 1. On
démontre un lemme sur des polynômes cyclotomiques qui contient toute l’essence du résultat.
Référence(s) :
31. Et c’est pas moi qui le dis, c’est le jury.
37
Leçons :
– A l’école, en algèbre, j’étais du genre Einstein. Mais plutôt Franck qu’Albert. –
Philippe Geluck.
38
2.2
2.2.1
Analyse. 32
Billard elliptique.
On montre à l’aide du théorème des extremums liés que pour tout billard elliptique il existe une
trajectoire fermé à trois rebonds. Ceci se fait en démontrant l’existence d’un triangle de plus grand
périmètre possible qui en fait vérifiera les propriétés de rebonds. Ce développement est assez technique,
il faut être à l’aise avec le calcul différentiel à plusieurs variables.
Référence(s) :
Leçons :
219 Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
2.2.2
Caractérisation de la fonction Gamma.
Si une fonction u :s0, `8rÑ R˚` est logarithmiquement convexe et vérifie up1q “ 1 et upx ` 1q “
xupxq pour tout x ą 0, alors u “ Γ. Les hypothèses sur u et l’application de l’inégalité des trois pentes
permettent d’obtenir que la fonction u vérifie l’identité d’Euler sur s0, 1s, et qu’alors u{Γ est égale à 1
sur s0, 1s. Puisqu’elle est périodique, c’est terminé (ce résultat est un exercice non corrigé du livre de
F.Amar et E.Matheron, mais l’enchaînement des questions est suffisant pour reconstruire entièrement
la preuve). Une autre preuve, qu’on trouvera dans le livre de Chambert-Loir, consiste à montrer que la
fonction u{Γ est elle-même logarithmiquement convexe, mais dans la preuve, il "passe aux équivalents"
dans une inégalité, il faut bien vérifier que cela est possible.
Référence(s) :
— Analyse complexe, E.Amar et E.Matheron. Cassini
— Exercices de mathématiques pour l’agrégation, analyse 2, A.Chambert-Loir et S.Fermigier. Masson
Leçons :
229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 Utilisation de la notion de convexité en analyse.
2.2.3
Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées.
On se place sur un R-ev normé E de dimension n ě 1. Les composantes connexes de l’ensemble des
formes quadratiques non dégénérées, ΩpEq, sont les Ωk pEq “ tq P ΩpEq, sgpqq “ pk, n ´ kqu, k P pN q
avec 0 ď k ď n. On montre dans un premier temps que les Ωk pEq sont des ouverts dans l’ensemble des
formes quadratiques sur E. De plus, ils forment une partition de ΩpEq donc il suffit de montrer qu’ils
32. Les rapports de jury concernant les leçons d’analyse pointent du doigt la pauvreté de la diversité des développements
proposés. En effet, il y a des développements ultra classiques qui se recasent bien et qui sont pratiquement toujours
proposés. Le jury encourage donc l’originalité. A vous de faire un savant dosage entre sécurité et originalité...
39
sont connexes pour obtenir le résultat. Pour ce dernier point, on raisonne matriciellement et on utilise
le fait que GLn ` pRq est connexe par arcs, ce qu’il faut savoir montrer car c’est un point important
pour la preuve.
Référence(s) :
— Oraux X ENS, algèbre 3, Francinou et Gianella. Cassini
Leçons :
2.2.4
Convergence commutative et convergence absolue.
Une série réelle est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument convergente.
Le sens réciproque est le plus simple, on considère une permutation quelconque σ puis on montre que la
série des |aσpkq | converge et a même limite que la série des |ak |, on conclut alors par majoration. Pour
le sens direct, on montre qu’une série réelle semi-convergente n’est pas commutativement convergente,
en construisant une permutation σ telle que la série des aσpkq diverge.
Référence(s) :
— Cours de mathématiques spéciales 4, Séries et Equations différentielles, E.Ramis, C.Deschamps
et J.Odoux. Masson
— Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1.
Leçons :
223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des
séries numériques. Exemples.
2.2.5
Convergence commutative et théorème de Riemann
On montre que si on se donne une série réelle de terme général an semi-convergente et x dans
R, alors il existe une permutation σ de N telle que la série de terme général aσpnq converge vers x.
Attention au choix des termes peu pertinents : dire "série absolument convergente" plutôt que "famille
sommable".
Référence(s) :
— Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1, Cassini.
Leçons :
230 Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes et des sommes partielles.
Exemples.
40
2.2.6
Convergence uniforme des fonctions convexes.
On montre que toute suite de fonctions convexes qui convergent simplement, converge uniformément
sur tout compact. On démontre en fait que sur les compacts, les fonctions sont M -lipschitziennes pour
une constante M commune. Puis on démontre le cas résultat dans le cadre des fonctions lipschitziennes.
Ce développement éventuellement un peu court sera l’occasion de faire briller vos qualités pédagogiques
notamment en illustrant par des dessins les propriétés mises en jeu et leurs interprétations dans le cadre
de la proposition.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Oraux X ENS Analyse 2. Cassini.
Leçons :
2.2.7
Critère de Weyl.
On donne deux critères pour qu’une suite soit équirépartie. C’est le deuxième, celui avec les sommes
d’exponentielles qui s’appelle critère de Weyl. Les démonstrations se font par approximation par des
fonctions ayant de bonnes propriétés.
Attention à une petite imprécision à la fin de la preuve dans le X-ENS (on montre la propriété sur des
fonctions 1-périodiques, et la justification pour passer au cas général est un peu expédiée). Toutefois
ce point est détaillé dans un des Exercices pour l’agrégation : Analyse.
Référence(s) :
— Serge Francinou, Oraux X ENS Analyse 2. Ellipses.
— Chambert-Loir, Fermigier, Maillot, Exercices de mathématiques pour l’agrégation, Analyse (1
ou 2), Masson
Leçons :
202 Exemples de parties denses et applications.
223 Suites numériques. Convergence, valeur d’adhérence. Exemples et applications.
224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables réelles.
2.2.8
Densité des fonctions continues sur r0, 1s nul part dérivables dans l’ensemble des
fonctions continues sur r0, 1s.
Une application du théorème de Baire : on montre que l’ensemble de ces fonctions est une intersection d’ouverts denses. Attention, ce développement est peut être un peu long, et ne pas le faire sans
mettre un exemple d’une telle fonction.
41
Référence(s) :
Leçons :
201 Espaces de fonctions : exemples et applications.
203 Utilisation de la notion de compacité.
228 Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
2.2.9
Deux méthodes de calcul de la gaussienne.
On calcule tout d’abord la gaussienne d’une manière classique en utilisant le changement de variable
en polaire puis d’une seconde manière en utilisant une intégrale à paramètre.
Référence(s) :
Leçons :
236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variable.
2.2.10
Dimension d’un sous-espace vectoriel fermé de l’espace vectoriel des fonctions
continues.
On montre ici qu’un sous espace fermé de pC 0 pr0, 1s, Rq, ||.||8 q inclus dans l’espace des fonctions
dérivables sur r0, 1s est de dimension finie. Ce développement utilise trois gros théorèmes : BanachSteinhaus, Ascoli et Riesz. De plus, il faudra aller à un bon rythme pour le faire tenir en 15 minutes.
Ce résultat est également fait dans un livre de Gonnord Tosel ou il utilise le théorème du graphe fermé,
la preuve étant ainsi peut être un peu plus courte.
Référence(s) :
— Cognet, Algèbre linéaire, page 109, Bréal, [512.64 CON]
— Gonnord Tosel, Ellipses.
Leçons :
208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
2.2.11
Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLn pRq.
Dans ce développement on calcule la différentielle du déterminant en utilisant en particulier la
densité de GLn pRq dans Mn pRq afin de montrer que SLn pRq est une sous-variété de dimension n2 ´ 1
de Mn pRq, on en profitera pour déterminer l’espaces tangent en chaque point et en particulier celui
42
de In . Selon la leçon on pourra aussi faire le lien avec le fait que On pRq et même que les sousgroupes fermés de GLn pRq sont des sous-variétés de Mn pRq, mais les outils servant à ces dernières
démonstrations n’utilisent pas le déterminant.
Référence(s) :
Leçons :
207 Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
2.2.12
Échantillonnage de Shannon.
On montre que le sous espace des fonctions L2 dont la transformée de Fourier est à support dans
rÁ; As est un espace de Hilbert, et l’on en exhibe une base hilbertienne. Ceci permet de donner le
théorème d’échantillonnage de Shannon qui stipule que dans ce cas on peut reconstituer un signal à
l’aide seulement de ses valeurs aux points entiers. Il est à noter qu’il y a une erreur de constante lors
de l’inégalité entre la norme L2 et la norme infinie 33 .
Référence(s) :
— Mohammed El Amrani, Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels. Ellipses.
Leçons :
213 Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
234 Espaces Lp , 1 ď p ď `8.
239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
240 Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.
2.2.13
Ellipsoïde de John-Loewner.
On montre que pour tout compact K d’intérieur non vide de Rn il existe un 34 unique ellipsoïde
centré en 0 de volume minimal contenant K. Ce développement est long, il faut admettre certaines
parties et démontrer ce qui est vraiment en lien avec votre leçon.
Référence(s) :
33. Mais en fait la connaissance précise de la constante ne sert à rien pour la suite de la démonstration.
34. Oui, c’est masculin.
43
Leçons :
2.2.14
Équation de Hill Mathieu.
On considère l’équation y” ` qy “ 0 où q P Cπ0 pR, Rq est paire. On étudie alors les solutions de cette
équation différentielle linéaire. Pour ce faire on utilise le théorème de Cauchy-Lipschitz, le wronskien,
et de l’algèbre linéaire.
Référence(s) :
— Claude Zuily & Hervé Queffélec, Analyse pour l’agrégation. Dunod.
Leçons :
220 équations différentielles X 1 “ f pt, Xq. Exemples d’étude des solutions en dimension 1 et 2.
221 équations différentielles linéaires. Système d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
2.2.15
Espace de Bergman.
On étudie la complétude de l’espace des fonctions analytiques définies sur un ouvert connexe de C
qui sont de module carré intégrable (on montre donc que c’est un espace de Hilbert). La démonstration
se fait en trois étapes, et utilise notamment le deuxième point du théorème de Riesz-Fischer.
Référence(s) :
— François Bayen, Problèmes de mathématiques appliqués - espaces de Hilbert, page 104, Ellipses,
[517 BAY].
Leçons :
205 Espaces complets. Exemples et applications.
234 Espaces Lp , 1 ď p ď 8.
245 Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
2.2.16
Études d’équations différentielles.
On considère deux solutions de deux équations différentielles et on affirme que entre deux zéros
consécutifs 35 d’une des solutions alors une solution de l’autre équation n’a que deux possibilités, s’annuler sur l’intervalle ou être proportionnelle à la première fonction. On en tire ensuite des conclusions
dans des cas biens choisis.
Référence(s) :
35. Si ils existent.
44
— Eric Leichtnam, Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral de l’X et des ENS, Analyse.
Ellipses.
Leçons :
2.2.17
Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs.
` ˘
On considère l’adhérence du graphe de la fonction x ÞÑ sin x1 , on ne trouve pas cette preuve
entièrement dans un livre, mais l’argument final est donné dans le L3 Analyse.
Référence(s) :
— Kit de survie à l’agrégation 3.3.
— J-P. Marco, L3 Analyse. Pearson.
Leçons :
2.2.18
Exemple d’un (autre) ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs.
Ť
Ť Ť
Le sous-ensemble de R2 , Γ, défini par Γ “ t xPQ ptxu ˆ R` qu t xPRzQ txuˆs ´ 8, 0ru est un
connexe de R2 qui n’est pas connexe par arcs. La preuve de ce résultat est assez longue. On prouve
dans un premier temps que Γ est connexe en montrant que toute application continue f : Γ Ñ t0, 1u est
constante. Pour cela, on se ramène à une application de R dans t0, 1u qui est constante si et seulement
si f l’est, et on montre qu’elle est continue sur R. Puis, on montre par l’absurde que Γ n’est pas connexe
par arcs.
Référence(s) :
— Analyse, X.Gourdon. Dunod
Leçons :
2.2.19
Fonction de Lebesgue.
On exhibe une fonction définie sur r0; 1s continue, croissante, nulle en 0 et valant 1 en 1 et dérivable
presque partout de dérivée nulle. En particulier, elle est différente de l’intégrale de sa dérivé. On se
sert allègrement des propriétés exotiques de l’ensemble de Cantor (ou plus exactement des ensembles
qui servent à sa construction).
Référence(s) :
— Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l’intégration. Vuibert.
45
Leçons :
228 Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et contres exemples.
241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre exemples.
2.2.20
Formule des compléments.
On démontre une relation classique mettant en jeu la fonction gamma complexe. On n’aura le temps
que de démontrer le lemme qui fait tout marcher dans lequel est condensé le théorème des résidus et le
théorème de convergence dominée. On précisera à l’oral que le théorème se montre ensuite par Fubini,
changement de variable et principe des zéros isolés.
Une remarque : certaines assertions, comme pt ` iqα tend vers tα quand tend vers 0 et pt ´ iqα
tend vers expp2iπqtα quand tend vers 0, viennent d’un choix de détermination de l’argument, et donc
du logarithme complexe, ce qui n’est pas précisé dans le Amar, et il est facile de se faire piéger à l’oral
sur ce malheureux détail.
Référence(s) :
— Eric Amar, Analyse complexe. Cassini.
Leçons :
247 Exemples de problèmes d’interversion de limites.
2.2.21
Formule d’Euler Maclaurin.
L’idée est de démontrer la formule à coup d’IPP, puis en application : un théorème donnant des
développements asymptotiques de séries numériques. Comme la preuve est basée sur les polynômes
et nombres de Bernoulli, il est sage d’en parler en amont dans la leçon (ça peut constituer un bon
paragraphe !). Il faut être au point sur les notations utilisées, (différentes dans les deux références
citées... Un mélange des deux peut être fait pour gagner du temps à la réécriture de la formule).
Essayez aussi d’écrire du français au tableau, pour éviter de le remplir exclusivement de symboles et
hiéroglyphes... .
Remarque : On trouve d’autres applications de cette formule (peut être à mentionner dans le
plan), en analyse numérique (avec la méthode des trapèzes), ou pour prolonger méromorphiquement
la fonction Zêta de Riemann.
Références :
— Demailly, Analyse numérique et équations différentielles.
— Candelpergher, Calcul intégral.
Leçons :
46
236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou
plusieurs variables réelles.
2.2.22
Formule d’inversion de Fourier dans L1 .
On montre le résultat pour le noyau de Gauss γ (qui est une approximation de l’unité) et pour
f ˚ γ. Pour cela on a besoin, en autre, de la transformée de Fourier de γ, de la formule d’échange et
d’un résultat calculatoire sur les transformée de Fourier. On arrive ensuite au résultat par passage à
la limite (utilisation du théorème de convergence dominée et de Riezs Fischer d’un côté, et utilisation
d’un théorème avec les approximations de l’unité de l’autre).
Référence(s) :
— Mohammed El Amrani, Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels. Ellipse.
Leçons :
2.2.23
Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz.
On démontre la formule sommatoire de Poisson qui permet ensuite de donner une démonstration de
la formule d’inversion de Fourier dans le cadre des fonctions de Schwartz 36 . Colmez le fait directement
en dimension quelconque, il sera donc judicieux de traduire la démonstration dans le cas de la dimension
un. M. Nicoleau en a donné une version très astucieuse 37 qui rend la démonstration très agréable.
Référence(s) :
— Pierre Colmez, éléments d’analyse et d’algèbre. éditions de l’école polytechnique.
— Kit de survie pour l’agrégation pour la version by Mr. Nicoleau 3.5.
— Xavier Gourdon, Analyse. Ellipse. (formule de Poisson)
Leçons :
230 Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des
246 Séries de Fourier. Exemples et applications.
254 Espaces de Schwartz SpRd q et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans SpRd q
et S 1 pRd q.
255 Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.
36. A ne surtout pas confondre avec Schwarz. Minute mnémotechnique : Schwartz il y a un "t" comme tempérées.
37. Pourquoi vous souriez ?
47
2.2.24
Inégalité de Carleman.
Nécessite l’inégalité isopérimétrique et la formule de Stirling. Elle utilise un Fubini pour les séries
doubles ainsi qu’un théorème de sommation d’équivalents. La preuve est bien découpée dans le livre,
mais est un peu courte. Dans ce cas, parlez éventuellement de l’inégalité de Hardy, (à suivre dans le
bouquin) qui se démontre par un même cheminement.
Référence :
— Oraux X-ENS : Analyse 1.
Leçons :
223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et Applications.
séries numériques. Exemples et Applications.
2.2.25
Inégalité de Hoeffding.
On considère une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, centrées et bornées presque
sûrement. Alors on affine la loi forte des grands nombres en donnant une estimation de l’ écart à 0 de
la somme partielle des variables aléatoires. Cette estimation peut ensuite être mise en action sur des
Bernouilli sur t´1; 1u pour donner une estimation de la vitesse de convergence vers 0 de la moyenne
empirique. On peut aussi comparer cette inégalité avec les inégalités obtenues à l’aide du TCL pour
un échantillon assez grand.
Référence(s) :
— Jean Yves Ouvrard, Probabilités tome 2. Cassini.
Leçons :
249 Suites de variables de Bernouilli indépendantes.
2.2.26
Inégalité de Le Cam.
C’est un exercice avec indications et 3.4. On majore l’écart entre la somme de variable de Bernouilli
et une loi de Poisson. Ceci permet de justifier le théorème des événements rares qui stipule que si la
probabilité de réussite d’une Bernouilli est faible alors si l’on observe une grande quantité de réalisations, la somme suit approximativement une loi de Poisson (voir le livre d’Ouvrard pour un énoncé,
mais la preuve utilise le théorème de Paul Lévy sur le lien entre fonction caractéristique et convergence
en loi).
Référence(s) :
— Olivier Garet, De l’intégration aux probabilités. Ellipses.
— Jean Yves Ouvrard, Probabilités tome 2. Cassini.
Leçons :
48
249 Suites de variables de Bernoulli indépendantes.
2.2.27
Inégalité isopérimétrique.
On considère une courbe fermée, régulière, sans point multiple et de classe C 1 , on donne alors une
inégalité entre son périmètre et l’aire qu’elle délimite. En utilisant entre autres les formules de Green
Riemann et de Parseval. Il y a de plus un cas d’égalité, celui du cercle.
Référence(s) :
— Claude Zuily et Hervé Quéfellec, Analyse pour l’agrégation. Dunod.
— Mohammed El Amrani, Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels. Ellipses.
Leçons :
216 étude métrique des courbes. Exemples
2.2.28
Lemme de Morse à plusieurs variables.
Pour ce développement on montre un lemme, une version différentiable de la réduction des formes
quadratiques, qui utilise, entre autre le théorème des fonctions implicites. Avant de l’utiliser pour
montrer le lemme de Morse. Il faudra penser à mettre des applications, pour cela on peut, par exemple,
trouver dans le Rouvière des applications en dimension 3 sur des études locales de surfaces du type
z “ f px, yq.
Référence(s) :
Leçons :
214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.Exemples et applications.
2.2.29
Loi des extrêmes.
On considère une suite pXn q de v.a. indépendantes de même loi, de fonction de répartition G,
et on étudie la convergence de Mn “ maxpX1 , ..., Xn q. Cela se fait en deux temps : On montre la
convergence presque sûre de Mn vers une constante, puis on cherche des paramètres an et bn tels que
an pMn ´ bn q converge en loi vers une v.a. non constante p.s. Pour cela on étudie trois exemples. On
obtient un développement de taille raisonnable en traitant par exemple la première partie et un des
trois exemples.
Référence(s) :
— Cottrell, Exercices de probabilités, Cassini.
Leçons :
49
262 Modes de convergence d’une variable aléatoire. Exemples et Applications.
263 Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
2.2.30
Marche aléatoire sur Z.
On étudie une marche aléatoire sur Z et l’on donne un critère nécessaire et suffisant pour savoir si
la marche va passer une infinité de fois en 0 38 . On peut ensuite appliquer ce critère au cas où la marche
est défini par des variables (presque) de Bernouilli sur t´1; 1u. Alternativement, on peut directement
faire la preuve pour des variables (presque) de Bernouilli sur t´1; 1u.
Référence(s) :
Leçons :
249 Suites de variables de Bernoulli indépendantes.
262 Modes de convergence d’une suite de variables aléatoires. Exemples et applications. 39
264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
2.2.31
Méthode de Laplace.
Faire les questions 3, 4, 5 de l’exo du Rouvière (toutes éditions confondues). Il ne faut pas perdre de
temps pour illustrer la méthode sur Gamma (Question 5). Remarque : En changeant la variable réelle
t en variable discrète n, ce développement peut se placer dans les leçons sur les suites. L’application
sur Gamma donne alors la formule de Stirling.
Références :
— Rouvière, Petit guide du calcul différentiel.
— Faraut, Calcul intégral, EDP Sciences.
Leçons :
218 Application de la formule de Taylor.
235 Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et Applications.
239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et Applications.
38. Un alcoolique finira toujours pas retourner au bar. Consommer avec modération.
39. la première partie de la preuve redémontre un résultat proche de Borel-Cantelli et la deuxième partie applique la
loi forte des grands nombres
50
2.2.32
Méthode de Newton.
On démontre la convergence de la méthode de Newton vers le zéro d’une fonction vérifiant de
bonnes propriétés. On montre de plus que la convergence est quadratique. On affine le résultat dans le
cas d’une fonction convexe où l’on pourra donner un équivalent de la suite. Il peut être utile de savoir
que cette méthode est construite de façon à se ramener à un problème de point fixe et qu’elle a été
utilisé très longtemps (est encore utilisé ?) dans les ordinateurs pour donner des valeurs approchées de
racines carrées. A cette occasion il peut être bon de décrire plus précisément la méthode dans ce cas
précis. Demailly le démontre en utilisant des propriétés de convexité.
Référence(s) :
— Jean Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles. Presses universitaires de
Grenoble.
Leçons :
206 Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
218 Applications des formules de Taylor.
226 Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un`1 “ f pun q. Exemples et
applications.
232 Méthode d’approximation des solutions d’une équation F pXq “ 0. Exemples.
2.2.33
Méthode du gradient à pas optimal.
On démontre la convergence de la méthode du gradient à pas optimal vers la solution d’un système
linéaire. Si le temps le permet on peut affiner la vitesse de convergence à l’aide de l’inégalité de
Kantorovich. La seconde référence contient une preuve de l’inégalité de Kantorovich.
Référence(s) :
— Jean Pierre Ramis, Cours de mathématiques pures et appliquées, Volume 1 Algèbre et géométrie.
De Boeck.
— Bernard Heron, ANALYSE NUMERIQUE. Exercices et problèmes corrigés. Dunod.
Leçons :
232 Méthode d’approximation des solutions d’une équation F pXq “ 0. Exemples.
51
2.2.34
Nombres de Bell.
Le n-ième nombre de Bell, Bn , correspond au nombre de partitions de l’ensemble rr1, nss. Dans ce
développement, sans doute long si l’on souhaite faire l’exercice en entier, on utilise une série génératrice
et des séries entières ainsi qu’une double somme pour réussir à écrire Bn sous forme d’une série ne
dépendant que de n.
Référence(s) :
Leçons :
243 Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
2.2.35
Nombres de Catalan.
p2n´2q
On montre que le nombre de parenthésages différents d’un produit de n éléments est égal à n´1
n! .
Les deux références n’utilisent pas la même philosophie, le Saux Picard reste dans le cadre strict des
séries formelles quand Francinou flirte avec les séries entières.
Référence(s) :
— Philippe Saux Picart, Cours de calcul formel : algorithmiques fondamentaux. Ellipses.
Leçons :
243 Convergence des séries entières. propriétés de la somme. Exemples et applications.
2.2.36
Nombre de partitions d’un entier en parts fixées.
En posant a1 , . . . , ak , k entiers premiers entre eux dans leur ensemble, on cherche un équivalent en
`8 du nombre un de k-uplets px1 , . . . , xk q dans Nk tels que pour un entier n on ait a1 x1 `. . .àk xk “ n.
Pour se faire on utilisera un produit de Cauchy de séries géométriques que l’on verra à la fois comme
un série génératrice et comme une fraction rationnelle.
Référence(s) :
Leçons :
2.2.37
Nombres Normaux.
Un nombre normal est un nombre réel tel que la fréquence d’apparition de tout n-uplet dans la
suite de ses "décimales" dans toute base est équirépartie (merci Wikipédia). Pour montrer que presque
tout nombre réel de r0, 1s est normal (c’est l’objet du développement) on fait un usage intensif de la
52
loi forte des grands nombres. Pour quelques exemples consultez Wikipédia, il n’y a pas grand chose
dans les livres habituels.
Référence(s) :
Leçons :
299 leçon de proba
2.2.38
Points de continuité d’une limite simple de fonctions continues
On montre que si f est limite simple de fonctions continues définies sur un intervalle ouvert et
à valeurs dans R, alors f est continue sur un ensemble dense. C’est une application du théorème de
Baire. La preuve est un peu longue, une première partie concernant l’oscillation d’une fonction en un
point peut se mettre en lemme dans un premier temps, quitte à revenir dessus après.
Référence(s) :
— Exercices de mathématiques pour l’agrégation, analyse 2, A.Chambert-Loir et S.Fermigier. Masson.
Leçons :
2.2.39
Primitives de distributions.
On montre que seules les distributions constante ont une dérivée nulle. Puis l’on déduit que toute
les distributions admettent une primitive. Il faut mixer plusieurs références pour avoir quelque chose
de cohérent dans le cadre des distributions tempérées.
Référence(s) :
— Claude Gasquet, Analayse de Fourier et applications. Masson.
— Jean Michel Bony, Cours d’analyse - Théories des distributions et analyse de Fourier. Edition
de l’école polytechnique.
Leçons :
254 Espaces de Schwartz SpRd q et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans SpRd q
et S 1 pRd q.
255 Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.
2.2.40
Processus de Galton-Watson.
On étudie la transmission du nom d’un homme de génération en génération, supposant constante au
cours des générations la probabilité pk qu’un homme ait k fils.On utilise alors les fonctions génératrices
de lois de variables discrètes pour étudier la probabilité d’extinction du nom.
53
Référence(s) :
— Cottrell, Exercices de probabilités, Cassini.
Leçons :
260 Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
2.2.41
Projection sur un convexe fermé et théorème de représentation de Riesz.
On montre que l’on peut définir le projeté d’un point sur un convexe fermé dans un espace de
Hilbert 40 . En admettant ensuite un certain nombre de propriété de cette projection, on peut ensuite
démontrer le théorème de représentation de Riesz.
Référence(s) :
Leçons :
2.2.42
Prolongement méromorphe de la fonction Γ.
On montre que la fonction Γ est prolongeable en une fonction méromorphes sur le plan complexe.
Il existe deux versions de cette démonstration, l’une directement avec l’expression "classique" de la
fonction(Beck), l’autre avec un lemme donnant une écriture de la fonction comme une limite (Zuily).
Référence(s) :
— Vincent Beck, Objectif agrégation. H&K.
Leçons :
40. En fait, on peut aussi supposer que l’on est dans un préhilbertien et que l’on projette sur un convexe complet.
C’est la même démonstration.
54
2.2.43
Prolongement méromorphe de la fonction ζ.
Il faut admettre la formule de Jacobi (et savoir qu’elle vient de la formule de Poisson, appliquée
à la Gaussienne, qui est l’image d’elle-même par la transformée de Fourier...). La preuve est assez
calculatoire, et utilise les théorèmes classiques de switchage (CV dominée, Fubini Tonelli, holomorphie
sous l’intégrale). Si la partie calcul est bien travaillée au cours de l’année (au moins lors du dernier
mois...), cette preuve est sans encombre et se replace plutôt bien.
Références :
— Zuily Queffélec, Eléments d’analyse pour l’agrégation.
Leçons :
235 Suites et séries de fonctions intégrales. Exemples et applications.
241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contres exemples.
2.2.44
Simplicité de SO(3) par la connexité.
étant donné G distingué dans SOp3q, on montre qu’on peut se ramener à étudier la composante
connexe par arcs G0 de Id dans G, et on montre que G0 contient un renversement.
Référence(s) :
Leçons :
103 Exemples et applications de notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.
183 Utilisation de groupes en géométrie.
2.2.45
Sous-groupes compacts de GLn pRq.
On montre que tout sous-groupe compact de GLn pRq est conjugué à un sous-groupe de On pRq.
On montre pour cela un premier lemme de point fixe, qui est une forme de théorème de point fixe de
Kakutani. Remarquons que ce développement est long.
Référence(s) :
Leçons :
55
2.2.46
Théorème central limite.
On démontre le théorème central limite à l’aide du théorème de Levy. Afin que le développement
soit suffisamment consistant, on recalculera la transformée de Fourier de la gaussienne (i.e : la fonction
caractéristique d’une loi normale). On gagnera en simplicité à éliminer le cas où la variance est nulle
pour ensuite la considérer égale à 1 quitte à diviser par l’écart type (début de la preuve du TCL dans le
Barbe Ledoux), on peut aussi utiliser le Zuily Queffélec pour avoir un peu plus de formules de Taylor.
Référence(s) :
Leçons :
218 Applications des formules de Taylor.
2.2.47
Théorèmes d’Abel angulaire et taubérien faible.
Le théorème d’Abel angulaire donne une condition de continuité de la série entière sur le bord de
son disque de convergence. Le théorème taubérien faible est une réciproque partielle (il y a aussi le
théorème taubérien fort, aussi dans le Gourdon Analyse) du théorème d’Abel, si la série entière admet
´
une
` ˘limite vers 1 sur le bord de son disque de convergence et si les coefficients de la série sont des
o n1 alors la série des coefficients converge vers la limite de la série entière vers 1´ . Il se peut que
les preuves successives de ces deux théorèmes soit un développement trop long, il faudrait alors se
concentrer sur le théorème d’Abel.
Référence(s) :
Leçons :
2.2.48
Théorème de Banach-Steinhaus et séries de Fourier.
On montre qu’il existe des fonctions continues qui différent de leurs séries de Fourier à l’aide
du théorème de Banach Steinhaus. Si le temps le permet on peut montrer le théorème de Banach
Steinhaus. Attention, la preuve de l’application est fausse dans la première édition, et a été corrigée
dans la seconde.
56
Référence(s) :
— Xavier Gourdon, Analyse. Ellipses (pour les séries de Fourier).
— Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle. Dunod. (Pour Banach Steinhaus 41 ).
Leçons :
2.2.49
Théorème de Borel.
On montre que pour toute suite de nombre réels, il existe une fonction de classe C 8 telle que la suite
de ses dérivées en 0 soit la suite initiale. On admettra l’existence des fonctions plateaux en ayant tout
de même dans un coin une méthode de construction de celles ci. Ce théorème montre en particulier
qu’il existe des fonctions C 8 qui diffèrent de leur développement de Taylor ainsi que la possibilité de
prolonger toute fonction C 8 définie sur un segment en une fonction C 8 sur R.
Référence(s) :
— Claude Zuily et Hervé Queffélec, Analyse pour l’agrégation. Dunod.
Leçons :
235 Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.
2.2.50
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
On démontre une certaine version du théorème de Cauchy Lipschitz qui affirme l’existence d’une
unique solution pour une équation différentielle avec condition initiale vérifiant quelques bonnes propriétés. Cette démonstration se fait à l’aide du théorème de point fixe de Picard.
Référence(s) :
Leçons :
41. Oui je sais, Gourdon le fait aussi. Mais quand on a gouter au style de Brezis on ne peut plus s’en passer. L’essayer
c’est l’adopter.
57
221 équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications. 42
2.2.51
Théorème de convergence de Fejèr.
On montre ici que les moyennes de Cesàro d’une fonction f 2π-périodique convergent uniformément
vers cette fonction si elle est continue, et convergent en norme Lp vers f si f est Lp -intégrable. On
utilise l’expression des moyennes de Cesàro comme produit de convolution de f et du noyau de Fejèr,
et la preuve consiste à faire de bonnes majorations pour aboutir au résultat. On se sert du fait que
l’application t Ñ }f ´ τt f }pp est continue, où τt f pxq “ f px ` tq, ce qui est par exemple très bien
démontré dans le livre de Briane-Pagès (mais on a tout de même besoin d’un argument de densité,
donc ce résultat n’est pas trivial).
Référence(s) :
— Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, El Amrani. ?
— Théorie de l’intégration, M.Briane et G. Pagès. ?
— Zuily, Queffélec, Eléments d’analyse pour l’agrégation, Dunod
Leçons :
209 Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples
et applications.
235 Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.
2.2.52
Théorème de D’Alembert Gauss.
On démontre à l’aide des outils de l’analyse le théorème de d’Alembert Gauss, et l’on raffine même
le résultat en affirmant que toutes les valeurs prises par la fonction polynômiale, sauf un nombre fini
d’entre elles, sont atteintes le même nombre de fois. On utilisera des raisonnements mettant en jeu de
la connexité, du Bolzano Weierstrass ainsi que du théorème d’inversion locale
Référence(s) :
— Kit de survie pour l’agrégation 3.7.
Leçons :
42. Il faudra alors penser à adapter la preuve au seul cas linéaire.
58
2.2.53
Théorème de Goursat
43
C’est un développement original (d’après M. Nicoleau), pas compliqué (d’après le commun des
agrégatifs), permettant d’exposer ses talents de dessinateur (de triangles), en tenant le quart d’heure
réglementaire. Ce théorème sert à démontrer ensuite LA formule de Cauchy (Sans utiliser de formes
différentielles et formule de Green !), et montrer que holomorphe et analytique sont finalement deux
notions assez proche... Remarque : il est tout de même bon d’employer des notations claires pour
construire la suite de triangles emboîtés, à part ça, ce n’est que du bonheur !
Références :
— Rudin, Analyse réelles et complexe.
— Tauvel, Analyse complexe pour la licence 3.
Leçons :
2.2.54
Théorème d’inversion locale.
Si f est une application de classe C 1 définie sur un ouvert de Rn , dont la différentielle en un point
a est inversible, alors f est localement un difféomorphisme sur un voisinage de a. On a une preuve en
quatre étapes : on simplifie tout d’abord les notations en se ramenant au cas a “ 0, et Df p0q “ In , puis
on montre localement l’existence de f ´1 , sur un voisinage de 0. Les deux dernières étapes consistent à
montrer que f ´1 ainsi définie est 2-lipschitzienne, puis enfin qu’elle est de classe C 1 . Dans la preuve,
on utilise la théorème de point fixe, mais Avez l’applique dans le cas d’une fonction contractante définie
sur une boule ouverte, sans détailler. En fait un argument de continuité permet de s’en sortir pour se
ramener aux hypothèses du théorème (cf Benzoni).
Référence(s) :
— Calcul Différentiel, Avez. Masson.
— Calcul Différentiel et Equations Différentielles, S.Benzoni-Gavage. Dunod.
Leçons :
2.2.55
Théorème de l’application ouverte.
Ce théorème dit qu’un opérateur linéaire continu et surjectif entre deux espaces de Banach est,
comme son nom l’indique, une application ouverte. La preuve se déroule en deux temps et fait appel
au théorème de Baire.
Référence(s) :
— Analyse fonctionnelle, H.Brezis. Dunod
43. Aussi appelé théorème de Cauchy triangle.
59
Leçons :
2.2.56
Théorème de Liapounov.
Soit le système différentiel y 1 “ f pyq, yp0q “ x0 , avec f : Rn Ñ Rn de classe C 1 . On montre que si
la matrice A “ Df p0q a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative, alors pour x0
assez proche de 0, la solution yptq tend exponentiellement vers 0 en `8.
Référence(s) :
— Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, Cassini.
Leçons :
220 équations différentielles X 1 “ f pt, Xq . Exemples d’étude des solutions en dimension 2 et 3.
221 équations différentielles linéaires.Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
2.2.57
Théorème de Riesz Fischer.
On montre la complétude des espaces Lp pour 1 ď P ď 8, en précisant que de toute suite qui
converge on peut extraire une sous suite qui converge presque partout. Il existe deux démonstrations,
l’une directement à la main (Brezis), l’autre à l’aide d’un lemme sur une caractérisation des espaces
complets (Briane Pagés).
Référence(s) :
— Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Dunod.
— Marc Briane, Théorie de l’intégration. Vuilbert.
Leçons :
201
205
208
234
235
2.2.58
Espaces de fonctions : exemples et applications.
Espaces complets. Exemples et applications.
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Espaces Lp , 1 ď p ď 8.
Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.
Théorème de Sharkovsky.
On démontre le théorème de Sharkovsky qui stipule que si l’on se donne une fonction continue
sur un segment admettant un 3-cycle, alors il existe des cycles de tout ordres. Il est parfois résumer
en : 3-cycle implique chaos au sens où l’on sait d’avance que le système dynamique engendré par cette
fonction n’aura pas un comportement simple à étudier. On y utilise allègrement le théorème des valeurs
intermédiaires. Il est bon d’avoir un exemple d’une telle fonction, une possibilité est donné à l’exercice
suivant dans l’oraux X ENS.
60
Référence(s) :
Leçons :
226 Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un`1 “ f pun q. Exemples et
applications.
2.2.59
Théorème de sélection de Helly.
Un lemme dans lequel on utilise le procédé diagonal de Cantor pour montrer qu’une suite de fonction
d’un ensemble dénombrable dans un compact de R admet une sous suite qui converge simplement. On
considère ensuite une suite de fonctions croissantes de R dans r´1, 1s et on montre qu’il existe une sous
suite qui converge simplement, en commençant par appliquer le lemme à la restriction des fonctions à
Q. Il faut faire attention à ne pas être trop long sur le lemme. On peut aussi regarder si on trouve une
application du côté des fonctions de répartition en probabilités.
Référence(s) :
Leçons :
202 Exemple de parties denses et applications.
2.2.60
Théorème des extremums liés.
Ce théorème dont la preuve utilise alternativement des matrices jacobiennes, le théorème des fonctions implicite et des dérivées de composées, a besoin d’être accompagné d’une ou de plusieurs applications (on pourra regarder les exercice du Gourdon). Mais il faut faire attention à ne pas se limiter
à l’inégalité arithmético-géométrique qui a bien sûr une preuve bien plus élémentaire à l’aide de la
concavité du logarithme.
Une preuve plus adaptée au cadre des sous-variétés (leçon 217) dans Avez. Applications possibles :
réduction des endomorphismes autoadjoints (Avez, Objectif Agrégation), caractérisation des éléments
de SO(n) (Objectif Agrégation).
Référence(s) :
— Avez, Calcul différentiel, Masson.
— Beck, Malick, Peyré, Objectif Agrégation, HetK.
Leçons :
61
2.2.61
Théorème des quatre sommets.
On considère un arc paramétré de R2 , de classe C 3 , correspondant à une courbe fermée simple, de
courbure positive. Alors la courbure admet au moins 4 points critiques. La preuve se décompose en
deux lemmes, on les utilise ensuite lors de deux démonstrations par l’absurde pour montrer qu’il y a
au moins 4 sommets.
Référence(s) :
Leçons :
216 étude métrique des courbes. Exemples
2.2.62
Théorème de Stampacchia.
Théorème dont la preuve utilise les théorèmes de représentation de Riesz, de projection sur un
convexe fermé et du point fixe de Banach Picard. Son corollaire qu’est le théorème de Lax-Milgram
permet de résoudre des équations fonctionnelles dans l’espace de Sobolev H01 , à regarder impérativement dans les chapitres indiqués à la suite du théorème dans le Brezis.
Référence(s) :
— Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle. Dunod
Leçons :
213 Espaces de Hilbert. Base hilbertiennes. Exemples et applications.
2.2.63
Théorème de Stone.
On donne des critères suffisant pour qu’une famille de fonctions soit dense dans l’espaces des
fonctions continues définies sur un compact muni de la norme de convergence uniforme. On y utilisera
les définitions de la compacité via les recouvrements par des ouverts. En l’état, ce théorème ne permet
pas d’affirmer la densité des polynômes (Théorème de Stone-WeierstraÃ).
Référence(s) :
— Guy Auliac, Mathématiques topologie et analyse. Ediscience.
Leçons :
62
2.2.64
Théorème de Tietze.
Ce développement est un résultat qui nous permet de prolonger une fonction définie sur un fermé
d’un espace métrique dans R à l’espace tout entier. Ce résultat est précédé d’un lemme que l’on peut
admettre pour raccourcir un peu le temps de présentation oral. La démonstration du théorème se fait
en 3 étapes, les deux dernières étant des améliorations du résultat montré à la première. Dans cette
première étape, on montre que l’application linéaire de restriction est surjective.
Référence(s) :
— Claude Zuily et Hervé Queffélec, éléments d’analyse, Dunod, [517 ZUI].
— Xavier Gourdon, Analyse. Ellipse. (autre preuve)
Leçons :
2.2.65
Théorème de Weierstrass par convolution.
à l’aide d’une approximation de l’unité particulière pn , on montre que f ˚ pn est un polynôme et
converge uniformément vers f sur le segment I “ r´0.5; 0.5s, pour f continue nulle en dehors de I.
Une petite manipulation (faire un schéma) nous donne ensuite le cas général.
Référence(s) :
— Mohammed El Amrani, Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels. Ellipse. (pour une
autre preuve de la convergence uniforme)
Leçons :
et applications.
2.2.66
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein.
Pour f une fonction continue sur [0 ;1] et Sn „uneˆ somme
˙ de variables aléatoires indépendantes
Sn
“ Bn pxq (polynôme de Bernstein). On
de même loi de Bernoulli de paramètre x, on a E f
n
montre ensuite que Bn converge uniformément vers f en utilisant l’uniforme continuité de f sur [0 ;1]
et l’inégalité de Tchebychev.
Référence(s) :
63
— Jean-Yves Ouvrard, Probabilités 1. Cassini.
Leçons :
et applications.
260 Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
2.2.67
Une équation fonctionnelle : f 1 ptq “ f
`1˘
t
.
On cherche l’ensemble des fonctions réelles vérifiant cette propriété, on se ramène alors à résoudre
une équation différentielle linéaire (mais pas à coefficients constants) dans C puis on se ramène au cas
réel.
Référence(s) :
Leçons :
220 équations différentielles X’=f(t,X). Exemples d’étude des solutions en dimension 1 et 2.
–En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d’appeler un opérateur auto-adjoint un
éléphant et une décomposition spectrale une trompe. On peut alors démontrer un théorème suivant
lequel "tout éléphant a une trompe". Mais on n’a pas le droit de laisser croire que ce résultat a
quelque chose à voir avec de gros animaux gris.–
Gerald Jay Sussman.
64
3
Trucs et astuces.
Dans cette partie, nous donnerons les corrections, compléments vis à vis de certains développements
sus-cités. Dans le cas des développements sans référence ( autre que ce document ), seuls les grandes
lignes vous seront données. Le travail de fond vous est offert par la maison.
3.1
Ellipse de Steiner.
Pour combler les lacunes de la preuve de Tissier voici quelques précisions supplémentaires, plus ou
moins en vrac.
1. Lorsqu’il définit µ, il oublie de préciser le τ qui apparaitra ensuite : u “ τ ` iµ.
2. Il arrive également au cours de la preuve que des résultats apparaissent sans calcul intermédiaire,
il est sans doute très utile de les faire pour une bonne assimilation, et une bonne compréhension
du jury.
3. Précisions sur la géométrie du triangle, un triangle équilatéral a son centre de cercle inscrit
confondu avec le centre de son cercle circonscrit, eux même confondus avec le centre de gravité.
Le cercle inscrit étant de rayon 1{3 de la longueur de la médiane et le cercle circonscrit étant
de rayon 2{3 de la longueur de la médiane. Ce qui donne bien une homothétie de rapport 2.
4. À la fin de la preuve on ne sait toujours pas si l’ellipse trouvée est bien l’ellipse cherchée,
? c’est
dommage mais ça se résout simplement, il suffit de se rappeler que dans une ellipse c “ a2 ´ b2
(voir dans Audin et la construction du jardinier, ou le formulaire des coniques dans le Laville).
3.2
Études d’anneaux.
Soit A :“ CrX, Y s{pXY ´ 1q. A est un anneau euclidien (donc principal).
Voici quelques éléments de preuves.
˘
“
‰
`
Considérons le morphisme ψ : P pX, Y q P CrX, Y s ÞÑ P T, T1 P C T, T1 . ψ est surjectif... Montrons
maintenant que ker ψ “ pXY ´ 1q. ψpXY ´ 1q “ 0 donc pXY ´ 1q Ă ker ψ, il reste à montrer l’inclusion
réciproque.
Soit P pX, Y q P CrX, Y s que l’on écrit par division euclidienne dans CpXqrY s sous la forme :
P pX, Y q “ pXY ´ 1qQX pY q ` RX .
En multipliant par le ppcm U pXq P CrXs des dénominateurs des coefficients de QX et de RX on
obtient :
X
U pXqP pX, Y q “ pXY ´ 1qQX
0 ` R0 .
D’où si ψpP q “ 0, R0X pT q “ 0 et comme pXY ´ 1q est un idéal premier, XY ´ 1|P puisque XY ´ 1 ne
peux pas diviser S qui est seulement
“
‰ un polynôme en X...
Il reste à montrer que C T, T1 est euclidien pour conclure.
Il suffit alors d’adapter la preuve générale (donnée dans un exercice précédent) à ce cas particulier,
c’est plus élégant que de démontrer un lemme avec des notations lourdes qui ne nous serviront pas
vraiment.
65
3.3
Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs.
"ˆ
ˆ ˙˙
*
1
Soient Γ :“
x, sin
, x P R˚` et A :“ t0u ˆ r´1, 1s. Alors Γ̄ “ Γ Y A est connexe mais pas
x
connexe par arcs.
`
` ˘˘
Pour la preuve, on commence par définir la fonction g : x P R˚` ÞÑ x, sin x1 P R2 , g est continue
et gpR˚` q “ Γ donc Γ est connexe et donc son adhérence Γ̄ aussi.
Montrons à présent que Γ̄ “ Γ Y A. Il suffit donc de montrer que toute suite de Γ convergente converge
dans Γ Y A et que tout point de Γ Y A peut être atteint.
Soit pXn qn une suite convergente de Γ, Xn “ pxn , yn q. Comme pXn qn converge, il existe α, β P R tels
que xn Ñ α et yn Ñ β lorsque n Ñ `8. De plus, comme Xn P Γ, yn P r´1, 1s pour tout n P N, donc
β P r´1, 1s, de même α P R˚` .
Si α “ 0 on montre que β P r´1, 1s et que toutes les valeurs peuvent être atteintes.
Si α ą 0, on utilise le fait que l’intersection de Γ avec une bande verticale fermée ne contenant pas
p0, 0q est fermée.
Il reste à prouver que Γ̄ n’est pas connexe par arcs. Et ici on peut utiliser la démonstration par
l’absurde du L3 Analyse.
3.4
Inégalité de Le Cam.
Une petite précision sur la preuve de l’inégalité en elle même et sur la dernière indication de
l’exercice :
|P pX P Aq ´ P pY P Aq| ď ErχtX‰Y u s “ P pX ‰ Y q. Or si X ‰ Y , il existe i P rr1, nss tel que Xi ‰ Yi ,
d’où :
n
ď
tX ‰ Y u Ă
tXi ‰ Yi u.
i“1
3.5
Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz
sauce Nicoleau.
M. Nicoleau précise que cette version lui vient d’un polycopié de l’X de M. J-M Bony.
On prend ici comme convention pour la transformée de Fourier :
ż
p
f pξq “ f ptqeítξ dt.
R
On démontre, de manière classique, une formule sommatoire de Poisson pour les fonctions dans
l’espace de Schwartz :
ˆ
˙
ÿ
1 ÿ p 2kπ
f
.
f pkT q “
@T ą 0,
T kPZ
T
kPZ
ř
Pour ce faire on considère la fonction F : x ÞÑ kPZ f px ` kT q où f est dans SpRq. Par les
propriétés des fonctions de Schwartz on montre que F est bien défini, T -périodique et C 1 sur r0; T s.
On décompose alors F en série de Fourier. Le calcul de ses coefficients de Fourier puis l’évaluation
pour x “ 0 de la décomposition donne la formule voulue.
66
On souhaite maintenant démontrer la formule d’inversion de Fourier dans Schwartz :
ż
1
fppξqeixξ dξ
f pxq “
2π R
On remarque qu’en fait il suffit de montrer la formule pour x “ 0 puisque sinon, en x0 , on se ramène
à ce cas en étudiant la fonction g : x ÞÑ f px ` x0 q, les relations sur les translations et la transformée
de Fourier faisant le reste 44 .
ş
1
fppξqdξ. On ressort donc notre formule de Poisson
On souhaite donc montrer que f p0q “ 2π
R
fraichement pêché et l’on va faire tendre T vers l’infini dans les deux termes de l’égalité pour obtenir
finalement la formule voulue.
A gauche, on sépare le terme pour k “ 0 du reste. Et l’on montre que la somme des termes restants
est majorée en valeur absolue par un terme tendant
0 quand T tend vers l’infini 45 .
ř vers
ε
p
A droite, on réécrit le terme sous la forme 2π kPZ f pεkq où ε “ 2π
T . Une pulsion animal devrait vous
crier que ça a tout l’air d’une somme de Riemann. On applique alors, le plus proprement du monde,
le théorème de convergence dominée à la famille de fonctions fpε : x ÞÑ fppkεq pour x P rkε; pk ` 1qεr en
faisant tendre ε vers 0.
Alors, heureux(se) ?
3.6
Suite de polygones.
En fait la suite de polygones est définie par :
´
¯
#
p0q
xp0q “ x1 ; . . . ; x0n .
@n ě 1, xpnq “ A.xpn´1q .
où A est la matrice :
¨
1
2
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1
2
1
2
˛
1
2
..
.
..
1
2
1
2
.
1
2
1
2
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
On diagonalise cette matrice via le déterminant circulant. Puis l’on détermine sa limite, celle ci
existant on sait alors que la suite de polygone admet une limite. Cette limite est alors un vecteur
laissé fixe par A. De plus on vérifie que le vecteur p1; . . . ; 1q est un vecteur fixe par A et que le
sous espace propre associé à 1 est de dimension 1. Donc la limite est nécessairement de la forme :
x8 “ pz; . . . ; zq avec z P C. On écrit alors les relations de définition du barycentre pour le polygone
initial. Par associativité la relation est conservé par passage à la limite. On en déduit que z “ g où g
est le barycentre des points initiaux.
44. Ne vous inquiétez pas, les étoiles dans les yeux c’est normal
45. SPOILER : |f pkT q| ď k2CT 2
67
3.7
Théorème de d’Alembert Gauss.
On considère P un polynôme non constant dans C rXs, et par abus de notation on notera aussi
P l’application polynômiale de C dans C associée. On note S “ tz P C, P 1 pzq “ 0u l’ensemble des
points critiques et Σ “ P pSq l’ensemble des valeurs critiques qui est fini. On va montrer que l’ensemble
des valeurs non critiques sont atteintes et qu’elles le sont toutes le même nombre de fois. Les valeurs
critiques étant atteintes par définition on aura montrer le théorème voulue.
(
Tout ceci se fait à l’aide de l’étude de la fonction définie sur CzΣ par τ : α ÞÑ # P ´1 pαq . On
montre que celle ci est localement constante non nulle 46 , la connexité de CzΣ faisant le reste.
Ainsi, on commence par montrer que si τ pαq “ 0 alors τ pβq “ 0 pour β suffisamment proche de α.
Ceci se fait en raisonnant par l’absurde et par contraposée tout en saupoudrant de Bolzano Weierstrass.
En particulier on finira par montrer que P est une application fermée.
Puis l’on considère que τ pαq “ m avec P ´1 pαq “ tz1 ; . . . ; zm u. On applique le théorème d’inversion
locale au voisinage de chaque zi . Et quitte à réduire les voisinages de départ et d’arrivés on peut
considérer que les
voisinages˘de départs Ui sont disjoints et qu’ils ont tous la même image V . On note
`Ť
c
m
alors W “ V zP p i“1 Ui q 47 . W est un voisinage ouvert de α. Et chaque β dans W a exactement
m antécédents par P , d’où τ pβq “ m.
3.8
Théorème des deux carrés et l’isomorphisme de M. Gervais.
On cherche à justifier l’isomorphisme entre Z ris {ppq et Fp rXs {pX 2 ` 1q. Ceci se fait étudiant les
noyaux de deux morphismes et en constatant leurs égalités. Les deux morphismes en question sont
construits à l’aide des suites de morphismes suivants :
f
Z rXs
ÝÑ
Z ris
π
1
ÝÑ
Z ris {ppq.
P ÞÑ P piq
et
Z rXs
g
ÝÑ
π
2
Fp rXs ÝÑ
Fp rXs {pX 2 ` 1q.
P ÞÑ Pr
Ces deux morphismes ont pour noyaux pp, X 2 ` 1q. L’égalité des noyaux permet après passage au
quotient de constater l’isomorphisme voulu.
3.9
Théorème de Frobenius Zolotarev et les astuces de M. Gervais.
— Astuce numéro 1 : Pour montrer la propriété de morphisme de l’application signature de GLpEq
dans t´1; 1u on montre que le groupe dérivée de GLpEq est SLpEq. Pour cela on utilise le fait que
SLpEq est engendré par les transvections et en prenant la définition matricielle des transvections
il est (pratiquement) immédiat que deux transvections sont conjuguées dans GLpEq. Ainsi pour
toute transvection f , f 2 “ uf u´1 pour un certain u P GLpEq, et donc f “ uf u´1 f ´1 P
DpGLpEqq.
— Astuce numéro 2 : Pour montrer qu’il n’existe qu’un unique morphisme non trivial de F˚p dans
t´1; 1u, on utilise la propriété de cyclicité du groupe multiplicatif F˚p .
46. SPOILER : non nulle car on aurait P ´1 pΣq “ C or P ´1 pΣq est fini sinon P serait constant
47. Ok à première vue c’est pas beau comme définition, mais en fait c’est très logique pour ce que l’on veut en faire.
68
— Astuce numéro 3 : Pour exhiber un élément de GLpEq de signature ´1, sachant que E est
isomorphe en tant qu’espace vectoriel sur Fp à Fpn , on considère ξ un générateur de F˚pn et
`
˘
n
l’endomorphisme upxq “ ξx. Ce morphisme coïncide avec le cycle 1 ξ . . . ξ p ´2 qui est de
longueur paire, d’où le résultat.
3.10
Théorème de Kronecker.
Pour l’ultime étape, il faut considérer pour tout i entre 1 et n l’application ϕi : k ÞÑ αik . L’image
d’une de ces applications est constituée de racines des Pk . Ces Pk sont en nombre fini, donc l’ensemble
de leurs racines aussi. Donc il existe k ‰ l tels que αik “ αil et donc αik´l “ 1 d’où le résultat.
– Ils ne savaient pas que c’était impossible, alors ils l’ont fait. –
Mark Twain
69
4
Travaux pratiques.
On a beau faire des oraux blancs durant l’année, en pratique, on ne sait pas comment se déroulent
exactement les VRAIS oraux. Cette partie a pour but d’éclairer certains points, car on n’a pas tous la
chance, ou la malchance, d’être convoqué(e) après tous les autres et de profiter de leurs explications.
4.1
Temps de préparation.
Nous sommes accueillis dans la bibliothèque de l’agrégation, on pioche une enveloppe contenant
deux sujets (grand moment de stress : Est-ce qu’il vaut mieux prendre au milieu du paquet ou sur
les bords ?) et enfin, top départ, le chrono est lancé au moment de l’ouverture des enveloppes. Il faut
ensuite recopier les titres des sujets sur une feuille, choisir nos livres (on pourra revenir en chercher
dès qu’on en aura envie), mettre toutes nos affaires dont on a besoin dans une caisse et aller dans la
salle de préparation. Il faut donc compter quelques minutes en moins dans le temps de préparation.
Il faut savoir aussi que les plans des leçons sont photocopiés 10 minutes avant la fin du temps de
préparation. Les surveillants récupèrent tous les plans, les photocopient et les rendent. Donc durant
les dernières minutes, on n’a pas toujours notre plan sous les yeux et on ne peut pas le modifier.
4.2
Les malles.
L’Université de Nantes envoie trois malles de livres sur le lieu des épreuves (voyageons léger). Ce
sera à vous de les choisir, et puisqu’on est sympa, on vous donnera notre liste de bouquins. Il faudra
se limiter à 150 (si si, ça va très vite !). Vous retrouverez ces malles, parmi d’autres, dans une salle à
côté de la bibliothèque. Mais ne croyez pas que ces livres vous sont réservés. Les livres sont considérés
comme prêtés par l’Université à tous les candidats de l’agrégation, il peut donc arriver l’inimaginable :
votre précieux livre (oui, celui dans lequel vous pompez toute votre leçon) n’est plus dans la malle !
La panique monte, vous cherchez et recherchez encore, mais rien à faire, il n’est pas là. Pour éviter
ce problème, vous pouvez emmener avec vous quelques bouquins indispensables (ne jamais rester
éloigné(e) d’un Gourdon trop longtemps), ou bien, d’un pas assuré, vous vous dirigez vers une autre
malle bien fournie et dénichez votre Graal. On peut aussi piocher dans la bibliothèque de l’agrégation,
qui sans être très fournie, comporte quand même quelques titres salvateurs ! La liste des ouvrages fournis
par la bibliothèque de l’agreg est disponible ici : http ://agreg.org/Pratique/BibliAgreg2004.pdf ; et
est republiée tous les ans dans le rapport du jury, votre livre saint de cette année.
4.3
Feuilles d’écriture.
Les feuilles fournies pour écrire notre plan ne sont pas tout à fait vierges. Sur la première, environ
un quart est réservé aux informations pratiques : nom, prénom, épreuve, jury, sujet choisi, numéro de
l’autre sujet ; et en bas de chaque page est écrit : "Agrégation externe de mathématiques - session 2014
- Page / ". Il n’y a pas d’encadré de fait, si vous en voulez un, il va falloir utiliser sa règle (et donc
penser en amont à en apporter une).
Le pied de page ne change pas grand-chose puisqu’on est sensé laisser une marge de 1 cm. Par contre,
l’entête de première page prend pas mal de place. Si on n’est pas très inspiré par la leçon, tant mieux,
ça parait moins vide. Mais dans le cas contraire, il va falloir trier le contenu de la leçon !
70
4.4
Aménagements pour les non-marchants.
Il peut arriver, et je ne le souhaite à personne, qu’on ne puisse pas rester debout pendant les oraux.
Dans ce cas, ne vous inquiétez pas, votre année n’est pas fichue. Si les locaux n’ont pas changé d’ici
là, il y a une salle équipée d’une caméra au bureau, reliée à l’ordinateur qui est lui-même relié au
vidéoprojecteur. On peut donc écrire tranquillement (bon avec le stress ce n’est pas simple) sur des
feuilles en restant assis(e) au bureau, et le tout est retransmis en direct live sur grand écran. Par
contre, ne vous pointez pas comme une fleur le jour de l’oral en disant que vous voulez ce dispositif. Il
faut prévenir le jury en avance (en 2014, c’est M. Boisson qui s’est occupé de moi), M. Carron devrait
pouvoir vous aider pour cette démarche, et bien entendu, présenter un certificat médical.
Pour les autres handicaps, il doit exister des solutions adaptées, mais comme ils sont un peu lent à
réagir, il faut contacter le jury assez tôt. Par contre, pour ceux qui ce sont cassés le bras et qui ne
peuvent plus écrire, ça risque d’être plus compliqué... Pas de folies à l’approche des oraux !
71

Kit de survie à l`usage de l`agrégatif

Transcription

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