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Journée des Doctorants du CMAP
Salle de Conférence du CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau
Mardi 10 Juin 2008
9h15 - 9h40
Jean-Baptiste Bellet
Identification d’une cible dans un milieu fluctuant
9h45 - 10h10
Audrey Hermant
Algorithme d’homotopie en commande optimale et appplication à
la rentrée atmosphérique
10h15 - 10h45
*** Pause café ***
10h45 - 11h10
Iryna Pankratova
On the behaviour at infinity of solutions to stationary convectiondiffusion equation in a cylinder
11h15 - 11h40
Assalé Adjé
Entre Théorie des Jeux et Analyse Statique de Programmes
11h45 - 12h10
Harry Bensusan
Wishart stochastic volatility : Asymptotic smile and numerical
framework
12h10 - 14h
*** Pause déjeuner ***
14h - 14h25
Gilles-Edourd Espinosa
Detection of the maximum
14h30 - 14h55
M’rad Mohamed
Forward Dynamic Utility and Numeraire
15h - 15h25
Isabelle Camillier
Modèles dynamiques pour les dérivés de crédit
15h30 - 16h
*** Pause café ***
16h - 16h25
Arash Fahim
Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic
PDEs
16h30 - 16h55
Carlos Jerez
Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans R3
Mercredi 11 Juin 2008
9h15 - 9h40
Guoshen Yu
Fast Wavelet-Based Visual Classification
9h45 - 10h10
Guillaume Sagnol
Optimization of Network Traffic Measurement : A Semidefinite
Programming Approach
10h15 - 10h45
*** Pause café ***
10h45 - 11h10
Ricardo Hein Hoernig
Calcul numérique de la fonction de Green de l’équation de
Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite
d’impédance
11h15 - 11h40
Duvernet Laurent
Estimation du spectre de singularités d’une cascade aléatoire
11h45 - 12h10
Meisam Sharify
Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques
Résumés des exposés
Identification d’une cible dans un milieu fluctuant
Jean-Baptiste Bellet
Dans un premier temps, je donnerai le contexte et les motivations de mon sujet de
thèse. Il s’agit d’une thèse CIFRE, dont une des applications pourrait être la détection
de cellules cancéreuses dans le derme. Puis nous verrons que ma thèse comporte deux
phases : une phase problème direct, suivie d’une phase problème inverse. La phase
directe consiste à obtenir un modèle de diffusion d’une onde électromagnétique dans le
milieu considéré. Nous verrons le modèle initial du milieu, ainsi que le modèle simplifié
que l’on souhaite obtenir. J’évoquerai différentes problèmatiques liées à cette phase :
cas périodique, cas aléatoire, homogénéisation, couche mince, etc. Quant à la phase
d’inversion, elle consiste à élaborer un algorithme d’identifcation de la cible, placée
dans le milieu fluctuant, ou, de façon équivalente, dans le milieu simplifié obtenu à
la première phase. Pour localiser la cible, on pourra commencer par faire un algorithme de type MUSIC. On devra étudier la résolution de l’algorithme, sa faisabilité,
etc. Enfn, j’illustrerai mes propos par des exemples. Je donnerai un aperçu de la
théorie de l’homogénéisation en présentant un problème de conductivité dans un milieu périodique. Je donnerai un exemple de couche mince périodique avec le traitement
approprié. Je donnerai un exemple de problème inverse, dans le cas d’une équation de
Helmholtz, traité avec MUSIC.
Algorithme d’homotopie en commande optimale et appplication a la rentree
atmospherique
Audrey Hermant
L’algorithme de tir permet de résoudre efficacement des problèmes de commande optimale avec une grande précision. Cependant, son petit domaine de convergence et la
nécessité de connaı̂tre a priori la structure des contraintes rend son application souvent difficile. Pour pallier ces difficultés des methodes d’homotopie ou continuation
peuvent être utilisées. Dans cet exposé, on présente une méthode d’homotopie pour
les problèmes de commande optimale avec une contrainte sur l’état d’ordre 1 ou 2.
Partant de la solution du problème non contraint, la nouveauté de cette méthode est
de gérer automatiquement les changements de structure de la trajectoire et d’initialiser
les paramètres de tir associes. Une application de cet algorithme au probleme de la
rentrée atmosphérique d’une navette spatiale avec contrainte sur le flux thermique est
présentée.
On the behaviour at infinity of solutions to stationary convection-diffusion equation
in a cylinder
Irina Pankratova
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The talk will focuse on the behaviour at infinity of solutions to second order elliptic
equation with first order terms in a semi-infinite cylinder. Neumann’s boundary condition is imposed on the lateral boundary of the cylinder and Dirichlet condition on
its base. Under the assumption that the coefficients stabilize to a periodic regime, we
prove the existence of a bounded solution, its stabilization to a constant, and provide
necessary and sufficient condition for the uniqueness.
Entre Théorie des Jeux et Analyse statique de Programmes
Assalé Adjé
De nos jours, l’automatisation de systèmes, en industrie, dans le secteur tertiaire, prend
de plus en plus d’importance. Les programmes rendant cette automatisation possible
doivent être sûrs et stables, il faut donc les tester, savoir s’ils exécutent sans générer
d’erreurs, de dépassements de mémoire ou tout autre problème conduisant à l’arrêt
du programme. Cependant, la combinatoire des programmes analysés empêche le test
d’être exhaustif. Comment peut-on tester, vérifier un programme sans l’exécuter et
trouver des valeurs pour lesquelles le programme est sûr de s’exécuter sans problèmes?
C’est le but de l’analyse statique de programmes par interprétation abstraite introduite par Patrick Cousot, cette méthode permet, entre autres, de déterminer une
surapproximation des valeurs possibles prises par les variables du programme à analyser pour chaque ligne d’exécution. On obtient ainsi ce qu’on appelle un invariant du
programme. La méthode classique de calcul est l’itération de Kleene. Ici, on expose
une nouvelle technique permettant de calculer cet invariant, il sera obtenu en calculant
le point fixe d’une fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme.
La théorie des jeux où les problèmes de point fixe sont récurrents (calcul de la
valeur d’un jeu, recherche d’équilibres, inclusions différentielles...) peut apporter une
solution à ce problème de point fixe. L’algorithme appelé, algorithme d’itérations sur
les politiques, utilisé ici, est un algorithme calculant un point fixe d’une application f
croissante de type min-max, ce type d’applications apparaı̂t souvent dans les jeux à
deux joueurs à somme nulle.
L’algorithme calcule un point fixe de f à partir de plus petit point fixe d’applications
plus simples appelées politiques. Toutefois, le point fixe de f trouvé peut ne pas être le
plus petit. Même si le problème de l’invariant minimal est indécidable, la minimalité
du point fixe de la fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme
garantira une surapproximation moins large. La surapproximation obtenue contiendra
moins de valeurs qui ne pourraient pas être atteintes par les variables du programme.
Dans cette présentation, dans un premier temps, on mettra en évidence le lien entre
les jeux stochastiques, en particulier l’opérateur de Shapley, et les équations min-max
déduites des équations sémantiques dans le domaine des intervalles. Enfn, on exposera
un raffinement de l’algorithme d’itération sur les politiques nous permettant de calculer
le plus petit point fixe dans le cas d’une classe d’applications importante en théorie des
jeux, les applications croissantes, affines par morceaux et contractantes au sens large.
Wishart stochastic volatility : Asymptotic smile and numerical framework
Anas Benabid, Harry Bensusan
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In this paper, we study a multi-dimensional model where the volatility follows the trace
of a Wishart process presented in [7]. We propose to apply the singular perturbations
method introduced by Fouque in many articles [11,12,13] to the Wishart model. Indeed,
for stochastic volatility models it is difficult to obtain the smile of the implied volatility,
and we need approximation methods. The resulting approximations allow us to find
an explicit expression for the asymptotic smile for one scale or two scales of maturities.
Detection of the maximum
Gilles-Edouard Espinosa
Consider a process oscillating around 0. If we are able to sell it approximately at its
maximum before crossing 0 and buy it approximately at its minimum before crossing
0, we have a very interesting trading strategy.
Therefore, we try to study how to detect the maximum of an oscillating (for example
an Ornstein-Ulhenbeck) process X, starting at x > 0, before it crosses 0. We use the
notation Xt∗ = max0≤u≤t Xu . In order to have a Markov process, given (x, z) with
0 < x ≤ z, we consider the couple (Xt , Zt ) where X0 = x and Zt = Xt∗ ∨ z (and so
Z0 = z).
We denote by T0 = inf{t ≥ 0, Xt ≤ 0} the time of crossing and T (T0 ) = {stopping times on [0, T0 ]}
the set of all stopping times less than T0 . Finally, we define the value function of our
control problem by :
V (x, z) =
inf E[(ZT0 − Xθ )2 |X0 = x, Z0 = z]
θ∈T (T0 )
Forward Dynamic Utility and Numeraire
Mohamed M’rad
In this Work we are interested on the forward dynamic utility, introduced by Musiela
and Zariphopoulou, we consider an investor starting at time t = 0 with an initial
wealth x and an initial utility function u(.), he invests in the market according to his
preferences, more precisely his risk aversion on this market. So, we associate to this
investor an utility process which defines the management strategy used by the investor
to maximize his expected utility.
Modèles dynamiques pour les dérivés de crédit
Isabelle Camilier
Après un bref apercu des principaux modèles pour le pricing des CDO, je développerai
le cas d’une approche “bottom-up”, où on choisirait de modèliser l’intensitè de chacun
des noms par une jump-diffusion. Je mentionnerai aussi les enjeux liés à la dimension
du problème (typiquement 100 à 125 noms). Pour l’approche considérée dans cet exposé on a besoin de connaı̂tre la loi jointe de l’intensité et de son intégrale par rapport
au temps. Je parlerai du choix du processus ainsi que des méthodes de résolution
envisagées (par EDP, transformée de Laplace).
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Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic PDEs
Arash Fahim
Up to now there are a few results about fully nonlinear PDEs. We introduce a Monte
Carlo method for fully nonlinear parabolic PDEs being inspired by the result of [1].
Then we prove that the approximate solution converges to the solution of PDE using
[2] and find the rate of convergence to be h1/4 using [3]. An example shows that in
some cases, it could converge at a better rate.
References
[1] P. Cheridito, H.M. Soner, N. Touzi, N. Victoir; “Second Order Backward Stochastic Differential Equations and Fully Non-Linear Parabolic PDEs” Communications
on Pure and Applied Mathematics, Volume 60, Issue 7, Date: July 2007, Pages:
1081-1110.
[2] G. Barle, P.E. Souganidis; “Convergence of Approximation Schemes for Fully
Non-linear Second Order Equation” Asymptotic Anal., 4, pp. 271–283, 1991.
[3] G. Barles, E. R. Jakobsen; “Error Bounds For Monotone Approximation Schemes
For Parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman Equations” Math. Comp., 76(240):18611893, 2007.
Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans R3
Carlos Jerez
On s’intéresse aux problèmes elliptiques pour des structures planes bornées de
frontière Lipschitz, caractérisées par de larges rapports entre la longeur et la largeur.
L’existence de singularités au bord de tels domaines rend les méthodes numériques
classiques faiblement performantes et parfois même inutilisables.
On développe un schéma hybride de type Galerkin employant des éléments de
frontière de natures differentes en considérant les comportements singuliers sur la
surface. On présentera quelques théorèmes sur la solvabilité de tels systèmes ainsi
que l’étude d’erreur associée à la méthode introduite. Ensuite, on appliquera cette
formulation pour retrouver la distribution de charges électriques dans des milieux
piézoélectriques comme par exemple dans les transducteurs à ondes acoustiques de
surface ou SAW (Surface Acoustic Waves).
Fast Wavelet-Based Visual Classification
Guoshen Yu
We introduce a wavelet-based visual classification approach and show some experiments on object recognition, texture and satellite image classification, and language
identification.
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Optimization of Network Traffic Measurement : A Semidefinite Programming
Approach
Guillaume Sagnol
We study the problem of traffic matrix estimation in large IP networks. The problem
of inferring the traffic for each (origin - destination) pair in the network from the link
measurements has been widely studied over the past 10 years. Recently, the possibility
of using network-monitoring tools such as Netflow (Cisco Systems) has renewed the
interest for this problem, the aim beeing now to make the best possible use of such
tools. Because of its expensive cost of use and deployment, optimizing the set of
interfaces on which netflow should be installed (and/or activated)is of first interest.
We model the optimal deployment of Netflow in terms of ”experimental design”,
which allows us to use semidefinite and convex programming techniques. The principle
is to choose a set of localizations for Netflow that minimizes (in a certain sense) the
variance of an estimator for the traffic matrix. We show that this problem is a generalization of the rank-maximization of the under-constrained system, and that the greedy
algorithm provides a (polynomial time) approximation of the solution by (1 − 1/e). We
give experimental results on real networks and we show that an approach based on the
rounding of a continuous relaxation improves on other approaches, including greedy
algorithms.
Calcul numérique de la fonction de Green de l’équation de Helmholtz dans un
demi-plan avec une condition à la limite d’impédance
Ricardo Hein Hoernig
La fonction de Green de l’équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une
condition à la limite d’impédance est calculée de façon numérique. Un problème de
Helmholtz d’impédance dans un demi-plan perturbé de manière compacte est présenté
pour motiver ce calcul, qui est traité par des techniques des équations intégrales,
menant à une discrétisation d’éléments de frontière. La fonction de Green est calculée en utilisant une transformée de Fourier inverse, appliquant un FFT inverse pour
la partie régulière, et enlevant les singularités de façon analytique.
Estimation du spectre de singularités d’une cascade aléatoire
Laurent Duvernet
Introduite dans le domaine de la turbulence pleinement développée dans les années
1980, l’analyse multifractale a été depuis appliquée notamment en finance ou en modélistion
des réseaux internet. Elle a pour objet des signaux dont la régularité localement
hoelderienne varie en tout point : alors qu’un mouvement brownien a par exemple une
régularité 1/2 partout, une trajectoire multifractale présente une gamme d’exposants
de régularité caractérisée par ce qu’on appelle un spectre de singularités. Un lien peut
par ailleurs être établi entre le spectre de singularités et la régularité globale de la
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trajectoire (au sens de l’appartenance à un espace de Besov). C’est à l’estimation de ce
spectre que nous nous intéressons, dans le cadre des processus de cascades aléatoires.
Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques
Meisam Sharify
Tropical algebra arises as a limit of a deformation of usual algebra. This limit transforms classical polynomial equations to equations of a combinatorial nature involving
polyhedral maps. Such equations can often be solved efficiently and accurately (in
exact arithmetics). This suggests that tropical methods may be of interest to improve
some classical numerical algorithms, particularly in situations in which the numerical
data have several orders of magnitude.
As a starting point of my PhD work, I began to revisit from a tropical perspective
the resolution of an nth degree polynomial equation which is one of the most classical problems in Mathematics. Several algorithms such as Newton method, Weyl’s
algorithm etc are developed to solve this problem.
Consider an nth degree polynomial with complex coefficients:
p(x) =
n
X
ak x k .
k=0
We define the corresponding tropical polynomial as follows:
t p(x) = max |ak | xk .
0≤k≤n
The tropical roots of p(x) are the points x at which the maximum is attained at least
twice in t p(x). The multiplicity of a tropical root x is defined as the maximum value
of k − l for all k, l such that t p(x) = |ak | xk = |al | xl . So considering the multiplicity, p
has exactly n tropical roots, a1 ≥ ... ≥ an . We can simply find the n tropical roots of
polynomial p by a Newton polygon type construction which can be performed in time
O(n) . Tropical roots were already considered by Ostrowski.
I will review some old and new results concerning the location of the roots of polynomials, which show that the moduli of the roots of p can be bounded in terms of the
tropical roots. These results also show that the numerical problem can be approximately decomposed when the different slopes of the Newton polygon are sufficiently
separated. I will present a preliminary algorithmic work, exploiting these ideas and
testing a method which may be thought of as a numerical analogue of Puiseux theorem.
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