Modification de la relativité générale selon Hermann Weyl

Modification de la relativité générale selon
Hermann Weyl
Guy LAVILLE
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
30 mars 2014
Plan
1. Points positifs et points négatifs de la théorie d’Hermann Weyl.
2. Rappels de géométrie riemannienne.
3. Géométrie différentielle : notion de connexion.
4. Théorie d’Hermann Weyl.
Points positifs de la théorie d’Hermann Weyl
1. historiquement, c’est la première fois que l’on introduit une théorie
de jauge
2. tentative d’un théorie unifiée de la gravitation et de l’électromagnétisme
3. le groupe sous-jacent est le groupe des similitudes
4. on peut y voir l’apparition des nombres complexes
Points négatifs de la théorie d’Hermann Weyl
1. objection d’Einstein
2. difficultés d’interprétation en Physique de certaines formules
3. pas de ”nouvelle prévision” en Physique
1
Rappels de géométrie riemannienne
Changement de base de xα à xβ
∂xα β
∂xβ
ξ =
ξα =
ξ
ξβ
(1)
β
α
∂x
∂x
Tout tenseur est somme de produits de vecteurs (contravariant ou
covariant).
Forme quadratique gµν , tenseur (0, 2), il donne les longueur et la
dualité contravariant-covariant :
α
ds2 = gµν dxµdxν
ξα = gαβ ξ β
k ξ k2 = ξαξ α = gµν ξ µξ ν = gµν dxµ(ξ)dxν (ξ) = ds2(ξ)
Matrice inverse g αβ :
(2)
(3)
(4)
g αβ gβγ = δγα
2
Symboles de Christoffel (i.e. coefficients de la connexion associée à
la métrique)
1ère espèce :
1 ∂gβσ
∂gγσ ∂gβγ
[βγ, σ] =
+
−
γ
β
2 ∂x
∂x
∂xσ
!
symétrie [βγ, σ] = [γβ, σ]
2ème espèce
(
α
βγ
)
= g ασ [βγ, σ]
(5)
symétrie
(
α
βγ
)
(
=
α
γβ
)
(6)
3
Loi du transport parallèle pour la géométrie métrique (i.e. celle du
groupe orthogonal) :
(
dξ α = −
)
α
dxαξ γ
βγ
Géodésiques
α dxβ dxγ
=0
+
2
βγ
dt
dt dt
d 2 xα
(
)
Principe variationnel des géodésiques : Une courbe étant donnée par
t → xα(t) on écrit le 1er invariant du groupe orthogonal, qui est la
d xα k. La géodésique allant de xα (0) à
norme du vecteur vitesse : k dt
xα(T ) doit rendre stationnaire :
Z T
0
k
Z T
d α
x (t) k dt =
dt
0
gµν
!1/2
µ
ν
dx dx
dt dt
dt
4
Dérivée covariante d’un vecteur contravariant :
(
)
α = ξα + α ξγ
ξkβ
|β
βγ
Dérivée covariante d’un vecteur covariant :
(
)
α
ξαkβ = ξα|β −
ξ
βγ α
Dérivée absolue d’un champ de vecteurs ξ α(s) le long d’une courbe
C :
Dξ α(s)
Ds
=
dξ α(s)
ds
α dxβ γ
+
ξ
βγ ds
(
)
5
En géométrie riemannienne, la dérivée covariante de la métrique est
nulle :
(
)
(
)
α
α
gµνkβ = gµν|β −
gαν −
g
µβ
νβ µα
= gµν|β − g ασ gαν [µβ, σ] − g ασ gµα[νβ, σ]
= gµν|β − δνσ [µβ, σ] − δµσ [νβ, σ]
= gµν|β − [µβ, ν] − [νβ, µ]
1
1
= gµν|β −
gµν|β + gβν|µ − gµβ|ν −
gνµ|β + gβµ|ν − gνβ|µ
2
2
=0
6
Courbure riemanienne.
C’est le défaut au théorème de Schwarz :
α
α
α
η
ξkβ
kγ − ξkγ kβ = Rηβγ ξ
Écriture en fonction de la connexion métrique :
(
α
Rηβγ
=
α
βη
(
)
−
|γ
α
ηγ
(
)
+
|β
α
τγ
)(
)
(
τ
α
−
βη
τβ
)(
τ
γη
)
α
α
Contractions :
Rηγ = Rηαγ
R = Rα
Équations du champ gravitationnel d’Einstein (en dehors des sources) :
1 β
β
R δ − gδ R = 0
2
Remplace l’équation de Laplace de la théorie newtonienne :
4φ = 0
7
Géométrie différentielle : notion de connexion Une connexion
(classique) sur un variété V (de dimension n) est la donnée de n3
nombres réels attachés à chaque système de coordonnées tels qu’ils
satisfassent au changement de coordonnées :
∂xµ ∂xν ∂xα
α
σ
Γβγ = Γµν β γ σ +
∂ 2xµ ∂xα
(7)
∂x ∂x ∂x
∂xβ ∂xγ ∂xµ
Cette formule est faite pour que, dans le cas d’un tenseur, par exemple
(1, 0) la dérivée :
α − Γα ξ γ
ξ|β
βγ
α .
soit un tenseur. C’est en fait la dérivée covariante ξkβ
Pour un vecteur covariant :
β ξγ
dξ α = Γα
dx
βγ
ξαkβ = ξα|β − Γα
βγ ξα
(8)
(9)
8
Les Γ sont déterminés de façon unique par (8). Les coefficients Γα
βγ
α
ne forment pas un tenseur, c’est fait pour corriger le non-tenseur ξ|β .
Tenseur de torsion :
α = Γ α − Γα
Tβγ
βγ
γβ
Il est nul en géométrie riemannienne.
Géodésiques :
d2xα
dxβ dxγ
α
+ Γβγ
=0
2
dt
dt dt
Tenseur de courbure :
α
α
α
η
ξkβ
kγ − ξkγ kβ = Rηβγ ξ
α
α
α τ
α τ
Rηβγ
= Γα
ηγ|β − Γηβ|γ + Γτ β Γηγ − Γτ γ Γηβ
9
b et Γ.
Comparaison de deux connexions Γ
La forme quadratique à valeurs vectorielle suivante est un tenseur :
α
α
b
Γβγ − Γβγ dxβ dxγ
(10)
Montrons que c’est bien un tenseur. Appliquons cette forme quadratique à un couple de vecteurs (ξ, η).
α
α
b
Γβγ − Γβγ dxβ dxγ (ξ, η)
ξbα
kβ
α
ξkβ
α
ξbα − ξkβ
kβ
{z
}
|
tenseur
=
=
=
=
α
α
b
Γβγ − Γβγ ξ β η γ
α +Γ
b α ξγ
ξ|β
βγ
α + Γα ξ γ
ξ|β
βγ
α
α
γ
b
Γβγ − Γβγ
ξ
|{z}
tenseur
10
b et Γ ont même géodésiques avec même paLes deux connexions Γ
ramétrisation si et seulement si pour tout vecteur ξ
α
α
β ξγ = 0
b
Γ
−
Γ
ξ
βγ
βγ
(11)
b et Γ ont mêmes géodésiques avec paramétrisations
Les deux connexions Γ
différentes si et seulement si pour tout vecteur ξ il existe un scalaire
λξ tel que
α
α
b
Γβγ − Γβγ ξ β ξ γ = λξ ξ α
(12)
11
Théorie d’Hermann Weyl
Les normes de vecteurs seront variables par transport parallèle. Il n’y
a plus de ”mètre étalon” valable pour tout l’univers. Donc les gµν
seront aussi variables.
L’espace de Weyl peut s’étudier comme s’étudie la géométrie
euclidienne.
Les deux géométries sont basées sur le groupe de similitudes. On
utilise la notion de métrique (norme, produit scalaire), mais on peut
faire en plus des homothéties.
12
Changement de jauge.
Soit f (xλ) un champ de scalaires :
gd
αβ = f gαβ
Donc, pour une longueur l donnée on a lb2 = f l2.
dlb2 = df l2 + f 2ldl
par dérivation
b2
l
puisque dl = 0
2lbdlb = df
f
1
dlb = log(f )|λdxλ lb
(13)
2
La mesure des angles est un invariant du groupe des similitudes, donc
la mesure des angles est un invariant de jauge :
gαβ ξ αηβ
ξ αηα
=
1/2
k ξ kk η k
gαβ ξ αξ β gµν η µη ν
13
Variation de la longueur.
En analogie avec (13) et en prenant une différentielle pas forcément
exacte contrairement à (13), faisons varier par transport parallèle la
longueur l :
dl = φλdxλl
(14)
Mais on pourrait étendre ceci non seulement aux longueurs mais aussi
à tous les champs de scalaires.
L’idée d’Hermann Weyl était d’identifier φλ au potentiel électromagnétique.
La donnée de φλ et de gµν permet de calculer la connexion associée,
que l’on peut considérer comme la connexion relative au groupe des
similitudes :
(
Γα
βγ = −
)
α
σα
+g
gσβ φγ + gσγ φβ − gβγ φσ
βγ
(15)
Montrons cette égalité.
14
Écrivons que dl2 = 2ldl.
dl2 = d (gµν ξ µξ ν )
= gµν|γ dxγ ξ µξ ν + gµν dξ µξ ν + gµν ξ µdξ ν
µ
= gµν|γ dxγ ξ µξ ν + gµν Γσλdxσ ξ λξ ν + gµν ξ µΓνσλdxσ ξ λ
σ
σ
= gµν|γ + gσν Γγµ + gµσ Γγν dxγ ξ µξ ν
2ldl = 2lφγ dxγ l = 2gµν φγ dxγ ξ µξ ν
Par identification, puis permutation des indices :
15
σ
gµν|γ − 2gµν φγ + gσν Γσ
γµ + gµσ Γγν = 0
A
|
{z }
| {z }
(1)
(2)
σ
gνγ|µ − 2gνγ φµ + gσγ Γσ
µν + gνσ Γµγ = 0
| {z }
gγµ|ν − 2gγµφν
(1)
σ
+ gσµΓσ
νγ +gγσ Γνµ = 0
| {z }
(2)
B
C
Faisons B+C −A, remarquons que les g sont symétriques et cherchons
des solutions Γ symétriques en leurs indices inférieurs. Si l’on trouve
une solution sous cette hypothèse supplémentaire, c’est l’unique solution. D’où les simplifications (1) et (2).
16
On trouve (15), que l’on peut écrire sous la forme :
(
Γα
βγ = −
)
α
+ δβαφγ + δγαφβ − g σαgβγ φσ
βγ
(16)
Cette connexion est sans torsion.
La connexion donne les géodésiques, la courbure...
17
Les Γα
βγ sont invariants de jauge.
1 ασ α
ασ
Γβγ = − g
gβσ|γ + gγσ|β − gβγ|σ + g
gβσ φγ + gγσ φβ − gβγ φσ
2
Le changement de jauge consiste à remplacer gµν par f gµν , g µν par
1/f g µν et φα par φα + 1/2 log(f )|α = φα + 1/2 f|α/f .
1 1 ασ g
f|γ gβσ + f gβσ|γ + f|β gγσ + f gγσ|β − f|σ gβγ − f gβγ|σ
−
2f
!
f
f
f
1 |γ
1 |β
1 |σ
1
f gβσ + f gγσ φβ +
f gγσ − f gβγ φσ −
f gβγ
+ g ασ f gβσ φγ +
f
2 f
2 f
2 f
= Γα
βγ
Un tenseur T de poids k est un tenseur qui est transformé par changement de jauge en f k T . Exemples : 1 pour gµν , si j pour ξ α alors ξα
est de poids j + 1.
18
Dérivée covariante de la métrique.
α g
gµνkβ = gµν|β + Γα
g
+
Γ
αν
µν
νβ µν
l2 = gµν ξ µξ ν
2ldl = gµν|β ξ µξ ν dxβ + gµν dξ µξ ν + gµν ξ µdξ ν
µ
2ldl = gµν|β ξ µξ ν dxβ + gµν ξ ν Γβγ dxβ ξ γ + gµν ξ µΓνβγ dxβ ξ γ
=
=
2ldl =
=
α
α
gµν|β + gαν Γβν + gµαΓβν ξ µξ ν dxβ
gµνkβ ξ µξ ν dxβ
2lφβ dxβ l
2gµν φβ ξ µξ ν dxβ
Finalement, nous avons :
2gµν φβ = gµνkβ
19
Si, dans un espace de Weyl, les normes des vecteurs sont constants
par transport parallèle, alors φβ = 0. Ceci se déduit du calcul précédent
puisque :
∀ξ
0 = ldl = gµν φβ dxβ ξ µξ ν
∀(µ, ν) gµ,ν φβ dxβ = 0
et il existe au moins un (µ0, ν0) tel que gµ0,ν0 6= 0.
20
Comparons les géodésiques pour les deux connexions. Pour cela, utilisons (15), (11).
(
Γα
βγ − (−1)
)
α
ξβ ξγ
βγ
= δβαφγ ξ β ξ γ + δγαφβ ξ β ξ γ − g σαgβγ φσ ξ β ξ γ
= φγ ξ γ ξ α + φβ ξ β ξ α − g σαφσ ξγ ξ γ
= 2φβ ξ β ξ α − φα k ξ k2
Pour φ 6= 0 ceci n’est pas nul pour tout ξ. Par exemple prendre
k ξ k6= 0 et ξ ⊥ φ. Si l’on utilise (12) :
β
∀ξ ∃? λξ : 2φβ ξ − λξ ξ α =k ξ k φα
Ce qui n’est pas vrai.
21
L’idée de Weyl est de considérer que le potentiel électromagnétique
est représenté géométriquement par la distorsion de longueur φβ .
C’est un idée différente de celle d’Einstein (développée en détails par
V.Hlavaty 1957) où il est introduit des gµν qui ne sont pas symétriques
pour unifier géométriquement gravitation et électromagnétisme.
Remarquons d’abord que si l’on veut que φα soit annulé par un changement de jauge, il faut que φα soit un champ de gradient, donc il
faut que :
φα|β − φβ|α = 0
22
De façon générale, posons :
Fαβ = φα|β − φβ|α = −Fβα
On retrouve comme d’habitude la moitié des équations de Maxwell :
2(Fαβ|γ + Fβγ|α + Fγα|β )
= Fαβ|γ − Fβα|γ + Fβγ|α − Fγβ|α + Fγα|β − Fαγ|β
= φ|α|β|γ − φ|β|α|γ + φ|β|γ|α − φ|γ|β|α + φ|γ|α|β − φ|α|γ|β
=0

5 × E + 1 d H = 0
c dt
5.H = 0
Remarque : nous n’avons pas besoin de prendre les dérivées covariantes car l’antisymétrisé est un tenseur.
23
Objection d’Einstein.
Partons de (14) :
dl
= φαdxα
l
Z
log(l) − log(l0) = φαdxα
l = l0 exp
Z
φαdxα
La longueur en l’absence du champ φα étant l0. On peut s’arranger
pour que la longueur soit proportionnelle au temps d’une horloge. Le
temps va devenir fonction de l’historique. Mais les raies spectrales ne
dépendent pas de l’historique.
Si l’on veut que l = l0 le long d’une courbe fermée, il faut prendre
R
φαdxα = n2iπ, avec n ∈ Z, donc prendre φ complexe...
24
Considérons le moment relativiste d’une particule :
E i
,p
pµ =
c
k p k2 = gµν pµpν = m2c2
d k p k2 = 2 k p k2 φβ dxβ
d(m2c2) = 2m2c2φβ dxβ
Quel sens attribuer à cette équation ?
On peut penser que l’espace de Weyl n’a pas d’application en Physique.
On pourrait essayer de distinguer deux types de vecteurs : ceux dont la
norme est constante et ceux dont la norme est variable par transport
parallèle.
25