Théorème de Thalès

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Théorème de Thalès

3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G1 – cahier élève
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Ch.G1 : Théorème de Thalès
1 THÉORÈME DE THALÈS
1.1
Énoncé du théorème
Théorème 1 : théorème de Thalès
Soient deux droites (d) et (d' ) sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles,
ou (d)
M
A
M
N
A
B
C
B
AM AN MN
alors
=
=
.
AB AC BC
N
(d)
C
(d')
(d')
Remarques 1 :
 M et N peuvent être situés de l'autre côté de A par rapport à B et C.
On parle alors d'une configuration « en papillon » ou « croisée ».
 Le premier rapport comporte les noms des points de la droite (d), tandis que le second rapport comporte
les noms des points de (d' ).
Exercice n°2 page 191 Rapports égaux
Dans chacun des cas suivants, écris tous les rapports de longueurs égaux. Tu préciseras les droites parallèles utilisées.
Les droites représentées en bleu sont parallèles.
a)
b)
c)
E
F
E
G
F
G
D
B
C
D
E
A
(BC)
(AE)
D (AB)
(EC)
D (FE)
(GH)
H
H
J
DB DA BA
=
=
DC DE CE
(GF)
(HE)
DF DE FE
=
=
DG DH GH
(EF)
(HJ)
(FH)
(EJ)
G
EG GF EF
=
=
GJ GH HJ
d)
e) [AT] est un
diamètre du cercle
S
A
.
C
D
T
W
J
V
R
N
E
S
ACEO

U
T
A
B
O
f)
S
O
(AO)
(CN)
(AC)
(ON)
ACEO
S
SA SC AC
=
=
SO SN ON

(SC)
(OE)
(CE)
(OS)
N
NC NE CE
=
=
NS NO SO
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/

(OC)
(AE)
(AC)
(OE)
Page 2 sur 12
B
BA BC AC
=
=
BE BO OE

(OC)
(AE)
(AO)
(CE)
B
BA BO AO
=
=
BE BC CE
(SO)
(TD)
A
AST
AST
S
(ST)
(AS)
(OD)
(AS)
(OD)
(ST)
AO AD OD
=
=
AS AT ST

(UT)
(WV)
(VT)
(WU)
J
JT JV TV
=
=
JU JW UW

(TS)
(RV)
(TV)
(RS)
J
JT JV TV
=
=
JS JR SR

(US)
(RW)
(RS)
(UW)
J
JU JW UW
=
=
JS JR SR
Exercice n°4 page 191 Des lacets
Sur la figure ci-contre, les droites représentées en vert et en violet sont parallèles deux
à deux.
G
C
a) Décris les deux configurations de Thalès présentes dans cette figure.
b) Écris tous les rapports de longueurs égaux à
ZC
. Tu préciseras les droites
ZG
Z
O
parallèles que tu as utilisées.
A
I

1
(AO)
(GC)

2
(GC)
(AI)

1
(OC)
(GA)

2
(CA)
(GI)
Z
Z
(OC)
(AC)
(GA)
(GI)
ZC ZO
CO
=
=
ZG ZA
GA
ZC ZA
CA
=
=
ZG
ZI
GI
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1.2 Calcul d’une longueur
ex. 1 et 2
Exemple 1 :
Sur la figure ci-contre, les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
On donne DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm.
Calcule GT et CD.
Solution :
Les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G. Les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
D
C
G
T
H
GC GD CD
20 25 CD
=
=
, soit
=
=
.
GT GH HT
GT 45 27
Calcul de GT : 25  GT = 45  20.
Calcul de CD : 25  27 = 45  CD.
45  20
25  27
GT =
CD =
25
45
donc GT = 36 mm.
donc CD = 15 mm.
D'après le théorème de Thalès, on a
Exercice du cours n°1 page 190
Dans chacun des cas suivants, calcule, si c'est possible, les valeurs de x, y et z indiquées sur la figure.
O
A
C
R
a)
b)
c)
3
T
M
S
3
7
x
H
1
1 7 ,5
5
0,
C
(SM)
(HT)
(MT)
(SH)
O
H
3
7
z
K
K
S
(MT) // (SH)
2
y
9
I
(RO) // (SK)
A
AM AT MT
=
=
AS AH SH
AT MT
=
AH SH
3
x
=
10 17,5
(RK)
(OS)
(RO)
(SK)
10  x = 3  17,5
x=
C
CR CO RO
=
=
CK CS SK
CR CO
=
CK CS
3  17,5
= 5,25
10
3
y
=
7 10,5
7  y = 3  10,5
z
y=
(OH)
3  10,5
= 4,5
7
(IK)
Dans le triangle DOT, E est un point de [DO]. La parallèle à (OT) passant par E coupe [DT] en F. On sait que
DO = 6 cm ; DT = 5 cm ; OT = 8 cm et DF = 1 cm.
Calcule DE et EF.


(OT)
(EF)
5  DE = 1  6
5  EF = 1  8
D
DE DF EF
=
=
DO DT OT
16
DE =
= 1,2 cm
5
18
EF =
= 1,6 cm
5
D
DE 1 EF
= =
6 5 8
1c
m
5
cm
F
cm
(TF)
6
(OE)
E
T
O
8 cm
Exercice n°3 page 191
Les points L, I, Z sont alignés, les points R, I, T aussi. Les droites (RZ) et (LT) sont parallèles.
On donne RZ = 5 cm ; RI = 2 cm et IT = 3 cm.
Z
a) Reproduis cette figure à main levée et reportes-y les données de l'énoncé.
b) Écris les rapports de longueurs égaux.
c) Quelle(s) longueur(s) pourrais-tu calculer ?
R
I
T
L
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Z
5 cm
R
2 cm I 3 cm
T
L
(RT)
(ZL)
(RZ)
(LT)
I
IR IZ RZ
= =
IT IL TL
2 IZ 5
= =
TL
3 IL TL
Construis un triangle NAF tel que NA = 5,6 cm ; FA = 4,2 cm et NAF = 70°.
Place sur [NA) le point R tel que AR = 8 cm.
La parallèle à la droite (NF) passant par R coupe (FA) en T.
a) Trace en couleur les droites parallèles. Écris les rapports de longueurs égaux.
b) Calcule la longueur AT. Vérifie sur ta figure.
(TF)
(RN)
(TR)
(NF)
A
AT AR TR
=
=
AF AN FN
AT 8
=
4,2 5,6
4,2  8
= 6 cm
5,6
Un triangle SEL est tel que SE = 6 cm et SL = 3 cm. Le point I est le point de [LS) tel que SI = 5,1 cm. La parallèle à la
droite (EL) passant par I coupe (ES) en X. On a alors IX = 6,8 cm.
AT =
a) Trace une figure à main levée. Code la figure avec les données de l'énoncé.
b) Calcule les longueurs SX et EL.
(LI)
(EX)
(IX)
(EL)
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S
SL SE LE
=
=
SI SX IX
3
6 EL
=
=
5,1 SX 6,8
6  5,1
3  6,8
SX =
= 10,2 cm
EL =
= 4 cm
3
5,1
Soit PEM un triangle. A est un point du segment [PE] et B est un point du segment [PM] tels que BM = 30 cm ;
AB = 30 cm ; ME = 50 cm. Les droites (AB) // (ME). À l'aide du théorème de Thalès, on obtient PM = 45 cm.
Vrai ou faux ? Explique ta démarche.
(EA)
(BM)
(AB)
(EM)
P
P
PA PB 30
=
=
PE 45 50
45  30 (5  9)  (3  10)
PB =
=
= 9  3 = 27 cm
50
5  10
A
4 5 cm
PA PB AB
=
=
PE PM EM
3 0 cm
30
B
PM = PB + BM = 27 + 30 = 57 cm
5 0 cm
cm
E
M
PM = 45 cm
Exercice n°10 page 192 À la recherche des parallèles perdues
BANC est un parallélogramme tel que BA = 4 cm ; BC = 6 cm et AC = 8 cm.
P est le point de [AC] tel que AP = 2,4 cm.
La parallèle à (BC) passant par P coupe [CN] en O.
a) Trace une figure en vraie grandeur.
b) Montre que les droites (PO) et (AN) sont parallèles.
c) Calcule les longueurs CO et PO.
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@options;
@figure;
A = point( -3.23 , 1.5 );
cerayA4 = cerclerayon( A , 4 )
{ i };
B = pointsur( cerayA4 , 0 );
{ i };
cerayB6 = cerclerayon( B , 6 ) { i
};
C = intersection( cerayB6 ,
cerayA8 , B );
t_BA = translation( B , A )
{ noir };
N = image( t_BA , C );
sBC = segment( B , C );
sCN = segment( C , N );
sNA = segment( N , A );
sAC = segment( A , C );
P = pointsur( sAC , 0.3 );
paraPsBC = parallele( P , sBC );
R = intersection( sCN , paraPsBC );
sAB = segment( A , B );
B
A
P
C
O
N
BANC
(PO)
(AN)
(BC)
(PO)
(BC)
(AN)
(AP)
(NO)
(PO)
(AN)
C
CP CO PO
=
=
CA CN AN
5,6 CO PO
=
=
8
4
6
4 × 5,6
6 ×5,6
CO =
= 2,8 cm
PO =
= 4,2 cm
8
8
Exercice n°15 page 193 Sécurité routière
D'après le code de la route (Article R313 - 3) :
Les feux de croisement d'une voiture permettent d'éclairer efficacement
la route, la nuit par temps clair, sur une distance minimale de 30 m.
Afin de contrôler régulièrement la portée des feux de sa voiture,
Jacques veut tracer un repère sur le mur au fond de son garage.
Les feux de croisement sont à 60 cm du sol.
À quelle hauteur doit-il placer le repère sur son mur pour pouvoir régler
correctement ses phares ?
Mur
60 cm
1,5m
30m
La figure n'est pas à l'échelle.
HM
(PH)
(SM)
(PS)
(HM)
L
LM LH HM
=
=
LS LP PS
30 – 1,5 LH HM
=
=
30
LP 0,6
0,6 × 28,5
HM =
= 0,57 m
30
57 cm
1.3
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Montrer que deux droites ne sont pas parallèles
ex. 3
THÉORÈME 2
Soient (d) et (d' ) deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.
Si
AM AN

, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
AB AC
Exemple 2 :
Sur la figure ci-contre, TR = 11 cm ; TS = 8 cm ; TM = 15 cm et TE = 10 cm.
Montre que les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.
Solution :
Les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.
T
S
E
R
M
TR 11 22
TS 8 24
D'une part,
=
=
.
D'autre part,
=
=
.
TM 15 30
TE 10 30
TR TS
On constate que
≠
.
TM TE
Or, si les droites (RS) et (ME) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.
Comme ce n'est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.
Montre que les droites bleues sur les figures ci-dessous ne sont pas parallèles.
S
A
R
a)
b)
7
D
3
5
B
C
20
18
9
8
E
T
V
U
(DB) (EC)
AB
3
3 21
=
=
=
AD 3 + 7 10 70
AC
5
5 25
=
= =
AE 5 + 9 14 70
AB AC
≠
AD AE
(RV) (SU)
TR 18
=
=6
TV 3
TS 20
=
= 2,5
TU 8
TR TS
≠
TV TU
3
A
(BC)
(DE)
(RS)
(UV)
T
ABC un triangle tel que BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 cm et AB = 2,5 cm.
a) Fais une figure. Place le point D sur [AC) tel que CD = 6 cm et le point E sur [BC) tel que CE = 9 cm.
b) Explique pourquoi les droites (ED) et (AB) ne sont pas parallèles.
A
@options;
@figure;
C = point( 0.13 , 0.93 );
cerayC2.4 = cerclerayon( C , 2.4 )
{ i };
A = pointsur( cerayC2.4 , 67.75 );
cerayC3.3 = cerclerayon( C , 3.3 )
{ i };
cerayA2.5 = cerclerayon( A , 2.5 )
{ i };
B = intersection( cerayC3.3 ,
cerayA2.5 , 2 );
demiAC = demidroite( A , C )
{ i };
demiBC = demidroite( B , C ) { i };
cerayC6 = cerclerayon( C , 6 )
{ i };
D = intersection( demiAC ,
cerayC6 , 1 );
cerayC9 = cerclerayon( C , 9 )
{ i };
E = intersection( demiBC ,
cerayC9 , 1 );
sAD = segment( A , D );
sBE = segment( B , E );
sED = segment( E , D );
B
C
E
D
(AD) (BE)
CB 3,3 33 11
=
=
=
CE 9 90 30
C
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CA 2,4 24 2 12
=
= = =
CD 6 60 5 30
CB CA
≠
CE CD
(AB)
(ED)
(AB)
(ED)
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 7 cm ; AD = 3 cm et
AE = 2,5 cm.
Le point K appartient à l'arête [GH] et le point L appartient à l'arête [GF].
On donne GK = 6 cm et GL = 2,6 cm.
Les droites (KL) et (HF) sont-elles parallèles ?
Justifie ta réponse.
(KH) (LF)
GL 2,6 26 13 91
=
=
= =
GF 3 30 15 105
GK 6 90
= =
GH 7 105
GL GK
≠
GF GH
(KL) (HF)
(KL)
H
K
E
F L
D
A
G
C
B
La figure n'est pas en
vraie grandeur.
G
(HF)
2 RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE THALÈS
ex. 4
THÉORÈME 3 : réciproque du théorème de Thalès
Soient (d) et (d' ) deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.
Si les points A, B, M d'une part, et les points A, C, N d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si
AM AN
=
, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
AB AC
Remarques 2 :

Attention, il ne suffit pas de vérifier l'égalité des rapports : il faut aussi s'assurer que les points sont bien
placés dans le même ordre.

Attention, il ne faut pas utiliser les valeurs approchées pour affirmer que deux quotients sont égaux.
Exemple 3 :
Les droites (LA) et (HT) sont-elles parallèles ?
Solution :
T
H
4
M
8
3
6
MH 4
MT 8 4
D'une part,
= .
D'autre part,
= = .
A
MA 3
ML 6 3
L
MH MT
On constate que
=
. De plus, les points A, M, H d'une part, et les points L, M, T d'autre part, sont
MA ML
alignés dans le même ordre.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AL) et (HT) sont parallèles.
Montre que les droites bleues sur les figures ci-dessous sont parallèles.
N
A
L
a)
b)
5
M
3
B
6,75
C
11,25
N
3,15
20
T
9
J
7
M
(MB) (NC)
A
AB
3
3
=
= = 0,375
AM 3 + 5 8
AC
6,75
6,75
=
=
= 0,375
AN 6,75 + 11,25 18
AB AC
=
AM AN
A B M
(LM) (NT)
JL 3,15
=
= 0,45
JM
7
JN 9
=
= 0,45
JT 20
JL JN
=
JM JT
Page 9 sur 12
A C N
(BC)
(MN)
(LN)
(TM)
J
L J M
N J T
Exercice n°18 page 193 Prenons de bonnes habitudes
ABC est un triangle. D est un point de [AB] et E est un point de (AC) n'appartenant pas à [AC].
On donne AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; AD = 1,2 cm et AE = 0,9 cm.
a) Alixien a écrit sur sa copie :
« Les droites (EC) et (DB) sont sécantes en A.
AD 1,2 12 3
=
= =
.
AB 4 40 10
AE 0,9 9
3
D'autre part,
=
=
=
.
AC 3 30 10
AD AE
Comme
=
, alors les droites (BC) et (ED) sont parallèles. »
AB AC
D'une part,
Quel théorème Alixien a-t-il utilisé ?
b) Fais une figure.
c) La réponse d'Alixien est-elle juste ? Sinon, rédige la bonne réponse.
C
A
D
@options;
@figure;
E = point( -1.87 , 1.5 );
cerayE3.9 = cerclerayon( E , 3.9 )
{ i };
C = pointsur( cerayE3.9 , 30 );
sEC = segment( E , C );
A = pointsur( sEC , 0.33 );
{ i };
B = pointsur( cerayA4 , 0 );
D = pointsur( sAB , 0.3 );
sED = segment( E , D );
sBC = segment( B , C );
B
E
E A C
(BC)
D A B
(ED)
Exercice n°19 page 194 Parallélisme
Démontre que les droites (MN) et (ST) sont parallèles.
On donne OM = 2,8 cm ; ON = 5,4 cm ; OS = 2,7 cm et OT = 1,4 cm.
S
T
O
M
N
S O N
T O M
OS 2,7
=
= 0,5
ON 5,4
OT 1,4
=
= 0,5
OM 2,8
OS OT
=
ON OM
(ST)
(MN)
Page 10 sur 12
On donne les longueurs suivantes AB = 6,3 cm ; BC = 4,9 cm ; AE = 16 cm et
DE = 7 cm.
Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.
C
B
E
A
D
A B C
A D E
AB
6,3
6,3
63
9
=
=
=
=
AC 6,3 + 4,9 11,2 112 16
AD 16 – 7 9
=
=
AE
16
16
AB AD
=
AC AE
(BD)
(CE)
L'unité de longueur choisie est le mètre.
a) Pour x = 2,5, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Vrai ou faux ? Explique ta
démarche.
b) Pour x = 1, les droites (AB) et (DC) ne sont pas parallèles. Vrai ou faux ? Explique ta
démarche.
D
x+2
E
1 ,5
x
A
2
B
C
ED 2,5 + 2 4,5 9
=
=
=
EB
2
2 4
EC 1,5 3
=
=
EA 2,5 5
ED EC
≠
EB EA
(DC) (AB)
(DC)
D E B
ED 1+ 2 3
=
=
EB
2
2
EC 1,5 3
=
=
EA 1 2
ED EC
=
AB EA
(AB)
C E A
(DC)
(AB)
Exercice n°26 page 194 Extrait du Brevet
Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois.
(Sur le schéma ci-contre, les mesures sont en mètre.)
a) En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.
b) Calculer les longueurs SM et SN.
c) Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.
S
6
M
1,95
A
N
1,8
2,5
B sol
ABS
AS 2 = AB2 + BS2
AS 2 = 2,52 + 62
AS 2 = 6,25 + 36
AS 2 = 42,25
AS = 42,25 = 6,5 m
Page 11 sur 12
SM = 6,5 – 1,95 = 4,55 m
SN = 6 – 1,8 = 4,2 m
S M A
SN 4,2
=
= 0,7
SB 6
SM 4,55
=
= 0,7
SA 6,5
SN SM
=
SB SA
S N B
(MN)
(AB)
3 AGRANDISSEMENTS OU RÉDUCTIONS
ex. 5
DÉFINITION
Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est un
agrandissement ou une réduction de l'autre.
Remarque :
Si
est un agrandissement de
' alors
' est une réduction de .
Le coefficient de proportionnalité k est le rapport d'agrandissement (k > 1) ou de réduction (0 < k < 1).
Exemple 4 :
S
La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD.
On donne AB = 6 cm ; SA = 15 cm et SI = 5 cm.
a) Calcule IJ.
L M
K
b) Que dire des angles SIJ et SAB ?
I
J
Solution :
a) On sait que la pyramide SIJKL est une réduction de rapport k de la
D
pyramide SABCD.
O
Donc les longueurs des deux pyramides sont proportionnelles.
A
B
C
SI 5 1
=
= .
SA 15 3
1
1
1
De même, [IJ] est une réduction de rapport de [AB]. Donc IJ = k  AB = AB =  6 = 2 cm.
3
3
3
[SI] étant une réduction de rapport k de [SA], on en déduit que : k =
b) Les angles SIJ et SAB ont la même mesure car le triangle SIJ est une réduction du triangle SAB.
Soit TRAN un losange tel que TR = 5 cm et tel que l'angle TRA mesure 30°.
3
de TRAN. Construis JEDI.
2
3
3
3
TRAN
JE =  TR =  5 = 7,5 cm
2
2
2
7,5 cm
On sait que JEDI est un agrandissement de rapport
JEDI
JEDI
JED = 30°
JEDI
JE = 7,5 cm
JED = 30°
Pour chaque figure ci-dessous, indique si le triangle OMN est une réduction ou un agrandissement du triangle OAB ou
ni l'un ni l'autre. Justifie ta réponse.
A
M
a) M
b)
c)
2
O
B
A
A
N
B
O
B
N
O
6
M
3
5
N
(MB)
(MN)
(AN)
Page 12 sur 12
O
(AB)
(MN)
(AB)
ON OM MN
=
=
OA OB AB
OMN
OAB
OMN
(MA)
(NB)
OAB
OMN
OAB
O
(AB)
(MN)
OA OB AB
=
=
OM ON MN
OMN
OAB
OMN
A O N
OB 3 1
= =
OM 6 2
AB 2
=
MN 5
OB AB
≠
OM MN
(MN)
OAB
B O M
(AB)
(MN)
(AB)
AOB
OMN
OMN
OAB
Exercice n°28 page 195 Grandir
a) Construis un parallélogramme RAVI tel que RI = 6 cm ; IV = 4 cm et RIV = 130°.
5
b) Construis un agrandissement de rapport du parallélogramme RAVI.
4
c) Quelle est la nature de la figure obtenue ? Justifie ta réponse.
d) Déduis-en la mesure des angles de la figure agrandie. Justifie.
R
@figure;
I = point( -4.5 , -1.1 );
cerayI6 = cerclerayon( I , 6 )
{ i };
R = pointsur( cerayI6 , 358.42 );
sIR = segment( I , R );
daIsIR = droiteangle( I , sIR , 130 )
{ i };
cerayI4 = cerclerayon( I , 4 )
{ i };
V = intersection( daIsIR , cerayI4 ,
1 );
sIV = segment( I , V );
t_IR = translation( I , R ) { noir };
A = image( t_IR , V );
sVA = segment( V , A );
sAR = segment( A , R );
sVI = segment( V , I );
I
@options;
V
A
R' I' = 3 
5 6 × 5 30
=
=
= 7,5 cm
4
4
4
RIV = RAV = 130°
R' A' V' I'
5 4×5
I' V' = 4  =
= 5 cm
4
4
IRA = IVA = 180° – 130° = 50°

Théorème de Thalès

Transcription

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