Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques

Transcription

Introduction et problématique
Du problème continu au problème discret
Discrétisation et principe du maximum
Principe du maximum discret pour des problèmes
elliptiques
Mathieu Cathala
Université Montpellier 2
25 Janvier 2012
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Sommaire
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2
3
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Sommaire
1
2
3
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Objectif de la discrétisation
Construire une approximation de la solution exacte ū du problème
elliptique
(
− ∆ū = f sur Ω,
ū = 0
sur ∂Ω ;
où :
Ω est un domaine polygonal de Rd
f ∈ L2 (Ω)
3 / 14
Enjeux de la discrétisation
Construire une approximation “précise” de la solution exacte ū.
Préserver certaines propriétés de l’équation continue.
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Enjeux de la discrétisation
Construire une approximation “précise” de la solution exacte ū.
Préserver le principe du maximum : si f ≥ 0 et si ū vérifie
(
−∆ū = f sur Ω
ū = 0 sur ∂Ω
alors ū ≥ 0.
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Sommaire
1
2
3
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Bilan continu
Bilan de conservation sur
K :
Z
Z
∆ū =
f
−
Ω
K
K
K
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Bilan continu
Ω
~n
xK
·
Bilan de conservation sur
K :
Z
Z
∇ū · ~n =
f
−
∂K
K
K
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Bilan discret
Ω
~n
xK
·
K
Bilan discret sur K :
Z
−∆K (u) =
f
K
avec :
R
∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n
uK ≈ ū(xK )
u = (uK )K solution
discrète
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Bilan discret
Ω
~n
xK
·
K
Z
−∆K (u) =
f
K
avec :
R
∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n
uK ≈ ū(xK )
u = (uK )K solution
discrète
6 / 14
Bilan discret
Ω
· L
uL
uK
·
K
Z
−∆K (u) =
f
K
J
· uJ
avec :
R
∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n
uK ≈ ū(xK )
u = (uK )K solution
discrète
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Problème discret
Trouver une famille d’inconnues u = (uK )K solution du système :
Z
∀K , −∆K (u) =
f
K
Système linéaire carré associé à l’opérateur discret
∆D : u 7→ (∆K (u))K
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Problème discret
Trouver une famille d’inconnues u = (uK )K solution du système :
Z
∀K , −∆K (u) =
f
K
Système linéaire carré associé à l’opérateur discret
∆D : u 7→ (∆K (u))K
En général pas de principe du maximum : f ≥ 0 ; u ≥ 0
7 / 14
Sommaire
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2
3
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Objectif
Donnée : Un opérateur discret ∆D définissant le système
d’équations
Z
∀K , −∆K (u) =
f
K
But : corriger ∆D pour
Obtenir un principe du maximum discret
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Objectif
Donnée : Un opérateur discret ∆D définissant le système
d’équations
Z
∀K , −∆K (u) =
f
K
But : corriger ∆D pour
Obtenir un principe du maximum discret
Conserver les “bonnes” propriétés de ∆D
9 / 14
Monotonie
·
uL
Si les équations s’écrivent :
L
·
K
uK
X
Z
τK ,L (uK −uL ) =
L voisins de K
f
K
avec τK ,L ≥ 0.
principe du maximum
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Construction de la correction
On cherche à corriger le système sous la forme :
−∆K (u) +
X
Z
βK ,L (u)(uK − uL ) =
L voisins de K
f,
K
où les βK ,L (u) sont à déterminer.
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Monotonie ?
1
On écrit :
∆K (u) =
1
N
X
L voisins de K
∆K (u)sgn(uL − uK )
(uL − uK )
|uL − uK |
où N = nombre de voisins de K .
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Monotonie ?
1
On écrit :
∆K (u) =
1
N
X
L voisins de K
(uL − uK )
|uL − uK |
2
Equations corrigées :
X
− ∆K (u) +
βK ,L (u)(uK − uL ) =
L voisins de K
X
L voisins de K
+ βK ,L (u) (uK − uL )
N |uL − uK |
12 / 14
Monotonie ?
1
On écrit :
∆K (u) =
1
N
X
L voisins de K
(uL − uK )
|uL − uK |
2
Equations corrigées :
X
− ∆K (u) +
βK ,L (u)(uK − uL ) =
L voisins de K
X
L voisins de K
+ βK ,L (u) (uK − uL )
N |uL − uK |
positif ?
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Une correction non-linéaire
Termes correctifs
βK ,L (u) =
|∆K (u)|
N |uL − uK |
Le système corrigé
1
−∆K (u) +
N
X
L voisins de K
Z
|∆K (u)|sgn(uK − uL ) =
f
K
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Le nouveau problème discret
Trouver une famille d’inconnues u = (uK ) solutions du système :
Z
X
1
∀K ,
−∆K (u) +
|∆K (u)| sgn(uK − uL ) =
f
N
K
L voisins de K
Respecte le principe du maximum
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Z
X
1
∀K ,
−∆K (u) +
|∆K (u)| sgn(uK − uL ) =
f
N
K
L voisins de K
Système non-linéaire
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Z
X
1
∀K ,
−∆K (u) +
|∆K (u)| sgn(uK − uL ) =
f
N
K
L voisins de K
Opérateur non-continu
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Z
X
1
∀K ,
−∆K (u) +
|∆K (u)| sgn(uK − uL ) =
f
N
K
L voisins de K
Opérateur non-continu
Convergence de la solution discrète vers la solution exacte ū ?
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