TD : la trottinette, étude mécanique

BE chaîne d'acquisition & commande numérique
4AE-SE
Année 2013-2014
TD : la trottinette, étude mécanique
Le but de ce TD est d'obtenir un modèle mécanique de la trottinette, qui vous servira ensuite de base
pour l'étude automatique. En particulier, on cherchera à montrer comment interviennent les
différentes pièces en rotation dans le calcul de l'inertie du système.
Caractéristiques de la trottinette :
Puissance absorbée par le moteur (maxi) : 100W.
Masse totale de la trottinette : 15 kg
Masse du passager : 75 kg
Vitesse maximale : 10km/h.
La trottinette est entraînée par un moteur à courant continu à aimants permanents. Elle est composée
de 4 solides indéformables :
N° de Description :
Mouvement :
Masse ou inertie
pièce :
1)
uz )
Rotor du moteur électrique Rotation autour de l'axe (O1, ⃗
Inertie J1 par rapport à
son axe de rotation.
2)
Roue arrière
Rotation autour de l'axe (O2, u⃗z )
Inertie J2 par rapport à
son axe de rotation.
3)
Châssis
Translation rectiligne selon la
ux
direction ⃗
Masse Mc.
4)
Roue avant
uz )
Rotation autour de l'axe (O3, ⃗
Inertie J3 par rapport à
son axe de rotation.
On étudie dans un premier temps le cas où la trottinette grimpe une côte. Le plan de la route fait un
angle α par rapport à l'horizontale (voir figure 1). Les roues de la trottinette adhèrent bien à la route,
de sorte qu'elles ne glissent pas par rapport à celle-ci.
α
Figure 1 : vue générale de la trottinette.
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Rotor
du moteur
Roue
R2
O2
Rroue
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O1
Ω2
RN2
RT2
R1
Ω1
u⃗z
u⃗x
u⃗y
α
Figure 2 : vue détaillée de la chaîne de transmission mécanique par courroie.
Une courroie de transmission permet d'entraîner la roue arrière de la trottinette. Cette courroie est
supposée de masse négligeable, et elle reste parfaitement tendue au cours de son fonctionnement.
De plus, comme elle est crantée, la roue arrière ne glisse pas par rapport au rotor du moteur. On
adopte les notations suivantes (voir figure 2) :
-1
● Ω1 représente la vitesse de rotation (rad.s ) du rotor par rapport au référentiel terrestre.
● C1 représente le couple résistant exercé par la courroie sur l'axe rotorique.
-1
● Ω2 représente la vitesse de rotation (rad.s ) de la roue par rapport au référentiel terrestre.
● C2 représente le couple moteur transmis à la roue par la courroie.
Le rendement de la courroie est alors défini de la manière suivante :
ηcourroie =
C 2⋅Ω 2
C 1⋅Ω 1
On suppose que les pertes mécaniques sont concentrées au niveau de la transmission par courroie.
Le rendement de la courroie est supposé égal à 80%.
Partie I : étude mécanique du rotor
1. Effectuer l'inventaire des actions mécaniques (forces et couples) qui s'exercent sur le rotor
du moteur. On suppose dans cette question que le rotor subit entre autres un couple de
frottement visqueux proportionnel à Ω1 :
C frott = − f⋅Ω 1
où f désigne le coefficient de frottement visqueux.
2. Appliquer le théorème du moment cinétique au rotor du moteur. En déduire l'équation
d Ω1
différentielle qui relie Ω1 ,
, le couple résistant C1 et l'intensité du courant rotorique
dt
(notée I).
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Partie II : étude mécanique de la courroie de transmission
3. Exprimer la relation qui traduit le non-glissement de la courroie crantée par rapport au rotor
du moteur et par rapport à la roue. En déduire la relation entre Ω1, Ω2, R1 et R2.
4. En déduire l'expression de C1 en fonction de R1, R2, C2 et ηcourroie.
Partie III : étude mécanique de la roue
5. Effectuer l'inventaire des actions qui s'exercent sur la roue. L'action du sol sur la roue est
décomposée en deux composantes (voir figure 2) :
R N2 ,
● une composante normale notée ⃗
RT2 .
● une composante tangentielle notée ⃗
6. Appliquer le théorème du moment cinétique à la roue. En déduire l'équation différentielle
d Ω2
RT2 ) et C2.
qui relie Ω2 ,
, RT2 (module de ⃗
dt
Partie IV : étude mécanique de l'ensemble {trottinette + passager}
7. Effectuer l'inventaire des actions qui s'exercent sur le système complet.
8. Appliquer le principe fondamental de la dynamique (théorème du centre de masse) au
système complet. En déduire l'expression de RT2 en fonction de Ω2 et de α.
Partie V : résolution des équations
9. Reprendre les équations des parties I à IV. En déduire l'équation l'équation différentielle
d Ω1
finale qui relie Ω1 ,
et l'intensité du courant rotorique (notée IR). (Cette fois, le
dt
couple C1 ne doit plus apparaître dans votre équation). Montrer que cette équation s'écrit
sous la forme suivante :
dΩ
J eq⋅ 1 + f⋅Ω 1 = f ( I R , α ,...)
dt
10. Exprimer littéralement le moment d'inertie équivalent Jeq en fonction :
● des inerties J1 et J2,
● des rayons R1 et R2,
● du rayon de la roue Rroue,
● de la masse totale M du système,
● du rendement de la courroie ηcourroie .
11. Effectuer l'application numérique :
● Mesurer sur la trottinette réelle les valeurs des différents rayons.
● Évaluer les valeur des moments d'inertie J1 et J2.
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En déduire la valeur du moment d'inertie équivalent Jeq.
Estimer la valeur numérique du coefficient de frottement visqueux du rotor (noté f). On
précise que lorsque la tension rotorique U vaut 24V, le moteur tourne à 3000 tr/mn et un
courant I de 1A est absorbé.
Déduire des questions précédentes la constante de temps mécanique du système à vide, et en
charge.
Partie VI : modélisation du système sous simulink
12. Proposer une modélisation de l'ensemble {moteur + trottinette + passager} sous Simulink.
Indiquer les entrées et sorties de votre système, sachant que l'on souhaite par la suite asservir
le moteur en vitesse et/ou en courant.
On conseille d'utiliser des « subsystem » afin d'alléger les schémas Simulink.
13. Procéder aux simulations adéquates permettant de valider le modèle, ou au moins de vérifier
sa cohérence.
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