Volumes de quelques solides usuels

Volumes de quelques solides usuels
1°)
CÔNE
V=
1
× A ×h
3
Cas particuliers :
Cône cylindrique
1
× A ×h
3
1
= × πR 2 × h
3
V=
Cône cylindrique droit (ou cône de révolution)
1
× A ×h
3
1
= × πR 2 × h
3
V=
D. Pernoux
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D. Pernoux
D. Pernoux 25/11/05
2°)
PYRAMIDE
V=
1
× A ×h
3
Cas particuliers :
"Pyramide régulière" (remarque : ce n'est un polyèdre régulier que dans le cas où c'est
un tétraèdre régulier)
1
V = × A ×h
3
Tétraèdre quelconque
V=
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1
× A ×h
3
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Tétraèdre régulier
Soit a la longueur
des arêtes
A=
h=
a2 3
4
a 2
3
Volume du tétraèdre
régulier :
1 a2 3 a 2
x
x
3
4
3
=
Explications :
Calcul de A :
a3 2
12
Calcul de LL' hauteur du triangle équilatéral JLL' :
(on utilise le théorème de Pythagore)
2
a2 3a2
a
JL ' 2 + LL ' 2 = JL2 donc LL ' 2 = JL2 − JL ' 2 = a2 −   = a2 −
=
4
4
2
3a2 a 3
=
4
2
LL ' =
Calcul de A :
A=
Calcul de h
1
1
a 3 a2 3
× JK × LL ' = × a ×
=
2
2
2
4
h = IH
Or, d'après le théorème de Pythagore, IL' 2 = IH 2 + L 'H 2 donc IH2 = IL' 2 − L 'H2 .
Valeur de IL' :
IL' vaut, comme LL',
a 3
.
2
Calcul de L'H
H est le centre du triangle équilatéral JKL. Il est donc, en particulier,
le centre de gravité du triangle JKL et est donc situé au tiers de la
médiane LL' en partant de L'.
1 a 3 a 3
=
×
3
2
6
Retour au calcul de IH :
L'H =
2
2
a 3  a 3 
3a 2 3a 2 3a 2 a 2 9a2 − a 2 8a 2 2a2
=
=
=
−
=
−
=
−
IH = IL' − L 'H = 
 2   6 
12
12
12
3
4
36
4

 

2
2
Donc h = IH =
2
2a 2
a 2
=
3
3
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3°) PRISME
Les plans P et P'
sont parallèles
V = A ×h
Cas particuliers :
Prisme droit :
V = A ×h
Cas particulier de prisme droit :
Le parallélépipède rectangle (ou pavé droit)
V = L ×l×h
Cas particulier de parallépipède rectangle :
Le cube
V = a3
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4°) CYLINDRE
Les plans P et P'
sont parallèles
Cas
particuliers :
Cylindre circulaire:
V = A ×h
Cas particuliers :
Cylindre circulaire :
V = A ×h
= πR2 h
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Cylindre circulaire droit (ou cylindre de révolution) :
V = A ×h
= πR2 h
5°) SPHÈRE
`
V=
4 3
πR
3
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